第６課： 平衡 ...
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第６課： 平衡 ２００５年１１月２８日 . 授業の内容は下の HP に掲載されます。 http://www.ioa.s.u-tokyo.ac.jp/kisohp/STAFF/nakada/intro-j.html. 今回のキーワード. サハの式 (Saha Equation). Negative Hydrogen. 前回５．２．に間違いがありました。. 誤：合成軌道角運動量Ｌ＝∑ｌの名前は、 Ｌ＝ １ ２ ３ ４ - PowerPoint PPT Presentation
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第６課： 平衡 ２００５年１１月２８日
サハの式 (Saha Equation)
Negative Hydrogen
授業の内容は下の HP に掲載されます。
http://www.ioa.s.u-tokyo.ac.jp/kisohp/STAFF/nakada/intro-j.html
今回のキーワード
誤：合成軌道角運動量Ｌ＝∑ｌの名前は、
Ｌ＝ １ ２ ３ ４
Ｓ Ｐ Ｄ Ｆ 主量子数ｎと一緒にして ２ S 軌道などと言う。正：合成軌道角運動量Ｌ＝∑ｌの名前は、
Ｌ＝ ０ １ ２ ３
名前 Ｓ Ｐ Ｄ Ｆ 主量子数ｎと一緒にして ２ S 軌道などと言う。
前回５．２．に間違いがありました。
例 Ｈ２－２Ｈ＝０ 水素の解離
ＨーＨ＋－ｅ＝０ 水素の電離
ＣＯ－Ｃ－Ｏ＝０ 一酸化炭素の形成
孤立系（エネルギーＵ、体積Ｖ、粒子数Ｎが一定）では、エントロピー極大が平衡に対応するが、温度Ｔ，圧力Ｐが一定の環境では、ギブスの自由エネルギー G=U-TS+PV =ΣμjNj が 極値をとる。（ μ ｊは ｊ - 種粒子の化学ポテンシャル）
６．１．化学平衡
上の反応では、１回の反応で Δ Ｎｊ＝ａｊの変化が起きるから、ｄＲ回では、
ｄＮ j ＝ａ j ｄＲ。そこで、Ｔ，Ｐ一定下での化学反応（Ｎｉが変化）を考えると、
ｄＧ＝－ＳｄＴ＋ＶｄＰ＋ Σμ ｊｄＮｊ＝ Σμ ｊｄＮｊ＝ （ Σμ ｊａｊ）ｄＲ＝０
したがって化学平衡の条件は、
ａ 1A1 ＋ａ 2A2 ＋ ａ 3A3 ＋ … . ＝ Σ ａj Ａ j ＝０
最初の例では、 a1=1, A1=H2, a2=-2, A2=H である。
ｎｊ＝ｎ（ Aj)=Aj の数密度 を求める問題を考えよう。
Σ ａｊ μ ｊ＝０
（質量作用の法則）
粒子の内部自由エネルギー Ｆ in は、内部分配関数 Ｚｉｎ と
Ｆ in ＝－ kT ｌｎ Ｚ in ＝－ kT ｌｎ [Σexp ( － Ein/kT)] で結ばれているから、
Π ｎ j ａ j ＝ Π[ ｎＱ jνj exp(- ａ j Ｆ inj/kT)] と書く場合もある。
ｎｊ＝Ｎｊ／Ｖ＝ Aj の数密度（個 / ｃｍ３）、
ｎＱ、ｊ＝（ 2πm ｊ kT/ ｈ２）３ / ２＝ Aj の量子密度（個 / ｃｍ３）、
Ｚ in,j ＝ Σexp ( － Ein,j/kT)=Aj の内部状態分配関数
である。 前節の平衡条件、
jinjQ
jj Zn
nkT
,,
ln 一般に、気体の化学ポテンシャル μ
ｊは、
jinjQjjj
jj
Znana
a
lnln
0 に上の μ ｊの式を代入すると、
TKZnn jjj a
jina
jQaj
Π ｎ j ａ j ＝ ｎ i1 ｎ j － 1
Π[ ｎＱ jａ j Ｚ inj
ａ j ]= [ ｎＱ i1 Ｚ ini
1 ] [ ｎＱ j－１ Ｚ inj
－１ ] ＝ Ｚ ini1 Ｚ
inj－１ ]
例１： 励起準位 Ａｉ－Ａｊ＝０下図のような、ｊ 準位と ｉ 準位の間の遷移を反応の一つと見なす。
ａ ｉ =1, Zi ＝ｇ i exp( － Ei/kT), ａｊ =-1, Zj ＝ｇ j exp( － Ej/kT)
この場合、 Zi , 、 Zj の表式に∑記号がないことに注意。
さらに、 ｎＱ＝（ 2πmkT/ ｈ２）３ / ２＝共通なので、質量作用の法則を書き下すと、
= 励起原子の数密度
ｇｉ
ｎ i
ｇｊ ｎ
j
ｇｏ ｎ
0
統計重み 数密度
Ｅ ｊ
Ｅ ｉ
kT
EE
g
g
kT
EkTE
g
g
n
n ji
j
i
j
i
j
i
j
i exp
exp
exp
kT
E
g
gnn ii
i exp0
0
特にｊ＝０（基底状態）の時、
例２： 水素の（第１励起／基底）比
on
n1
n
１
n0
ｇ１＝８
E １＝１０．１５ｅＶ
T.
