enastava.matf.bg.ac.rs - π 10enastava.matf.bg.ac.rs/~milinko/integral.pdf" + - 4 % # Zadatak 9. $ !...
Transcript of enastava.matf.bg.ac.rs - π 10enastava.matf.bg.ac.rs/~milinko/integral.pdf" + - 4 % # Zadatak 9. $ !...
����� �
�������� ��������
������ �� �� �� ������� �� ����� ������ ������ ����������� ���� �������������� ����� �� �������� ������ ������ ���������� ������ ���� ����������������� ���� �� ���� ����� ����� ��� ��� ���������� ������� �� �� ���������� ���� �� ���� ����� ����� ������� � ������ ���������
������� �� �������� ���� ����� ��� ������������ �������� ����� ������������� � ����� � ��� ��� ��������� �� ��� ��������������� �������� ��������������� �������� ��������� ����� ����� �� ���� π
310
71< π < 3
10
70.
������� �� � ���������� ������� � �������� �������� ���������
Teorema �. ���� �� A � C ����� �� �������� � B ���������� ����� ��
���� �AB� �������� ������ ���� �AC � ������ AC ������� �� 43 ��������
������� ABC�
��������� ������� ��������� ��������� �� ��������� �� ���� ������� �������� ����������� ���� ������ � ���� �� ��������������� �������� ������������� �������� ���� �������� ������ �� ���� ���� ���� � ��������� ���������� �������� �����������
������� �Eνδoξoς� �������� ��� �������� ���������� ��������� �������� ����������� ��Aντιϕων� V ��� ��� �������� ���������� ��������� ��������
��������������
���
��� �� �������� ��������
�� ������ ��������
���� �� f : (a, b) → C ���������� �������� � F : (a, b) → C ���� ����������� ���������
F �(x) = f(x) �� ��� x ∈ (a, b).
����
limx→b−0
F (x)− limx→a+0
F (x) ∈ C
�� ������ ��������� ���������� �������� f � �� �� ����� ���������� ������������ �� ������ ���������� �������� F � ��� �� ��� ���������� ���������� ���� �������� f �� ��������� ��������� �� ����������
�� ���� ������� ���� ����� � ������ �� ���� ������ �������� �� ������������������ � ���� �� ���� ���� � ������ �������� �� ���� ���� ������ ��������� � ������ ��������� � ��������� ����������
�� ������� ��������
���� �� f : [a, b] → R ���������� � ��������� ��������� ���� �� ��������[a, b] ������� �� n ��������� �������� ������ b−a
n � ���� �� ξk = a + k b−an
����� ������� ��������� [a+ (k − 1) b−an , a+ k b−a
n ]� ��������
f(ξk)b− a
n
�� �������� ������������� �� ��������
(ξk−1, 0), (ξk, 0), (ξk, f(ξk)), (ξk−1, f(ξk)),
�� ��������
Sn :=
n�
k=1
f(ξk)b− a
n
����������� �������� ������ ������� �������� y = f(x) � x�����
���������� �� ����� �� ��� n → ∞ �� ������������� ������� ��� ����� ���� ������� ��������
limn→∞
n�
k=1
f(ξk)b− a
n,
����� �Sir Isaac Newton� ����������� �������� �������� ������������ ���������������� � ���������
�� ������� �������� ���
������� ���� ����� �������� ����� �� definiciju povrxine ����� ������� ���������� ���������� �������� f �
� ���� ��������� �������� �� ��������� ���� �����������
���� ���������� ��������� ���������� ���� �� [a, b] ��������� ���������� �������� � f : [a, b] → C ����������� ��������� �������� ��������[a, b] �� n ��������� �������� ������ b−a
n � ���� �� ξk = a+k b−an ����� �������
��������� [a+ (k − 1) b−an , a+ k b−a
n ]� ����������� ���
Sn :=n�
k=1
f(ξk)b− a
n.
Lema �. ��� Sn �����������
� �������� �� �� ��� Sn �������� �� �� �� ������� ������������� �� �� f������ ���������
���� �� ε > 0� �� ��������� ������� �������� � �� ���� ���� ����� �� ���������� f ��������� ���������� �� ��������� [a, b]� �� ���������� ���������� ������������� ����� ���� ����� �� ������� δ > 0 ����� �� ����
|x− y| < δ ⇒ |f(x)− f(y)| < ε(b− a)−1. ���
���� ��� �� m,n ∈ N� ������� ξk = a + k b−an � ηj = a + j b−a
m �������� ������������ ������� ��� x1� � � �xm+n � ���� �� x0 = a� ����� ��
f(ξk)b− a
n= f(ξk)(ξk − ξk−1) = f(ξk)(ξk − ηj) + f(ξk)(ηj − ξk−1),
������� Sm − Sn ������ �� �������� � ������
Sm − Sn =m+n�
k=1
Δk(f)(xk − xk−1), ���
��� �� Δk(f) = f(ηj(k)) − f(ξi(k)) �� ���� ξi(k) � ηj(k) ����� �� ��� �� ������������� m � n
|ξi − ηj | < δ.
������� �� ������ ���� ����� �� �� �� ������� ������ m � n
|Δk(f)| < ε(b− a)−1,
�� �� ��� �����
|Sm − Sn| ≤ ε(b− a)−1m+n�
k=1
(xk − xk−1) = ε(b− a)−1(b− a) = ε.
������ ����� �� �� ��� Sn �������� ��� ������������� ����������� ����� �� ��������� ������� �����������
Definicija �. ����� b
a
f(x) dx := limn→∞
n�
k=1
f(ξk)b− a
n���
������ �� Koxijevim integralom ���������� �������� f �� ��������� [a, b]�
������ ������������� ���� �������� � ��������� ��
��� �� �������� ��������
���� �� � ����� ���������� ���� �������� ��������� �������� � ��������������� ξk� ��� ������ ������������ ������ ��� �� �������� �� ������� ����������� ����� ck ∈ [ξk−1, ξk] �������� ���� ��������� ����������� ���� ������������
Lema �. ���� �� ck ∈ [ξk−1, ξk] ���������� ������ ���� ��
limn→∞
n�
k=1
f(ck)b− a
n=
� b
a
f(x) dx.
� ���� ��
Sn =n�
k=1
f(ξk)b− a
n� Sc
n =n�
k=1
f(ck)b− a
n.
���� ��
|Sn − Scn| ≤
n�
k=1
|f(ξk)− f(ck)|b− a
n. ���
���� �� ε > 0� �� ��������� ������������� ����� �� ������� δ > 0 ���� ������
|x− y| < δ ⇒ |f(x)− f(y)| < ε(b− a)−1.
��� �� n ������� ������� ���� �� ξk − ξk−1 = 1n < δ� �� �� |f(ξk) − f(ck)| <
ε(b− a)−1� ������ � �� ��� ����� |Sn − Scn| < ε� ��������� �� ������ ��������
������� ����� �Lema �. ���� �� f : [a, b] → C ���������� ��������� ���� �� ��������
F : [a, b] → C, F (x) =
� x
a
f(t) dt
�����������
� ���� �� ε > 0� �� ��������� ������������� �������� f ����� �� �������δ > 0 �� ���������
|ξ − η| < δ ⇒ |f(ξ)− f(η)| < ε
2(b− a)� δ max
η∈[a,b]|f(η)| < ε
2
�������� ����� �� ��������� [a, x+ δ] � [a, x] �� n ��������� ������� ���������� �� ξk = a + k x+δ−a
n � ηk = a + k x−an ����� ������� ��������� ����������
���� �� |ξk − ηk| ≤ δ� �� ��
�� n�k=1
f(ξk)x+δ−a
n −n�
k=1
f(ηk)x−an
�� =
=�� n�k=1
(f(ξk)x+δ−a
n − f(ηk)x+δ−a
n + f(ηk)x+δ−a
n − f(ηk)x−an )
��
≤n�
k=1
|f(ξk)− f(ηk)|x+δ−an +
n�k=1
|f(ηk)| δn< n ε
2(b−a)b−an + n max
η∈[a,b]|f(η)| δn < ε
2 + ε2 = ε.
��������� �� limn→∞
�������� |F (x+ δ)−F (x)| ≤ ε� ���� �� �������� ���������
���� �������� F � �
��� ��� �� ��������� � �������� ������� �������� ����������
�� ������� �������� ���
�� ������ ����� �� �������� � ������������ �������� x �→b�x
f(x) dx� ����
���� ���� �������� � ���� ������� � �� �� ��� �������� �����������������
Posledica �. ����������� �� ��������� ������������ ���� �� c ∈ (a, b)����� ��
� b
a
f(x) dx =
� c
a
f(x) dx+
� b
c
f(x) dx.
� ������������� �� �� c−ab−a ∈ Q� ���� �� �������� [a, b] ������ �� ��������
�� n ��������� ������� ������ ���� �� �� c ����� �� �������� ������� ������c = ξm� ���� ����
Sn :=n�
k=1
f(ξk)b− a
n=
m�
k=1
f(ξk)b− a
n+
n�
k=m+1
f(ξk)b− a
n
������ ��������� ���� �� ��� ������� ������� Skn� ��� ����� ������� �������� n �������� ��������� �� k ������ ����� c ������ ������� ������ ����������� lim
k→∞� ��� ������� ��������
� b
a
f(x) dx =
� c
a
f(x) dx+
� b
c
f(x) dx.
������������� ���� c−ab−a /∈ Q� �� ������� ����� Q � R ����� �� � �����������
������� ����� c ������� ����� c1 ����� �� �� c1−ab−a ∈ Q� �� ����� ����� �����
c1 ��� �������� ������� �������� ���� �� ε > 0� �� ���� � ����� �� ��� �����c1 �� ��������� ������� ����� ����� c ����
� b
af(x) dx− ε =
� c1a
f(x) dx+� b
c1f(x) dx− ε
<� c
af(x) dx+
� b
cf(x) dx
<� c1a
f(x) dx+� b
c1f(x) dx+ ε
=� b
af(x) dx+ ε.
����� �� ε > 0 ����������� ������ ����� ����� �������� �
���������� �������� ���������� �� ������� �����������
Definicija �. ��� �� �������� f ���������� � ����� a� ���� ��� a
a
f(x) dx = 0.
��� �� a < b ���� ��� a
b
f(x) dx = −� b
a
f(x) dx.
����� ��� ����������� �������� b
a
f(x) dx =
� c
a
f(x) dx+
� b
c
f(x) dx
���� ��� ������ �� �� ���� �� ����������� ����� a� b� c �� ������� ����
��� �� �������� ��������
Napomena �. ���� �� f : [a, b] → C ���������� ��������� �������������� ���� ��� ������ � ������ ��������� � ������ �� �������� �� �� �����ε > 0 ������� δ > 0 �� ��������� �� �� ������ m ������ x1� � � � � xm ������ �� ��
a = x1 < x2 < · · · < xm = b � Δk := xk − xk−1 < δ ���
���� ����� b
a
f(x) dx−m�
k=1
f(ηk)Δk
���� < ε
�� ���������� ����� ηk ∈ [xk, xk−1]� ������� ���� �� ε > 0� �� ������������������� ��������� ����� �� ������� n0 ∈ N �� ��������� �� �� n ≥ n0 ����
����� b
a
f(x) dx−n�
k=1
f(ξk)b− a
n
���� <ε
2���
�� ���������� ����� ξk ∈ [a + (k − 1) b−an , a+ k b−a
n ]� ���� �� x1� � � � � xm �����
���� ������������ ��� �� δ = b−an0
� �� ������������� �������� f � �������
����� Q � R ���� ����� �� ������� �� ��������� �������� �� ��������������� �� ������� Δk ����������� �������� �� ���������� �������� ��������
Δk = k(b−a)n � �� Δk < δ = b−a
n0����� n > n0� �� �� ��� ���������� ��������
���� ���� ������ �����
�� b�a
f(x) dx−m�
k=1
f(ηk)Δk
�� =
=�� b�a
f(x) dx−n�
k=1
f(ξk)b−an +
n�k=1
f(ξk)b−an −
m�k=1
f(ηk)Δk
��
≤�� b�a
f(x) dx−n�
k=1
f(ξk)b−an
��+�� n�k=1
f(ξk)b−an −
m�k=1
f(ηk)Δk
��
< ε2 +
�� n�k=1
f(ξk)b−an −
m�k=1
f(ηk)Δk
��
�� ��������� ������������� �������� f ����� �� ��� �� ������� ���� δ� ������ ������� ���� �� ε
2 �
���� �������� ��������� ���������� ���� ������� �������� ���� ��������� �� ������� �� ���������� ��������� �� ������� ���� ������� �����
Lema �. ���� �� f : [a, b] → C � g : [a, b] → C ���������� �������� �λ, µ ∈ C� ���� ����
� b
a(λf(x) + µg(x)) dx = λ
� b
af(x) dx+ µ
� b
ag(x) dx� b
af(x) dx =
� b
aRe f(x) dx+ i
� b
aIm f(x) dx�� � b
af(x) dx
�� ≤� b
a|f(x)| dx.
��� �� f � g ������� ���� ���� �����������
(∀x)f(x) ≤ g(x) ⇒� b
a
f(x) dx ≤� b
a
g(x) dx.
��������� ���������� �� ��������� ����������� � �������� ������� ����� � ������ �� �������� ������� �����
�� ��� ������������� �� ��� ����������� �������� ����� �������� ���� Summa�
�� ������� �������� ���
Lema �. ��� �� f : [a, b] → R ���������� �������� ����� �� ��
�∀x ∈ [a, b]f(x) ≥ 0
��
� b
a
f(x) dx = 0,
���� �� f(x) = 0 �� ��� x ∈ [a, b]�
� ������������� �� �� f(x0) = A > 0 �� ���� x0 ∈ [a, b]� �� ��������������������� f ����� �� ���� ������� δ > 0 ����� �� ����
|x− x0| < δ ⇒ f(x) >A
2
������ �����
b�a
f(x) dx =x0−δ�a
f(x) dx+x0+δ�x0−δ
f(x) dx+b�
x0+δ
f(x) dx
≥ 0 +x0+δ�x0−δ
A2 dx+ 0 = A
2 · 2δ > 0,
��� �� � ����������� �� �������������b�a
f(x) dx = 0 �
Primer �. � ������� �� �� ���� ��� ������ ��� ���� ������ �� ���������� ���������
a1 cosx+ a2 cos 2x+ · · ·+ an cosnx = 0
��� ��� ����� ������ �� ��������� (0,π)� �������� ������ �������� ����������� ���� �� �� ���� � �������� ���� �� ������� �� ��������� �� ��
� π
0
(a1 cosx+ a2 cos 2x+ · · ·+ an cosnx) dx = 0.
������ � �� ���� � ����� �� ������������� �������� ���� ������� ������ ���� ������� � ������������� �� ���������� �������� ����� �� ���� ����� ������ ������� ����� �
����������� ��������� �������� ������� � ���� � �� ������� ��������
Teorema �. (Prva teorema o srednjoj vrednosti) ���� �� f : [a, b] → R� g : [a, b] → R ���������� �������� � ���� �� g(x) ≥ 0 �� ��� x ∈ [a, b]� ����������� ����� ξ ∈ [a, b] ����� �� ��
� b
a
f(x)g(x) dx = f(ξ)
� b
a
g(x) dx.
� ��� ��b�a
g(x) dx = 0� �� g(x) ≥ 0 � ���� � ����� �� �� g(x) = 0� ���� �� �
b�a
f(x)g(x) dx = 0� ���� �� �������� ������� ��������
������������� �� ��b�a
g(x) dx > 0� ����� �� f ���������� ��������� ���
������� ���� �������� � ������� �� [a, b]� ���� �� M = max f(x)� m =min f(x)� ����� �� g(x) ≥ 0 �� ��� x� ����
mg(x) ≤ f(x)g(x) ≤ Mg(x).
��� �� �������� ��������
������� �� ������ ���� �� �����
m
� b
a
g(x) dx ≤� b
a
f(x)g(x) dx ≤ M
� b
a
g(x) dx,
�� ��
m ≤� b
af(x)g(x) dx� b
ag(x) dx
≤ M.
������� �� ������ ������� � ������������� �� ���������� �������� ����������� � �� ���� ���� ����� �� ������� ����� ξ ∈ [a, b] ����� �� ����
f(ξ) =
� b
af(x)g(x) dx� b
ag(x) dx
,
��� �� � ������� ��������� �Napomena �. ������ �������� �������� f : [a, b] → R �� ��������
A(f) :=1
b− a
� b
a
f(x) dx,
���� �� ��������� ����� �������� ����� ����������� ������� ��������� ��������� �� �������� ������ �� �������� ���������� �� ���������� �� �������� � �� ����������� ������� g ≡ 1� ����� �� �� ������ �������� ������������������ ������� � ����� ����� ���������� �
�������� �������� ���������� � ������ �� ���� ���������� � ����������������� ��� ������ � ������� ��������� ���� ���������� � ������� ����� �������� � �� ���� ����
Teorema �. (Osnovna teorema integralnog raquna) ���� ��
f : [a, b] → C
���������� �������� �
F (x) =
� x
a
f(t) dt.
���� �� F �(x) = f(x)�
� ����� ������ �� ������� � ��������� ��������� F (x0+h)−F (x0) �� ������������� ������� ����� y = f(x) �� ��������� [x0, x0 + h]� ��� �� �������������� ���� h� ��������� ������������� ���� �� �������� f(x0) � h�
�� ������� �������� ���
F (x0 + h)− F (x0) ≈ hf(x0) ��� h → 0.
������� �� h ��������
F (x0 + h)− F (x0)
h→ f(x0) ��� h → 0.
�������� ��� ����������� �� ���� ������� � ������� ��������� ��������� � �� ���� ���� �����
F (x0 + h)− F (x0)
h=
1
h
� x0+h
x0
f(t) dt = f(ξ)
�� ���� ξ ∈ [x0, x0 + h]� ��� h → 0 ���� � ξ → x0� �� ���� ��������������������� f � ����� x0 ���� � f(ξ) → f(x0)� �
Zadatak �. ���������� ����� �������� ψ(x) =x2+x�x
√t3 + 4t dt� �
Teorema �. (Njutn–Lajbnicova formula) ���� �� Φ : [a, b] → C ����������� ���������� �������� ���������� �������� f � ���� ��
� b
a
f(x) dx = Φ(b)− Φ(a).
��������� ������� �� �������� � ���� b
a
f(x) dx = Φ(x)��ba,
��� �� Φ(x)��ba:= Φ(b)− Φ(a)�
� ����� ����� ��� ������� ����� �������� �� ������� � � ���� � �� ���� �������������� �� ��������
������ ��� ����� ������ ���� �� Φ�(x) = f(x)� �� ���������� ������������ �� ������� ck ∈ [ξk−1, ξk] ����� �� ��
Φ(ξk)− Φ(ξk−1) = Φ�(ck)(ξk − ξk−1) = f(ck)b− a
n.
