資優教育

中學篇剪摺拼的數學

「抽離式校本數學資優培育計劃系列」

教育局資優教育組

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「抽離式校本數學資優培育計畫系列」 中學篇

剪摺拼的數學

目錄 頁數

序 2

1. 數學資優生的特徵及培育策略 3

2. 數學資優培育計畫學生甄選方法 11

3. 教學設計示例

3.1 引言 19

3.2 對資優學生的意義 20

3.3 課程內容簡介 21

3.4 單元一：一刀「剪」--- 發現剪紙背後的數學 23 學生工作紙（一） 24 學生工作紙（一）參考答案 33

3.5 單元二：組合「摺」紙的數學---以組合摺紙探究多面體 41 學生工作紙（二） 42 學生工作紙（二）參考答案 46

3.6 單元三：「拼」圖的數學---拼圖遊戲的幾何 49 學生工作紙（三） 51 學生工作紙（三）參考答案 63

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序

教育局課程發展處資優教育組在 2009-2010 年度與多間中學協

作，設計及試行抽離式校本數學資優培育計畫「剪摺拼的數學」。試教

效果理想，而相關教學材料現輯錄成教材套，希望為中學同工提供一

些抽離式校本數學資優培育計畫的參考資料及建議，方便教師在學校

推行資優培育計畫。本教材的主要內容包括課程設計及推行策略、教

案及工作紙。

在此鳴謝香港真光中學譚志良老師協助設計教材及進行施教。同

時鳴謝以下學校及有關老師協助試行是次培育計畫的全部或部分單

元：

中華傳道會安柱中學 余家明老師

循道中學 梁子傑老師

聖公會白約翰會督中學 鍾廷楷老師 陳國君老師 蘇悅貞老師

(按校名筆畫序排)

如對本教材有任何意見和建議，歡迎以郵寄、電話、傳真或電郵

方式聯絡教育局課程發展處資優教育組：

地 址：九龍塘沙福道 19 號教育局九龍塘教育服務中心

東座 3 樓馮漢柱資優教育中心

電 話：3698 3472

傳 真：2490 6858

電郵地址：gifted@edb.gov.hk

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1. 數學資優生的特徵及培育策略

數學資優生有其獨特的心智特徵和學習需要，教師設計校本數學

資優培育計畫時，必須加以留意。本章主要介紹數學資優生的心智特

徵和學習需要，並提供一些數學活動及課題策略，供教師參考。

何謂數學資優

以下簡介數學資優生的常見特徵，相信對了解和辨別數學資優生會

很有幫助。

學者House (1987)認為數學資優生常有以下特徵：

較早顯現對數量方面的好奇心及理解力；

能合乎邏輯地思考，並能以符號思考數量關係及空間關係；

能察覺及推斷數學規律、結構、關係及當中的運算；

能分析、演繹及歸納地進行推論；

能縮短數學推理過程，並尋找合理而較少步驟的解題方法；

數學活動中，思考過程富於彈性和可逆性；

能記憶數學符號、關係、證明、解題方法等；

能將學習轉移到新情景；

解決數學難題時顯現出幹勁和堅持；

從數學觀點看這個世界。

除此之外，其他學者還提出數學資優生常有以下特徵：

有較高提問能力，能提出數學結構較複雜的問題 (Ellerton, 1986)；

能彈性及創意地處理數學問題，而非因循舊有方法 (Miller, 1990)；

能創意地解決非常規的/不常見的數學問題 (Krutetskii, 1976);

(對數學)有極大的興趣和熱誠 (Renzulli, 1998).

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數學資優生的學習需要

數學資優生學習能力較強，並喜歡深入地思考問題。他們在著重

操練的傳統課堂上容易感到沉悶，對學習容易失去興趣，以致潛能或

未能充分發揮。

從日常的課堂觀察，我們不難發現即使部分數學資優生能在傳統

考試中取得高分，也不等於他們的才華已經盡展；他們的能力其實可

以遠超傳統課程的要求，只是他們沒有足夠的表現和學習機會罷了。

此外，資優生一般都喜歡與其他資優生切磋砥礪，互相激發思維，

從中的學習可以是很有深度的。

基於數學資優生的特徵，及觀察到的資優生學習需要，我們建議

下列校本資優生培育策略：

校本數學資優生培育策略----抽離模式

校本數學資優生培育模式，包括常規課堂(regular classroom)及抽離

(pull-out) 模式。本教材主要是針對抽離模式而設計的。

學校教師在考慮各種照顧資優生的模式時，可嘗試把一些數學能

力較強的學生集合成一小組，給與更進一步的數學思維能力訓練。另

外亦可鼓勵學生參加一些公開的數學比賽，讓數學資優生有多些切磋

砥礪、互相激發思維的機會。

可考慮的活動或課題策略

以下列舉一些活動或課題，供設計抽離式校本數學資優培育計畫

時作為參考：

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(1). 數學探究 a) 日常生活中的數學探究

數學家經常從日常生活現象尋找規律，並以數學公式或理論將之握

要地表達出來，最後當然還要以嚴謹的方式証明有關公式及理論是正

確的，能夠應用於一般情景。數學家在這過程中需要運用很多重要能

力，包括觀察、概括、數學符號運用、表達、抽象化、概念化、推理、

歸納和演繹等。因此我們應該為數學資優生提供足夠的機會，讓他們

發展足夠的智能條件進行這類數學家經常探究的活動。

校本資優課程可提供機會，讓學生探究周遭生活現象，尋找箇中規

律，表達成數學公式或理論，並嘗試證明。嚴謹證明通常是最難的，

假如同學未能做到，可要求他們解釋為何數量間會有此等關係，並容

許他們口頭作答或做實驗展示，這可給他們思考公式深層意義的機

會，從而給自己一個信服的理由解釋數量之間的關係；雖然或許不太

嚴謹，但某程度上這已提供了一種公式的「証明」或「解釋」。

b) 抽象世界中的數學探究 除了日常生活中的數學探究外，教師們還可以讓學生進行抽象世界

中的數學探究；即問題未必直接和日常生活有關，但卻充滿探究趣味。

例如，讓學生透過實驗和觀察自行發現一些速算公式，又或代數、幾

何、數論方面的定理。

舉例說，教師可要求學生計算一些個位為 5 的兩位數自乘(如

25x25，35x35，45x45 等)，看看能否發現有關的速算公式；又或給學

生試畫一些一筆畫及非一筆畫，從中發現一筆畫的充要條件；又例如

可給學生不同長度的竹籤製作不同形狀的四邊形，從中推論出兩個四

邊形全等 (congruent) 的充要條件。

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(2). 跨科學習

資優生擁有較佳的智能條件，所以較能處理多層面(Multi- facets)的

學習工作，諸如牽涉多個變量或因素的複雜難題、跨科學習等。數學

和許多學科都關係密切，所以數學資優生很適宜進行各類跨科學習，

例如:

數學與科學---例如估算人體細胞或其他生物細胞的數量，或利

用圖像及統計技巧處理疾病、天氣、人口密度等數據，從而找

出不同天氣、人口密度等因素與疾病發生率的關係；

數學與經濟---例如利用數學探討恆生指數，或其他有趣的經濟

現象；

數學與社會 --- 例如利用人口數據，研究男女比例失衡衍生的

社會問題，或其他學生有興趣的社會現象。

數學與地理---例如利用數學實地測量或估算山的高度、河的闊

度或平原的面積；

數學與天文---例如利用數學測量或估算月球的直徑，或其他天

體的距離；

數學與資訊科技---例如利用電腦程式研習及設計分形幾何藝術

圖案；

等等

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(3). 數學解難及數學名題

數學解難是很多數學資優生樂此不疲的活動，所以數學資優培育計

畫少不了數學解難的成分。許多趣味數學難題都可以作為校本數學資

優培育計畫的教材，例如著名的七橋問題、河內塔、古希臘三大幾何

作圖難題、哥德巴赫猜想、希爾伯特的 23 個數學難題等，都是深具啟

發意義的好題目。即使學生最後也未能完全破解這些數學難題（通常

也會如此！），他們在過程中不斷的思考和探索，已令他們大開眼界獲

益良多。

高質素的數學比賽歷屆題目，也是寶貴的教學資源，教師可因應學

生的興趣和能力，選擇一些合適的難題挑戰他們。

解難過程可以是個人的，也可以是小組的。解難後，最理想是讓學

生有匯報解難策略的機會，及讓其他學生就解難策略提問或給與意

見。這可增加課堂互動，訓練學生表達及提問，並提升學生批判思考

能力。

(4). 數學應用

一般而言，數學資優生擁有較佳的知識轉移能力(knowledge

transfer)，能將課堂學到的知識，靈活運用到不同情景。所以資優培育

計畫可多點要求學生將所學應用到不同層面，特別是日常生活上。例

如，學生在常規課堂學習統計學，可能只限於閱讀簡單統計圖，或計

算簡單平均值，那麼資優課可按此進一步提高要求，讓學生猜猜男同

學還是女同學較喜歡打籃球（或其他學生感興趣的話題），然後以小組

研習方式搜集數據印證或否證自己先前的想法，即進行類似假設檢定

(hypothesis testing)的工作。這可讓學生將所學靈活運用，並體驗將知識

轉移到實際情景的樂趣 。又例如，學生在常規課堂學過三角學

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(trigonometry)，但都只是計算教科書上的習題，那麼資優培育課可進

一步要求學生到戶外實地測量大廈的高度或海港的闊度，讓學生將三

角學應用到日常生活上。

(5). 獨立學習

古語有云：:「授人以魚，三餐之需；授人以漁，終生之用」，這對

資優生尤其重要，因為他們通常學習胃口奇佳，無論你「教」多少給

他們，他們也可能未感滿足，所以倒不如教他們一些自學的方法。例

如，可要求他們搜尋一些數學家的生平及貢獻；又或揀選一些程度較

深但感興趣的數學書進行自學；或可要求他們設定一些問題進行獨立

研究。凡此種種，都可以幫助數學資優生發展正面的自學態度，但有

一點值得注意：教師必須安排機會讓學生匯報其學習成果，例如要求

他們將所學製成研究報告、圖畫、模型或實作示範等，又或進行口頭

匯報，這可給予他們展示研究成果的機會，從而肯定其努力。匯報對

象方面，可以是老師、其他資優生或數學方面的專家學者，以便得到

不同的提問和回饋，進一步刺激他們的思考。

(6). 估算

估算需要創意、分析、解難、批判等能力，數學資優生應該盡量發

展這方面的智能條件以進行高層次的思維活動，所以校本資優計畫可

考慮加入不同形式的估算活動。

當很多數學課題要求計算準確時，估算可說是一種很另類的經驗。

估算許多時都是策略重於答案的。例如，估算某同學的頭髮數量，除

非有時間及心機將頭髮逐一數算，否則差不多無法知道確切答案。而

事實上現實生活中，許多時也不必知道確切答案，只需一個合理的近

似值便足夠，於是乎快捷、可行、符合經濟效益而又盡量準確的估算

策略是需要的，而這便要借助高層次思維能力了。此外，估算活動可

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擴闊數學資優生的眼界，讓他們看到數學除了有精確的一面，也有模

