enastava.matf.bg.ac.rs - π 10enastava.matf.bg.ac.rs/~milinko/integral.pdf" + - 4 % # Zadatak 9. $ !...

67
π 3 10 71 < π < 3 10 70 . Teorema . A C B AB AC AC 4 3 ABC Eνδoξoς Aντιϕων V

Transcript of enastava.matf.bg.ac.rs - π 10enastava.matf.bg.ac.rs/~milinko/integral.pdf" + - 4 % # Zadatak 9. $ !...

Page 1: enastava.matf.bg.ac.rs - π 10enastava.matf.bg.ac.rs/~milinko/integral.pdf" + - 4 % # Zadatak 9. $ ! lim n→∞ 17 +27 +···+n7 n8 Zadatak 8. $ ! lim n→∞ 1 nk+m+1 n −1 j=1

����� �

�������� ��������

������ �� �� �� ������� �� ����� ������ ������ ����������� ���� �������������� ����� �� �������� ������ ������ ���������� ������ ���� ����������������� ���� �� ���� ����� ����� ��� ��� ���������� ������� �� �� ���������� ���� �� ���� ����� ����� ������� � ������ ���������

������� �� �������� ���� ����� ��� ������������ �������� ����� ������������� � ����� � ��� ��� ��������� �� ��� ��������������� �������� ��������������� �������� ��������� ����� ����� �� ���� π

310

71< π < 3

10

70.

������� �� � ���������� ������� � �������� �������� ���������

Teorema �. ���� �� A � C ����� �� �������� � B ���������� ����� ��

���� �AB� �������� ������ ���� �AC � ������ AC ������� �� 43 ��������

������� ABC�

��������� ������� ��������� ��������� �� ��������� �� ���� ������� �������� ����������� ���� ������ � ���� �� ��������������� �������� ������������� �������� ���� �������� ������ �� ���� ���� ���� � ��������� ���������� �������� �����������

������� �Eνδoξoς� �������� ��� �������� ���������� ��������� �������� ����������� ��Aντιϕων� V ��� ��� �������� ���������� ��������� ��������

��������������

���

Page 2: enastava.matf.bg.ac.rs - π 10enastava.matf.bg.ac.rs/~milinko/integral.pdf" + - 4 % # Zadatak 9. $ ! lim n→∞ 17 +27 +···+n7 n8 Zadatak 8. $ ! lim n→∞ 1 nk+m+1 n −1 j=1

��� �� �������� ��������

�� ������ ��������

���� �� f : (a, b) → C ���������� �������� � F : (a, b) → C ���� ����������� ���������

F �(x) = f(x) �� ��� x ∈ (a, b).

����

limx→b−0

F (x)− limx→a+0

F (x) ∈ C

�� ������ ��������� ���������� �������� f � �� �� ����� ���������� ������������ �� ������ ���������� �������� F � ��� �� ��� ���������� ���������� ���� �������� f �� ��������� ��������� �� ����������

�� ���� ������� ���� ����� � ������ �� ���� ������ �������� �� ������������������ � ���� �� ���� ���� � ������ �������� �� ���� ���� ������ ��������� � ������ ��������� � ��������� ����������

�� ������� ��������

���� �� f : [a, b] → R ���������� � ��������� ��������� ���� �� ��������[a, b] ������� �� n ��������� �������� ������ b−a

n � ���� �� ξk = a + k b−an

����� ������� ��������� [a+ (k − 1) b−an , a+ k b−a

n ]� ��������

f(ξk)b− a

n

�� �������� ������������� �� ��������

(ξk−1, 0), (ξk, 0), (ξk, f(ξk)), (ξk−1, f(ξk)),

�� ��������

Sn :=

n�

k=1

f(ξk)b− a

n

����������� �������� ������ ������� �������� y = f(x) � x�����

���������� �� ����� �� ��� n → ∞ �� ������������� ������� ��� ����� ���� ������� ��������

limn→∞

n�

k=1

f(ξk)b− a

n,

����� �Sir Isaac Newton� ����������� �������� �������� ������������ ���������������� � ���������

Page 3: enastava.matf.bg.ac.rs - π 10enastava.matf.bg.ac.rs/~milinko/integral.pdf" + - 4 % # Zadatak 9. $ ! lim n→∞ 17 +27 +···+n7 n8 Zadatak 8. $ ! lim n→∞ 1 nk+m+1 n −1 j=1

�� ������� �������� ���

������� ���� ����� �������� ����� �� definiciju povrxine ����� ������� ���������� ���������� �������� f �

� ���� ��������� �������� �� ��������� ���� �����������

���� ���������� ��������� ���������� ���� �� [a, b] ��������� ���������� �������� � f : [a, b] → C ����������� ��������� �������� ��������[a, b] �� n ��������� �������� ������ b−a

n � ���� �� ξk = a+k b−an ����� �������

��������� [a+ (k − 1) b−an , a+ k b−a

n ]� ����������� ���

Sn :=n�

k=1

f(ξk)b− a

n.

Lema �. ��� Sn �����������

� �������� �� �� ��� Sn �������� �� �� �� ������� ������������� �� �� f������ ���������

���� �� ε > 0� �� ��������� ������� �������� � �� ���� ���� ����� �� ���������� f ��������� ���������� �� ��������� [a, b]� �� ���������� ���������� ������������� ����� ���� ����� �� ������� δ > 0 ����� �� ����

|x− y| < δ ⇒ |f(x)− f(y)| < ε(b− a)−1. ���

���� ��� �� m,n ∈ N� ������� ξk = a + k b−an � ηj = a + j b−a

m �������� ������������ ������� ��� x1� � � �xm+n � ���� �� x0 = a� ����� ��

f(ξk)b− a

n= f(ξk)(ξk − ξk−1) = f(ξk)(ξk − ηj) + f(ξk)(ηj − ξk−1),

������� Sm − Sn ������ �� �������� � ������

Sm − Sn =m+n�

k=1

Δk(f)(xk − xk−1), ���

��� �� Δk(f) = f(ηj(k)) − f(ξi(k)) �� ���� ξi(k) � ηj(k) ����� �� ��� �� ������������� m � n

|ξi − ηj | < δ.

������� �� ������ ���� ����� �� �� �� ������� ������ m � n

|Δk(f)| < ε(b− a)−1,

�� �� ��� �����

|Sm − Sn| ≤ ε(b− a)−1m+n�

k=1

(xk − xk−1) = ε(b− a)−1(b− a) = ε.

������ ����� �� �� ��� Sn �������� ��� ������������� ����������� ����� �� ��������� ������� �����������

Definicija �. ����� b

a

f(x) dx := limn→∞

n�

k=1

f(ξk)b− a

n���

������ �� Koxijevim integralom ���������� �������� f �� ��������� [a, b]�

������ ������������� ���� �������� � ��������� ��

Page 4: enastava.matf.bg.ac.rs - π 10enastava.matf.bg.ac.rs/~milinko/integral.pdf" + - 4 % # Zadatak 9. $ ! lim n→∞ 17 +27 +···+n7 n8 Zadatak 8. $ ! lim n→∞ 1 nk+m+1 n −1 j=1

��� �� �������� ��������

���� �� � ����� ���������� ���� �������� ��������� �������� � ��������������� ξk� ��� ������ ������������ ������ ��� �� �������� �� ������� ����������� ����� ck ∈ [ξk−1, ξk] �������� ���� ��������� ����������� ���� ������������

Lema �. ���� �� ck ∈ [ξk−1, ξk] ���������� ������ ���� ��

limn→∞

n�

k=1

f(ck)b− a

n=

� b

a

f(x) dx.

� ���� ��

Sn =n�

k=1

f(ξk)b− a

n� Sc

n =n�

k=1

f(ck)b− a

n.

���� ��

|Sn − Scn| ≤

n�

k=1

|f(ξk)− f(ck)|b− a

n. ���

���� �� ε > 0� �� ��������� ������������� ����� �� ������� δ > 0 ���� ������

|x− y| < δ ⇒ |f(x)− f(y)| < ε(b− a)−1.

