บทท 3 เวกเตอร3.1 เวกเตอร

เวกเตอร คอ ปรมาณทบอกทงขนาดและทศทาง เราเขยนสวนของเสนตรงแทนขนาดเวกเตอรและหวลกศรแทนทศทาง

A

B C

D

u v

AB เปนเวกเตอรจาก ไป หรอ มขนาดเปนเวกเตอรจาก ไป หรอ มขนาด

A B u

AB u

CD C D v

CD v

MTH2103 Unit 3 1

3.2 การเทากนของเวกเตอร

u v เมอ 1.2. และ มทศทางเดยวกน

u v

u v

นยาม เทากบ กตอเมอ เวกเตอรทงสองมขนาดเทากน และมทศทางเดยวกน เขยนแทนดวยสญลกษณ

u v

u v

E

F

G

HA

B

C

D

u v a b

จากรป หรอหรอ

u v

a b

AB CD

EF GH

MTH2103 Unit 3 2

นยาม นเสธของ คอ เวกเตอรทมขนาดเทากบ แตมทศทางตรงขามกน เขยนแทนดวยสญลกษณ

u u

u

A

B C

D

u v

และ เปนนเสธกน เมอ 1.2. และ มทศ

ทางตรงขามกนนนคอ หรอ และ กบ เปนนเสธกน

u

u

v

v

u v

u v v u u v

MTH2103 Unit 3 3

ตวอยาง

A B

CD

O

จากรป เปนรปสเหลยมดานขนาน จงเขยนเวกเตอรทเทากบเวกเตอรตอไปน

ABCD

AB BA

AD CB

AO OA

BO OB

จงเขยนนเสธของเวกเตอรตอไปนAB BA

BC DA

AO OA

BO OB

MTH2103 Unit 3 4

3.3 การบวกเวกเตอร เขยนแทนดวย w u v

MTH2103 Unit 3 5

เวกเตอรศนย คอ เวกเตอรทมจดเรมตน และจดสนสดเปนจดเดยวกน เวกเตอรศนยจะมขนาดเทากบศนย เขยนแทนดวย 0

MTH2103 Unit 3 6

ส าหรบการลบเวกเตอร เรานยามดวยการบวกเวกเตอรกบนเสธของเวกเตอรตวลบ เขยนแทนดวย โดยทu v u v u v

จากรป เปนรปสเหลยมดานขนานABCD

A B

CD

u

v

เวกเตอรทเปนผลลบ จะมจดเรมตนและจดสนสด เปนจดสนสดของเวกเตอรทงสองทก าหนดให

MTH2103 Unit 3 7

สมบตของการบวกเวกเตอรก าหนดให และ เปนเวกเตอรใด ๆ ในระนาบ1. เปนเวกเตอรในระนาบ (สมบตปด)2. (สมบตการสลบท)3. (สมบตการเปลยนกลม)4. ม เปนเอกลกษณของการบวก โดยท

(สมบตการมเอกลกษณ)5. ม ทท าให (สมบตการมอนเวอรส)6. ถา แลว (สมบตการบวกดวยเวกเตอรทเทากน)

,u v w

u v

u v v u

u v w u v w

0 0 0u u u

u 0u u u u

u v u w v w

MTH2103 Unit 3 8

ตวอยาง จากรป ก าหนด เปนรปหกเหลยมดานเทามมเทา และ

ขอใดตอไปนจรง และขอใดไมจรง

ABCDEF

, AF ,AB u v BC w

12

12

___ 5.___1.

___ 6.___ 2.

___ 7.___ 3.

___8. 0___ 4.

BF v uAC u w

AO u v wAD u v w

BO v w uAE v w

AO DO OF OCFC v u w

MTH2103 Unit 3 9

3.4 การคณดวยสเกลาร

u

2u 2u

ก าหนดให เปนจ านวนจรง และ เปนเวกเตอร ผลคณระหวาง และ จะเปนเวกเตอร เขยนแทนดวย โดยท

a u

ua

au

1. ถา แลว2. ถา แลว จะมขนาดเทากบ

และมทศทางเดยวกบ3. ถา แลว จะมขนาดเทากบ

และมทศทางตรงขามกบ

0a 0au

0a au

au0a

a u

a u

u

u

MTH2103 Unit 3 10

สมบตของการคณเวกเตอรดวยสเกลารก าหนดให และ เปนเวกเตอรใด ๆ ในระนาบ และ เปนจ านวนจรง1. เปนเวกเตอรในระนาบ (สมบตปด)2. (สมบตการเปลยนกลม)3. (สมบตการแจกแจง)