糊近似的一面，這對提升他們數學實際應用方面，很有幫助。

(7). 空間、圖像、形象化、幾何

數學有頗大部分的內容（如幾何、立體、圖形、旋轉、軌跡等），

是和空間、圖像及形象化有關的，所以空間感及形象化的能力很是重

要。此外不少數學家也認為，高維度空間（即三度或以上空間）的想

像力是一項很重要的數學能力。所以校本資優計畫可考慮加入這些方

面的訓練。

要加強學生空間及形象化方面的能力，圓規作圖、幾何解難題及証

明題、立體空間解難、實地測量、各類圖象化策略（如溫氏圖、統計

圖、變量圖等），甚至一些兒童玩意如剪紙、摺紙、拼圖遊戲等，都是

培育資優生的好材料。如何透過剪紙、摺紙及拼圖遊戲訓練學生空間

及幾何能力？本教材第 3 章會為此提供示例。

(8). 概率及統計

概率及統計這兩個課題，當中的探究、分析、解難及批判思考的元

素很豐富，和現實生活關係也很密切，很適宜作為校本數學資優培育

計畫的題材。

校本培育計畫可考慮進行各類有趣的概率實驗、用統計原理探究概

率的實驗數值和理論數值、建構數學模型、進行統計調查、分析統計

數據、進行假設檢定、基於統計結果提出改善建議等等。有些活動可

考慮和公民教育、環保教育、健康教育等呼應，加強學習的意義和趣

味。

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(9). 高等數學

經驗告訴我們，初中甚至小學的數學資優生，是有能力學習一些高

等數學的課題的，例如微積分、排列和組合、概率、數論、圖論、分

形幾何、拓撲學等。校本資優培育計畫給予資優生一些接觸高等數學

課題的機會是好的，可以擴闊他們的數學視野，深化他們的數學思維。

不過，最初階段宜減少單向教授諸如定義、公設、推論、嚴謹証明等

較枯燥的東西，而應採用多些學生為本的學習模式，使學生有較佳學

習動機。

學生為本的學習模式可以由趣味的遊戲、難題或活動開始，讓學生

探究有關規律，匯報發現，然後才教授相關學理作為深化及整固。例

如，教授圖論，可由趣味的一筆畫遊戲開始，讓學生小組探究哪些圖

形可以一筆畫成，哪些不可以，並歸納出一筆畫的特點，然後小組匯

報及同學就發現互相質詢，最後老師才教授相關學理作為深化；於適

當時候教授或讓學生閱讀有關圖論的數學發展史及歷史名題也是好

的，可以補充有關課題的歷史背景，增加學習的意義和趣味。

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2. 數學資優培育計畫學生甄選方法

由於我們介紹的課程材料是以抽離小組形式應用的，因此當中牽涉

到甄選學生的過程。只有採取準確合適的甄選方法，才可以為有特別

學習需要的資優學生安排到合適的課堂中學習。以下篇幅將會介紹如

何在學校甄選校本資優培育計畫的學生，並介紹「剪摺拼的數學」的

設計理念和教學內容。

校本資優培育計畫可以採用多元化、多渠道的學生甄選方式，

以盡量網羅有潛質的學生，減少漏網之魚。可以考慮的渠道包括：

a) 數學成績；

b) 老師推薦；

c) 學生興趣/學生自薦；

d) 家長推薦；

e) 學生在非常規問題或實作評量中的表現；

f) 學生在數學比賽中的表現；

等等。

藉著多元化、多渠道甄選學生的方式，教師也可更全面了解學

生的能力及性向，於是更能挑選合適的學生參加有關課程。

以下是某所與我們協作的學校在抽離式校本資優培育計畫「剪摺

拼的數學」中的甄選學生方式，僅供參考：

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抽離式校本資優培育計畫甄選學生方式示例：

進行數學資優培育計畫前，我們先要進行學生甄選。學校通過

多種方法招募學生進行面見(小組解難)，甄選過程共分為三個階段，

以下逐一介紹。

課程對象：

數學範疇具備高能力的初中學生

第一階段：(多元化招募方法)

初選準則(學生意願及日常學習表現)

學生自薦

( 派發自薦表格與全級學生，學生填寫參加課程意願 )

老師推薦

( 推薦重點：

1. 具豐富學科知識

2. 解難能力強

3. 主動學習數學

4. 對數學學習活動有高度投入感 )

家長意願

學生數學科成績

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第二階段：(實作評量)

「小組解難」評估學生的表達能力、推理解難能力、空間及

幾何能力，並觀察學生是否勇於嘗試及高度投入。

( 被挑選的學生須符合以下特質：

1. 具學科知識

2. 解難能力強

3. 具空間及幾何能力

4. 勇於嘗試

5. 高度投入 )

註： 1. 教師根據第一階段招募情況及課程學生人數，自行決定

進入第二階段的學生數目。

2. 「小組解難」的題目設計，重點在於考核學生是否具

備足夠的能力（包括創造力、解難能力、運算能力、

空間及幾何能力、表達能力等），以應付「數學資優培

育計畫」的要求。

3. 於第二階段甄選出 XX 名(通常不多於 20 名)學生正式

成為「數學資優培育計畫」的學生。

第三階段：

派發取錄通知書

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小組解難程序、評分準則及評分記錄表

以下是進行「小組解難」面見時有關程序示例。

XXX 中學

二零 xx 至二零 xx 年度「數學資優培育計畫」

小組解難程序

面試日期：x-x-xx (星期 x) 面試導師：xxx 老師、xxx 老師、xxx 老師、xxx 老師 面試時間：x：x a.m. – x：x a.m. 面試地點：x/F xx 室 所需物資︰ 1. 「小組解難」問題 2. 「小組解難」評分紙 複選流程： 學生進行甄選，程序如下：

時間 程序

x:x a.m.-x:x a.m.

老師於 x:x a.m.講解「小組解難」甄選程序。

x:x a.m.-x:x a.m.

第一及第二組學生進行「小組解難」測試，限時 30 分鐘。首 10 分鐘單獨思考，次 10 分鐘小組討論，接著 5 分鐘匯報結果，餘下 5 分鐘老師向各同學提問。

x:x a.m.-x:x a.m.

安排第三及第四組學生到 x/F 等候進行測試。

x:x a.m.-x:x a.m.

第三及第四組學生進行「小組解難」測試，限時 30 分鐘。首 10 分鐘單獨思考，次 10 分鐘小組討論，接著 5 分鐘匯報結果，餘下 5 分鐘老師向各同學提問。

餘下程序同上

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工作安排：

「小組解難」：

1. 每組學生分別由 2 位導師一同面試及評分。

2. 導師評審時需觀察學生在整個 30 分鐘解難過程的表現，從中評估學生的表

達能力、空間及幾何能力、推理解難能力、勇於嘗試態度、投入感等，並

就評估表列出的準則給分及記下學生的特點。

3. 面試完成後，所有導師商討評審結果。

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「小組解難」問題示例

Xxx 中學 二零 xx 至二零 xx 年度 「數學資優培育計畫」

「小組解難」問題

回答問題時須注意以下事項：

（1）細看下列問題，並以文字和草圖輔以口頭作答。

（2）測試時限共 30 分鐘：

a) 10 分鐘單獨思考問題

b) 10 分鐘與組員討論問題

c) 5 分鐘匯報結果(每人須發表意見)

d) 5 分鐘老師向各同學提問

（3）可利用紙筆協助解決問題。

問題一：

一件立體，它從上面看和從前面看都是下圖的樣子。

試想一想它的樣子並畫出來(答案不止一個呢！) ，稍後向老師解釋你的構想。

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問題二：

以下有一些正方形，第一個正方形已被分割成 4 個等份(面積及形狀均相等)。

1. 請示範如何將一個正方形分割成 5 個等份（面積及形狀均相等）。

2. 請示範如何將一個正方形分割成 5 個面積相等的部份（當中有 4 個部份必須形狀一樣）。答案不止一個！能舉出越多分割方法越好。

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「小組解難」評分紙示例

Xxx 中學 二零 xx 至二零 xx 年度 「數學資優培育計畫」

「小組解難」評分紙

學生姓名： 編號： I. 請在每個評估項目後面，圈出最能反映該學生在整個解難過程中的表現的數字。

評估項目 很

弱

弱

強

很

強

不

適

用

1. 理解問題 1 2 3 4 x

2. 數學能力：

a. 計算 1 2 3 4 x

b. 邏輯推理 1 2 3 4 x

c. 代數 1 2 3 4 x

d. 幾何/空間 1 2 3 4 x

e. 解策略運用 1 2 3 4 x

3. 溝通/表達能力 1 2 3 4 x

4. 勇於嘗試 1 2 3 4 x

II. 請記下其他你觀察到的該學生在解難過程中的特點：

(完成「小組解難」面試後，所有導師商討評審結果，把各學生的解難表現加以考慮，從而選出所需學生。)

