คณิตศาสตร์ ม....
-
Upload
truongcong -
Category
Documents
-
view
239 -
download
8
Transcript of คณิตศาสตร์ ม....
หนงสอเรยน รายวชาพนฐาน
คณตศาสตร ม.๒ เลม ๑ชนมธยมศกษาปท ๒กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร
ตามหลกสตรแกนกลางการศกษาขนพนฐาน พทธศกราช ๒๕๕๑
ผเรยบเรยงนางกนกวล อษณกรกลนางสาวนวลนอย เจรญผลนางสาวปาจรย วชชวลคดร. สเทพ บญซอน
ผตรวจนางจนดา อยเปนสขนายรณชย มาเจรญทรพย นางสาวสายสณ สทธจกษ
บรรณาธการศ. ดร. ณรงค ปนนม
พมพครงท ๑สงวนลขสทธตามพระราชบญญตISBN : 978-616-203-592-0
รหสสนคา ๒๒๑๖๐๐๙
˹‹Ç¡ÒÃàÃÕ¹ÃÙŒ·Õè 1 ÍѵÃÒʋǹ ÊѴʋǹ áÅÐÃŒÍÂÅÐ 1 - 46
1. ¤ÇÒÁËÁÒ¢ͧÍѵÃÒʋǹ 2
2. ÍѵÃÒʋǹ·Õè෋ҡѹáÅÐÊѴʋǹ 7
3. ÍѵÃÒʋǹáÅÐÃŒÍÂÅÐ 25
4. ¡ÒÃᡌ⨷Â�»˜ÞËÒÃŒÍÂÅÐ 28
˹‹Ç¡ÒÃàÃÕ¹ÃÙŒ·Õè 2 ¡ÒÃÇÑ´¤ÇÒÁÂÒÇáÅо×é¹·Õè 47 - 90
1. ¡ÒÃÇÑ´¤ÇÒÁÂÒÇ 48
2. ¾×é¹·Õè 60
˹‹Ç¡ÒÃàÃÕ¹ÃÙŒ·Õè 3 ¡ÒäҴ¤Ð๡ÒÃÇÑ´ 91 - 104
1. ¡ÒäҴ¤Ðà¹àÇÅÒ 92
2. ¡ÒäҴ¤Ðà¹ÃÐÂзҧáÅТ¹Ò´ 94
3. ¡ÒäҴ¤Ð๹éíÒ˹ѡ 100
4. ¡ÒäҴ¤Ð๡ÒÃÇÑ´ã¹Ê¶Ò¹¡Òó�µ‹Ò§æ 102
˹‹Ç¡ÒÃàÃÕ¹ÃÙŒ·Õè 4 ¡ÒùíÒàʹ͢ŒÍÁÙÅ 105 - 132
1. ¤ÇÒÁËÁÒ¢ͧ¢ŒÍÁÙÅáÅСÒùíÒàʹ͢ŒÍÁÙÅ 106
2. ¡ÒùíÒàʹ͢ŒÍÁÙÅ´ŒÇÂá¼¹ÀÙÁÔÃٻǧ¡ÅÁ 115
สารºÑÞ
1. ¤ÇÒÁËÁÒ¢ͧÍѵÃÒʋǹ 2. ÍѵÃÒʋǹ·Õè෋ҡѹáÅÐÊѴʋǹ 3. ÍѵÃÒʋǹáÅÐÃŒÍÂÅÐ 4. ¡ÒÃᡌ⨷Â�»˜ÞËÒÃŒÍÂÅÐ
¤³ÔµÈÒʵÃ� Á.2 àÅ‹Á 1
1. ¤ÇÒÁËÁÒ¢ͧ¢ŒÍÁÙÅáÅСÒùíÒàʹ͢ŒÍÁÙÅ 2. ¡ÒùíÒàʹ͢ŒÍÁÙÅ´ŒÇÂá¼¹ÀÙÁÔÃٻǧ¡ÅÁ
คณตศาสตรมบทบาทส�าคญยงตอการพฒนาความคดของมนษย ท�าให
มนษยมความคดอยางมเหตผลเปนระบบระเบยบ มแบบแผน สามารถวเคราะห
แกปญหาในสถานการณตาง ๆ ไดอยางเหมาะสม รวมทงมความคดรเรมสรางสรรค
คณตศาสตรเปนวชาทวาดวยหลกการและเหตผล ซงมนษยคดคน
และสรปมาจากกฎเกณฑธรรมชาต และสงทพบเหนในชวตประจ�าวน ดงนน
ผเรยนคณตศาสตรไดดควรจะเปนผทชางสงเกต ชางคด และยอมรบขอตกลง
หรอหลกการหรอนยามเบองตนกอน แลวอาศยหลกความจรงและเหตผลตาง ๆ
ในการชวยคดค�านวณ คดสรางสรรค และคดแกปญหาตอไดอยางมประสทธภาพ
นกเรยนจงควรจะเขาใจกฎเกณฑตาง ๆ ทางคณตศาสตร ในแตละเรอง และ
สามารถน�าหลกการทกษะและกระบวนการทางคณตศาสตรไปใชในชวตประจ�าวน
ตลอดจนสามารถแกปญหาในสถานการณตาง ๆ ได ส�าหรบหนงสอเรยนรายวชา
พนฐานคณตศาสตร กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร ชนมธยมศกษาปท 2 น
คณะผเรยบเรยงไดจดแบงออกเปน 2 เลม ดงน
คณตศาสตร ม.2 เลม 1 หนวยการเรยนรท 1 - 6
คณตศาสตร ม.2 เลม 2 หนวยการเรยนรท 1 - 5
ทงนคณะผเรยบเรยงไดเรยบเรยงเนอหาสาระใหสอดคลองกบตวชวดและ
สาระการเรยนรแกนกลางกลมสาระการเรยนรคณตศาสตร ตามหลกสตรแกนกลาง
การศกษาขนพนฐาน พทธศกราช 2551 โดยจดสาระการเรยนรเปนหนวยการเรยนร
ทควรศกษาตามล�าดบกอนหลงอยางเหมาะสม รวมทงมแบบตรวจสอบความเขาใจ
ทหลากหลาย มกจกรรมเสรมทกษะและกระบวนการทางคณตศาสตร กจกรรมเสรม
ทกษะเชงเทคโนโลย เพอพฒนาผเรยนใหเตมตามศกยภาพ รวมทงเมอเรยนจบ
ในแตละหนวยการเรยนรแลว ยงมแบบฝกหดประจ�าหนวยการเรยนร เพอทบทวน
ความรดวย
คณะผเรยบเรยงหวงเปนอยางยงวา หนงสอเรยนเลมนคงจะเปนประโยชน
ในการจดการเรยนการสอนใหผเรยนไดสมฤทธผลการเรยนรตรงตามทหลกสตร
แกนกลางการศกษาขนพนฐานไดก�าหนดไว คณะผเรยบเรยง
คณะผเรยบเรยง
ค�าน�า
หนวยการเรยนรท
ตวชวด
1 ในชวตจรงเราไดนาความรเกยวกบเรอง
อตราสวน สดสวน และรอยละมาชวยแกปญหา
ตางๆ เชน งานสถาปตยกรรม ตองมการออกแบบ
และเขยนแผนผง เพอจาลองลกษณะรปรางของ
สงกอสรางนน นอกจากนการคดดอกเบย ภาษ
สวนลดจากการซอและการขายสนคาอปโภค
บรโภคตางๆ จาเปนตองอาศยความรในเรองของ
อตราสวน สดสวน และรอยละทงสน
■ ใชความรเกยวกบอตราสวน สดสวน และรอยละ
ในการแกโจทยปญหา (ค 1.1 ม.2/4)■ ใชวธการทหลากหลายแกปญหา (ค 6.1 ม.1-3/1)■ ใชความร ทกษะ และกระบวนการทางคณตศาสตร
และเทคโนโลยในการแกปญหาในสถานการณตางๆ
ไดอยางเหมาะสม (ค 6.1 ม.1-3/2)■ ใหเหตผลประกอบการตดสนใจ และสรปผลไดอยาง
เหมาะสม (ค 6.1 ม.1-3/3)■ ใชภาษาและสญลกษณทางคณตศาสตรในการสอสาร
การสอความหมายและการนาเสนอไดอยางถกตอง
และชดเจน (ค 6.1 ม.1-3/4)■ เชอมโยงความรตางๆ ในคณตศาสตร และนาความร
หลกการ กระบวนการทางคณตศาสตรไปเชอมโยง
กบศาสตรอนๆ (ค 6.1 ม.1-3/5)■ มความคดรเรมสรางสรรค (ค 6.1 ม.1-3/6)
สาระการเรยนรแกนกลาง
■ อตราสวน สดสวน รอยละ และการนาไปใช
อตราสวน สดสวนและรอยละ˹‹Ç¡ÒÃàÃÕ¹ÃÙŒ·Õè 5 ¡ÒÃá»Å§·Ò§àâҤ³Ôµ 133 - 188
1. ¡ÒÃá»Å§ 134
2. ¡ÒÃàÅ×è͹¢¹Ò¹ ¡ÒÃÊзŒÍ¹ áÅСÒÃËÁع 137
3. ¤ÇÒÁÊÑÁ¾Ñ¹¸�¢Í§¡ÒÃàÅ×è͹¢¹Ò¹ ¡ÒÃÊзŒÍ¹ 173
áÅСÒÃËÁع 4. ¡ÒùíÒÊÁºÑµÔ¢Í§¡ÒÃàÅ×è͹¢¹Ò¹ ¡ÒÃÊзŒÍ¹ 178
áÅСÒÃËÁعä»ãªŒ
˹‹Ç¡ÒÃàÃÕ¹ÃÙŒ·Õè 6 ¤ÇÒÁ෋ҡѹ·Ø¡»ÃСÒà 189 - 219
1. ¤ÇÒÁ෋ҡѹ·Ø¡»ÃСÒâͧÃÙ»àâҤ³Ôµã´æ 190
ʋǹ¢Í§àÊŒ¹µÃ§ áÅÐÁØÁ 2. ¤ÇÒÁ෋ҡѹ·Ø¡»ÃСÒâͧÃÙ»ÊÒÁàËÅÕèÂÁ 197
3. ¤ÇÒÁ෋ҡѹ·Ø¡»ÃСÒâͧÃÙ»ÊÒÁàËÅÕèÂÁÊͧÃÙ» 201
·ÕèÁÕ¤ÇÒÁÊÑÁ¾Ñ¹¸�Ẻµ‹Ò§æ
ºÃóҹءÃÁ 220
1. ¡ÒÃá»Å§ 2. ¡ÒÃàÅ×è͹¢¹Ò¹ ¡ÒÃÊзŒÍ¹ áÅСÒÃËÁع 3. ¤ÇÒÁÊÑÁ¾Ñ¹¸�¢Í§¡ÒÃàÅ×è͹¢¹Ò¹ ¡ÒÃÊзŒÍ¹ áÅСÒÃËÁع 4. ¡ÒùíÒÊÁºÑµÔ¢Í§¡ÒÃàÅ×è͹¢¹Ò¹ ¡ÒÃÊзŒÍ¹ áÅСÒÃËÁعä»ãªŒ
1. ¤ÇÒÁ෋ҡѹ·Ø¡»ÃСÒâͧÃÙ»àâҤ³Ôµã´æ ʋǹ¢Í§àÊŒ¹µÃ§ áÅÐÁØÁ 2. ¤ÇÒÁ෋ҡѹ·Ø¡»ÃСÒâͧÃÙ»ÊÒÁàËÅÕèÂÁ 3. ¤ÇÒÁ෋ҡѹ·Ø¡»ÃСÒâͧÃÙ»ÊÒÁàËÅÕèÂÁÊͧÃÙ» ·ÕèÁÕ¤ÇÒÁÊÑÁ¾Ñ¹¸�Ẻµ‹Ò§æ
˹‹Ç¡ÒÃàÃÕ¹ÃÙŒ·Õè 3 àÊŒ¹¢¹Ò¹
˹‹Ç¡ÒÃàÃÕ¹ÃÙŒ·Õè 1 ¤ÇÒÁÃÙŒàº×éͧµŒ¹
à¡ÕèÂǡѺ¨íҹǹ¨ÃÔ§
˹‹Ç¡ÒÃàÃÕ¹ÃÙŒ·Õè 4 ¡ÒûÃÐÂØ¡µ�¢Í§ÊÁ¡Òà àªÔ§àÊŒ¹µÑÇá»Ãà´ÕÂÇ
˹‹Ç¡ÒÃàÃÕ¹ÃÙŒ·Õè 2 ·Äɮպ· ¾Õ·Òâ¡ÃÑÊ
˹‹Ç¡ÒÃàÃÕ¹ÃÙŒ·Õè 5 âÍ¡Òʢͧ à˵ءÒó�
¤³ÔµÈÒʵÃ� Á.2 àÅ‹Á 2
3
จากรปท2 จะเหนวามจ�านวนปากกา4ดามและจ�านวนสมด5เลม
กลาวไดวา อตราสวนของจ�านวนปากกาเปนดามตอจ�านวนสมดเปนเลมเปน4ตอ5
หรอ อตราสวนของจ�านวนสมดเปนเลมตอจ�านวนปากกาเปนดามเปน5ตอ4
เขยนแทน อตราสวน4ตอ5ดวย4:5หรอ45
อตราสวน5ตอ4ดวย5:4หรอ54
มมความคด
อตราสวน a ตอ b เขยนแทนดวย a : b หรอ ab อานวา a ตอ b
เรยกจ�านวน a ในอตราสวน a : b วา จ�านวนแรกหรอจ�านวนทหนง
เรยกจ�านวน b ในอตราสวน a : b วา จ�านวนหลงหรอจ�านวนทสอง
เปดโลกคณตศาสตร
เครองหมายคณ(×)น�ามาใชโดยวลเลยมออทเทรด(WilliamOughtred:ค.ศ.1574-1660)
ซงปรากฏหลกฐานในหนงสอClavisMathematicaeซงเขยนไวในปค.ศ.1628และตพมพเผยแพรใน
กรงลอนดอนเมอปค.ศ.1631
