УДК 51(075.8)ББК 22.1я73 Р98

Р е ц е н з е н т ы:кафедравысшейматематикиучрежденияобразования«Белорусскийгосударственныйуниверситетинформатикиирадиоэлектро-ники»(заведующийкафедройдокторфизико-математическихнаук,про-фессорВ.В. Цегельник);заведующийкафедройтеориифункцийБелорусско-гогосударственногоуниверситетадокторфизико-математическихнаук,профессорВ.Г. Кротов

Все права на данное издание защищены. Воспроизведение всей книги или любой ее части не может быть осуществлено без разрешения издательства.

Рябушко, А. П.Р98 Высшаяматематика:теорияизадачи:учебноепосо- бие.В5ч.Ч.5.Операционноеисчисление.Элементыте-

орииустойчивости.Теориявероятностей.Математиче-скаястатистика/А.П.Рябушко,Т.А.Жур.–Минск:Вышэйшаяшкола,2018.–335с.:ил.

ISBN978-985-06-2815-2.

Этопятаячастькомплексаучебныхпособийповысшейматемати-ке,направленныхнаразвитиеиактивизациюсамостоятельной,твор-ческойработыстудентовтехническихуниверситетов.Содержатсяне-обходимыетеоретическиесведения,наборызадачдляаудиторныхииндивидуальныхдомашнихзаданий,контрольныхработ.

Длястудентовучрежденийвысшегообразованияпотехническимспециальностям.Будетполезностудентамэкономическихспециаль-ностей,атакжепреподавателямучрежденийвысшегоисреднегоспеци-альногообразования.

УДК 51(075.8)ББК 22.1я73

ISBN 978-985-06-2815-2 (ч. 5)  РябушкоА.П.,ЖурТ.А.,2018ISBN 978-985-06-2764-3 Оформление.УП«Издательство “Вышэйшаяшкола”»,2018

3

ПРЕДИСЛОВИЕ

Предлагаемыйвниманиючитателякомплексучебныхпособийподобщимназванием«Высшаяматематика:теорияизадачи»впятичастяхсодержитвсвоейосновесущественнопереработан-ныйидополненныйматериалнеоднократнопереиздававшегосякомплексаучебныхпособий«Индивидуальныезаданияповыс-шейматематике»вчетырехчастяхколлективаавторовподобщейредакциейдокторафизико-математическихнаук,профессораА.П.Рябушко(Минск,издательство«Вышэйшаяшкола»).

Вновомкомплексемногиезадачизамененыболееудачны-ми,добавленонесколькосотновыхзадач,увеличеноколичествоаудиторныхзанятий(АЗ),индивидуальныхдомашнихзаданий(ИДЗ),блочныхконтрольныхработ(БКР),дополнительныхзадачккаждойглаве,средикоторыхимеютсязадачиуровняНИРС(научно-исследовательскаяработастудентов).Номераэтихзадачпомеченызвездочкой.ВовсехАЗвыделенызадачидлясамостоятельногорешения,которыеможноиспользоватьдляпроведениянаАЗмини-контрольныхработ(МКР).Ккаж-домуИДЗдаетсяписьменнаяконсультация(решениетипово-говарианта).Чтобысэкономитьвремястудентапривыполне-нииМКР,ИДЗидругихзаданий,впособиевключенынеобхо-димыетеоретическиесведенияспоясняющимиихрешеннымипримерами.

Большинствоимеющихсявнастоящеевремяучебниковиучебныхпособий,сборниковзадачиупражненийпообщемукурсувысшейматематикидлятехническихуниверситетовнепозволяютиндивидуализироватьобучение,таккаксодержатнедостаточноеколичествооднотипныхзадачиупражнений,непредусматриваютвыдачикаждомустудентуиндивидуально-гозаданияспоследующимконтролемивыставлениемоценки.Данноепособиедаетвозможностьпереходаотпассивныхформобучениякактивнойтворческойработесостудентами,от«ва-лового»обучениякусилениюиндивидуальногоподхода,раз-витиютворческихспособностейобучаемыхпутемрасширенияихсамостоятельнойработы.Появляетсявозможностьвведенияинновационныхтехнологийвпреподаваниематематики,на-примерблочно-рейтинговойсистемыобученияиконтролязнанийиуменийстудентов(см.приложения).

Комплекснаписанвсоответствиисдействующимипро-граммамикурсавысшейматематикивобъемедо500чдля

техническихспециальностейуниверситетов,номожетбытьиспользованвучрежденияхобразованияразныхпрофилей,гдеколичествочасов,отведенноенаизучениевысшейматематики,значительноменьше(длячегоизпредлагаемогоматериаласледуетсделатьнеобходимуювыборку).Крометого,онвполнедоступенстудентамвечернихизаочныхотделений.

Авторывыражаютискреннююпризнательностьрецензен-там–коллективукафедрывысшейматематикиБелорусскогогосударственногоуниверситетаинформатикиирадиоэлектро-ники,возглавляемойдокторомфизико-математическихнаук,профессоромВ.В.Цегельником,атакжезаведующемукафедройтеориифункцийБелорусскогогосударственногоуниверситетадокторуфизико-математическихнаук,профессоруВ.Г.Крото-ву,которыедалирядполезныхсоветов,способствовавшихповышениюкачествакомплекса.

Всеотзывыипожелания,которыеавторыпримутсблаго-дарностью,просьбанаправлятьпоадресу:издательство«Вы-шэйшаяшкола»,пр.Победителей,11,220004,Минск.

Авторы

5

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

Охарактеризуемструктурупособия,методикуегоиспользо-вания,организациюпроверкииоценкизнаний,навыковиуме-нийстудентов.

