以連結為核心的數學教學--- 兼談臺灣國小數學課程的改革

鍾 靜臺北教育大學數學教育研究所教授

臺灣教育部課程與教學輔導組數學領域召集人

壹、數學教學的國際趨勢

貳、臺灣國小數學課程的改革

参、臺灣九年一貫數學課程的新主題～連結

肆、連結在數學教學上的實踐

伍、國小階段數學教學的重要議題

壹之一、 Niss(1996) 的分析

世界上大部份國家的國小和國中，近二十年來數學教育目標已被擴大要考慮數學本質（ the essential aspects of numeracy）以及數學讀寫能力（ mathematical literacy），其共同希望達成的目標是：

1. 要為每位兒童提供內容充實的數學教育，不能只考慮未來的社會菁英分子。

2. 要提供不同教與學的機會給個別的學習者，注意學生的個別差異。

3.要強調學習者的態度能夠參與及合作。

壹之一、 Niss(1996) 的分析( 續 )

4. 要評估兒童的數學潛能，以達成實行較高層數學的教與學目標。

5. 要聚焦在個別學習者的需求和興趣上，是為在個人和社會生活方面的活動參與做準備。

6. 要發展兒童的自重和自信，能夠獨立和自動的思考，培養探索和研究的態度，產生經驗和愉悅…等等。

7. 要強調兒童的數學活動，而非被動的接受知識。8. 要強調數學的過程，如：探究、推測、解題、發表、證明…等，不能僅重結果，如：概念、結論、方法、技能…等。

9. 要培養數學的思考和創造力，強調數學是人類活動累積五千年的生活成果。

壹之一、 Niss(1996) 的分析( 續 )

10.要付予兒童去定義、提出、形成和解決數學問題，不論在純數或應用數學方面。

11.要付予兒童去瞭解和鑑賞數學本質。

12.要付予兒童使用數學，對數學外（ extra-mathematical）情境產生模式和模式化意義。

13.要付予兒童去分析和判斷數學外脈絡的數學使用。

14.要提供學生對社會和文化中數學角色產生印象和洞察。

15.要塑造兒童精通於有關數學的資料處理。

從這 4個 (1~4 點 ) 外在目標和 11 個 (5~15 點 ) 內在目標可看出幾乎都以兒童或學生為重，從這些目標也可看出數學教學的趨勢在重視學習者個體、數學知識形成的過程，與社會文化活動的關連；除了數學知識外，數學課程是有很多的情意、文化、社會目標。

壹之一、 小結

在學習方面指出：學生應該用理解的方式來學習數學，積極的在過去經驗與先前知識上建立新知；在教學方面指出：有效的數學教學必須瞭解學生知道了什麼和需要學習什麼，才能加以刺激和鼓勵他們學習得更好。

壹之二、美國數學教師協會（ NCTM ， 2000 ） 出版的「學校數學的原則與標準」

1. 從只是個別學生聚在一起的教室轉變成一個數學學習的社群。

2. 從教師提供正確答案轉變至數學學習是建基在邏輯及驗證上。

3. 從強記計算過程轉變至運用數學推理過程。4. 從機械式的尋找答案轉變至多運用推想、創意和解題技巧。

5. 從把數學當作一堆獨立的概念和程序轉變至把數學概念和應用連接起來。

建議教師營造學生理想的教學環境是：

壹之二、美國數學教師協會 (NCTM ， 2000) 出版 的「學校數學的原則與標準」 (續 )

主要精神有以下兩個重要的觀點 (Freudenthal， 1991) ：

1.數學必須與真實情境連結。

2.數學是人類的活動。

強調「引導、再發明、數學化」。

Treffers(1991) 指出包含「真實情境的數學化」（水 平數學化）和「數學知識的數學化」（垂 直數學化）。

壹之三、荷蘭的真實數學教育 (RME) 理論

Shimada(1977)指出逐漸走向強調個別學生的發展及能在數學討論中提出問題和解決問題，學生應能夠數學化一個情境和處理它，並和別人合作去解決一個數學問題。

基於此目標，整個教育活動： 1.使學生現在的學習連接到未來的學習，強調學生在活動中 有自治的能力。 2.發展和整合數學知識的本質。 3.教師能在教室中做適當的決定。

壹之四、日本數學教育趨勢

貳之一、 臺灣數學課程改革的原因2003 年九貫正綱

( 審定本＆部編本 )

銜接高中銜接高中

數學內容知識數學內容知識 1975 年版國小 ( 統編版 )

1985 年版國中 ( 統編版 )

淺化簡化淺化簡化 && 回應趨勢回應趨勢

1993 年版國小 ( 審定本＆部編本 )

1994 年版國中 ( 統編版 )

國民教育國民教育 && 回應教改回應教改

2000 年九貫暫綱 ( 審定本 )