������ ��������� ��������
Φ(b)− Φ(a) =n�
k=1
(Φ(ξk)− Φ(ξk−1)) =n�
k=1
f(ck)b− a
n.
��������� �� ����� � �������� ���� � �������� ������� �������� �Posledica �. �� ������������ ������� � ���� ������� ���������� ����� ������������ ��� �� ϕ : [α,β] → [a, b] ���������� ������������
����� �������� ����� �� �� ϕ(α) = a � ϕ(β) = b� ���� ��� b
a
f(x) dx =
� β
α
f(ϕ(t))ϕ�(t) dt.
�� ���������� ������������ ��� �� u � v ���������� ������������������������ �� ��������� [a, b] ���� ����
� b
a
udv = uv��ba−� b
a
vdu.
��� �� �������� ��������
� ����� ����� �� ������������� ������� �� ���������� ��������� � ��������������� �������� �
Zadatak �. ����������
limn→∞
17 + 27 + · · ·+ n7
n8
�������� ������ �� ��������� �Zadatak �. ����������
limn→∞
1
nk+m+1
n−1�
j=1
jk(j + 1)m,
�� k,m ∈ N� �Zadatak �. ����������
� 1
0
dx
(x+ 1)√x2 + 1
.
������� �� ������ ���������� �������� �������� �������� ��� �������
������� �� ���������� �������� �� ��� ������ �� �� �� �� �� ��� ���������������� ����������� ���������� ������� ������� ���� ����� ����� �������
Zadatak �. ���������� ��������
I =
� 1
0
log (1 + x)
1 + x2dx.
��������� �������� �� �� ������ x = tan t� ������� t = arctanx� ������
I =
� π/4
0
log tan (1 + t) dt.
������ ����� ����� s = π4 − t � �������� �� ��
I =
� π/4
0
(log (1 + tan (π/4− s))) ds.
����������� �������
tan (α− β) =tanα− tanβ
1 + tanα tanβ
� �������� �� �� I = π4 log 2− I� ������� I = π
8 log 2� �Zadatak �. ������� ������� � ������ t = (1− x)/(1 + x)� �Zadatak �. ���������� ��������
� 1
0
arctanx
x+ 1dx.
�Zadatak �. ���������� ��������
� π/2
0
dx
1 + (tanx)π.
��������� ������ ����� x = π2 − t � �������� �� �� I + I = π
2 � �� �� I = π4 � �
�� ������� �������� ���
Zadatak �. �������� �� ���n
1
�− 1
2
�n
2
�+
1
3
�n
3
�− . . .+
(−1)n−1
n
�n
n
�= 1 +
1
2+ . . .+
1
n
���������� �� �������� �� �� ���� ����� ��������� �������� �� �� ���� �� ����������� ������ ��������� � 1
0
1− (1− x)n
xdx.
������ ����� 1− x = t � ����������� 1− tn = (1− t)(1 + t+ . . .+ tn−1)� �
Primer �. (Tejlorova formula) ���� �� �������� f ���������� �������� �� ������ ����� n+1 ������ � ������� ����� a ∈ R� �� ���������������������� �����
f(x) = f(a) +
� x
a
f �(t) dt.
��� �� �������� �� ������ ������ ��������� ������� ���������� ������������� u(t) = f �(t)� v(t) = t− x ��������
f(x) = f(a) + f �(a)(x− a) +
� x
a
(x− t)f ��(t) dt.
���� �� �������� �� ������ ������ ������ �� ��������� ������� ����������
����������� �� u(t) = f ��(t)� v(t) = − (x−t)2
2 � ���� ��������
f(x) = f(a) + f �(a)(x− a) + f ��(a)(x− a)2
2!+
� x
a
(x− t)2
2!f ���(t) dt.
���������� ���� �������� n ���� ��������
f(x) =
n�
k=1
f (k)(a)(x− a)k
k!+
� x
a
(x− t)n
n!f (n+1)(t) dt.
��� �� Tejlorova formula sa ostatkom u integralnom obliku� �
Primer �. (Iracionalnost broja π) � ����� � ������� ��� �� ������ �������� �� �� ���� π ������������ ����� ���� ���� ������ �� ��������������� ����������� ����������� ������ �� XVIII ����� � ��� �� �� �� ������ ������������ ������������� ��������� �� ��
π =a
b, �� ���� a, b ∈ N.
���������� �������� f : R → R � F : R → R ��
f(x) =xn(a− bx)n
n!, F (x) =
n�
k=0
(−1)kf (2k)(x).
�������� ������� ������� ����������� �� �� f ������� ������
f(x) =1
n!
2n�
k=n
ckxk,
�������� �� ������� ��� ��� �� x �= 0 ���������� ����� ���� �� tanx ������������ ����������� �� �� π ������������
������ �Ivan Morton Niven� ����������� �������� �����������
��� �� �������� ��������
��� �� ck ���� �������� ������ ����� �� �� fk(0) ��� ���� �� ��� k ��� k < n� k > 2n ������ ����� � �� n ≤ k ≤ 2n ������ k!
n!ck�� �� �� � F (0) ��� �������������� �� �� f(π − x) = f(x)� ������ ����� �� �� � f(π)� �� ���� � F (π)���� �����
����� �� f (2n+2)(x) ≡ 0 ���� �� f ������� ������� 2n�� ����
F ��(x) + F (x) = f(x).
������ ����� �� ��
(F �(x) sinx− F (x) cosx)� = f(x) sinx.
�������� ��������������� ������� ������ ��������� π
0
f(x) sinx dx = (F �(x) sinx− F (x) cosx)
����π
0
= F (0) + F (π).
����� ��� ������ �� �� F (0) � F (π) ���� �������� � �������� f(x) � sinx��������� �� 0 < x < π� ����� �� ��
� π
0
f(x) sinx dx ∈ N.
�������� ����� �� xn(a− bx)n ≤ (aπ)n �� 0 ≤ x ≤ π� ���� ������������ π
0
f(x) sinx dx ≤ π(aπ)n
n!.
�� �� �������������� ����� �� ����� �� ������ ������ ���� �� � �� ������������� n ���� ���� ���� ��� n → ∞�� �� ����� �� ����� ������ �� ���� �� ������������ ����� ��� ������������� �������� �� π ���� ���������� ����� �
Zadatak ��. ������������ ����� �� ������� � � �������� �� �� π2 ������������ ����� �
Napomena �. � ����� � ��� ����� �� �� π ������� �������������� ����������� ����� � �� �� ������������ �������� ����� ��� �������� �� ���� ������������� �� �� ������� �� ����������������������� �������� ���� ������������ ������ ����� ��������� ������� ���� ���� ����� ������ �������� ��������������� ������ �� ������� ���� ��� ��� �� a ∈ C ���������� ���� �������� ������� ���� �� ea ��������������� ������ ����� �� �� e � π �������������� ��������� ������� ����� �� � ���������� ����� e = e1 �� ��������������� ���� �� π��� ���������� ����� ���� �� � iπ ��� ������������ �� �� eiπ = −1 ��� ���������������� ��� �� �������������� ������������� ����� ����������������� �������e � π� ��� �������� �� ���������������������� �������� ������ � ������������������ �
Primer �. (Transcendentnost broja e) � ������� �� �� ���� ��� ��������� �� �� �� ���� e ������������ ��������� ����������� ������� ��������� �� ���� � ���� �� ���� � �� �� ���� e �������������� ���� ������ ������� ��� ������ ���������� �� ���� ���� �������� �������� �� ���������������������������
���� �� a ∈ C ���������� ���� � P (x) ������� �� ����������� �������������� �� ���� ��P (a) = 0� ���� �� Q(x) := P (ix)P (−ix) ������� �� ����������� �������������� ������������� ���� �� Q(ia) = 0� �� �� � ia ���������� �����
������� �Charles Hermite� ����������� ��������� �����������
�� ������� �������� ���
������������� ��������� �� ������� ���� ������� c0, c1, . . . , cn ����� �� ��
c0 + c1e+ · · ·+ cnen = 0. ���
���� �� p ����� ���� ���� �� n � |c0|� ��������
f(x) =1
(p− 1)!xp−1(x− 1)p(x− 2)p · . . . · (x− n)p
�� ������� ������� m = (n + 1)p − 1 �� �� ��� ����� ���� m + 1 ������ ����������� ����� ��� ����������� ���������� ����������� (n+1)p ���� ��������
� k
0
f(x)e−x dx = −e−x�f(x) + f �(x) + · · ·+ f (m−1)(x)
�����k
0
.
������ �����
ϕ(k) + ek� k
0
f(x)e−x dx = ekϕ(0), ���
��� �� ϕ(x) = f(x) + f �(x) + · · ·+ f (m−1)(x)� �������� ��� ������ � ��� �� ck ���������� ��������� ������� � ���� ����
n�
k=1
ckϕ(k) +
n�
k=1
ckek
� k
0
f(x)e−x dx = 0. ���
����� �� �������� p ���������� ��������� ������� ����� �� p! ��� ������� ��
�� ���� ���� ������ f (j)(x) �������� f ���� j ≥ p �� �������� �� �������������������������� ������� �� p� ������ ����� �� �� �� ����� ��� ���� k � j ≥ p���� f (j)(k) ��� ���� ����� �� p� ����� �� � ������� x = 1, 2, . . . , n ������� f �������� ����� p−1 ������ ������� ����� ������ ����� �� �� ϕ(1),ϕ(2), . . . ,ϕ(n)���� ������� ������ �� p� � ����� x = 0 ������� f � ������� ����� p − 2������ �� ������� ����� �� ��
ϕ(0) = f (p−1)(0) + f (p)(0) + · · ·+ f (m−1)(0).
��� ������� ��� ����� �� ���� ������� ������ �� p� � f (p−1)(0) = (−1)pnn! ��������� �� p ����� �� p ����� ���� ���� �� n� ������ ����� �� �� ϕ(0) ��� �������� ���� ����� �� p� �� �� � ���� ���� � ��� ��� ���� ���� ���� ����� �� p������ ���� �� ���� �� ��������� �� �����
�� ������������
|f(x)| < n(n+1)p−1
(p− 1)!� e−x ≤ 1 �� x ∈ [0, n]
����� ����� k
0
f(x)e−x dx
���� <n(n+1)p−1
(p− 1)!k,
�� ������
n�
k=1
ckek
� k
0
f(x)e−x dx
���� < (|c0|+ |c1|+ · · ·+ |cn|)enn(n+1)p−1
(p− 1)!.
����� ��
limp→∞
n(n+1)p−1
(p− 1)!= nn lim
p→∞(n(n+1))p−1
(p− 1)!= 0
������� �� �� ���� ����� �� ������� ������ p ��������� �������� ����� ����� ��� ���� ���� �� ����� �� ����� ���� �� ���� �� ���� ������ ����� ���� ���
��� �� �������� ��������
������������ ��� ������ �� ������������� � �������� �� �� e ������������������� �
Primer �. (Transcendentnost broja π) � �������� � ��� ������ ����� �� ����� �������� �� �� π �������������� ����� ������� �������� �� �� ����iπ ���������������
������������� ��������� �� ������� ������� P1(x) �� ����������� ���������������� ����� �� �� P1(iπ) = 0� ������������� �� �� P1 ������� ������� n�� �������� ������ ���� �� r1, . . . , rn� ��� ���� �� r1 = iπ�
����� ��
er1 + 1 = eiπ + 1 = 0,
����� �� ��
(er1 + 1) · (er2 + 1) · . . . · (ern + 1) = 0.
����� ������� ������ �� ������ ������ ��������
es1 + es2 + . . .+ esr + e0 + e0 + . . .+ e0 = 0,
��� �� s1, . . . , sr ������� ������� rj ���� �� ��������� �� ����� � ������� 2n − r�������� �������� ��������� ���� �� ������� ����� ��������� �� ������� ��������� ��������� ��� �������� ������ �� ������ ������ ��� ����� �� ���������������� �� �� ��
es1 + es2 + . . .+ esr + k = 0, ����
�� ���� k ≥ 1������ ������� r1 ������������ ������������� ��������� �� �����������
��������������� �� ��������� ������� ������� �� �� ���� ��� ����� �� ������������� ���������� �������� �� rj ���������� �������� ������ ������� �� � ����������� ���������� �������� �� ���� ��������� ri + rj �i �= j����������� �������� �� ����� ����� �� ��������� �������� �� ������� �������P2(x) �� ����������� �������������� ���� �� ���� ������� ri + rj � �������������� ������� P3(x) �� ����������� �������������� ���� �� ���� ������������� ri + rj + rk ���� �� �������� Pn(x) �� ����������� ������������������ �� ���� ���� r1 + . . . + rn� �� ����� �� ��� ������� ������� ������ ����������� rj ������������ ������������� ���������
P1(x)P2(x) . . . Pn(x) = 0
�� ����������� ��������������� ������� �� ����� ������ �� ������ xjP (x)���� ��
P (x) = arxr + . . .+ a1x+ a0, a0, a1, . . . , ar ∈ Z
������� �� ����������� ��������������� ����� �� �� a0 �= 0� ���� ���� ��������� �� ������� sj �� �����
���� ��
m = rp− 1,
��� �� p �������� ���� ���� ���� �� �������� �������� � ���� ��
f(x) = amr xp−1 (P (x))p
(p− 1)!.
���� ��
F (x) = f(x) + f �(x) + . . .+ fm+p(x).
�� ������� �������� ���
���� ��d
dx(e−xF (x)) = −e−xf(x),
�� ��
e−xF (x)− F (0) = −� x
0
e−uf(u) du.
��� � �������� �� ������ ������ ������� ����� u = tx� ��������
F (x)− exF (0) = −x
� 1
0
e(1−t)xf(tx) dt. ����
��� � ��� ��������
x = s1, x = s2, . . . x = sr,
��� �� s1, . . . , sr �� ����� � ��������� ��������� ��������� ��������� �����r�
j=1
F (sj) + kF (0) = −r�
j=1
sj
� 1
0
e(1−t)sjf(tsj) dt. ����
����� �� sj ���� �������� P (x)� �� ���������� �������� f ����� �� �� ������
f (v) ���� v� �� 0 < v < p� ����r�
j=1
f (v)(sj) = 0.
������ ���� p � ����� ����� ������ pamr � ������ �� �� �������� �������������(P (x))p ������� p ���� �� �� �� ����� ����� �������� �� ���� �� x = sj � �����
r�
j=1
f (v)(sj)
��� �� v ≥ p� ���������� ������� �� sj ���� �� ����� �� m� �� ���������������� ����� �� �� �������� ������ ����������� �������� � amr ��� ����� ����
r�
j=1
f (v)(sj) = p · (��� ����) �� v ∈ {p, p+ 1, . . . , p+m}.
������ ����� �� �� ���� ������ � ���� ������
p · (��� ����) + kF (0).
��������� �� ��
f (v)(0) =
0, v < p− 1
amr ap0, v = p− 1
p · ��� ����, v ≥ p
������ ����� �� �� ���� ������ � ���� ������
p · (��� ����) + kamr ap0.
�������� ������� ���� ����� �� p ��� ��
p > max{k, a0, ar}.�� ����� �� �� �� ������� ������ p� ���� ������ � ���� ��������� ��� ������������� ����� ������ � ���� ���� ���� ��� p → +∞ ����������� ��� �� ��������������� ���� �� �������� �� �� π �������������� ����� �
��� �� �������� ��������
Napomena �. ���� ������� �� �� �� ������� e + π � eπ ���������� ��������������� ������� ������� � �������� �������� ������ ��� �����������
��������� ��� ���������� ������ ������ �������� �� �� ������� e � π ����������� ��������� ��� Q� ��� �� �� ������� ������������ ������� P (x, y) ������������� �� ����������� ��������������� ����� �� �� P (e,π) = 0� ���������� �� �� ������� ����� ��� ���� ���������� �������� ��� ������� �� ��������� �� e+ π ���� eπ� ����������� �����
�������� ���� �� ������ �� �� ��� ����� �� ������� e+π � eπ ��������������
(x− e)(x− π) = x2 − (e+ π)x+ eπ,
����� �� �� e � π ���� �������� x2 − (e+ π)x+ eπ� ����� �� e � π ��������������� �������� �� ���� ��� ������������ ���� �������� �� ���� ������������������
������� �� �� �� eπ �������������� ����� ��� �������� �� ����� ��������������� ��������� ����� �� ������� ���� ��������� � �� ���������� � �������������� �������� �������� ��� VII ����������� �������� ������� ���� ����������� ������� ��� ������������������ �������� ������ ��� �� α,β ∈ C���������� �������� ����� �� ��
α �= 0, α �= 1, β /∈ Q
���� �� ���� αβ ��������������� ����������� ���� eπ = (eiπ)−i �� ������������
���� ��� α = eiπ = −1 � β = −i ������������ ������ �������� ������� ���� 2√2�
������ ��� ������������������ ���������� �� ��������������� ������ �����
�� �� ����√2√2���� ��� ������ � ������� �� �� ���� ��� ��������������� �
Zadatak ��. �������� �� ��
� π/2
0
sink x dx =
� π/2
0
cosk x dx =
�(2n−1)!!(2n)!!
π2 �� k = 2n
(2n)!!(2n+1)!! �� k = 2n+ 1.
��������� ������������
sin2n+1 x ≤ sin2n x ≤ sin2n−1 x �� 0 ≤ x ≤ π
2
�������� ������������
(2n)!!
(2n+ 1)!!≤ (2n− 1)!!
(2n)!!
π
2≤ (2n− 2)!!
(2n− 1)!!
� ������� ������ �������� �������
π
2= lim
n→∞
�(2n)!!
(2n− 1)!!
�21
2n+ 1
�������� ���� �� ���� ���� �
�������� �Stephen H. Schanuel� ����� ������ �������� �������������������� ����������� ��������� ��������� ����������� ����� �������������������� (Theodor Schneider, 1911)� ������� �������������������� (David Hilbert, 1862–1943)� ������� ������������ ������� �� ����� ������
�������� �� �������� ���� ��� �� ������� �������� ������� �� ������ �� ���� ����������XX ����� ����� ��� ���� �������� �������� �� �� ������ �������� �������� ������������� ������� �� ������� �����
�� ������� �������� ���
Primer �. �������� ��������� ���� �� �� ������ ����������� �������
log n! ∼ n log n, ��� n → ∞. ����
�� ����������� ��������� ������ n
1
log x dx =
n�
k=2
� k
k−1
log x dx. ����
����� �� ������������ �������� �������� ����
log (k − 1) < log x < log k �� k − 1 < x < k. ����
�� ���� � ���� ������ n
1
log x dx <n�
k=1
log k <n�
k=2
� k+1
k
log x dx =
� n+1
2
log x dx. ����
����� ��n�
k=1
log k = log
n�
k=1
k = log n!,
�� ���� �����
0 < log n!−� n
1
log x dx <
� 2
1
log x dx+
� n+1
n
log x dx. ����
����� ��� �������� ������������ � ���� ��� ���� ����������� ���������� ������ log 2 + log (n+ 1)� �� ��
0 < log n!−� n
1
log x dx < log (2(n+ 1)),
������ �����
log n! =
� n
1
log x dx+O(log (2n+ 2)), ��� n → ∞. ����
������������� ��������� � ���� ��������
log n! = n log n+O(n), ��� n → ∞,
������ ����� ����� �
Lema �. ���� �� f : [a, b] → R ����������� � h : [a, b] → R ��������������������������� ����������� � ��������� ��������� ���� ������� �����ξ ∈ [a, b] ����� �� ����
� b
a
f(x)h(x) dx = h(a)
� ξ
a
f(x) dx.