Весьтеоретическийматериалпокурсувысшейматематикиразделеннаглавы,вкаждойизкоторыхдаютсяосновныеопре-деления,понятия,формулировкитеорем,формулы,использу-емыеприрешениизадачивыполненииупражнений.Изложе-ниеэтихсведенийиллюстрируетсярешеннымипримерами.(Началорешенияпримеровобозначеносимволом,ако-нец–.)Затемдаютсяподборкизадачсответамидлявсехпрактическихаудиторныхзанятий(AЗ)исамостоятельных(мини-контрольных)работна10–15минвовремяэтихзанятий.И,наконец,приводятсянедельныеиндивидуальныедомашниезадания(ИДЗ),каждоеизкоторыхсодержит30вариантовисо-провождаетсярешениемтиповоговарианта(письменнаякон-сультация).ЧастьзадачизИДЗснабженаответами.Вконцекаждойглавыпомещеныдополнительныезадачиповышеннойтрудностииприкладногохарактера.Некоторыеизних(поме-ченныезвездочкой)могутслужитьтемамидлянаучно-иссле-довательскойработыстудентов.

Вприложенияхприведеныодно-идвухчасовыеконтроль-ныеработы(каждаяпо30вариантов)поважнейшимтемамкурса.

НумерацияAЗсквознаяисостоитиздвухчисел:первоеизнихуказываетнаглаву,авторое–напорядковыйномерAЗвэтойглаве.Например,шифрАЗ-18.1означает,чтоAЗотно-ситсяквосемнадцатойглавеиявляетсяпервымпосчету.

ДляИДЗтакжепринятанумерацияпоглавам.Например,шифрИДЗ-17.2означает,чтоИДЗотноситсяксемнадцатойглавеиявляетсявторым.ВнутрикаждогоИДЗпринятаследу-ющаянумерация:первоечислоозначаетномерзадачивданномзадании,авторое–номерварианта.Такимобразом,шифрИДЗ-17.2:16означает,чтостудентдолженвыполнить16-йва-риантизИДЗ-17.2,которыйсодержитзадачи1.16,2.16,3.16,4.16,5.16.ПривыдачеИДЗстудентамномеравыполняемыхвариантовможноменятьотзаданиякзаданиюпокакой-либосистемеилислучайнымобразом.Болеетого,можнопривы-дачеИДЗлюбомустудентусоставитьеговариант,комбинируяоднотипныезадачиизразныхвариантов.Например,шифр

6

ИДЗ-16.1:1.2;2.4;3.6означает,чтостудентуследуетрешатьвИДЗ-16.1первуюзадачуизварианта2,вторую–изварианта4итретью–изварианта6.Такойкомбинированныйметодвы-дачиИДЗпозволяетиз30вариантовполучитьбольшоеколи-чествоновыхвариантов.

ВнедрениеИДЗвучебныйпроцесснекоторыхтехническихуниверситетовпоказало,чтоцелесообразнеевыдаватьИДЗнепослекаждогоAЗ(которых,какправило,двавнеделю),аоднонедельноеИДЗ,включающееосновнойматериалдвухAЗданнойнедели.

Дадимнекоторыеобщиерекомендациипоорганизацииработывсоответствииснастоящимпособием.

1.Студенческиегруппыпо25человек,проводитсядваAЗвнеделю,планируютсяеженедельныенеобязательныедляпо-сещениястудентамиконсультации,выдаютсянедельныеИДЗ.Приэтихусловияхдлясистематическогоконтролясвыставле-ниемоценок,указаниемошибокипутейихисправлениямогутбытьиспользованывыдаваемыекаждомупреподавателюма-трицыответовибанклистоврешений,которыекафедрараз-рабатываетдляИДЗ(студентамониневыдаются).Еслиматри-цыответовсоставляютсядлявсехзадачизИДЗ,толистыре-шенийразрабатываютсятолькодлятехзадачивариантов,гдеважнопроверитьправильностьвыбораметода,последователь-ностидействий,навыкииуменияпривычислениях.Кафедраопределяет,длякакихИДЗнужнылистырешений.Последние(одинвариант–наодномлисте)используютсяприсамокон-тролеправильностивыполнениязаданий,взаимномстуденче-скомконтроле,ачащевсего–прикомбинированномконтро-ле:преподавательпроверяетлишьправильностьвыборамето-да,астудентполистурешений–своивычисления.ЭтиметодыпозволяютпроверитьИДЗ25студентовза15–20минсвыстав-лениемоценоквжурнал.

2.Студенческиегруппыпо15человек,проводитсядваAЗвнеделю,врасписаниедлякаждойгруппывключеныобязатель-ные2чвнеделюсамоподготовкиподконтролемпреподавате-ля.Приэтихусловияхорганизацияиндивидуальной,самосто-ятельной,творческойработыстудентов,оперативногоконтро-лязакачествомэтойработызначительноулучшается.Рекомен-дованныевышеметодыпригодныивданномслучае,однакопоявляютсяновыевозможности.НаAЗбыстреепроверяютсяиоцениваютсяИДЗ,вовремяобязательнойсамоподготовкиможнопроконтролироватьпроработкутеорииирешениеИДЗ,

выставитьоценкинекоторойчастистудентов,принятьзадол-женностипоИДЗуотстающих.