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3. 教學示例 3.1 引言

本教材名為「剪摺拼的數學」，當中包括三個課題，分別是剪紙、

摺紙和拼圖，由於題材有別於日常數學課堂內容，所以只要對數學有

興趣的中學生，不論年級，都可以從中受惠，擴闊眼界。不過，由於

部分內容涉及幾何證明、圓的特性和較仔細的代數步驟，所以如果想

試用於中一、二學生，則老師可能要在教學中適時在某些數學知識或

技巧上多加一點提示和指導。

「剪摺拼的數學」中的三個課題單元，都是由日常的兒童玩意出

發，讓資優學生從趣味的實作解難中，鍛煉高層次思維，探究「小玩

意」背後的「大數學」，從而發現及了解數學和世界的連繫。每一課題

單元的設計都包含一些延伸元素，鼓勵能力較高的學生對某些題目作

進一步探究，或運用所學的知識，創作自己的作品。

「剪摺拼的數學」希望把數學藏於趣味的活動中，讓學生一步一

步發掘出來。具體的編排如下：

透過單元一的剪紙活動，學生加強了對四邊形屬性和分類的了

解，並思考對稱，處理角度和形狀的連繫，更進一步反思幾何的變換。

透過單元二的摺紙活動，學生重溫正三角形的幾何特性，並運用

這些特性以摺「組件」的方法製作不同的多面體，進而分析甚麼是「正

多面體」。當中，學生有機會多作細心觀察，並領會清晰定義的重要。

透過單元三的一系列有關分割和拼砌圖形活動，學生可以一步一

步了解有趣的「鮑耶-哥溫定理」。在過程中學生的代數和幾何能力都得

到鍛煉。

總的來說，「剪摺拼的數學」希望透過遊戲的趣味，加強學生面對

數學難題時的持久力；也希望透過遊戲背後的數學，拓闊學生的數學

眼界，並提升他們的空間感、圖像處理及幾何能力，並引發學生學習

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數學的興趣。

和我們協作的學校，一般以「抽離模式」試行這個教材：即把一

些數學能力較強及對數學較感興趣的學生集成一小組，於課後或週末

給與有關訓練(例如每週一節，每節 1-2 小時)。也有一些老師選取了這

教材中的部分內容，在正常課時作全班式教授，例如在數學課教授「立

體圖形」時，順道讓學生利用本教材單元二的摺「組件」方法製作多

面體，來深化學生對多面體的認識。

本教材除文字外，還輔以錄像及教學軟件示範，方便讀者了解各

單元提及的剪摺拼方法。詳情可到以下連結：

http://resources.edb.gov.hk/gifted/GE_math/pullout/cut_fold_jigsaw.html

3.2 對資優學生的意義

如上述，「剪摺拼的數學」題材有別於日常數學課堂內容，所以只

要對數學有興趣的中學生，不論年級，都可以從中受惠，拓闊眼界。

不過，本教材整體設計仍較著重資優學生的特別需要，以它作為培育

資優生的題材，會是十分適合，原因包括：

現時學校常規數學課堂，沒有提供足夠具挑戰度的學習經歷，

讓資優生充分發展其幾何、空間、圖形變換等能力。本教材可

提供一些額外的相關學習經歷，作為補充。

「剪摺拼的數學」提供很多讓學生在腦中處理圖形和立體影像

的機會，這對資優生而言，也會具備一定程度的挑戰性和抽象

度。

本教材的學習活動，大多以探究及解難形式進行，這可讓高能力學生盡展其思維潛力。

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每一單元的設計都包含一些高層次問題，作為延伸元素，以鼓

勵能力較高的學生對某些題目作進一步探究，或運用所學創作

自己的作品。統統這些都可訓練資優生的自學能力。

各單元的問題，較多要求學生書寫解釋或口頭匯報策略，而非單單要求一個答案，這可讓高能力學生多展示其分析、推論、

辯証、評鑑和反思等高層次思維能力。

3.3 課程內容簡介

以下是「剪摺拼的數學」的內容簡介：

單元 單元名稱 內容簡介

1 一刀「剪」--- 發

現剪紙背後的數

學

在這單元中，學生要動腦筋解決多個

和剪紙有關的難題，包括：(1)把一張

長方形的紙對摺兩次，然後只可直剪

一刀，便要剪出指定的形狀，該怎樣

對摺和剪呢？(2)如果對摺的次數不

限，卻都是只可直剪一刀，那麼又能

否剪出指定形狀呢？

學生在探索這些問題時，需要不斷運

用空間和幾何的能力。

2 組合「摺」紙的

數學 --- 以組合

摺紙探究多面體

在這單元中，學生利用正三角形的幾

何特性，以摺紙方法製作組件，再以

這些組件製作不同的多面體，當中學

生要運用幾何推理及証明，並要有豐

富的空間感。跟著，學生要透過細心

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單元 單元名稱 內容簡介

觀察，分析甚麼是「正多面體」，從中

領會清晰定義的重要。

3 「拼」圖的數學

--- 拼圖遊戲的

幾何

在這單元中，學生要動手動腦解決多

個和拼圖有關的難題，包括：(1)如何

把一個矩形分作兩等份？ (2)如何把

一個矩形分作兩等份後重拼成一個正

方形？ (3) 假如容許把矩形分割成

三塊或以上，也不要求分割後各部分

的形狀和面積相等，是否任何矩形都

可分割後再重拼成正方形？

「剪摺拼的數學」課程適用對象：中學各級幾何能力較強的學生。

各單元教案及工作紙，刊登於 3.4-3.6 章節。

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3.4 單元一：一刀「剪」--- 發現剪紙背後的數學

3.4.1 引言

剪紙是中國及日本十分流行的民間藝術之一。剪紙藝人只需一張

紙及一把剪刀，便可剪出不同的形狀和圖案。在這單元中，學生要動

腦筋解決多個和剪紙有關的難題，包括：(1)把一張長方形的紙對摺兩

次，然後只可直剪一刀，便要剪出指定的形狀，該怎樣對摺和剪呢？(2)

如果對摺的次數不限，卻都只可直剪一刀，那麼又能否剪出指定形狀

呢？

學生在探索這些問題時，需要不斷運用空間和幾何的能力。

3.4.2 教案 目的：透過活動讓學生

1. 思考、探究及驗證；

2. 深入了解四邊形的屬性和分類；

3. 思考對稱、角度和形狀的連繫；

4. 進一步反思幾何變換。

教學流程：

(1) 2-3 人為一組；

(2) 每組派發剪刀及一疊長方形紙（例如可用 A6 大小的廢紙）;

