§ 5 － 3 刚体的角动量守恒定律

一、刚体定轴转动的角动量刚体上的一个质元 ,绕固定轴做圆周运动角动量为：

2iii rmL

所以刚体绕此轴的角动量为：

)( 2 i

iii

i rmLL

刚体对固定转动轴的角动量 L, 等于它对该轴的转动惯量 J 和角速度 的乘积。

JL mi

o

oL

ri

vi

二、转动定律二、转动定律1 、一个质点的情况

法向力 Fn=man ，通过转轴，力矩为零

切向力 Ft=mat=mrα对转轴的力矩为 M= Ft r= mr2α质点的角加速度与质点所受的力矩成正比

2 、内力矩

df

f ’

刚体内任意两点之间的相互作用力，大小相等，方向相反，在同一条直线上。两力的力臂相等，因而两力的力矩相等，方向相反。故两个内力的合力矩为零。推广：刚体的内力力矩之和为零。

Fn

Ft

3 、刚体的情况

把刚体看成是由许多质点所组成的，对于质点 i ，假设它的质量为△ mi ，所受的外力为 F

i ，内力为 f i ，则

2iii rmM ＝其中 Mi 为外力矩和内力矩之和。

2iii rmM＝

合力矩＝外力矩之和＋内力矩之和 = 外力矩之和 =M

22iiii rmrm ＝

2iirmJ＝

定义转动惯量

JM 转动定律：刚体绕定轴转动时，刚体的角加速度与它所受的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比。

说明：1) 合外力矩和转动惯量都是相对于同一转轴而言的；2) 转动定律的地位与质点动力学中牛顿第二定律相当，是解决刚体定轴转动问题的基本方程。

三、转动惯量三、转动惯量1 、定义

刚体的转动惯量等于刚体上各质点的质量与各质点到转轴距离平方的乘积之和。

2 、说明 •转动惯量是标量； •转动惯量有可加性； •单位： kg·m2

3 、转动惯量的计算

若质量连续分布 dmrJ 2

i

iirmJ 2＝若质量离散分布

y ri

x

z

yi

xi

mi Δ

例 1 、求长为 L 、质量为 m 的均匀细棒对图中不同轴的转动惯量。

A B

L X

A B

L/2 L/2

C

X

解：取如图坐标， dm=dx

2

2

2L

LC dxxJ

L

A dxxJ0

2

3/2mL

12/2mL

例 2 、求质量为 m 、半径为 R 的均匀圆环的转动惯量。轴与圆环平面垂直并通过圆心。

RO

解：

222 mRdmRdmRJ dm

ROdm

例 2 、求质量为 m 、半径为 R 、厚为 l 的均匀圆盘的转动惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。

解：取半径为 r 宽为 dr 的薄圆环 ,

lrdrdm 2

drlrdmrdJ 32 2

lRdrlrdJJR 4

0

3

2

12

可见，转动惯量与 l 无关。所以，实心圆柱对其轴的转动惯量也是 mR2/2 。

22 2

1mRJ

lR

m

Rr

dr

4 、影响刚体转动惯量的因素•刚体的总质量：形状、大小和转轴都相同的匀质刚体，总质量越大，则转动惯量越大；•刚体的质量分布：形状、大小和转轴都相同的刚体，质量分布离轴越远，转动惯量越大；•转轴位置：同一刚体，对不同位置的转轴，其转动惯量是不同的。

四、平行轴定理四、平行轴定理

两轴平行，相距 L/2 。可见：2

2

LmJJ CA ＋＝

A B

L X

A B

L/2 L/2

C

X

2

3

1mLJ A＝

例 1 中，通过棒端 A 的轴的转动惯量

22

4

1

12

1mLmL

若有任一轴与过质心的轴平行，相距为 d ，刚体对其转动惯量为 J ，则有——平行轴定理

J ＝ JC ＋ m d 2 。

说明：1) 通过质心的轴线的转动惯量最小；2) 平行轴定理可以用来计算刚体的转动惯量。

c

c od

JJc

o推广上述结论

* 垂直轴定理 对于薄板刚体，若建立坐标系Oxyz ，其中 z 轴与薄板垂直，Oxy 平面在薄板内，则薄板刚体对 z 轴的转动惯量等于对 x 轴的转动惯量和对 y 轴的转动惯量之和

yxz JJJ

y

x

z

圆盘

R

C

m

几种均匀刚体的转动惯量

2

12

1mlJ

m

l

细直杆

m

l

细直杆

2

3

1mlJ

m

R

薄圆环或薄圆筒

2mRJ

m

R

圆盘或圆柱体

2

2

1mRJ

三、刚体定轴转动的角动量定理和转动定理

由转动定律 dt

LdM

得 LddtM

积分得0

00

LLLddtML

L

t

t

当转动惯量一定时0

0

JJdtM

t

t

－

当转动惯量变化时 00 0

JJdtM

t

t

－刚体的角动量定理：当转轴给定时，作用在刚体上的冲量矩等于刚体角动量的增量。

五、刚体定轴转动的转动定律的应用五、刚体定轴转动的转动定律的应用

题目类型1. 已知转动惯量和力矩，求角加速度；2. 已知转动惯量和角加速度，求力矩；3. 已知力矩和角加速度，求转动惯量。

解题步骤1. 确定研究对象；2. 受力分析；3. 选择参考系与坐标系；4. 列运动方程；5. 解方程；6. 必要时进行讨论。

注意以下几点：1. 力矩与转动惯量必须对同一转轴而言的；2. 要选定转轴的正方向，以便确定已知力矩或角加速度、角速度的正负；3. 当系统中既有转动物体又有平动物体时，则对转动物体按转动定律建立方程，对于平动物体按牛顿定律建立方程。