T
kT
.exp
51156
1041510
5040
104
1510
2
8
eV
ｇ０＝２T
.on
nlog
5115660201
10
－２－４－６ ０
０
１ ２ ３ ４( ５１１５６ /T)
5
log(n1/no)
T= ３００００
Ｂ０型
T= １００００
Ａ０型T= ４２０００
Ｏ５型
Ｔ＜１００００Ｋ（Ａ０より晩期型星）では、（ｎ１ / ｎｏ）＜－５で大変小さいことが分かる。
Ｔ＝８５０００Ｋで ｎ１＝ｎｏ となり、
Ｔ∞では ｎ１ / ｎｏ＝４ に接近する。
ｇ２ E
２
ｇ１ E
１
ｇ o E=0
例３：ボルツマンの式 (Boltzmann’s formula)
kTiEexp
ogig
onin
前節の例１で示したように
なので
ある原子の総数密度を ｎ とし、うち基底状態にｎｏ、第１励起状
態にｎ１、第２励起状態にｎ２，．．．あるとする。 ｎ＝ｎｏ＋ｎ１
＋ｎ２ ＋．．．である。
．．．
kT
Eexpg
kT
Eexpg
kT
EexpgogZ 3
32
21
1 とすると、
Zogon...
kT
Eexpg
kT
Eexpgog
ogon
nnonn
22
11
21 ．．．
したがって、
ZkTiEexp
ignin
内部エネルギーの相対的な値の決め方には注意がいる。
自由電子と陽子の内部エネルギーをそれぞれ０とする。 すると、中性水素
原子の内部エネルギーは ‐Ⅰ となる（基底状態のみ考えている）。Ⅰは電離
エネルギーで水素では１３．６ｅＶである。
電子のスピン上向き、下向きの２状態を考えるので、（原子核の方は無視）
電子とＨ原子のＺｉｎには２が入ってくる。
例４： 水素原子の電離 Ｈ＋＋ｅ－Ｈ＝０ (I=inization energy)
H ＋ + e ー Ｈ ＝ ０
E ： 0 0 -I
g ： １ ２ ２
Zin ： １ ２ ２ ｅｘｐ（Ｉ / ｋＴ）
ｎＱ ： （ 2π ｍＨ kT/ ｈ２）３ / ２ （ 2π ｍ ekT/ ｈ２）３ / ２ （ 2π
ｍＨ kT/ ｈ２）３ / ２
H （中性水素原子）を I 、 H ＋（水素イオン）を II と表す。
ａ II=1, ａ（ｅ）＝ 1, ａ I ＝‐１ だから、質量作用の法則は、
kT
I
h
kTm
kTI
hkTm
hkTm
hkTm
Z
ZZ
n
nn
n
nn
exp2
exp2
2
2
22
3
23
e
23
2I
23
2e
23
2II
I in,
e in,II in,
I Q,
e Q,II Q,
I
eII
TKZnn jjj a
jina
jQaj （質量作用の法則）を前頁の電離に適用す
る。
： サハの電離式 （Ｓａｈａ ｅｑｕａｔｉｏｎ）
kT
I
h
kTm
n
nnexp
23
23
e
I
eII
例５： 水素分子の解離 ２Ｈ－Ｈ２
＝０
ａ（Ｈ）＝２、 ａ（Ｈ２）＝－１ であるから、質量作用の法則は、 ｎ（ H) ２ / ｎ（ H ２ ) ＝ [ （ 2π ｍＨ kT/ ｈ２）３ /(2π ２ｍＨ kT/ ｈ２）３ / ２ ][ 22 / ４ｅｘｐ（Ｄ／ｋＴ） ]
＝ (π ｍＨ kT/ ｈ２）３ / ２ ｅｘｐ（‐Ｄ／ｋＴ）
２ H ー Ｈ ＝ ０
E ： 0 -D （ -4.476eV)
g ： ２ ４（Ｓ＝０ ortho ，１ para ）
Zin ： ２ 4 ｅｘｐ（ D/ｋＴ）
ｎＱ ： （ 2π ｍＨ kT/ ｈ２）３ / ２ （ 2π2 ｍＨ kT/ ｈ２）３ / ２