เครองหมายหาร(÷)น�ามาใชเปนครงแรกโดยโจฮานนราหน(JohannRahnหรอRhonius:
ค.ศ.1622-1676)ในปค.ศ.1659ซงพบหลกฐานในหนงสอTeutscheAlgebra
ทมา:http://members.aol.com
อตราสวนaตอbจะพจารณาในกรณทaและbเปนจ�านวนบวกเทานน
ต�าแหนงของจ�านวนในแตละอตราสวนนนถอวามความส�าคญ จากรปท 1 ซงแสดง
จ�านวนผหญงและจ�านวนผชาย จะเหนวา อตราสวน 2 : 3 ไมใชอตราสวนเดยวกบอตราสวน
3:2เนองจากอตราสวน2:3หมายถงอตราสวนของจ�านวนผหญงตอจ�านวนผชายแตอตราสวน
3:2หมายถงอตราสวนของจ�านวนผชายตอจ�านวนผหญง
นนคออตราสวนa:bไมใชอตราสวนเดยวกบb:aเมอa ≠ b
2
พจารณารปภาพตอไปน
1. ความหมายของอตราสวน
พจารณาขอความตอไปน
1) การวดผลรายวชาคณตศาสตรจะมคะแนนเกบระหวางภาคเรยน70คะแนนและ
ปลายภาคเรยน30คะแนน
2) จากรายงานทางการแพทยพบวาการวงอยางสม�าเสมอในเวลา1ชวโมงรางกาย
จะใชพลงงาน900แคลอร
จะเหนวาขอความท1)เปนขอความแสดงการเปรยบเทยบจ�านวนของคะแนนระหวาง
ภาคเรยนและคะแนนปลายภาคเรยนและขอความท2)เปนขอความแสดงการเปรยบเทยบเวลา
กบปรมาณพลงงานทใชไป
จากขอความทงสองขางตนเปนตวอยางของ“อตราสวน”
มมความคด
เรยกความสมพนธทแสดงการเปรยบเทยบปรมาณสองปรมาณ ซงอาจมหนวยเดยวกน
หรอตางกนกได วา “อตราสวน”
จากรปท1 จะเหนวามผหญง2คนและมผชาย3คน
กลาวไดวา อตราสวนของจ�านวนผหญงตอจ�านวนผชายเปน2ตอ3
หรอ อตราสวนของจ�านวนผชายตอจ�านวนผหญงเปน3ตอ2
เขยนแทน อตราสวน2ตอ3ดวย2:3หรอ 23
อตราสวน3ตอ2ดวย3:2หรอ 32
รปท 1 รปท 2
5
นอกจากนมาตราสวนอาจแสดงการเปรยบเทยบในหนวยตางกนไดเชนเดยวกบ
อตราสวนเชน
มาตราสวนทใชเขยนแผนทประเทศไทยเปน1เซนตเมตร:5กโลเมตร
หมายความวาระยะทางในแผนท1เซนตเมตรแทนระยะทางจรง5กโลเมตร
จงเขยนอตราสวนแทนปรมาณสองปรมาณทก�าหนดใหในแตละขอตอไปน
1) แตมปากกาน�าเงน5ดามและมปากกาแดง5ดาม
2) รตนาจะเกบสะสมเงน5บาทจากจ�านวนเงนคาขนม30บาท
3) ชพจรของวนยเตน78ครงในเวลา1นาท
4) รถยนตใชน�ามน1ลตรแลนไดระยะทาง11กโลเมตร
1) อตราสวนของจ�านวนปากกาน�าเงนตอจ�านวนปากกาแดงเปน5 : 5
2) อตราสวนของจ�านวนเงนสะสมตอจ�านวนเงนคาขนมเปน5 : 30
3) อตราสวนของการเตนของชพจรเปนครงตอเวลาเปนนาทเปน78 : 1
4) อตราสวนของปรมาณน�ามนเปนลตรตอระยะทางทแลนไดเปนกโลเมตร
เปน1 : 11
พจารณารปแปลนบานซงใชมาตราสวน1:400 หมายถง ความยาวในแผนผง1
เซนตเมตรแทนความยาวจรง400เซนตเมตร
ตวอยางท
1
วธทำ�
ตอบ
4
พจารณาขอความตอไปน
1) กระดาษรปสเหลยมผนผาแผนหนงมความกวาง 20 เซนตเมตร ความยาว 27
เซนตเมตร
2) การไปทศนศกษาตางจงหวดของโรงเรยนแหงหนงจดใหคร1คนดแลนกเรยน
20คน
3) การท�าน�าหมกชวภาพใชกากน�าตาล250ลกบาศกเซนตเมตรใชน�า8ลตร
4) ไสกรอก1ถงราคา55บาท
5) ตามนโยบายเรยนฟร15ปอยางมคณภาพของรฐบาลในแตละภาคเรยนไดก�าหนด
เงนคาอปกรณการเรยนแกนกเรยนระดบชนมธยมศกษาตอนตนคนละ210บาท
6) วนท18กมภาพนธ2553ประเทศไทยมอตราแลกเปลยนเงน31.20บาทตอ1
ดอลลารสหรฐ
จากขอความขางตนสามารถเขยนอตราสวนแสดงความสมพนธไดดงน
1) อตราสวนของความกวางตอความยาวเปน20:27
2) อตราสวนของจ�านวนครตอจ�านวนนกเรยนเปน1:20
3) อตราสวนของปรมาณกากน�าตาลเปนลกบาศกเซนตเมตรตอน�าเปนลตรเปน
250:8
4) อตราสวนของจ�านวนไสกรอกเปนถงตอราคาเปนบาทเปน1:55
5) อตราสวนของจ�านวนนกเรยนเปนคนตอเงนคาอปกรณการเรยนเปนบาทเปน1:210
6) อตราสวนของจ�านวนเงนเปนบาทตอจ�านวนเงนเปนดอลลารสหรฐเปน31.20:1
จากการเขยนอตราสวนขอ1) และ 2)จะเหนวาเปนอตราสวนทแสดงการเปรยบ-
เทยบปรมาณสองปรมาณทมหนวยเดยวกนจะไมเขยนหนวยก�ากบไว
จากการเขยนอตราสวนขอ3) - 6)จะเหนวาเปนอตราสวนทแสดงการเปรยบเทยบ
ปรมาณสองปรมาณทมหนวยตางกนจะเขยนหนวยก�ากบไว
มมความคด
การเขยนอตราสวนทแสดงการเปรยบเทยบปรมาณสองปรมาณทมหนวยเดยวกน
เราไมนยมเขยนหนวยก�ากบไว แตการเขยนอตราสวนทแสดงการเปรยบเทยบปรมาณสอง
ปรมาณทมหนวยตางกน จะตองระบหนวยก�ากบไวเสมอ
7
2. อตราสวนทเทากนและสดสวน
รานสหกรณของโรงเรยนแหงหนงขายน�าราคาขวดละ5บาทจะไดวา
น�า1ขวด ราคา 1×5 = 5 บาท
น�า2ขวด ราคา 2×5 = 10 บาท
น�า3ขวด ราคา 3×5 = 15 บาท
ดงนนจ�านวนน�าเปนขวดและราคาเปนบาทจะมความสมพนธกนดงตารางตอไปน
จากตารางสามารถเขยนอตราสวนไดหลายอตราสวนเชน
1:5,2:10,3:15,4:20,5:25หรอ15, 2
10, 3
15, 4
20, 5
25
อตราสวนขางตนไดมาจากการซอน�าในราคาเดยวกนคอน�า1ขวดราคา5บาท
และกลาวไดวาอตราสวนเหลานนเปนอตราสวนทเทากน
2.1 การหาอตราสวนทเทากบอตราสวนทก�าหนดให
จากการเขยนอตราสวนของจ�านวนน�าเปนขวดตอราคาเปนบาทขางตนจะพบวา1:5,
2:10,3:15,4:20,5:25เปนอตราสวนทเทากนซงเขยนไดดงน
1:5=2:10=3:15=4:20=5:25
หรอ15= 2
10= 3
15= 4
20= 5
25
จะเหนวาอตราสวนทเทากนขางตนมความเกยวของกนกบอตราสวน15ดงน
จ�านวนน�า (ขวด) 1 2 3 4 5
ราคา (บาท) 5 10 15 20 25
คณดวยจ�านวนเดยวกน หารดวยจ�านวนเดยวกน
15 = 1×2
5 × 2 = 210
15 = 1×3
5 × 3 = 315
15 = 1×4
5 × 4 = 420
15 = 1×5
5 × 5 = 525
210 = 2÷2
10 ÷ 2 = 15
315 = 3÷3
15 ÷ 3 = 15
420 = 4÷4
20 ÷ 4 = 15
525 = 5÷5
25 ÷ 5 = 15
6
สมพรซอเนอหม6ขดซอกง8ขดจงเขยนอตราสวนแสดงการเปรยบเทยบน�าหนก
เนอหมและน�าหนกกงทสมพรซอมา
สมพรซอเนอหม6ขด
สมพรซอกง8ขด
เขยนอตราสวนแสดงน�าหนกเนอหมและน�าหนกกงทสมพรซอไดเปน6 : 8ตอบ
วธทำ�
ตวอยางท
2
แบบตรวจสอบความเขาใจท 1.1
1. จากภาพทก�าหนดใหมสบปะรดและสมโออยางละ2ผลขนนและทเรยนอยางละ1ผลฝรง
5ผลมะมวง4ผลชมพ7ผลกลวย1หวและผลไมอนๆจงเขยนอตราสวนแสดงการ
เปรยบเทยบในแตละขอตอไปน
1) จ�านวนสบปะรดตอจ�านวนทเรยน
2) จ�านวนขนนตอจ�านวนสมโอ
3) จ�านวนกลวยเปนหวตอจ�านวนฝรงเปนผล
4) จ�านวนชมพตอจ�านวนมะมวง
2. จงเขยนอตราสวนแทนขอความตอไปน
1) ในเวลา2ชวโมงสภาสณขบรถยนตไดระยะทาง180กโลเมตร
2) คาจางแรงงานขนต�าวนละ300บาท
3) คนงาน8คนท�างานเสรจในเวลา3วน
4) รถไฟฟาBTSแลนดวยความเรว80กโลเมตรตอชวโมง
5) ระยะทางในแผนผง1เซนตเมตรแทนระยะทางจรง10เมตร
3. ธงชาตไทยผนหนงมความกวาง80เซนตเมตรความยาว1.4เมตรจงเขยนอตราสวนแสดง
การเปรยบเทยบความกวางตอความยาวของธงชาตไทยผนน
4. สนตาไดรบคาขนมวนละ35 บาท เธอจะเกบสะสมไว5 บาท จงเขยนอตราสวนแสดง
การเปรยบเทยบจ�านวนเงนสะสมตอจ�านวนเงนทไดรบของสนตา
5. นนทภทรรบจางท�างานนอกเวลาเรยนวนละ4ชวโมงจงเขยนอตราสวนแสดงการเปรยบเทยบ
เวลาท�างานนอกเวลาเรยนตอหนงวนของนนทภทร
1.