例１、一个质量为 M 、半径为 R 的定滑轮（当作均匀圆盘）上面绕有细绳，绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂一质量为m 的物体而下垂。忽略轴处摩擦，求物体m 由静止下落高度 h 时的速度和此时滑轮的角速度。解：

RamaTmgm : 1对

21 2

1 MRJJRTMM ＝＝＝：对

Mm

mgh

RR

v

2

41

2

42

Mm

mghahv

gMm

ma

2解方程得：

定轴 O·

R

t h

mv0=0绳

例 2 、一根长为 l 、质量为 m 的均匀细直棒，其一端有一固定的光滑水平轴，因而可以在竖直平面内转动。最初棒静止在水平位置，求它由此下摆角时的角加速度和角速度。解：棒下摆为加速过程，外力矩为重力对 O 的力矩。 棒上取质元 dm, 当棒处在下摆角时，重力矩为：

xdmggxdmM＝

XO

dmg

dm

x

CmgxM

据质心定义 cmxxdm

cos2

1lxc

cos2

1mglM

l

g

ml

mgl

J

M

2

cos3

31

cos21

2

d

d

dt

d

d

d

dt

d

ddl

gcos

2

3

00

cos2

3dd

l

g

2

2

1sin

2

3 l

g

l

g sin3

dd

再求角速度

例 3 ．匀质圆盘的质量为 m ，半径为 R ，在水平桌面上绕其中心旋转，如图所示。设圆盘与桌面之间的摩擦系数为 μ ，求圆盘从以角速度 ω0 旋转到静止需要多少时间？ 解：以圆盘为研究对象，它受重力、桌面的支持力和摩擦力，前两个力对中心轴的力矩为零。 在圆盘上任取一个细圆环，半径为 r ，宽度为 dr ，整个圆环所受摩擦力矩等于圆环上各质点所受摩擦力矩之和。由于圆环上各个质点所受摩擦力矩的力臂都相等，力矩的方向都相同，若取 ω0 的方向为正方向，则整个圆环所受的力矩为

grdmdM

22

22

R

mrdrrdr

R

mdSdm

drR

rmgdM 2

2

2

整个圆盘所受的力矩为

mgRdrR

rmgM

R

3

22

02

2

根据转动定律，得

R

g

mR

mgR

J

M

3

4

2132

2

角加速度为常量，且与 ω0 的方向相反，表明圆盘作匀减速转动

t 0

当圆盘停止转动时， ω=0 ，则得

g

Rt

4

3 00

四、刚体定轴转动的角动量守恒定律若刚体所受的合外力矩为零，即M=0

＝恒矢量J

角动量守恒定律：当刚体所受的的合外力矩为零，或者不受合外力的作用，则刚体的角动量保持不变。

讨论：分两种情况：1) 如果转动惯量不变，刚体作匀速转动；2) 如果转动惯量发生改变，则刚体的角速度随转动惯量也发生变化，但二者的乘积不变。当转动惯量变大时，角速度变小；当转动惯量变小时，角速度变大。

跳水运动员

茹可夫斯基凳 •花样滑冰运动员的旋转表演

惯性导航仪（陀螺）

角动量守恒定律在技术中的应用

直升飞机的螺旋桨

自然界中存在多种守恒定律

动量守恒定律能量守恒定律角动量守恒定律电荷守恒定律质量守恒定律宇称守恒定律等

例 1 、如图所示 , 一质量为 m 的子弹以水平速度射入一静止悬于顶端长棒的下端 ,穿出后速度损失 3/4, 求子弹穿出后棒的角速度。已知棒长为 l, 质量为 M 。

v0 vm

M

解 :以 f 代表棒对子弹的阻力 , 对子弹有 :

00 4

3)( mvvvmfdt

子弹对棒的反作用力对棒的冲量矩为：

Jdtflldtf

因 f ’= - f由两式得

200

3

1

4

9

4

3MlJ

Ml

mv

J

lmv 这里

例 2 、如图所示，将单摆和一等长的匀质直杆悬挂在同一点，杆的质量 m 与单摆的摆锤相等。开始时直杆自然下垂，将单摆的摆锤拉到高度 h0，令它自静止状态下垂 ,于铅垂位置和直杆作弹性碰撞。求碰撞后直杆下端达到的高度 h 。

chc

h’h=3h0/2

ba

m

l

ho

l

解 : 碰撞前单摆摆锤的速度为00 2ghv

令碰撞后直杆的角速度为，摆锤的速度为 v ＇。由角动量守恒，有

在弹性碰撞过程中机械能也是守恒的 :

l

vvv

2

3,

200 二式联立解得：

20 3

1,)( mlJJvvml 式中

2220 2

1)(

2

1 Jvvm

按机械能守恒，碰撞后摆锤达到的高度显然为 40h

h

而杆的质心达到的高度满足cmghJ 2

2

1

2

32 0h

hh c 由此得