4. (สมบตการมเอกลกษณ)

u v

au

a bu ab u

a b u au bu

a u v au av

1 1u u u

a b

MTH2103 Unit 3 11

ทฤษฎบท ส าหรบ และ ทไมเทากบ จะขนานกบ กตอเมอ มจ านวนจรง ทไมเทากบศนยทท าให

ทฤษฎบท ส าหรบ และ ทไมเทากบ และ ไมขนานกบ ถา แลวจะได และ

หมายเหต กบ ขนานกน หมายถง กบ มทศทางเดยวกน หรอมทศทางตรงขามกนกได

u

u

u

u

v

v

v

v

0

0

a

u av

0au bv

0a 0b

u uv v

MTH2103 Unit 3 12

ตวอยาง จากรป เปนรปสเหลยมดานขนาน ม เปนจดกงกลางของเสนทแยงมม ถา จงเขยนเวกเตอร และ ในรป และ

A B

CD

O

ABCD O

BD ,AB u AD v AO BO u

v

MTH2103 Unit 3 13

x

y

o

3.5 เวกเตอรหนงหนวยในปรภม 2 มต

i

j

x

y

o

4,3P

MTH2103 Unit 3 14

ให และ1. กตอเมอ2.3.4.5. ให และ เปนจดสองจดใด ๆ จะได

6. เวกเตอรหนงหนวย คอ เวกเตอรทมขนาดเทากบ 1 หนวย เวกเตอรหนงหนวยทมทศทางเดยวกบ แทนดวย

1 2A a i a j

1 2B b i b j

A B 1 1 2 2,a b a b

1 1 2 2A B a b i a b j

1 2cA ca i ca j

2 2

1 2 1 2A a i a j a a

1 1 1,P x y 2 2 2

,P x y

1 2 2 1 2 1PP x x i y y j

1

A

Au A

A A A

MTH2103 Unit 3 15

3.6 ผลคณภายในของเวกเตอร 2 เวกเตอร

นยาม ก าหนดให และ จะไดวา1 2B b i b j 1 2A a i a j

1 1 2 2A B a b a b

ในอกนยหนง เราสามารถหาผลคณสเกลาร โดยใชนยามcosA B A B

เมอ เปนมมระหวางเวกเตอร และ A B

ถาเวกเตอร ท ามม กบแกน จะไดวาA x cos sinA A i j

MTH2103 Unit 3 16

3.7 โปรเจกชนของเวกเตอร

โปรเจกชนของเวกเตอร บน มได 2 แบบ คอ1. สเกลารโปรเจกชน

2. เวกเตอรโปรเจกชน

A B

A

B

cosA B

AB

ProjB

A BA B

B B

MTH2103 Unit 3 17

3.8 การประยกตของเวกเตอรในระนาบ

1) ใชหาสมการเสนตรง ถาเสนตรงผานจด และตงฉากกบเวกเตอรจะมสมการ คอ

ขอสงเกต เวกเตอร ตงฉากกบเสนตรง เมอเสมอ เรยกเวกเตอร วา Normal Vector

1 1 1,P x y

N ai bj

1 10a x x b y y

N ai bj 0ax by c 0, 0a b

N

MTH2103 Unit 3 18

2) ใชหาระยะทาง จากจด ไปยงเสนตรง 1 1 1,P x y : 0L ax by c

1 1

2 2

ax by cd

a b

MTH2103 Unit 3 19

เวกเตอร 1 หนวยพนฐาน คอ เวกเตอรทเรมตนจากจด O ไปตามแกนพกดเปนระยะทาง 1 หนวย มอยดวยกน 3 เวกเตอร ไดแก