НакапливаниебольшогоколичестваоценокзаИДЗ,само-стоятельныеиконтрольныеработываудиториипозволяютконтролироватьучебныйпроцесс,управлятьим,оцениватькачествоусвоенияизучаемогоматериала.Всеэтодаетвозмож-ностьотказатьсяоттрадиционногоитоговогосеместрового(годового)экзаменапоматериалувсегосеместра(учебногогода)иввестирейтинг-блок-модульнуюсистему(РБМС)оцен-кизнанийинавыковстудентов,состоящуювследующем.Ма-териалсеместра(учебногогода)разделяетсяна2–3блока,покаждомуизкоторыхвыполняютсяAЗ,ИДЗивконцекаж-догоцикла–двухчасоваяписьменнаяколлоквиум-контрольнаяработа(блочныйэкзамен,блочнаяконтрольнаяработа–БКР),вкоторуювходит2–3теоретическихвопросаи5–6задач.УчетоценокпоAЗ,ИДЗиБКРпозволяетвывестиобъективнуюобщуюоценкузакаждыйблокиитоговуюоценкуповсембло-камсеместра(учебногогода).

Взаключениеотметим,чтоусвоениесодержащегосявпо-собииматериалаприлюбойсистемеобучениягарантируетстудентузнанияпосоответствующимразделамкурсавысшейматематики.Дляотличноуспевающихстудентовнеобходимаподготовказаданийповышеннойсложности(индивидуальныйподходвобучении!)сперспективнымипоощрительнымиме-рами.Например,можноразработатьдлятакихстудентовспеци-альныезаданиянавесьсеместр,включающиезадачиизданно-гопособияидополнительныеболеесложныезадачиитеоре-тическиеупражнения(дляэтого,вчастности,предназначеныдополнительныезадачивконцекаждойглавы).Преподавательможетвыдатьэтизаданиявначалесеместра,установитьграфикихвыполнения(подсвоимконтролем),разрешитьсвободноепосещениелекционныхилипрактическихзанятийповысшейматематикеивслучаеуспешнойработывыставитьотличнуюоценку.Этаоценкадостигается,какправило,приучастиисту-дентавНИРС.

8

17. ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

17.1. Оригинал и изображение по Лапласу

Начальной функциейилиоригиналомназываютфункцию f t( )действительнойпеременнойt,удовлетворяющуюследующимусловиям:

1)  f t( )= 0приt < 0;2)существуютвещественныечисла M > 0иs такие,что

f t Mest( ) ≤ приt ≥ 0; (17.1)

3) f t( )–кусочно-непрерывнаяиинтегрируемаяналюбомконечномотрезкеизменения t.

Точнаянижняягрань s0всехчиселs,длякоторыхвыпол-няетсянеравенство(17.1),называетсяпоказателем роста функ-ции f t( ).

Еслисуществуетнесобственныйинтеграл

F p f t e dtpt( ) ( ) ,= −+∞

∫0

(17.2)

гдеp a bi= + ;Re ;p a= > 0 Im ,p b= тофункциюF p( )комплекс-нойпеременнойpназываютизображением функции  f t( )по Лапласу,илиее лапласовым изоб ражением,или просто изобра-жением.

Правило(17.2)полученияпозаданномуоригиналу f t( )изо-браженияF p( )называетсяпреобразованием Лапласа.

ЕслиRep a s s= ≥ > 0ивыполняетсяусловие(17.1),томож-нодоказать,чтонесобственныйинтеграл(17.2)абсолютносходитсяиопределяетаналитическуюфункциювполуплоско-сти a s> 0(рис.17.1).Приэтом

lim ( ) .Re p

F p→+∞

= 0 (17.3)

ЕслиF p( )–лапласовоизображение f t( ),тократкоэтоза-писываетсяввидеF p f t( ) ( )

�� илиF p L f t( ) { ( )}.=

Можнодоказать,чтовсякомуизображениюF p( ),удовлет-воряющемуусловию(17.3),соответствуетединственнаяначаль-наяфункция(оригинал).Принятыеобозначения: f t F p( ) ( )

��

или f t L F p( ) { ( )}.= −1

9

Р и с.17.1

Пример 1. Найтиизображениеединичнойфункции Хевисайда

σ0

0 0

0( )t

t

t=

<

≥

при ,

1 при .

Графикфункцииσ0( )t приведеннарис.17.2.

Р и с.17.2

Очевидно,чтоσ0( )t удовлетворяетвсемусловияморигиналаиs0 0= .Поформуле(17.2)имеем:

L t e dtp

ep

pt ptσ00 0

1 1( ) ,– –{ }= =− =

+∞ +∞

∫

таккак lim .Re

–

p

pte→+∞

= 0 Следовательно,L tp

σ0

1( ) ,{ }= т.е.σ0

1( ) .t

p��

Пример 2. НайтиизображениеF p( )функцииe tα ,гдеα ∈R.Имеем:

L e e e dt e dte

p pt pt t p t

p tα α α

α

α α{ }= = =−−

=−

−+∞

− −+∞ − − +∞

∫ ∫0 0 0

1( )( )

,

еслиRe .p s> =α 0

10

Следовательно,ep

tα

�

1

−.

З а м е ч а н и е. Изопределенияоригиналаследует,чтоневсякаяфункция f t( )являетсяоригиналом.Например,приневыполненииусловия(17.1)нетгарантиисходимостиинтеграла(17.2).Еслиинтеграл(17.2)расходится,тоговорят,чтофункция f t( )неявляетсяоригина-

лом.Нетруднопоказать,например,чтофункции f t t( ) ,=1/ f t et( ) ,=3

f t e t( ) /= 1 2

неявляютсяоригиналами,таккакинтеграл(17.2)длянихрасходится.

