เวกเตอร์ใน 3 มิติ

เวกเตอร์�ในสามม ต |1

เวกเตอร์�ใน 3 มิ�ต�ปร์ มาณม�สองปร์ะเภท ปร์ะเภทหน��งใช้�บอกแต�ขนาด เช้�น

พื้!"นท�� มวล ความส%ง อ&ณหภ%ม ซึ่��งเข�ยนแทนขนาดด�วยจำ+านวนเพื้!�อบอกให�ทร์าบว�า มากหร์!อน�อยเพื้�ยงใด เช้�น กล�องใบหน��งหน,ก 50

กร์,ม เด-กช้ายโหน�งส%ง 180 เซึ่นต เมตร์ ท��ด นแห�งหน��งม�พื้!"นท�� 250 ไร์� เป0นต�น ส�วนปร์ มาณอ�กปร์ะเภทหน��งบอกท,"งขนาดและท ศทาง เช้�น การ์เคล!�อนท�� แร์ง ความเร์-ว ความเร์�ง ปร์ มาณเหล�าน�"จำ+าเป0นต�องบอกท,"งขนาดและท ศทาง เช้�น ค&ณพื้�อข,บร์ถไปทางท ศตะว,นออกเป0นร์ะยะทาง 9 ก โลเมตร์ พื้��ช้ายข,บร์ถด�วยความเร์-ว 240 ก โลเมตร์ต�อช้,�วโมง เป0นต�น

ปร์ มาณท��ม�แต�ขนาดเพื้�ยงอย�างเด�ยว เร์�ยกว�า ปร์ มาณสเกลาร์� (scalar quantity) ปร์ มาณท��ม�ท, "งขนาดและท ศทาง เร์�ยกว�า ปร์ มาณเวกเตอร์� ( vectorquantity )หร์!อเร์�ยกส,"น ๆ ว�า เวกเตอร์� ปร์ มาณสเกลาร์� แทนด�วยจำ+านวนจำร์ ง ส�วนปร์ มาณเวกเตอร์� ในเช้ งเร์ขาคณ ตแทนได�ด�วยส�วนของเส�นตร์งท��ร์ะบ&ท ศทาง ( directed line segment หร์!อ directed

segment ) โดยความยาวของส�วนของเส�นตร์งบอกขนาดของเวกเตอร์�และห,วล%กศร์บอกท ศทางของเวกเตอร์�

ร์ะบบพิ�ก�ดฉากสามิมิ�ต�

ก+าหนดเส�นตร์ง XX' , YY' และ ZZ' เป0นเส�นตร์งท��ผ่�านจำ&ด O และต,"งฉากซึ่��งก,นและก,นโดยก+าหนด ท ศทางของเส�นตร์งท,"งสามเป0นร์ะบบม!อขวา ด,งร์%ป 1


ร์%ป 1

ถ�าเส�นตร์งท,"งสามเป0นเส�นจำ+านวน (real line) จำะเร์�ยกเส�นตร์ง XX' , YY' และ ZZ' ว�า แกนพื้ ก,ด X แกนพื้ ก,ด Y และ แกนพื้ ก,ด Z หร์!อเร์�ยนส,"นๆ ว�า แกน X (x-axis) แกน Y (y-axis) และ แกน Z (z-axis) และเร์�ยนจำ&ด O ว�า จำ&ดก+าเน ด (origin) ด,งร์%ป 2

ร์%ป 2

เร์�ยกส�วนของเส�นตร์ง OX OY และ OZ ว�า แกน X ทางบวก (positive x-axis) แกน Y ทางบวก (positive y-axis)

และ แกน Z ทางบวก (positive z-axis) และเร์�ยกส�วนของเส�นตร์ง OX' OY' และ OZ' ว�า แกน X ทางลบ (negative x-


axis) แกน Y ทางลบ (negative y-axis) และ แกน Z ทางลบ (negative z-axis)