� ���� �� F (x) =� x
af(t) dt� ���� �� dF (x) = f(x)dx� �� ������� ����������
����������� ������ b
a
f(x)h(x) dx =
� b
a
h(x) dF (x) = F (x)h(x)��ba−� b
a
F (x) dh(x).
����� �� F (a) = 0 � F (b) =b�a
f(x) dx� ������ �����
� b
a
f(x)h(x) dx = h(b)
� b
a
f(x) dx−� b
a
F (x)h�(x) dx
��� �� �������� ��������
���� �� M = maxF � m = minF � ����� �� h(x) ≥ 0 � h�(x) ≤ 0� �� ������������������ �����
mh(b)−m
� b
a
h�(x) dx ≤� b
a
f(x)h(x) dx ≤ Mh(b)−M
� b
a
h�(x) dx,
� ������� ����� ��b�a
h�(x) dx = h(b)− h(a)�
m ≤� b
af(x)h(x) dx
h(a)≤ M.
����� �� �������� F ����������� ������� ξ ∈ [a, b] ����� �� ��� b
af(x)h(x) dx
h(a)= F (ξ) =
� ξ
a
f(x) dx,
��� �� � ������� ��������� �Teorema �. (Druga teorema o srednjoj vrednosti) ���� �� f : [a, b] →
R ����������� � g : [a, b] → R ���������� ���������������� � ����������������� ���� ������� ����� ξ ∈ [a, b] ����� �� ����
� b
a
f(x)g(x) dx = g(a)
� ξ
a
f(x) dx+ g(b)
� b
ξ
f(x) dx.
� �������������� �� ��������� �������� �� �� g ����������� �������� ����������� ����������� ������ �� �������� g1(x) = −g(x)�� ����� ����� ��������� ���� � �� �������� h(x) = g(b)− g(x)� �
Teorema �. (Integracija stepenog reda) ���� �� x0 ∈ R � cn ��� � C����� �� R ����������� ������������� �������� ����
∞�
n=0
cn(x− a)n
� ���� �� �������� [α,β] ������� � ��������� ������������� (a − R, a + R)����� �� � β
α
∞�
n=0
cn(x− a)n dx =∞�
n=0
cn(x− a)n+1
n+ 1
����x=β
x=α
.
������ ������� �������� �������� �������� ���� ���� �� �� �������� ������������� ���� �� �����
� ����� ����� �� ������� ������������� �������� ���� �������� �� �� ����������� � ��������������� �������� �
Zadatak ��. ���������� ��������� 1/2
0
xn dx
�� ������ ����� ���� ����∞�
n=1
1
n2n.
�
�� ������� ��������� ���
Zadatak ��. �������� �� ��� 1
0
log x
1 + x2= G,
��� �� G ���������� ��������� ������� ������� �� �� ���� �������������� (1 + x2)−1 �� ���� ������������� ����� �
�� ������� ���������
���� �������� ������ ������� ���� �� f : [a, b] → R � g : [a, b] → R���������� �������� ����� �� �� g(x) ≤ f(x) �� ����� x ∈ [a, b]� ������������ ����� ����������� ������� y = f(x) � y = g(x)� a ≤ x ≤ b� ��� �����
S = {(x, y) ∈ [a, b]×R | g(x) ≤ y ≤ f(x)}������ �� ������������� ������ �������� ������������� �� ��������
(ξk−1, f(ξk)), (ξk−1, g(ξk)), (ξk, f(ξk)), (ξk, g(ξk)),
��� �� ξ1, . . . , ξn� ��� � � ���������� ���������� ����� ����� ������ ���������[a, b] �� n �������� ������� �������� ������ �� ���� ������������� �� (f(ξk)−g(ξk))
b−an � ���� �������� ����� �� �������� ������ S
A(S) = limn→∞
n�
k=1
(f(ξk)− g(ξk))b− a
n=
� b
a
(f(x)− g(x)) dx.
Zadatak ��. �������� �� �� �������� ������� ���������� �������
x2
a2+
y2
b2= 1
������� πab� ����������� �� a = b = r �������� �������� ������ �
Zadatak ��. �������� ���������� ������� � �������� �� ���� ���� �
���� ��������� ����� ���� �� ���� K � 0xyz������������� ������� ����������� ����� ���������� ������� ������������ �� x���� � ������� x = a �x = b � ���� �� A(ξ) �������� ������� ���� K � ����� ����������� �� x���� ������ x = ξ� ���� �� Vk ��������� ���� ���� K ����������� ������� x = ξk−1�x = ξk� ���� ��
minξ∈[ξk−1,ξk]
A(ξ)b− a
n≤ Vk ≤ max
ξ∈[ξk−1,ξk]A(ξ)
b− a
n,
�� �� ������ ��������� V (K) =�n
k=1 Vk ����
n�
k=1
minξ∈[ξk−1,ξk]
A(ξ)b− a
n≤ V ≤
n�
k=1
maxξ∈[ξk−1,ξk]
A(ξ)b− a
n
������� ��������� �� limn→∞
� ��������
V (K) =
� b
a
A(x) dx. ����
������� ���� ������� �� ��� ������ ����������������� ���������
������������ (Bonaventura Cavalieri, 1598–1647)� ����������� �����������
��� �� �������� ��������
�������� ��� �� ���� K �������� ��������� ����� y = f(x)� a ≤ x ≤ b ��� x����� �������� A(x) ��������� ������� �� �������� ����� ������������ f(x)��� �� ��������� ��������� ����
V (K) =
� b
a
π�f(x)
�2dx.
������� ��� �� ���� L �������� ��������� ����� y = f(x)� a ≤ x ≤ b ��� y���� ���� �������� f : [a, b] → [α,β] ��� �������� �������� g = f−1 : [α,β] → [a, b]���������� ��������� ���� ��
V (L) =
� β
α
π�g(y)
�2dy.
������������� �� f : [a, b] → [0,+∞) ���������� �������� � ���� �� ����M �������� ��������� �������
S = {(x, y) ∈ R×R | a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f(x)}
��� y����� ���� ��������� ��������� ���� ������ �� ���������� �� �������� ������ �������� �������� [a, b] �� n ��������� ������� ������� ���� ��ξ1, . . . , ξn ����� ������� ��� ���������� ��������� Vk ���� ��������� ����������������
Sk = {(x, y) ∈ R×R | ξk−1 ≤ x ≤ ξk, 0 ≤ y ≤ f(x)}��� y���� ������ �� ������������� �������� ��������� ��� ������ �� ��������������� ���� ξk � ξk−1 � ��� ����������
π(ξ2k − ξ2k−1) minξ∈[ξk−1,ξk]
f(ξ) ≤ Vk ≤ π(ξ2k − ξ2k−1) maxξ∈[ξk−1,ξk]
f(ξ). ����
��� �������� ���� �� k � ��������
ξ2k − ξ2k−1 = (ξk + ξk−1)(ξk − ξk−1) = 2(ξk + ξk−1)
2
b− a
n,
�������� �� �� ��������� V (M) ������
sn =n�
k=1
2πck minξ∈[ξk−1,ξk]
f(ξ)b− a
n� Sn =
n�
k=1
2πck maxξ∈[ξk−1,ξk]
f(ξ)b− a
n,
��� �� ck = (ξk+ξk−1)2 ∈ [ξk−1, ξk]� ����� �� lim
n→∞sn = lim
n→∞Sn =
b�a
2πxf(x) dx�
�������� ������� �� ��������� ���� M
V (M) =
� b
a
2πxf(x) dx.
Zadatak ��. ���������� ��������� ���� ���� �� ������ ��������� �����
x = t− sin t, y = 1− cos t, 0 ≤ t ≤ 2π
��� x����� �
�� ������� ��������� ���
���� ������ ������ ���� �� f : [a, b] → R ���������� ����������������� ��������� ������ L ����� y = f(x) ������ �� ���������� ��� ����������� ���������� ������� ��������� ��� � ������� �������� [a, b] �� n��������� ������� ������ � �������� ����� ������� ��������� ��������� ��ξ1, . . . , ξk� ��������� ������ ������ (ξk−1, f(ξk−1)) � (ξk, f(ξk)) ��
dk =�
(ξk − ξk−1)2 + (f(ξk)− f(ξk−1))2,
�� ��
L = limn→∞
�nk=1
�(ξk − ξk−1)2 + (f(ξk)− f(ξk−1))2
= limn→∞
�nk=1
�1 +
� f(ξk)−f(ξk−1)ξk−ξk−1
�2(ξk − ξk−1)
= limn→∞
�nk=1
�1 +
�f �(ck)
�2 b−an .
� ��������� ������ ��������� �� ���������� �������� ���� �������� �������� �� ������ �����
L =
� b
a
�1 +
�f �(x)
�2dx.
Zadatak ��. �������� �������� ����� �� ���������� ������ ���� ������
x2
a2+
y2
b2= 1
� �������� �� ��� � ������ �������� �������� ��������� ��������� ������������ ���� ���� �
Zadatak ��. ���������� ������ �����
x =1
4y2 − 1
2log y, 1 ≤ y ≤ e.
�
Zadatak ��. ��������� ����� ������ ������������� �����������
x = t2, y =t3
3− t, t ∈ R
� ���������� ������ ���� �� ����� ���� ���� � ����� 0 ≤ x ≤ 3� �
���� �������� ������� ����� ���� �� f : [a, b] → R ���������� ����������������� ��������� �������� ������ S �������� ��������� ����� y = f(x)��� x���� ������ �� ���������� �� ������� ������ �������� �������� [a, b]�� n ��������� [ξk−1, ξk]� 1 ≤ k ≤ n� ������� ������� �������� ���� ������������������ ����� y = f(x) �� ξk−1 ≤ x ≤ ξk ��� x���� ������ �� ������������������� �������� ���������� ���� ���� �� ���������
sk =�
(ξk − ξk−1)2 + (f(ξk)− f(ξk−1))2,
� ������������ ������ rk = f(ξk−1) � Rk = f(ξk)� �� ������� �� ����������������� ����
Ak = π(Rk + rk)sk
����� �� �� �������� ������ S ����������� ��
A(S) ≈n�
k=1
π(f(ξk) + f(ξk−1))�
(ξk − ξk−1)2 + (f(ξk)− f(ξk−1))2.
��� �� �������� ��������
�� ���������� ������� ����� �� �� f(ξk−1) = f(ξk)+ (ξk−1 − ξk)f�(sk)� ������
����� ��� ��� �� f ���������� ����������������� ����
A(S) ≈n�
k=1
2πf(ξk)�
1 +� f(ξk)−f(ξk−1)
ξk−ξk−1
�2(ξk − ξk−1)
=n�
k=1
2πf(ξk)�
1 + (f �(ck))2 b−an
� ��������� ������ �� ��������� ���������� �������� ������� ����������� lim
n→∞� ��������
A(S) =
� b
a
2πf(x)
�1 +
�f �(x)
�2dx ����
Napomena �. �������� �� ��������� ������ ���� ���� ��� � �������������������� ������ ������������� ���������� ���������� ����� � �� ���������������� ���������� ���������� ��� ��� ��� ������ � ������� ������������������� ��� ����� �� �� �������� �� ��� ������ ���� ����� ��������� ���������������
ΔA ≈ 2πyΔx,
��� �� �� ������ �������������� ����������� ��
ΔA ≈ 2πy�
(Δx)2 + (Δy)2,
��� �� ������������� ���������� ������� ������ �� �� �������� ��� ��� ��������� �
1 +
�Δy
Δx
�2
.
�������� ����� �� ���� � ��� δx → 0 ���� ��� �� dydx = 0� �� ����� �� ���
��� ������������� ���� ��������� ��������� � ������ �������� ���� ������������� �������� �������� ������������� ����������� ������ ����� ��������������� ������� �� ���������
�������� �������� A =
� b
a
2πf(x) dx. ����
������� ��������� �� �������� ��������� �� �� ��������� ���������� ��������������� ���������� ������� ������ ����������� �
������� ������� �������� �� �� �������� ������� ���� ��� � ������� ������������������ ������ ������ �������� ���������
Zadatak ��. ���������� �������� ���� �������� ��������� ����
y = x/√3, 0 ≤ x ≤
√3
��� x���� �������� ������� ����� ��������� ��� �������� �� �������� ��������� �� �������� ����� ��� �� ������ ��� �� ������� ������� ����� �
Napomena �. ������� ��������� ������ �������� �� �������� �������� ���� �� �� �������� ��� ����� �������� �������� ��������� ���� ����� ������ ����� �������� ��� ����� ������ �������� ������ ���� �� C�������� ������������ r � ������ h� �������� �������� �� ��������� ������������� ������� ���������� ��������� ���� �� ���� ��������� m �����
������� �Karl Hermann Amandus Schwarz� ����������� ������� �����������
�� ������������ �������� ���
���������� ��� ����� �� ����� ���� ����� �������� �� (m + 1) ���������������� ���� ����� �� ��� (m+1) ������� �� n ������� ���� �� �� ����� �������������� ����� ����� ������� �������� ������ ����� ����� ����� ������� ����������� ����� ������ �� ����� ������� �������� ������ ����� ����� ���� ����������� ����� ���� ������ ��������� ���������� ����������� �� ����������� �� �������� �������� ���� �� ������ �� ���������
P = 2nr sinπ
n
�r2m2(1− cos (π/n))2 + h2.
��� m,n → ∞� ��������� �������� ��������� ���� ���� ���� ���� �� �� ������� ���������� ������� � ���������� ������ ����� �� ������ �������� �������� ������ �������� ��� ��� ���� � n2/m ���� ����� �������� ������������ +∞� � ��� m/n2 → c� ���� �� ����� �������� ��������
2rπ�c2r2π4/4 + h2.
������ ����� �� ����� �������� ���� �������� ��������� �� ��������������� � ���� ���� ������� � ������ �� �������� ������ � ���� �� ������
��� �������� ������� �� ���� ���� ���� ���� �� � ���� ������� �� ����������� �������� ��������� ������ ������� ����� �������� ���������� �������� �� ����������� ������������ � ���� ���������� ��� � ���������� ���������� � ��������� ����������� �� ������� ���������� ���������� ����������� �������� � ���� ���� �������� � ���� ����������� ������������ �
Zadatak ��. ��������� �����
x23 + y
23 = 1
� ���������� �������� ������ ���� �� ������ ����� ��������� ��� x����� �
�� ������������ ��������
���� ���������� � �������� ������� �������� ��� ���������� �� ����������� �������� ���������� �� ���������� ���������� ������������� ������ �� ���� ���������� �������� f : [a,β) → C� ��� ���� �� ����� β ������ ����
���� �� a ��� +∞� ����� �� ����� b ∈ [a,β) ������� ������� ��������b�a
f(x) dx�
������� ������� ����� limb→β
b�a
f(x) dx� �������� �� nesvojstvenim integralom
� ������ � β
a
f(x) dx := limb→β
� b
a
f(x) dx. ����
����� β �� ������ singularnom taqkom ��� singularitetom ���������������������� ����� ��� �� β < +∞� �� ���� � �� ���� ��� ����� �� ��� � ������� ���������� f ��� ���� ����� � ����� β ���� ��� ���� �� �� ���������� �������
� β�� ����� � ���� ������ ���������β�a
f(x) dx� ���� �� ��������� ��������
������� β
a� ���� � �������� �� �� ������������ �������� �������� ����������
������ �� �������� ������������ ��������a�
−∞f(x) dx�
� a
−∞f(x) dx := lim
c→−∞
� a
c
f(x) dx. ����
��� �� �������� ��������
��� ����� � ���� ���� ����� �������� ������ �� ������������ �������� kon-vergira� � ��������� ������ �� �� divergira�
Primer �. ��������� +∞1
dxxp ���������� ��� � ���� ��� �� p > 1� � �����
����� 1
0dxxp ���������� ��� � ���� ��� �� p < 1� ������� ��
� b
1
dx
xp=
11−px
1−p��b1 �� p �= 1
lnx��b1
�� p = 1
����� �� limb→+∞
b�1
dxxp ������� ��� � ���� ��� �� p > 1� � ��
� 1
a
dx
xp=
11−px
1−p��1a �� p �= 1
lnx��1a
�� p = 1
����� �� lima→0+0
1�a
dxxp ������� ��� � ���� ��� �� p < 1� �
������� ������������� ��������� �������� � �������� ���� �� ����������������� �� ����� � ������������� ��������� ��������� �� ������� ����������
Lema �. ���� �� f : [a,β) → C � g : [a,β) → C ���������� �������� � λ�µ ���������� �������� ���� ��
��β�a
�λf(x) + µg(x)
�dx = λ
β�a
f(x) dx+ µβ�a
g(x) dx�
��β�a
f(x) dx =c�a
f(x) dx+β�c
f(x) dx �� ����� c ∈ [a,β)�
�� ��� �� ϕ : [s,ω) → [a,β) ���������� ���������������� ���������� ���� ��� β
a
f(x) dx =
� ω
s
f ◦ ϕ(t)ϕ�(t) dt.
�� ��� �� �������� f � g ���������� ����������������� ���� ��� β
a
f(x) dg(x) = f(x)g(x)��βa−
� β
a
g(x) df(x),
��� �� f(x)g(x)��βa:= lim
b→βf(x)g(x)
��ba�
Primer �. ��������
J =
� π/2
0
log sinx dx
�� ������������ ����� �� sin 0 = 0� ���� �������� ������ �� ��������� ����������� � ���� �� �� �������� ������ �� ���� ������ �������� ����� x = 2t�
J = 2
� π/4
0
log sin(2t) dt =π
2log 2 + 2
� π/4
0
log sin t dt+ 2
� π/4
0
log cos t dt.