(3) 派發學生工作紙（一），並進行「摺兩摺、剪一刀」活動；

(4) 透過師生互動，引導學生進行思考、探究及驗證；

(5) 每組派發一疊正方形紙，並進行「摺幾摺、剪一刀」進階活動；

(6) 透過師生互動，引導學生進行思考、探究及驗證；

(7) 老師進行總結。

24

單元一：一刀「剪」--- 發現剪紙背後的數學

學生工作紙（一）

活動：「摺兩摺、剪一刀」

1. a) 現有一張長方形紙，請對摺兩次及用剪刀直剪一刀（見下圖），然後將紙攤開，紙的中央位置會有一個洞，請描述洞的形狀。

Cut

貼圖（剪出來的洞的形狀） 描述 (名稱和特性)

b) 現在改變一下摺法（見下圖），其餘同上，請描述由剪刀剪出來的洞的形狀。

Cut

貼圖（剪出來的洞的形狀） 描述 (名稱和特性)

25

2. 各組現在放下剪刀，討論用上面(1a)或(1b)的方法可否剪出以下四邊形的洞？

如何剪出？

﹝請用草圖協助解釋﹞ (a) 鷂形

(kite)

(b) 菱形 (rhombus)

(c) 正方形 (square)

(d) 平行四邊形 (parallelogram)

是否所有四邊形的洞都可用(1a)或(1b)的方法剪出來呢?為什麼？

26

3. 各組請討論如何利用同樣的方法剪出三角形。﹝最多可試剪 3 次﹞ 貼圖 你認為關鍵步驟是…

(a) 剪出來的三角形有甚麼特點呢？

4. 如何剪直角三角形和等邊三角形呢？﹝最多可試剪三次﹞

直角三角形

貼圖 你認為關鍵步驟是…

等邊三角形

貼圖 你認為關鍵步驟是…

27

進階活動：「摺幾摺、剪一刀」

 (每組派發一疊正方形紙，並進行以下進階活動)  5. 現在你可如下圖示多摺幾下，試猜猜會剪出甚麼神秘圖形呢？   

Cut

剪完後的神秘圖形會是                                                        的模樣

6. 試按圖樣剪出一個五角星。每一個步驟的關鍵之處是什麼呢?

 

 

向右反轉

(轉下行最左圖)

(轉下行最左圖)

(轉下行最左圖)

28

7. 更多例子 (a) 十字架

(b) 字母 T

(轉下行最左圖)

29

(c) 箭頭

back view

back view

(d) 比較 (6) 和以上三個例子，你了解一連串摺疊的目的嗎？

(e) 假如要的是以上形狀（心形、十字架、箭頭等）的洞，你會怎樣摺和剪呢？

30

8. 試創作你的「一刀切」圖形，並描述你的策略。

 

知多一點、想多一點 在類似以上的「摺幾摺、剪一刀」的剪紙活動中，我們剪出來的東西一般都

是對稱的(鏡射對稱)。 

但事實上，「摺幾摺、剪一刀」也可剪出不對稱的圖形，例如下面的圖形也可以如此剪出來： 

   趣味數學大師馬丁加德納  (Martin Gardner)  在 1960 年提出以下問題： 

 

這種「摺幾摺、剪一刀」的玩意剪出的圖形有何局限？  哪些多邊形可以如此剪出來？ 

  數學家發現： 

任何多邊形都可以如此剪出來。  摺的過程，其實是將不同的線段，透過多次的『反射變換』，重疊在一條

直線上，甚至沒有對稱和旋轉對稱的圖形也可以如此剪出來！ 

  下頁的圖形也沒有問題： 

31

  參考連結 

http://erikdemaine.org/foldcut/ http://blog.ueplay.com/?cat=41 http://courses.csail.mit.edu/6.849/fall10/lectures/L07.html 

32

9. (反思問題) (a) 你覺得今天的課題，和日常生活有何連繫呢？

(b) 試寫下在這次活動後，你對數學的了解或感受。

 

33

學生工作紙（一）參考答案

答案僅供教師參考，學生可有其他答案。

活動：「摺兩摺、剪一刀」

1. a) 現有一張長方形紙，請對摺兩次及用剪刀直剪一刀（見下圖），然後將紙攤開，紙的中央位置會有一個洞，請描述洞的形狀。

Cut

貼圖（剪出來的洞的形狀） 描述 (名稱和特性)

剪出來的洞是菱形，特性包括：

4 邊相等 對角線互相垂直平分 對角相等…

b) 現在改變一下摺法（見下圖），其餘同上，請描述由剪刀剪出來的洞的形狀。

Cut

34

貼圖（剪出來的洞的形狀） 描述 (名稱和特性)

剪出來的洞是鷂形，特性包括：

有兩對等長鄰邊 對角線互相垂直 …

2. 各組現在放下剪刀，討論用上面(1a)或(1b)的方法可否剪出以下四邊形的洞？

如何剪出？

﹝請用草圖協助解釋﹞ a) 菱形 (rhombus) 可以，方法如上(1a)，即把長方形紙對摺兩次，

然後剪一刀，剪的方向與兩條摺痕相交不等於

45°。

(原因：直剪一刀會產生 4 條直線，分別會是洞

的四條邊，而這四條邊的長度是一樣的，加上

任何兩條鄰邊相交都不等於 90°，所以剪出來的

四邊形是菱形但不會是正方形。)

 b) 鷂形 (kite) 可以，方法如上(1b)，即把長方形紙摺兩次，但

第二摺時略為傾斜，使下圖的角 a 不等於 0°，然

後剪一刀。

(原因：直剪一刀會產生 4 條直線，分別會是洞

的四條邊，而這四邊形的鄰邊必然是摺在一起

並一起被剪出來，故鄰邊的長度是一樣的。現

有兩對不同長度的鄰邊，所以剪出來的四邊形

是鷂形但不會是菱形。)

a

35

(c) 正方形 (square)

可以，方法如 (2a)，但剪的方向與兩條摺痕相

交 45°。

(原因：直剪一刀會產生 4 條直線，分別會是洞

的四條邊，而這四條邊的長度是一樣的，加上

任何兩條鄰邊都相交於 90°，所以剪出來的四

邊形是正方形。)

(d) 平行四邊形 (parallelogram)

只可以是菱形一類的平行四邊形，否則不可

以。 (原因：直剪一刀會產生一個四邊形，而這四邊

形的鄰邊必然是摺在一起並一起被剪出來，故

兩對鄰邊的長度是一樣的，所以剪出來的四邊

形必然是一個鷂形或菱形。)