โดยท,�วไปเม!�อเข�ยนร์%ปแกนพื้ ก,ดในสามม ต น ยมเข�ยนเฉพื้าะ แกน X แกน Y และ แกน Z ท��เน�นเฉพื้าะทางด�านท��แทนจำ+านวนจำร์ งบวกซึ่��งม�ห,วล%กศร์ก+าก,บ ด,งร์%ป 3 หร์!อ ร์%ป 4

ร์%ป 3 ร์%ป 4

แกน X แกน Y และ แกน Z จำะก+าหนดร์ะนาบข�"น 3 ร์ะนาบ เร์�ยกว�า ร์ะนาบอ�างอ ง • เร์�ยกร์ะนาบท��ก+าหนดด�วย แกน X และแกน Y ว�า ร์ะนาบอ�างอ ง XY หร์!อ ร์ะนาบ XY

• เร์�ยกร์ะนาบท��ก+าหนดด�วย แกน X และแกน Z ว�า ร์ะนาบอ�างอ ง XZ หร์!อ ร์ะนาบ XZ

• เร์�ยกร์ะนาบท��ก+าหนดด�วย แกน Y และแกน Z ว�า ร์ะนาบอ�างอ ง YZ หร์!อ ร์ะนาบ YZ (ด,งร์%ป 5)


ร์%ป 5

ร์ะนาบ XY ร์ะนาบ YZ และร์ะนาบ XZ ท,"งสามร์ะนาบ จำะแบ�งปร์ ภ%ม สามม ต ออกเป0น 8 บร์ เวณ ค!อ เหน!อร์ะนาบ XY จำ+านวน 4

บร์ เวณ และใต�ร์ะนาบ XY จำ+านวน 4 บร์ เวณ เร์�ยกแต�ละบร์ เวณว�า อ,ฒภาค (octant) ด,งร์%ปท�� 6 อ,ฒภาคท��บร์ร์จำ& แกน X แกน Y

และแกน Z ทางบวกจำะเร์�ยกว�า อ,ฒภาคท�� 1 ส�วนอ,ฒภาคอ!�นๆ จำะใช้�ข�อตกลงเด�ยวก,บในร์ะบบพื้ ก,ดฉากสองม ต (น,บทวนเข-มนาฬิ กา) โดยพื้ จำาร์ณาบร์ เวณเหน!อร์ะนาบ XY ก�อน

ร์%ป 6

สามิส��งอ�นด�บ


เม!�อก+าหนดจำ&ด P ใดๆ ในปร์ ภ%ม สามม ต จำะร์ะบ&ต+าแหน�งของจำ&ด P หร์!อพื้ ก,ดจำ&ด P

โดยใช้�จำ+านวนจำร์ งสามนวนเร์�ยงก,นตามล+าด,บ หร์!อเร์�ยกว�า สามส �งอ,นด,บ ในร์%ป (x,y,z) โดยท��

x ค!อร์ะยะท��ม�ท ศทางตามแนวแกน X ซึ่��งร์ะบ&ว�าจำ&ด P อย%�ห�างจำากร์ะนาบ YZ เท�าใด ร์ะยะด,งกล�าวม�ค�าเป0นจำ+านวนบวกเม!�อว,ดจำากร์ะนาบ YZ ไปย,งจำ&ด P

ไปทางด�านบวกของแกน X ม�ค�าเป0นจำ+านวนลบเม!�อว,ดไปทางด�านลบของแกน X และม�ค�าเป0นศ%นย�เม!�อจำ&ด P อย%�บนร์ะนาบ YZ

y ค!อร์ะยะท��ม�ท ศทางตามแนวแกน Y ซึ่��งร์ะบ&ว�าจำ&ด P อย%�ห�างจำากร์ะนาบ XZ เท�าใดร์ะยะด,งกล�าวม�ค�าเป0นจำ+านวนบวกเม!�อว,ดจำากร์ะนาบ XZ ไปย,งจำ&ด P

