วงกลม ชุดที่ 1
description
Transcript of วงกลม ชุดที่ 1
( เรื่��อง วงกลม )*
ชุ ดที่�� 1
( เรื่��อง วงกลม )*
โดย ว�าที่�� รื่.ต.อนั�นัต� ยอดภิ�ญญาณี�
ว�ชุาคณี�ตศาสตรื่�เพิ่��มเต�ม ค 30205
ว�ชุาคณี�ตศาสตรื่�เพิ่��มเต�ม ค 30205
จุ�ดประสงค์การเร�ยนร��
1. นั�กเรื่�ยนัสามารื่ถบอกบที่นั�ยาม เนั�#อหาและความส'าค�ญของ ว�ชุาคณี�ตศาสตรื่�เพิ่��มเต�ม ค 30205 เรื่��อง วงกลม ได*
2. นั�กเรื่�ยนัสามารื่ถพิ่�ส+จนั�ที่ฤษฎี�บที่ที่�� 41, บที่กล�บและ บที่แที่รื่กของที่ฤษฎี�บที่ที่�� 41, ที่ฤษฎี�บที่ที่�� 42, 43 และ บที่กล�บของที่ฤษฎี�บที่ที่�� 43 และสามารื่ถนั'าไปใชุ*แก*ป2ญหา ได*
วงกลม (The Circle)
บทน�ยามวงกลมซึ่4�งม� O เป5นัจ ดศ+นัย�กลางและรื่�ศม�
r ค�อ เซึ่ตของจ ด (ที่างเด�นัของจ ด ) บนัพิ่�#นัรื่าบเด�ยวก�นัก�บจ ด O ซึ่4�งที่ กๆ จ ดห�างจากจ ด O เป5นัรื่ะยะที่างเที่�าก�บ r
r rr rr
r rr
O
ส�วนประกอบของวงกลม
ค์อรด (Chord) ค�อ ส�วนัของเส*นัตรื่งซึ่4�งม�จ ดปลาย (End
Point ) อย+�บนั เส*นัรื่อบวงของวงกลมเส�นผ่�านศู�นยกลาง (Diameter)
ค�อ คอรื่�ดซึ่4�งผ่�านัจ ดศ+นัย�กลางของวงกลม
center
radiuschord
diameter
ส�วนประกอบของวงกลม
ส�วนโค์�ง (Arc ) ของวงกลมถ*า A, B เป5นัจ ดใดๆ บนัเส*นัรื่อบวงของ
วงกลม เซึ่ตของจ ด ต�#งแต� A ถ4ง B เรื่�ยกว�า ส�วนัโค*งของวงกลม AB ( )
AB
A B
arcA Barc
ส�วนประกอบของวงกลม
ค์ร !งวงกลม (Semi - Circle)ค�อ ส�วนัโค*งของวงกลม ซึ่4�งม�จ ดปลายอย+�
บนั เส*นัผ่�านัศ+นัย�กลางของวงกลม
semi-circle
ส�วนประกอบของวงกลม
ส�วนโค์�งน�อย (Minor Arc)
ค�อ ส�วนัโค*งซึ่4�งยาวนั*อยกว�าครื่4�งวงกลม
ส�วนโค์�งใหญ่� (Major Arc)
ค�อ ส�วนัโค*งซึ่4�งยาวมากกว�าครื่4�งวงกลม
A Bminor arc
major arc
A B
ส�วนประกอบของวงกลม
เส�%ยววงกลม (Sector)ค�อ อาณีาบรื่�เวณี (region ) ที่��เก�ดจาก
รื่�ศม� 2 เส*นั ก�บส�วนัโค*ง ของวงกลม
sector
ส�วนประกอบของวงกลม
จุ�ดศู�นยกลางร�วม (Common Center)
ค�อ จ ดๆ หนั4�งซึ่4�งเป5นัจ ดศ+นัย�กลางของวงกลมต�#งแต�สองวง ข4#นัไป
common center
ส�วนประกอบของวงกลม
ค์อรดร�วม (Common Chord)ค�อ ส�วนัของเส*นัตรื่งเส*นัหนั4�งซึ่4�งเป5นั
คอรื่�ดของวงกลมต�#งแต� สองวงข4#นัไป
common chord
ส�วนประกอบของวงกลม
เส�นรอบวง (Circumference)
ค�อ รื่ะยะรื่อบวงกลม หรื่�อเส*นัรื่อบรื่+ป (Perimeter ) ของ วงกลม
ทฤษฎี�เก�!ยวก)บค์อรดของวงกลม
ทฤษฎี�บทท�! 41 ถ*าลากส�วนัของเส*นัตรื่งจากจ ดศ+นัย�กลาง
ของวงกลม ไป แบ�งครื่4�งคอรื่�ดซึ่4�งไม�ผ่�านัจ ดศ+นัย�กลาง ส�วนัของเส*นัตรื่งเส*นันั�#นัจะ ต�#งฉากก�บคอรื่�ด
| |
O
A BM
ก'าหนัดให*
จะต*องพิ่�ส+จนั�ว�าสรื่*างเพิ่��อการื่พิ่�ส+จนั�พิ่�ส+จนั�
บทพิ�ส�จุนทฤษฎี�บทท�! 41
ให* O เป5นัจ ดศ+นัย�กลางของวงกลมวงหนั4�ง
ลาก และ MO AB
AO BO
O.