��� �� n ������� ������� ���� �� ξk − ξk−1 = 1n < δ� �� �� |f(ξk) − f(ck)| <

ε(b− a)−1� ������ � �� ��� ����� |Sn − Scn| < ε� ��������� �� ������ ��������

������� ����� �Lema �. ���� �� f : [a, b] → C ���������� ��������� ���� �� ��������

F : [a, b] → C, F (x) =

� x

a

f(t) dt

�����������

� ���� �� ε > 0� �� ��������� ������������� �������� f ����� �� �������δ > 0 �� ���������

|ξ − η| < δ ⇒ |f(ξ)− f(η)| < ε

2(b− a)� δ max

η∈[a,b]|f(η)| < ε

2

�������� ����� �� ��������� [a, x+ δ] � [a, x] �� n ��������� ������� ���������� �� ξk = a + k x+δ−a

n � ηk = a + k x−an ����� ������� ��������� ����������

���� �� |ξk − ηk| ≤ δ� �� ��

�� n�k=1

f(ξk)x+δ−a

n −n�

k=1

f(ηk)x−an

�� =

=�� n�k=1

(f(ξk)x+δ−a

n − f(ηk)x+δ−a

n + f(ηk)x+δ−a

n − f(ηk)x−an )

��

≤n�

k=1

|f(ξk)− f(ηk)|x+δ−an +

n�k=1

|f(ηk)| δn< n ε

2(b−a)b−an + n max

η∈[a,b]|f(η)| δn < ε

2 + ε2 = ε.

��������� �� limn→∞

�������� |F (x+ δ)−F (x)| ≤ ε� ���� �� �������� ���������

���� �������� F � �

��� ��� �� ��������� � �������� ������� �������� ����������

Page 5: enastava.matf.bg.ac.rs - π 10enastava.matf.bg.ac.rs/~milinko/integral.pdf" + - 4 % # Zadatak 9. $ ! lim n→∞ 17 +27 +···+n7 n8 Zadatak 8. $ ! lim n→∞ 1 nk+m+1 n −1 j=1

�� ������� �������� ���

�� ������ ����� �� �������� � ������������ �������� x �→b�x

f(x) dx� ����

���� ���� �������� � ���� ������� � �� �� ��� �������� �����������������

Posledica �. ����������� �� ��������� ������������ ���� �� c ∈ (a, b)����� ��

� b

a

f(x) dx =

� c

a

f(x) dx+

� b

c

f(x) dx.

� ������������� �� �� c−ab−a ∈ Q� ���� �� �������� [a, b] ������ �� ��������

�� n ��������� ������� ������ ���� �� �� c ����� �� �������� ������� ������c = ξm� ���� ����

Sn :=n�

k=1

f(ξk)b− a

n=

m�

k=1

f(ξk)b− a

n+

n�

k=m+1

f(ξk)b− a

n

������ ��������� ���� �� ��� ������� ������� Skn� ��� ����� ������� �������� n �������� ��������� �� k ������ ����� c ������ ������� ������ ����������� lim

k→∞� ��� ������� ��������

� b

a

f(x) dx =

� c

a

f(x) dx+

� b

c

f(x) dx.

������������� ���� c−ab−a /∈ Q� �� ������� ����� Q � R ����� �� � �����������

������� ����� c ������� ����� c1 ����� �� �� c1−ab−a ∈ Q� �� ����� ����� �����

c1 ��� �������� ������� �������� ���� �� ε > 0� �� ���� � ����� �� ��� �����c1 �� ��������� ������� ����� ����� c ����

� b

af(x) dx− ε =

� c1a

f(x) dx+� b

c1f(x) dx− ε

<� c

af(x) dx+

� b

cf(x) dx

<� c1a

f(x) dx+� b

c1f(x) dx+ ε

=� b

af(x) dx+ ε.

����� �� ε > 0 ����������� ������ ����� ����� �������� �

���������� �������� ���������� �� ������� �����������

Definicija �. ��� �� �������� f ���������� � ����� a� ���� ��� a

a

f(x) dx = 0.

��� �� a < b ���� ��� a

b

f(x) dx = −� b

a

f(x) dx.

����� ��� ����������� �������� b

a

f(x) dx =

� c

a

f(x) dx+

� b

c

f(x) dx

���� ��� ������ �� �� ���� �� ����������� ����� a� b� c �� ������� ����

Page 6: enastava.matf.bg.ac.rs - π 10enastava.matf.bg.ac.rs/~milinko/integral.pdf" + - 4 % # Zadatak 9. $ ! lim n→∞ 17 +27 +···+n7 n8 Zadatak 8. $ ! lim n→∞ 1 nk+m+1 n −1 j=1

��� �� �������� ��������

Napomena �. ���� �� f : [a, b] → C ���������� ��������� �������������� ���� ��� ������ � ������ ��������� � ������ �� �������� �� �� �����ε > 0 ������� δ > 0 �� ��������� �� �� ������ m ������ x1� � � � � xm ������ �� ��

a = x1 < x2 < · · · < xm = b � Δk := xk − xk−1 < δ ���

���� ����� b

a

f(x) dx−m�

k=1

f(ηk)Δk

���� < ε

�� ���������� ����� ηk ∈ [xk, xk−1]� ������� ���� �� ε > 0� �� ������������������� ��������� ����� �� ������� n0 ∈ N �� ��������� �� �� n ≥ n0 ����

����� b

a

f(x) dx−n�

k=1

f(ξk)b− a

n

���� <ε

2���

�� ���������� ����� ξk ∈ [a + (k − 1) b−an , a+ k b−a

n ]� ���� �� x1� � � � � xm �����

���� ������������ ��� �� δ = b−an0

� �� ������������� �������� f � �������

����� Q � R ���� ����� �� ������� �� ��������� �������� �� ��������������� �� ������� Δk ����������� �������� �� ���������� �������� ��������

Δk = k(b−a)n � �� Δk < δ = b−a

n0����� n > n0� �� �� ��� ���������� ��������

���� ���� ������ �����

�� b�a

f(x) dx−m�

k=1

f(ηk)Δk

�� =

=�� b�a

f(x) dx−n�

k=1

f(ξk)b−an +

n�k=1

f(ξk)b−an −

m�k=1

f(ηk)Δk

��

≤�� b�a

f(x) dx−n�

k=1

f(ξk)b−an

��+�� n�k=1

f(ξk)b−an −

m�k=1

f(ηk)Δk

��

< ε2 +

�� n�k=1

f(ξk)b−an −

m�k=1

f(ηk)Δk

��

�� ��������� ������������� �������� f ����� �� ��� �� ������� ���� δ� ������ ������� ���� �� ε

2 �

���� �������� ��������� ���������� ���� ������� �������� ���� ��������� �� ������� �� ���������� ��������� �� ������� ���� ������� �����

Lema �. ���� �� f : [a, b] → C � g : [a, b] → C ���������� �������� �λ, µ ∈ C� ���� ����

� b

a(λf(x) + µg(x)) dx = λ

� b

af(x) dx+ µ

� b

ag(x) dx� b

af(x) dx =

� b

aRe f(x) dx+ i

� b

aIm f(x) dx�� � b

af(x) dx

�� ≤� b

a|f(x)| dx.

��� �� f � g ������� ���� ���� �����������

(∀x)f(x) ≤ g(x) ⇒� b

a

f(x) dx ≤� b

a

g(x) dx.

��������� ���������� �� ��������� ����������� � �������� ������� ����� � ������ �� �������� ������� �����

�� ��� ������������� �� ��� ����������� �������� ����� �������� ���� Summa�

Page 7: enastava.matf.bg.ac.rs - π 10enastava.matf.bg.ac.rs/~milinko/integral.pdf" + - 4 % # Zadatak 9. $ ! lim n→∞ 17 +27 +···+n7 n8 Zadatak 8. $ ! lim n→∞ 1 nk+m+1 n −1 j=1

�� ������� �������� ���

Lema �. ��� �� f : [a, b] → R ���������� �������� ����� �� ��

�∀x ∈ [a, b]f(x) ≥ 0

��

� b

a

f(x) dx = 0,

���� �� f(x) = 0 �� ��� x ∈ [a, b]�

� ������������� �� �� f(x0) = A > 0 �� ���� x0 ∈ [a, b]� �� ��������������������� f ����� �� ���� ������� δ > 0 ����� �� ����

|x− x0| < δ ⇒ f(x) >A

2

������ �����

b�a

f(x) dx =x0−δ�a

f(x) dx+x0+δ�x0−δ

f(x) dx+b�

x0+δ

f(x) dx

≥ 0 +x0+δ�x0−δ

A2 dx+ 0 = A

2 · 2δ > 0,

��� �� � ����������� �� �������������b�a

f(x) dx = 0 �

Primer �. � ������� �� �� ���� ��� ������ ��� ���� ������ �� ���������� ���������

a1 cosx+ a2 cos 2x+ · · ·+ an cosnx = 0

��� ��� ����� ������ �� ��������� (0,π)� �������� ������ �������� ����������� ���� �� �� ���� � �������� ���� �� ������� �� ��������� �� ��

� π

0

(a1 cosx+ a2 cos 2x+ · · ·+ an cosnx) dx = 0.