電離の時とは違って、今度は水素原子の内部エネルギーを０とする。すると、水素分子基底状態の内部エネルギーは－Ｄである。Ｄは解離エネルギー （Ｄｉｓｏｃｉａｔｉｏｎ Ｅｎｅｒｇｙ）で、水素ではＤ＝４．４７ｅＶである。
６．２．サハの式 （Ｓａｈａ ｅｑｕａｔｉｏｎ）
原子の電離度はサハの式によって決まる。
ｎｉ，０＝ ｉ 回電離イオン基底状態の数密度
ｎｉ＋１，０＝ （ｉ＋１） 回電離イオン基底状態の数密度
ｎｅ＝ 電子の数密度
Ｉｉ，０ ＝ ｉ 回電離イオン基底状態からの電離エネルギー とすると、
kT,iIexp
,ig,ig
h
kTem
,inen,in 0
0
013
2322
0
01
ｎｉ＝ ｉ 回電離イオンの数密度（基底状態＋励起状態）
ｎｉ＋１＝ （ｉ＋１） 回電離イオンの数密度（基底状態＋励起状態）
に対しては、上式を少し変えた以下の式が成立する。
kT,iIexp
iZiZ
h
kTem
inenin 01
3
23221
Ｚｉ＝ Σ ｇｉ・ｅｘｐ（－Ｅ / ｋＴ）（＝ｉ回電離イオンの分配関数） は前出のＺｉｎと同じ
すべての電子が水素から供給されている場合、ｎ（ H ＋）＝ｎ（ｅ）なので、
水素原子の電離に関しては、
kT
I
h
kTm
n
nnexp
23
23e
H
eH
exp(‐I/ ２ kT) の因子がボルツマン型の exp(‐I/kT) と異なることに注意。
ｎ（ｅ）が全てＨから供給されている必要はない。
実際、低温環境では電子はアルカリ金属（Ｎａ，Ｋ）の電離が主な
供給源である。
しかし、高温になると水素の電離で作られる電子が圧倒的となる。
kT
I
h
kTmnn
2exp
22/3
4/3e2
1
He
例１： 水素のみから成る星の大気
Saha eq. をガス圧 P=nkT で表して、
PII Pe / PI = [(2πme)3/2 (kT)5/2 / h3] [2 ZII(T) / ZI(T)] exp ( －Ｅ / kT )
早期型星大気でのガス圧として、 log Pg(erg/cm3)=3.5 と仮定する。
Pe=PII 、 Pg=PI+PII+Pe を代入すると、
log10(PII2 / PI) = － 13.6(5040/T) + 2.5 logT － 0.48 + log [2 ×1 /2]
209.12
exp915.10
exp42
1
．．．kT
eV
kT
eVZ
Z
I
II
( 励起状態を無視 )
48.0log5.268544
2log 10
2
10
TTPPg
P
II
II
B0 B0 A0 F0 G0 K0
T 30500 9500 7500 6300 5350
PII2 / (Pg – ２ ×PII) 3.0E8 177.5 1.17 0.0137 1.07E-4
PII (erg/cm3) 1600 590 60 6.6 0.58
PI 0.0083 1980 3040 3150 3160
NII/NI 1.9×105 0.30 0.020 0.0021 1.8×10 － 4
NII/(NI+NII) 1 0.2 ３ 0.02 0.0021 1.8×10 － 4
log T4.04.5 3.5
-1
0
-2
-3
-4
III
II
NN
N10log
B0
A0A0
K0
バルマー線は水素原子主量子数 ｎ＝２ ｉ への吸収線である。
Ｈ α線
Ｈ β線
n0
n1
n2
n3