Перечислимосновные свойства оригиналов и изображений.1. Свойство линейности.ЕслиF p f tk k( ) ( ),

�� k n=1 2, , ..., ,то

c f t c F pk kk

n

k kk

n

( ) ( ),= =∑ ∑

1 1�� (17.4)

гдеck –любыедействительныеиликомплексныечисла.2.Теорема смещения. Если f t F p( ) ( ),

�� тодлялюбогоком-

плексногочислаαимеем:

e f t F p p stα α α( ) ( ), Re Re .�� − > + 0 (17.5)

3.Теорема подобия.Если f t F p( ) ( )�� иλ > 0,то

f t Fp

( ) .λλ λ��

1

(17.6)

4.Теорема о дифференцировании изображения.Если f t F p( ) ( ),��

f t F p( ) ( ),�� то

( )( )

( ).−1 nn

nnd F p

dpt f t�� (17.7)

5.Теорема о дифференцировании оригинала.Если f t F p( ) ( ),�� то

′ −

′′ − − ′

f t pF p f

f t p F p pf f

( ) ( ) ( ),

( ) ( ) ( ) ( ),

.............

��

��

0

0 02

...................................

( ) ( ) (( )f t p F p p fn n n

�� − −1 0)) ( ) ... ( ).( )− ′ − −

− −p f fn n2 10 0

(17.8)

Если f f f n( ) ( ) ... ( ) ,( )0 0 0 01= ′ = = =− то f t p F pn n( )( ) ( ).��

11

6.Теорема запаздывания.Если f t F p( ) ( ),�� тодля t0 0>

f t t e F ppt( ) ( ).− −0

0

�� (17.9)

Сверткой двух функций f t1( )и f t2( ),обозначаемой f t f t1 2( ) ( ),∗ называетсяфункция,определяемаяравенством

f t f t f f t d1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) .∗ = −−∞

∞

∫ τ τ τ

Если f t1( ), f t2( )–оригиналы,т.е. f1 0( )τ ≡ приτ > t,тоихсверткапредставимавследующемвиде:

f t f t f f t d f t f dt t

1 2 1 20

1 20

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .∗ = − = −∫ ∫τ τ τ τ τ τ (17.10)

Сверткадвухоригиналовявляетсяоригиналом.Длянеесправедливыследующиесвойства:

1)  f f f f1 2 2 1∗ = ∗ (коммутативность);2)( ) ( )f f f f f f1 2 3 1 2 3∗ ∗ = ∗ ∗ (ассоциативность);3)( ) ( ) ( )c f c f f c f f c f f1 1 2 2 3 1 1 3 2 2 3+ ∗ = ∗ + ∗ (линейность).7.Теорема Бореля, или теорема свертывания.Если  f t F p1 1( ) ( ),

��

f t F p2 2( ) ( ),�� то

f t f t F p F p1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ).∗ �� (17.11)

Формула(17.11)называетсяформулой умножения изображе-ний.Оначастоприменяетсядлявосстановленияоригиналапоегоизображению.

8.Теорема об интегрировании оригинала.Если f t F p( ) ( ),�� то

f dF p

p

t

( )( )

.τ τ��

0∫ (17.12)

9.Теорема об интегрировании изображения.Если f t F p( ) ( )��

иинтеграл F z dzp

( )+∞

∫ сходится,то

f t

tF z dz

p

( )( ) .

��

+∞

∫ (17.13)

10.Теорема об изображении периодической функции.Пустьf t( )–периодическаяфункцияпериодаTи f t F p( ) ( ).

�� Если

12

F p0( ) – изображение функции f t t t T( )( ( ) ( )),σ σ0 0− − т.е.

F p f t e dtptT

00

( ) ( ) ,= −∫ то

F pF p

eppT( )

( ), Re .=

−>−

0

10 (17.14)

Сцельюпроверкиправильностиполученныхрезультатоввоперационномисчислениичастоиспользуютпредельные со-отношения.

11.Теорема о предельных соотношениях.Если f t( ), ′f t( )–оригиналыи f t F p( ) ( ),

�� то

lim ( ) lim ( ),p t

pF p f t→ →∞

=0

(17.15)

lim ( ) lim ( ) ( ).Re p t

pF p f t f→+∞ → +

= =0

0 (17.16)

Соотношения(17.15)и(17.16)называютсяпредельными со-отношениями связи между изображением и оригиналом.

12.Фор мула Дюамеля. ПрирешениирядапрактическихзадачиспользуетсяформулаДюамеля

pF p F p f t f f f t dt

1 2 1 2 1 20

0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,�� + ′ −∫ τ τ τ (17.17)

где f t1( )–непрерывнаяфункция; f t2( )имеетнепрерывнуюпро-изводную;F p f t1 1( ) ( );

�� F p f t2 2( ) ( ).

��

Пример 3. Найтиизображенияоригиналов f t t( ) sin= и f t t( ) cos .=

Известно,что sin te e

i

it it

=− −

2и cos .t

e eit it

=+ −

2Тогдаизсвойства1

следует:

sin ,ti p i p i i

i

p p��

1

2

1 1 1

2

2

1

1

12 2−−

+

= +

=+

cos .tp i p i

p

p

p

p��

1

2

1 1 1

2

2

1 12 2−+

+

= +

=+

Итак,sin ,tp��

1

12 +cos .t

p

p�� 2 1+

13

Пример 4.Записатьизображенияуказанныхфункций-оригиналов:sin ,βt cos ,βt sh ,βt ch .βt

Посколькуизвестныизображениядляsin t иcos ,t тоизображенияsinβt иcosβt могут быть найдены с помощью теоремы подобия(см.формулу(17.6)):

sin( )

,ββ β β

ββ

ββ

tp p p�

�1 1

1

12

2

2 2 2 2/ + ++= =

cos( )

.ββ

ββ β

ββ β

tp

p

p

p

p

p��

1

1

12 2

2

2 2 2 2

/

/ + ++= =

Далее:

sh ,ββ β

te et t

=− −

2ch .β

β β

te et t

=− −

2

Тогдаизпримера2исвойствалинейностиследует:

sh ,ββ β

ββ

tp p p�

�1

2

1 12 2−

−+

= −

ch .ββ β β

tp p

p

p��

1

2

1 12 2−

++

= −

Пример 5.Найтиизображенияоригиналовe ttα βsin иe ttα βcos .

