อยากรูจักเร็ว ๆ แลวสิ

เย!

มีทฤษฎีบทใหมๆที่นาสนใจอีกแลวนะ

เลม22

แปลจาก... Tanoshiku Manabu Sugaku no Kiso

-Zukei Bunya- <Ge: Tairyoku Zokyo Hen>

โดย… Tadahiko Hoshida

แปลโดย… ดร.อรรณพ เรืองวิเศษ

300.-

■ บรรณาธิการบริหาร ทวิยา วัณณะวิโรจน์ หัวหน้ากองบรรณาธิการ แทนพร เลิศวุฒิภัทร บรรณาธิการเล่ม

พรรณพิมล กิจไพฑูรย์ ออกแบบปก ภาณุพันธ์ โนวยุทธ ออกแบบรูปเล่ม ธารินี คุตตะสิงคี ธุรการสำานักพิมพ์ อังคณา

อรรถพงศ์ธร ■ พิมพ์ที่ : หจก. ที.เอส.บี. โปรดักส์.

จัดพิมพ์โดย สำานักพิมพ์ ส.ส.ท.

สมาคมส่งเสริมเทคโนโลยี (ไทย-ญี่ปุ่น) 5-7 ซอยสุขุมวิท 29 ถนนสุขุมวิท แขวงคลองเตยเหนือ เขตวัฒนา กรุงเทพฯ 10110 โทร. 0-2258-0320 (6 เลขหมายอัตโนมัติ), 0-2259-9160 (10 เลขหมายอัตโนมัติ) เสนองานเขียน • งานแปลได้ที่ www.tpa.or.th/publisher/new ติดต่อสั่งซื้อหนังสือได้ที่ www.tpabook.com

จัดจำาหน่ายโดย บริษัท ซีเอ็ดยูเคชั่น จำากัด (มหาชน) อาคารทีซีไอเอฟ ทาวเวอร์ ชั้น 19 เลขที่ 1858/87-90 ถนนบางนา-ตราด แขวงบางนา เขตบางนา กรุงเทพฯ 10260 โทร. 0-2739-8000, 0-2739-8222 โทรสาร 0-2739-8356-9 www.se-ed.com

สอนให้แม่น เรขาคณิต เล่ม 2

by... Tadahiko Hoshida

แปลโดย... ดร.อรรณพ เรืองวิเศษ

ข้อมูลทางบรรณานุกรมของสำานักหอสมุดแห่งชาติโฮชิดะ, ทาดาฮิโกะ. สอนให้แม่น เรขาคณิต เล่ม 2. - - กรุงเทพฯ : สมาคมส่งเสริมเทคโนโลยี (ไทย-ญี่ปุ่น), 2557. 320 หน้า. 1. เรขาคณิต. I. อรรณพ เรืองวิเศษ, ผู้แปล. II. ชื่อเรื่อง.516ISBN 978-974-443-570-5

พิมพ์ครั้งที่ 1 มีนาคม 2557

“ถ้าหนังสือมีข้อผิดพลาดเนื่องจากการพิมพ์ ให้นำามาแลกเปลี่ยนได้ที่สมาคมฯ” โทร. 0-2258-0320 ต่อ 1560, 1570

ราคา 300 บาท

TANOSHIKU MANABU SUGAKU NO KISO -ZUKEI BUNYA- <GE: TAIRYOKU ZOKYO HEN>by Tadahiko HoshidaCopyright 2012 Tadahiko HoshidaAll rights reserved.Originally published in Japan by SB Creative Corp., TokyoThai translation rights arranged with SB Creative Corp. through THE SAKAI AGENCY.สงวนลิขสิทธิ์ฉบับภาษาไทยโดย สมาคมส่งเสริมเทคโนโลยี (ไทย-ญี่ปุ่น)

สารบัญ

บทที่ 1 รูปสามเหลี่ยม และ รูปสี่เหลี่ยม ...................................... 1

รูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว .......................................................... 2

สมบัติของรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว .......................................... 8

เงื่อนไขการเป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว .................................. 18

รูปสามเหลี่ยมด้านเท่า ......................................................... 24

การแปลงรูปแบบคงพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม ........................ 30

ความสัมพันธ์ของด้านและมุมของรูปสามเหลี่ยม ................ 37

รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก .......................................................... 44

รูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน .......................................................... 50

เงื่อนไขการเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ................................. 58

รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า ................................................................. 68

รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน ..................................................... 75