ม�จ ด M เป5นัจ ดก4�งกลางของคอรื่�ด AB
| |A BM
.
ถ*าลากส�วนัของเส*นัตรื่งจากจ ดศ+นัย�กลางของวงกลม ไปแบ�งครื่4�งคอรื่�ดซึ่4�งไม�ผ่�านัจ ดศ+นัย�กลาง ส�วนัของเส*นัตรื่งเส*นันั�#นัจะต�#ง
ฉากก�บคอรื่�ด
ข�อค์วามพิ�ส�จุน เหตุ�ผ่ล
ซึ่.ต.พิ่.
AO = BO AM =
BM
1. รื่�ศม�ของวงกลมเด�ยวก�นั 2. M เป5นัจ ดก4�งกลางของ
MO = MO
3. เป5นัด*านัรื่�วม
1. ด.2. ด.3. ด.
4. AMO BMO
4. ม�ความส�มพิ่�นัธ์�แบบด*านั-ด*านั-ด*านั 5. = 5. ผ่ลจากข*อ 4.
พิ่�จารื่ณีาในั AMO และ BMO
6. + = 6. ม มปรื่ะชุ�ดบนัเส*นัตรื่ง 7. = =
7. ผ่ลจากข*อ 5. และข*อ 6. 8. 8. ผ่ลจากข*อ 7.
AB
AMO
BMO
AMO
BMO 180
AMO
BMO 90
MO AB
บทพิ�ส�จุนทฤษฎี�บทท�! 41
| |
O
A BM
ทฤษฎี�เก�!ยวก)บค์อรดของวงกลม
บทกล)บทฤษฎี�บทท�! 41
ถ*าลากส�วนัของเส*นัตรื่งจากจ ดศ+นัย�กลางของวงกลม ไปต�#งฉากก�บคอรื่�ดซึ่4�งไม�ผ่�านัจ ดศ+นัย�กลาง ส�วนัของเส*นัตรื่งนั�#นั จะแบ�งครื่4�งคอรื่�ด
O
A BM
ก'าหนัดให*
จะต*องพิ่�ส+จนั�ว�าสรื่*างเพิ่��อการื่พิ่�ส+จนั�พิ่�ส+จนั�
บทพิ�ส�จุนบทกล)บทฤษฎี�บทท�! 41
ให* O เป5นัจ ดศ+นัย�กลางของวงกลมวงหนั4�ง
แบ�งครื่4�ง ลาก และ
O.
MO AB
MO ABAO BO
A BM ม�
ที่��จ ด M
ถ*าลากส�วนัของเส*นัตรื่งจากจ ดศ+นัย�กลางของวงกลม ไปต�#งฉากก�บคอรื่�ดซึ่4�งไม�ผ่�านั จ ดศ+นัย�กลาง ส�วนัของเส*นัตรื่ง
นั�#นัจะแบ�งครื่4�งคอรื่�ด
ข�อค์วามพิ�ส�จุน เหตุ�ผ่ล
ซึ่.ต.พิ่.
= AO = BO
1. ต�างก:เป5นัม มฉาก ( ) 2. รื่�ศม�วงกลมเด�ยวก�นั
MO = MO
3. เป5นัด*านัรื่�วม
1. ฉ.2. ด.3. ด.
4. AMO BMO
4. ม�ความส�มพิ่�นัธ์�แบบฉาก-ด*านั-ด*านั 5. AM =
BM 5. ผ่ลจากข*อ 4.
พิ่�จารื่ณีาในั AMO และ BMO
6. แบ�งครื่4�ง 6. ผ่ลจากข*อ 5.
