ГБОУ СОШ №1215 им. Р.Роллана ЦАО г. Москвы

ГБОУ СОШ №1215 им. Р.Роллана ЦАО г. Москвы

Автор: учитель математики Коновалова Ольга ВладимировнаСоавтор: ученица 8Б Князева Светлана

http://www.google.ru/url?sa=i&rct=j&q=%D0%B3%D0%B5%D1%80%D0%B1+%D0%BC%D0%B5%D1%89%D0%B0%D0%BD%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F+%D1%83%D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%B0+%D0%BC%D0%BE%D1%81%D0%BA%D0%B2%D1%8B&source=images&cd=&cad=rja&docid=_vu7NVZhR_NVXM&tbnid=ogn9kR7hgKzA1M:&ved=0CAUQjRw&url=http://meschanka.info/dost_simvolika/&ei=U24zUY6KGubf4QT86IAg&bvm=bv.43148975,d.bGE&psig=AFQjCNF5jtDvihPx0sNs7mpTwjXwqfRJ8A&ust=1362411427611084

Цель проекта: Создание электронного интерактивного пособия дляизучения отдельных тем по геометрии 8 класса.

Актуальность проекта:1. Самостоятельное изучение пропущенного материала длительно отсутствующими на уроках учащимися.2. Самостоятельное повторение учащимися пройденного материала.3. Применение проекта учителем на уроках.

Интерактивные уроки по геометрии.

8 класс.

Тема: Трапеция.

Вдохновение нужно в геометрии не меньше, чем в поэзии.

Урок №1. Тема: Определение и виды трапеций.

Урок №2. Тема: Свойства равнобокой трапеции.

Урок №3. Тема: Средняя линия трапеции. Теорема о средней линии трапеции.

Урок №4. Тема: Решение задач.

Урок №5. Тема: Тестирование.

A

Вопросы:

1. Какая из представленных на рисунках фигур вам знакома?

2. Дайте определение параллелограмма.

B C

D

C

DA

B

Рис. 1 Рис. 2

Урок №1Вопросы

A

B C

D

Определение: Четырехугольник, у которого две противоположныестороны параллельны, а две другие не параллельны,называется трапецией.AD, BC – основания трапеции.AB, CD – боковые стороны.

Урок №1Определение трапеции

Определение: Трапеция, у которой боковые стороны равны,

называется равнобокой трапецией.

MNKR – равнобокая трапеция, т. к. MN = KR.

K

RM

N

Урок №1Определение равнобокой трапеции

A

B C

D

Определение: Трапеция, имеющая прямые углы при боковой стороне,

называется прямоугольной трапецией.

ADC – прямой (90). BCD – прямой (90).

Урок №1Определение прямоугольной трапеции

Решение:

1. HP || MK – по определению трапеции, т.к. MHPK – трапеция (по условию).

2. PE || MH – по условию.

Следовательно, MHPE – параллелограмм (по определению параллелограмма).

Дано:MHPK – трапеция

PE || MH

Определите вид MHPE

P

KM

H

Урок №1

E

Задача №1

Решение:

1. DE AC – по теореме о свойстве средней линии треугольника, т.к. DE – средняя линия (по условию). AD = DB, BE = EC (по определению средней линии треугольника) и ∆ABC- равносторонний, значит AD = EC, следовательно, ADEC – равнобокая трапеция (по определению равнобокой трапеции).2. AC = AB = BC = 8см; AD = EC = ½AB = 4см.3. DE = ½AC = 4см – по теореме о свойстве средней линии треугольника.

Дано:∆ABC- равносторонний

AC = 8см

DE – средняя линия

Определите вид ADEC;

Найдите стороны ADEC.

Урок №1

A

B

C

D E

Задача №2

Свойство углов при боковой стороне трапеции.

Урок №2

Сумма углов при боковой стороне трапецииравна 180.

A

B C

D

Доказательство:

1. AD BC (по определению трапеции).

2. DAB + ABC = 180, как внутренние односторонние при ADBC и секущей AB (свойство углов, образованных при пересечении параллельных прямых и секущей).

Дано:ABCD – трапеция

Урок №2Свойство углов при боковой стороне трапеции

A

B C

D

Доказать: DAB + ABC = 180

Теорема «Свойство углов приосновании равнобокой

трапеции» В равнобокой трапеции углы при основании равны.

A

B

D

C

Урок №2

Доказательство:1. Дополнительное построение: BM AD и CN AD.

2. Рассмотрим ∆ABM и ∆DCN

1)AB = CD - по условию, как боковые стороны равнобокой трапеции.

2) AMB = DNC = 90 - по построению.

3) BM = CN, как расстояние между параллельными прямыми BC и AD.

Следовательно: ∆ABM = ∆DCN по катету и гипотенузе.

Значит, BAD = CDA, как соответствующие углы в равных треугольниках

Примечание:

. ABС = DСB, как внутренние односторонние углы с равными

углами BAD = CDA.