2.
3.
4.
5.
9
1. จงหาอตราสวนทเทากบอตราสวนทก�าหนดใหอกขอละ3อตราสวนโดยใชหลกการคณ
1) 2:7 2) 5:12 3) 9:7
4) 2:3 5) 4:9 6) 3:5
2. จงหาอตราสวนทเทากบอตราสวนทก�าหนดใหอกขอละ3อตราสวนโดยใชหลกการหาร
1) 24:48 2) 30:45 3) 72:24
4) 64:32 5) 24:56 6) 54:90
3. จงเขยนอตราสวนอก3อตราสวนจากขอความทก�าหนดใหในแตละขอตอไปน
1) สบราคากอนละ12บาทอตราสวนของจ�านวนสบเปนกอนตอจ�านวนเงนเปนบาท
2) การเขาคายพกแรมลกเสอ210คนใชเตนททงหมด30หลงอตราสวนของจ�านวนเตนท
เปนหลงตอจ�านวนลกเสอเปนคน
3) นกเรยน2คนจายคารถเมล14บาทอตราสวนของจ�านวนนกเรยนเปนคนตอจ�านวน
เงนเปนบาท
4) มะมวง3กองกองละ5ผลขายในราคากองละ10บาทอตราสวนของจ�านวนมะมวง
เปนกองตอจ�านวนเงนเปนบาท
2.2 การตรวจสอบการเทากนของอตราสวน
ถาตองการตรวจสอบวา59และ1527เปนอตราสวนทเทากนหรอไมเทากนเราสามารถ
ท�าไดหลายแบบโดยใชหลกการคณ หลกการหาร หรอใชการคณไขวเพอท�าใหจ�านวนหลงของ
แตละอตราสวนเทากนแลวจงเปรยบเทยบจ�านวนแรกดงตอไปน
แบบท 1 ใชหลกการคณ 59=
5×39×3
= 1527
ดงนน59และ1527เปนอตราสวนทเทากน
แบบท 2 ใชหลกการหาร 1527=15÷3
27÷3= 5
9
ดงนน1527และ59เปนอตราสวนทเทากน
1.
2.
3.
แบบตรวจสอบความเขาใจท 1.2 ก
8
จงหาอตราสวนทเทากบอตราสวน3:7มาอก3อตราสวน
อตราสวน3:7เขยนแทนดวย37
จะไดวา 37 = 3×2
7 × 2 = 614
นนคอ 3:7=6:14
37 = 3×3
7 × 3 = 921
นนคอ 3:7=9:21
37 = 3×4
7 × 4 = 1228
นนคอ 3:7=12:28
ดงนน อตราสวน6 : 14, 9 : 21 และ 12 : 28เปนอตราสวนทเทากบ
อตราสวน3:7
จงหาอตราสวนทเทากบอตราสวน18:24มาอก3อตราสวน
18:24 = 18÷2:24÷2 = 9:12
18:24 = 18÷3:24÷3 = 6:8
18:24 = 18×2:24×2 = 36:48
ดงนน อตราสวน9 : 12, 6 : 8 และ 36 : 48เปนอตราสวนทเทากบ
อตราสวน18:24
วธทำ�
ตวอยางท
1
ตอบ
วธทำ�
ตวอยางท
2
ตอบ
นนคอเมอก�าหนดอตราสวนมาใหเราสามารถหาอตราสวนทเทากบอตราสวนทก�าหนด
ใหไดโดยใชหลกการตอไปน
1) หลกการคณเมอคณแตละจ�านวนในอตราสวนใดดวยจ�านวนเดยวกนโดยทจ�านวนนน
ไมเทากบศนยจะไดอตราสวนใหมทเทากบอตราสวนเดม
2) หลกการหารเมอหารแตละจ�านวนในอตราสวนใดดวยจ�านวนเดยวกนโดยทจ�านวนนน
ไมเทากบศนยจะไดอตราสวนใหมทเทากบอตราสวนเดม
เราสามารถเขยนอตราสวนตางๆใหอยในรปเศษสวนได นะครบ
มมความคด
ถาก�าหนดอตราสวน a : b และ c เปนจ�านวนใดๆ
ทไมเทากบศนย แลวจะไดวา
ab
= a × cb × c
และ ab
= a ÷ cb ÷ c
11
2) พจารณาผลคณไขวของอตราสวน1.54และ 3
8
จะได 1.5×8= 12 และ 4×3 = 12
นนคอ 1.5×8= 4×3
ดงนน 1.5:4 และ3:8 เปนอตราสวนทเทากน
ถา5:0.3และa:6เปนอตราสวนทเทากนแลวจงหาคาa
เนองจากอตราสวน5:0.3=a:6
เขยนแทนดวย 50.3
= a6
จะไดวา 5×6 = 0.3×a
a = 5×60.3
a = 100
นนคอ 5:0.3 = 100:6
ดงนนaมคาเทากบ100
1. จงตรวจสอบวาอตราสวนแตละขอตอไปนเทากนหรอไม
1) 7:8และ35:40 2) 12:4และ6:2
3) 3.5:1.5และ5:2 4) 8:9และ96:108
2. จงเตมเครองหมาย=หรอ≠ลงใน ทก�าหนดใหในแตละขอเพอใหประโยคเปนจรง
1) 8:4 12:6 2) 6:7 9:11
3) 1.5:2 3:4 4) 0.2:20 0.3:30
3. จงหาคาcในอตราสวนตอไปนทท�าใหอตราสวนทงสองเปนอตราสวนทเทากน
1) c:5 และ 18:30 2) 4:c และ 36:80
3) 12:6 และ 8:c 4) 7:12 และ c:30
5) 25:c และ 1:4 6) 7:c และ 63:108
7) 0.7:c และ 1:100 8) 0.4:600และ 2:c
แบบตรวจสอบความเขาใจท 1.2 ข
1.
2.
3.
ตอบ
วธทำ�
ตวอยางท
2
ตอบ
ใชหลกการคณไขว1.54
38
10
แบบท 3 ใชการคณไขวพจารณา5×279×27
และ15×927×9
เนองจาก 9×27=27×9
จงตรวจสอบวา5×27=15×9หรอไม
จะได 5×27=135และ15×9=135
นนคอ 5×27=15×9
ดงนน59และ1527เปนอตราสวนทเทากน
จะเหนวา5×27และ15×9ซงเปนจ�านวนแรกของทงสองอตราสวนเปนผลการ
คณไขวของ5กบ27และ15กบ9จากอตราสวน59และ1527
พจารณาอตราสวนabและcd
เรยกabวาเปนอตราสวนท1และcdวาเปนอตราสวนท2
จาก ab=a× d b× d
= adbd
cd=c ×bd ×b
= bcbd
พจารณา adbd
และ bcbd
ดงน
1)ถา adbd
= bcbd
แลวad=bc2)ถา adbd
≠ bcbd
แลวad≠ bc
ซงadและbcเปนผลคณของจ�านวนจากอตราสวนทงสอง
โดยaเปนจ�านวนท1ของอตราสวนท1dเปนจ�านวนท2ของอตราสวนท2
และbเปนจ�านวนท2ของอตราสวนท1 cเปนจ�านวนท1ของอตราสวนท2
ซงเราสามารถจดadและbcโดยใชหลกการคณไขวดงนab cd
จงตรวจสอบวาอตราสวนแตละขอตอไปนเทากนหรอไม
1) 5:9และ25:44 2) 1.5:4และ3:8
1) พจารณาผลคณไขวของอตราสวน 59และ 25
44
จะได 5×44 = 220 และ 9×25 = 225
นนคอ 5×44 ≠ 9×25
ดงนน 5:9และ25:44 เปนอตราสวนทไมเทากน
2) พจารณาผลคณไขวของอตราสวน1.54และ 3
8
จะได 1.5×8= 12 และ 4×3 = 12
นนคอ 1.5×8= 4×3
ดงนน 1.5:4 และ3:8 เปนอตราสวนทเทากน
ถา5:0.3และa:6เปนอตราสวนทเทากนแลวจงหาคาa
เนองจากอตราสวน5:0.3=a:6
เขยนแทนดวย 50.3
= a6
จะไดวา 5×6 = 0.3×a
a = 5×60.3
a = 100
นนคอ 5:0.3 = 100:6
ดงนนaมคาเทากบ100
1. จงตรวจสอบวาอตราสวนแตละขอตอไปนเทากนหรอไม
1) 7:8และ35:40 2) 12:4และ6:2
3) 3.5:1.5และ5:2 4) 8:9และ96:108
2. จงเตมเครองหมาย=หรอ≠ลงใน ทก�าหนดใหในแตละขอเพอใหประโยคเปนจรง
1) 8:4 12:6 2) 6:7 9:11
3) 1.5:2 3:4 4) 0.2:20 0.3:30
3. จงหาคาcในอตราสวนตอไปนทท�าใหอตราสวนทงสองเปนอตราสวนทเทากน
1) c:5 และ 18:30 2) 4:c และ 36:80
3) 12:6 และ 8:c 4) 7:12 และ c:30
5) 25:c และ 1:4 6) 7:c และ 63:108
7) 0.7:c และ 1:100 8) 0.4:600และ 2:c
แบบตรวจสอบความเขาใจท 1.2 ข
ใชหลกการคณไขว59
2544
วธทำ�
ตวอยางท
1
มมความคด
ก�าหนดให ab
และ cd
เปนอตราสวนสองอตราสวน โดยท a, b, c และ d เปน
จ�านวนบวก
ถา a × d = c × b แลว ab
= cd
และถา a × d ≠ c × b แลว ab
≠ cd
13
จงเขยนอตราสวนของความยาวของดานตอไปน
1) ความกวางตอความยาว
ตอบ อตราสวนของความกวางตอความยาวเทากบ3 : 4
2) ความยาวตอความกวางตอความยาวเสนทแยงมม
ตอบ อตราสวนของความยาวตอความกวางตอความยาวเสนทแยงมม
เทากบ4 : 3 : 5
3) ความกวางตอความยาวตอความยาวเสนรอบรป
ตอบ ความยาวเสนรอบรป เทากบ 2×(ความกวาง+ความยาว)
= 2×(3+4) เซนตเมตร
= 14 เซนตเมตร
ดงนน อตราสวนของความกวางตอความยาวตอความยาวเสนรอบรป
เทากบ3 : 4 : 14
ก�าหนดรปสเหลยมผนผาABCDโดยทABยาว4เซนตเมตรBCยาว3เซนตเมตร
และBDยาว5เซนตเมตร
ตวอยางท
1
D C
A B
5 ซม.
4 ซม.
3 ซม
.