Посколькуsin ,βββ

tp�� 2 2+

cos ,ββ

tp

p�� 2 2+

тоизтеоремысме-

щенияследует,что

e tp

tα ββα β

sin( )

,��

− +2 2 e tp

ptα β

αα β

cos( )

.��

−− +2 2

Пример 6. Найтиизображенияоригиналов: t, t n, t en tα , t tsin ,β t tcos .βИзвестно,чтоσ0 1( ) .t p

�� / Тогдапоправилудифференцирования

изображениянаходим:

td

dp p p��−

=

1 12 ,t

d

dp p p2 2

2

2 311 2

�� ( )

!,−

=

td

dp p pt

d

dp

n

p

n

pn

n n3

2

3 4

2 3 1��

��−

= −

−

=

! !, ...,

( )! ! ++1 .

14

Изтеоремысмещенияследует,что

t en

pn t

nα

�

!

( ).

− +1

Знаяизображения sinβt и cos ,βt изтеоремыoдифференцирова-нииизображенияполучаем:

t td

dp p

p

psin

( ),β

ββ

ββ�

�−+

=

+2 2 2 2 2

2

t td

dp

p

p

p p

p

p

pcos

( ) ( ).β

ββ

βββ�

�−+

=−

+ −+

=−+2 2

2 2 2

2 2 2

2 2

2 2 2

2

Пример 7.Найтиизображенияоригиналов:

а)e tt−5 sin ;π б)ch cos ;2 3t t в)sin cos .5 2t t

а)Таккакsin ,πππ

tp�� 2 2+

топосвойствусмещения

e tp

t−

+ +5

2 25sin

( ).π

ππ�

�

б)Посколькуch cos ( )cos ,2 31

232 2t t e e tt t= + − тоизсвойствалиней-

ностиитеоремысмещенияследует,что

ch cos( ) ( )

.2 31

2

2

2 9

2

2 92 2t tp

p

p

p��

−− +

++

+ +

в)Таккакsin cos (sin sin ),5 21

27 3t t t t= + тоизсвойствалинейности

следует,что

sin cos .5 21

2

7

49

3

92 2t tp p�

�+

++

Пример 8.Найтиизображенияоригиналов:

а) ( ch sin ) ;e z e z dzz zt

− +∫ 5 3

0

2 4 б) ( ) .z z z z e dzzt

5 4 2 2

0

4 3 2− + −∫ а)Найдем изображение оригинала f t e t e tt t( ) ch sin .= +−5 32 4

Изсвойствaлинейностиитеоремподобияисмещенияполучаем:

15

e t e tp

p pt t− +

++ −

+− +

5 32 22 45

5 4

4

3 16ch sin

( ) ( ).

��

Тогдасогласноправилуинтегрированияоригиналаимеем:

( ch sin )( ) ( )

.e z e z dzp

p

p pz z

t− +

++ −

+− +

∫ 5 3

02 22 4

1 5

5 4

4

3 16��

б)Найдемизображениеоригинала:

t t t tp p p p

5 4 26 5 3 24 3 2

5 4 4 6 2− + − −

⋅+ −

��

! !.

Тогдапотеоремесмещения

( )!

( )

!

( ) ( ) ( ).t t t t e

p p p pt5 4 2 2

6 5 3 24 3 25

2

4 4

2

6

2

2

2− + −

−−

⋅−

+−

−−�

�

Использовавтеoремуобинтегрированииоригинала,получим:

( )z z z z e dzzt

5 4 2 2

0

4 3 2− + −∫ ��

��

1 120

2

96

2

6

2

2

26 5 3 2p p p p p( ) ( ) ( ) ( ).

−−

−+

−−

−

Пример 9. Найтиоригиналыследующихизображений:

а)1

92p p( );

+б)

1

92 2p p( );

+в)

1

2 3( ).

p+

а)Поскольку1

9

1

3

3

9

1

332 2p p

t+

=+ �� sin , топотеоремеобинте-

грированииоригинала

1

9

1

33

1

93

1

91 32

0 0p pzdz z t

t t

( )sin cos cos .

+=− = −( )∫��

б)Наоснованииформулы(17.12)сучетомрезультатов,полученныхвп.«а»,имеем:

1 1

9

1

91 3

1

9

1

33

1

9

1

332 2

0 0p p

z dz z z t tt t

+− = −

= −∫�� ( cos ) sin sin

.

16

в)Посколькуtp

23

2��

!,то

1

23

2

p

t��

!.Наоснованиитеоремысмещения

получаем:

1

2 232

2

( ) !.

pe

tt

+−

��

Пример 10.Найтиизображениефункции f tt

te t( )

cos.=

− −1 2 5

Посколькуфункция f t( )непрерывнапривсехt > 0и

lim ( ) limcos

limsin

sin ,t t

t

t

tf tt

te

t

tt e

→+ →+

−

→+

−=−

= ⋅ ⋅ =0 0

5

0

51 22 0

тоонаявляетсяоригиналом.Очевидно,что1 21

42− −+

cos .tp

p

p�� Из

правилаинтегрированияизображенияследует,что

1 2 1

4

1

42 2

−−

+

= −

+

=

+∞

→∞∫ ∫coslim

t

t z

z

zdz

z

z

zdz

p p��

β

β

= − +

=

+=

→∞ →∞lim ln ln( ) lim lnβ

β

β

β

z zz

zp p

1

24

4

2

2

=+

−+

= +

+→∞

lim ln ln ln ln .β

β

β2 2

2

4 41

4p

p

p

p

Применивтеоремусмещения,получим:

1 2 5 4

5

10 29

55

2 2− + ++

=+ +

+−cos

ln( )

ln .t

te

p

p

p p

pt

��

Пример 11.Найтиизображениеоригиналаcos( ),2t −π t ≥π/2.