��� � ��������� ��������� ������� ����� t = π2 − u� ��������
� π/4
0
log cos t dt =
� π/2
π/4
log sin t dt,
�� ������������ �������� ���
�� ����������� �� ��
J =π
2log 2 + 2J,
������� J = −π2 log 2� �
Zadatak ��. �������� �� ��� +∞
0
log (1 + x)
1 + x2=
π
4log 2 +G,
��� �� G ���������� ��������� ������� ������� �� �� ���� �������������� ������ ������� � �� ���� ��� � ������� �� �� ���� ���� �
���� ����������� �������������� �� ��������� ����������� �� ������������� ������ ���������� � �� ���� ���� ������ �� ������� ���������� �������������� ������������� ����������
Lema �. (Koxijev kriterijum konvergencije integrala) ��������β�a
f(x) dx ���������� ��� � ���� ���
(∀ε > 0)(∃B ∈ (a, β)) b1 > B ∧ b2 > B ⇒����� b2
b1
f(x) dx
���� < ε
� ����� �� ������ �������� ���������� ������������� ��������� � ��������
�� � �� ���� ��� �� �������� F (b) =� b
af(x) dx� �
������ �� ��������β�a
f(x) dx apsolutno konvergira ��� ���������� ���
������β�a
|f(x)| dx� ����� ��
����b2�
b1
f(x) dx
���� ≤b2�
b1
|f(x)| dx,
�� ���� � ����� �� �� ����� ��������� ������������ �������� �������������������� ���� ������ ��� ���� ������ �������� � ������� ���
������ ��������� ������������� ��������� �� ����� �� ���������� �������������� ��������� ��������� ��������� ������ �������� ����������� �������������� ������ ����������
Lema �. ���� �� f : [a,β) → R ���������� ��������� ����� �� �� f(x) ≥ 0
�� ����� x ∈ [a,β)� ���� ��������β�a
f(x) dx ���������� ��� � ���� ��� ��
�������� F (b) =b�a
f(x) dx ���������� �� [a,β)�
� �� ������������ �������� f ����� �� �� �������� F �������� �� ��� �������� ���� �� �� ���� ���� lim
b→βF (b) = supF (b)� �
Posledica �. (Integralni test konvergencije redova) ���� �� f :[1,+∞) → R ���������� � ��������� �������� � ���� �� f(x) ≥ 0 �� �����
��� �� �������� ��������
x ∈ [a,+∞)� ���� ��������+∞�1
f(x) dx ���������� ��� � ���� ��� ����������
���∞�
n=1f(n)�
� ����� �� �������� f ���������� ����
f(k + 1) ≤� k+1
k
f(x) dx ≤ f(k),
������ ��������� ��������
n�
k=1
f(k + 1) ≤� n+1
1
f(x) dx ≤n�
k=1
f(k).
������ ����� �� �� ������� �������� F (b) =b�a
f(x) dx ���������� ��� � ����
��� �� ��������� ������� ��� sn =�n
k=1 f(k)� �
Primer �. ������ ��� ������ �� ����
1np ���������� ��� � ���� ��� ��
p > 1� ��� ������� ���� ������ �� �������� �� ��������� � � ������� �� �
Zadatak ��. ���� �� an ����������� ������� ��� ���������� ���������������� �� �� ���
∞�
n=1
an+1 − an
ap+1n+1
������������ �� p > 0 ��� p = 0 ������ ������� �� �� ���� ����� �
Zadatak ��. ���� �� cn ��� ������� ���� ��������� ��������� [a,+∞)������ �� ��� �� ���� δ > 0� cn+1 − cn ≥ δ� ���� ��
f : [a,+∞) → [0,+∞)
��������� ��������� �������� �� ��� �������
limx→+∞
� x
a
f(t) dt, ����
���� ���∞�
n=1
f(cn) ����
����������� �������� ��� ��� ��� cn �������� ������� �����
supn≥2
(cn − cn−1) < +∞,
���� �� ������������� ���� ���� ����� ������������ ������ ����� �
Lema ��. (Poredbeni princip) ���� �� f : [a, β) → R � g : [a,β) → R���������� �������� ����� �� ��
0 ≤ f(x) ≤ g(x)
�� ������������ �������� ���
�� ����� x ∈ [a,β)� ��� ��������β�a
g(x) dx ���������� ���� ���������� � �����
����β�a
f(x) dx� ��� ��������β�a
f(x) dx ���������� ���� ��������� � ��������
β�a
g(x) dx�
� ����� ����� ��b2�
b1
f(x) dx ≤b2�
b1
g(x) dx
� ���� �� �Posledica �. ��� �� f, g : [a,β) → R ��������� ���������� ���������
����� �� ��
limx→β−0
f(x)
g(x)= c /∈ {0,+∞}
���� �� ���������β�
a
f(x) dx �
β�
a
g(x) dx
����������������� ��� ��� ��� ������������� ��� ��� ������������
� � ������� ����� β ��
(c− ε) g(x) ≤ f(x) ≤ (c+ ε) g(x),
�� ����� ����� �� ���� ��� �Primer ��. ��
�� cos xx2
�� ≤ 1x2 � ������� � ����� �� ��������
+∞�
π2
cosx
x2dx
��������� ����������� �
Primer ��. ��������+∞�π2
sin xx dx �� ������������� ��� ���� ��������� ����
���������� ������� ����������� ������������ ��������� +∞
π2
sinx
xdx = −cosx
x
��+∞π2
−� +∞
π2
cosx
x2dx = −
� +∞
π2
cosx
x2dx,
� �������� �������� ����������� �������� +∞
π2
����sinx
x
���� dx ≥� +∞
π2
sin2 x
xdx =
1
2
� +∞
π2
dx
x− 1
2
� +∞
π2
cos 2x
xdx.
���� �������� �� ������ ������ ���������� � ����� ����������� ��� +∞
π2
����sinx
x
���� dx
���������� �
��� �� �������� ��������
Primer ��. ��������� ���� ��������� ��������� �����
y =1
x, 1 ≤ x < +∞
��� x���� ��
V =
� +∞
1
π
�1
x
�2
dx = −π1
x
����+∞
1
= π,
��� �� �������� ���� �������� ������
A =
� +∞
1
2π1
x
�1 +
�− 1
x2
�2
dx = +∞,
��� �� 1x
�1 +
�− 1
x2
�2> 1
x � � ��������+∞�1
dxx ���������� ������ �������� ����
��� ������� ��������� � ���������� ��������� ��� ��� �� �������� ���� ������ �� ������ ������ ��� �� ���� �� �� ������� �
Zadatak ��. �� �� ������ �������� ��������� ����� �� ������� �� �������� x+ y = 1 ���� �� ��
��� ��������� ������ ������ �
Primer ��. �������� � +∞
0
e−x2
dx
����������� �������� +∞
0
e−x2
dx =
� 1
0
e−x2
dx+
� +∞
1
e−x2
dx.
���� �������� �� ������ ������ ���� ������������ � ����� ����������� ��� ��
[1,+∞) ���� e−x2 ≤ e−x� � ��������� +∞
1
e−x dx = −e−x
����+∞
1
= e
����������� �
�� ������������ �������� ���
�������� ���� ��� ����������� �� ������������� ��������� �������� �������� �������� ������������
Lema ��. (Abelov i Dirihleov test) ���� �� f : [a,β) → R ������������ g : [a,β) → R ���������� ���������������� �������� ��������� ��� ����
(A1) ��������β�a
f(x) dx ���������� �
(A2) �������� g �� �������������
(D1) �������� F (b) =b�a
f(x) dx �� ���������� �
(D2) limx→β
g(x) = 0
���� ��������β�a
f(x)g(x) dx �����������
� �� ����� ������� � ������� ��������� ����� ���� ������ b2
b1
f(x)g(x) dx = g(b1)
� ξ
b1
f(x) dx+ g(b2)
� b2
ξ
f(x) dx.
������ ����� ����� �� ����� ���� �� �Zadatak ��. �������� ������������� ���������
� +∞
0
sinx
xdx �
� +∞
0
x2 cos ex dx.
��������� � ������ ��������� ������ ����� ex = t� ����� ������������ ��������� �� ���� �������������� ���� �� ����
���������� �������� f : (α,β) → C� ���� ��� �� ������������ β
α
f(x) dx :=
� c
α
f(x) dx+
� β
c
f(x) dx, ����
��� �� c ���������� ����� ������ α � β� �� ����������� ��������β�α
f(x) dx
���������� ��� ��� ��������� �� ������ ������ � ���� �������������
Primer ��. �������� � +∞
−∞e−x2
dx
����������� ��� ������������ ���������� 0
−∞e−x2
dx �
� +∞
0
e−x2
dx
��� ������ ���� �
Primer ��. ���������� ���������e−x2
dx
���� ����������� ��������� ��� �������� ��������
I =
� +∞
−∞e−x2
dx,
��� �� �������� ��������
������ ��� �������� ��������� ���� �� �� ��������� ����� �� ������ ���������� ����������� �����
z = e−(x2+y2).
��� ����� �� ������ ��������� ����� z = e−x2
��� z����� ������ �� ����� xy������ � ������� ��� ���������� ����� �� ����� � ����� (0, 0, 1)� �������������������� ���� ����� ������ �� ��� ������ �� ������������� ����� �� ������z �� ���� ���� �� ����������� r =
√− log z ���������� �� ��������� �� ���������� (0, 1)�� �� �� �������� ��������� ������� −π log z� �� ����������������������� ����� �� �� ��������� ����
V = −π
� 1
0
log z dz = π.
����������� ���� V ������ ������� �� ����������� ������� y = const� ����������� y� ������ �� ����� ���� (0, y, 0) ���� �� �������� �� y ��� ��� ���������
A(y) =
� +∞
−∞e−(x2+y2) dx = e−y2
� +∞
−∞e−x2
dx.
�� ��������������� �������� ���� ����� �� ��
V =
� +∞
−∞A(y) dy =
� +∞
−∞e−y2
dy ·� +∞
−∞e−x2
dx = I2.
������ ����� �� �� I =√π� �
Primer ��. ��������� +∞
−∞e−x dx =
� 0
−∞e−x dx+
� +∞
0
e−x dx
���������� ��� ���� �������� �� ������ ������ ���������� �
Primer ��. ���� �� a� b ��������� ������ �������� ��������� ������� +∞
0
f(ax)− f(bx)
xdx
�������� �� ��������������� ����������� ��� ������ �������������� � ��������� f � ���� ����������� �������
� +∞
0
f(ax)− f(bx)
xdx = (f(0)− f(+∞)) log
b
a.
���� ��� ���� ��� �� f : [0,+∞) → R ���������� ��������� ����� �� ��������� +∞
y
f(x)− f(+∞)
xdx ����
���������� �� ����� y > 0� �������� ��� ������� ��� ��� ������������������������ ���� �� ������ �� ������������� �� �� f(+∞) = 0 �� ��������������� �������� f(x) ������ �� ���������� �������� f(x)− f(+∞)�� � ���������� ����� ���� ����� �� �� ����� y > 0 ��������
� +∞
y
f(x)
xdx
��������� �Giuliano Frullani� ����������� ����������� �����������
�� ������������ �������� ���
����������� ���� ��
� R
ε
f(ax)− f(bx)
xdx =
� R
ε
f(ax)
xdx−
� R
ε
f(bx)
xdx.
����� ������� ����� t = ax � ����� � t = bx � ������ ��������� �� ������������ � ������������ ��������� ��������� ������� ��������
� R
ε
f(ax)− f(bx)
xdx =
� bε
aε
f(t)
tdt−
� bR
aR
f(t)
tdt.
��� �� ���� �������� �� ������ ������ ��������� ���� ������� � ���������������� ������� ��� ����� ��������
� bε
aε
f(t)
tdt = f(ξ1)
� εb
εa
dt
t= f(ξ1) log
b
a
�� ���� ξ1 ∈ [εa, εb]� ����������� �� ���� ����� �� ������ ����������� ��������� �� ��
� bR
aR
f(t)
tdt = f(ξ2) log
b
a
�� ���� ξ2 ∈ [aR, bR]� ����� ξ1 → 0 ��� ε → 0 � ξ2 → +∞ ��� R → +∞� ����������� ����� ����������� ��������
�� ����������� ������� ������ �� ������� �� ��� +∞
0
arctan (ax)− arctan (bx)
xdx =
π
2log
a
b�
� +∞
0
e−ax − e−bx
xdx = log
b
a
�� ��������� ������� a� b� �
Zadatak ��. �������� �� ��
� +∞
0
arctan(−ax)ax − arctan(−bx)
bx
xdx = log
a
b.
�� ��������� ������� a � b� �
Zadatak ��. ���� �� a � b ��������� �������� �������� �� ��� +∞
0
cos (ax)− cos (bx)
xdx = log
b
a
� ������ ������� �������� +∞
0
sin (px) sin (qx)
xdx =
1
2log
����p+ q
p− q
����
�� ��������� ������� p� q� �
Zadatak ��. �������� �� ��
� 1
0
tb−1 − ta−1
log tdt = log
b
a
�� ��������� ������� a� b� �
��� �� �������� ��������
��������� ��� �� ���������� ������������� ��������� �� ���� �������������� �� ���� ���� �������� �� ����� ������ � ���� ���������� ��� �������
lima→α
� c
a
f(x) dx � limb→β
� b
c
f(x) dx.
���� ������� �� ������� limδ→0+0
β−δ�α+δ
f(x) dx�
Primer ��. ���� �������
limb→+∞
� +b
−b
x dx = limb→+∞
x2
2
����+b
−b
= 0,
��������+∞�
−∞
x dx =
0�
−∞
x dx+
+∞�
0
x dx
���������� ��� ����������� ��� ��������� �� ������ ������� �
�����
v.p.
� β
α
f(x) dx := limδ→0+0
� β−δ
α+δ
f(x) dx,
��� �� α� β ������� ���������� ������ ���� � ������� α = −∞� β = +∞�
v.p.
� +∞
−∞f(x) dx := lim
T→+∞
� T
−T
f(x) dx,
������ �� glavnom vrednox�u ������������� ���������� ���� ��� � ������� ���
v.p.+∞�−∞
x dx = 0�
������������� ���� �� �� ���� ���������� ��������
f : [a, γ) ∪ (γ, b] → C.
���� ��� � b
a
f(x) dx =
� γ
a
f(x) dx+
� b
γ
f(x) dx
�� �� ����������� �������� �� ����� ������ ���������� ��� ������������ ������������ �� ������� �����
v.p
� b
a
f(x) dx := limδ→0+0
�� γ−δ
a
f(x) dx+
� b
γ+δ
f(x) dx
�
������ �� glavnom vrednox�u ������������� ���������� b
af(x) dx�
Primer ��. ��������1�
−1
dxx ���������� ��� �� v.p.
1�−1
dxx = 0� �
Zadatak ��. �������� ������������� �������� ���������
���
π2�0
tg x dx ���+∞�−∞
ex−ex dx ���+∞�0
dx√x4+x
���+∞�0
sin xxp dx� �
�� ������������ �������� ���
Zadatak ��. ���� �� f : [0,+∞) → R ���������� ��������� ����������������� �������� �� �� ������������� ���������
� +∞
0
f(x) dx
ne sledi �� ��
limx→+∞
f(x) = 0.
�� �� �� ������������� ���� ������������� ��������� ����� �� �� �������� f����������� �
��������� ������� �������� �� �� ������������ ��������� �� ���� ����������� ���������� ������� ������������� ����
�an ���������� ⇒ lim
n→∞an = 0.
�� ��� � ���� �� � ������� �������
Zadatak ��. ���� �� f : R → C ���������� ���������������� ����������������� �� �� ������������� ���������
� +∞
−∞|f �(x)| dx
����� �� �������
limx→+∞
f(x),
� �� �� ������������� ���������� +∞
−∞f(x) dx �
� +∞
−∞|f �(x)| dx
����� �� ��
limx→+∞
f(x) = 0.
��������� ���������
|f(x1)− f(x2)| =����� x1
x2
f �(x) dx
���� ≤� +∞
−∞|f �(x)| dx
� ������� ����� ������������ ������� �Zadatak ��. ���� �� f : [a,+∞) → R �������� ��������� ����� �� �����
���� � +∞
a
f(x) dx
����������� �������� �� ��
limx→+∞
f(x) = 0 � limx→+∞
xf(x) = 0.
��������� �� ��������� ������ �� ������������� ��������� �����
limx→+∞
� x
x/2
f(t) dt = 0,
� �� ��������� �������� f : [a,+∞) → [0,+∞) ��� x
x/2
f(t) dt ≥ 1
2xf(x).
��� �� �������� ��������
�� x > a� �
Zadatak ��. ���� �� f : (0, 1] → R �������� ��������� ����� �� ��������� 1
0
f(x) dx
�������������� �������� ��� ��� �������� f ���������� �������� ����� �� p = 0� ����
limn→∞
1
n
n�
k=1
f(k/n) =
� 1
0
f(x) dx.
��� �������� �� ��
limn→∞
n√n!
n=
1
e,
���� �������� ����� ������ ������� �� �� ���� ������������� ��� �� f ��������� � ���������� ���� ��
� k/n
(k−1)/n
f(x) dx ≤ 1
nf(k/n) ≤
� (k+1)/n
k/n
f(x) dx
�� 2 ≤ k ≤ n− 1� ������ ����� �� �� n > 2 ����
1
nf(1/n) +
� 1
1/n
f(x) dx ≤ 1
n
n�
k=1
f(k/n) ≤� 1
1/n
f(x) dx+1
nf(1).
�� ����� ���������� ��� ����� f(x) = log x� �
�� ������� ��������
� ���� ��������� ���� �������� ������� ��������� ����������� ������������������ ���������
���� ���������� ��������� ���������� ���� �� [a, b] ��������� � ��������� ��������� ������� ���� ������ P = {x0, . . . , xn}� ������ �� ��
a = x0 < x1 < · · · < xn−1 < xn = b
������ �� podelom ��������� [a, b]� ����� x1, . . . , xn �������� �� podeonim ta-qkama� � ��������� [xk−1, xk] podeonim intervalima ������ P �
������ P1 �� finija �� ������ P2 ��� �� P2 ⊂ P1� ��� ��� �� ����� ������������ ������ P2 ����������� � ������� ����� ������ P1�
���� �� ���� ������ P = {x0, . . . , xn} � ���� ��� �� 1 ≤ k ≤ n� Δk = xk−xk−1
������ ��������� [xk−1, xk]� ���� �� f : [a, b] → R ���������� �������� � ������
mk = infx∈[xk−1,xk]
f(x), Mk = supx∈[xk−1,xk]
f(x).
����
s(f, P ) =n�
k=1
mkΔk � S(f, P ) =n�
k=1
MkΔk
�������� donjom i gornjom Darbuovom sumom �������� f �� ������ P �
Lema ��. ���� �� ������ P1 ������ �� ������ P2� ���� ��
s(f, P2) ≤ s(f, P1) � S(f, P1) ≤ S(f, P2).