ตอบ
12
2.3 อตราสวนตอเนองของจ�านวนหลายๆ จ�านวน
พจารณาอตราสวนตอไปน
จ�านวนยางลบเปนกอนตอจ�านวนปากกาเปนดามเปน3:5
จ�านวนปากกาเปนดามตอจ�านวนดนสอเปนแทงเปน4:7
จากอตราสวนขางตนจะเหนวาจ�านวนปากกาเกยวของกบอตราสวนทงสอง
ถาตองการเขยนอตราสวนเปรยบเทยบจ�านวนยางลบตอจ�านวนปากกาตอจ�านวนดนสอ
จะตองท�าจ�านวนปากกาซงเปนตวรวมของทงสองอตราสวนใหเทากน โดยทวไปจะท�าใหเทากบ
ค.ร.น.ของจ�านวนทเปนปรมาณของตวรวมของทงสองอตราสวนในทนคอค.ร.น.ของ4กบ5
โดยใชหลกการหาอตราสวนทเทากนดงน
จาก จ�านวนยางลบเปนกอนตอจ�านวนปากกาเปนดามเปน3:5
จ�านวนปากกาเปนดามตอจ�านวนดนสอเปนแทงเปน 4:7
ท�าจ�านวนปากกาของทงสองอตราสวนใหเทากน โดยหา ค.ร.น. ของ4 และ5
ไดเทากบ20
นนคอท�าจ�านวนปากกาของทงสองอตราสวนใหเทากบ20
จะได จ�านวนยางลบเปนกอนตอจ�านวนปากกาเปนดามเปน3×4:5×4=12:20
จ�านวนปากกาเปนดามตอจ�านวนดนสอเปนแทงเปน4×5:7×5=20:35
จ�านวนยางลบเปนกอนตอจ�านวนปากกาเปนดามตอจ�านวนดนสอเปนแทง
เปน12:20:35
มมความคด
เมอมอตราสวนสองอตราสวนใดๆ แสดงการเปรยบเทยบปรมาณของทมากกวาสอง
ชนดขนไป เราสามารถเขยนอตราสวนตอเนองของจ�านวนหลายๆ จ�านวนจากอตราสวน
ทงสอง ดงน
1) พจารณาจ�านวนทปรากฏในอตราสวนทละค เฉพาะในสวนทเปนตวรวม
2) ถาจ�านวนทเปนตวรวมในขอ 1) เทากน ใหเขยนอตราสวนตอเนองไดเลย
3) ถาจ�านวนทเปนตวรวมในขอ 1) ไมเทากน ตองท�าใหตวรวมนนใหเทากนกอน
ซงโดยทวไปจะท�าใหเทากบ ค.ร.น. ของจ�านวนทเปนปรมาณของตวรวมทงสอง โดยใช
หลกการคณหรอหลกการหาร
15
1. ถาจ�านวนเงนรายไดเพอใชในการแขงขนกฬาสทนกเรยนสตางๆหาไดมดงน
จ�านวนเงนรายไดของสฟาตอจ�านวนเงนรายไดของสเขยวเปน 7:8
จ�านวนเงนรายไดของสเขยวตอจ�านวนเงนรายไดของสเหลองเปน7:8
จ�านวนเงนรายไดของสชมพตอจ�านวนเงนรายไดของสเหลองเปน3:4
จงเขยนอตราสวนเปรยบเทยบจ�านวนเงนรายไดของสฟาตอจ�านวนเงนรายไดของสชมพ
2. แดงด�าเขยวและขาวบ�าเพญประโยชนโดยการชวยกนเกบขวดน�าในสวนสาธารณะแหงหนง
ไดจ�านวนขวดน�าดงน
จ�านวนขวดน�าทแดงเกบไดตอจ�านวนขวดน�าทด�าเกบไดเปน2:3
จ�านวนขวดน�าทด�าเกบไดตอจ�านวนขวดน�าทเขยวเกบไดเปน4:5
จ�านวนขวดน�าทเขยวเกบไดตอจ�านวนขวดน�าทขาวเกบไดเปน6:7
จงเขยนอตราสวนเปรยบเทยบจ�านวนขวดน�าทแดงด�าเขยวและขาวเกบได
3. สวนสตวแหงหนงมอตราสวนของจ�านวนนกตอจ�านวนยราฟเปน11:2 อตราสวนของ
จ�านวนลงตอจ�านวนยราฟเปน31:3 และอตราสวนของจ�านวนยราฟตอจ�านวนเสอเปน
4:11จงเขยนอตราสวนเปรยบเทยบจ�านวนนกตอจ�านวนสตวทงสชนด
4. ก�าหนดอตราสวนa:b=3:2,b:c=4:7และc:d=3:8จงเขยนอตราสวนของ
a:b:c:d
5. อตราสวนของอายของนอยตออายของนดเทากบ3:7 อตราสวนของอายของนดตออาย
ของหนอยเทากบ7:8จงเขยนอตราสวนของอายของนอยตออายของนดตออายของหนอย
2.4 สดสวน
พจารณาอตราสวน2:5และ6:15
จะเหนวา ผลการคณไขวของจ�านวนแรกกบจ�านวนหลงของ25และ 6
15คอ
2×15 = 30 และ 5×6 = 30
จะไดวา 25= 6
15
นนคอ 2:5 = 6:15
เรยกประโยคทแสดงการเทากนของอตราสวนสองอตราสวนวาสดสวน
1.
2.
3.
4.
5.
แบบตรวจสอบความเขาใจท 1.2 ค
14
รานขายไขแหงหนงขายไขไกไขเปดและไขนกกระทาโดยทอตราสวนของจ�านวนไขเปด
ตอจ�านวนไขไกเปน3:5อตราสวนของจ�านวนไขนกกระทาตอจ�านวนไขไกเปน2:3
จงเขยนอตราสวนของจ�านวนไขเปดตอจ�านวนไขไกตอจ�านวนไขนกกระทาของรานน
เนองจากอตราสวนของจ�านวนไขเปดตอจ�านวนไขไกเปน3:5
อตราสวนของจ�านวนไขนกกระทาตอจ�านวนไขไกเปน2:3
ค.ร.น.ของ5และ3เทากบ15
จะไดวา จ�านวนไขเปดตอจ�านวนไขไกเปน3×3:5×3=9:15
จ�านวนไขนกกระทาตอจ�านวนไขไกเปน2×5:3×5=10:15
ดงนน อตราสวนของจ�านวนไขเปดตอจ�านวนไขไกตอจ�านวนไขนกกระทา
เทากบ 9 : 15 : 10
ก�าหนดใหATMเปนรปสามเหลยมดานไมเทาโดยมอตราสวนของความยาวดานดงน
AT:TM=3:4และTM:AM=10:8
จงเขยนอตราสวนของความยาวดานตอไปน
1) AT:TM:AM
2) ความยาวดานTMตอความยาวของเสนรอบรป
1) เนองจาก AT:TM = 3:4
TM:AM = 10:8
ค.ร.น.ของ4และ10เทากบ20
จะไดวา AT:TM = 3×5:4×5=15:20
TM:AM = 10×2:8×2=20:16
ดงนนอตราสวนของความยาวดานAT:TM:AMเทากบ15 : 20 : 16
2) ความยาวของเสนรอบรปเทากบ15+20+16=51สวน
ดงนนอตราสวนของความยาวดานTMตอความยาวเสนรอบรปเทากบ
20 : 51
ตอบ
ตอบ
วธทำ�
ตวอยางท
3
วธทำ�
ตวอยางท
2
17
จงหาคาของmในสดสวน3:5=m:2.5
จาก 3:5 = m:2.5
จะได 35 = m
2.5
ดงนน 3×2.5 = 5×m
m = 3×2.55
=1.5
ดงนนคาของmคอ1.5
การแกโจทยปญหาเกยวกบสดสวน
พจารณาโจทยปญหาตอไปน
ปาชายเลนแหงหนงมอตราสวนของจ�านวนตนโกงกางตอจ�านวนตนล�าพเปน5:7ถาม
ตนล�าพ63ตนจะมตนโกงกางกตน
จากอตราสวนของจ�านวนตนโกงกางตอจ�านวนตนล�าพทโจทยก�าหนดคอ5:7เปนการ
เปรยบเทยบจ�านวนตนไมทงสองชนดแตมจ�านวนตนล�าพ63ตน
ดงนนหากเราตองการทราบวาในความเปนจรงนนมตนโกงกางอยทงหมดกตนโดย
อาศยสดสวนอาจท�าไดดงน
สมมตใหมตนโกงกางxตน
จะไดอตราสวนจ�านวนตนโกงกางตอจ�านวนตนล�าพเปนx:63
จากอตราสวนทก�าหนดใหสามารถน�ามาเขยนเปนสดสวนไดดงน
5:7 = x:63หรอ 57= x
63
เมอหาคาของxในสดสวน57= x
63กจะทราบวาปาชายเลนแหงนมตนโกงกางกตน
ตอบ
วธทำ�
ตวอยางท
3
การเขยนสดสวนของอตราสวนตางชนดกนนนพงระวงไววาถาจ�านวนแรกของดานซาย
บอกถงปรมาณของส�งใดจ�านวนแรกของดานขวากตองบอกถงปรมาณของส�งของชนดเดยวกน
เชน 57= x
63 5 เปนจ�านวนแรกของดานซายแสดงถงจ�านวนของตนโกงกางและ
x เปนจ�านวนแรกของดานขวาแสดงถงจ�านวนของตนโกงกาง
เชนเดยวกน
16
ในกรณทมตวแปรซงแทนจ�านวนทไมทราบคาในสดสวน เราสามารถหาจ�านวนทแทน
ตวแปรดงกลาวในสดสวนไดดงตวอยางตอไปน
จงหาคาของmในสดสวน 67= 30
m
วธท 1 หาอตราสวนทเทากนโดยใชหลกการคณ
จาก 67 = 6×5
7×5 = 30
35
และ 30m
= 3035
จะไดวา m = 35
ดงนน คาของmคอ35
วธท 2 อาศยผลการคณไขวและการแกสมการ
จาก 67 = 30
m
จะได 6×m = 7×30
m = 7×306
m = 35
ดงนน คาของmคอ35
จงหาคาของyในสดสวน 3y= 2
2
45
จาก 3y = 2
2
45
จะได 2× y = 3×2
45
2× y = 3× 145
y = 3×142×5
=4.2
ดงนนคาของyคอ4.2
วธทำ�
ตวอยางท
1
ตอบ
ตอบ
วธทำ�
ตวอยางท
2
19
ลงค�าวางแผนเพอปลกตนเขมกบตนแกวเปนแนวรว โดยปลกตนเขมสลบกบตนแกว
เปนอตราสวน5:2 เมอลงค�าปลกเสรจแลวปรากฏวามตนเขม95 ตน จงหาวา
ลงค�าปลกตนแกวทงหมดกตน
ขนท 1 ท�าความเขาใจโจทยปญหาโดยพจารณา
1) สงทโจทยถามคอลงค�าปลกตนแกวกตน
2) สงทโจทยก�าหนดคอลงค�าวางแผนเพอปลกตนเขมกบตนแกว
เปนแนวรวโดยปลกตนเขมสลบกบตนแกวเปนอตราสวน5:2
เมอลงค�าปลกเสรจแลวปรากฏวามตนเขม95ตน
ขนท 2 วางแผนแกปญหาโดยเขยนสดสวนแสดงอตราสวนโดยใหล�าดบของ
สงทเปรยบเทยบในแตละอตราสวนเปนล�าดบเดยวกน
เมอลงค�าปลกตนเขม95ตน
ใหลงค�าปลกตนแกวทงหมดaตน
เขยนสดสวนไดดงน
ขนท 3 ด�าเนนการตามแผนทวางไว
ใหลงค�าปลกตนแกวทงหมดaตน
จะได a95 = 2
5
a = 25 ×95=38
นนคอลงค�าปลกตนแกวทงหมด38ตน
วธทำ�
ตวอยางท
4
จ�านวนตนแกว
จ�านวนตนเขม
a 2
95=
5
18
การแกโจทยปญหาเกยวกบสดสวน ในทนเสนอแนวการแกปญหาโดยใชแนวคดของ
โพลยาซงม4ขนตอนดงน
ขนท 1 ท�าความเขาใจโจทยปญหา โดยพจารณา
1) สงทโจทยถาม
2) สงทโจทยก�าหนด
ขนท 2 วางแผนแกปญหา
ในกรณของการแกโจทยปญหาเกยวกบสดสวนอาจวางแผนโดยเขยนสดสวน
แสดงอตราสวนโดยใหล�าดบของสงทเปรยบเทยบในแตละอตราสวนเปนล�าดบเดยวกนดงน
ขนท 3 ด�าเนนการตามแผนทวางไวเพอหาคาตวแปร
โดยใชความรเรองสดสวนและการแกสมการ
ขนท 4 ตรวจสอบค�าตอบ
เปดโลกคณตศาสตร