是否所有四邊形的洞都可用(1a)或(1b)的方法剪出來呢?為什麼？

直剪一刀會產生一個四邊形，而這四邊形的鄰邊必然是摺在一起並一起被剪

出來，故兩對鄰邊的長度是一樣的，所以剪出來的四邊形必然是一個鷂形或

菱形。

3. 各組請討論如何利用同樣的方法剪出三角形。﹝最多可試剪 3 次﹞ 貼圖 你認為關鍵步驟是…

三角形

直剪一刀通常會產生 4 條直線（因有 4

層紙），組成一個四邊形，而這四邊形的

鄰邊必然是摺在一起並一起被剪出來，

故鄰邊的長度是一樣的；此外，鄰邊是

互為鏡像的，並以其中一條摺痕為對稱

軸（反射變換），所以剪出來的四邊形必

然是一個鷂形或菱形。

但假如鷂形的其中一個角是 180°，那麼

四邊形的兩條邊便會變成同一條邊，而

四邊形也會退格成三邊形。要做到這

點，只需用(1b)的方法，但剪的方向與第

二條摺痕相交成 90°便可。

(a) 剪出來的三角形有甚麼特點呢？

都是等腰三角形 

36

4. 如何剪直角三角形和等邊三角形呢？﹝最多可試剪三次﹞

直角三角形

貼圖 你認為關鍵步驟是…

類似上面(3)的方法，把長方形紙摺

兩次，但第二摺時傾斜 45°，而剪的

方向則與第二條摺痕相交成 90°。

等邊三角形

貼圖 你認為關鍵步驟是…

∠QMP = 60°, ∠MPE = 90°

類似上面(3)的方法，把長方形紙摺兩

次，但第二摺時傾斜 60°，而剪的方向

則與第二條摺痕相交成 90°。

37

進階活動：「摺幾摺、剪一刀」

 (每組派發一疊正方形紙，並進行以下進階活動)  5. 現在你可如下圖示多摺幾下，試猜猜會剪出甚麼神秘圖形呢？   

Cut

剪完後的神秘圖形會是                心                                        的模樣

6. 試按圖樣剪出一個五角星。每一個步驟的關鍵之處是什麼呢?

 

 

每一次對摺，都將一些邊摺到另一些邊之上，最後所有邊都摺到同一條邊(或

直線)之上。在數學上，就是進行一系列的仿射變換，將所有的邊映射到同一

條邊(或直線)之上。最後沿此邊(或直線)一剪，便一次過把所有邊也剪了出來。

向右反轉

(轉下行最左圖)

(轉下行最左圖)

(轉下行最左圖)

38

7. 更多例子 (a) 十字架

(b) 字母 T

(轉下行最左圖)

39

(c) 箭頭

back view

back view

(d) 比較 (6) 和以上三個例子，你了解一連串摺疊的目的嗎？

見 (6)

(e) 假如要的是以上形狀（心形、十字架、箭頭等）的洞，你會怎樣摺和剪呢？

一刀剪會產生兩個部分：一部分是實心的圖形，而另一部分是該圖形的空心

洞，所以只需如上述摺和剪，便可同時兩者兼得。

40

8. 試創作你的「一刀切」圖形，並描述你的策略。

學生可自由發揮

(通常的策略：沿角平分線對摺)

 

41

3.5 單元二：組合「摺」紙的數學---以組合摺紙探究多面體

3.5.1 引言

跟剪紙一樣，摺紙也是中國及日本的民間藝術，而摺紙也可摺出

不同的物件和形狀。

在這單元中，學生需「摺」出多面體。首先，學生需利用正三角

形的幾何特性，以摺紙方法製作組件，再以這些組件製作不同的多面

體，當中學生要運用幾何推理及証明能力，並要有豐富的空間感。跟

著，學生要透過細心觀察，分析甚麼是「正多面體」，從中領會清晰定

義的重要。

3.5.2 教案 目的：透過活動讓學生

1. 重溫正三角形的幾何特性；

2. 運用已有知識，進行幾何推理及証明；

3. 學習製作多面體；

4. 分析甚麼是「正多面體」。

教學流程：

(1) 2-3 人為一組；

(2) 每組派發一疊 A4 或 A5 紙；

(3) 派發學生工作紙（二），並進行「『摺』出多面體」活動；

(4) 透過師生互動，引導學生進行思考、探究及驗證

(5) 老師進行總結。

42

單元二：組合摺紙的數學 - 以組合摺紙探究多面體

學生工作紙（二）

活動：「摺」出多面體

1. 「等邊三角形元件」之製作

(a) 用一張 A4 紙，依以下圖示製作一個「等邊三角形元件」。

(b) 製作另一個大小相同但左右相反的元件（只需將以上摺法左右顛倒，形成它的鏡像。）

43

2. 試用一對左右相反的元件砌出一個正四面體。.

3. 假如要摺正八面體和正二十面體，要用多少元件呢？

4. 試用相同的元件拼成其他立體。它們和以上的正多面體有何分別呢？

5. 除了以上的正四面體、正八面體和正二十面體外，數學上還有哪些正多面體呢？

6. 你知道正多面體的定義嗎？定義的哪些細節限制了正多面體的種類呢？

44

進階問題 7. 正四面體由等邊三角形組成，剛才的摺法為什麼可以摺出等邊三角形呢？

﹝可畫圖輔助說明﹞

8. 多面體和我們生存的世界有甚麼關係呢？

45

附件：

正方體元件

正十二面體元件

A4 紙

正方形紙

46

學生工作紙（二）參考答案

答案僅供教師參考，學生可有其他答案。

活動：「摺」出多面體

1. 「等邊三角形元件」之製作 (a) 用一張 A4 紙，依以下圖示製作一個「等邊三角形元件」。

(b) 製作另一個大小相同但左右相反的元件（只需將以上摺法左右顛倒，形成它的鏡像。）

47

2. 試用一對左右相反的元件砌出一個正四面體。.

3. 假如要摺正八面體和正二十面體，要用多少元件呢？

分別用 4 和 10 個元件 4. 試用相同的元件拼成其他立體。它們和以上的正多面體有何分別呢？

少了某些對稱和一致性

5. 除了以上的正四面體、正八面體和正二十面體外，數學上還有哪些正多面體呢？

正六面體﹝正立方體﹞ 和 正十二面體

6. 你知道正多面體的定義嗎？定義的哪些細節限制了正多面體的種類呢？

正多面體是指各面都是由單一種全等的正多邊形組成的凸多面體，且每一個頂點所接的面數都是一樣的。

每隻角上相連的內角和不能大於或等於 360°

48

進階問題 7. 正四面體由等邊三角形組成，剛才的摺法為什麼可以摺出等邊三角形呢？﹝可

畫圖輔助說明﹞ EF 垂直平分 AB. 所以 EB = EA ∠BEA’= ∠AEA’