รูปสี่เหลี่ยมคางหมู ............................................................... 84

รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ................................................................. 89

บทที่ 2 ความคล้าย ......................................................................................... 93

สมบัติของอัตราส่วน ............................................................ 94

ความคล้าย .......................................................................... 99

เงื่อนไขการคล้ายของรูปสามเหลี่ยม .................................... 106

การพิสูจน์ความคล้าย .......................................................... 109

รูปสามเหลี่ยมกับเส้นขนาน ................................................. 114

เส้นขนานและอัตราส่วนของส่วนของเส้นตรง ...................... 124

ทฤษฎีบทเส้นเชื่อมต่อจุดกึ่งกลาง ........................................ 132

อัตราส่วนพื้นที่ของรูปคล้าย ................................................ 138

อัตราส่วนพื้นที่ผิวและปริมาตรของทรงตันที่คล้ายกัน ......... 142

อัตราส่วนเงินและอัตราส่วนทอง .......................................... 147

จุดศูนย์ถ่วงของรูปสามเหลี่ยม ............................................. 152

ทฤษฎีบทเชวา ............................................................. 157

ทฤษฎีบทของเมเนลอส ...................................... 162

บทที่ 3 วงกลม .................................................. 167

เรื่องพื้นฐานของวงกลม ....................................................... 168

จุดศูนย์กลางและคอร์ดของวงกลม ...................................... 174

จุดศูนย์กลางวงล้อมของรูปสามเหลี่ยม ............................... 181

จุดออร์โทเซนเตอร์ ............................................................... 188

ทฤษฎีบทมุมในส่วนโค้งของวงกลม ..................................... 192

บทกลับของทฤษฎีบทมุมในส่วนโค้งของวงกลม .................. 199

เส้นสัมผัสวงกลม ................................................................. 204

รูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อม ........................................................ 208

จุดศูนย์กลางวงกลมแนบในของรูปสามเหลี่ยม .................... 216

จุดศูนย์กลางวงกลมแนบนอกของรูปสามเหลี่ยม ................. 221

วงกลม9จุด ....................................................................... 224

ทฤษฎีบทเส้นสัมผัสและคอร์ด ............................................. 228

ทฤษฎีบทการคูณของระยะระหว่างจุดตัด ........................... 233

วงกลม2วง ........................................................................ 240

ทฤษฎีบทของทอเลมี ................................ 244

บทที่ 4 ทฤษฎีบทพีทาโกรัส ..................................................................... 249

ทฤษฎีบทพีทาโกรัส ............................................................. 250

ความยาวด้านของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ............................. 256

สามเหลี่ยมมุมฉากแบบพิเศษ .............................................. 260

บทกลับของทฤษฎีบทพีทาโกรัส ........................................... 267

รูปพระจันทร์เสี้ยวของฮิปพอคราทีส .................................... 273

เส้นทแยงมุมของทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก .................................. 277

วงกลมกับทฤษฎีบทพีทาโกรัส ............................................. 282

ทฤษฎีบทเส้นมัธยฐาน(ทฤษฎีบทของปัปปุส) ..................... 289

Q.E.D. ................................................................................. 293

ส่วนเสริม ............................................................................. 295

ดัชนีค�าศัพท์ ....................................................................................... 301