������ � �� ���� � ����� �� ������������� �������� ���� ������� ������ ���� ������� � ������������� �� ���������� �������� ����� �� ���� ����� ������ ������� ����� �

����������� ��������� �������� ������� � ���� � �� ������� ��������

Teorema �. (Prva teorema o srednjoj vrednosti) ���� �� f : [a, b] → R� g : [a, b] → R ���������� �������� � ���� �� g(x) ≥ 0 �� ��� x ∈ [a, b]� ����������� ����� ξ ∈ [a, b] ����� �� ��

� b

a

f(x)g(x) dx = f(ξ)

� b

a

g(x) dx.

� ��� ��b�a

g(x) dx = 0� �� g(x) ≥ 0 � ���� � ����� �� �� g(x) = 0� ���� �� �

b�a

f(x)g(x) dx = 0� ���� �� �������� ������� ��������

������������� �� ��b�a

g(x) dx > 0� ����� �� f ���������� ��������� ���

������� ���� �������� � ������� �� [a, b]� ���� �� M = max f(x)� m =min f(x)� ����� �� g(x) ≥ 0 �� ��� x� ����

mg(x) ≤ f(x)g(x) ≤ Mg(x).

Page 8: enastava.matf.bg.ac.rs - π 10enastava.matf.bg.ac.rs/~milinko/integral.pdf" + - 4 % # Zadatak 9. $ ! lim n→∞ 17 +27 +···+n7 n8 Zadatak 8. $ ! lim n→∞ 1 nk+m+1 n −1 j=1

��� �� �������� ��������

������� �� ������ ���� �� �����

m

� b

a

g(x) dx ≤� b

a

f(x)g(x) dx ≤ M

� b

a

g(x) dx,

�� ��

m ≤� b

af(x)g(x) dx� b

ag(x) dx

≤ M.

������� �� ������ ������� � ������������� �� ���������� �������� ����������� � �� ���� ���� ����� �� ������� ����� ξ ∈ [a, b] ����� �� ����

f(ξ) =

� b

af(x)g(x) dx� b

ag(x) dx

,

��� �� � ������� ��������� �Napomena �. ������ �������� �������� f : [a, b] → R �� ��������

A(f) :=1

b− a

� b

a

f(x) dx,

���� �� ��������� ����� �������� ����� ����������� ������� ��������� ��������� �� �������� ������ �� �������� ���������� �� ���������� �� �������� � �� ����������� ������� g ≡ 1� ����� �� �� ������ �������� ������������������ ������� � ����� ����� ���������� �

�������� �������� ���������� � ������ �� ���� ���������� � ����������������� ��� ������ � ������� ��������� ���� ���������� � ������� ����� �������� � �� ���� ����

Teorema �. (Osnovna teorema integralnog raquna) ���� ��

f : [a, b] → C

���������� �������� �

F (x) =

� x

a

f(t) dt.

���� �� F �(x) = f(x)�

� ����� ������ �� ������� � ��������� ��������� F (x0+h)−F (x0) �� ������������� ������� ����� y = f(x) �� ��������� [x0, x0 + h]� ��� �� �������������� ���� h� ��������� ������������� ���� �� �������� f(x0) � h�

Page 9: enastava.matf.bg.ac.rs - π 10enastava.matf.bg.ac.rs/~milinko/integral.pdf" + - 4 % # Zadatak 9. $ ! lim n→∞ 17 +27 +···+n7 n8 Zadatak 8. $ ! lim n→∞ 1 nk+m+1 n −1 j=1

�� ������� �������� ���

F (x0 + h)− F (x0) ≈ hf(x0) ��� h → 0.

������� �� h ��������

F (x0 + h)− F (x0)

h→ f(x0) ��� h → 0.

�������� ��� ����������� �� ���� ������� � ������� ��������� ��������� � �� ���� ���� �����

F (x0 + h)− F (x0)

h=

1

h

� x0+h

x0

f(t) dt = f(ξ)

�� ���� ξ ∈ [x0, x0 + h]� ��� h → 0 ���� � ξ → x0� �� ���� ��������������������� f � ����� x0 ���� � f(ξ) → f(x0)� �

Zadatak �. ���������� ����� �������� ψ(x) =x2+x�x

√t3 + 4t dt� �

Teorema �. (Njutn–Lajbnicova formula) ���� �� Φ : [a, b] → C ����������� ���������� �������� ���������� �������� f � ���� ��

� b

a

f(x) dx = Φ(b)− Φ(a).

��������� ������� �� �������� � ���� b

a

f(x) dx = Φ(x)��ba,

��� �� Φ(x)��ba:= Φ(b)− Φ(a)�

� ����� ����� ��� ������� ����� �������� �� ������� � � ���� � �� ���� �������������� �� ��������

������ ��� ����� ������ ���� �� Φ�(x) = f(x)� �� ���������� ������������ �� ������� ck ∈ [ξk−1, ξk] ����� �� ��

Φ(ξk)− Φ(ξk−1) = Φ�(ck)(ξk − ξk−1) = f(ck)b− a

n.

������ ��������� ��������

Φ(b)− Φ(a) =n�

k=1

(Φ(ξk)− Φ(ξk−1)) =n�

k=1

f(ck)b− a

n.

��������� �� ����� � �������� ���� � �������� ������� �������� �Posledica �. �� ������������ ������� � ���� ������� ���������� ����� ������������ ��� �� ϕ : [α,β] → [a, b] ���������� ������������

����� �������� ����� �� �� ϕ(α) = a � ϕ(β) = b� ���� ��� b

a

f(x) dx =

� β

α

f(ϕ(t))ϕ�(t) dt.

�� ���������� ������������ ��� �� u � v ���������� ������������������������ �� ��������� [a, b] ���� ����

� b

a

udv = uv��ba−� b

a

vdu.

Page 10: enastava.matf.bg.ac.rs - π 10enastava.matf.bg.ac.rs/~milinko/integral.pdf" + - 4 % # Zadatak 9. $ ! lim n→∞ 17 +27 +···+n7 n8 Zadatak 8. $ ! lim n→∞ 1 nk+m+1 n −1 j=1

��� �� �������� ��������

� ����� ����� �� ������������� ������� �� ���������� ��������� � ��������������� �������� �

Zadatak �. ����������

limn→∞

17 + 27 + · · ·+ n7

n8

�������� ������ �� ��������� �Zadatak �. ����������

limn→∞

1

nk+m+1

n−1�

j=1

jk(j + 1)m,

�� k,m ∈ N� �Zadatak �. ����������

� 1

0

dx

(x+ 1)√x2 + 1

.

������� �� ������ ���������� �������� �������� �������� ��� �������

������� �� ���������� �������� �� ��� ������ �� �� �� �� �� ��� ���������������� ����������� ���������� ������� ������� ���� ����� ����� �������

Zadatak �. ���������� ��������

I =

� 1

0

log (1 + x)

1 + x2dx.

��������� �������� �� �� ������ x = tan t� ������� t = arctanx� ������

I =

� π/4

0

log tan (1 + t) dt.

������ ����� ����� s = π4 − t � �������� �� ��

I =

� π/4

0

(log (1 + tan (π/4− s))) ds.

����������� �������

tan (α− β) =tanα− tanβ

1 + tanα tanβ

� �������� �� �� I = π4 log 2− I� ������� I = π

8 log 2� �Zadatak �. ������� ������� � ������ t = (1− x)/(1 + x)� �Zadatak �. ���������� ��������

� 1

0

arctanx

x+ 1dx.

�Zadatak �. ���������� ��������

� π/2

0

dx

1 + (tanx)π.