EA’ = EA’ A’EB A’EA

(SAS) 因此 A’B = A’A 另外 AB = A’B 所以AA’B 是 等邊三角形 不難發現 ∠BA’ E = 30° ∠A’ HB = 60°

8. 多面體和我們生存的世界有甚麼關係呢？

化合物的結晶都是正多面體或和正多面體相關的多面體；

建築物大都是多面體；等等

所以多面體的知識十分重要

49

3.6 單元三：「拼」圖的數學 --- 拼圖遊戲的幾何學

3.6.1 引言

拼圖一向都是很受歡迎的智力遊戲。西方人一般認為，拼圖遊戲

的商品化意念，源於 18 世紀的英國地圖製造工匠史皮爾斯布里(John

Spilsbury)，他把地圖貼到木塊上，然後用鋸子沿國家邊界切割成許多

碎片發售，每塊碎片代表一個國家，以便學生用拼圖遊戲的方法學習

地理。

中國也有七巧板一類的拼圖遊戲，其歷史更可追溯至明、清，甚

至更早的年代。

在這單元中，學生要動手動腦解決多個和拼圖有關的難題，包括：

(1)如何把一個矩形分作兩等份？ (2)如何把一個矩形分作兩等份後重

拼成一個正方形？ (3) 假如容許把矩形分割成三塊或以上，也不要求

分割後各部分的形狀和面積相等，是否任何矩形都可分割後再重拼成

正方形？

透過這一系列的分割和拼砌圖形活動，學生可以一步一步了解有

趣的「鮑耶-哥溫定理」（即任何指定的多邊形都可以分割成有限的部分

再重組成另一個面積相等的多邊形），而這也是幾何謎題拼圖背後的數

學原理。（註：幾何謎題拼圖，是指由一個幾何形狀分割重拼成另一個

幾何形狀的謎題。詳情參看學生工作紙（三）首頁介紹。）

透過這單元的學習活動，學生的代數和幾何能力都得到一定的鍛

煉。

3.6.2 教案 目的：透過活動讓學生

1. 思考、探究及驗證；

50

2. 運用已有知識，進行幾何推理及証明；

3. 反思幾何變換；

4. 學習「鮑耶-哥溫定理」；

5. 思考幾何和代數的連繫。

教學流程：

(1) 派發學生工作紙（三），並講解「拼圖遊戲類別簡介」；

(2) 2-3 人為一組；

(3) 進行「長方形二等分」活動；

(4) 透過師生互動，引導學生分享答案、進行思考、探究及驗證；

(5) 進行「二等分和重拼」活動；

(6) 引導學生進行思考、探究及驗證；

(7) 進行「一般分割重拼」活動；

(8) 引導學生進行思考、探究及驗證；

(9) 進行「進深研習」活動；

(10) 引導學生思考及探究；

(11) 老師進行總結。

51

單元三：「拼」圖的數學---拼圖遊戲的幾何

學生工作紙（三）

A. 拼圖遊戲類別簡介

 平面拼圖遊戲可以分兩大類：

1. 把一幅圖畫切成很多小塊然後讓玩遊戲的人重組，重組的線索是圖畫本身。

2. 由幾塊基本的幾何形狀組件，拼砌出不同的圖形，例如：

a) 『七巧板』(7 塊) 或 『四巧板』(4 塊)

- 這兩款拼圖都很常見，可砌出的圖形由十數種到過千種。

b) 幾何謎題：由一個幾何形狀分割重拼成另一個幾何形狀

例：以下顯示由一個三角形分割重拼成一個正方形的過程

本頁最上方的彩圖，也顯示了三角形與正方形互相變換的關係。

幾何謎題拼圖，無論在設計的過程與玩的過程，都有很多數學趣味。

以下就讓我們一步一步探究拼圖背後的數學。

53

二等分和重拼

3. 如果一個矩形分作兩等份後可以重拼成一個正方形，請回答以下問題：

(a) 你認為該矩形的長闊比是多少呢？﹝可附草圖說明﹞

(b) 你能想到另一個可能的方法嗎？

(c) 附圖一﹝見附圖頁﹞表示另一個可能的分割方法。試計算該矩形的長闊比。

草圖 計算

長：闊 =

(d) 附圖二﹝見附圖頁﹞表示另一個可能的分割後重拼的方法。試以(c)部分的方法，計算原先矩形的長闊比。

54

4. 「假如把一個矩形分割成兩等份後可重拼成一個正方形，該矩形的長闊比是多少呢？」 在題(3) 中我們看到上面的問題至少有三個答案！ 你認為一共有多少個答案？相關矩形的長闊比又是多少呢？

試列舉多一個例子。 草圖 描述

5. 如果我們把上述的圖形看成一條樓梯，例如附圖一及附圖二﹝見附圖頁﹞分別為 2 級及 3 級樓梯的圖形，如果使用 n 級樓梯時，那麼原來的矩形的長闊比應該是多少呢? 試以 n 來表示。

6. 承上題，是否任意的矩形均能以上述的方法分割成兩等份後再重拼成一個正方形呢?

55

一般分割重拼

有人提出：「假如容許把矩形分割成三塊或以上，同時也不要求分割後各部分的形

狀和面積相等，那麼任何矩形都可以分割後再重拼成正方形。」

你同意這說法嗎？讓我們一起研究吧！

7. 考慮下面矩形，以下是一個可能的分割重拼方案：

圖 一

(e) 請寫出 s 和 a, b 的關係。

(f) 將矩形和正方形部分重疊，得圖三。 當中，已知矩形 ABCD 的面積 = 正方形 FGCE 的面積

圖 二 圖 三

圖三中哪兩對三角形必需全等呢？

56

(g) 線段 AF 和 線段 DG 會有甚麼關係？

試証明這關係。( 例如，可試証明 tan = tan )

57

8. 事實上，並非所有矩形都可以按題 (7) 中描述的方法分割成三份後再重拼成正方形。 題 (7) 中描述的分割方法在甚麼條件下才成立呢？

9. 不符合題(8)條件的矩形應如何分割再重拼成正方形呢？

10. 試把附圖三至附圖六﹝見附頁﹞按顏色剪下再重拼成正方形。你是否贊同下面的命題： 『任何指定的多邊形都可以分割成有限數目的部分再重組成另一個面積相等

的正方形』 試解釋你的想法。

58

參考：

1. 蕭文強 (1993). “1, 2, 3, ... ... 以外 ─ 數學奇趣錄”. 香港：三聯書店.