Дано:ABCD – равнобокая

трапеция

Доказать, что BAD = CDA.

A

B

DM N

CУрок №2Теорема «О свойстве углов при основании равнобокой трапеции»

Следствие из теоремы «Свойство углов равнобокой трапеции»

Урок №2

A

B

DM N

C

Высоты равнобокой трапеции, проведенные изконцов меньшего основания, делят трапецию

на два равных прямоугольных треугольника и один прямоугольник.

Доказательство:1. BM AD, CN AD (по условию BM, CN - высоты) => BM CN, по признаку

параллельных прямых (две прямые перпендикулярные третьей параллельны).

BC MN (по определению трапеции);

Следовательно, BCNM – параллелограмм по определению параллелограмма.

Если хоть один угол в параллелограмме – прямой (BMN=90, по условию),

то BCNM – прямоугольник (признак прямоугольника).

2. Рассмотрим ∆ABM и ∆DCN

1)AB = CD по определению равнобокой трапеции.(ABCD – равнобокая трапеция по

условию);

2) AMB = DNC = 90, т.к. BM, CN – высоты;

3) BM = CN, как расстояние между параллельными прямыми BC и AD.

Следовательно ∆ABM = ∆DCN по катету и гипотенузе.

Дано:ABCD – равнобокая трапецияBM, CN - высоты

Доказать: 1. BCNM – прямоугольник;2. ∆ABM = ∆DCN и ∆ABM,∆DCN – прямоугольные.

A

B

DM N

CУрок №2Следствие из теоремы «О свойстве углов равнобокой трапеции»

Урок №3

A

B C

D

Определение: Отрезок, соединяющий середины боковых сторон

называют средней линией трапеции.

M N

Определение средней линии трапеции

Урок №3

A

B

DM

C

Вопросы:

1. Какая фигура называется трапецией?2. Какие четырёхугольники являются трапециями?3. Назовите их основания и боковые стороны.

ВопросыP

O RN A B1 C1

B

C

S TH

Урок №3

A

B

DM N

C

Вопросы:1. Какая трапеция называется равнобокой?2. Как называются перпендикуляры BM и CN, опущенные на основание?3. На какие фигуры разбивают данные высоты ВМ и CN равнобокую трапецию?4. Какие свойства равнобокой трапеции вы знаете?

Вопросы

Урок №3Вопросы

Вопрос:

1. На какие фигуры разбивает KR равнобокую трапецию?

R

N

PM

K

KR MN

Урок №3

Теорема «О средней линии трапеции»

Средняя линия трапеции параллельна основаниям иравна их полусумме.

A

B

D

Q

C

P

Доказательство:1. Дополнительное построение BP ∩ AD = E.

2. ∆PBC = ∆PED (по стороне и двум прилежащим углам). 1) CP = PD (т.к. QP средняя линия трапеции); 2) BPC = EPD (как вертикальные углы); 3) BCP = EDP (как внутренние накрест лежащие углы при BC AD и секущей CD);3. QP – средняя линия ∆ABE, т.к. BP = PE, как соответствующие элементы в равныхтреугольниках (из п.2) и АQ = QВ т.к. QP средняя линия трапеции.Значит QP AD и QP = ½ AE по свойству средней линии треугольника.4. Т.к. АЕ=AD + DE, а DE = BC, как соответствующие элементы в равныхтреугольниках (из п.2), то QP = ½ AE = ½ (AD + DE) = ½ (AD + BC).Таким образом QP AD BC и QP = ½ (AD + BC), что и требовалось доказать.

Дано:ABCD – трапецияQP – средняя линия

Доказать: 1.QP AD BC;2. QP = ½ (AD + BC)

A

B

D

Q

E

CУрок №3Теорема «О средней линии трапеции»

P

Решение:С =В, как прилежащие углы к основанию равнобокой трапеции.A+B = 180, как внутренние односторонние при параллельных прямых AD, BC исекущей AB.Значит, A+C = 180 Пусть х = A ( х+40 ) = C. Составим уравнение: ( х+40 ) + х = 180, 2х + 40 = 180, 2х = 140, х = 70.

Дано:ABCD – равнобокаятрапецияС – А = 40

Найти:A, B, C, D.

A

B

D

CУрок №4Задача №1

A = 70С = 110D = 70B = 110

Ответ: 70; 110; 110; 70.

Решение:1. Дополнительное построение: BM AD и CN AD.2. Рассмотрим ∆ABM: M = 90 (по построению) А = 60 (по условию) B = 180 (А+M) = 30 Следовательно, AM = 0,5м (как сторона, лежащая против угла 30 в прямоугольном треугольнике).3. AM = ND = 0,5м (т.к. ∆ABM = ∆DCN).4. BC = AD AM ND = 2,7м 0,5м 0,5м = 1,7 м.

Ответ: BC = 1,7 м.