したがって、星のバルマー線強度はｎ１が大きくなるほど強くなる。混乱しやすい慣用法なので注意しておくが、ｎ１の１は第１励起状態の１で、主量子数はｎ＝２である。基底状態の数密度は ｎｏ 主量子数ｎ＝１である。
例１の結果は、最大の数密度を占める基底状態ｎｏに対して、第１励起状態の数ｎ１が高温の星ほど高くなることを示している。例えば、Ｂ０型のｎ１/ ｎｏはＡ０型の１０００倍も高い。
では、バルマー線は高温度星ほど強いであろうか？
次ページに示すスペクトルの例から、Ｂ０型のバルマー線強度が本当にＡ０型の１０００倍になるか調べてみよう。
例２ バルマー線 (Balmer lines) 強度と星のスペクトル型
バルマー線強度変化を考えてみることにしよう。
水素のみからなる大気を仮定する。
NI０＝基底状態（ｎ＝１）水素原子の数密度
NI１＝第１励起状態（ｎ＝２）水素原子の数密度
NI ＝ NI ０ + NI １ + NI2 + ．．．＝ 水素原子の数密度
NII ＝ 水素イオンの数密度 Ne= 電子の数密度
NH ＝ NI ＋ NII ＝ 水素（原子＋イオン）の数密度
Pg ＝ PI ＋ PII ＋ Pe ＝ NI kT+ NII kT+ Ne kT= 総ガス圧（ erg/cm3 ）
バルマー線は n=2 から n= 3, 4,… へのジャンプで生じる吸収
線である。し たがって、（ NI１ / NH ） が バルマー線強度の指標と
して適当である。
（１）主系列星大気の総ガス圧を、 log10Pg(erg/cm3)=3.5 と仮定し、星の有効温度を log10T （ K) = ３．５、３．６、．．．、４．５と変化させ
る。この時に、 log10 （ NI１ /NI ）、 log10 （ NI/NH ）、 log10 （ NI
１
/NH ） がどう変わるか表とグラフに示せ。
（２） ８．３例２に見るように、バルマー線の強度が A 型星で最強となる理由を 定性的に説明せよ。
ATTPPg
P
II
II
48.0log5.268544
2log 10
2
10
ＰＩ＝水素原子の分圧、ＰＩＩ＝水素イオン（陽子）の分圧とおくと、
Ｐｅ＝ＰＩＩであり、サハの式は以下のようになる。
まず、 Ｐｇ＝１０３．５ に対し、 上の式を解いてＰ II を求め、
次に、 Ｐ I ＝Ｐ II ２・１０－Ａ から Ｐ I を決める。
次に、
NI１ /NI ＝ g1exp(-E1/kT) / [g0+ g1exp(-E1/kT) +…]
≒ ４・ exp(-E1/kT) / [ １ + ４・ exp(-E1/kT)]
NI/NH ＝ Ｐ I/ Ｐ H ＝Ｐ I/ （Ｐｇ－ PII ）
NI１ /N Ｈ ＝（ NI
１ /NI ）・（ NI/NH ）
を計算して次ページの表を得る。
ｌｏｇＴ ３．５ ３．６ ３．７ ３．８ ３．９ ４．０ ４．１ ４．２ ４．３ ４．４ ４．５
Ａ -13.405 -8.697 -4.906 -1.843 +0.640 2.665 4.325 5.695 6.834 7.791 8.602
PII 1.11E-5 2.52E-3 0.198 6.72 113 832 1526 1578 1581 1581 1581
Ｐ I 3162 3162 3162 3149 2936 1498 110 5.02 0.366 0.0404 6.25E-3
Log(NI１ /NI )
-15.685 – 12.380 –9.779 –7.737 -6.133 -4.871 -3.877 -3.092 -2.472 -1.981 -1.592