บทพิ�ส�จุนบทกล)บทฤษฎี�บทท�! 41
AMO
BMO MO AB
MO AB
O
A BM
ทฤษฎี�เก�!ยวก)บค์อรดของวงกลม
บทแทรกของทฤษฎี�บทท�! 41
ส�วนัของเส*นัตรื่งซึ่4�งลากแบ�งครื่4�งคอรื่�ดและต�#งฉากก�บคอรื่�ดจะผ่�านัจ ดศ+นัย�กลางของวงกลม
A BM
O
|| ||
C
ก'าหนัดให*
จะต*องพิ่�ส+จนั�ว�าสรื่*างเพิ่��อการื่พิ่�ส+จนั�พิ่�ส+จนั�
บทพิ�ส�จุนบทแทรกของบทฤษฎี�บทท�! 41
ให* O เป5นัจ ดศ+นัย�กลางของวงกลมวงหนั4�ง
ผ่�านัจ ด O ลาก
O
CM AB
CM ABCM
MO
A BM|| ||
C
ม� และ แบ�งครื่4�ง ที่��จ ด M
ส�วนัของเส*นัตรื่งซึ่4�งลากแบ�งครื่4�งคอรื่�ดและต�#งฉากก�บคอรื่�ดจะผ่�านัจ ดศ+นัย�กลางของวงกลม
ข�อค์วามพิ�ส�จุน เหตุ�ผ่ล
ซึ่.ต.พิ่.
1. =
2. =
1. ส�วนัของเส*นัตรื่งที่��ลากจากจ ดศ+นัย�กลางของ วงกลมไปแบ�งครื่4�งคอรื่�ดย�อมต�#งฉากก�บคอรื่�ดนั�#นั 2. ที่��จ ด M
3. = 3. ต�างก:เป5นัม มฉาก 4. ที่�บ 4. ม มที่��ม�ขนัาดเที่�าก�นัย�อมที่�บ
ก�นัสนั�ที่ 5. ผ่�านัจ ด O 5. ผ่ลจากข*อ 4.
บทพิ�ส�จุนบทแทรกของบทฤษฎี�บทท�! 41
AMO 90
AMC 90
CM AB
AMO
AMC
CM MOCM
A BM
O
|| ||
C
ทฤษฎี�เก�!ยวก)บค์อรดของวงกลม
ทฤษฎี�บทท�! 42
จากจ ดๆ หนั4�งภิายในัวงกลม ถ*าลากส�วนัของเส*นัตรื่งไปย�งเส*นัรื่อบวงให*ยาวเที่�าก�นัได*มากกว�าสองเส*นัข4#นัไปแล*ว จ ดนั�#นั จะเป5นัจ ดศ+นัย�กลางของวงกลม
A B
OC
ก'าหนัดให*
จะต*องพิ่�ส+จนั�ว�าสรื่*างเพิ่��อการื่พิ่�ส+จนั�
พิ่�ส+จนั�
บทพิ�ส�จุนทฤษฎี�บทท�! 42
ให* O เป5นัจ ดๆ หนั4�งอย+�ในัวงกลมวงหนั4�ง
O เป5นัจ ดศ+นัย�กลางของวงกลม ลาก ,AB BC ให*จ ด P และ Q เป5นัจ ดก4�งกลางของ และ ลาก และ
ABBC OP OQ
O
P
Q
ม�จ ด A, B และ C เป5นัจ ดอย+�บนัเส*นัรื่อบวงของวงกลม ที่'าให* AO = BO = CO
A B
C
จากจ ดๆ หนั4�งภิายในัวงกลม ถ*าลากส�วนัของเส*นัตรื่งไปย�งเส*นัรื่อบวงให*ยาวเที่�าก�นัได*มากกว�าสองเส*นัข4#นัไปแล*ว จ ดนั�#นัจะเป5นั
จ ดศ+นัย�กลางของวงกลม
ข�อค์วามพิ�ส�จุน เหตุ�ผ่ล
ซึ่.ต.พิ่.
AO = BO AP =
BP
1. ก'าหนัดให* 2. จากสรื่*างเพิ่��อการื่พิ่�ส+จนั�
OP = OP
3. เป5นัด*านัรื่�วม
1. ด.2. ด.3. ด.
4. AOP BOP
4. ม�ความส�มพิ่�นัธ์�แบบด*านั-ด*านั-ด*านั 5. = 5. ผ่ลจากข*อ 4.