��������� ������ ����� x = π2 − t � �������� �� �� I + I = π

2 � �� �� I = π4 � �

Page 11: enastava.matf.bg.ac.rs - π 10enastava.matf.bg.ac.rs/~milinko/integral.pdf" + - 4 % # Zadatak 9. $ ! lim n→∞ 17 +27 +···+n7 n8 Zadatak 8. $ ! lim n→∞ 1 nk+m+1 n −1 j=1

�� ������� �������� ���

Zadatak �. �������� �� ���n

1

�− 1

2

�n

2

�+

1

3

�n

3

�− . . .+

(−1)n−1

n

�n

n

�= 1 +

1

2+ . . .+

1

n

���������� �� �������� �� �� ���� ����� ��������� �������� �� �� ���� �� ����������� ������ ��������� � 1

0

1− (1− x)n

xdx.

������ ����� 1− x = t � ����������� 1− tn = (1− t)(1 + t+ . . .+ tn−1)� �

Primer �. (Tejlorova formula) ���� �� �������� f ���������� �������� �� ������ ����� n+1 ������ � ������� ����� a ∈ R� �� ���������������������� �����

f(x) = f(a) +

� x

a

f �(t) dt.

��� �� �������� �� ������ ������ ��������� ������� ���������� ������������� u(t) = f �(t)� v(t) = t− x ��������

f(x) = f(a) + f �(a)(x− a) +

� x

a

(x− t)f ��(t) dt.

���� �� �������� �� ������ ������ ������ �� ��������� ������� ����������

����������� �� u(t) = f ��(t)� v(t) = − (x−t)2

2 � ���� ��������

f(x) = f(a) + f �(a)(x− a) + f ��(a)(x− a)2

2!+

� x

a

(x− t)2

2!f ���(t) dt.

���������� ���� �������� n ���� ��������

f(x) =

n�

k=1

f (k)(a)(x− a)k

k!+

� x

a

(x− t)n

n!f (n+1)(t) dt.

��� �� Tejlorova formula sa ostatkom u integralnom obliku� �

Primer �. (Iracionalnost broja π) � ����� � ������� ��� �� ������ �������� �� �� ���� π ������������ ����� ���� ���� ������ �� ��������������� ����������� ����������� ������ �� XVIII ����� � ��� �� �� �� ������ ������������ ������������� ��������� �� ��

π =a

b, �� ���� a, b ∈ N.

���������� �������� f : R → R � F : R → R ��

f(x) =xn(a− bx)n

n!, F (x) =

n�

k=0

(−1)kf (2k)(x).

�������� ������� ������� ����������� �� �� f ������� ������

f(x) =1

n!

2n�

k=n

ckxk,

�������� �� ������� ��� ��� �� x �= 0 ���������� ����� ���� �� tanx ������������ ����������� �� �� π ������������

������ �Ivan Morton Niven� ����������� �������� �����������

Page 12: enastava.matf.bg.ac.rs - π 10enastava.matf.bg.ac.rs/~milinko/integral.pdf" + - 4 % # Zadatak 9. $ ! lim n→∞ 17 +27 +···+n7 n8 Zadatak 8. $ ! lim n→∞ 1 nk+m+1 n −1 j=1

��� �� �������� ��������

��� �� ck ���� �������� ������ ����� �� �� fk(0) ��� ���� �� ��� k ��� k < n� k > 2n ������ ����� � �� n ≤ k ≤ 2n ������ k!

n!ck�� �� �� � F (0) ��� �������������� �� �� f(π − x) = f(x)� ������ ����� �� �� � f(π)� �� ���� � F (π)���� �����

����� �� f (2n+2)(x) ≡ 0 ���� �� f ������� ������� 2n�� ����

F ��(x) + F (x) = f(x).

������ ����� �� ��

(F �(x) sinx− F (x) cosx)� = f(x) sinx.

�������� ��������������� ������� ������ ��������� π

0

f(x) sinx dx = (F �(x) sinx− F (x) cosx)

����π

0

= F (0) + F (π).

����� ��� ������ �� �� F (0) � F (π) ���� �������� � �������� f(x) � sinx��������� �� 0 < x < π� ����� �� ��

� π

0

f(x) sinx dx ∈ N.

�������� ����� �� xn(a− bx)n ≤ (aπ)n �� 0 ≤ x ≤ π� ���� ������������ π

0

f(x) sinx dx ≤ π(aπ)n

n!.

�� �� �������������� ����� �� ����� �� ������ ������ ���� �� � �� ������������� n ���� ���� ���� ��� n → ∞�� �� ����� �� ����� ������ �� ���� �� ������������ ����� ��� ������������� �������� �� π ���� ���������� ����� �

Zadatak ��. ������������ ����� �� ������� � � �������� �� �� π2 ������������ ����� �

Napomena �. � ����� � ��� ����� �� �� π ������� �������������� ����������� ����� � �� �� ������������ �������� ����� ��� �������� �� ���� ������������� �� �� ������� �� ����������������������� �������� ���� ������������ ������ ����� ��������� ������� ���� ���� ����� ������ �������� ��������������� ������ �� ������� ���� ��� ��� �� a ∈ C ���������� ���� �������� ������� ���� �� ea ��������������� ������ ����� �� �� e � π �������������� ��������� ������� ����� �� � ���������� ����� e = e1 �� ��������������� ���� �� π��� ���������� ����� ���� �� � iπ ��� ������������ �� �� eiπ = −1 ��� ���������������� ��� �� �������������� ������������� ����� ����������������� �������e � π� ��� �������� �� ���������������������� �������� ������ � ������������������ �

Primer �. (Transcendentnost broja e) � ������� �� �� ���� ��� ��������� �� �� �� ���� e ������������ ��������� ����������� ������� ��������� �� ���� � ���� �� ���� � �� �� ���� e �������������� ���� ������ ������� ��� ������ ���������� �� ���� ���� �������� �������� �� ���������������������������

���� �� a ∈ C ���������� ���� � P (x) ������� �� ����������� �������������� �� ���� ��P (a) = 0� ���� �� Q(x) := P (ix)P (−ix) ������� �� ����������� �������������� ������������� ���� �� Q(ia) = 0� �� �� � ia ���������� �����

������� �Charles Hermite� ����������� ��������� �����������

Page 13: enastava.matf.bg.ac.rs - π 10enastava.matf.bg.ac.rs/~milinko/integral.pdf" + - 4 % # Zadatak 9. $ ! lim n→∞ 17 +27 +···+n7 n8 Zadatak 8. $ ! lim n→∞ 1 nk+m+1 n −1 j=1

�� ������� �������� ���

������������� ��������� �� ������� ���� ������� c0, c1, . . . , cn ����� �� ��

c0 + c1e+ · · ·+ cnen = 0. ���

���� �� p ����� ���� ���� �� n � |c0|� ��������

f(x) =1

(p− 1)!xp−1(x− 1)p(x− 2)p · . . . · (x− n)p

�� ������� ������� m = (n + 1)p − 1 �� �� ��� ����� ���� m + 1 ������ ����������� ����� ��� ����������� ���������� ����������� (n+1)p ���� ��������

� k

0

f(x)e−x dx = −e−x�f(x) + f �(x) + · · ·+ f (m−1)(x)

�����k

0

.

������ �����

ϕ(k) + ek� k

0

f(x)e−x dx = ekϕ(0), ���

��� �� ϕ(x) = f(x) + f �(x) + · · ·+ f (m−1)(x)� �������� ��� ������ � ��� �� ck ���������� ��������� ������� � ���� ����

n�

k=1

ckϕ(k) +

n�

k=1

ckek

� k

0

f(x)e−x dx = 0. ���

����� �� �������� p ���������� ��������� ������� ����� �� p! ��� ������� ��

�� ���� ���� ������ f (j)(x) �������� f ���� j ≥ p �� �������� �� �������������������������� ������� �� p� ������ ����� �� �� �� ����� ��� ���� k � j ≥ p���� f (j)(k) ��� ���� ����� �� p� ����� �� � ������� x = 1, 2, . . . , n ������� f �������� ����� p−1 ������ ������� ����� ������ ����� �� �� ϕ(1),ϕ(2), . . . ,ϕ(n)���� ������� ������ �� p� � ����� x = 0 ������� f � ������� ����� p − 2������ �� ������� ����� �� ��

ϕ(0) = f (p−1)(0) + f (p)(0) + · · ·+ f (m−1)(0).