จอรจโพลยา(GeorgePolya:ค.ศ.1887-1985)เปนผทพฒนาวธการแกปญหาโดยเขยนไว
ในหนงสอ“Howtosolveit”วาการแกโจทยปญหาม4ขนตอนคอท�าความเขาใจปญหาวางแผน
การแกปญหาด�าเนนการตามแผนและการตรวจสอบค�าตอบซงสามารถน�ามาประยกตใชในการแกโจทย
ปญหาทางคณตศาสตรได
จ�านวนทหนง(สงเดยวกน)
จ�านวนทสอง(สงเดยวกน)
=
21
ขนท 3 ด�าเนนการตามแผนทวางไว
ใหลงค�ามทดนทงหมดเทากบaตารางวา
พนททงหมดเทากบ3+3+3+1=10สวน
อตราสวนของพนททงหมดตอพนทในการท�านาเปน10:3
จะได a540
= 103
a = 10×5403
=1,800
นนคอลงค�ามทดนทงหมด1,800ตารางวา
ขนท 4 ตรวจสอบค�าตอบ
ถาลงค�ามพนททงหมด1,800 ตารางวา แบงพนทเพอใชในการ
ท�านาเปนจ�านวน540ตารางวา
อตราสวนของพนททงหมดตอพนทในการท�านาเปน1,800:540
หรอ10:3ซงเปนไปตามทโจทยก�าหนด
ดงนน ลงค�าทมดนทงหมด1,800ตารางวา
จากล�าดบขนตอนการแกโจทยปญหาเกยวกบสดสวนซงแสดงในตวอยางท4และ5
เมอนกเรยนฝกจนช�านาญแลว อาจแสดงวธท�าโดยไมตองแสดงรายละเอยดแตละขนตอนได
ดงตวอยางตอไปน
ก�าหนดใหFBIเปนรปสามเหลยมมอตราสวนของความยาวดานFB:BI:IFเทากบ
7:5:3ถารปสามเหลยมนมความยาวเสนรอบรป60เซนตเมตรแลวจงหาวาดาน
BIยาวกเซนตเมตร
ตอบ
วธทำ�
ตวอยางท
6
53
I
BF7
จากโจทยรปสามเหลยมFBIมความยาวรอบรป60เซนตเมตร
ใหดานBIยาวaเซนตเมตร
อตราสวนของความยาวดานBIตอความยาวรอบรปเปนa:60
จากอตราสวนของความยาวดานFB:BI:IFเปน7:5:3
20
ขนท 4 ตรวจสอบค�าตอบ
ถาลงค�าปลกตนเขม95ตนและปลกตนแกว38ตน
อตราสวนเปรยบเทยบจ�านวนตนเขมตอจ�านวนตนแกว
เปน95:38หรอ5:2ซงเปนไปตามทโจทยก�าหนด
ดงนน ลงค�าปลกตนแกวทงหมด 38 ตน
โครงการเกษตรทฤษฎใหมตามแนวพระราชด�ารของพระบาทสมเดจพระเจาอยหว
จะจดสรรทท�ากนใหเหมาะสมโดยแบงพนทในการท�านาตอพนทปลกพชสวนและพชไร
ตอพนทสรางบอกกเกบน�าตอพนทสรางบานเรอนและถนนเปน3:3:3:1ถาลงค�า
ใชพนทในการท�านา540ตารางวาจงหาวาลงค�ามทดนทงหมดกตารางวา
ขนท 1 ท�าความเขาใจโจทยปญหาโดยพจารณา
1) สงทโจทยถามคอลงค�ามทดนทงหมดกตารางวา
2) สงทโจทยก�าหนดคออตราสวนของพนทในการท�านาตอพนทปลก
พชสวนและพชไรตอพนทสรางบอกกเกบน�าตอพนทสรางบานเรอน
และถนนเปน3:3:3:1
ขนท 2 วางแผนแกปญหาโดยเขยนสดสวนแสดงอตราสวนโดยใหล�าดบของ
สงทเปรยบเทยบในแตละอตราสวนเปนล�าดบเดยวกน
ถาพนทในการท�านาของลงค�าเปน540ตารางวา
ใหลงค�ามทดนทงหมดเทากบaตารางวา
เขยนสดสวนไดดงน
ตอบ
วธทำ�
ตวอยางท
5
พนททงหมด
พนททใชในการท�านา
a 3+3+3+1
540=
3
23
ตอบ
พจารณาแผนผงทก�าหนดให
วธทำ�
ตวอยางท
8
ถาแผนผงนเขยนโดยใชมาตราสวน1:12,000จงหาวาเมอเดนทางจากบาน
ไปสถานต�ารวจตามแนวเสนประเปนระยะทางประมาณกกโลเมตร
มาตราสวน1:12,000เปนอตราสวนของระยะทางในแผนผงตอระยะทางจรง
หมายความวา ถาระยะทางในแผนผงยาว1 เซนตเมตร ระยะทางจรงยาว
12,000เซนตเมตร
วดระยะทางในแผนผงจากบานถงสถานต�ารวจตามแนวเสนประยาวประมาณ
12.3เซนตเมตร
ใหระยะทางจรงจากบานถงสถานต�ารวจเทากบxเซนตเมตร
อตราสวนของระยะทางในแผนผงตอระยะทางจรงเปน12.3:x
เขยนสดสวนไดดงน
12.3x = 1
12,000
x = 12.3×12,000=147,600เซนตเมตร
เนองจาก 100 เซนตเมตร เทากบ 1 เมตร
จะได 147,600 เซนตเมตร เทากบ 147,600100
= 1,476เมตร
เนองจาก 1,000เมตร เทากบ1กโลเมตร
จะได 1,476เมตร เทากบ 1,4761,000
= 1.476กโลเมตร
ดงนนบานอยหางจากสถานต�ารวจประมาณ1.5กโลเมตร
(ตอบเปนทศนยม 1 ต�ำแหนง)
สถาน�ตำรวจโรงเรยน โรงพยาบาล
วด
บาน
22
จะไดผลบวกของสามสวนเทากบ7+5+3=15สวน
อตราสวนของความยาวดานBIตอความยาวรอบรปเปน5:15
เขยนสดสวนไดดงน
a60
= 515
a = 5×6015
=20
ดงนน ดานBIยาว20เซนตเมตร
น�าแตงโมมสวนผสมของเนอแตงโม น�าเชอม และน�าเปลาตมสก โดยมน�าหนกดงน
อตราสวนของเนอแตงโมตอน�าเชอมเปน10:3
อตราสวนของน�าเชอมตอน�าเปลาตมสกเปน1:10
อยากทราบวาถาใชน�าเชอม45กรมจะไดน�าแตงโมกกรม
อตราสวนของเนอแตงโมตอน�าเชอมเปน 10:3
อตราสวนของน�าเชอมตอน�าเปลาตมสกเปน 1:10
ค.ร.น.ของ1และ3เทากบ3
จะได อตราสวนของน�าเชอมตอน�าเปลาตมสกเปน1×3:10×3=3:30
อตราสวนของเนอแตงโมตอน�าเชอมตอน�าเปลาตมสกเปน10:3:30
จากอตราสวนจะไดน�าแตงโมทงหมด10+3+30=43สวน
ถาใชน�าเชอม45กรมใหไดน�าแตงโมทงหมดaกรม
เขยนสดสวนไดดงน
a45
= 433
a = 43×453
=645
นนคอ จะไดน�าแตงโม 645 กรม
ตอบ
ตอบ
วธทำ�
ตวอยางท
7
25
3. อตราสวนและรอยละ
3.1 อตราสวนและรอยละ
พจารณาขอความตอไปน
ประเภทเงนฝาก ดอกเบยรอยละ
ออมทรพย 0.75
ฝากประจ�า 3เดอน 1
ฝากประจ�า 6เดอน 1
ฝากประจ�า 12เดอน 1
ฝากประจ�า 24เดอน 1.15
อตราสวนของดอกเบยเงนฝากตอจ�านวนเงนฝากเปน1:100
พจารณาแผนปายตอไปน
ÊÓËÃѺÊÁÒªÔ¡ÃѺÊèǹŴ 15%
BOOK
จากตาราง เงนฝากประเภทฝาก
ประจ�า12 เดอน ไดรบดอกเบยรอยละ1
หมายความวาเมอฝากเงนจ�านวน100บาท
ครบ1ปจะไดรบดอกเบย1บาทเขยน
เปนอตราสวนไดดงน
จากแผนปายสวนลดราคาสนคาระบวา ส�าหรบ
สมาชกรบสวนลด15%หมายความวาเดมราคา100บาท
แตลดราคาให15บาทเขยนเปนอตราสวนไดดงนอตราสวน
ของจ�านวนเงนทลดตอราคาเดมเปน15:100
เรยกการเปรยบเทยบจ�านวนใดจ�านวนหนงกบ100วารอยละหรอเปอรเซนต
เชน 1 : 100 หรอ 1100
แทนดวย รอยละ 1หรอ 1%
15 : 100 หรอ 15100
แทนดวย รอยละ15หรอ 15%
เราสามารถเขยนรŒอยÅÐ a Ëร×อ a% ãนรÙ»อตราสวนä´Œเ»šน a : 100 Ëร×อ a100
การเขยนอตราสวนใดๆ ใหอยในรปรอยละ จะตองเขยนอตราสวนนนใหอยในรปทม
จ�านวนหลงของอตราสวนเปน100โดยใชหลกการคณหรอหลกการหารแลวจะไดจ�านวนแรกของ
อตราสวนเปนคาของรอยละทตองการเชน
7:20 = 35:100 กลาวไดวา 7 เปนรอยละ 35 ของ 20
4:25 = 16:100 กลาวไดวา 4 เปนรอยละ 16 ของ 25
8:200 = 4:100 กลาวไดวา 8 เปนรอยละ 4 ของ 200
10:500 = 2:100 กลาวไดวา10 เปนรอยละ 2 ของ 500
24
1. จงหาคาตวแปรในสดสวนของแตละขอตอไปน
1) 7x = 21
33 2) 6
7 = 30
m 3) 12
y = 278
4) a2.5
= 415
5) 4.8y = 6
8 6) 4.5
7 = n
28
2. เครองจกรเครองหนงผลตอปกรณคอมพวเตอรได190ชนในเวลา2ชวโมงถาเครองจกรน
ผลตอปกรณคอมพวเตอรได2,500ชนตองใชเวลากชวโมง
3. โรงเรยนแหงหนงเสยคาน�าประปาตอคาไฟฟาในเดอนมกราคม2553เปนอตราสวน2:7
ถาในเดอนนโรงเรยนเสยคาไฟฟาเปนเงน 350,000 บาท จงหาวาโรงเรยนแหงนเสยคา
น�าประปาเปนเงนกบาท
4. กลองใบหนงมอตราสวนของความสงตอความยาวตอความกวางเปน1:3:2ถากลองใบน
กวาง10เซนตเมตรกลองใบนมความจกลกบาศกเซนตเมตร
5. ก�าหนดมาตราสวน1:2,000จงหาระยะทางจรงเปนเมตรถาระยะทางทวดในแผนผงเทากบ
9เซนตเมตร
6. อตราสวนอายของชตตออายของโชคเปน3:4และอตราสวนอายของโชคตออายของชย
เปน4:5ถาชยอาย35ปแลวชตอายกป
7. รปสามเหลยมIMFมอตราสวนของIM:MFเปน4:5และFI:IMเปน9:12ถาเสน
รอบรปของรปสามเหลยมนยาว60เซนตเมตรจงหาความยาวแตละดานของรปสามเหลยมน
8. อตราสวนจ�านวนเงนของก:ข เปน3:5และอตราสวนจ�านวนเงนของข:ค เปน
2:3ถากมเงน150บาทจงหาวากมเงนตางจากคกบาท
9. ก�าหนดABCDเปนรปสเหลยมทมอตราสวนความยาวของดานดงน
AB :BC=4:3,BC:CD=2:3และCD:DA=3:1
ถาดาน CD ยาว4.5 เซนตเมตร แลวความยาวเสนรอบรปของรปสเหลยมรปนเทากบ
กเซนตเมตร
10. กลองทรงสเหลยมมมฉากใบหนงมอตราสวนของความกวางตอความยาวเปน2 :3
อตราสวนของความยาวตอความสงเปน4:5ถากลองใบนยาว24 เซนตเมตรแลวจะม
ความจกลกบาศกเซนตเมตร
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
แบบตรวจสอบความเขาใจท 1.2 ง
27
2) 8:7 = 8×1007×100
= 800700