Известно,чтоcos242t

p

p��

+(см.пример4).Тогданаосновании

теоремызапаздыванияполучаем:

cos( ) cos ./2 22 4

22t t ep

pp− = −

+

−ππ π

��

17

Пример 12.Найтисверткуоригиналовcos3tиsin t иизображениесвертки.

Согласноопределениюсвертки

cos sin cos sin( – ) sin( ) sin( )3 31

22 4

0 0

t t t d t t dt t

∗ = = + + −( )∫ ∫τ τ τ τ τ τ ==

= − + + −

=

1

2

1

22

1

44

0 0cos( ) cos( )t t

t tτ τ

= − + + −

=− +

1

2

1

23

1

2

1

43

1

4

1

83

1

8cos cos cos cos cos cos .t t t t t t

Следовательно,cos sin cos cos .31

83

1

8t t t t∗ =− +

Изображениеполученногооригиналанаходимсучетомсвойствалинейностиитеоремыподобия:

cos sin31

8 9

1

8 12 2t tp

p

p

p∗ −+

++

=��

=− − + +

+ +=

+ +1

8

9

9 1 9 1

3 3

2 2 2 2

p p p p

p p

p

p p( )( ) ( )( ).

Тотжерезультатможнополучитьдругимпутeм.Известно,что

cos ,392t

p

p��

+ sin t

p��

1

12 +(см.пример4).НаоснованиитеоремыБо-

реляимеем:

cos sin( )( )

.39 12 2t t

p

p p∗ + +��

Пример 13. Найтиоригинал f t( ),соответствующийизображению

F pp

p( )

( ).=

+2 24

Представимизображениеввиде

F pp

p p( ) .=

+ +2 24

1

4

Поскольку1

4

1

222p

t+ �� sin ,

p

pt2 4

2+ �� cos ,тонаоснованиифор-

мулы(17.11)

18

p

p pt t2 24

1

42

1

22

+ + ∗ =�� cos sin

= − = + − =∫ ∫1

22 2 2

1

42 2 4

0 0

cos sin( ) (sin sin( ))τ τ τ τ τt d t t dt t

= + −

= + − =

1

42

1

42 4

1

42

1

42

1

420 0

τ τsin cos( ) sin cos cost t t t t tt t

= =1

42t t f tsin ( ).

Пример 14. Найтиизображениеоригинала

f tt t

t t( )

, ,

, ,=

≤ <

− ≤ <

0 1

2 1 2

периодическипродолженногонаинтервал[ , )0 +∞ спериодомT = 2(рис.17.3).

Р и с.17.3

Посколькуоригиналпериодический,тосогласноформуле(17.14)

F pe

F ppT( ) ( ),=− −

1

1 0

гдеT = 2;F p f t e dt te dt t e dtpt pt pt0

0

2

0

1

1

2

2( ) ( ) ( ) .= = + −− − −∫ ∫ ∫Интегрируяпочастям,находим:

te dtp

te dtp

e dtpt pt pt− − −∫ ∫=− + =0

1

0

1

0

11 1

=− − =− + −− − − −1 1 1 1 12

0

1

2 2pe

pe

pe

p pep pt p p,

19

( ) ( )2 21 1

1

2

1

2

1

2

− =− − − =− − −∫ ∫t e dt tp

ep

e dtpt pt pt

= + = + −− − − − −1 1 1 1 12

1

2

22

2pe

pe

pe

pe

pep pt p p p.

Следовательно,

F pp

ep p

ep

ep

ep

ep p p p p0 2 2 2

22

1 1 1 1 1 1( )=− + − + + − =− − − − −

= − +− −1 2 12 2 2

2

p pe

pep p.

Изображениемдля f t( )будетфункция

F pe e

p e

e

p e p

e

e

p p

p

p

p

p

( )( )

( )

( )=

− +−

=−−

=−+

− −

−

−

−

−

−1 2

1

1

1

1 1

1

2

2 2

2

2 2 2 pp .

Пример 15. Найтиизображениепериодическойсистемыимпульсов,приведенныхнарис.17.4.

Р и с.17.4

Заданнуюграфическипериодическуюфункцию f t( ) cпериодомТможноспомощьюединичнойфункцииХевисайдаσ0( )t представитьаналитически:

f tA t t t

t t T( )

( ) ,

,=

≤ <

≤ <

σ0 0

0

0

0

при

при

поэтому

F p f t e dt Ae dtA

pe

A

p

Ae

ppt

Tpt

t

ptt pt

00 0 0

0 0 0

( ) ( ) .= = =− = −− − −−

∫ ∫

20

Тогдаизформулы(17.14)следует,что

f tA

p ee

A e

p epTpt

pt

pT( )( )

( )( )

( ).

��

11

1

10

0

−− =

−−−

−−

−

Пример 16.Найтиоригинал f t( )поегоизображению

F pp

p( )

( ).=

+5

4

2

2 2

ПредставимF p( )ввидепроизведения 54

1

42 2pp

p p+ +.Посколь-

куp

pt

pt2 24

21

4

1

22

+ +��

��cos , sin , топоформулеДюамеля(17.17)по-

лучим:

54

1

45 2

1

22 5 2

1

222 2

0

pp

p p

d

dtt t

d

dt

t

+ + ∗

= ⋅∫�

� cos sin cos sin (τ tt d−

=τ τ)

= ⋅ − = − − =∫ ∫5 2 25

22 2 4

0 0

cos cos ( ) (cos cos( ))τ τ τ τ τt d t t dt t

= + −

= − −

5

22

1

42 4

5

22

1

42

1

42

0

τ τcos sin( ) cos sin sint t t t t tt

=

= −

=

5

22

1

22t t t f tcos sin ( ).