貳之二、 臺灣數學課程改革的重點與特性版別 重點 備註

1975年版國小 具體物操作 去單位算式 怎樣解題（1987年改編本高年級）

全面配發教具

1993年版國小

兒童法（具體活動）→專家法（形式運思） 學童數學認知發展 社會互動的教學

落實兒童本位

1994年版國中 重視解題能力

2000年九貫暫綱 內部連結（內容、經驗） 外部連結（生活、其他領域） 學童思考型態與學習方法

國民教育 時數減少

2003年九貫正綱

演算能力 抽象能力 推論能力 溝通能力

銜接高中 時數不足

貳之二、 臺灣數學課程改革的重點與特性( 續 )

版本 特性 能力指標關鍵用語 備註

國小數學1975年版

論理結構知識導向教具操作

—

國小數學1993年版

心理結構知識建構認知發展

—

九年一貫數學暫行綱要（ 2000年版）

心理結構能力培養學習歷程連結核心

經驗、察覺、嘗試理解、理解 /瞭 解 / →認識（知識形成過程：經驗

→ →察覺 理解 內化）

認知外顯知識內隱

九年一貫數學正式綱要（ 2003年版）

論理結構知識導向理解能力熟練能力

─認識 強調觀察、個例、經驗、 歸納的學習初期階段─理解 強調概念形成、練習、驗證

、推廣的中期階段─熟練 在於形式與解題程序之流暢

知識外顯認知內隱

由形式到落實的兒童本位 由教師中心轉為學生中心 由模仿到形塑的數學知識 由知識傳遞轉為認知發展 由講述到討論的數學教學 由單向講述轉為群體討論 由內容到過程的教材設計 由紙筆到多元的教學評量

貳之三、 臺灣數學課程改革的特點

参之一、連結的定位

1975年版 1993年版 1994年版 九年一貫課程 版別

內容 國小 國小 國中 暫行綱要 正式綱要

數與量 數與計算 數的概念 數與量 數與量

實測與計算 量與實測 -數與計算

集合與關係 數量關係 -量與實測

-關係

圖形與空間 圖形與空間 平面幾何 圖形與空間 幾何

座標幾何

代數 代數 代數

統計與圖表 統計圖表 資料的整理與機率 統計與機率 統計與機率

術語與符號 術語與符號

教材綱要或主題

連結 連結

各版別數學課程的教材綱要或主題重點彙整表

數學領域有連結 (connection)這一主題。其包括：內部連結和外部連結。學生的數學學習要藉由內部的連結來掌握數學的方法，增進數學的素養；並藉由外部的連結來廣泛的應用數學，加強數學式的思維。

連結包括：察覺 (recognition)

轉化 (transformation)

解題 (problem solving)

溝通 (communication)

評析 (evaluation)

参之二、連結的內涵

参之三、連結是過程目標

NCTM（ 1989）：解題、溝通、推理、聯結

NCTM（ 2000）：解題、溝通、推理、聯結、表徵

1993年版課程之精神：解題、溝通、推理、聯結

九年一貫課程之核心：連結

「長度」是學童在日常生活中隨處可見，最容易在生活中獲得經驗的一種量，也是學生在學習歷程中最早學習的量。長度教材的教學歷程依序是「長度的認識」、「長度的直接比較」、 「長度的間接比較」、 「長度的個別單位比較」、「長度普遍單位的認識與測量」、「長度普遍單位間的化聚」。

肆之一、以內部連結強調認知發展

《長度篇》

「時間」包含「時刻」和「時間量」兩個概念。「時刻」是一個時間點，「時間量」是指兩個時刻間經過的時間有多少？在小學階段，時間的教學可以分為五個歷程：「時間的認識」、「時刻的報讀」、「時間普遍單位的認識」、「時間量的化聚」與「時間的計算」。

肆之一、以內部連結強調認知發展( 續 )

《時間篇》

國小數學有關「小數」的教材與教學內容，分布在三至六年級。小數教材的分成四大主題：1. 小數的數概念，包括： 小數與整數、分數的關係。 小數的數詞序列與位值概念。

2. 小數的加減，包括： 解決小數的加減，可透過換成分數策略、合成分解策略、 換成同單位策略，以及使用多單位策略來解題。。 教學中，可利用定位版，採用多單位策略，進行直式運 算。

《小數篇》

肆之一、以內部連結強調認知發展( 續 )

肆之一、以內部連結強調認知發展( 續 )

3. 小數的乘法： 小數乘以整數，採用連加策略、合成分解策略，以「最小 單位」將被乘數換成整數運算及多單位策略來解題。

小數乘以小數，可以透過分數乘法運算來理解，並比照整 數乘法算則，引入小數乘法的直式算則。

4. 小數的除法： 包含除問題，透過連減策略、先乘後減策略、被除數和除 數同時換單位，及被除數和除數同乘以 10（或 100 ）倍的 方式來解題。

等分除問題，可運用將等分除問題，轉換為包含除問題與 將被除數視為多單位等策略解題。

肆之二、以外部連結強調情境設計

以外部連結為主，藉由時間概念的教學實例，介紹「生活與數學連結的教學」，讓學生學會「從生活情境中引入相關的數學教學問題，藉由這些數學問題發展數學概念」 ，並「應用所獲得的數學概念解決生活問題」。

