第 3 章 恒定电场和恒定磁场

§3-1 恒定电场的基本方程与场的特性1. 恒定电场的基本方程

由电荷守恒定律，可得恒定电流连续性原理

0 S

dSJc

导电媒质中恒定电场和静电场一样，满足环路定理：

0 l

dlE0 cJ 0 E

EJ c

引入标量电位函数 (r) ，即 E 02

2. 电功率 电动势

dt 时间内有 dq 电荷自元电流管的左端面移至右端面，则电场力作功为 dW = dUdq

EJdVdddUdIdt

dWdP ))(( SJlE 2EEJ

dV

dPp

把作用于单位正电荷上的局外力 Fe / q 设想为一等效场强，称为局外场强 Ee , 而电源的电动势 e 就可表示为

lEe de

3. 不同媒质分界面上的边界条件 (1) 两种不同导电媒质分界面上的边界条件

0 S

dSJc nn JJ 21 0

ldlE

tt EE 21

对线性各向同性媒质， 111 EJ 222 EJ 2

1

2

1

tg

tg

(2) 良导体与不良导体分界面上的边界条件

P

J2

n

2

1

J1

2

1

21 o901 o02

例如，钢的电导率 1 = 5106 S/m ，周围土壤的电导率 2 = 10-2 S/m ， 1 = 89，可知， 2 8。

良导体表面可近似看作为等位面

(3) 导体与理想介质分界面上的边界条件

02 nJ 01 nJ 01 nE

1121 /ttt JEE 导体的电导率 1 很大

02 nE

很小。E2n

J2tE2t

(4) 两种有损电介质分界面上的边界条件

P

J2

J1

2, 2

1, 1

nn JJ 21

nn EE 2211

nn DD 12

nn EE 1122

nJ 221

2112

§3-2 恒定电场与静电场的比拟 导电媒质中的恒定电场 ( 电源外 ) 介质中的静电场 ( = 0 处 )

只要两者对应的边界条件相同，则恒定电流场中电位 、电场强度 E 和电流密度 Jc 的分布将分别与静电场中的电位 、电场强度 E 和电位移矢量 D 的分布相一致。

U0

l

S

l

S

d

d

d

d

U

IG

lE

SE

lE

SJc

l

S

l

S

d

d

d

d

U

qC

lE

SE

lE

SD C

G

接地电阻

接地器和接地导线的电阻

接地器与大地的接触电阻

两接地器之间土壤的电阻

aR

G 41

跨步电压

半球形接地器场强：

rr

IeE

22

场中任意点 P 的电位为 ：

r

Idr

r

Id

r

22 2P

rEr

若人的一跨步距离 AB = b ，则在有地中电流的地面上，以 B点为中心，跨步电压值为 ：

22

11

2 r

Ib

rbr

IU BA

AB

规定 UAB < U0 = 50 ~ 70 V ，以 U0 为评定人身安全的临界电压，即可得知危险区半径 r0 。

20

02 r

IbU

00 2 U

Ibr

§3-3 恒定磁场的基本方程

Sl

dd SJlH c0

SdSB

cJH 0 BHB

真空中的安培环路定律 磁通连续性原理

安培力定律

I2

dl2

I1

dl1

eR

R

1 2

211220

21)(

4 l l R

dIdI Rllf

Bldf ddI 2221

2110

4 R

dId

RlB

毕奥沙伐定律

V

Vdrr

RrJrB c

20

4)(

r’ r

R P

S

Sd4

)( 20

rr

RrKrB

l

I2

0 d

4)(

rr

RlrB

§3-4 自由空间中的恒定磁场 (1) 基于场量 B 的分析

例 1. 真空中载流 I 有限长直导线所引起的磁感应强度

元电流 Idz，在点 P 处产生的磁感应强度 dB

ed

eRzdsindRzd

Bd

23

22

0

220

20

4

44

z

zI

z

zI

R

I

，

z

L

dz

I

Idz (dz,R)

R

P(,0,0)

R

z

e sine

eed

BdB

44

44

0

22

0

0

22

0

0 22

0

23

I

L

LI

z

zI

z

zIL

L

L

在点 P 处产生的磁感应强度B

z

1IP1

P2

P3

1

2

2

1

2

3

12

P1 、 P2 和 P3 点处的磁感应强度分别为

esinsinB1P 21

1

0

4

I

esinsinB2

P2 210

4

I

esinsinB3

P3 210

4

I

推论：若 L→∞ ，则在距离导线处场点上的磁感应强度为

ee22

B

2sinsin

400 II

(2) 基于矢量磁位 A 的分析

可以定义矢量磁位函数 A AB

矢量磁位的旋度旋度方程 JA 0

应用矢量恒等式 AAA 2)( 可得JAA 0

2)( 引入库伦规范 0 A

可得 J02 A

矢量形式的泊松方程

在直角坐标系下，可以表示成三个标量方程

zyx JAJAJA zyx 02

02

02 ;;

对照泊松方程的解，对应体分布电流，可得

;4

;4

;4

000

Vz

zVy

yVx

x R

VdJA

R

VdJA

R

VdJA

V R

VdJA

4

0

对应面分布和线分布电流，分别得

S R

SdKA

4

0

l R

IdlA

4

0

借助矢量磁位求磁通的计算式

SS

SdASdB l

ldA

【例】空气中长度为 2L 的长直载流细导线在其中截面上的矢量磁位和磁感应强度。

L

BdAA

o

P(x,y,0)

z

Idz

dz

L

x

y

z

R

z

L

Lz

L

Lz

zz

LLI

z

zdI

R

zdI

A

e

e

e

eA

lnln2

4

4

220

22

0

0

当 L>> 时，可表示为 zLI

eA

2ln

20

当 L时，可取 =0 的点为零磁位参考点，则

zI

eA 00 ln

2

相应的磁感应强度

eeAB

2

0IAz

(3) 基于标量磁位 m 的分析

在无源区中，因有 B=0, 可以引入一个标量位函数 m ,

m0 B

m(r) 称为标量磁位 。自由空间中 P 和 Q 两点间磁压为

0)( 200 mmB 02 m

mQmPm

Q

PmPQ

mQ

mP

lB

ddU

0

1

当场中存在电流分布时，标量磁位是多值的。

Pn

I

Q

mr

Id 0 PnQmP

lB IddPmQPnQ

0 lBlB

Id 02 PrQmP

lB IddPmQQ

0Pr

2 lBlB

标量磁位参考点 mQ = 0 ，场中任意点 P 的标量磁位

Q

PmP lB d

0

1

立体角

2R

dd ReS

dS

eR

R

P

真空中载流回路产生的标量磁位

P 4

P

0

R

l

-dl eR

dl

Pd

I

dl

载流回路 l 在真空中点 P 所产生的磁感应强度为

l

R

R

I2

0

4)(

eldrB

Q

Q

PmP lB d

0

1

l

R

l

R

l

R

R

ddI

R

ddI

R

dId

2

220

4

44

1

ell

ellld

ellB

mdd

Id

4

1

0

lB

取无穷远点为零磁位参考点，则

4

Im 有向载流回路对 P 点

所张的立体角 =-