Пример 17. Записатьизображениедифференциальноговыражения2 3′′ − ′ +f t f t f t( ) ( ) ( ),еслиF p f t( ) ( )

�� и f ( ) ,0 1= ′ =−f ( ) .0 1

Поформулам(17.8)имеем:

′ −f t pF p( ) ( ) ,�� 1 ′′ − +f t p F p p( ) ( ) .

�� 2 1

Тогдаизсвойствалинейностиследует,что

2 3 2 2 2 3 32′′ − ′ + − + − + + =f t f t f t p F p p pF p F p( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )��

= − + − +( ) ( ) .2 3 1 2 52p p F p p

Основные свойства изображений Лапласа приведенывприл.1,наиболеечастовстречающиесяприрешениизадачоригиналыиихизображения–вприл.2.

Вматематикеиразличныхееприложениях,напримервме-ханике,электротехнике,теорииавтоматическогорегулирова-

21

ния,широкоиспользуютсятакназываемыеимпульсныефункциииихизображения.Рассмотримфункцию

σ σ σ1 0 0

10 0

1 0

0

( , ) ( ( ) ( ))

,

,t hh

t t h

t

h t h

h t

при

/ при

при

= − − =<≤ <≤ <++∞

,

график которой приведен нарис.17.5.

Еслиданнуюфункциюинтер-претироватькаксилу,действую-щуювпромежутоквремениот0доh, авостальноевремяравнуюнулю,тоочевидно,чтоимпульс

этойсилыравен σ1 1( , ) .t h dt−∞

+∞

∫ =

ПосколькуизображениефункцииХевисайдаσ( )t известно,то,пользуясьсвойствомлинейностиизображения,получаем:

σ1

1( , ) .t h

p

e

h

ph

��

−

Вмеханикечасторассматриваютсилы,действующиевоченькороткийпромежутоквремени(или,какговорят,«мгновенно»)иимеющиеконечныйимпульс,поэтомубылавведенафункцияδ σ( ) lim ( , ),t t h

h=

→01 котораяназываетсяединичной импульсной 

 функ циейилидельта-функцией Дирака.Изложенноевышепозволяетсчитать,чтопоопределению

δ( ) .t dt−∞

+∞

∫ =1 Последнееравенствоможнозаписатьтакжеввиде

δ( ) .t dt0

0

1∫ = Тогда

δ( ) lim lim .th

e

p p

pe

h

ph

h

ph

��

→

−

→

−−= =

0 0

1 1 1

11

ЗдесьпринахождениипределабылопримененоправилоЛо-питаля.

Рассмотримδ( )t каксилу,действующуюнаматериальнуюточкуединичноймассы.Дляэтогонайдемрешениедифферен-

Р и с.17.5

22

циальногоуравнения ′′ =s t t( ) ( ),δ удовлетворяющееначальнымусловиям s( ) ,0 0= ′ =s ( ) .0 0 Егооператорноеуравнениеp s p2 1�( ) ,=

p s p2 1�( ) ,= откуда �s pp

( ) ,=1

2 s t t( ) ,= v t( ) .=1 Такимобразом,функ-

циюδ( )t можнотрактоватькаксилу,сообщающуюматериаль-нойточкеединичноймассывмоментвремени t = 0скорость,равнуюединице.

Функциюδ( )t t e pt− −0

0

�� можносчитатьимпульснойсилой,

действующейвмоментвремениt0.Рассмотримуравнение ′′ = +s t f t t( ) ( ) ( )δ сначальнымиусло-

виямиs s( ) ( ) .0 0 0= ′ = Егооператорноеуравнение

p s p F p2 1�( ) ( ) ,= + �s pF p

p p( )

( ),= +2 2

1

откудаs t f t d tt

( ) ( )( ) .= − +∫ τ τ τ0

Очевидно,чтоктакомужере-

зультатупридем,решивуравнение ′′ =s t f t( ) ( )придругихна-чальныхусловиях:s( ) ,0 0= ′ =s ( ) .0 1

Изопределенияδ( )t следует,что

δ τ τ( ),

,d

t

t

t

−∞∫ =

−∞< <≤ <+∞

0 0

1 0

при

при

т.е.σ δ τ τ0( ) ( )t dt

=−∞∫ –единичнаяфункцияХевисайда.Диффе-

ренцируяобечастипоследнегоравенства,получаем:δ σ( ) ( ).t t= ′0Введемфункцию

δ δ1

2

2

1 0

1 2

0, ( ) ( ( ))

,

,h ht t h

h t h

h h t h

t

= − ′ =

≤ <

− ≤ <−∞<

/ при

/ при

при << ≤ <+∞

0 2, , h t

изображеннуюнарис.17.6.Длянееопределимимпульсную функ цию второго порядка δ1( )t поформулеδ δ1

01( ) lim ( ).,t t

hh=

→Функцияδ1( )t удовлетворяетследующимусловиям:

1)δ1 0( )t = приt ≠ 0;

2)δ1 0( ) ,− =−∞ δ1 0( ) ;+ =+∞

23

Р и с.17.6

3) δ τ τ δ1( ) ( ),d tt

=−∞∫ δ1 0( ) ,t dt =

−∞

+∞

∫ dt dt

−∞

+∞

−∞∫ ∫ =δ τ τ1 1( ) .