��� ������� ��� ����� �� ���� ������� ������ �� p� � f (p−1)(0) = (−1)pnn! ��������� �� p ����� �� p ����� ���� ���� �� n� ������ ����� �� �� ϕ(0) ��� �������� ���� ����� �� p� �� �� � ���� ���� � ��� ��� ���� ���� ���� ����� �� p������ ���� �� ���� �� ��������� �� �����

�� ������������

|f(x)| < n(n+1)p−1

(p− 1)!� e−x ≤ 1 �� x ∈ [0, n]

����� ����� k

0

f(x)e−x dx

���� <n(n+1)p−1

(p− 1)!k,

�� ������

n�

k=1

ckek

� k

0

f(x)e−x dx

���� < (|c0|+ |c1|+ · · ·+ |cn|)enn(n+1)p−1

(p− 1)!.

����� ��

limp→∞

n(n+1)p−1

(p− 1)!= nn lim

p→∞(n(n+1))p−1

(p− 1)!= 0

������� �� �� ���� ����� �� ������� ������ p ��������� �������� ����� ����� ��� ���� ���� �� ����� �� ����� ���� �� ���� �� ���� ������ ����� ���� ���

Page 14: enastava.matf.bg.ac.rs - π 10enastava.matf.bg.ac.rs/~milinko/integral.pdf" + - 4 % # Zadatak 9. $ ! lim n→∞ 17 +27 +···+n7 n8 Zadatak 8. $ ! lim n→∞ 1 nk+m+1 n −1 j=1

��� �� �������� ��������

������������ ��� ������ �� ������������� � �������� �� �� e ������������������� �

Primer �. (Transcendentnost broja π) � �������� � ��� ������ ����� �� ����� �������� �� �� π �������������� ����� ������� �������� �� �� ����iπ ���������������

������������� ��������� �� ������� ������� P1(x) �� ����������� ���������������� ����� �� �� P1(iπ) = 0� ������������� �� �� P1 ������� ������� n�� �������� ������ ���� �� r1, . . . , rn� ��� ���� �� r1 = iπ�

����� ��

er1 + 1 = eiπ + 1 = 0,

����� �� ��

(er1 + 1) · (er2 + 1) · . . . · (ern + 1) = 0.

����� ������� ������ �� ������ ������ ��������

es1 + es2 + . . .+ esr + e0 + e0 + . . .+ e0 = 0,

��� �� s1, . . . , sr ������� ������� rj ���� �� ��������� �� ����� � ������� 2n − r�������� �������� ��������� ���� �� ������� ����� ��������� �� ������� ��������� ��������� ��� �������� ������ �� ������ ������ ��� ����� �� ���������������� �� �� ��

es1 + es2 + . . .+ esr + k = 0, ����

�� ���� k ≥ 1������ ������� r1 ������������ ������������� ��������� �� �����������

��������������� �� ��������� ������� ������� �� �� ���� ��� ����� �� ������������� ���������� �������� �� rj ���������� �������� ������ ������� �� � ����������� ���������� �������� �� ���� ��������� ri + rj �i �= j����������� �������� �� ����� ����� �� ��������� �������� �� ������� �������P2(x) �� ����������� �������������� ���� �� ���� ������� ri + rj � �������������� ������� P3(x) �� ����������� �������������� ���� �� ���� ������������� ri + rj + rk ���� �� �������� Pn(x) �� ����������� ������������������ �� ���� ���� r1 + . . . + rn� �� ����� �� ��� ������� ������� ������ ����������� rj ������������ ������������� ���������

P1(x)P2(x) . . . Pn(x) = 0

�� ����������� ��������������� ������� �� ����� ������ �� ������ xjP (x)���� ��

P (x) = arxr + . . .+ a1x+ a0, a0, a1, . . . , ar ∈ Z

������� �� ����������� ��������������� ����� �� �� a0 �= 0� ���� ���� ��������� �� ������� sj �� �����

���� ��

m = rp− 1,

��� �� p �������� ���� ���� ���� �� �������� �������� � ���� ��

f(x) = amr xp−1 (P (x))p

(p− 1)!.

���� ��

F (x) = f(x) + f �(x) + . . .+ fm+p(x).

Page 15: enastava.matf.bg.ac.rs - π 10enastava.matf.bg.ac.rs/~milinko/integral.pdf" + - 4 % # Zadatak 9. $ ! lim n→∞ 17 +27 +···+n7 n8 Zadatak 8. $ ! lim n→∞ 1 nk+m+1 n −1 j=1

�� ������� �������� ���

���� ��d

dx(e−xF (x)) = −e−xf(x),

�� ��

e−xF (x)− F (0) = −� x

0

e−uf(u) du.

��� � �������� �� ������ ������ ������� ����� u = tx� ��������

F (x)− exF (0) = −x

� 1

0

e(1−t)xf(tx) dt. ����

��� � ��� ��������

x = s1, x = s2, . . . x = sr,

��� �� s1, . . . , sr �� ����� � ��������� ��������� ��������� ��������� �����r�

j=1

F (sj) + kF (0) = −r�

j=1

sj

� 1

0

e(1−t)sjf(tsj) dt. ����

����� �� sj ���� �������� P (x)� �� ���������� �������� f ����� �� �� ������

f (v) ���� v� �� 0 < v < p� ����r�

j=1

f (v)(sj) = 0.

������ ���� p � ����� ����� ������ pamr � ������ �� �� �������� �������������(P (x))p ������� p ���� �� �� �� ����� ����� �������� �� ���� �� x = sj � �����

r�

j=1

f (v)(sj)

��� �� v ≥ p� ���������� ������� �� sj ���� �� ����� �� m� �� ���������������� ����� �� �� �������� ������ ����������� �������� � amr ��� ����� ����

r�

j=1

f (v)(sj) = p · (��� ����) �� v ∈ {p, p+ 1, . . . , p+m}.

������ ����� �� �� ���� ������ � ���� ������

p · (��� ����) + kF (0).

��������� �� ��

f (v)(0) =

0, v < p− 1

amr ap0, v = p− 1

p · ��� ����, v ≥ p

������ ����� �� �� ���� ������ � ���� ������

p · (��� ����) + kamr ap0.

�������� ������� ���� ����� �� p ��� ��

p > max{k, a0, ar}.�� ����� �� �� �� ������� ������ p� ���� ������ � ���� ��������� ��� ������������� ����� ������ � ���� ���� ���� ��� p → +∞ ����������� ��� �� ��������������� ���� �� �������� �� �� π �������������� ����� �

Page 16: enastava.matf.bg.ac.rs - π 10enastava.matf.bg.ac.rs/~milinko/integral.pdf" + - 4 % # Zadatak 9. $ ! lim n→∞ 17 +27 +···+n7 n8 Zadatak 8. $ ! lim n→∞ 1 nk+m+1 n −1 j=1

��� �� �������� ��������

Napomena �. ���� ������� �� �� �� ������� e + π � eπ ���������� ��������������� ������� ������� � �������� �������� ������ ��� �����������

��������� ��� ���������� ������ ������ �������� �� �� ������� e � π ����������� ��������� ��� Q� ��� �� �� ������� ������������ ������� P (x, y) ������������� �� ����������� ��������������� ����� �� �� P (e,π) = 0� ���������� �� �� ������� ����� ��� ���� ���������� �������� ��� ������� �� ��������� �� e+ π ���� eπ� ����������� �����

�������� ���� �� ������ �� �� ��� ����� �� ������� e+π � eπ ��������������

(x− e)(x− π) = x2 − (e+ π)x+ eπ,

����� �� �� e � π ���� �������� x2 − (e+ π)x+ eπ� ����� �� e � π ��������������� �������� �� ���� ��� ������������ ���� �������� �� ���� ������������������

������� �� �� �� eπ �������������� ����� ��� �������� �� ����� ��������������� ��������� ����� �� ������� ���� ��������� � �� ���������� � �������������� �������� �������� ��� VII ����������� �������� ������� ���� ����������� ������� ��� ������������������ �������� ������ ��� �� α,β ∈ C���������� �������� ����� �� ��

α �= 0, α �= 1, β /∈ Q

���� �� ���� αβ ��������������� ����������� ���� eπ = (eiπ)−i �� ������������

���� ��� α = eiπ = −1 � β = −i ������������ ������ �������� ������� ���� 2√2�

������ ��� ������������������ ���������� �� ��������������� ������ �����

�� �� ����√2√2���� ��� ������ � ������� �� �� ���� ��� ��������������� �

Zadatak ��. �������� �� ��

� π/2

0

sink x dx =

� π/2

0

cosk x dx =

�(2n−1)!!(2n)!!