=
8007100
≈ 114.29100
≈ 114.29%หรอรอยละ114.29
ดงนน8:7เขยนในรปรอยละไดประมาณรอยละ 114.29
จงเขยนรอยละในแตละขอตอไปนใหอยในรปอตราสวน
1) 5% 2) 12%
3) 512% 4) 5.75%
1) 5% = 5100
= 120
ดงนน5%เขยนในรปอตราสวนไดเปน 1 20
2) 12% = 12100
หรอ 325
ดงนน12%เขยนในรปอตราสวนไดเปน 3 25
3) 5
12% = 11
2 % =
112100
หรอ 11200
ดงนน5
12%เขยนในรปอตราสวนไดเปน 11
200
4) 5.75%= 5.75100
= 57510000
หรอ 23400
ดงนน5.75%เขยนในรปอตราสวนไดเปน 23 400
ตอบ
ตอบ
วธทำ�
ตวอยางท
3
26
จงเขยนอตราสวนตอไปนใหอยในรปรอยละ
1) 9:20 2) 34
1) 9:20 = 9×5:20×5
= 45:100
= 45%หรอรอยละ45
ดงนน9:20เขยนใหอยในรปรอยละไดเปนรอยละ 45
2) 34 = 3×25
4×25
= 75100
= 75%หรอรอยละ75
ดงนน 34เขยนใหอยในรปรอยละไดเปนรอยละ 75
จงเขยนอตราสวนตอไปนใหอยในรปรอยละ(ประมาณเปนทศนยมสองต�าแหนง)
1) 23
2) 8:7
1) 23 = 2×100
3×100
= 200300
=
2003100
≈ 66.67100
≈ 66.67%หรอรอยละ66.67
ดงนน 23เขยนในรปรอยละไดประมาณรอยละ 66.67
วธทำ�
ตวอยางท
1
ตอบ
วธทำ�
ตวอยางท
2
29
โจทยปญหาเกยวกบก�าไรและขาดทน
จกซอสนคาชนดหนงราคา80 บาท แลวขายตอในราคา100 บาท จงหาวาจกขาย
สนคานไดก�าไรรอยละเทาไร
ขนท 1 ท�าความเขาใจโจทยปญหาโดยพจารณา
1) สงทโจทยถามคอขายสนคานไดก�าไรรอยละเทาไร
2) สงทโจทยก�าหนดคอราคาทนของสนคาเปนเงน80บาทขาย
ไปราคา100บาท
ขนท 2 วางแผนแกปญหาโดยเขยนสดสวนแสดงอตราสวนโดยใหล�าดบของ
สงทเปรยบเทยบในแตละอตราสวนเปนล�าดบเดยวกน
ใหการขายสนคาไดก�าไรเปนรอยละa
วธทำ�
ตวอยางท
1
ก�าไร
ราคาทน
a100
=100-80
80
ขนท 3 ด�าเนนการตามแผนทวางไว
ใหขายสนคานไดก�าไรรอยละa
อตราสวนก�าไรตอราคาทนเปนa:100
ขายสนคานไดก�าไรเปนเงน100-80=20บาท
อตราสวนของก�าไรตอราคาทนเปน20:80
จะได a100
= 2080
a = 20×10080
a = 25
นนคอขายสนคาไดก�าไรรอยละ25
28
แบบตรวจสอบความเขาใจท 1.3
1. จงเขยนอตราสวนในแตละขอตอไปนใหอยในรปรอยละ
1) 2 :5 2) 15:10 3) 1:500
4) 825
5) 18200
6) 5500
2. จงเขยนอตราสวนในแตละขอตอไปนใหอยในรปรอยละ
1) 5:3 2) 7:12 3) 3:11
4) 58 5) 5
9 6) 15
7
3. จงเขยนรอยละในแตละขอตอไปนใหอยในรปอตราสวน
1) 300% 2) 2
38% 3) 250%
4) 2
34% 5) 17% 6) 12.8%
7) 23% 8) 0.25% 9) 32.5%
4. การแกโจทยปญหารอยละ
ใหนกเรยนพจารณาโจทยปญหาตอไปน
บรษทขายเครองส�าอางแหงหนงด�าเนนการขายโดยวธขายตรง ถาบรษทขายสนคา
ชนดหนงใหกบพนกงานขายราคาชนละ80บาทและพนกงานขายขายตอใหลกคาราคาชนละ
100บาทถาพนกงานขายคนนบอกวาขายไดก�าไรรอยละ20นกเรยนคดวาค�าพดนถกหรอไม
อยางไร
พนกงานขายซอเครองส�าอางชนนราคา80บาท
และขายตอราคา100บาทจะไดก�าไร100-80=20บาท
แสดงวาขายไดก�าไร20บาทจากราคาทน80บาทจงไมใชก�าไรรอยละ20ค�าพด
ดงกลาวจงไมถกตอง
การค�านวณวาไดก�าไรหรอขาดทนรอยละเทาไรตองคดจากทน100บาทเสมอขอให
นกเรยนศกษาจากบทเรยนตอไปน
1.
2.
3.
4.
31
ขนท 3 ด�าเนนการตามแผนทวางไว
วธท 1
ใหเครองคดเลขมราคาตนทนเครองละaบาท
ขายเครองคดเลข80เครองไดเงน28,600บาท
จะไดวาขายเครองคดเลขเครองละ 28,60080
=357.50บาท
อตราสวนราคาตนทนตอราคาขายเครองคดเลขเปนa:357.50
เมอขายไดก�าไร10%
หมายความวาราคาตนทนเปน100บาทไดก�าไร10บาท
อตราสวนราคาตนทนตอราคาขายเครองคดเลขเปน
100:110
จะได a357.50
= 100110
a = 100×357.50110
a = 325
นนคอเครองคดเลขนตนทนราคาเครองละ325บาท
วธท 2
ใหเครองคดเลขมราคาตนทนเครองละaบาท
ราคาตนทนทงหมดของเครองคดเลข80เครองเทากบ80aบาท
อตราสวนราคาตนทนทงหมดตอราคาขายทงหมดเปน80a:28,600
เมอขายไดก�าไร10%หมายความวาราคาตนทน100บาทไดก�าไร
10บาท
อตราสวนราคาตนทนตอราคาขายเปน100:110
จะได 80a28,600
= 100110
a = 100×28,600110×80
a = 325
นนคอเครองคดเลขนตนทนราคาเครองละ325บาท
30
ขนท 4 ตรวจสอบค�าตอบ
ถาการขายครงนไดก�าไร25%
จะไดก�าไรคดเปนเงน 25100
×80=20บาท
เงนจ�านวนนเทากบเงนก�าไรซงค�านวณจาก100-80=20บาท
ตามทโจทยก�าหนด
ดงนน จกขายสนคาไดก�าไรรอยละ 25
อมพรขายเครองคดเลข80เครองเปนเงน28,600บาทไดก�าไร10%จงหาวา
เครองคดเลขนตนทนราคาเครองละกบาท
ขนท 1 ท�าความเขาใจโจทยปญหาโดยพจารณา
1) สงทโจทยถามคอราคาตนทนของเครองคดเลขแตละเครอง
2) สงทโจทยก�าหนด คอ ขายเครองคดเลข80 เครอง เปนเงน
28,600บาทไดก�าไร10%
ขนท 2 วางแผนแกปญหาโดยเขยนสดสวนแสดงอตราสวนโดยใหล�าดบของ
สงทเปรยบเทยบในแตละอตราสวนเปนล�าดบเดยวกน
การขายครงนไดก�าไร10%
ใหเครองคดเลขมราคาตนทนเครองละaบาท
ตอบ
วธทำ�
ตวอยางท
2
ราคาตนทน(ตอเครอง)
ราคาขาย(ตอเครอง)
a28,60080
100110
=
วธท 1
ราคาตนทนทงหมด
ราคาขายทงหมด
100110
80a28,600
=
วธท 2
33
ตอบ
ตอบ
ใหขายวทยราคาเครองละyบาท
อตราสวนของราคาตนทนตอราคาขายวทยเปน5,000:y
จะได 5,000y
= 100110
y = 5,000×110100
y = 5,500
ดงนนจะตองขายวทยราคาเครองละ5,500บาทจงจะไดก�าไร10%
โจทยปญหาเกยวกบการลดราคา
สภกษรซอวทยเครองหนงไดสวนลด15% ของราคาทปดไว ซงคดเปนเงนสวนลด
ทงหมด600บาทจงหาราคาทปดไว
ใหปดราคาวทยเปนเงน a บาท
ไดรบสวนลดทงหมด 600 บาท
อตราสวนของราคาทปดไวตอเงนสวนลดเปนa:600
ไดรบสวนลด15%ของราคาทปดไว
หมายความวา ปดราคาวทยไว100บาทจะไดรบสวนลด15บาท
อตราสวนของราคาทปดไวตอเงนสวนลดเปน100:15
จะได a600
= 10015
a = 100×60015
a = 4,000
นนคอปดราคาวทยไว4,000บาท
วธทำ�
ตวอยางท
4
32
ขนท 4 ตรวจสอบค�าตอบ
ถาราคาตนทนเครองละ325บาทและขายในราคาเครองละ357.50บาท
จะไดก�าไรเปนเงน357.50-325=32.50บาท
คดเปนก�าไรรอยละ32.50×100325
=10ตามทโจทยก�าหนด
ดงนน เครองคดเลขนตนทนราคาเครองละ 325บาท
จากล�าดบขนตอนการแกโจทยปญหารอยละซงแสดงในตวอยางท1และ2เมอนกเรยน
ฝกจนช�านาญแลว อาจแสดงวธท�าโดยไมตองแสดงรายละเอยดของแตละขนตอนได ดงตวอยาง
ตอไปน
ขายวทยเครองหนงราคา4,500บาทขาดทน10%ถาตองการขายใหไดก�าไร10%
จะตองขายวทยเครองนราคาเครองละกบาท
ใหวทยเครองนมราคาตนทนเครองละaบาท
ขายราคาเครองละ4,500บาท
อตราสวนราคาตนทนตอราคาขายวทยเปนa:4,500
แตขายขาดทน10%
หมายความวา ราคาตนทนเปน100บาทขาดทน10บาท
อตราสวนของราคาตนทนตอราคาขายวทยเปน100:90
จะได a4,500
= 10090
a = 100×4,50090
a = 5,000
นนคอ วทยเครองนมราคาตนทนเครองละ5,000บาท
ตองการใหไดก�าไร10%
หมายความวา ราคาตนทนเปน100บาทไดก�าไร10บาท
อตราสวนของราคาตนทนตอราคาขายวทยเปน100:110
ตอบ
วธทำ�
ตวอยางท
3
35
ตอบ
โจทยเกยวกบภาษมลคาเพม
รานคาแหงหนงก�าหนดราคาขายสนคาโดยคดจากราคาทตงไวบวกกบภาษมลคาเพม
7%ของราคาทตงไวถาราคาทตงไวของสนคาชนดหนงเปนเงน2,400บาทจะตอง
ก�าหนดราคาขายสนคานกบาท
ก�าหนดใหราคาขายสนคานเทากบaบาท
ตงราคาไว2,400บาท
อตราสวนของราคาขายตอราคาทตงไวเปนa:2,400
เนองจากคดภาษมลคาเพม7%ของราคาทตงไว
หมายความวาอตราสวนของภาษมลคาเพมตอราคาทตงไวเปน7:100
จะได อตราสวนของราคาขายตอราคาทตงไวเปน107:100
จะได a2,400
= 107100
a = 107×2,400100
a = 2,568
ดงนนรานคาแหงนจะตองก�าหนดราคาขายสนคาน2,568บาท
วธทำ�
ตวอยางท
6
คณตคดสนก
หางสรรพสนคาแหงหนงซอโทรศพทมอถอในราคาเครองละ3,000บาทและตดราคาขายเครองละ6,000บาทแต
เนองจากสภาพเศรษฐกจไมดจงลดราคาเหลอ4,800บาทและลดราคาอกครงเหลอ3,840บาทแตยงขายไมไดจงลด
ราคาอกครงจงหาวาการลดราคาครงนจะยงคงไดก�าไรหรอขาดทนหรอเทาทนถาการลดราคาครงนมจ�านวนเปอรเซนต