Изображениеδ1( )t находимкакпределприh→ 0изображе-нияфункцииδ1, ( ),h t котороеопределяетсяформулой

δ1 2

2

221 1 2 1

1, ( ) ( ) ,h

ph phpht

h p

e

p

e

p h pe

�� − +

= −

− −−

т.е.L th p

e ph

ph{ ( )} lim ( ) ,δ10

221

1= − =→

− δ1( ) .t p��

Найдем,например,решениедифференциальногоуравнения′′ =s t t( ) ( )δ1 принулевыхначальныхусловиях.Имеемсоответ-

ствующееоператорноеуравнение p s p p2 �( ) .= Далее �s p p( ) ,=1/ s t t( ) ( ).= >1 0 Этоозначает,чтоимпульснаясилавторогопо-рядкаδ1( )t сообщаетматериальнойточкеединичноймассымгновенноеперемещениенаединицудлиныбездальнейшегодвижения.

17.2. Нахождение оригиналов по изображениям

Впредыдущемпараграфеописанаметодикаполученияизо-бражениймногихэлементарныхфункций,т.е.установленосо-ответствиеоригиналовиихизображений,атакженапростейшихпримерахпоказано,какпоизображениюнайтиоригинал.

Следующейважнойзадачейоперационногоисчисленияявляетсянахождениефункций-оригиналовпоихизображени-ям.Вобщемслучаеэтазадачаявляетсядостаточносложной.

334

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3Методические рекомендации. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

17. ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

17.1.ОригиналиизображениепоЛапласу. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 817.2.Нахождениеоригиналовпоизображениям . . . . . . . . . . . . . 2317.3.Приложенияоперационногоисчисления. . . . . . . . . . . . . . . 3017.4.Аудиторныезанятиякгл.17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5217.5.Индивидуальныедомашниезаданиякгл.17. . . . . . . . . . . . 6017.6.Дополнительныезадачикгл.17. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

18. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ УСТОЙЧИВОСТИ . . . . . . . . . . . . . . 90

18.1.Постановказадачи................................... 9018.2.Определениеустойчивости.Уравнениявозмущенного

движения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9118.3.ФункцииЛяпуноваитеоремыЛяпуноваобустойчивости

инеустойчивостирешенийдифференциальныхуравнений 9518.4.Линейныеоднородныедифференциальныеуравнения

спостояннымикоэффициентамииустойчивостьихрешений. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

18.5.Линейныеоднородныесистемыдифференциальныхуравненийспостояннымикоэффициентамииустойчивостьихрешений. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

18.6.Исследованиерешенийсистемнаустойчивостьпопервомуприближению. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

18.7.Аудиторныезанятиякгл.18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11018.8.Индивидуальныедомашниезаданиякгл.18. . . . . . . . . . . . 11318.9.Дополнительныезадачикгл.18. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

19. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

19.1.Некоторыепонятиякомбинаторики.Событияиихвероятности. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

19.2.Основныеаксиомытеориивероятностей.Непосредственноевычислениевероятностейсобытий. . . 132

19.3.Теоремысложенияиумножениявероятностей.Формулаполнойвероятности. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

19.4.ФормулыБайесаиБернулли.ЛокальнаяиинтегральнаятеоремыМуавра—Лапласа. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

19.5.Случайныевеличины.Общиезаконыраспределенияслучайныхвеличин. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

19.6.Числовыехарактеристикислучайныхвеличин. . . . . . . . . . 14619.7.Основныезаконыраспределенияслучайныхвеличин. . . . 15119.8.Системыслучайныхвеличиниихчисловыехарактеристики 15719.9.Аудиторныезанятиякгл.19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16819.10.Индивидуальныедомашниезаданиякгл.19 . . . . . . . . . . . 18119.11.Дополнительныезадачикгл.19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

20. ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ. . . . . . 229

20.1.Выборка.Эмпирическиезаконыраспределения. . . . . . . . . 22920.2.Числовыехарактеристикистатистическогораспределения 23220.3.Оценкачисловыххарактеристик.Методмоментов . . . . . . 24320.4.Методнаименьшихквадратов.Корреляционнаясвязь. . . 24820.5.Статистическаяпроверкагипотез . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25520.6.Аудиторныезанятиякгл.20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26420.7.Индивидуальныедомашниезаданиякгл.20. . . . . . . . . . . . 27420.8.Дополнительныезадачикгл.20. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302

Приложения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303Рекомендуемая литература. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333

Учебноеиздание

РябушкоАнтонПетровичЖурТатьянаАнтоновна

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

Теория и задачи

Учебноепособие

ВпятичастяхЧасть5

Операционное исчисление. Элементы теории устойчивости. Теория вероятностей. Математическая статистика

РедакторЕ.В. МалышеваХудожественныйредакторВ.А. Ярошевич

ТехническийредакторН.А. ЛебедевичКорректорТ.В. Кульнис

КомпьютернаяверсткаМ.В. Горецкой

Подписановпечать27.06.2018.Формат84×108/32.Бумагаофсетная.Гарнитура«Ньютон».Офсетнаяпечать.Усл.печ.л.17,64.Уч.-изд.л.16,7.

Тираж400экз.Заказ2609.

Республиканскоеунитарноепредприятие«Издательство“Вышэйшаяшкола”».Свидетельствоогосударственнойрегистрациииздателя,изготовителя,

распространителяпечатныхизданий№1/3от08.07.2013.Пр.Победителей,11,220004,Минск.

e-mail:market@vshph.comhttp://vshph.com

Открытоеакционерноеобщество«Типография“Победа”».Свидетельствоогосударственнойрегистрациииздателя,изготовителя,

распространителяпечатныхизданий№2/38от29.01.2014.Ул.Тавлая,11,222310,Молодечно.