พิ่�จารื่ณีาในั AOP และ BOP
6. + = 6. ม มปรื่ะชุ�ดบนัเส*นัตรื่ง 7. = =
7. ผ่ลจากข*อ 5. และข*อ 6. 8. 8. ผ่ลจากข*อ 7. 9. จ ดศ+นัย�กลางของวงกลมอย+�บนั
9. ส�วนัของเส*นัตรื่งที่��ลากมาต�#งฉากและแบ�งครื่4�ง คอรื่�ดย�อมผ่�านัจ ดศ+นัย�กลางของวงกลม
10. จ ดศ+นัย�กลางของวงกลมอย+�บนั
10. พิ่�ส+จนั�ที่'านัองเด�ยวก�นัก�บข*อ 1. ถ4งข*อ 7. 11. O เป5นัจ ดศ+นัย�กลาง
ของวงกลม 11. O เป5นัจ ดรื่�วมบนั และ
APO
BPO
APO
BPO 180
APO
BPO 90
OP ABOP
OQOP OQA BP
OC
Q
ทฤษฎี�เก�!ยวก)บค์อรดของวงกลม
ทฤษฎี�บทท�! 43
ในัวงกลมเด�ยวก�นัหรื่�อในัวงกลมที่��เที่�าก�นั คอรื่�ดที่��ยาวเที่�าก�นัย�อมอย+�ห�างจากจ ดศ+นัย�กลางเป5นัรื่ะยะที่างเที่�าก�นั
A
B
Q O
C DR
P
ก'าหนัดให*
จะต*องพิ่�ส+จนั�ว�าสรื่*างเพิ่��อการื่พิ่�ส+จนั�พิ่�ส+จนั�
บทพิ�ส�จุนทฤษฎี�บทท�! 43
ให* O และ P เป5นัจ ดศ+นัย�กลางของวงกลมสองวงที่��เที่�าก�นั
OQ = PR ลาก และ
ABCD
OQ AB PR CD
OA PC
O P
และ เป5นัคอรื่�ดของวงกลม O และ P ตามล'าด�บ ที่'าให* AB = CD ลาก ที่��จ ด Q และลาก ที่��จ ด R
A
B
C D
Q
R
ในัวงกลมเด�ยวก�นัหรื่�อในัวงกลมที่��เที่�าก�นั คอรื่�ดที่��ยาวเที่�าก�นัย�อมอย+�ห�างจากจ ดศ+นัย�กลางเป5นัรื่ะยะที่างเที่�าก�นั
ข�อค์วามพิ�ส�จุน เหตุ�ผ่ล
ซึ่.ต.พิ่.
= AQ = CR
3. และ 4. ผ่ลจากข*อ 2.
AO = CP
5. รื่�ศม�วงกลมที่��เที่�าก�นั
3. ฉ.4. ด.5. ด.
6. AOQ CPR
6. ม�ความส�มพิ่�นัธ์�แบบฉาก-ด*านั-ด*านั 7. OQ =
PR 7. ผ่ลจากข*อ 6.
1. AB = CD
1. โจที่ย�ก'าหนัดให* 2. AB = CD
2. สมบ�ต�การื่ค+ณี 21
21
AQO
CRP OQ AB PR CD
A
B
Q O
C DR
P
ทฤษฎี�เก�!ยวก)บค์อรดของวงกลม
บทกล)บทฤษฎี�บทท�! 43
ในัวงกลมเด�ยวก�นัหรื่�อในัวงกลมที่��เที่�าก�นั คอรื่�ดที่��อย+�ห�างจากจ ดศ+นัย�กลางเป5นัรื่ะยะที่างเที่�าก�นั ย�อมยาวเที่�าก�นั
A
B
Q O
C DR
P|
|
C
ก'าหนัดให*
จะต*องพิ่�ส+จนั�ว�าสรื่*างเพิ่��อการื่พิ่�ส+จนั�พิ่�ส+จนั�
บทพิ�ส�จุนบทกล)บทฤษฎี�บทท�! 43
ให* O และ P เป5นัจ ดศ+นัย�กลางของวงกลมสองวงที่��เที่�าก�นั
AB = CD ลาก และ
AB CDOQ AB PR CD
OA CP
O P
เป5นัคอรื่�ดของวงกลม O, เป5นัคอรื่�ดของวงกลม Pลาก , ที่'าให* OQ = PR
A
B
C D
Q
R
|
|
ในัวงกลมเด�ยวก�นัหรื่�อในัวงกลมที่��เที่�าก�นั คอรื่�ดที่��อย+�ห�างจากจ ดศ+นัย�กลางเป5นัรื่ะยะที่างเที่�าก�นั ย�อมยาวเที่�าก�นั
ข�อค์วามพิ�ส�จุน เหตุ�ผ่ล
ซึ่.ต.พิ่.
= AO = CP
1. และ
2. รื่�ศม�ของวงกลมที่��เที่�าก�นั OQ = PR
3. โจที่ย�ก'าหนัดให*
1. ฉ.2. ด.3. ด.
4. AOQ CPR
4. ม�ความส�มพิ่�นัธ์�แบบฉาก-ด*านั-ด*านั 5. AQ =
CR 5. ผ่ลจากข*อ 4.
6. 2 AQ = 2 CR
6. สมบ�ต�การื่ค+ณี
บทพิ�ส�จุนบทกล)บทฤษฎี�บทท�! 43
7. AB = CD
7. ส�วนัของเส*นัตรื่งที่��ลากมาต�#งฉากก�บคอรื่�ด ย�อม แบ�งครื่4�งคอรื่�ด (AB = 2AQ = 2BQ, CD = 2CR = 2DR)
AQO
CRP OQ AB PR CD
A
B
Q O
C DR
P|
|
1. วงกลมวงหนั4�งม�เส*นัผ่�านัศ+นัย�กลางยาว 10 ซึ่ม. ถ*าคอรื่�ดเส*นัหนั4�งยาว 6 ซึ่ม.