30

สอนให้แม่น เรขาคณิต เล่ม 2

สูตรที่คุ้นเคยส�ำหรับหำพื้นท่ีของรูปสำมเหลี่ยม

สูตรการหาพ้ืนท่ีของรูปสามเหลี่ยมน่าจะเป็นที่รู้จักของคนส่วนใหญ่

อยู่แล้ว แต่ขอน�ามาเขียนไว้อีกครั้งเพื่อเป็นการทบทวน

สูตร พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม

เมื่อให้รูปสามเหลี่ยมมีความยาวฐานเป็น a

ความสูงเป็น h และพื้นที่เป็น S แล้ว

S = 1–2 ah

h

a

¾×é¹·Õè¢Í§ÃÙ»ÊÒÁàËÅÕèÂÁ= x (°Ò¹) x (ÊÙ§)1-2

ต่อไปจะเริ่มเป็นการประยุกต์ โดยพิจารณาจากสูตรด้านบนนี้ในกรณี

ที่ก�าหนดให้ความสูงคงที่

จากรปูในหน้าถดัไป มรูีปสามเหลีย่ม 2 รูปถกูขนาบด้วยเส้นขนาน จงึ

ได้ว่า ∆ABC กับ ∆DEF มีความสูงเท่ากัน ดังนั้นรูปที่มีความยาวฐานมากกว่า

การแปลงรูปแบบคงพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม

ถึงรู้วิธกีารหาพื้นที่ของรปูสามเหลี่ยมก็ยงัไม่พอ

มาเรียนรู้เรื่อง… พื้นที่รปูสามเหลี่ยม, การเปลี่ยนรปูแบบคงพื้นที่, เส้นมธัยฐาน

31

บทที่ 1 รูปสามเหลี่ยม และ รูปสี่เหลี่ยม

ก็จะมีพื้นที่มากกว่า และถ้าหากความยาวฐานเป็นครึ่งหนึ่ง แล้วพื้นที่ก็จะเป็น

ครึ่งหนึ่งด้วย ดังนั้นในกรณีนี้พื้นที่จะแปรผันตามความยาวฐาน

B EC F

A D

* รูปสามเหลี่ยมทั้งคู่มีความสูงเท่ากัน

ซึ่งจะได้เป็นสมการแสดงสัดส่วนดังต่อไปนี้

∆ABC : ∆DEF = BC : EF

ในสมการข้างบนนี้ ∆ABC และ ∆DEF แสดงพื้นที่ของ ∆ABC และ

∆DEF ตามล�าดับ

ÍѵÃÒʋǹ¢Í§°Ò¹à»š¹ÍѵÃÒʋǹ¢Í§¾×é¹·Õè§Ñé¹àËÃÍ !

คราวนี้ลองแบ่ง ∆ABC ด้วยส่วนของเส้นตรง AD ดังรูป

จะเห็นว่า กรณีนี้รูปสามเหลี่ยม 2 รูป คือ

∆ABD และ ∆ADC มีความสูงเท่ากัน ดังนั้นพื้นที ่

จึงแปรผันตามความยาวฐาน และจะได้ว่า

B CD

A

32

สอนให้แม่น เรขาคณิต เล่ม 2

เมื่อจุด B, D, C อยู่บนเส้นตรงเส้นเดียวกันแล้ว

∆ABD : ∆ADC = BD : DC

ส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมระหว่างจุดยอด

ของรูปสามเหลี่ยมกับจุดกึ่งกลางของด้านตรงข้าม

มุมยอดนั้น เรียกว่า “เส้นมัธยฐาน (median line)”

และจะได้ว่า เส้นมัธยฐานแบ่งพื้นที่ของรูปสาม-

เหลี่ยมออกเป็น 2 ส่วนเท่า ๆ กัน

กำรเปลี่ยนรูปแบบคงพื้นที่ของรูปสำมเหลี่ยม

มาดูการประยุกต์เกี่ยวกับพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมกันต่อ

B H K

D

C

A

∆ABC อยู่ระหว่างเส้นขนาน ดังรูป

ถ้าย้ายจดุ A โดยเลือ่นไปตามแนวเส้นขนานจนถงึจดุ D ได้เป็น ∆DBC

จากนั้นลากเส้นตั้งฉากจากจุด A และ D ไปยังเส้นตรง BC และให้ปลายเส้น

ตั้งฉากเป็นจุด H และ K ตามล�าดับ จะได้ AH = DK

เนื่องจาก ∆ABC และ ∆DBC มีฐานร่วมกัน และแต่ละรูปก็มีความสูง

เท่ากัน ดังนั้นจึงมีพื้นที่เท่ากัน

และสามารถสรุปได้ว่า ถ้าเคลื่อนย้ายจุดยอดของรูปสามเหลี่ยมโดย

ให้ขนานกับฐาน พื้นที่จะไม่เปลี่ยนแปลง ซึ่งการเปลี่ยนแปลงเฉพาะรูปร่างโดย

B CD

AàÊŒ¹ÁѸ°ҹ

33

บทที่ 1 รูปสามเหลี่ยม และ รูปสี่เหลี่ยม

พื้นที่ของรูปเรขาคณิตไม่เปลี่ยนแปลงแบบนี้จะเรียกว่า “การเปลี่ยนรูปแบบคง

พื้นที่ (การแปลงแบบคงพื้นที่)”

©Ñ¹¡çäÁ‹à»ÅÕè¹á»Å§¹Ð !!