เรมจากจด O ไปยงจด (1, 0, 0)เรมจากจด O ไปยงจด (0, 1, 0) เรมจากจด O ไปยงจด (0, 0, 1) k

j

i

x

y

z

oi

jkส าหรบเวกเตอรทเรมจากจด O ไปยงจด P(x, y, z) ใด ๆ จะแทนดวย

OP xi yj zk

, ,P x y z

3.9 เวกเตอรหนงหนวยในปรภม 3 มต

MTH2103 Unit 3 20

การบวก - ลบเวกเตอรถาเราก าหนด เปนเวกเตอรในปรภม เราจะสามารถเขยนไดวาA

A ai bj ck

นยาม ก าหนดให และจะไดวา

1 2 3B bi b j b k 1 2 3A a i a j a k

1 1 2 2 3 3

1 1 2 2 3 3

A B a b i a b j a b k

A B a b i a b j a b k

MTH2103 Unit 3 21

เวกเตอรระหวางจด 2 จดในปรภม

ก าหนด และเวกเตอรทเรมจากจด ไปยงจด จะเขยนแทนดวย โดยท

1 1 1 1, ,P x y z 2 2 2 2, ,P x y z

1P 2P1 2PP

1 2 2 1 2 1 2 1PP x x i y y j z z k

ตวอยาง ก าหนดจงหา

2,1,8 , 0,3,5 , 4,3,0A B C

, , ,AB AC CB BC

MTH2103 Unit 3 22

ขนาดของเวกเตอร

A ai bj ck ก าหนด

ขนาดของเวกเตอร แทนดวย เมอA A

2 2 2A a b c

ตวอยาง ก าหนด และจงหา

3 2A i j k 4 2B i j k

, , ,A B A B A B

MTH2103 Unit 3 23

A xi yj zk

cA c xi yj zk cxi cyj czk

cA c A

การคณเวกเตอรดวยสเกลาร

ก าหนดให เปนสเกลาร และc

ตวอยาง ก าหนด จงหา3 2A i j k

2

3

1

4

A

A

A

A

MTH2103 Unit 3 24

เวกเตอรศนย

คอ เวกเตอรทมขนาดเทากบศนย แทนดวย

0 0 0 0i j k

เวกเตอรหนงหนวย

คอ เวกเตอรทมขนาดเทากบ 1 หนวยเวกเตอรหนงหนวยทมทศทางเดยวกบ แทนดวย

1

A

Au A

A A

A

MTH2103 Unit 3 25

นยาม ก าหนดให และจะไดวา

1 2 3B bi b j b k 1 2 3A a i a j a k

1 1 2 2 3 3A B a b a b a b

ในอกนยหนง เราสามารถหาผลคณสเกลาร โดยใชนยาม

cosA B A B

เมอ เปนมมระหวางเวกเตอร และ A B

3.10 ผลคณภายในของ 2 เวกเตอรใน 3 มต

MTH2103 Unit 3 26

คณสมบตของผลคณสเกลาร

2

1 1

2 0

3 0

4 0

5

6

7

i i j j k k

i j j k i k

A A A A

A B A B

A B B A

cA B A cB c A B

A B C A B A C

A B C A C B C

A B C D

MTH2103 Unit 3 27

3.11 ทศทางของเวกเตอร

x

y

o

u ai bj 2 2

2 2

cos

cos

a

a b

b

a b

MTH2103 Unit 3 28

2 2 2

2 2 2

2 2 2

cos

cos

cos

a

a b c

b

a b c

c

a b c

u ai bj ck

MTH2103 Unit 3 29

เมอ คอ เวกเตอร 1 หนวยทตงฉากกบทง และ BAn

3.12 ผลคณภายนอก; ผลคณเวกเตอร : A B

คณสมบตของผลคณเวกเตอร

i

jk

1 0

2

3 0

4

5

7

A B A B

A B B A

i i j j k k

i j k j k i k i j

j i k k j i i k j

cA dB cd A B

A B

A

B

MTH2103 Unit 3 32

3.13 กฎการกระจาย

A B C A B A C

B C A B A C A

3.14 ผลลพธของ sinA B n A B

เมอ คอ เวกเตอร 1 หนวยทตงฉากกบทง และ BAn

เรายงสามารถค านวณหาคา ไดอกวธหนง นนคอ ถาก าหนดA B

1 2 3A a i a j a k 1 2 3B bi b j b k

1 2 3

1 2 3

i j k

A B a a a

b b b

A B

ผลคณเวกเตอร 3 เวกเตอร มอยดวยกนทงสน 3 รปแบบ ไดแก(1) มผลลพธเปน เวกเตอร

(2) มผลลพธเปน สเกลาร

(3) มผลลพธเปน เวกเตอร

(4)