คอรื่�ดนั�#อย+�ห�างจากจ ดศ+นัย�กลางของวงกลมก��ซึ่ม.
ก'าหนัดให*
จะต*องหาสรื่*างเพิ่��อการื่หาว�ธ์�หา
แบบฝึ.กห)ดเพิ�!มเตุ�มเก�!ยวก)บการหาค์วามยาว
ให* O เป5นัจ ดศ+นัย�กลางของวงกลมวงหนั4�ง ซึ่4�งม�เส*นัผ่�านัศ+นัย�กลางยาว 10 ซึ่ม. (AC = 10 ซึ่ม.)รื่ะยะห�างของ ก�บ จ ดศ+นัย�กลาง O ลาก มาแบ�งครื่4�งคอรื่�ด AB
ABDO
O
D| |
และ AB = 6 ซึ่ม.
A
C
B
ข�อค์วาม เหตุ�ผ่ล1.
2. DO2 = AO2 - AD2
1. ส�วนัของเส*นัตรื่งที่��ลากจากจ ดศ+นัย�กลาง มาแบ�งครื่4�งคอรื่�ดย�อมต�#งฉากก�บคอรื่�ดนั�#นั 2. ที่ฤษฎี�บที่พิ่�ที่าโกรื่�ส
3. DO2 = 52 - 32
3. แที่นั AO = 5 ซึ่ม. และ AD = 3 ซึ่ม. แก*สมการื่
พิ่�จารื่ณีาในัรื่+ปสามเหล��ยมม มฉาก ADO
DO AB
DO2 = 25 - 9 DO2 = 16 DO =
4 ซึ่ม. คอรื่�ด AB อย+�ห�างจากจ ดศ+นัย�กลาง O = 4 ซึ่ม.
| |
O
A BD
C แบบฝึ.กห)ดเพิ�!มเตุ�มเก�!ยวก)บการหาค์วามยาว
2. จากรื่+ป ก'าหนัด AB = 10 ซึ่ม. , AC = 8 ซึ่ม.
จงหา DO
แบบฝึ.กห)ดเพิ�!มเตุ�มเก�!ยวก)บการหาค์วามยาว
DO2 = AO2 - AD2
DO2 = 52 - 42
DO2 = 9 DO = 3
ซึ่ม.
O
A CD
B
3. จากรื่+ป ก'าหนัด AB = 26 นั�#ว , AC = 24 นั�#ว
จงหา DO
แบบฝึ.กห)ดเพิ�!มเตุ�มเก�!ยวก)บการหาค์วามยาว
DO2 = AO2 - AD2
DO2 = 132 - 122
DO2 = 169 - 144DO2 = 25
DO = 5 นั�#ว
O
A CD
B
4. จากรื่+ป ก'าหนัด AO = 25 นั�#ว , AC = 48 นั�#ว
จงหา DO
แบบฝึ.กห)ดเพิ�!มเตุ�มเก�!ยวก)บการหาค์วามยาว
DO2 = AO2 - AD2
DO2 = 252 - 242
DO2 = 625 - 576DO2 = 49
DO = 7 นั�#ว
O
A CD
B
5. ในัวงกลมวงหนั4�ง ม�คอรื่�ดยาว 18 ซึ่ม. อย+�ห�างจากจ ดศ+นัย�กลาง 12 ซึ่ม.
ความยาวของเส*นัผ่�านัศ+นัย�กลางของวงกลมยาวก��ซึ่ม.
แบบฝึ.กห)ดเพิ�!มเตุ�มเก�!ยวก)บการหาค์วามยาว
AO2 = DO2 + AD2
AO2 = 122 + 92
AO2 = 144 + 81
AO2 = 225
AO = 15 ซึ่ม.
ความยาวของเส*นัผ่�านัศ+นัย�กลาง
= 30 ซึ่ม.