�� ������� �������� ���
� ������������� ���� �� ��
P2 = {x0, . . . , xn}, P1 = {x0, . . . , xj , ξ, xj+1, . . . , xn}.���� ������� ���� ����� �� ���������� ������������
infx∈[xj ,ξ]
f(x)(ξ − xj) + infx∈[ξ,xj+1]
f(x)(xj+1 − ξ) ≥ infx∈[xj ,xj+1]
f(x)(xj+1 − xj),
supx∈[xj ,ξ]
f(x)(ξ − xj) + supx∈[ξ,xj+1]
f(x)(xj+1 − ξ) ≤ supx∈[xj ,xj+1]
f(x)(xj+1 − xj).
����� �� ������ P1 ������ ��������� ������� ����� ������ ������ P2� ��������� ���������� ����������� ������� ���� ���� ���������� �� ���� ������������ �
Posledica �. ���� �� P1 � P2 ���������� ������ ��������� [a, b]� ������ s(f, P1) ≤ S(f, P2)�
� ���� �� P ����� ������ P1 � P2� ��� ������ ���� �� ������� ����� ��� ������������ ������ P1 � P2� ������ P �� ������ �� ������ P1 � P2� �� �� ������������� �����
s(f, P1) ≤ s(f, P ) � S(f, P ) ≤ S(f, P2).
����� ���� ����� �� ��������� ������������ s(f, P ) ≤ S(f, P )� ��� ��������� ��������� ����� �� �� ����
{s(f, P ) | P ������ ��������� [a, b]}��������� ������ ���� ����� ������ ��������� ����� ��� �� ������ ����������������� ��� ��������� ������� ����
{S(f, P ) | P ������ ��������� [a, b]}�� ��������� ������ ���� ����� ����� ��������� ������ �� ��� ����������������
� b
af(x) dx := supP s(f, P ) �
� b
af(x) dx := infP S(f, P ).
�������� �� gornjim i donjim Darbuovim integralom �������� f �
Definicija �. ���������� �������� f : [a, b] → R �� integrabilna poRimanu ��� �� � b
a
f(x) dx =
� b
a
f(x) dx.
� ��� �������� ���������� �������� ������ � ����� ��������� ��������� �����
���� Rimanovim integralom �������� f � ���������� ��b�a
f(x) dx�
�� ���������� �������� f : [a, b] → C ������ �� �� ������������ �� ������� ��� �� ����� �������� Re f � Im f � � ��� �������� ��� ������� ���������� � b
a
f(x) dx =
� b
a
Re f(x) dx+ i
� b
a
Im f(x) dx. ����
������� ������� �������� �� �� ��������� �������� ����� �������� b
a��
������� � ������� ���������
Teorema �. �� ���������� �������� f � ������� �������� ������ �� �����������
��� �� �������� ��������
� �� ���� ������ �� ������� ������������ �������� ������ � �������������� �� �� ���������� �� ������ ������ ��������� ����������� ����������
��� ������ Pn� ���� �� �P1 = P1� �P2 = �P1 ∪ P2� � � � � �Pk+1 = �Pk ∪ Pk+1� �� �����
k� �� ���� �� ����� �� �� ������ s(f, �Pn) � S(f, �Pn) ��������� �� ��
limn→∞
s(f, �Pn) = supn
s(f, �Pn) ≤ infn
S(f, �Pn) = limn→∞
S(f, �Pn). ����
��� �� �������� f ����������� �������� � ����� �� �� ��� ������� �������������� ���� ��� �� ������ � ����� �� �� ���������� ��������� ��������� ������������� ���� ����� �� �� �� ������ � ���������� �
Zadatak ��. ���������� ���� � ����� ������� ��������
� b
a
χQ(x) dx �
� b
a
χQ(x) dx
���������� ��������
χQ(x) :=
�1 �� x ∈ Q
0 �� x /∈ Q.
�� �� �� ���������� �������� ������������ �� ������� �
Teorema �. (Darbuov kriterijum integrabilnosti) ���������� ��������� f : [a, b] → R �� ������������ �� ������ ��� � ���� ��� �� ����� ε > 0������� ������ P ��������� [a, b] ����� �� ��
S(f, P )− s(f, P ) < ε.
� ������������� ���� �� �� f : [a, b] → R ������������ �� ������� ���� ��
supP
s(f, P ) = infP
S(f, P ) =
� b
a
f(x) dx.
���� �� ε > 0� ���� ������� ������ P1 � P2 ����� �� ��� b
a
f(x) dx− s(f, P1) <ε
2� S(f, P2)−
� b
a
f(x) dx <ε
2,
�� �� S(f, P2)− s(f, P1) = S(f, P2)−� b
af(x) dx+
� b
af(x) dx− s(f, P1) < ε� ����
�� P ����� ������ P1 � P2� �� ���� �� ����� S(f, P )− s(f, P ) < ε�������������� ���� �� �� ����� ε > 0 ������� ������ P ��������� [a, b]
����� �� �� S(f, P )− s(f, P ) < ε� ���� ��
� b
a
f(x) dx−� b
a
f(x) dx < S(f, P )− s(f, P ) < ε.
����� �� ε ����������� ������ ����� �� �� ����� ������� �������� ������������ �
��������� �� �� ������� � ������ ��������� �� ������� �� �� �� ������������������ ������������ �� ������� ������� ���� �� f : [a, b] → R ������������������ � ���� �� ε > 0� �� ��������� ������� ����� ���� ����� �� �� f��������� ����������� ��
(∃δ > 0) |x− y| < δ ⇒ |f(x)− f(y)| < ε
b− a.
�� ������� �������� ���
���� �� ���������� ������ P : a = x0 < x1 < · · · < xn−1 < xn = b ����� �� ��Δk < δ �� ����� k ���� Mk −mk < ε
b−a � �� ��
S(f, P )− s(f, P ) =n�
k=1
(Mk −mk)Δk <ε
b− a
n�
k=1
Δk =ε
b− a(b− a) = ε,
���� ����� ������� �� ����� �� �� f ������������ �� ������� ������� ���������� �������� ��� ������� � �������� �� ������� �������� ������ ����������������
Posledica �. ���� �� f : [a, b] → C ���������� �������� ���� ��� ������������ ������ �������� ���� �� f ������������ �� �������
� �� ���� ����� �� ������� ������������ �������� ������ � ���������� ������ �� ���������� �� ������ ������ ��������� ���� �� ε > 0� ���� �� [x1, y1]�� � � � [xm, ym] ��������� ���� ������ ����� �������� ����� �� ��
m�
k=1
(yk − xk) <ε
4 supx∈[a,b]
|f(x)| .
�� ��������� ������� ����� �� �� �������� f ��������� ���������� �� �����
A = [a, x1] ∪ [y1, x2] ∪ · · · ∪ [ym−1, xm] ∪ [ym, b], ����
��
(∃δ > 0)(∀x, y ∈ A) |x− y| < δ ⇒ |f(x)− f(y)| < ε
2(b− a).
�������� ����� �� ��������� � ���� �� ������������ ������ ���� �� δ� ��������� ������� ����� �� z1� � � � � zn� ���� �� P ������ ��������� [a, b] ������������ ������ z1� � � � � zn� x1� � � �xm� y1� � � � � ym� ���� ��
S(f, P ) − s(f, P ) =n�
k=1
�sup
x∈[zk,zk−1]
f(x)− infx∈[zk,zk−1]
f(x)�(zk − zk−1)+
+m�
k=1
�sup
x∈[yk,xk]
f(x)− infx∈[yk,xk]
f(x)�(yk − xk)
< ε2(b−a)
n�k=1
(yk − yk−1) + 2 supx∈[a,b]
|f(x)|m�
k=1
(yk − xk) <ε2 + ε
2 = ε.
����� ���� ����� �� ������� �� �
Posledica �. ���� �� f : [a, b] → R �������� ��������� ���� �� f ������������� �� �������
� ���� �� ε > 0� ���� �� P = {x0, x1, . . . , xn} ������ ��������� [a, b] �� �������� Δk < ε
|f(b)−f(a)| �� ��� k� �� ����������� �������� f ����� �� �� ���
x, y ∈ [a, b] ���� Mk −mk = |f(xk)− f(xk−1)| �n�
k=1
��f(xk)− f(xk−1)�� =
����n�
k=1
�f(xk)− f(xk−1)
�����,
��� �� �������� ��������
�� ��
S(f, P )− s(f, P ) =n�
k=1
(Mk −mk)Δk
< ε|f(b)−f(a)|
n�k=1
��f(xk)− f(xk−1)��
< ε|f(b)−f(a)|
����n�
k=1
�f(xk)− f(xk−1)
�����= ε
|f(b)−f(a)| (|f(b)− f(a)|) = ε.
������ ����������� �� ����� ����� �� ������� �� �
���� ����� � �������� ������� ���� �� P ������ ��������� [a, b] ���������� �������
a = x0 < x1 < · · · < xn = b.
��������
λ(P ) := max1≤j≤n
|xj − xj−1|
������ �� ���������� ������ P ����� �� ξ = (ξ1, · · · , ξn) n������ ������ ���� ������������ ξj ∈ [xj−1, xj ]�
��� (P, ξ) ������ �� ������� �� ���������� �������� ���� ��
σ(f, P, ξ) :=n�
j=1
f(ξj)(xj − xj−1).
������ �� ��
J = limλ(P )→0
σ(f, P, ξ)
��� �� ����� ε > 0 ������� ����� δ > 0� �� �� ����� ������ �� ����������������� (P, ξ) ���� �� ��������� λ(P ) < δ ���� |J − σ(f, P, ξ)| < ε�
��������� ����
s(f, P ) ≤ σ(f, P, ξ) ≤ S(f, P ). ����
Zadatak ��. �������� �� ����
s(f, P ) = infξσ(f, P, ξ) S(f, P ) = sup
ξσ(f, P, ξ). ����
��������� ���� � ���� �������� �� �� �������� f ������������ �� ������ ��[a, b] ��� � ���� ��� ������� lim
λ(P )→0σ(f, P, ξ)� �
�� ���������� ������� �������� ������������ ���������� ��������� �����������
� b
a
f(x) dx = limλ(P )→0
σ(f, P, ξ). ����
��������� �� ��� ���������� ��� ������ � �� �������� �� ����������� ������ C�
�� ������� �������� ���
���� ������� ���� ����� ��������������� ���� S ⊂ R �� ���� Lebe-gove mere nula ��� �� ����� ε > 0 ������� ������� ���������� ����������������� ���������
�(an, bn)
�n∈N
����� �� ��
S ⊂�
n∈N
(an, bn) �
∞�
n=1
(bn − an) < ε.
Primer ��. ������� ���� �� ���� �������� ���� ����� ������� ��� ��S = {s1, . . . , sk} � ε > 0� ���� �������� ��������� Ij = (s1−2−j−1ε, s1+2−j−1ε)�1 ≤ j ≤ k ������� S� ���� �� |Ij | ������ ��������� Ij � ���� ��
�j
|Ij | =�j
ε2j <
ε. �
Lema ��. ���������� ����� ������� �������� ���� ���� �� ���� ���� �����
� ���� ���Sk}k∈N ���������� �������� ������� ���� ���� � ε > 0� ���
��� �� ����� �� ������� Sk �������� ���� ����� �� ����� k ������� ������������������ ���������
�Ikj }j∈N ����� �� ��
Sk ⊂�
j∈N
Ikj �
∞�
j=1
|Ikj | <ε
2k,
��� �� |Ikj | ������ ��������� Ikj � ���� ���
k∈N
Sk ⊂�
k∈N
�
j∈N
Ikj
� ∞�
k=1
∞�
j=1
|Ikj | <∞�
k=1
ε
2k= ε,
��� ����� �� ���
k∈N Sk ���� �������� ���� ����� �
����������� �� ���� �� � ������� �� ����� �� �� ����� ��������� �������� ����� � �������� ������� ��������� ����� ����������� ���� ������������ �����
Primer ��. � ������� �� �� ���� �� ��� ������������ �������� ����� ��������� ������� Cn ��������� ������������� ��������� �������� ������������������� �� �� ����� �� ������� Cn ����� 2n ���������� ��������� �� ������� ����� ������ ( 13 )
n� ���� �� �� ���� ������ ���� ��������� ���� �� ����� Cn
������ ( 23 )n� ����� ( 23 )
n → 0 ��� n → ∞� ����� �� �� �������� C ���� ��������� ���� �� ����� �� �� C ���������� � ������ ����� ������ �� �� �� C��������� � ������ ������������� ��� ������� �� �� ���� ���� �
Primer ��. �������� [a, b] ���� ���� �������� ���� ����� ������� ������������ ���������� �������� (an, bn) ��������� ���� ������� [a, b] �����n(bn − an) ≥ b− a� �
Lema ��. ���� �� [a, b] ��������� �������� � S ⊂ [a, b] �������� ��������� �� S ���� �������� ���� ���� ��� � ���� ��� �� ����� ε > 0 �������������� �������� ��������� (a1, b1)� � � � � (am, bm) ����� �� ��
S ⊂ (a1, b1) ∪ · · · ∪ (am, bm) �
m�
k=1
(bk − ak) < ε.
��� �� �������� ��������
� �� ���������� ����� �������� ���� ���� ����� �� ������� ���������� ��������� ��������� {In}n∈N ���� ������� ���� S � ���� �� ������ ������ ���� �� ε������ �� S ��������� ����� ���������� [a, b] \ S �� �������� �� ��� �� ����������� ��������� ����� ����������� �� �� ���� ���� ���� ����������� ��� �������������� ��������� {Jλ}λ∈Λ� ��������� {In}n∈N� {Jλ}λ∈Λ �������� ����������������� ��������� [a, b]� �� �������������� ������� �������� ����� �� ���� ���� ���� ��������� ������� ������������� ��������� Ik ���� ����� ��� ������������ �������� ������� ��������� ����� S � ������ ������ �� ������ �� ε� �
� ��������� � ��� ������ �� �� ���������� �������� ���� ��� ������������ ������ ������� ������������ �� ������� � � ��������� � �� � ���������� ���������� ����� ������� ���� �� ���� ������������ �� ������� ��������� �������� �� �������� ��������� � ������ �� ��� � ��������� �� ����� �������� ���������� ����� ������ ������� �������� � �� ���� ����� � ������� �������� ��� ������ �������� ����� �� ����� ����� ����� ������� ��� ������������ �� �� ���� ���� � ���� ���� ������������ �� �������
���� ���� ���������� ����������� ���� ������ ������������� � ���������������� �� �������
Teorema �. (Lebegova teorema o integrabilnosti) ���������� ��������� f : [a, b] → C �� ������������ �� ������ ��� � ���� ��� �� ���� ������������ ���� �������� ���� �����
� ����� �� ����� ��� ����� �������� ���� ���� ���� �������� ���� ��������� ���� �� ���� ����� �� ��� ������� ���� �� ������ � ���������� ������������� ��������� ��� ���� � �� ���� ��������� ���������� �� ���� �������� ������ ��������� ���� �� S ���� ������� �������� f : [a, b] → R�
������������� ���� �� �� f ������������ � �������� �� �� S ������������ ����� �� ��������� � �� ���� ��� ����� �� �� S ���� ������ x ∈ [a, b] ������� �� ���������� ω(f, x) �������� f ���� �� ����� ����������� S ��� �����
S =∞�
n=1
Sn,
��� �� Sn = {x ∈ [a, b] | ω(f, x) ≥ 1n}� �� ���� �� ����� �� �� ������� ��������
�� �� ����� �� ������� Sn �������� ���� ���������������� ���� Sn0
� ���� �� ε > 0� ����� �� f ������������� ����������� ����������� ��������������� �������� �� ����� �� ������� ������P = {x0, x1, . . . , xm} ��������� [a, b] ����� �� ��
S(f, P )− s(f, P ) <ε
n0.
���� ��
K := {k ∈ N | (xk−1, xk) ∩ Sn0�= ∅}.
�� ������
Mk = supx∈[xk−1,xk]
f(x), mk = infx∈[xk−1,xk]
f(x),
�� k ∈ K ����
Mk −mk ≥ 1
n0,
�� ������� �������� ���
������ �����
1
n0
�
k∈K
(xk − xk−1) ≤�
k∈K
(Mk −mk)(xk − xk−1) < S(f, P )− s(f, P ) <ε
n0.