ไปทางด�านบวกของแกน Y ม�ค�าเป0นจำ+านวนลบเม!�อว,ดไปทางด�านลบของแกน y และม�ค�าเป0นศ%นย�เม!�อจำ&ด P อย%�บนร์ะนาบ XZ

z ค!อร์ะยะท��ม�ท ศทางตามแนวแกน Z ซึ่��งร์ะบ&ว�าจำ&ด P อย%�ห�างจำากร์ะนาบ XY เท�าใดร์ะยะด,งกล�าวม�ค�าเป0นจำ+านวนบวกเม!�อว,ดจำากร์ะนาบ XY ไปย,งจำ&ด P

ไปทางด�านบวกของแกน Z ม�ค�าเป0นจำ+านวนลบเม!�อว,ดไปทางด�านลบของแกน Z และม�ค�าเป0นศ%นย�เม!�อจำ&ด P อย%�บนร์ะนาบ XY เร์�ยก (x,y,z) ว�า พื้ ก,ด ของจำ&ด P และบางคร์,"งจำะเข�ยนจำ&ดและพื้ ก,ดก+าก,บไว�ด�วยก,นเป0น P(x,y,z) ด,งร์%ป


ภาพิฉาย

ถ�าลากเส�นตร์งผ่�านจำ&ด P(x,y,z) ให�ขนานก,บแกน z ไปต,ดร์ะนาบ XY จำะได�จำ&ดต,ดม�พื้ ก,ด Q(x,y,0) เร์�ยกจำ&ดน�"ว�าภาพื้ฉายของจำ&ด P บนร์ะนาบ XY ในท+านองเด�ยวก,นจำะเร์�ยกจำ&ด R(0,y,z)

ว�าเป0นภาพื้ฉายของจำ&ด P บนร์ะนาบ YZ และเร์�ยกจำ&ด S(x,0,z)

ว�าเป0นภาพื้ฉายของจำ&ด P บนร์ะนาบ XZ


การ์เขี�ยนเวกเตอร์�ในร์�ปเวกเตอร์�ที่��ก�าหนดให


การ์พิ�ส�จน�ที่ฤษฎี�บที่บางที่ฤษฎี�ในเร์ขีาคณิ�ตโดยใช้ เวกเตอร์�


การ์เที่)าก�นขีองเวกเตอร์�


การ์บวกลบเวกเตอร์�

การ์บวกเวกเตอร์�

การ์บวกเวกเตอร์�ด วยว�ธี� กฎีขีองร์�ปส��เหล��ยมิด านขีนาน“ ”


เวกเตอร์�ศู�นย�

ขี อส�งเกต

1. เวกเตอร์�ศ%นย� ไม�จำ+าเป0นต�องกล�าวถ�งท ศทางของเวกเตอร์� แต�ถ�าต�องการ์กล�าวถ�งม�ข�อตกลงว�าจำะร์ะบ&ท ศทางของเวกเตอร์�ศ%นย�เป0นเช้�นใดก-ได� 2. เม!�อเข�ยนร์%ปเร์ขาคณ ตแทนเวกเตอร์�ศ%นย� จำ&ดเร์ �มต�นและจำ&ดส "นส&ดของเวกเตอร์�เป0นจำ&ดเด�ยวก,น ด,งต,วอย�างในร์%ปท�� 3 หร์!อร์%ปท�� 4


การ์ลบเวกเตอร์�


การ์ลบเวกเตอร์�ด วยว�ธี� สร์ างร์�ปส��เหล��ยมิด านขีนาน “ ”

ขี อส�งเกต ก�าหนด และ เป/นเวกเตอร์�ที่��มิ�จ0ดเร์��มิต นที่��จ0ดเด�ยวก�น เช้)นที่��จ0ด A