O
A BD
C
6. ในัวงกลมวงหนั4�ง ม�คอรื่�ดสองเส*นัยาวเที่�าก�นัและขนัานัก�นั ถ*าอย+�ห�างก�นั 10 นั�#ว
ม�เส*นัผ่�านัศ+นัย�กลางของวงกลมยาว 26 นั�#ว คอรื่�ดยาวก��นั�#ว
แบบฝึ.กห)ดเพิ�!มเตุ�มเก�!ยวก)บการหาค์วามยาว
EF = 10 นั�#ว AD = 26 นั�#ว
EO = FO = 5 นั�#ว
AO = 13 นั�#ว
AE2 = AO2 - EO2
AE2 = 132 - 52
AE2 = 169 - 25
AE2 = 144 AE = 12
นั�#ว AB = CD
= 24 นั�#ว
O
A BE
DC F
7. รื่+ปส��เหล��ยมผ่�นัผ่*า ม�ด*านักว*างยาว 3 นั�#ว และด*านัยาวยาว 4 นั�#ว บรื่รื่จ ในัวงกลม
รื่�ศม�ของวงกลมยาวก��นั�#ว
แบบฝึ.กห)ดเพิ�!มเตุ�มเก�!ยวก)บการหาค์วามยาว
AC2 = AB2 + BC2
AC2 = 42 + 32
AC2 = 16 + 9 AC2 = 25 AC = 5
นั�#ว รื่�ศม�ของวงกลม =
2.5 นั�#ว
A B
CDO
8. แบ�งครื่4�งและต�#งฉากก�บ จงเข�ยนัวงกลม 4 วง ให*แต�ละวงผ่�านัจ ด A
และ B
แบบฝึ.กห)ดเพิ�!มเตุ�มเก�!ยวก)บการหาค์วามยาว CD AB
A B
C
D
9. AB, CD เป5นัคอรื่�ดที่��ขนัานัก�นัในัวงกลม O ถ*า AB = 8 ซึ่ม. , CD = 6 ซึ่ม. และ
ห�างจาก เป5นัรื่ะยะ 7 ซึ่ม. จงหารื่�ศม�ของวงกลม O
แบบฝึ.กห)ดเพิ�!มเตุ�มเก�!ยวก)บการหาค์วามยาว
พิ่�จารื่ณีาในั COQCO2 = CQ2
+ OQ2
CO2 = 32 + (7 - x)2
CO2 = 9 + 72 – 14x + x2
CO2 = x2 – 14x + 58 …(1)
AB CD
พิ่�จารื่ณีาในั AOPAO2 = OP2
+ AP2
AO2 = x2 + 42
AO2 = x2 + 16 ..…. (2)
A BP
O}}
C D3 Q
4
7 - x
x7
9. (ต�อ)
แบบฝึ.กห)ดเพิ�!มเตุ�มเก�!ยวก)บการหาค์วามยาว
CO = AO เป5นัรื่�ศม�วงกลมเด�ยวก�นั
(1 ) = (2) x2 – 14x + 58 = x2 + 16 - 14x = - 42 x = 3
แที่นัค�า x = 3 ในั (2) AO2
= 32 + 16 AO2 = 9 + 16
AO2 = 25 AO = 5 ซึ่ม. รื่�ศม�ของวงกลม = 5 ซึ่ม.
A BP
O}}
C D3 Q
4
7 - x
x7
1. และ เป5นัเส*นัผ่�านัศ+นัย�กลางของวงกลม O ต�างก:ต�#งฉากซึ่4�งก�นัและก�นั
จงพิ่�ส+จนั�ว�า ADBC เป5นัรื่+ปส��เหล��ยมจ�ต รื่�ส
ก'าหนัดให*
จะต*องพิ่�ส+จนั�ว�าพิ่�ส+จนั�
เอกสารฝึ.กห)ดชุ�ดท�! 1
ให* และ เป5นัเส*นัผ่�านัศ+นัย�กลางของวงกลม O ซึ่4�งต�างก:ต�#งฉากซึ่4�งก�นัและก�นัADBC เป5นัรื่+ปส��เหล��ยมจ�ต รื่�ส
AB CD
AB CDAD BD BC AC
O
ลาก , , และ
D
C
BA
ข�อค์วามพิ�ส�จุน เหตุ�ผ่ล
(ม�ต�อ)
AO = BO =
1. รื่�ศม�ของวงกลมเด�ยวก�นั 2. ต�างก:เป5นัม มฉาก ( ) DO =
DO 3. เป5นัด*านัรื่�วม
1. ด.2. ม.3. ด.
4. ADO BDO
4. ม�ความส�มพิ่�นัธ์�แบบด*านั-ม ม-ด*านั 5. BDO BOC
AOC 5. พิ่�ส+จนั�ที่'านัองเด�ยวก�นัก�บ ข*อ 1. ถ4ง ข*อ 4. 6.ADO BDO
BOC AOC 6. สมบ�ต�การื่ถ�ายที่อด
7. AD = BD = BC = AC
7. ผ่ลจากข*อ 6.
AOD
BOD AB CD
OB
D
A
C
ข�อค์วามพิ�ส�จุน เหตุ�ผ่ล
ซึ่.ต.พิ่.
8. = = = 9. + = +
8. ผ่ลจากข*อ 4. 9. ผ่ลจากข*อ 8.