π2 �� k = 2n

(2n)!!(2n+1)!! �� k = 2n+ 1.

��������� ������������

sin2n+1 x ≤ sin2n x ≤ sin2n−1 x �� 0 ≤ x ≤ π

2

�������� ������������

(2n)!!

(2n+ 1)!!≤ (2n− 1)!!

(2n)!!

π

2≤ (2n− 2)!!

(2n− 1)!!

� ������� ������ �������� �������

π

2= lim

n→∞

�(2n)!!

(2n− 1)!!

�21

2n+ 1

�������� ���� �� ���� ���� �

�������� �Stephen H. Schanuel� ����� ������ �������� �������������������� ����������� ��������� ��������� ����������� ����� �������������������� (Theodor Schneider, 1911)� ������� �������������������� (David Hilbert, 1862–1943)� ������� ������������ ������� �� ����� ������

�������� �� �������� ���� ��� �� ������� �������� ������� �� ������ �� ���� ����������XX ����� ����� ��� ���� �������� �������� �� �� ������ �������� �������� ������������� ������� �� ������� �����

Page 17: enastava.matf.bg.ac.rs - π 10enastava.matf.bg.ac.rs/~milinko/integral.pdf" + - 4 % # Zadatak 9. $ ! lim n→∞ 17 +27 +···+n7 n8 Zadatak 8. $ ! lim n→∞ 1 nk+m+1 n −1 j=1

�� ������� �������� ���

Primer �. �������� ��������� ���� �� �� ������ ����������� �������

log n! ∼ n log n, ��� n → ∞. ����

�� ����������� ��������� ������ n

1

log x dx =

n�

k=2

� k

k−1

log x dx. ����

����� �� ������������ �������� �������� ����

log (k − 1) < log x < log k �� k − 1 < x < k. ����

�� ���� � ���� ������ n

1

log x dx <n�

k=1

log k <n�

k=2

� k+1

k

log x dx =

� n+1

2

log x dx. ����

����� ��n�

k=1

log k = log

n�

k=1

k = log n!,

�� ���� �����

0 < log n!−� n

1

log x dx <

� 2

1

log x dx+

� n+1

n

log x dx. ����

����� ��� �������� ������������ � ���� ��� ���� ����������� ���������� ������ log 2 + log (n+ 1)� �� ��

0 < log n!−� n

1

log x dx < log (2(n+ 1)),

������ �����

log n! =

� n

1

log x dx+O(log (2n+ 2)), ��� n → ∞. ����

������������� ��������� � ���� ��������

log n! = n log n+O(n), ��� n → ∞,

������ ����� ����� �

Lema �. ���� �� f : [a, b] → R ����������� � h : [a, b] → R ��������������������������� ����������� � ��������� ��������� ���� ������� �����ξ ∈ [a, b] ����� �� ����

� b

a

f(x)h(x) dx = h(a)

� ξ

a

f(x) dx.

� ���� �� F (x) =� x

af(t) dt� ���� �� dF (x) = f(x)dx� �� ������� ����������

����������� ������ b

a

f(x)h(x) dx =

� b

a

h(x) dF (x) = F (x)h(x)��ba−� b

a

F (x) dh(x).

����� �� F (a) = 0 � F (b) =b�a

f(x) dx� ������ �����

� b

a

f(x)h(x) dx = h(b)

� b

a

f(x) dx−� b

a

F (x)h�(x) dx

Page 18: enastava.matf.bg.ac.rs - π 10enastava.matf.bg.ac.rs/~milinko/integral.pdf" + - 4 % # Zadatak 9. $ ! lim n→∞ 17 +27 +···+n7 n8 Zadatak 8. $ ! lim n→∞ 1 nk+m+1 n −1 j=1

��� �� �������� ��������

���� �� M = maxF � m = minF � ����� �� h(x) ≥ 0 � h�(x) ≤ 0� �� ������������������ �����

mh(b)−m

� b

a

h�(x) dx ≤� b

a

f(x)h(x) dx ≤ Mh(b)−M

� b

a

h�(x) dx,

� ������� ����� ��b�a

h�(x) dx = h(b)− h(a)�

m ≤� b

af(x)h(x) dx

h(a)≤ M.

����� �� �������� F ����������� ������� ξ ∈ [a, b] ����� �� ��� b

af(x)h(x) dx

h(a)= F (ξ) =

� ξ

a

f(x) dx,

��� �� � ������� ��������� �Teorema �. (Druga teorema o srednjoj vrednosti) ���� �� f : [a, b] →

R ����������� � g : [a, b] → R ���������� ���������������� � ����������������� ���� ������� ����� ξ ∈ [a, b] ����� �� ����

� b

a

f(x)g(x) dx = g(a)

� ξ

a

f(x) dx+ g(b)

� b

ξ

f(x) dx.

� �������������� �� ��������� �������� �� �� g ����������� �������� ����������� ����������� ������ �� �������� g1(x) = −g(x)�� ����� ����� ��������� ���� � �� �������� h(x) = g(b)− g(x)� �

Teorema �. (Integracija stepenog reda) ���� �� x0 ∈ R � cn ��� � C����� �� R ����������� ������������� �������� ����

∞�

n=0

cn(x− a)n

� ���� �� �������� [α,β] ������� � ��������� ������������� (a − R, a + R)����� �� � β

α

∞�

n=0

cn(x− a)n dx =∞�

n=0

cn(x− a)n+1

n+ 1

����x=β

x=α

.

������ ������� �������� �������� �������� ���� ���� �� �� �������� ������������� ���� �� �����

� ����� ����� �� ������� ������������� �������� ���� �������� �� �� ����������� � ��������������� �������� �

Zadatak ��. ���������� ��������� 1/2

0

xn dx

�� ������ ����� ���� ����∞�

n=1

1

n2n.

Page 19: enastava.matf.bg.ac.rs - π 10enastava.matf.bg.ac.rs/~milinko/integral.pdf" + - 4 % # Zadatak 9. $ ! lim n→∞ 17 +27 +···+n7 n8 Zadatak 8. $ ! lim n→∞ 1 nk+m+1 n −1 j=1

�� ������� ��������� ���

Zadatak ��. �������� �� ��� 1

0

log x

1 + x2= G,

��� �� G ���������� ��������� ������� ������� �� �� ���� �������������� (1 + x2)−1 �� ���� ������������� ����� �

�� ������� ���������

���� �������� ������ ������� ���� �� f : [a, b] → R � g : [a, b] → R���������� �������� ����� �� �� g(x) ≤ f(x) �� ����� x ∈ [a, b]� ������������ ����� ����������� ������� y = f(x) � y = g(x)� a ≤ x ≤ b� ��� �����

S = {(x, y) ∈ [a, b]×R | g(x) ≤ y ≤ f(x)}������ �� ������������� ������ �������� ������������� �� ��������

(ξk−1, f(ξk)), (ξk−1, g(ξk)), (ξk, f(ξk)), (ξk, g(ξk)),

��� �� ξ1, . . . , ξn� ��� � � ���������� ���������� ����� ����� ������ ���������[a, b] �� n �������� ������� �������� ������ �� ���� ������������� �� (f(ξk)−g(ξk))

b−an � ���� �������� ����� �� �������� ������ S

A(S) = limn→∞

n�

k=1

(f(ξk)− g(ξk))b− a

n=

� b

a

(f(x)− g(x)) dx.