Log(NI/NH)
0.0 0.0 0.0 0.0 -0.016 -0.192 -1.172 -2.500 -3.635 -4.592 -5.403
Log(NI１ /NH)
-15.685 -12.380 -9.779 -7.737 -6.149 -5.063 -5.049 -5.592 -6.107 -6.573 -6.995
３．５ ３．６ ３．７ ３．８ ３．９ ４．０ ４．１ ４．
２ ４．３ ４．４ ４．５
ｌｏｇＴ
０
－５
－１０
－１５
Log(NI１ /NH)
Log(NI/NH)
Log(NI１ /NI )
水素（原子＋イオン）中の第１励起原子の割合
スペクトル型
Ｍ Ｋ Ｇ Ｆ Ａ Ｂ
Ｈ α
Ｈ βＨ αＨ β
６．３．電子の供給源恒星大気の温度が高い時には、大量に存在する水素の電離が自由電子の供給源となる。しかし、低温になると水素の電離度が下がり、電子を供給できなくなる。そうすると、存在比は水素より小さいが電離エネルギーが小さくて電離しやすいアルカリ金属が電子供給の役割を担うようになる。
種族ＩＩの星のように低金属量の星では低温でも依然として水素の役割が大きい。
高温大気 低温大気
水素
アルカリ金属
水素原子水素イオン
電子
アルカリ金属イオン
アルカリ金属、 Li, Na, K, Sc,.. 、電離エネルギーが低い。
存在比は小さいが、電離しやすいので、 Te < ５ 000 K ( Ｋ型より晩期 ) ではＫと Na が電子の主な供給源である。
電離エネルギー
0
5
10
15
20
25
30
0 5 10 15 20 25 30原子番号
電離
エネ
ルギ
ー
Li Na K
He
Ne
Ar
B
Al
H
３．６
３．８
４．０
４．２
４．４
３
４
５
ｌｏｇ１０Ｔｅ (K)
ｌｏｇ１
０Ｐｇ
（ erg/
cm3 ）
そこで、簡単なモデルで大気中の電子がどのくらい存在するかを調べてみよう。下図の実線は主系列星大気の典型的な（ τ≒ ０．６）ガス圧である。
電子供給源として、水素ＨとナトリウムＮａのみを考え、それぞれが独立に電子を出した時どこで役割が入れ替わるかを計算してみる。元素組成は、ＮＨ：ＮＨｅ：ＮＮａ＝１：０ . １：２ × １０－６ とする。
主系列星大気のガス圧 Pg の表面温度 Te による変化
ＰＨ＝ＰＨＩＩ＋ＰＨＩ とおくと、 ＰＨｅ＝０．１ＰＨ
Ｐｅ＝ＰＨＩＩ なので、 Ｐｇ＝Ｐｅ＋１．１ＰＨ
したがって、 ＰＨＩ＝ＰＨ－Ｐｅ＝（Ｐｇ－Ｐｅ） / １．１－Ｐｅ＝（Ｐｇ－２．１Ｐｅ） / １．１
圧力で書いたサハの式は、Ｐｇ＝Ｐｅ＋ＰＨＩＩ＋ＰＨＩ＋ＰＨｅ を用いると、
ATTPePg
Pe
P
PeP
HI
HII
48.0log5.268534
1.2
1.1loglog 10
2
1010
前ページのグラフとＰｇ＝Ｐｅ＋ＰＨＩＩ＋ＰＨＩ＋ＰＨｅ から上の式を解くと、
温度 Ｐｇ (erg/cm3) A Ｐｅ (erg/cm3) ＮＨＩ
４０００ 100000 2.450× １０－ 9 0.015
５０００ 85000 1.144× １０－５ 0.94
６０００ 62000 3.478× １０－３ 14.0
７５００ 17000 1.170 134.4
１００００ 1300 462.4 419.6
２５０００ 1900 5.929×107 904.7
水素が電子供給源の場合