10. + = 10. ในัรื่+ปสามเหล��ยมม มฉากผ่ลบวกของม ม ที่��เหล�อจะได* 11. + = 11. ผ่ลจากข*อ 9.
12. = 12. + = 13. ADBC เป5นัรื่+ปส��เหล��ยมจ�ต รื่�ส
13. ผ่ลจากข*อ 7. และข*อ 12.
OB
D
A
C
DAO
ADO
BDO
DBO
ADO
BDO
DAO
ADO
DAO
ADO 90
90
ADO
BDO 90
ADB 90
ADO
BDO
ADB
2. เป5นัคอรื่�ดของวงกลม O จ ด C อย+�บนัเส*นัรื่อบวง ที่'าให* AC = BC ลาก
จงพิ่�ส+จนั�ว�า
ก'าหนัดให*
จะต*องพิ่�ส+จนั�ว�าสรื่*างเพิ่��อการื่พิ่�ส+จนั�พิ่�ส+จนั�
เอกสารฝึ.กห)ดชุ�ดท�! 1
ให* O เป5นัจ ดศ+นัย�กลางของวงกลมวงหนั4�ง ม� เป5นัคอรื่�ด
AB COCO AB
ABCO
CO ABลาก และ AO BO
O
C เป5นัจ ดอย+�บนัเส*นัรื่อบวง ที่'าให* AC = BC
ลาก
BA
C
|| ||M
ข�อค์วามพิ�ส�จุน เหตุ�ผ่ล
(ม�ต�อ)
AO = BO AC = BC
1. รื่�ศม�ของวงกลมเด�ยวก�นั 2. โจที่ย�ก'าหนัดให*
CO = CO
3. เป5นัด*านัรื่�วม
1. ด.2. ด.3. ด.
4. ACO BCO
4. ม�ความส�มพิ่�นัธ์�แบบด*านั-ด*านั-ด*านั 5. = 5. ผ่ลจากข*อ 4.
พิ่�จารื่ณีาในั ACO และ BCO
ACO
BCO
O
B
C
A M|| ||
เอกสารฝึ.กห)ดชุ�ดท�! 1
ข�อค์วามพิ�ส�จุน เหตุ�ผ่ล
ซึ่.ต.พิ่.
= CM = CM
6. ผ่ลจากข*อ 5. 7. เป5นัด*านัรื่�วม
8. ACM BCM
8. ม�ความส�มพิ่�นัธ์�แบบด*านั-ม ม-ด*านั
6. ม.7. ด.9. = 9. ผ่ลจากข*อ 8. 10. + = 10. ม มปรื่ะชุ�ดบนัเส*นัตรื่ง
พิ่�จารื่ณีาในั ACM และ BCM
O
B
C
A M|| ||
11. = =
11. ผ่ลจากข*อ 9. และข*อ 10. 12. 12. ผ่ลจากข*อ 11.
ACM
BCM
AMC
BMC
AMC
BMC 180
AMC
BMC 90
CO AB
3. ก'าหนัด ม�จ ด P และ Q เป5นัจ ดก4�งกลางของ และ ม� ผ่�านั
จ ด P จงพิ่�ส+จนั�ว�า ผ่�านัจ ดศ+นัย�กลาง O
ก'าหนัดให*
จะต*องพิ่�ส+จนั�ว�าสรื่*างเพิ่��อการื่พิ่�ส+จนั�พิ่�ส+จนั�
เอกสารฝึ.กห)ดชุ�ดท�! 1
ให* O เป5นัจ ดศ+นัย�กลางของวงกลมวงหนั4�ง ม� ผ่�านัจ ดศ+นัย�กลาง O ลาก ถ*า ไม�ผ่�านัจ ด Q สมมต�ให* พิ่บ ที่��จ ด R
AB CD AB CDOQ
AB CDAB CD
PQ
PQOP OP OP CD
O
(R)
PQ
ม�จ ด P และ Q เป5นัจ ดก4�งกลางของ และ ตามล'าด�บ
ลาก
BC
AD
PQ
ข�อค์วามพิ�ส�จุน เหตุ�ผ่ล
ซึ่.ต.พิ่.
1. P เป5นัจ ดก4�งกลางของ 2.
1. โจที่ย�ก'าหนัดให* 2. ส�วนัของเส*นัตรื่งที่��ลากจากจ ดศ+นัย�กลางของ วงกลมมาแบ�งครื่4�งคอรื่�ด ย�อมต�#งฉากก�บคอรื่�ดนั�#นั
3. 3. โจที่ย�ก'าหนัดให* 4. 4. เส*นัตรื่งที่��ขนัานัก�นัย�อมต�#ง
ฉากก�บเส*นัตรื่ง เด�ยวก�นั 5. CR =
DR 5. รื่�ศม�ที่��ลากมาต�#งฉากก�บคอรื่�ดย�อมแบ�งครื่4�งคอรื่�ด 6. CQ = DQ 6. โจที่ย�ก'าหนัดให*จ ด Q เป5นัจ ดก4�งกลางของ 7. จ ด R ที่�บ จ ด Q 7. ผ่ลจากข*อ 5. และ ข*อ 6.