โดยให = , = แล วสร์ างร์�ปส��เหล��ยมิด านขีนาน ABCD ด�งร์�ป


จะได =

=

=

จำะเห-นว�าเม!�อก+าหนดเวกเตอร์�ให�สองเวกเตอร์�สามาร์ถหาผ่ลบวกและผ่ลลบของเวกเตอร์�ท, "งสองได�โดยสร์�างร์%ปส��เหล��ยมด�านขนาน เส�นทแยงม&มท,"งสองของร์%ปส��เหล��ยมด�านขนาน เส�นทแยงม&มท,"งสองของร์%ปส��เหล��ยมด�านขนาน จำะแทนผ่ลบวกและผ่ลลบท��ต�องการ์เม!�อร์ะบ&ท ศทางให�ถ%กต�อง

สมิบ�ต�การ์บวกเวกเตอร์�


การ์ค�ณิเวกเตอร์�ด วยสเกลาร์�

สมิบ�ต�การ์ค�ณิเวกเตอร์�ด วยสเกลาร์�

ต�วอย)าง


ที่ฤษฎี�บที่

เวกเตอร์�ในร์ะบบพิ�ก�ดฉากสองมิ�ต�


ในกร์ณ�ท,�วไป เม!�อ a และ b เป0นจำ+านวนจำร์ งใดๆ จำะเข�ยน

แทนเวกเตอร์�ซึ่��งเป0นผ่ลบวกของเวกเตอร์�สองเวกเตอร์� โดยท��


เวกเตอร์�แร์กม�ขนาด หน�วย ซึ่��งถ�า a > 0 เวกเตอร์�น�"จำะม�ท ศทางขนานก,บแกน X ไปทางขวา ถ�า a < 0 เวกเตอร์�น�"จำะม�ท ศทางขนานก,บแกน X ไปทางซึ่�าย เวกเตอร์�ท��สองม�ขนาด หน�วย ซึ่��งถ�า b > 0 เวกเตอร์�น�"จำะม�ท ศทางขนานก,บแกน Y ไปข�างบน ถ�า b < 0 เวกเตอร์�น�"จำะม�ท ศทางขนานก,บแกน Y ไปข�างล�าง

เวกเตอร์�ในร์ะบบพิ�ก�ดฉากสามิมิ�ต�

จำากท��กล�าวมาแล�วว�าเวกเตอร์�ในสองม ต ก+าหนดใด�ใน

ร์%ป ซึ่��ง แทนเวกเตอร์�เช้ งเร์ขาคณ ตท��ม�จำ&ดเร์ �มต�นท��จำ&ดก+าหนดและจำ&ดส "นส&ดท�� ( a,b )หร์!อม�จำ&ดเร์ �มต�นท�� ( x,y )และม�จำ&ดส "นส&ดท�� ( x + a,y + b )ต�อไปเร์าจำะขยาย แนวค ดจำากเวกเตอร์�ในสองม ต เป0นเวกเตอร์�ในสามม ต โดยใช้�ร์ะบบพื้ ก,ดฉากสามม ต ท��ได�ศ�กษาแล�วเป0นพื้!"นฐาน

บทน ยาม ก+าหนดให� x,y,z เป0นจำ+านวนจำร์ ง เร์�ยก ว�า เวกเตอร์�ในปร์ ภ%ม สามม ต หร์!อเวกเตอร์�ในสามม ต หร์!อเร์�ยกส,"นๆว�า เวกเตอร์�

ในทางเร์ขาคณ ตเร์าแทนเวกเตอร์� ด�วย ส�วนของเส�นตร์งท��ก+าหนดท ศทางซึ่��งม�จำ&ด เร์ �มต�นท��จำ&ดก+าหนด ( 0 )และม�จำ&ดส "นส&ดท�� ( x,y,z )ด,งร์%ป


น�ยามิเวกเตอร์�ในร์ะบบพิ�ก�ดฉาก


สมิบ�ต�เวกเตอร์�ในร์ะบบพิ�ก�ดฉาก


การ์ค�ณิเวกเตอร์�ด วยเวกเตอร์�

ขีนาดเวกเตอร์�สองมิ�ต�และสามิมิ�ต�


เวกเตอร์�หน2�งหน)วยในร์ะบบพิ�ก�ดฉากสองมิ�ต�

บที่น�ยามิ เวกเตอร์�ท��ม�ขนาดหน��งหน�วยเร์�ยกว�าเวกเตอร์�หน��งหน�วย (unit vector)