Ｎａの電離エネルギーは５ . １４ ｅＶ と低い。Ｎａ存在比が低いので、ＰｇへのＰｅの影響は考えなくてよい。したがって、ＰＮａ＝ＰＮａＩ＋ＰＮａ
ＩＩとし、
ＰＮａ＝Ｐｇ × ２ × １０－６ / １ . １ ＰＮａＩＩ＝Ｐｅ ＰＮａＩ＝ＰＮａ－Ｐｅ
に注意して、サハの電離平衡の式をＮａに対して書くと、BT
TPePg
Pe
P
PeP
NaI
NaII
48.0log5.225905
1082.1loglog 106
2
1010
T Pg(erg/cm3) Ｂ ＰＮａ (erg/cm3) Pe (erg/c
m3)
４０００ 100000 111.9 0.182 0.182
５０００ 85000 3858 0.155 0.155
６０００ 62000 44450 0.113 0.113
７５００ 17000 567100 0.031 0.031
１００００ 1300 8.501× １０６ 0.0023 0.0023
２５０００ 1900 3.011×10 ９ 0.0034 0.0034
どの場合もＮａが完全電離としての解、Ｐｅ＝ＰＮａ＝Ｐｇ × ２ × １０－６ / １ . １
電子がＮａから供給されるとき
３．６
３．８
４．０
４．２
４．４
－３
０
２
ｌｏｇ１０Ｔｅ (K)
ｌｏｇ１
０Ｐｅ
（ erg/
cm3 ）－２
－１
１
結局、Ｔ＜４５００ＫではＮａＴ＞４５００ＫではＨ が電子の供給源となっていることが分かった。
Ｎａ起源の電子圧
Ｈ起源の電子圧
６．４．一般の原子の電離
イオンと原子の質量はほぼ等しいので、ｎＱ（Ａ＋）＝ｎＱ（Ａ）
電子のスピン上向き、下向きの２状態を考えるので、Ｚ（ｅ）＝２。
自由電子とイオンの内部エネルギーをそれぞれ０とする。 すると、中性原子
の内部エネルギーは ‐Ⅰ となる（基底状態のみ考えている）。Ⅰは電離
エネルギー。 Ｚ（Ａ＋）＝ｕ（Ａ＋）、Ｚ（Ａ）＝ｕ（Ａ） exp(I/kT)
ｕ（Ａ＋）＝ｇ０＋ｇ１ ｅｘｐ（－Ｅ１／ｋＴ）＋ｇ２ ｅｘｐ（－Ｅ２／ｋＴ） +….
Ａ＋＋ｅ－Ａ＝０ (I=inization energy)
質量作用の法則まで戻ると、
ａ１＝１ ａ２＝１ ａ３＝－１
ｎ（Ａ＋）ｎ（ｅ）／ｎ（Ａ）＝ [ ｎＱ（Ａ＋）ｎＱ（ｅ）／ｎＱ（Ａ） ]
[ Ｚ（Ａ＋）Ｚ（ｅ）／Ｚ（Ａ） ]
結局、
ｎ（ Ａ＋）ｎ（ｅ） / ｎ ( Ａ ) ＝ [u （Ａ＋）２／ u （Ａ） ] （ 2π ｍekT/ ｈ２）３ / ２ exp(‐I/kT)
天文ではＰｅ（電子圧）を与えて計算する例が多い。
Ｐｅ＝ｎ（ｅ）ｋＴを使い、数値を入れて
ｌｏｇ [ ｎ（ Ａ＋） / ｎ ( Ａ ) ]
＝ｌｏｇ［ u （Ａ＋）／ u （Ａ） ］ +log 2 +(5/2) log T －ｌｏｇ Ｐｅ－Ⅰ (eV)(5040/T) － 0.48
（Ｐｅの単位は erg/cm3 ）
Ｈ＋ｅ － H －＝０ Wildt 1939. ApJ, 89, 295.”Electron affinity in Astrophysics”
水素負イオンはⅠ＝０．７５４ｅＶという非常に浅い準位を持つ。したがって、
高温の星の大気には存在しない。Ｇ型より晩期の星では非常に重要な
光の吸収源である。
Negative Hydrogen H‐ （水素負イオン）
水素負イオンの束縛状態は、二つの電子がスピン上向き、下向きの両方を
占めるので、総スピン＝０であり、統計重みｇ＝１である。