เมื่อรูปสามเหลี่ยม 2 รูปมี

พืน้ทีเ่ท่ากนั จะใช้สญัลกัษณ์ “=” เขยีน

แสดงได้ดังต่อไปนี้

∆ABC = ∆DBC

ในทางตรงกันข้าม เมื่อจุด A,

D อยู่ทางด้านเดียวกันของเส้นตรง BC

ถ้า ∆ABC และ ∆DBC มีพื้นที่เท่ากัน

แล้วเนื่องจาก AH = DK ดังนั้นจะได้ว่า

AD // BC

ทฤษฎีบท 19 การเปลี่ยนรูปแบบคงพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม

เมือ่ ∆ABC และ ∆DBC มจุีดยอดคือ A และ D อยูท่างด้านเดยีวกัน

ของเส้นตรง BC จะได้ว่า

ถ้า AD // BC แล้ว ∆ABC = ∆DBC

ÇÔ¸Õ¹Õé·ÓãËŒÃÙ»ÊÒÁàËÅÕèÂÁà»ÅÕè¹á»Å§ÃٻËҧâ´ÂÂѧ¤§

¾×é¹·ÕèäÇŒàËÁ×͹à´ÔÁ

B H K

D

C

A

34

สอนให้แม่น เรขาคณิต เล่ม 2

ทฤษฎีบท 20 เส้นขนานกับพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม

เมือ่ ∆ABC และ ∆DBC มจุีดยอดคือ A และ D อยูท่างด้านเดยีวกัน

ของเส้นตรง BC จะได้ว่า

ถ้า ∆ABC = ∆DBC แล้ว AD // BCA D

B∆ABC = ∆DBC AD // BC

C B

D

C

A

มำเปลี่ยนรูปร่ำงของพื้นที่ให้ใช้งำนได้สะดวกกัน!

เส้นหยัก PQR แบ่งที่ดินรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าออก

เป็นรูปห้าเหลี่ยม ABRQP และ PQRCD แต่ที่ดินรูปร่าง

แบบนี้คงใช้ท�าอะไรได้ยากใช่ไหม เพราะฉะนั้นในหัวข้อ

นี ้เราจะน�าท่ีดินผนืนีม้าท�าการเปลีย่นรูปแบบคงพืน้ทีก่นั

การเขียนรูป

➀ ลากเส้นตรงผ่านจุด Q ขนานกับ PR และให้

จุดตัดกับด้าน BC เป็นจุด S

➁ ลากส่วนของเส้นตรง PS แล้วจากการเปลี่ยน

รูปแบบคงพื้นที่จะได้

∆PQR = ∆PSR

* มาถึงตรงนี้ รูปสี่เหล่ียมผืนผ้าตั้งต้นยังคงมีขนาดพื้นที่เท่าเดิม และถูกแบ่งออกเป็นรูป

สี่เหลี่ยม ABSP กับ PSCD แล้ว แต่ลองท�าต่ออีกหน่อยดีกว่า

A

B

D

Q

P ➀

CR

➁

S

A

B

D

Q

P

CR

35

บทที่ 1 รูปสามเหลี่ยม และ รูปสี่เหลี่ยม

เมือ่ท�าตามข้ันตอนนีก้เ็ป็นอนั

เสรจ็สิน้ รปูร่างเดมิกย็งัคงรกัษาพืน้ทีไ่ว้

ได้เท่าเดิม แต่เปลี่ยนรูปร่างใหม่เป็นรูป

สี่เหลี่ยมผืนผ้า 2 รูป คือ ABNL กับ

LNCD …เย้ ส�ำเร็จแล้ว !!

➂ ก�าหนดให้จดุกึง่กลางของส่วนของเส้นตรง PS

เป็นจุด M

➃ ลากเส้นขนานกับด้าน AB, DC ผ่านจุด M

A

B

D

➃

P L

CN S

➂M

และให้จุดตัดกับด้าน AD, BC เป็นจุด L, N

ตามล�าดับ แล้วจะได้ว่า ∆LMP และ ∆NMS เท่ากันทุกประการ

¶ŒÒµÑé§ã¨¡ç·Óä´Œ !

สูตรของเฮรอน

ก่อนหน้านี้ได้กล่าวถึงสูตรพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมไปแล้ว แต่ที่จริงยัง

มีอีกสูตรหนึ่ง ดังนี้

สูตร สูตรของเฮรอน (Heron’s formula)

รปูสามเหลีย่มทีม่คีวามยาวของด้าน 3 ด้านเป็น a, b, c เมือ่ให้พ้ืนที่

เป็น S แล้ว จะได้

S = s(s − a)(s − b)(s − c) โดยที่ s = ½1–2 (a + b + c)