2. Dissection puzzle. (2010, March 5). In Wikipedia, The Free Encyclopedia. Retrieved 13:08, April 14, 2010, from http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Dissection_puzzle&oldid=347866507

3. Gardner, Martin (1961). More Mathematical Puzzles and Diversions. New York: Penguin Books.

4. Theobald, Gavin and Weisstein, Eric W. "Dissection." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/Dissection.html

5. Weisstein, Eric W. "Wallace-Bolyai-Gerwien Theorem." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/Wallace-Bolyai-GerwienTheorem.html

59

進深研習：

開放日的時候，小強正繪畫草圖，打算把一個『Ｔ』字從一個

正方形中切割出來。

（圖一）

那時卓老師剛好走過，打趣著說：「你的設計太浪費材料了。

其實可以把正方形剪開成幾部分，再拼成一個更大但形狀相同

的『Ｔ』字呢！」

真的可以嗎？你試試看吧！

60

進深研習： 鮑耶-哥溫定理 (Bolyai-Gerwin Theorem)

命題：任何指定的多邊形都可以分割成有限的部分再重組成另一個面積相等的多

邊形

相關概念：試研究以下各相關概念的証明及如何將它們組織起來以証明鮑耶-哥溫定理。

(a)多邊形可以分割成多個三角形

(b)任何三角形都可以分割後重組成矩形

(c)任何矩形都可以分割後重組成正方形

(d)任何兩個正方形都可以分割後重組成一個大正方形

61

附圖頁：

圖一 圖二

圖三 圖四

圖五 圖六

62

姓名： 班別：

問卷：拼圖的數學

11. 現在你對砌圖遊戲背後的數學明白多了嗎？試說明一下。

12. 如果要自行設計砌圖遊戲，你還需要哪些知識？ 你掌握了嗎？

13. 在這個課題中，你有甚麼得着呢？當中你最喜歡的內容是甚麼？你又有甚麼建議呢？

63

學生工作紙（三）參考答案

答案僅供老師參考，學生可有其他答案。

B. 探究活動

長方形二等分 1. 如何才可用一條直線把一個長方形分作兩等份﹝面積和形狀都相等﹞呢？請

將方法在附圖中表示出來。

2. 用一條直線把一個長方形分作兩等份，共有多少個方法呢？試加以解釋。

無限個方法；任何一條穿過長方形紙中心的直線都會把長方形分成兩等分。

AME≅CMF (ASA)

　AMB≅CMD (SSS)

　DME≅BMF (ASA)

所以 ABFE 和 CDEF 相等。

64

二等分和重拼

3. 如果一個矩形分作兩等份後可以重拼成一個正方形，請回答以下問題：

a) 你認為該矩形的長闊比是多少呢？﹝可附草圖說明﹞

長：闊 = 1 : 4

b) 你能想到另一個可能的方法嗎？

c) 附圖一﹝見附圖頁﹞表示另一個可能的分割方法。試計算該矩形的長闊比。

草圖 計算

設正方形的邊長為 x。

每級的高度 = x 2

每級的闊度 = x 3

矩形的長 = 3

x

2

矩形的闊 = 2

x

3

長：闊 = 3

x

2 : 2

x

3 = 9 : 4

d) 附圖二﹝見附圖頁﹞表示另一個可能的分割後重拼的方法。試以部分的方法，計算原先矩形的長闊比。

附圖二 長：闊 = 16 : 9

65

4. 「假如把一個矩形分割成兩等份後可重拼成一個正方形，該矩形的長闊比是多少呢？」 在題(3) 中我們看到上面的問題至少有三個答案！ 你認為一共有多少個答案？相關矩形的長闊比又是多少呢？

無限

試列舉多一個例子。 草圖 描述

5. 如果我們把上述的圖形看成一條樓梯，例如附圖一及附圖二﹝見附圖頁﹞分別為 2 級及 3 級樓梯的圖形，如果使用 n 級樓梯時，那麼原來的矩形的長闊比應該是多少呢? 試以 n 來表示。

設矩形的高為 h，闊為 w，且 h>w。

題 (4) 的方式在於找一正整數 k，把高﹝h﹞分為 k+1 等份，闊﹝w﹞分為 k 等份，使

h

k+1 ( )k =

w

k ( )k+1

因此，

h w =

( ) k+1 2 k2

不難發現，可以用題 4 的方式分作兩等份再重拼成一個正方形的矩形有無限可能。

但是，這些矩形的邊長的比卻有特別的限制。明顯的是邊長的比至少是一個分數。

6. 承上題，是否任意的矩形均能以上述的方法分割成兩等份後再重拼成一個正方形呢?

不是。 例如，一張 A4 紙的長闊比是 2 : 1， 2 是『無理數』，因此用題 4 的方式不能把

一張 A4 紙分作兩等份再重拼成一個正方形。

66

一般分割重拼

有人提出：「假如容許把矩形分割成三塊或以上，同時也不要求分割後各部分的形

狀和面積相等，那麼任何矩形都可以分割後再重拼成正方形。」

你同意這說法嗎？讓我們一起研究吧！

7)考慮下面矩形，以下是一個可能的分割重拼方案：

圖 一

a) 請寫出 s 和 a, b 的關係。

s = ab

b) 將矩形和正方形部分重疊，得圖三。 當中，已知矩形 ABCD 的面積 = 正方形 FGCE 的面積

圖 二 圖 三

圖三中哪兩對三角形必需全等呢？

AFP ≅ QGB ; AQD ≅ FGR

67

c) 線段 AF 和 線段 DG 會有甚麼關係？

平行

試証明這關係。( 例如，可試証明 tan = tan )

tan = s b

= ab

b

= a b

tan = s - a b - s

= ab - a b - ab

= ab - a2 b2 - ab

= a ( ) b - a

b ( ) b - a

= a b

68

8) 事實上，並非所有矩形都可以按題 (7) 中描述的方法分割成三份後再重拼成正方形。 題 (7) 中描述的分割方法在甚麼條件下才成立呢？

矩形長度少於闊度的 4 倍

9)不符合題(8)條件的矩形應如何分割再重拼成正方形呢？

可行的方法： 先把矩形拼成長度少於闊度的兩倍的矩形，再用題 (7) 的方法。

10)試把附圖三至附圖六﹝見附頁﹞按顏色剪下再重拼成正方形。你是否贊同下面的命題：

『任何指定的多邊形都可以分割成有限數目的部分再重組成另一個面積相等

的正方形』 試解釋你的想法。

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姓名： 班別：

問卷：拼圖的數學

11)現在你對砌圖遊戲背後的數學明白多了嗎？試說明一下。

12)如果要自行設計砌圖遊戲，你還需要哪些知識？ 你掌握了嗎？

幾何作圖 / 工業繪圖 / …

13)在這個課題中，你有甚麼得着呢？當中你最喜歡的內容是甚麼？你又有甚麼建議呢？

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進深研習：

開放日的時候，小強正繪畫草圖，打算把一個『Ｔ』字從一個

正方形中切割出來。

（圖一）

那時卓老師剛好走過，打趣著說：「你的設計太浪費材料了。

其實可以把正方形剪開成幾部分，再拼成一個更大但形狀相同

的『Ｔ』字呢！」

真的可以嗎？試試看吧！

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參考答案

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「抽離式校本數學資優培育計畫系列」 中學篇

剪摺拼的數學

編輯及設計：教育局資優教育組

出版：教育局資優教育組

出版日期：二零一零年十二月

剪摺拼Pullout_cut_fold_jigsaw_Samuel_Andy_9z_final