自由電子と中性水素の内部エネルギーをそれぞれ０とする。 すると、Negative
Hydrogen H － （陰性水素とは言わない）イオンの内部エネルギーは ‐Ⅰ となる
（基底状態のみ考えている）。
６．５．解離平衡分子雲や晩期型星大気では分子の形成を考慮する必要がある。
Ａ ＋ Ｂ ⇔ Ｃ という分子形成を考えよう。 注意すべきは、この反応式は実際には起きていなくても構わないことである。
水素分子形成を例にとると、 H+H ＝ H2 という反応は直接には起こらず、水素分子は実際には星間ダストの上で形成されると考えられている。それでも、平衡を考える際には A, B, C の持つエネルギーの高さだけが問題となる。化学平衡での A, B, C の数密度 ｎ A, ｎ B, ｎ C は質量作用の法則で決まる。
C in,
B in,A in,
3
23
C
3
23
B3
23
A
C in,
B in,A in,
C Q,
B Q,A Q,
C
BA
2
22
Z
ZZ
hkTm
hkTm
hkTm
Z
ZZ
n
nn
n
nn
数密度 ｎ から圧力 P ＝ｎｋ T の表示に変えると、
)(2
2
PC in,
B in,A in,252
3
2
C in,
B in,A in,
C2
BA
C
BA
C
BA 23
TKZ
ZZkT
h
M
Z
ZZ
mh
kTmmkT
kTn
kTnkTn
P
PP
宇宙標準組成比では原子数の比は、Ｈ：Ｃ：Ｏ＝１：０ . ３６ × １０－３ ：０ . ８５ × １０－３
したがって通常のＭ型星の大気中には、 O が C の約２倍存在する。 M 型星大気の
温度は４０００ K 以下であり、このように低い温度では CO が安定な分子種である。
CO の乖離エネルギーは DCO=11.1eV と大きいことが原因である。
このため、ＣはＣＯとして消費されつくす。後に残るＯがＯＨやＨ２Ｏの Oが入った分
子を作る。
炭素星ではＣ：Ｏ比が逆転している。炭素星では CO として消費されつくすのは O で
残ったＣがＣ２やＣＨを作る。
このように、 M 型星と C 型星では大気中に形成される分子の種類が異なり、それは
スペクトルの形に大きく影響している。
解くべき方程式は、ＰＨ２＝ＰＨ２ / ＫＨ２
ＰＯ２＝ＰＯ２ / ＫＯ２
ＰＣ２＝ＰＣ２ / ＫＣ２
ＰＯＨ＝ＰＯＰＨ / ＫＯＨ
ＰＣＨ＝ＰＣＰＨ / ＫＣＨ
ＰＣＯ＝ＰＣＰＯ / ＫＣＯ
ＰＨ２Ｏ＝ＰＯＨＰＨ / ＫＨ２Ｏ
ＰＯＨ＝ＰＨ ＋２ＰＨ２ ＋ＰＯＨ＋ＰＣＨ＋ ２ＰＨ２Ｏ
ＰＯＣ＝ＰＣ＋２ＰＣ２ ＋ＰＣＨ＋ＰＣＯ
ＰＯＯ＝ＰＯ＋２ＰＯ２ ＋ＰＯＨ＋ＰＣＯ＋ＰＨ２Ｏ
求める未知数はＰＨ、ＰＯ、ＰＣ、ＰＨ２ 、ＰＯ２ 、ＰＣ２ 、ＰＯＨ、ＰＣＯ、ＰＣＨ、
ＰＨ２Ｏの１０個
である。高温では原子優勢、低温ではＨ２とＣＯ、Ｈ２Ｏが大量にできる。
Ｈ，Ｃ，Ｏが全て原子であったと仮定した時の仮想圧力をＰ HO 、Ｐ C
Ｏ、
Ｐ OＯ、
とする。Ｐ CＯ、Ｐ O
Ｏ ＜＜ Ｐ HＯである。
与えられた、Ｐ HＯ、Ｐ C
Ｏ、Ｐ OＯ と Ｔ に対し、 ＰＨ、ＰＣ、ＰＯ、
ＰＨ２、……ＰＨ２Ｏ を
決める問題を考えてみよう。
ＴＣ
1,000 1,500 2,000 2,500 3,000 4,000 5,000 6,000
Ｈ２ -11.09 -3.56 0.42 2.82 4.40 6.36 7.70 8.48
Ｏ２ -13.32 -4.79 -0.13 2.35 4.11 6.27 7.71 8.59