เน!�องจำากเวกเตอร์� [a ¿ ] ¿¿

¿¿ใดๆ จำะม�ขนาดเท�าก,บ

ด,งน,"นเวกเตอร์�ท��ม�ขนาดหน��งหน�วยและม�ท ศทางเด�ยวก,บ [a ¿ ] ¿¿

¿¿ใดๆ

ท��ไม�ใช้�เวกเตอร์�ศ%นย� ค!อ เวกเตอร์�หน��งหน�วยในสองม ต

ท��ส+าค,ญค!อ [1¿ ]¿¿

¿¿และ

[0 ¿ ]¿¿

¿¿เพื้!�อความสะดวกจำ�งแทน

[1¿ ]¿¿

¿¿ด�วย i

และแทน[0 ¿ ]¿¿

¿¿ด�วย j ด,งร์%ป

ให� MO = NO เป0นเวกเตอร์�ในสองม ต เร์าสามาร์ถเข�ยนเวกเตอร์� ให�อย%�ในร์%ปของ i และ j ด,งน�"


i = j

เวกเตอร์�หน2�งหน)วยในร์ะบบพิ�ก�ดฉากสามิมิ�ต�

เวกเตอร์�

[a ¿ ] [b¿ ]¿¿

¿¿ ม�ขนาดเท�าก,บ √a2+b2+c

เวกเตอร์�ท��ม�ขนาดหน��งหน�วยและม�ท ศทางเด�ยวก,บเวกเตอร์�

[a ¿ ] [b¿ ]¿¿

¿¿ ใด ๆท��ไม�ใช้�

เวกเตอร์�ศ%นย�ค!อ 1

√a2+b2+c2[a ¿ ] [b¿ ]¿¿

¿¿

เวกเตอร์�หน2�งหน)วยในสามิมิ�ต�ที่��ส�าค�ญค4อ

[1¿ ] [0 ¿ ]¿¿

¿¿ ,

[0 ¿ ] [1 ¿ ]¿¿

¿¿และ

[0 ¿ ] [0 ¿ ]¿¿

¿¿

เพื้!�อความสะดวกจำ�งเข�ยนแทน

[1¿ ] [0 ¿ ]¿¿

¿¿ ด�วย i

[0 ¿ ] [1 ¿ ]¿¿

¿¿ ด�วย j และ

[0 ¿ ] [0 ¿ ]¿¿

¿¿ ด�วย k ด,งร์%ป

Z

Y


โคไซน�แสดงที่�ศูที่าง

(0,0,1)

k

i (1,0,0)

j(0,1,0)


ผลค�ณิเช้�งสเกลาร์�


สมิบ�ต�ที่��ส�าค�ญขีองผลค�ณิเช้�งสเกลาร์�


ผลค�ณิเช้�งสเกลาร์�ก�บมิ0มิร์ะหว)างเวกเตอร์�


ผลค�ณิเช้�งเวกเตอร์�


การ์ใช้ เวกเตอร์�ในการ์หาพิ47นที่��ขีองร์�ปส��เหล��ยมิด านขีนาน


การ์ใช้ เวกเตอร์�หาปร์�มิาตร์ที่ร์งส��เหล��ยมิด านขีนาน


บร์ร์ณินาน0กร์มิ

หน,งส!อคณ ตศาสตร์� ม.5

www.samart.chs.ac.th

www.vector.th.gs

http://www.thaigoodview.com/library/contest2551/math04/16/2/vector/index.htm

http://www.vector.th.gs/

http://www.samart.chs.ac.th/

เวกเตอร์ใน 3 มิติ

Education

Transcript of เวกเตอร์ใน 3 มิติ