Zadatak ��. �������� �� �� �������� ������� ���������� �������

x2

a2+

y2

b2= 1

������� πab� ����������� �� a = b = r �������� �������� ������ �

Zadatak ��. �������� ���������� ������� � �������� �� ���� ���� �

���� ��������� ����� ���� �� ���� K � 0xyz������������� ������� ����������� ����� ���������� ������� ������������ �� x���� � ������� x = a �x = b � ���� �� A(ξ) �������� ������� ���� K � ����� ����������� �� x���� ������ x = ξ� ���� �� Vk ��������� ���� ���� K ����������� ������� x = ξk−1�x = ξk� ���� ��

minξ∈[ξk−1,ξk]

A(ξ)b− a

n≤ Vk ≤ max

ξ∈[ξk−1,ξk]A(ξ)

b− a

n,

�� �� ������ ��������� V (K) =�n

k=1 Vk ����

n�

k=1

minξ∈[ξk−1,ξk]

A(ξ)b− a

n≤ V ≤

n�

k=1

maxξ∈[ξk−1,ξk]

A(ξ)b− a

n

������� ��������� �� limn→∞

� ��������

V (K) =

� b

a

A(x) dx. ����

������� ���� ������� �� ��� ������ ����������������� ���������

������������ (Bonaventura Cavalieri, 1598–1647)� ����������� �����������

Page 20: enastava.matf.bg.ac.rs - π 10enastava.matf.bg.ac.rs/~milinko/integral.pdf" + - 4 % # Zadatak 9. $ ! lim n→∞ 17 +27 +···+n7 n8 Zadatak 8. $ ! lim n→∞ 1 nk+m+1 n −1 j=1

��� �� �������� ��������

�������� ��� �� ���� K �������� ��������� ����� y = f(x)� a ≤ x ≤ b ��� x����� �������� A(x) ��������� ������� �� �������� ����� ������������ f(x)��� �� ��������� ��������� ����

V (K) =

� b

a

π�f(x)

�2dx.

������� ��� �� ���� L �������� ��������� ����� y = f(x)� a ≤ x ≤ b ��� y���� ���� �������� f : [a, b] → [α,β] ��� �������� �������� g = f−1 : [α,β] → [a, b]���������� ��������� ���� ��

V (L) =

� β

α

π�g(y)

�2dy.

������������� �� f : [a, b] → [0,+∞) ���������� �������� � ���� �� ����M �������� ��������� �������

S = {(x, y) ∈ R×R | a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f(x)}

��� y����� ���� ��������� ��������� ���� ������ �� ���������� �� �������� ������ �������� �������� [a, b] �� n ��������� ������� ������� ���� ��ξ1, . . . , ξn ����� ������� ��� ���������� ��������� Vk ���� ��������� ����������������

Sk = {(x, y) ∈ R×R | ξk−1 ≤ x ≤ ξk, 0 ≤ y ≤ f(x)}��� y���� ������ �� ������������� �������� ��������� ��� ������ �� ��������������� ���� ξk � ξk−1 � ��� ����������

π(ξ2k − ξ2k−1) minξ∈[ξk−1,ξk]

f(ξ) ≤ Vk ≤ π(ξ2k − ξ2k−1) maxξ∈[ξk−1,ξk]

f(ξ). ����

��� �������� ���� �� k � ��������

ξ2k − ξ2k−1 = (ξk + ξk−1)(ξk − ξk−1) = 2(ξk + ξk−1)

2

b− a

n,

�������� �� �� ��������� V (M) ������

sn =n�

k=1

2πck minξ∈[ξk−1,ξk]

f(ξ)b− a

n� Sn =

n�

k=1

2πck maxξ∈[ξk−1,ξk]

f(ξ)b− a

n,

��� �� ck = (ξk+ξk−1)2 ∈ [ξk−1, ξk]� ����� �� lim

n→∞sn = lim

n→∞Sn =

b�a

2πxf(x) dx�

�������� ������� �� ��������� ���� M

V (M) =

� b

a

2πxf(x) dx.

Zadatak ��. ���������� ��������� ���� ���� �� ������ ��������� �����

x = t− sin t, y = 1− cos t, 0 ≤ t ≤ 2π

��� x����� �

Page 21: enastava.matf.bg.ac.rs - π 10enastava.matf.bg.ac.rs/~milinko/integral.pdf" + - 4 % # Zadatak 9. $ ! lim n→∞ 17 +27 +···+n7 n8 Zadatak 8. $ ! lim n→∞ 1 nk+m+1 n −1 j=1

�� ������� ��������� ���

���� ������ ������ ���� �� f : [a, b] → R ���������� ����������������� ��������� ������ L ����� y = f(x) ������ �� ���������� ��� ����������� ���������� ������� ��������� ��� � ������� �������� [a, b] �� n��������� ������� ������ � �������� ����� ������� ��������� ��������� ��ξ1, . . . , ξk� ��������� ������ ������ (ξk−1, f(ξk−1)) � (ξk, f(ξk)) ��

dk =�

(ξk − ξk−1)2 + (f(ξk)− f(ξk−1))2,

�� ��

L = limn→∞

�nk=1

�(ξk − ξk−1)2 + (f(ξk)− f(ξk−1))2

= limn→∞

�nk=1

�1 +

� f(ξk)−f(ξk−1)ξk−ξk−1

�2(ξk − ξk−1)

= limn→∞

�nk=1

�1 +

�f �(ck)

�2 b−an .

� ��������� ������ ��������� �� ���������� �������� ���� �������� �������� �� ������ �����

L =

� b

a

�1 +

�f �(x)

�2dx.

Zadatak ��. �������� �������� ����� �� ���������� ������ ���� ������

x2

a2+

y2

b2= 1

� �������� �� ��� � ������ �������� �������� ��������� ��������� ������������ ���� ���� �

Zadatak ��. ���������� ������ �����

x =1

4y2 − 1

2log y, 1 ≤ y ≤ e.

Zadatak ��. ��������� ����� ������ ������������� �����������

x = t2, y =t3

3− t, t ∈ R

� ���������� ������ ���� �� ����� ���� ���� � ����� 0 ≤ x ≤ 3� �

���� �������� ������� ����� ���� �� f : [a, b] → R ���������� ����������������� ��������� �������� ������ S �������� ��������� ����� y = f(x)��� x���� ������ �� ���������� �� ������� ������ �������� �������� [a, b]�� n ��������� [ξk−1, ξk]� 1 ≤ k ≤ n� ������� ������� �������� ���� ������������������ ����� y = f(x) �� ξk−1 ≤ x ≤ ξk ��� x���� ������ �� ������������������� �������� ���������� ���� ���� �� ���������

sk =�

(ξk − ξk−1)2 + (f(ξk)− f(ξk−1))2,

� ������������ ������ rk = f(ξk−1) � Rk = f(ξk)� �� ������� �� ����������������� ����

Ak = π(Rk + rk)sk

����� �� �� �������� ������ S ����������� ��

A(S) ≈n�

k=1

π(f(ξk) + f(ξk−1))�

(ξk − ξk−1)2 + (f(ξk)− f(ξk−1))2.

Page 22: enastava.matf.bg.ac.rs - π 10enastava.matf.bg.ac.rs/~milinko/integral.pdf" + - 4 % # Zadatak 9. $ ! lim n→∞ 17 +27 +···+n7 n8 Zadatak 8. $ ! lim n→∞ 1 nk+m+1 n −1 j=1

��� �� �������� ��������

�� ���������� ������� ����� �� �� f(ξk−1) = f(ξk)+ (ξk−1 − ξk)f�(sk)� ������

����� ��� ��� �� f ���������� ����������������� ����

A(S) ≈n�

k=1

2πf(ξk)�

1 +� f(ξk)−f(ξk−1)

ξk−ξk−1

�2(ξk − ξk−1)

=n�

k=1

2πf(ξk)�

1 + (f �(ck))2 b−an

� ��������� ������ �� ��������� ���������� �������� ������� ����������� lim

n→∞� ��������

A(S) =

� b

a

2πf(x)

�1 +

�f �(x)

�2dx ����

Napomena �. �������� �� ��������� ������ ���� ���� ��� � �������������������� ������ ������������� ���������� ���������� ����� � �� ���������������� ���������� ���������� ��� ��� ��� ������ � ������� ������������������� ��� ����� �� �� �������� �� ��� ������ ���� ����� ��������� ���������������

ΔA ≈ 2πyΔx,

��� �� �� ������ �������������� ����������� ��

ΔA ≈ 2πy�

(Δx)2 + (Δy)2,

��� �� ������������� ���������� ������� ������ �� �� �������� ��� ��� ��������� �

1 +

�Δy

Δx

�2

.