ทลดราคาเทากบจ�านวนเปอรเซนตของการลดราคาของสองครงทผานมา
34
รานคาแหงหนงปดราคาขายสนคาชนดหนงในราคา2,000บาทถาลดราคา5%จะท�าให
ไดก�าไร10%จงหาราคาทนของสนคาน
ใหขายสนคานราคาaบาท
อตราสวนของราคาขายตอราคาทปดไวของสนคานเปนa:2,000
ขายสนคานโดยลดราคา5%
อตราสวนของราคาขายตอราคาทปดไวของสนคานเปน95:100
จะได a2,000
= 95100
a = 95×2,000100
a = 1,900
นนคอ ขายสนคานราคา1,900บาท
ใหราคาตนทนของสนคานเทากบyบาท
อตราสวนของราคาตนทนตอราคาขายเปนy:1,900
การขายครงนไดก�าไร10%
หมายความวาราคาตนทนเปน100บาทก�าไร10บาท
อตราสวนของราคาตนทนตอราคาขายเปน100:110
จะได y 1,900
= 100110
y = 100×1,900110
y ≈ 1,727.27
ดงนน ราคาตนทนของสนคานประมาณ1,727.27บาท ตอบ
วธทำ�
ตวอยางท
5
37
เจฝากเงนทธนาคารแหงหนงเปนเงน50,000บาทธนาคารคดอตราดอกเบยใหรอยละ
1.75ตอปและตองเสยภาษดอกเบย15%ถาเจฝากครบ2ปแลวตองการถอนเงน
ทงหมดเขาจะไดรบเงนเทาไร
วางแผนแกปญหาโดยเขยนแผนผงแสดงแนวคดไดดงน
ให เมอครบ1ปเจไดรบดอกเบยaบาทและเสยภาษดอกเบยbบาท
เมอครบ2ปเจไดรบดอกเบยcบาทและเสยภาษดอกเบยdบาท
วธทำ�
ตวอยางท
8
เงนตนปท1
เงนตนปท2
ดอกเบยปท1
ดอกเบยปท2
ภาษดอกเบยปท1
ภาษดอกเบยปท2
ดอกเบยปท1หลงหกภาษ
ดอกเบยปท2หลงหกภาษ
เงนทไดรบทงหมดเมอครบ2ป
50,000บาท
50,000+743.75=50,743.75
888.02-133.20=754.82
50,743.75+754.82=51,498.57
=
=
=
=
875-131.25=743.75
a=875
c ≈888.02
b=131.25
d ≈133.20
a50,000
c50,743.75
b875
d888.02
1.75100
1.75100
15100
15100
36
รานคาแหงหนงซอสนคามาในราคา2,000บาทตองการขายใหไดก�าไร10%รานคา
จงก�าหนดราคาขายโดยคดภาษมลคาเพมอก7%ของราคาขายทไดก�าไร10%จะตอง
ก�าหนดราคาขายสนคานกบาทจงจะไดก�าไรตามทตองการ
ใหราคาทยงไมรวมภาษเปนxบาทและสนคามราคาทน2,000บาท
ตองการขายใหไดก�าไร10%ของราคาทน
จะได x 2,000
= 110100
x = 110×2,000100
x = 2,200
นนคอ ราคาทยงไมรวมภาษเทากบ2,200บาท
ใหราคาขายทรวมภาษแลวเปนyบาทเมอคดภาษมลคาเพมอก7%
จะได y 2,200
= 107100
y = 107×2,200100
y = 2,354
ดงนน ถาตองการก�าไร10%ตองก�าหนดราคาขายสนคาน
เทากบ2,354บาท ตอบ
วธทำ�
ตวอยางท
7
เปดโลกคณตศาสตร
เมอฝากเงนไวกบธนาคารธนาคารจะใหดอกเบยโดยก�าหนดอตราดอกเบย เปนรอยละตอปแตอาจ
ก�าหนดวาระทครบก�าหนดเปน3,6,12เดอนหรอมากกวาการคดดอกเบยทถกตองจะตองคดปละ365วน
(ทงนไมวาปปฏทนทฝากนนจะม365หรอ366วนกตาม)ในกรณฝากเงนเปนเวลา3หรอ6 เดอนใหใช
จ�านวนวนใน3เดอนหรอ6เดอนมาค�านวณเชนการคดดอกเบยของเงนฝาก4,000บาทในระยะเวลา3เดอน
(91วน)อตราดอกเบยรอยละ0.75ตอปค�านวณดอกเบยไดดงน
ดอกเบยทไดรบเปนเงน ≈7.48บาท
ทมา:การค�านวณดอกเบยฝากประจ�า3เดอนโดยไมหกภาษดอกเบยของธนาคารไทยพาณชยณวนท23สงหาคม2553
4,000บาท×91วน×0.75365วน×100
39
จะไดวาปท2เจตองเสยภาษดอกเบยเปนเงนประมาณ133.20บาท
นนคอ เมอครบ2ปเจไดรบดอกเบยหลงหกภาษเปนเงนประมาณ
888.02-133.20=754.82บาท
ดงนน เมอเจฝากเงนครบ2ปเจจะไดรบเงนทงหมดประมาณ
50,743.75+754.82=51,498.57บาท
การค�านวณภาษเงนไดบคคลธรรมดา
ภาษเปนรายไดส�าคญอยางหนงของรฐทน�ามาใชในการพฒนาประเทศและใหบรการ
ตางๆแกประชาชนภาษทรฐเกบจากประชาชนมหลายประเภทเชนภาษมลคาเพมภาษสรรพสามต
ภาษศลกากรภาษเงนได เปนตนซงผมรายไดตามทกฎหมายก�าหนดจะตองเสยภาษเงนไดตาม
หนาทของพลเมองทดหลกการค�านวณภาษเงนไดบคคลธรรมดาในปหนงๆ(มกราคม-ธนวาคม
ของปเดยวกน)เปนดงน
1) ค�านวณเงนไดสวนทตองน�ามาประเมน เพอเสยภาษตามทกฎหมายก�าหนดทงน
เรยกเงนจ�านวนนวา“เงนไดพงประเมน”
2) หกคาใชจายจากเงนไดพงประเมนตามทกฎหมายก�าหนด
3) หกคาลดหยอนจากเงนไดพงประเมนทหกคาใชจายแลวเรยกเงนจ�านวนนวา
“เงนไดสทธ” ซงตองน�ามาค�านวณภาษทตองเสยใหแกรฐตามอตราทก�าหนดไวในกฎหมาย
พ.ศ.2557-2558ดงตอไปน
ตารางอตราภาษเงนไดบคคลธรรมดา
เงนไดสทธ (บาท)เงนไดสทธ
(จ�านวนสงสดของขน)
อตราภาษ
รอยละ
ภาษในแตละ
ขนเงนได
ภาษสะสมสงสด
ของขน
1-150,000 150,000 ยกเวน 0 0
150,001-300,000 150,000 5 7,500 7,500
300,001-500,000 200,000 10 20,000 27,500
500,001-750,000 250,000 15 37,500 65,000
750,001-1,000,000 250,000 20 50,000 115,000
1,000,001-2,000,000 1,000,000 25 250,000 365,000
2,000,001-4,000,000 2,000,000 30 600,000 965,000
4,000,001ขนไป 35
ตอบ
38
ด�าเนนการตามแผนทวางไวดงน
ใหเมอครบ1ปเจไดรบดอกเบยเปนเงนaบาท
จะได a50,000
= 1.75100
a = 1.75×50,000100
a = 875
จะไดวา เมอครบ1ปเจไดรบดอกเบยทงหมดเปนเงน 875 บาท
ใหปท1เจตองเสยภาษดอกเบยดวยอตรา15%เปนเงน b บาท
จะได b875
= 15100
b = 15×875100
b = 131.25
จะไดวาปท1เจตองเสยภาษดอกเบยเปนเงน131.25บาท
นนคอ เมอครบ1ปเจไดรบดอกเบยหลงหกภาษเปนเงน
875-131.25=743.75บาท
ใหเมอครบ2ปเจไดรบดอกเบยเปนเงนcบาท
เงนตนปท2เทากบ50,000+743.75=50,743.75บาท
จะได c 50,743.75
= 1.75100
c = 1.75×50,743.75100
c ≈ 888.02
จะไดวา เมอครบ2ปเจไดรบดอกเบยทงหมดเปนเงนประมาณ
888.02บาท
ใหปท2เจตองเสยภาษดอกเบยดวยอตรา15%เปนเงนdบาท
จะได d 888.02
= 15100
d = 15×888.02100
d ≈ 133.20
41
1. หางสรรพสนคาแหงหนงประกาศลดราคาสนคาทกชนด15% ถาวนยไดรบสวนลดเมอซอ
พดลมคดเปนเงน450บาทจงหาวาหางสรรพสนคานตดราคาขายพดลมเครองนกบาท
2. ในพ.ศ.2550บรษทแหงหนงไดรบผลก�าไรนอยกวาพ.ศ.2551อย12%ถาในพ.ศ.2551
ไดรบผลก�าไร23,000,000บาทจงหาวาพ.ศ.2550บรษทแหงนไดรบผลก�าไรกบาท
3. ซอไขมารอยละ210บาทขายหมดไปฟองละ3บาทจะไดก�าไรกเปอรเซนต
4. แมคาซอสบปะรดมาจากไร280ผลราคาผลละ5บาทเสยคารถบรรทก400บาทปรากฏวา
กอนจะขายหมดมสบปะรดเสยคดเปน15%ของทงหมดสวนทขายไดขายผลละ10บาท
จงหาวาขายสบปะรดทดไปทงหมดไดก�าไรหรอขาดทนรอยละเทาไร
5. พอคาขายสนคาชนดหนงราคา3,800บาทปรากฏวาขาดทน5%ถาพอคาตองการก�าไร
10%เขาตองขายสนคานราคากบาท
6. พอคาปดราคาขายตเยนหลงหนงเปนเงน7,800บาทโดยคดก�าไร30%ถาพอคาลดราคาให
10%ของราคาทปดไวเขาจะยงคงไดก�าไรกเปอรเซนต
7. มน�าเกลอ10% โดยน�าหนก จ�านวน3,000 กรม จะตองเตมน�าอกกกรม จงจะท�าใหได
น�าเกลอ6%
8. พอคาปดราคาสนคาชนดหนงไวสงกวาตนทน20%แตถาลดราคาขายลง35บาทพอคาจะ
ไดก�าไรเพยง10%ราคาตนทนของสนคานกบาท
9. แมคาปดราคาสนคาชนดหนงสงกวาตนทน25%แตตอมาลดใหผซอ120บาทซงขาดทน
5%ถาตองการก�าไร10%จะตองขายสนคานกบาท
10. ตนทนโทรศพทมอถอราคาเครองละ6,000บาทจะตองปดราคาขายโทรศพทมอถอเครองน
ในราคาเครองละกบาทเมอลดใหผซอ20%แลวยงคงไดก�าไร30%
11. ในการปดราคาขายสนคาของรานคาแหงหนง ราคาทปดไวจะเปนราคาทไดจากราคาสนคา
ทตงไวรวมกบภาษมลคาเพมทคดจาก7%ของราคาสนคาทตงไวถาตงราคาไว450บาท
จะตองปดราคาขายสนคานนกบาท
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
แบบตรวจสอบความเขาใจท 1.4
40
ดนยมเงนไดสทธ324,500บาทถกหกภาษณทจาย10,000บาทจงหาวาเมอครบป
ทตองยนแบบแสดงรายการภาษเงนไดดนยจะตองช�าระภาษเพมหรอรบเงนภาษทช�าระ
ไวเกนคนเปนจ�านวนกบาท
เงนไดสทธ150,000บาทแรกไดรบการยกเวนภาษ
เงนไดสทธ150,000บาทถง300,000บาทเสยภาษ5%
แสดงวา เงนไดสทธทตองเสยภาษ5%
เปนเงน300,000-150,000=150,000บาท
คดเปนเงนภาษ 5100
×150,000=7,500บาท
เงนไดสทธ300,000บาทถง324,500บาทเสยภาษ10%