《生活與數學》

國民中小學數學教師專業成長網： http://math.naer.edu.tw/

肆之三、以連結呼應統整課程

數學內部的連結

數學外部的連結

社會互動的教學

前後經驗

內容之間

內容與生活

內容與社會

目標之間

師生之間

肆之三、以連結呼應統整課程( 續 )

統整教學 —數與計算、量與實測、代數、圖形與空間 /幾何、

統計與機率、其他 數學繪本 資訊融入數學教學 數學步道 數學園遊會

Math-Seed 網站： http://mathseed.ntue.edu.tw/

都是水惹的禍 &惑－容量概念的發展

洪雪芬　高雄市博愛國小 /示例國小篇（二）數 學 月 教 學 活 動 規 劃

年級 活 動 名 稱 生 活 情 境 數 學 教 學 重 點

一 誰先裝滿 玩水活動 容量的初步認識

二 大家來喝下午茶 喝下午茶 容量的認識、容量的直接比較

三 瓶瓶罐罐總動員 收集礦泉水瓶 使用以分公升為刻度單位工具

四 水龍頭的告白 洗手活動 容量的間接比較 容量的個別單位比較與實測

五 小小精算師 礦泉水價格調查 精算買水費用

公升、分公升的化聚 實測及估測

六 馬桶用水知多少 馬桶用水實驗 公秉、公升的化聚 實測及估測

都是水惹的禍 &惑－容量概念的發展（續）

課程統整設計架構

一年級：誰先裝滿 容量的初步認識

二年級：大家來喝下午茶 容量的認識與直接比較

三年級：瓶瓶罐罐總動員 使用以分公升為刻度單位工具

四年級：水龍頭的告白 容量的間接比較

容量的個別單位比較與實測

五年級：小小精算師 使用以公升為刻度單位工具 公升、分公升與毫公升的化聚

六年級：馬桶用水知多少 認識公秉的意義

以公秉為單位，進行實測及估測

和資訊教育做連結

和環境教育做連結

和資訊教育做連結

和環境教育做連結

與數學領域內部（數與計算、統計）做連結

探訪校園數學的秘密趙曉燕、林宜靜　台北市仁愛國小 /示例國小篇（四）

各活動之主題能力與內部連結

探訪校園數學的秘密（續） 趙曉燕、林宜靜　台北市仁愛國小 /示例國小篇（四）

各活動之外部連結

橄欖樹吳秀蓮　新竹縣三峰國小 /示例國小篇（四）

主題課程架構

科博館一日遊 --建立時間概念郭換枝　彰化縣田中國小 /示例國小篇（四）

主題：科博館一日遊N-2-9能報讀（鐘面上的）時刻，以及點算兩時刻間的時間，能理解 24 時制並應用在生活中

數學內部的連結◎ 統計數與機率D-1-2能報讀日常生活中常見的直接對應表格。D-2-5能報讀生活中常見的交叉對應表格。◎數與量N-1-3能理解加法、減法的意義，解決生活中有關三位數以內的加、減法問題，並運用電算器加以檢驗。

活動目標活動一：能閱讀資料並解讀資料中的資訊。活動二：能判讀資料，應用在實際生活中。活動三：能點數兩時刻間的時間，能理解 24 時制。活動四：能以日為單位，點數兩日期間的日數。

與其他領域之外部連結◎自然與生活科技5-2-13、 7-2-0-2◎ 藝術與人文 2-2-3、3-2-13◎ 語文 B-2-1-9

連結主題察覺： C-R-1 轉化： C-T-3、 C-T-4 解題： C-S-5 溝通： C-C-3、 C-C-6、 C-C-8 評析：

C-E-1

從中國字學線對稱甘麗珍　國北師附小 /示例國小篇（五）

從中國字學線對稱

主題能力S-2-7 能辨認平面圖形的線對稱關係

活動 1：能利用日常生活中常見的圖案，學習辨認平面圖形的線對稱關係。（數學， 80分鐘，連堂完成）活動 2：能利用摺剪紙的線對稱特性，學習設計並摺剪出線對稱的中國字。（藝術與人文， 80分鐘，連堂完成）活動 3：能相互欣賞同儕間的作品，經由描述、分析與討論的方式，能清楚此作品的美感特徵與視覺要素。（藝術與人文， 40分鐘）

與其他領域的連結【國語文】D-2-6-6-2【藝術與人文】1-3-1 、 1-3-2 、 2-2-7

【連結】主題＊察覺 C-R-1、 C-R-2、 C-R-4 ＊轉化 C-T-2 ＊溝通 C-C-8 ＊評析C-E-3

俗俗呀賣，有影嘸！蔡寶桂　新竹縣新湖國小 /示例國小篇（三）

售屋廣告相關統整題材

具體活動→形式運思

伍之一、兒童本位的教學歷程

形式運思高

中

低具體活動

兒童法→專家法

概念 /理解 vs. 熟練 具體活動 vs. 教具操作 師生互動 vs. 生生互動 群體討論 vs. 合作學習生活情境 vs. 資訊融入

伍之二、有意義的教學歷程