������ �������� �
k∈K
(xk − xk−1) < ε. ����
��������� �� ��������� {(xk−1, xk)}k∈K ��������� ���� V = Sn0\ T � ��� �� T
���� ������ �� Sn0���� �� ������� ����� ������ P � �� ���� ����� �� �� ����
V �������� ���� ����� ����� �� ��������� �� �� � T ���� �������� ���� ���������� �� �� � Sn0
⊂ V ∪ T ���� �������� ���� ������������������ ���� �� �� S ���� �������� ���� ����� ����
Sε = {x ∈ [a, b] | ω(f, x) ≥ ε
2(b− a)}
�� �������� ������� ��������� [a, b]� ������� ��� �� x0 ∈ [a, b] \ Sε� ���� ��ω(f, x0) <
ε2(b−a) � �� ������� δ > 0 ����� �� ��
sup{f(x) | |x− x0| < δ}− inf{f(x) | |x− x0| < δ} <ε
2(b− a),
�� �� (x0 − δ, x0 + δ) ⊂ [a, b] \ Sε� ������ ����� �� �� [a, b] \ Sε �������� �� �� Sε
����������� Sε ⊂ S ����� �� �� Sε ���� �������� ���� ���� ��� �� ������ ���� ���
������� ������� �������� (a1, b1)� � � � � (ak, bk) ��������� ��������� ����� ����
Sε ⊂k�
j=1
(aj , bj) �
k�
j=1
(bj − aj) <ε
4 supx∈[a,b]
|f(x)| . ����
����� �� �� t ∈ [a, b] \�kj=1(aj , bj)
ω(f, t) <ε
2(b− a),
�� ����� t ∈ [a, b] \�kj=1(aj , bj) ������� �������� It ����� �� �� t ∈ It �
supx∈It
f(x)− infx∈It
f(x) <ε
2(b− a). ����
����� �� ���� [a, b] \�kj=1(aj , bj) �������� ������� ��������� [a, b]� �� ������
����
J =�It | t ∈ [a, b] \
k�
j=1
(aj , bj)�
������ �� ��������� ������� ������������ It1 � � � � � Itr ��� ����� ���� �������� �� P ������ ��������� [a, b] ���� �� ������� ����� ����� a1� b1� � � � � ak� bk� �������� ����� ��������� It1 � � � � � Itr � �� ��� ������ ������
S(f, P )− s(f, P ) < ε. ����
������� ������������ ���� S(f, P )−s(f, P ) =�
(Mj−mj)(xj−xj−1) �� ��� ������� ����� ���� �������� �������� ����������� (aj , bj) � ����� ����������� Itj �� ����������� ���� �� ���� � ���� �� ����� �������� ����� ����� ������� ��� ����� �� �� �������� f ������������ �� ������� �
��� �� �������� ��������
��������� �� �� ��������� � � � ���� ������ � ��� ��������� �����������������
Zadatak ��. �������� �������� ������� � ��������������� �������� ��������������� �������� �������� �� ������� �� �� ���� ��� � ������������������ �� ������� �� �� ���� ���� ��������� �������� �������� �� ��������� �� �� ���� ���� �
���� ��������� ����� ����������� �� ����������� ������ ������ [a, b] ⊂ R ��������� ��������� �� ���������� ��������� ��������� ��
� b
a
1 dx = supP
n�
k=1
1 ·Δk = b− a,
���
������ ��������� [a, b] =
b�
a
1 dx. ����
���������� ����� ������ ������ ��������� ������ �� �������� �� ������������� ���� �� S ⊂ R � ���� ��
χS(x) :=
�1 �� x ∈ S
0 �� x /∈ S
��������������� �������� ����� S� �������� χS �� �������� � ������ ��������� ∂S ����� S ��� ���������� �� �� ���� ��� � ���������� � ���� ��������������� ������� ������������� �� ��
x ∈ ∂S = S ∩ (R \ S).����� �� ���������� ��������� ����� ����������� �� �� ���� ���� � ������δ�������� ����� x ������� ����� x1 ∈ S � x2 ∈ R \ S� ����� �� ����
χS(x1)− χS(x2) = 1,
�������� χS �� ���������� ������� ����� � ����� x� �� �� �������� � ��������� �������� ���� ����
x /∈ ∂S = S ∩ (R \ S).�� ���������� ��������� ����� ����� �� ������� δ > 0 ����� �� �� (x−δ, x+δ) ⊂S ��� (x − δ, x + δ) ⊂ R \ S� � ����� ������� �� χS ≡ 1 �� (x − δ, x + δ)� � ������� χS ≡ 0 �� (x − δ, x + δ)� � ��� ������� �������� χS �� ���������� ������ x�
���� �� [a, b] �������� ���� ������ ���� S� �� ������� � ����� �� �� χS
������������ �� ������ �� [a, b] ��� � ���� ��� �� ��� ∂S ���� �������� ��������� � ��� �������� ���� S ������ �� merljivim u �ordanovom smislu� �����
µ(S) :=
� b
a
χS(x) dx ����
������ �� �ordanovom merom ����� S��� ���� ��� �������� � ��������� �������� ���������� �� ����������
���� �� ���� S ⊂ R ���������� ��������� ���� � f : S → C ����������� ��������� �������� �������� f �� ����� S ������������ ��� ��������
�� ������� �������� ���
�������� ���� �� ������� �������� f �� ����� S � ������� ���� ��� ����� S������������ ���� ��
�
S
f(x) dx :=
� b
a
f(x)χS(x) dx, ����
��� �� [a, b] ���� ���� �������� ����� �� �� S ⊂ [a, b]� ������� �������� �������� ������ � ���� �������� �������� �� integralom funkcije f po skupu S��� ��� ����������� ��������� ���� ���� ����� ���� �� �� ������ ���
µ(S) =
�
S
1 dx,
���� ������� �� ����� �������� �� �� ��������� ���� ��������� ������ �������������� ���� �������� �� �� ��� ���������� ������ ��� �� �� ������ �� ��������������� [a, b] ���� ������ ���� S�
Lema ��. ���� �� S ⊂ [a1, b1] � S ⊂ [a2, b2] � ���� �� f : S → C ����������� ��������� ���� �� �������� f · χS ������������ �� ������ �� ���������[a1, b1] ��� � ���� ��� �� ������������ �� ��������� [a2, b2] � ����
� b1
a1
f(x)χS(c) dx =
� b2
a2
f(x)χS(c) dx.
� �������� f · χS ���� �� ���� �������� � ������� ������� �������� f �� ������� ����� ∂S� ������� �� ������ �������� ������� � ��������������������� �� �� �������� f · χS ������������ �� ������ �� ��������� [a1, b1] ���� ���� ��� �� ������������ �� ��������� [a2, b2]�
���� �� �P1 � �P2 ������ ��������� [a1, b1] � [a2, b2]� ���� �� P1 ������ ������
���� [a1, b1] ���� ������ ��� ����� ������ �P1 � ����� ������ �P2 ���� �������������� [a1, b1] ∩ [a2, b2]� �� ������ ����� ������������ ������ P2 ���������
[a2, b2]� ��������� ������ ������ �P1 ���� ��������� ����� [a1, b1]∩[a2, b2] �������P2� �������� f · χS �� ������� ���� ��� ��������� [a1, b1] ∩ [a2, b2]� ����
S(f · χS , P1) = S(f · χS , P2).
������ P1 �� ������ �� ������ �P1� � ������ P2 �� ������ �� ������ �P2� �����
�� ��� ������������ ������ �� ���������� ������ �P1 � �P2� ����� ���� ������� ���� �� � ���������� ��������� ���������� �
Zadatak ��. ��� �������� �� �� ��������� ���� ����� S ⊂ [a, b] ����������� ��� � ���� ��� �� ����� ε > 0 ������� ������� �������� ��������� (a1, b1)�� � � � (an, bn) ����� �� ��
S ⊂ (a1, b1) ∪ · · · ∪ (an, bn) �
n�
k=1
(bk − ak) < ε.
���������� ��� �� �������� ���� ������ ����� ������� ������ ��������� [a, b]����� �� �� ����� �������� ���� �������� χS ����
�Mk)Δk < ε��
��� ���� �� ���� S ��������� ���� ����� �������� �� �� S �������� ���������
��� �������� �� �� Q ∩ [a, b] ���� �������� ���� ����� ��� �� ���� ������� ���������� ������� ���������� �������� �� �� ∂Q = R�� �
��� �� �������� ��������
���� �������� ��������� ���������� �� ������� � ����� �� �� ��� ��������� ��������� ��������� ������� �� ������� �������� neprekidne ������������������ ���� ���� �������� ��������� ��������� ���� ���� �� ������������������ ������������ �� �������
Lema ��. ���� �� S ⊂ R ��������� ���� � ���� �� �������� f : S → C �g : S → R ������������ �� ������� ���� ��������
�
S
f(x) dx
���� ≤�
S
��f(x)�� dx.
��� �� � f ������ � ��� �� f(x) ≤ g(x) �� ����� x ∈ [a, b] ���� ���
S
f(x) dx ≤�
S
g(x) dx.
� �� ���������� ��������� �� ����������� ����� ����� �� ������ �� �������������� �� �� S = [a, b]� ����� ���� ����� �� ������������� ��������� ��������� ����� �
Lema ��. ���� �� S ⊂ R ��������� ����� ���� �� �������� f : S → C �g : S → C ������������ �� ������ � ���� �� λ ∈ C� ���� ���
S
�f(x) + g(x)
�dx =
�
S
f(x) dx+
�
S
g(x) dx,
�
S
λf(x) dx = λ
�
S
f(x) dx.
� �� ���������� ��������� �� ����������� ����� ����� �� ������ �� �� ����������� �� ������ S = [a, b]� � �� ���� �� ������ �� ������������� �� �� f �g ������ ���������
����� �� f � g ������������ ��������� �� ����� ε > 0 ������� ������ P��������� [a, b] ����� �� ��
s(f, P ) >b�a
f(x) dx− ε2 , S(f, P ) <
b�a
f(x) dx+ ε2 ,
s(g, P ) >b�a
g(x) dx− ε2 , S(g, P ) <
b�a
g(x) dx+ ε2
�� sup(f + g) ≤ sup f + sup g, inf(f + g) ≥ inf f + inf g �����
s(f + g, P ) ≥ s(f, P ) + s(g, P ) >b�a
f(x) dx+b�a
g(x) dx− ε,
S(f + g, P ) ≤ S(f, P ) + S(g, P ) <b�a
f(x) dx+b�a
g(x) dx+ ε,
�� ��
b�
a
f(x) dx+
b�
a
g(x) dx− ε <
b�
a
�f(x) + g(x)
�dx <
b�
a
f(x) dx+
b�
a
g(x) dx+ ε.
����� �� ε ����������� ���� �� �������� ���� ���������� ������ �� ��������� ������ �
Lema ��. ���� �� �������� f : [a, b] → R ������������ �� ������� �������� � b
a
f(x) dx =
� c
a
f(x) dx+
� b
c
f(x) dx
�� ����� c ∈ [a, b]�
�� ������� �������� ���
� ����� �� f(x) = f(x)(χ[a,c](x) + χ(c,b](x))� �� �������� �� ���� �� �����
b�a
f(x) dx =b�a
(f(x)χ[a,c](x) + f(x)χ(c,b](x)) dx
=b�a
f(x)χ[a,c](x) dx+b�a
f(x)χ(c,b](x)) dx
=�
[a,c]
f(x) dx+�
(c,b]
f(x) dx
=c�a
f(x) dx+b�c
f(x) dx.
� ��������� ������ ��� ��������� ����������
(c,b]
f(x) dx =�
[c,b]
f(x) dx ����
���� ����� �� ���������� ��������� ���������� �
Zadatak ��. ���� �� a > 1 � f : [1, a] → C ���������� ������������������������� �������� �� ��
� a
1
[x]f �(x) dx = [a]f(a)−[a]�
k=1
f(k),
��� �� [x] ��� ��� ������� ����� x� �
Zadatak ��. �������� �� ��� �� n ∈ N�
� n+1
1
sin (πx)
[x]dx = − 2
π
n�
k=1
(−1)k−1
k.
�
� ������� � �� ���� ������ ��� ������ ���� �� ����������� ������������������ �������� �� ������ �������� ���� �������� ���� � �� ������������� ��������� ��� �� ������������� ���� � ������� � ������ �� �������������� ����������� ���� ������� ��������
Teorema ��. ���� �� f : [a, b] → C ������������ ��������� ���� �� ���������
F (x) =
� x
a
f(t) dt
���������� �� [a, b]� ��� �� �������� f ���������� � ����� x0� ���� �� F���������������� � ��� ����� � ���� F �(x0) = f(x0)�
� ����� �� f ������������� ��� �� ����������� ��� ���� |f(x)| ≤ M �� ����M ∈ (0,+∞)� �� ��
|F (x+ h)− F (x)| =
����x+h�a
f(t) dt−� x
af(t) dt
���� =�� x+h�
x
f(t) dt��
≤x+h�x
|f(t)| dt ≤ M |h|,
������ ����� �� �� F �����������
��� �� �������� ��������
���� �� �������� f ���������� � ����� x0� ���� ��
��F (x0+h)−F (x0)h − f(x0)
�� =�� 1h
x0+h�x0
f(t) dt− 1h
x0+h�x0
f(x0) dt��
=�� 1h
x0+h�x0
�f(t)− f(x0)
�dt��
≤ 1h
x0+h�x0
|f(t)− f(x0)| dt
≤ supt∈[x0,x0+h]
|f(t)− f(x0)|.
����� �� �������� f ���������� � ����� x0� �������� ����� ���� ���� ���h → 0� �
������� ������� �� �������� ��������� � �� ���� ����
Teorema ��. ���� �� ϕ : [α,β] → [a, b] ���������� ���������������� ����������� ϕ(α) = a� ϕ(β) = b � ���� �� f : [a, b] → C ������������ ��������� ������ � �������� f(ϕ(t))ϕ�(t) ������������ �� [α,β] � ����
� b
a
f(x) dx =
� β
α
f(ϕ(t))ϕ�(t) dt.
� ����� �� �������� f ������������� �� �������� ������� � �������������������� �� �� ���� ����� ������ ������� ���� ����� ����� �� ϕ ��������������������������� ����� �� �� � ���� ������� �������� f(ϕ(t))ϕ�(t) ���� ������� ��� ���� �� ��������� �������� � ��� �������������
����� �� ϕ ���������� ����� ��������� �� ����� ������ P : α = t0 < t1 <. . . < tn = β ����� xj = ϕ(tj) �������� ������ ��������� [a, b]� �������� ��������� �� Pϕ� �� ���������� ������������� �������� ϕ � ϕ−1 �����
λ(P ) → 0 ⇔ λ(Pϕ) → 0,
��� �� λ(·) ��������� ������ ��� �������� ��� �� ���� ����� �������� ����������� ������� �� ������� ���������� σ(f, P, ξ) ���������
f(ξj)|xj − xj−1| =�
f ◦ ϕ(τj)|xj − xj−1| =�
f ◦ ϕ(τj)ϕ�(τj)|tj − tj−1|,��� ���� �� ����� ξj �������� ���� �� �� ξj = ϕ(τj)� ��� �� τj ����� ���������������� ���������� ������� �� �������� ϕ �� ��������� [tj , tj−1]� ����������� ������� ��������� ���������� ��������� �� ����� ��� λ(P ) → 0 ���������� ���� �� ���� ����� �
���� ������������ ������� ��������� ������� �������� ��� ����������� �� ���������� �������� ���� �� ������������ �� ������ �� �������������������� [a, b]� ������������ ������� �������� �� ������ �� ��������������������� ��� ������������ ��������� ��� �� �������� f : [a, β) → C ������������� �� ������ � ���������� �� ������ ��������� [a, b] ⊂ [a,β)� �����
� β
a
f(x) dx := limb→β
� b
a
f(x) dx ����
�������� nesvojstvenim Rimanovim integralom �������� f � ��� ���� ��������� � ��������� β = ∞ ��� lim
x→β|f(x)| = +∞� ������� ����� ���� ����
���� ������ �� �������� ���� ����������� � ��������� ������ �� ����������
�� ���������������� �������� ���
������������ ������� �������� �� ���������� ����������� ������� ������������� ������� �������� �� ���� ������������� � ������ �������� �������������� ��������� ��������� �������� �� �� ������� ���� ����� ��� � �������� ��������� ����������
�������� ������ ���� � � ���� �� ����������� �� ������� ����������������������� ��������� � ��������� ������� ���� � �� ������������ ����������������
�� ���������������� ��������
���� ���������� ������������������ ���������� ����� �� ��������� ��������� ��������� �� ������������������ ��������� ���� �� ���������� ������� ������
���� �� α : [a, b] → R �������� � f : [a, b] → R ���������� ��������� �������� P = {x0, x1, . . . , xn} ��������� [a, b] ����������
Δαk := α(xk)− α(xk−1)
�
s(f,α, P ) =
n�
k=1
mkΔαk, S(f,α, P ) =
n�
k=1
MkΔαk,
��� �� mk := infx∈[xk−1,xk]
f(x)� Mk := supx∈[xk−1,xk]
f(x)� ������� ������
� b
a
f(x) dα(x) := supP
s(f,α, P ) �
� b
a
f(x) dα(x) := infP
S(f,α, P ).
Definicija �. ��� ��
� b
a
f(x) dα =
� b
a
f(x) dα.
��� �������� �������� Riman–Stiltjesovim integralom�������� f �� ����
����� α � ����������b�a
f(x) dα(x) ���b�a
f dα� ���� ���� ���������� ������
������� ������� �� �� ������� �� �� ���� � ������������������� � �� ���
�������� ���������� ��������� ������ (S)b�a
f(x) dα(x)�
��� �� f : [a, b] → C ���������� ���������� ��������� ��� ����������������� �������� �� ��������� �������� α : [a, b] → R ��
� b
a
f dα :=
� b
a
Re f dα+ i
� b
a
Im f dα,
������� ��������� �� ������ ������ ��������
Napomena �. �� ������ ����������� �������� α� �� ������������������� α ����� ���� ������������� (∀x ∈ [a, b])α(a) ≤ α(x) ≤ α(b)� ������� �� ���������� ���������������� � � �������� �������� �� ograniqene�������� f � α� ��� ������ ����������� �� α� ���� �� ����� �������� f � α �
���������� �T. J. Stieltjes� ����������� ��������� �����������
��� �� �������� ��������
���������� �������������� ��� �������� b
af dα ���� ������� �
� b
aα df � ����
��������� ���������� ������������� b
a
f dα+
� b
a
α df = f(b)α(b)− f(a)α(a)
������� ������� �� ������ �������� ����� �� ������ ������� � ������������������������������ ��������� ������ �� �������� �������� ����� �������� ���������� ���������� ������������ �� ���� �� �������� �� ����� �
�������� ������� �������� �� ���������� ������ ������������������� ���������� α(x) = x�
��� � ������� ��������� ���������������� �������� ���� �� �� ��������� ��� ����� � �������� ������� ��� ���������� �� �������� ���������� ������ ���� ������� � b
a
f(x) dα = limλ(P )→0
σ(f,α, P, ξ), ����
������� �� ������� ����� �� ������� ��� �������
• f �� ����������� ���• α �� ���������� � �������
�f dα�
������ ����������� σ(f,α, P, ξ) � ������������� ���� � ���������� �� ��������� ���� ������� ���� �� ����� �� �������� ������ ��� ��������� ����������
Zadatak ��. ��������� ���� �������� ��������� ���������� �������������� �������� �� ���������� ��� �� P = {x0, . . . , xn} � ξ = (ξ1, . . . , ξn)� ���������� ��
σ(α, f, P, ξ) = f(x)α(x)|ba − σ(f,α, Q,χ),
��� �� Q = {a, ξ1, . . . , ξn, b}� χ = (x0, x1, . . . , xn) � �� λ(P ) → 0 ⇔ λ(Q) → 0��������� �� ������ ����� ������� �� �������� ��� �
� ������� ������� �� �������� �� ���� ����� ��� ������� � �� ���� �������
Teorema ��. �������� ���������� ���������������� ����������������� ��������
b�
a
f(x) dα(x),
��� �� f : [a, b] → R ���������� � α : [a, b] → R �������� ��������� ���������� � ���� ��� �� ����� ε > 0 ������� ������ P ��������� [a, b] ����� �� ����
|S(f,α, P )− s(f,α, P )| < ε. ����
Posledica �. ��� �� f : [a, b] → R ����������� � α : [a, b] → R �������
��������� ���� �������� b
af dα�
� ���� �� ε > 0� ���� ������� h > 0 ����� �� �� (α(b)− α(a))h < ε� ����� �� f���������� ���������� �� [a, b] ��� ���������� ��������� ������� δ > 0 �������
|x− y| < δ ⇒ |f(x)− f(y)| < h.