แสดงวา เงนไดสทธทตองเสยภาษ10%
เปนเงน 324,500-300,000=24,500บาท
คดเปนเงนภาษ 10100
×24,500=2,450บาท
จะไดวา เงนภาษทตองช�าระมคาเทากบ7,500+2,450=9,950บาท
เนองจากดนยถกหกภาษณทจายเปนเงน10,000บาท
ดนยจะตองรบเงนภาษทช�าระภาษไวเกนคน
10,000-9,950=50บาท
ดงนน ดนยจะไดรบเงนภาษทช�าระไวเกนคน50บาท ตอบ
วธทำ�
ตวอยางท
9
43
เสรมทกษะเชงเทคโนโลย
สขภาพครอบครวของฉน
จากรายงานทางการแพทยพบวา ความอวนเปนสาเหตของโรคหลายชนด เชน
ขอกระดกเสอม ปวดเขา ระบบหายใจขดของ ไขมนในเลอดสง ความดนโลหตสง มะเรง
เปนตนดงนนถาเราทราบวาสมาชกของครอบครวเรามรางกายทอวนหรอน�าหนกมากเกน
ไป จะท�าใหมความเสยงสงตอการเปนโรคตางๆ จะไดหาทางปองกน ซงนกเรยนสามารถ
ตรวจสอบสขภาพเบองตนของตวเองและสมาชกในครอบครวดวยวธงายๆ โดยปฏบตตาม
ขนตอนตอไปน
1) หาดชนบงชเพอประเมนความอวนโดยใชอตราสวนดงน
ดชนมวลกาย= น�าหนกเปนกโลกรมสวนสงเปนเมตร2
2) น�าคาดชนมวลกายทค�านวณไดในขอ1)เทยบกบตารางดานลาง
ตวอยางเชน ครวนดหนก52กโลกรมสง159เซนตเมตรหรอ1.59เมตร
ดชนมวลกาย= 52(1.59)2
= 522.5281
≈20.5688
จะไดวา ดชนมวลกายของครวนดประมาณ20.57
เมอเทยบดชนมวลกายในตารางครวนดมน�าหนกพอเหมาะความเสยงตอการ
เปนโรคอยในเกณฑปกตถงต�า
(มควำมสำมำรถในกำรสอสำร กำรเชอมโยงควำมรตำงๆ ทำงคณตศำสตรกบศำสตรอนๆ)
ดชน�มวลกาย สภาวะความอวน ความเสยงตอการเปนโรค
ต�ากวา18.5 น�าหนกนอยหรอผอม ปานกลาง-สง
18.5-24.9 น�าหนกพอเหมาะ ปกต-ต�า
25.0-29.9 น�าหนกมากเกนไป เพมขนจากปกต
30.0-34.9 อวน ปานกลาง
มากกวา35.0 อวนมาก รนแรง-รนแรงมาก
42
12. ถาตนทนของสนคาชนหนงเปนเงน250บาทตองการขายสนคานใหไดก�าไร20%จะตอง
ตงราคาสนคาไวกบาท และเมอจะปดราคาขายสนคา ซงไดจากราคาสนคาทตงไวรวมกบ
ภาษมลคาเพมทคดจาก7%ของราคาสนคาทตงไวจะตองปดราคาขายไวกบาท
13. ผผลตสนคาปดราคาขายสนคาชนหนงเปนเงน1,926บาทซงราคาทปดนเปนราคาทรวม
กบภาษมลคาเพมทคดจาก7%ของราคาสนคานนเมอกงซอสนคานในราคาทปดไวเงน
จ�านวนนคดเปนราคาสนคานนกบาทและเปนภาษมลคาเพมกบาทถาตนทนการผลตสนคา
ชนนเปนเงน1,406.25บาทผผลตไดก�าไรกเปอรเซนต
14. อารมฝากเงนไวกบธนาคารแหงหนง96,000บาทเปนเวลา1ปอตราดอกเบยรอยละ1.75
ตอปและตองเสยภาษดอกเบยเงนฝากรอยละ15เมอฝากครบ1ปอารมจะไดรบดอกเบย
กบาท
15. กานดาฝากเงนไวกบธนาคารแหงหนง100,000บาทอตราดอกเบยรอยละ1.75ตอปเมอ
ฝากครบ1ปอตราดอกเบยลดลงเหลอรอยละ1.25ตอปถกหกภาษดอกเบยรอยละ15
เมอฝากครบ2ปกานดาจะมเงนในบญชกบาท
16. นายทองดท�างานในบรษทแหงหนง มเงนไดสทธ344,250 บาท เมอครบปทจะตองยน
แบบแสดงรายการภาษเงนไดเขาจะตองช�าระภาษเงนไดกบาท
17. นายทองกอนเปนผจดการบรษทแหงหนงมเงนไดสทธ825,520บาทเมอครบปทจะตอง
ยนแบบแสดงรายการภาษเงนไดเขาจะตองช�าระภาษเงนไดกบาท
18. นางทองมวนท�างานทธนาคารแหงหนงมเงนไดสทธ580,000บาทถกหกภาษณทจาย
3,000 บาท จงหาวาเมอครบปทตองยนแบบแสดงรายการภาษเงนได เขาจะตองช�าระ
ภาษเพมหรอไดรบเงนภาษทช�าระไวเกนคนกบาท
19. นายทองใบเปนขาราชการมเงนไดสทธ588,280บาทถกหกภาษณทจาย5,000บาท
จงหาวาเมอครบปทตองยนแบบแสดงรายการภาษเงนได เขาจะตองช�าระภาษเพมเตม
หรอรบเงนภาษทช�าระไวเกนคนกบาท
20. นางทองค�า มเงนไดสทธ1,000,000 บาท ทกสนเดอนเขาจะตองถกหกภาษ ณ ทจาย
เดอนละ2,000บาทเมอครบปเขาตองยนแบบแสดงรายการภาษเงนไดจงหาวาเขาจะตอง
ช�าระภาษเพมเตมหรอรบเงนภาษทช�าระไวเกนคนกบาท
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
45
กจกรรมเสรมทกษะและกระบวนการทางคณตศาสตร
(มควำมสำมำรถในกำรใหเหตผล กำรสอควำมหมำยทำงคณตศำสตร กำรเชอมโยงควำมรตำงๆ
ทำงคณตศำสตร)
อตราสวนทอง
ประมาณ2,000 ป ทผานมา สถาปนกและศลปนไดคนพบรปสเหลยมผนผาทอง
ซงเมอค�านวณอตราสวนระหวางความยาวกบความกวางจะเปน1.618033:1(1.618033
เปนคาประมาณ) เชน บตรประจ�าตวประชาชน มความยาว8.6 เซนตเมตร ความกวาง
5.4เซนตเมตรมอตราสวนความยาวตอความกวางเปน1.592:1(1.592เปนคาประมาณ)
ซงเปนจ�านวนทใกลเคยงกบอตราสวนทอง ถาใชคาประมาณโดยการปดเศษเปนทศนยม
1ต�าแหนงจะได1.6:1
กจกรรม
ใหนกเรยนส�ารวจหรอสบคนขอมลเกยวกบสถาปตยกรรมทมชอเสยงในทองถน
ของนกเรยนเชนศาลากลางโบสถศาลหลกเมองเปนตนแลวค�านวณอตราสวนความยาว
ของฐานตอความสงวาใกลเคยงกบอตราสวนทองหรอไม
แบบฝกหดประจ�าหนวยการเรยนรท 1
1. สมหนก5ขดเงาะหนก2กโลกรมจงเขยนอตราสวนของน�าหนกของสมตอน�าหนกของเงาะ
2. พมเงนxบาทนองมเงนนอยกวาสองเทาของพอย8บาทจงเขยนอตราสวนจ�านวนเงนของ
พตอจ�านวนเงนของนอง
3. จงแสดงใหเหนวาอตราสวนทก�าหนดใหในแตละขอตอไปนเปนอตราสวนทเทากนหรอไม
1) 12:13และ6:7 2) 15:17และ45:51
3) 16:17และ8:3 4) 19:20และ58:60
1.
2.
3.
44
ใหนกเรยนน�าน�าหนกและสวนสงของสมาชกทกคนในครอบครวมาหาดชนมวลกาย
พรอมทงน�ามาเปรยบเทยบกบตารางเพอตรวจสอบดความเสยงตอการเปนโรคโดยปฏบต
ตามขนตอนตอไปน
1) เปดโปรแกรมMicrosolfExcel
2) ทเซลA1,B1,C1,D1,E1และF1พมพขอความชอ-สกลน�าหนก(กก.)
สวนสง(ม.)ดชนมวลกายความเสยงตอการเปนโรคและแนวทางปฏบตเพอ
ลดความเสยงตามล�าดบ
3) พมพชอ-สกลพรอมน�าหนกและสวนสงของสมาชกทกคนในครอบครว
4) ทเซลD2พมพสตรการหาดชนมวลกายโดยพมพ=B2/C2^2
5) ใหคดลอกสตรในขอ4) ไปยงเซลD3,D4,...(ตามจ�านวนสมาชกของครอบครว)
6) น�าคาดชนมวลกายของสมาชกแตละคนเทยบกบตารางแลวพมพความเสยงตอ
การเปนโรคของสมาชกแตละคนในเซลE2,E3,...(ตามจ�านวนสมาชกของครอบครว)
7) น�าขอมลทงหมดใหสมาชกทกคนของครอบครวพจารณา ส�าหรบสมาชกทอย
ในเกณฑเสยงใหหาแนวทางการปฏบตเพอลดความเสยงและพมพแนวทางการปฏบตนน
ทเซลF2,F3,...(ตามจ�านวนสมาชกของครอบครว)
8) พมพ(PRINT)ขอมลทงหมดสงครผสอน
46
4. จงเขยนอตราสวนซงเทากบอตราสวน36:64มาอก5อตราสวน
5. ก�าหนดx:y=7:3และy:z=18:36จงเขยนอตราสวนของx:y:z
6. กตตตดเหลกเสนหนงออกเปน3เสนโดยทความยาวของเหลกเสนทหนงตอความยาวของ
เหลกเสนทสองตอความยาวของเหลกเสนทสามเปน 12 : 1 : 3
2 ถาเหลกเสนทสองยาว
4ฟตแลวเหลกเสนนกอนตดยาวกฟต
7. ถาp-58
= 74แลวจงหาคาของp+2
8. เจเลยงสตวไว3ชนดคอเปดไกและหมเปนอตราสวนดงนจ�านวนเปดตอจ�านวนไกเปน
7:8และจ�านวนหมตอจ�านวนไกเปน5:6ถาเขาเลยงสตวทงสามชนด4,745ตวจงหาวา
เจเลยงเปดมากกวาหมกตว
9. รปสเหลยมคางหมรปหนงมอตราสวนของความสงตอความยาวของดานคขนานสองดานเปน
2:3:5ถารปนมความสง10เซนตเมตรพนทของรปสเหลยมนเทากบกตารางเซนตเมตร
10. แทงไมทรงสเหลยมมมฉากอนหนง มอตราสวนของความยาวตอความกวางเปน 3 : 2
และอตราสวนของความกวางตอความสงเปน3:5ถาปรมาตรของแทงไมนเทากบ4,320
ลกบาศกเซนตเมตรจงหาความกวางความยาวและความสงของแทงไมน
11. วทยเครองหนงปดราคา8,500บาทถารานลดใหผซอเงนสด10%แลวยงไดก�าไร20%
รานนซอวทยมาราคากบาท
12. เจฝากเงนไวกบธนาคารเปนจ�านวน250,000บาทธนาคารคดดอกเบยในอตรารอยละ1.75
ตอปและหกภาษดอกเบยรอยละ15เมอครบ2ปเขาจะมเงนในบญชทงหมดกบาท
13. รานคาปดราคาขายสนคาชนดหนงเปนเงน5,564บาทซงราคานรวมกบภาษมลคาเพม7%
ของราคาสนคานนจงหาวา
1) ผซอจะตองจายเปนคาภาษมลคาเพมกบาท
2) ถาตนทนของสนคานเปนเงน4,000บาทรานคาจะไดก�าไรกเปอรเซนต
14. วนดมเงนไดสทธ900,000บาทจงหาวาเมอครบปทจะตองยนแบบแสดงรายการภาษเงนได
วนดจะตองช�าระภาษเปนเงนกบาท
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.