Дано:ABCD – равнобокаятрапецияAB=CDAB=1м, AD=2,7м А = 60

Урок №4Задача №2B

DM N

C

Определить BC.

A

60

30

1,7м

Решение

Урок №5Тестирование

Варианты ответов:

B=140 D=70

B=70 D=140

B=40 D=110

Задача №1В трапеции ABCD с основаниями AD и BC угол A равен 40, а угол С равен 110 .Найдите остальные углы трапеции.

При решении использовать свойство углов при боковой стороне трапеции.

B C

A D

Задача №1 Задача №2 Задача №3 Задача №4



10 см

4 см

7 см

Задача №2Средняя линия трапеции равна 7см, а большее основание – 10 см. Найдитеменьшее основание трапеции.

При решении использовать теорему «О свойстве средней линии трапеции».

Решение

B C

DA

M N


При решении использовать признак равнобедренного треугольника.



21 см

22 см

23 см

Решение

B C

DA

Задача №3Диагональ равнобокой трапеции с основаниями 8 см и 5 см является биссектрисой острого угла трапеции.Найдите периметр трапеции.



Задача №4Диагональ AC делит прямоугольную трапеции ABCD на два треугольника – прямоугольный и равносторонний. Найдите среднюю линию трапеции, если ее большеe основание равно 12 см.

B C

A DПри решении использовать теорему «О

свойстве средней линии трапеции».


6 см

9 см

12 см

Решение

M N


Используемая в проекте литература:

Геометрия: учеб. для 7-9 кл. общеобразоват. учреждений /А.В. Погорелов. – 10-е изд. – М.: Просвещение: ОАО«Московские учебники», 2009.

Самостоятельные и контрольные работы по алгебре игеометрии: для 8 кл. Ершова А.П., Голобородько В.В., ЕршоваА.С. – 8-е изд., испр. И доп. – М.: ИЛЕКСА, -2011.

Вы ознакомились с заключительным урокомпо теме «Трапеция».

Вернуться к оглавлению



B=140 D=70

B=70 D=140

B=40 D=110

1. A + B = 180 (свойство углов при боковой стороне трапеции), B = 180 A = 180 40 = 140.2. С + D = 180 (свойство углов при боковой стороне трапеции), D = 180 C = 180 110 = 70.Ответ: B=140, D=70.



B C

A D


Решение

Верно



B=70 D=140

B=40 D=110



B C

A D

Решение


Не верно



B=140 D=70

B=40 D=110



B C

A D

Решение


Не верно



B=140 D=70

B=70 D=140



B C

A D

Решение




10 см

4 см

7 см



B C

DA

1. По теореме о свойстве средней линии трапеции: MN = ½ (BC + AD), => BC = 2MN AD = 2∙7 см 10 см = 4 см. Ответ: BC = 4 см.

M N

Решение


Не верно



4 см

7 см



B C

DA

Решение

M N


Верно



10 см

7 см



B C

DA

Решение

M N


Не верно



10 см

4 см



B C

DA

Решение

M N





21 см

22 см

23 см

B C

DA


1. BAC = CAD (т.к. АС – биссектриса CAD по условию) иBCA = CAD (как внутренние накрест лежащие при ADBC и секущей AC), следовательно, BAC = BCA.2. ∆ABC – равнобедренный (по признаку равнобедренного

треугольника), т.к. BAC = BCA из п. 1.3. AB = BC = 5 см (по определению равнобедренного треугольника).4. P = AD + BC + 2AB = 8 см + 5 см + 25 см = 23 см. Ответ: 23 см.

Решение


Не верно

Не верно




22 см

23 см

Решение

B C

DA



Не верно




21 см

23 см

Решение

B C

DA



Верно




21 см

22 см

Решение

B C

DA



Решение


Задача №4Диагональ AC делит прямоугольную трапеции ABCD на два треугольника – прямоугольный и равносторонний. Найдите среднюю линию трапеции, если ее большее основание равно 12 см.

B C




6 см

9 см

12 см

1. ∆ACD – равносторонний, значит AD = AC = CD =12см и ACD = CDA = CAD = 60.2. ABCD – прямоугольная трапеция (по условию), => BAD = 90.3. BAC = BAD CAD = 90 60 = 30.4. BC = ½ AC = 6 см (т.к. сторона, противолежащая углу 30, равна ½ гипотенузы). 5. MN = ½ (AD + BC) = ½ (12 см + 6 см) = 9 см (по свойству средней

линии трапеции).Ответ: 9 см.

M N




B C




9 см

12 см

Решение

Не верно

M N




B C




6 см

12 см

Решение

Верно

M N




B C




6 см

9 см

Решение

Не верно

M N


ГБОУ СОШ №1215 им. Р.Роллана ЦАО г. Москвы

Documents

Transcript of ГБОУ СОШ №1215 им. Р.Роллана ЦАО г. Москвы