����� �� α �������� ���� ��������� ��������� � ���� �� �������� ��� � ��� ����������� �������� ���� ���� ���� �� ������ �������� ����� ������ ����� �� �� ������ ���������������� ��� �� α ���������� ���� �� −α ��������
�� ���������������� �������� ���
������ ����� �� �� ����� ������ P �� ���� �� λ(P ) < δ ���� Mk −mk < h� ����
S(f,α, P )− s(f,α, P ) =n�
k=1
(Mk −mk)Δαk ≤ hn�
k=1
Δαk = h(α(b)− α(a)) < ε.
������� �� ������ ������� ��� ����� �� �������� b
af dα� �
Posledica �. ��� �� f : [a, b] → R ��������� � α : [a, b] → R ������� �
���������� ��������� ���� �������� b
af dα�
� ���� �� ε > 0 � n ∈ N ����� �� ���� α(b)−α(a)n (f(b)−f(a)) < ε� �� ���������
����� �������� α ����� �� ������� ������ P ����� �� �� Δαk = α(b)−α(a)n �
������������� ��� ��������� �������� �� �� f ������� ��������� ���� ��Mk = f(xk) � mk = f(xk−1)� �� ��
S(f,α, P )− s(f,α, P ) = α(b)−α(a)n
n�k=1
(f(xk)− f(xk−1))
= α(b)−α(a)n (f(b)− f(a)) < ε.
��� �� ������ ������� ��� ����� �� �������� b
af dα� �
Posledica ��. ���� �� f : [a, b] → [A,B] ���������� � α : [a, b] → R
������� ��������� ��� �������� b
af dα� ���� �� ����� ���������� ��������
ψ : [A,B] → R �������� b
aψ ◦ f dα�
� ���� �� ε > 0� �� ���������� ������������� �������� ψ �� [A,B] ����� ��������� δ > 0 ����� �� ����
|x− y| < δ ⇒ |ψ(x)− ψ(y)| < ε
� �� �� ε > δ� ����� �������� b
af dα� �� ������� �� ����� �� ������� ������
P = {x0, . . . , xn} ��������� [a, b] ����� �� ��
S(f,α, P )− s(f,α, P ) < δ2. ����
���� ��
mk := minx∈[xk−1,xk]
f(x), Mk := maxx∈[xk−1,xk]
f(x),
m∗k := min
x∈[xk−1,xk]ψ ◦ f(x), M∗
k := maxx∈[xk−1,xk]
ψ ◦ f(x).
���� ��
S := {k | Mk −mk < δ}, T := {k | Mk −mk ≥ δ}.�� ���� �����
δ�
k∈T
Δαk ≤�
k∈T
(Mk −mk)Δαk ≤ δ2,
�� ��
S(ψ ◦ f,α, P )− s(ψ ◦ f,α, P ) =�k∈S
(M∗k −m∗
k)Δαk +�k∈T
(M∗k −m∗
k)Δαk
≤ ε(α(b)− α(a)) + 2 sup |ψ(y)|δ< ε((α(b)− α(a)) + 2 sup |ψ(y)|).
�������� ���� ����� �� ������� ��� �
��� �� �������� ��������
���� �������� ������������������ ���������� ���� �� α : [a, b] → R� β : [a, b] → R �������� � f : [a, b] → C � g : [a, b] → C ���������� ���������
��� ��� �� µ ∈ C � ��� �������� b
af dα �
� b
ag dα� ���� ������� �
� b
a(f+g) dα
�� b
a(µf) dα � ����
� b
a
(f + g) dα =
� b
a
f dα+
� b
a
g dα,
� b
a
(µf) dα = µ
� b
a
f dα.
��� ��� �� f � g ������ � (∀x ∈ [a, b]) f(x) ≤ g(x)� � ��� �������� b
af dα �� b
ag dα� ���� ��
� b
a
f dα ≤� b
a
g dα.
��� ��� �� a < c < b � ��� �������� b
af dα�
� c
af dα �
� b
cf dα ���� ��
� b
a
f dα =
� c
a
f dα+
� b
c
f dα.
��� ��� �� (∀x ∈ [a, b]) |f(x)| ≤ M � ��� �������� b
af dα� ���� ��
�����
� b
a
f dα
����� ≤ M(α(b)− α(a)).
��� ��� �������� b
af dα �
� b
af dβ� ���� ������� �
� b
af d(α+ β) � ����
� b
a
f d(α+ β) =
� b
a
f dα+
� b
a
f dβ.
��� ��� �������� b
af dα � ��� �� c > 0� ���� ������� �
� b
af d(cα) �
� b
a
f d(cα) = c
� b
a
f dα.
��� ��� �������� b
af dα �
� b
ag dα� ���� ������� �
� b
a(f · g) dα�
��� ��� �������� b
af dα� ���� ������� �
� b
a|f | dα � ����
�����
� b
a
f dα
����� ≤� b
a
|f | dα.
Zadatak ��. ���� ��
f(x) =
�0, �� x ∈ [−1, 0]
1, �� x ∈ (0, 1],α(x) =
�0, �� x ∈ [−1, 0)
1, �� x ∈ [0, 1].
�������� �� ���������� 1
−1
f dα =
� 0
−1
f dα+
� 1
0
f dα ����
�� �������� ��� �� ����� ������ 0
−1f dα = 0 =
� 1
0f dα = 0� �
� 1
−1f dα �
������ ���� �� ���� ��� �� �������� �� �� ���� �������� ������� � ���������������� � �� ���� ����
�� ���������������� �������� ���
��������� ��������� �� ������ ������ � ���� ���� �� �� ���������� ������������� ����������� ��������� �� ����� ������ � ������ ���� ����� ���������� �� ����� ������ P ����� �� 0 /∈ P ����
S(f,α, P )− s(f,α, P ) = 1.
��������� ���� �������� �� �������� ��� ���������� �� ��� �� ���� �� ���� ��� ���� ���������� ��������� ���
������� ������������ ���������� ������ ������ � ����� ��������� �������������� ������� �������� �� �������� ���������� ������������������ ����������� ���� � ���� �� ���� ��� � ������ ������� ���� ���� �������� �������������� ��� ��� ���� ������������ ���������� ��
���� ������� ������������������ ��������� �� �������� ��������� �� �� ���������������� �������� �������� ���������� �� ���� �� ����� ��α(x) = x� ������� ������� ���� ��� ����� ������ ������� ��������������������������� �� ��������
Teorema ��. ���� �� �������� f : [a, b] → C ������������ �� ������ � α :[a, b] → R ������� ���������������� ��������� ����� �� �� dα
dx ������������
�� ������� ���� �������� b
af dα � ����� b
a
f dα =
� b
a
fdα
dxdx.
� �������� ���������� ������� �� �������� α ���������
j
f(ξj)(α(xj)− α(xj−1)) =�
j
f(ξj)α�(cj)(xj − xj−1)
=�
j
f(ξj)α�(ξj)(xj − xj−1)+
+�
j
f(ξj)(α�(ci)− α�(ξj))(xj − xj−1).
�������� f �� ����������� � α� ������������� ��� ��� ��������� �� �������������� ���� ������ �������� ������� ��������� ���������� ������ ���������� ��������� �� ����� � �������� ������� �
Napomena �. ������� �� � ������� �� ���� ��� ��� ����� ����� ����������������� ����������� �� ������� ��������� ��������� �� �� ��� ����� �������� �� ��������������� �������� ��� �� ���� ����������� � �������������������� ���������� �
Teorema ��. (Prva teorema o srednjoj vrednosti za Riman–Stil-tjesov integral) ���� �� f : [a, b] → R ����������� � α : [a, b] → R ���������������� ���� ������� ����� c ∈ [a, b]� ����� �� ��
� b
a
f dα = f(c)(α(b)− α(a)).
� ���� �� M = sup[a,b] f � m = inf [a,b] f � ���� ��
m(α(b)− α(a)) ≤� b
a
f dα ≤ M(α(b)− α(a)).
��� �� �������� ��������
������ ����� �� �� � b
a
f dα = θ(α(b)− α(a))
�� ���� θ ∈ [m,M ]� �� ������������� �������� f ����� �� �� f(c) = θ �� ����c ∈ [a, b]� �
Teorema ��. (Druga teorema o srednjoj vrednosti za Riman–Stil-tjesov integral) ���� �� f,α : [a, b] → R �������� �������� � ���� �� α����������� ���� ������� ����� c ∈ [a, b]� ����� �� ��
� b
a
f dα = f(a)[α(c)− α(a)] + f(b)[α(b)− α(c)].
� �� ���� ������� � ������� ��������� � ������� ���������� ������������������� ��� �����
� b
a
f dα = f(b)α(b)− f(a)α(a)−� b
a
α df
= f(b)α(b)− f(a)α(a)− α(c)(f(b)− f(a))
�� ���� c ∈ [a, b]� ������ �� ���������� ������ ������� �������� �Zadatak ��. ������� ������� � ������� ��������� �� ������� ��������
�� ������� � ������� ��������� �� ����������������� �
Zadatak ��. ��������� ���������� ������������������ ��������� ��������� � �������� ������� �������� ������� �������� ������� � ����� ����������� � ��������� ���������� ���� �� f,ϕ : [a, b] → R ���������� ������������� �� �� �� ϕ ������ �������� � ���� �� ψ = ϕ−1 ���� �������� ������������� �� � b
a
f(x) dx =
� ϕ(b)
ϕ(a)
f(ψ(t)) dψ(t),
��� �� �� ����� ������ �������� � �� ������ ���������������� ��������� ��������� ��� �������� ��������� �� dψ �� ������ ������ ���������� ������� � ������� ������������� �� �� ψ ����������������� ������� �� ψ ������������������ ��� ������� ����� ��� ���������� ������� ������� � ����� ����������� ��������� ���������� �
���� �������� ���������� ����������� ���� �� f : [a, b] → K ����������� �� ��������� [a, b] ⊂ R �� ����������� � ���� K ∈ {R,C}� ��� ��
P : a = t0 < t1 < · · · < tn = b
������ ��������� I� ��� ������ �� ���������� ����
V ba (f ;P ) = |f(t0)|+
n�
k=1
|f(tk)− f(tk−1)|.
������� ���������� �������� f �� ��������� [a, b] �� ����
Varba (f) := supP
V ba (f ;P ).
������� �� ���� ���� �������� �������� f �������� ��������� ���������� ������������
�� ���������������� �������� ���
��� �� K = R� ����� �������� ���������� ���������� f : [a, b] → R ��������� ��� �������� ���������
f(t) =Vartt0 (f) + f(t)
2− Vartt0 (f)− f(t)
2.
���� � �������� ��� �� f = f1 − f2 �� �������� �������� f1 � f2� ���� �� f�������� ���������� �����������
��� ������� ��� ��������� �� ���������� � ������� ������ �� ���������������� �������� � �������� ��������� ��������� �� �������� �������������������� �� ����������� � C�
Zadatak ��. �� �� ��
F : [0,+∞) → R, F (x) =
� x
0
sin t
tdt
�������� ���������� ����������� �
Zadatak ��. ���� �� f : [0, 2π] → R �������� ���������� ���������� �������������� f(0) = f(2π)� �������� �� ��
����� 2π
0
f(x) cos(nx) dx
���� ≤1
nVar2π0 f.
�
Zadatak ��. ��������� ������ �������� x �→ Varxa f ��� ��
��� f : [−2, 2] → R� f(x) = 3x2 − 2x3� a = −2���� f : [0, 2] → R� f(x) = [x]− x� a = 0� �
Zadatak ��. ����������� 5
0xd([x]− x)� �
Zadatak ��. ���� �� g : [a, b] → R �������� ���������� ����������� ����������� � ����� ξ ∈ [a, b]� � ���� �� f : [a, b] → R �������� ���������� ��f(ξ) = 1 � f(x) = 0 �� x �= ξ�
��� �� �� ������� ���������� ��������� b
af dg� ��� �������� ����������
������ �� �� �� ������� � ��� ���� ��� ���������� ����� �������������
�������� g � ����� ξ� �
Zadatak ��. ���� �� ��������
ρ(x) =
�1, x ≥ 0
0, x < 0,χ(x) =
�1, x > 0
0, x ≤ 0,η(x) =
1, x > 0
0, x = 0,12 x < 0.
���� �� f : [−1, 1] → R ���������� ���������
��� �������� �� ���������� ��������� 1
−1f dρ ������� ��� � ���� ��� �� f
���������� �� ����� ������ � ���� � ���������� �� � ��� ��������
��� �������� �� ���������� ��������� 1
−1f dχ ������� ��� � ���� ��� �� f
���������� �� ���� ������ � ���� � ���������� �� � ��� ��������
��� �������� �� ���������� ��������� 1
−1f dη ������� ��� � ���� ��� �� f
���������� � ���� � ���������� �� � ��� ��������
��� �� �������� ��������
��� ���� �� {ξn}∞n=1 ��� � (0, 1)� {λn}∞n=1 ��� ����������� �������� ������� ���
�∞n=1 λn ���������� � g(x) =
�∞n=1 λnρ(x − ξn)� �������� ��
�� ����� ���������� �������� ψ : [0, 1] → R ����� 1
0
ψ dg =∞�
n=1
λnψ(ξn).
�������� ��������� �������� �� ���������� �������� �������� �������� �
Zadatak ��. ���� �� f, g : [a, b] → R ���������� ���������
��� ���� �� ��� ����� �� �������� f, g ���������� � ����� c ∈ (a, b)��������� �� �� ������������ ���������
� c
a
f dg �
� b
c
f dg
����� ������������ ���������� b
a
f dg.
��� �� �� ��� ���� � ��� �� ��� �������� �������� � ����� c� �
�� ��������� ������������ �������� ������ ���������
� ����� � ��� ������ ��������� ����������� �������� ������ ����������� ������� ���������� � �� ���� ���� �������� �� ��������� ������� ����������������� � ����� �� ��� ���� �� ���������� ����������� �������� ���������� ����������� ��������� ���� ������� ������� �� ��� ������ ���� � ������������ ��� �� �� ���������� ���������������� � ����������������� ������������ � ���� ���������� ���� ��������� ������� ���������� ��� ���� �� ������������������ � ������� ��������������� ��������� ������� ��������� ������������ ��� ��� ������ ������������ ������� ��� �������� ��������� xn = a������� ����� ������� �� �� ���� ���� ��� ��� �� ��������� �� ����������er �� r ∈ Q� ����� ���� ������ ������ ������� ���������� ���������� ex ����� x ∈ R� �������� �� �� ��������
f : R → (0,+∞), f(x) = ex
��������� � ���������� ��� ��������� ������������ ���������� ������� ����������������� ��������� ������� ��������� ��� ��������
���� �� ����������� �� ��������� ���� ���������� � �������� ������������������ �������� �� ����� ���� ������������� ����� ���������� ����� � ������������ ����� ������� ���������� �� �� ���� ���� �� �������� ��������� ��������� ����������� ��� ������� ��������� � ������ ���� ���������� ��������������� ��� �������� ������ ���������� ������� ������ ��� ���������������� ������ � �������� ��� ���������� ����� ���������� ����� �� ������������ ���� � ����� � ���������� ������� ����������������� � �������������������������� ���������
� ����� � ��� ������ ���� ����������� �������� ���� �� �� �������� ����������� ����� ������ �������� ������ ������� ���������� �� �� ���� ���� ���������� �� ��� ���� ��������� �� �� �� �� ���� ����� ������������������� ������ ���������� ��������� � �� ���������� ������
�� ��������� ������������ �������� ������ ��������� ���
�������� ���� ���� ����������� �������� ���� �� �� �������� �� ��������������� ��� ��� ��������� �� �� ���������� �������� ����� ����������� ������ ����� �� ���� ���� �� ����� �� ��� � �������� f(t) = 1/t� ��������� ������ �� ���������� �������� ��������� ���
log x :=
� x
1
1
tdt, �� x > 0. ����
�� ������� ������� ����������� ������ ����� ���� ����� �� �� ����� ����������� �������� ���������������� ������������ � ������������ ��������������� �� ������ ������� ��������� ���� ��������
d
dxlog x =
1
x> 0, ����
������ ����� �� �� ������������ �������� ������ �������� ��� ����� �� ����� ��������� ������ �������� ������� �� �������� ������� �������� ��������������� ���� ������������ �������� �� ����� ����������� ���� x = 1� ��� �������� ������� �
log 1 =
� 1
1
1
tdt = 0.
�� ������������ ���������� 1
0
1
tdt �
� +∞
1
1
tdt
����������� �� ��
limx→0+
log x = −∞ � limx→+∞
log x = +∞. ����
������ ���������� ������������ �������� ������ �� ����������� � ������ ������������ ���������� ����� e� ��� ������������ ������ ���������log x = 1� ��������� �� ��� ��������� ��� ������� ����� �� ���� � �������������� ����� �� ��������� ����� ��� ������ ���������� � �� �� ��� ������������������ ���� ������ ����������� ����������
�� ����������� � ������������� ��������� ����� �� ��
log : (0,+∞) → R
���������� �� ��� �������� ��������� �� ��� ����� ������� �������� ��������� ��������� ���������� �� ���������� �������� x �→ ex ��� ���������������� ����� �� ������� �� ����� �������� �������� ��������
d
dxex = ex.
� ���� �������� ��������� ������������� � ���������������� �������������� ������� ���������� �������� ����� �� ����� �������� ���� � ������������������ ������ ������ ��� �������� ������� ������� ���������� ���������������� �������� ��������
log (xy) = log x+ log y �� ��� x, y > 0.
���� �� y > 0 ���������� ��������� �
h(x) = log (xy)− (log x+ log y).
��� �� �������� ��������
�������������� ��������
h�(x) = y1
xy− 1
x= 0.
����� �� h(1) = log y − (log 1 + log y) = 0� � �������� h �� ���������� ����������������� �� ���������� �� ���������� ������� ����� �� �� h ≡ 0�
Zadatak ��. �������� �� �� log (ab) = b log a �� a > 0� �Zadatak ��. �������� �� ��� ���������� ����� e ��� ������������ ������
��������� log x = 1 �������� �� ��
e = limh→0
(1 + h)1/h. ����
��������� �� ���� ����� �� �� (log)�(1) = 1� �� ���������� ����� ������ ��
(log)�(1) = limh→0
log (1 + h)− log 1
h.