A B C

A B C

A B C

A B C ไมมความหมาย

3.15 ผลคณของเวกเตอร 3 เวกเตอร

ขอควรสนใจ รปแบบท (2) เรยกอกอยางไดวา Box product

เนองจาก ปรมาตรของรปทรงสเหลยมดานขนาน

โดยท

เมอ

A B C

A B C

1 2 3

1 2 3

1 2 3

a a a

A B C b b b

c c c

1 2 3

1 2 3

1 2 3

A a i a j a k

B b i b j b k

C c i c j c k

A

BC

A B C A B C

3.16 การประยกตของเวกเตอรใน 3 มต(1) เสนตรงในปรภม 3 มต

x

y

z

v

L

0 0 0 0, ,P x y z

สมการเสนตรง ทผานจด และขนานกบเวกเตอร จะเขยนอยในรปตวพารามเตอร เรยกวา สมการองตวแปรเสรม (parametric equation) ดงน

L 0 0 0 0, ,P x y z0

0

0

, .

x x at

y y bt t

z z ct

v ai bj ck

MTH2103 Unit 3 37

(2) มมระหวางเสนตรง 2 เสนในปรภม 3 มต

มมระหวางเสนตรง 2 เสนทตดกน กคอ มมระหวางเวกเตอรทมทศทางเดยวกนกบเสนตรงสองเสนนน

Mn

0P

normal vector

สมการระนาบทผานจด และมเวกเตอรเปนเวกเตอรตงฉากกบระนาบ จะมสมการอยในรป ดงน

0 0 0 0, ,P x y z n ai bj ck

0 0 0 0a x x b y y c z z

(3) ระนาบในปรภม 3 มต

ตวอยาง จงหาสมการระนาบทผานจด และตงฉากกบเวกเตอร

2, 3,5P

2 3 4n i j k

ตวอยาง จงหาสมการระนาบทผานจดและ

1, 3,2 , 2, 1,3A B

3,2,1C

1n

2n1M

2M

มมระหวางระนาบ กบ จะเทากบมมระหวางเวกเตอรตงฉาก (normal vector) ของทงสองระนาบนน

1M 2M

(4) มมระหวางระนาบ 2 ระนาบ

ดงนน การหามมระหวางระนาบ 1 1 1 1 1: 0M A x B y C z D

2 2 2 2 2: 0M A x B y C z D

มขนตอน ดงน(i) หาเวกเตอรตงฉาก และ ของระนาบ และ ตามล าดบ

นนคอ เราจะไดวา และ

(ii) หามมระหวาง และ โดยใชสตรผลคณสเกลาร

1n 2n1M 2M

1 1 1 1n Ai B j C k

2 2 2 2n A i B j C k

1n2n

1 2 1 2

1 2

1 2

cos

cos

n n n n

n n

n n

ตวอยาง จงหามมระหวางระนาบ กบระนาบ

3 2 6 15 0x y z

2 2 10 0x y z

M

0P

d

การหาระยะทางจากจดไปยงระนาบมขนตอน ดงน

0 0 0 0, ,P x y z

: 0M Ax By Cz D

(i) หาจดบนระนาบมา 1 จด เราจะเรยกวา จด Q

(ii) หาเวกเตอร ทตงฉากกบระนาบ ซงกคอMn n Ai Bj Ck

(iii) หาเวกเตอร 0QP

(iv) หาระยะทาง โดยใชสตร0n QP

dn

(5) ระยะทางจากจดไปยงระนาบ

ตวอยาง จงหาระยะทางจากจด ไปยงระนาบ 0 2,1,8P

3 2 6 12 0x y z