Ｃ２ -18.54 -8.48 -2.87 -0.04 2.04 4.61 6.31 7.29
ＯＨ -11.05 -3.65 0.21 2.61 3.95 5.94 6.44 8.16
ＣＨ -6.53 -0.67 2.26 4.31 5.55 7.06 8.14 8.76
ＣＯ -42.98 -24.74 -14.33 -9.43 -5.67 -0.89 2.12 3.92
Ｈ２
Ｏ-13.61 -5.05 -0.53 2.17 3.95 6.13 7.62 8.46
ｌｏｇ１０Ｋｐ（Ｔ） を下の表に示す。Ｋｐ（Ｔ）の単位はdyn/cm2 である。
CO に対するＫｐ（Ｔ）が小さいことに注意せよ。
６ A ．ビッグバン宇宙の初期には水素は完全電離の状態にあった。その時期、輻射
と物質とは自由電子の散乱を介して強い結合状態にあった。しかし、その後
温度が低下するにつれて、自由電子と陽子が水素原子になる反応が優勢と
なり、電離ガスの中性化が急速に進行した。これを水素の再結合と呼ぶ。
NI ＝ NI ０ + NI １ + NI2 + ．．．＝ 水素原子の数密度
NII ＝ 水素イオンの数密度 Ne= 電子の数密度
NH ＝ NI ＋ NII ＝ 水素（原子＋イオン）の数密度 とする。
NH と温度Ｔは、現在の宇宙背景輻射の温度 To, 水素原子数密度 N
o を、
To=2.7K, No= ５ × １０－７ｃｍ－３
として、 T=To/a 、 NH ＝ No /a3 と表される。
宇宙の物質が水素のみで電子は全て水素原子の電離から供給されると仮定
する。サハの式を解いて電離度Ｘ＝ NII / （ NI ＋ NII ）がＸ＝０．９９、０．９、０．５、
０．１、 ０．００１となる赤方偏移Ｚを求めよ。ａ＝１／（１＋Ｚ）である。
問題６ ２００５年１１月２８日 提出 ６ A または６ B １２月５日
６ B. 巨星大気の典型的な値として、
ＰＯＨ＝１０３ｄｙｎ / ｃｍ２、ＰＯＯ＝１ｄｙｎ / ｃｍ２、ＰＯＣ＝０ .５ｄｙｎ / ｃｍ２ を考える。
ＰＨ、ＰＯ、ＰＣ、ＰＨ２、ＰＯ２、ＰＣ２、ＰＯＨ、ＰＣＨ、ＰＣＯ、ＰＨ２Ｏ
をＴ＝６０００，５０００，４０００，３０００、２５００，２０００、１５００ １０００Ｋ
に対し計算し、表とグラフで示せ。
グラフの縦軸は log P(dyn/cm3), 横軸は T （ K) とする。
解法もレポートに書き込むこと。
１０変数の連立式なので、一般には、
（１）適当な初期値からスタートして、
（２）ヤコビ行列の逆行列を作り、
（３） F1=0, F2=0, … F9=0, F10=0 が満たされるまで、ＰＨ、ＰＯ、．．．ＰＨ２Ｏを
変えていくのだが、逆行列がうまく求まらない場合があるので注意が必要。
例えば、ＰＨ、ＰＯ、ＰＣ のみを独立変数と考え、残りの分圧は平衡式から厳密
に求め、 F8 ＝０ , F9 ＝０ , F10=0 を満たすＰＨ、ＰＯ、ＰＣ を探す方法などもある。
Ｆ１＝ＰＨ２ーＰＨ２ / ＫＨ２、 F2 ＝ＰＯ２ーＰＯ２ / ＫＯ２、…、
F10= ＰＯＯー（ＰＯ＋２ＰＯ２ ＋ＰＯＨ＋ＰＣＯ＋ＰＨ２Ｏ）とするとき、
ある温度 T で与えられたＫＨ２、ＫＯ２、…、ＰＯ O に対して、
F1=0, F2=0, … F9=0, F10=0 となるＰＨ、ＰＯ、ＰＣ、．．．ＰＣ
Ｈ、ＰＣＯ、ＰＨ２Ｏ
を求める問題である。
６ B のヒント