������� ������ ����� ��� ������ ����� ��� ��������������� � ������������� � ����������������
�������� ������ �� ���������� ������ ���������� ���� �������
arctanx :=
� x
0
1
1 + t2dt
������ �� ���������� �������� ����� �������� �������������� �� ������������� ��������
(arctanx)� =1
1 + x2> 0,
������ ����� �� �� ����� ������� ������ �������� ��������� �� ��� ������������ ��� ������ �� ���������� ��������� ��� ��� ��� ������ ������ ��������� ������ �� ���������� � ������ ���������������� ��������� �� ������������ �� ���� � ������������ ���������� ����� π� ���� ��� ������� ���������� ���� ������ ������� ���������� ���� ��� ���� � ������ ���������� ���� ���� ����
�� ���� ������������
�� ������ ����� ��� ������� �� �� ���� �� �������� �� ������� ��������
Teorema ��. (Koxi–Xvarcova nejednakost za integrale) ���� ��I ⊂ R �������� �
f, g : I → C
������������ ��� ������� ��������� ����� �� ���
I
|f(x)|2 dx < +∞,
�
I
|g(x)|2 dx < +∞. ����
���� �� �
I
|f(x)g(x)| dx ≤��
I
|f(x)|2 dx�1/2��
I
|g(x)|2 dx�1/2
, ����
��� ���� ��������� ���� ��� � ���� ��� ������� λ ∈ C� ����� �� ��
f(x) = λg(x)
�� ��� x ∈ I�
�� ���� ������������ ���
��� � � ������� ������������� ������������ �� ������� ����� ��� �������� ��� ������������ ��������������� ���� �� R2(I) ���� ���� �������� ������ ������������ �� ������ �� ��������� I � ������������ ����� ���� �� R2(I)��������� ������� �� ���� �� ��
�f, g� :=�
I
f(x)g(x) dx
��������� �������� ��������� � ��
�f� :=��
I
|f(x)|2 dx�1/2
�� ���� �������� ������ �������� ����������� ����� ���� ���� ���� �� �������� � ������
|�f, g�| ≤ �f� · �g�,����� �� �� �������� �������� ������� �� ������ ���� �� ��������� �������������� ��� ���� ��������� ���� ��� � ���� ��� �� ������� �����������
��������� ������� ��� ��������� � ���� ������� �� �� ���� ��� �� �����
Teorema ��. (Helderova nejednakost za integrale) ���� �� p, q > 1������ �������� ����� �� ��
1
p+
1
q= 1,
I ⊂ R �������� �
f, g : I → C
������������ ��� ������� ��������� ����� �� ���
I
|f(x)|p dx < +∞,
�
I
|g(x)|q dx < +∞.
���� �� �
I
|f(x)g(x)| dx ≤��
I
|f(x)|p dx�1/p��
I
|g(x)|q dx�1/q
,
��� ���� ��������� ���� ��� � ���� ��� ������� λ ∈ C� ����� �� ��
f(x) = λg(x)q−1
�� ��� x ∈ I�
����� �� �������� ������������ ���� ��������� � ������� �� �� ���� ������������� �� ������� �� ������ ��� � ����� ������� ���������� � ���� �������� �� �� ���� ���
Posledica ��. (Nejednakost Minkovskog za integrale) ���� �� p > 1� ���� ��
f, g : I → C
������������ �������� ���������� �� ��������� I ⊂ R� ����� �� ���
I
|f(x)|p dx < +∞,
�
I
|g(x)|p dx < +∞. ����
���� ����
I
|f(x) + g(x)|p dx�1/p
≤��
I
|f(x)|p dx�1/p
+
��
I
|g(x)|p dx�1/p
. ����
��� �� �������� ��������
����������� ���� ��� ������� ������������ ��������������� ���� �� Rp(I)���� ���� �������� ���� �� ������������ �� ������ �� ��������� I � ������������� ����� ���� �� Rp(I) ��������� ������� �� ���� �� ��
�f�p :=
��
I
|f(x)|p dx�1/p
���������� ������ �������� ����������� ���������� ���� �� �� ������ �������
�f + g�p ≤ �f�p + �g�p,��� �� ������� ����������� ��������
Zadatak ��. (Jangova nejednakost za integrale) ���� ��
f : [0, a] → [0, f(a)] ⊂ R
������ ������� ���������� �������� ����� �� �� f(0) = 0 � ���� ��
f−1 : [0, f(a)] → [0, a]
���� �������� ��������� �������� �� ��
xy ≤� x
0
f(t) dt+
� y
0
f−1(t) dt
�� ��� x ∈ [0, a]� y ∈ [0, f(a)]� ���� ������������ �������������� ��� ��������������
��������� ���� ��
h(x) :=
� x
0
f(t) dt+
� f(x)
0
f−1(t) dt− xf(x).
��������� �� �� h�(x) = 0 �� ��� x ∈ [a, b]� �
Zadatak ��. �������� ������� �� �� �������� f(x) = xp−1 �� p > 1�������� ��������� �� ������� �� �� ���� ����
�
�� �����
��� ����������� π
0
sin3 x cosx
1 + cos2 xdx
��� ����������
� 0
−1
log (√1− x−
√1 + x) dx.
��� ����������� 1
0
log (√1− x+
√1 + x) dx.
��������� ������ ����� x = cos 2t�
�� ����� ���
��� ���� �� a1, a2, . . . , an ��������� ��������� ����������� �������� �� ��
n�
j,k=1
xkxj
� 1
0
sak+aj ds =
� 1
0
� n�
i=1
xisai
�2
ds.
��� �������� �� �� �������
A =
�1
1 + aj + ak
�
1≤j,k≤n
�������������� ���� �� �� detA �= 0���������� �� ���� �� ��� ��������� �� �� ���������� ������ �������
x1, x2, . . . , xn ��������� �� ���� ���� �����������n�
j,k=1
xjxk
1 + aj + ak> 0.
��� ���� �� f : [−a, a] → C ����� ��������� �������� �� ��� a
−a
f(x)
1 + exdx =
� a
0
f(x) dx.
��� ���� �� f : [0,+∞) → R ���������� ��������� ����� �� ��
(∀x ≥ 0) 0 < f(x+ 1) < f(x) � limx→+∞
f(x) = 0.
���� ��
an =
� n+1
n
f(x) dx.
�������� �� ���∞�
n=0
(−1)nan
�������������� ���� ��
In =
� π/2
0
cosn x dx.
��� �������� �� �� I0 = π/2� I1 = 1���� ��������� ���������� ����������� �������� �� ��
In =n− 1
nIn−2.
��� ���������� �������� �� ��
I2nI2n+1 =1
2n+ 1
π
2.
��� �������� �� ��
Im ≤ Im−1 ≤ Im−2 =m
m− 1Im
� ������� �� ������� ���� �� ��
limn→∞
√nI2n =
√π
2.
��� �� �������� ��������
��� ��������� ����� ���� �� ���� ��� �������� �� ��
� 1
0
(1− x2)n dx ≤� 1
0
e−nx2
dx ≤� 1
0
dx
(1 + x2)n.
������� ������ �������� �� ��
√nI2n+1 ≤
� √n
0
e−t2 dt ≤ √nI2n−2,
��� �� In �������� �� ����� ���� �������� ��������� �� ����� ����������� �� �� � +∞
0
e−t2 dt =
√π
2.
��� �� ��� ����� ����� �� �� �������� �������� �������� �� �������� �� �� ���� ����
��� ���������� � π
−π
cosx
1 + exdx.
���� �������� ������������� ����
∞�
n=1
(−1)n1√n
� n
0
e−x2
dx.
���� ���� �� f : [1/2, 3/2] → C ���������� ���������������� ����������������� �� ���
∞�
n=1
� 3/2
1/2
f(x) sin (nx) dx
��������������� ����������
limn→∞
2 + 4 + 6 + · · ·+ 2n
n2� lim
n→∞
�1
n+ 1+
1
n+ 2+ · · ·+ 1
2n
�.
���� ���� �� f : [0, 1] → (0,+∞) ���������� ��������� �������� �� ������� n ∈ N ������� ����������� ξ(n) ∈ R ����� �� ��
1
n
� 1
0
f(x) dx =
� ξ(n)
0
f(x) dx
� �������� �� ��
limn→∞
nξ(n) =1
f(0)
� 1
0
f(x) dx.
��������� �������� ���� �� �� ξ(n) > 0 � �� ξ(n) → 0 ��� n → ∞������ ��
� 1
0
f(x) dx = nξ(n)1
ξ(n)
� ξ(n)
0
f(x) dx
������� ������� ���������
�� ����� ���
���� �������� �� �� ����� n ∈ N ������� ����������� ξ(n) ∈ [1,+∞) ������� ��
1√n
� n
1
�1 +
1
x
�x
dx =
� ξ(n)
1
�1 +
1
x
�x
dx
� �� ��
limn→∞
ξ(n)√n
= 1
���� �������� �� ��
π
6<
� 1
0
dx√4− x2 − x3
<π√2
8.
���� �������� ��������
f(x) = x
�π
2− arctan
1
x
�
� �������� ��� ������� �������� �� ������� �������� �������� f−1
� ���������� � π4
0
f−1(y) dy.
���� ���� �� f : [0, 1] → R ������ ������� ��������� ����� �� �� f(0) = 0�� ���� �� f−1 ���� �������� ��������� �������� �� ��
(∀x ∈ [0, 1])
� x
0
f(t) dt+
� f(x)
0
f−1(s) ds = xf(x).
���� �������� �� ��� x
0
�� s
0
f(t) dt
�ds =
� x
0
(x− s)f(s) ds.
���� �������� y = f(x) ���� �� ���������� ��
x =
� y
0
dt√1 + 4t2
.
�������� ���� ������������ ���������� �� �� ����� ����� f �� ��������������� �������� f � ���� ��������� ������������������ ���������� ����������� ����� �� f(x)�
���� ���� �� f : [0,+∞) → [0,+∞) ���������� ��������� ����� �� �� ��������� ������ ����� ������� � x���� �� ��������� [0, c] �������
c2
2+
c
2sin c+
π
2cos c,
�� ����� c > 0� ���� f(π/2)����� ���� ������ �����
y =
� x
0
�cos (2t) dt, 0 ≤ x ≤ π
4.
���� �������� ������������ a
0
�1 + cos2 t dt >
�a2 + sin2 a
��� �� �������� ��������
���� �������� �� �� �������� ������ ����� y = 1/x � x���� �� ���������[1, 2] ���� ��� � �� ��������� [10, 20]� �������� �������� �� �� ��������� ������ �� ����� � x���� �� ��������� [a, b] ��� 0 < a < b� ������� � �� ��������� [ha, hb]� �� ��� h > 0�
���� �� ���� ��������� ��������� p ��������� +∞
1
�px
1 + x2− 1
2x
�dx
����������� ���������� �������� �� �� ��������� p����� ����������
limn→∞
n�
k=1
n
�1 +
k
n.
���� ����������
limn→∞
� 1
0
ntn−1
1 + tdt.
���� ����������∞�
n=0
� n+1
n
dx
1 + x2.
���� �������� ������������� ������
an =
� n
0
dx
xp� bn =
1
n
� n
0
dx
xp.
���� �������� �� ��
In =
� 1
0
log (1 + xn) dx
��������� ��� ���� ���������� �� ��������� ���� ��
In =
� 1
0
xn arctanx dx.
����������lim
n→∞n(π − 4(n+ 1)In).
���� �������� ������������� ���������� �� ��
Γ(x) =
� +∞
0
tx−1e−t dt.
�������� �� �� ��� �������� ���������� �� x > 0� �������� �� ��Γ(n+ 1) = n!�
���� ���� ��
f(x) =
� x
0
arctan1
tdt.
��� �������� �������� f � �������� ��� ���������� ���� �� A = [0,+∞)� �������� ���� B = f(A) � �������� ��
����������� f |A : A → B ��� ���������� �������� ������������g : B → A�
��� ����������
limy→+∞
g(y)
y� lim
y→+∞g(y)1/y.
�� ����� ���
��� �������� ������������� ����
∞�
n=0
g(n)xn.
���� ���� ��
In =
� π/4
0
tann x dx, n ∈ N.
��� �������� �� �� ��� In ����������� �������� �� ��
1
2(n+ 1)< In <
1
2(n− 1)�� n > 1.
��� �������� ������������� ����
∞�
n=1
Ipn logq
�n+ 1
n
�
� ���������� �� ������� ���������� p � q����� ���� ��
In =
� 1
0
xn sin (πx) dx, Jn =
� 1
0
xne√x dx
�������� ������������� �������
In ��
Jn����� ���� �� f : [0, 1] → C ���������� ��������� �������� �� ��� π
2
0
f(sinx) dx =
� π2
0
f(cosx) dx �
� π
0
xf(sinx) dx =π
2
� π
0
f(sinx) dx.
���� ���� �� cn ����������� ��� ������� �������� � f : [a,+∞) → [0,+∞)��������� ��������� �������� �� ���
∞�
n=2
f(cn)(cn − cn−1)
���������� ��� ������� �������
limx→+∞
� x
a
f(t) dt,
� ���∞�
n=2
f(cn−1)(cn − cn−1)
��������� ��� ��
limx→+∞
� x
a
f(t) dt = +∞.
���� ���� �� f : [0, 1] → [0,+∞) ����������� ���������� ��������� ������� �� � x
0
f(t) dt ≥ f(x)
�� ����� x ∈ [0, 1]� �������� �� �� f ≡ 0�
��� �� �������� ��������
���� ���� �� f : [a, b] → R ���������� ��������� ����� �� ��� b
a
f(x) dx = 0.
�������� �� ������� c ∈ (a, b) ����� �� ��
f(c) =
� c
a
f(x) dx.
���� ���� �� f : [0, 1] → R ��������� ��������� �������� �� ��� a
0
f(x) dx ≥ a
� 1
0
f(x) dx
�� ����� a ∈ [0, 1]����� ���� �� f : [0, 1] → R ���������� �������� �� ���� ��
� 1
0
f(x) dx = 0 �
� 1
0
xf(x) dx = 0.
�������� �� f ��� ��� ��� ��������� �������� �� �� ������� ���������� ����������� �������� f : [0, 1] →
[0,+∞) ����� �� ��� 1
0
f(x) dx = 1,
� 1
0
xf(x) dx = a,
� 1
0
x2f(x) dx = a2.
���� ���� �� f : [0,+∞) → R ���������������� ��������� ����� �� ��
|f �(x)| ≤ 1 �
� 4
0
f(x) dx = 0.
�������� �� ��
f(4) =1
4
� 4
0
tf �(t) dt � f(x) ≤ x+ 2
�� ��� x ≥ 4����� ���� �� f : [0, 1] → [0,+∞) ����������� ���������� �������� �������
��� ����� �� �� f(0) = 1� �������� �� ��� 1
0
xf(x) dx ≤ 2
3
�� 1
0
f(x) dx
�2
.
��������� ������ ����� t = λx � ��������
F (x) =
� x
0
f(t) dt
�� ��������� ���������� � f(0) = 1 �������� �� ��
F (x) ≥ x
2(1 + f(x)).
������� �� ����� ���������� ������������ ��������� �� ��� 1
0
xf(x) dx ≤ F (1)− 1
4− 1
2
� 1
0
xf(x) dx.
���� �������� ������������� ���������� 1
0
log1 + x
xdx.
�� ����� ���
���� �������� �� ��������� +∞
0
dx
xp + xq
���������� ��� � ���� ��� �� min{p, q} < 1 < max{p, q}����� �������� �� ��������
� +∞
0
dx
(1 + x2)(1 + xp)
���������� � �� ������ �������� �� ������ �� p����� �������� �� ��������
� 1
0
xp
1 + xq sinxdx
���������� ��� � ���� ��� �� p > min{−1, q}����� �������� ��������� � ������� ������������� ����
�cn ��� ��
��� cn =� 1
0x cos (nx) dx
��� cn = (−1)n� 1
0xn arctan (x/n) dx�
��� cn = (−1)n� n+1
n−1(1 + x3)−1 arctanx dx�
��� cn = (−1)n� 2n
n(x5 + n)−1/2 dx�
��� cn =� n2
n(1 + x4)−1 dx�
���� ���� �� f : [1,+∞) → [0,+∞) ������ ���������������� ������������� �� ��
(∀x > 1) f ��(x) ≤ 0 ≤ f �(x).
�������� �� ��
∞�
n=1
�� n+1
n
f(x) dx− f(n) + f(n+ 1)
2
�≤ f(2)− f(1)
2.
��������� ��������� ���������� �������� f �������� �� ��
f(n) + f(n+ 1)
2≤
� n+1
n
f(x) dx
� f(x) ≤ f(n+ 1) + f �(n+ 1)(x− n− 1)� ����������� �����������
f(k + 2)− f(k + 1)− f �(k + 1) =1
2f ��(ξk) ≤ 0,
���� ����� �� ��������� ������� � ������������ � ������ ���������������
���� ���� �� f, g : R → R ������ ��������� ����� �� ���������� +∞
−∞(f(x))2 dx �
� +∞
−∞(g(x))2 dx
������������� �������� �� ��������� +∞
−∞f(x)g(x) dx
��������� �����������
��� �� �������� ��������
���� ���� �� f : R → R ������ ���������������� �������� �� ������������ ������ �������� ����� �� ���������
� +∞
−∞(f (n)(x))2 dx, n = 0, 1, 2
������������� �������� �� ��� +∞
−∞(f �(x))2 dx+
� +∞
−∞f ��(x)f(x) dx = 0.
���� ���� �� f : [a,+∞) → R ������ ���������������� �������� ����� �����������
� +∞
a
(f(x))2 dx �
� +∞
a
(f ��(x))2 dx
������������ � �� ���� ����
(∃M) (∀x ≥ a) |f(x)f �(x)| ≤ M.
�������� �� ��������� +∞
a
(f �(x))2 dx
��������������� ���� �� a� b� p� q ��������� �������� �������� �� ��
���+∞�0
e−ax sin (ax)−e−bx sin (bx)x dx = 0�
���+∞�0
e−ax cos (ax)−e−bx cos (bx)x dx = log (b/a)�
���+∞�0
1x log p+qe−ax
p+qe−bx dx = log (1 + qp−1) log (ba−1)�
���+∞�0
��ax+pax+q
�n
−�
bx+pbx+q
�n�dxx = (1− (p/q)n) log (a/b)�
���+∞�0
sin(ax+p)−sin(bx+p)x dx = sin p log (b/a)�
���+∞�0
cos(ax+p)−cos(bx+p)x dx = cos p log (b/a)�
��������� ����������� ������ �� �� ���� �������� ����������
� +π/2
−π/2
1
2013x + 1· sin2014 x
sin2014 x+ cos2014 xdx.
��������� ������ ��� +π/2
−π/2=
� +π/2
0+� 0
−π/2� � ������ ���������
������ ����� t = −x����� ���� ��� ���������� �������� f : [0,+∞) → (0,+∞) ���� ���������
���� �����
(∀x > 0) 2x
� x
0
f(t) dt = f(x).
�� ����� ���
���� ���� �� ζ(s) �������� ���� �������� ������� ������ �� �� ���� �����µ(n) ���������� �������� ������� ���� �� ���� ���� �
M(x) =�
n≤x
µ(n).
�������� �� ��
ζ(z) = z
� +∞
1
[x]
xz+1dx �
1
ζ(z)= z
� +∞
1
M(x)
xz+1dx
�� Re(z) > 1