8. แสดงว�า ผ่�านัจ ด Q หรื่�อกล�าวได* อ�กอย�างหนั4�งว�า ผ่�านัจ ดศ+นัย�กลาง O
8. ผ่ลจากข*อ 7.
เอกสารฝึ.กห)ดชุ�ดท�! 1
ABOP AB
AB CDOR CD
CD
OPPQ
O
BC
A(R)
PQ
D
4. และ เป5นัคอรื่�ดที่��ยาวเที่�าก�นัของวงกลม O ต�อ และ พิ่บก�นัที่��
จ ด E จงพิ่�ส+จนั�ว�า BE = DE
ก'าหนัดให*
จะต*องพิ่�ส+จนั�ว�าสรื่*างเพิ่��อการื่พิ่�ส+จนั�พิ่�ส+จนั�
เอกสารฝึ.กห)ดชุ�ดท�! 1
ให* O เป5นัจ ดศ+นัย�กลางของวงกลมวงหนั4�ง ม�คอรื่�ด AB ยาวเที่�าก�บคอรื่�ด CDBE = DE ลาก , และลาก
AB CD AB CD
AB CD
OP AB OQ CD EO
O
P
Q
ต�อ , ออกไป
พิ่บก�นัที่��จ ด E
C
A
B
D
E
ข�อค์วามพิ�ส�จุน เหตุ�ผ่ล
ซึ่.ต.พิ่.
= EO = EO
1. และ 2. เป5นัด*านัรื่�วม
OP = OQ
3. คอรื่�ดที่��ยาวเที่�าก�นั ย�อมอย+�ห�างจาก จ ดศ+นัย�กลางเที่�าก�นั
1. ฉ.2. ด.3. ด.4. EOP EOQ
4. ม�ความส�มพิ่�นัธ์�แบบฉาก-ด*านั-ด*านั 5. PE = QE 5. ผ่ลจากข*อ 4.
6. PB = QD
6. ต�างก:ยาวเป5นัครื่4�งหนั4�งของคอรื่�ดที่��ยาวเที่�าก�นั 7. PE - PB =
QE - QD 7. สมบ�ต�การื่บวก
8. BE = DE 8. ผ่ลจากข*อ 7.
เอกสารฝึ.กห)ดชุ�ดท�! 1
EPO
EQO OP AB OQ CD
O
C
AP
B
DQ
E
5. และ เป5นัคอรื่�ดในัวงกลม O และวงกลม P ถ*าคอรื่�ดที่�#งสองนั�#ยาวเที่�าก�นั
และอย+�ห�างจากจ ดศ+นัย�กลางเที่�าก�นั จงพิ่�ส+จนั�ว�าวงกลม O เที่�าก�บวงกลม P
ก'าหนัดให*
จะต*องพิ่�ส+จนั�ว�าพิ่�ส+จนั�
เอกสารฝึ.กห)ดชุ�ดท�! 1
ให* O และ P เป5นัจ ดศ+นัย�กลางของวงกลมสองวง ม� เป5นัคอรื่�ดของวงกลม O , เป5นัคอรื่�ดของวงกลม P
AO = CP
AB CD
ABCD
OQ AB PR CD AOCP
O P
ซึ่4�ง AB = CD
ลาก , ที่'าให* OQ = PR
A B C DQ R
|| ||
| |
ลาก ,
ข�อค์วามพิ�ส�จุน เหตุ�ผ่ล
ซึ่.ต.พิ่.
AQ = CR =
4. และ
3. ส�วนัของเส*นัตรื่งที่��ลากจากจ ดศ+นัย�กลาง มาต�#งฉากก�บคอรื่�ดย�อมแบ�งครื่4�งคอรื่�ด OQ =
PR 5. โจที่ย�ก'าหนัดให*
3. ด.
4. ม.5. ด.
6. AOQ CPR
6. ม�ความส�มพิ่�นัธ์�แบบด*านั-ม ม-ด*านั 7. AO =
CP 7. ผ่ลจากข*อ 6.
1. AB = CD
1. โจที่ย�ก'าหนัดให* 2. AB = CD
2. สมบ�ต�การื่ค+ณี 21
21
OQ AB PR CD
เอกสารฝึ.กห)ดชุ�ดท�! 1
AQO
CRP
A BQ
O
||
C DR
P
||
| |
จุบ ชุ�ดท�! 1
เอกสารฝึ.กห)ดชุ�ดท�! 1