�������� ����� �� ���� � ��� δx → 0 ���� ��� �� dydx = 0� �� ����� �� ���

��� ������������� ���� ��������� ��������� � ������ �������� ���� ������������� �������� �������� ������������� ����������� ������ ����� ��������������� ������� �� ���������

�������� �������� A =

� b

a

2πf(x) dx. ����

������� ��������� �� �������� ��������� �� �� ��������� ���������� ��������������� ���������� ������� ������ ����������� �

������� ������� �������� �� �� �������� ������� ���� ��� � ������� ������������������ ������ ������ �������� ���������

Zadatak ��. ���������� �������� ���� �������� ��������� ����

y = x/√3, 0 ≤ x ≤

√3

��� x���� �������� ������� ����� ��������� ��� �������� �� �������� ��������� �� �������� ����� ��� �� ������ ��� �� ������� ������� ����� �

Napomena �. ������� ��������� ������ �������� �� �������� �������� ���� �� �� �������� ��� ����� �������� �������� ��������� ���� ����� ������ ����� �������� ��� ����� ������ �������� ������ ���� �� C�������� ������������ r � ������ h� �������� �������� �� ��������� ������������� ������� ���������� ��������� ���� �� ���� ��������� m �����

������� �Karl Hermann Amandus Schwarz� ����������� ������� �����������

Page 23: enastava.matf.bg.ac.rs - π 10enastava.matf.bg.ac.rs/~milinko/integral.pdf" + - 4 % # Zadatak 9. $ ! lim n→∞ 17 +27 +···+n7 n8 Zadatak 8. $ ! lim n→∞ 1 nk+m+1 n −1 j=1

�� ������������ �������� ���

���������� ��� ����� �� ����� ���� ����� �������� �� (m + 1) ���������������� ���� ����� �� ��� (m+1) ������� �� n ������� ���� �� �� ����� �������������� ����� ����� ������� �������� ������ ����� ����� ����� ������� ����������� ����� ������ �� ����� ������� �������� ������ ����� ����� ���� ����������� ����� ���� ������ ��������� ���������� ����������� �� ����������� �� �������� �������� ���� �� ������ �� ���������

P = 2nr sinπ

n

�r2m2(1− cos (π/n))2 + h2.

��� m,n → ∞� ��������� �������� ��������� ���� ���� ���� ���� �� �� ������� ���������� ������� � ���������� ������ ����� �� ������ �������� �������� ������ �������� ��� ��� ���� � n2/m ���� ����� �������� ������������ +∞� � ��� m/n2 → c� ���� �� ����� �������� ��������

2rπ�c2r2π4/4 + h2.

������ ����� �� ����� �������� ���� �������� ��������� �� ��������������� � ���� ���� ������� � ������ �� �������� ������ � ���� �� ������

��� �������� ������� �� ���� ���� ���� ���� �� � ���� ������� �� ����������� �������� ��������� ������ ������� ����� �������� ���������� �������� �� ����������� ������������ � ���� ���������� ��� � ���������� ���������� � ��������� ����������� �� ������� ���������� ���������� ����������� �������� � ���� ���� �������� � ���� ����������� ������������ �

Zadatak ��. ��������� �����

x23 + y

23 = 1

� ���������� �������� ������ ���� �� ������ ����� ��������� ��� x����� �

�� ������������ ��������

���� ���������� � �������� ������� �������� ��� ���������� �� ����������� �������� ���������� �� ���������� ���������� ������������� ������ �� ���� ���������� �������� f : [a,β) → C� ��� ���� �� ����� β ������ ����

���� �� a ��� +∞� ����� �� ����� b ∈ [a,β) ������� ������� ��������b�a

f(x) dx�

������� ������� ����� limb→β

b�a

f(x) dx� �������� �� nesvojstvenim integralom

� ������ � β

a

f(x) dx := limb→β

� b

a

f(x) dx. ����

����� β �� ������ singularnom taqkom ��� singularitetom ���������������������� ����� ��� �� β < +∞� �� ���� � �� ���� ��� ����� �� ��� � ������� ���������� f ��� ���� ����� � ����� β ���� ��� ���� �� �� ���������� �������

� β�� ����� � ���� ������ ���������β�a

f(x) dx� ���� �� ��������� ��������

������� β

a� ���� � �������� �� �� ������������ �������� �������� ����������

������ �� �������� ������������ ��������a�

−∞f(x) dx�

� a

−∞f(x) dx := lim

c→−∞

� a

c

f(x) dx. ����

Page 24: enastava.matf.bg.ac.rs - π 10enastava.matf.bg.ac.rs/~milinko/integral.pdf" + - 4 % # Zadatak 9. $ ! lim n→∞ 17 +27 +···+n7 n8 Zadatak 8. $ ! lim n→∞ 1 nk+m+1 n −1 j=1

��� �� �������� ��������

��� ����� � ���� ���� ����� �������� ������ �� ������������ �������� kon-vergira� � ��������� ������ �� �� divergira�

Primer �. ��������� +∞1

dxxp ���������� ��� � ���� ��� �� p > 1� � �����

����� 1

0dxxp ���������� ��� � ���� ��� �� p < 1� ������� ��

� b

1

dx

xp=

11−px

1−p��b1 �� p �= 1

lnx��b1

�� p = 1

����� �� limb→+∞

b�1

dxxp ������� ��� � ���� ��� �� p > 1� � ��

� 1

a

dx

xp=

11−px

1−p��1a �� p �= 1

lnx��1a

�� p = 1

����� �� lima→0+0

1�a

dxxp ������� ��� � ���� ��� �� p < 1� �

������� ������������� ��������� �������� � �������� ���� �� ����������������� �� ����� � ������������� ��������� ��������� �� ������� ����������

Lema �. ���� �� f : [a,β) → C � g : [a,β) → C ���������� �������� � λ�µ ���������� �������� ���� ��

��β�a

�λf(x) + µg(x)

�dx = λ

β�a

f(x) dx+ µβ�a

g(x) dx�

��β�a

f(x) dx =c�a

f(x) dx+β�c

f(x) dx �� ����� c ∈ [a,β)�

�� ��� �� ϕ : [s,ω) → [a,β) ���������� ���������������� ���������� ���� ��� β

a

f(x) dx =

� ω

s

f ◦ ϕ(t)ϕ�(t) dt.

�� ��� �� �������� f � g ���������� ����������������� ���� ��� β

a

f(x) dg(x) = f(x)g(x)��βa−

� β

a

g(x) df(x),

��� �� f(x)g(x)��βa:= lim

b→βf(x)g(x)

��ba�

Primer �. ��������

J =

� π/2

0

log sinx dx

�� ������������ ����� �� sin 0 = 0� ���� �������� ������ �� ��������� ����������� � ���� �� �� �������� ������ �� ���� ������ �������� ����� x = 2t�

J = 2

� π/4

0

log sin(2t) dt =π

2log 2 + 2

� π/4

0

log sin t dt+ 2

� π/4

0

log cos t dt.

��� � ��������� ��������� ������� ����� t = π2 − u� ��������

� π/4

0

log cos t dt =

� π/2

π/4

log sin t dt,

Page 25: enastava.matf.bg.ac.rs - π 10enastava.matf.bg.ac.rs/~milinko/integral.pdf" + - 4 % # Zadatak 9. $ ! lim n→∞ 17 +27 +···+n7 n8 Zadatak 8. $ ! lim n→∞ 1 nk+m+1 n −1 j=1

�� ������������ �������� ���

�� ����������� �� ��

J =π

2log 2 + 2J,

������� J = −π2 log 2� �

Zadatak ��. �������� �� ��� +∞

0

log (1 + x)

1 + x2=

π

4log 2 +G,

��� �� G ���������� ��������� ������� ������� �� �� ���� �������������� ������ ������� � �� ���� ��� � ������� �� �� ���� ���� �

���� ����������� �������������� �� ��������� ����������� �� ������������� ������ ���������� � �� ���� ���� ������ �� ������� ���������� �������������� ������������� ����������

Lema �. (Koxijev kriterijum konvergencije integrala) ��������β�a

f(x) dx ���������� ��� � ���� ���

(∀ε > 0)(∃B ∈ (a, β)) b1 > B ∧ b2 > B ⇒����� b2

b1

f(x) dx

���� < ε

� ����� �� ������ �������� ���������� ������������� ��������� � ��������

�� � �� ���� ��� �� �������� F (b) =� b

af(x) dx� �

������ �� ��������β�a

f(x) dx apsolutno konvergira ��� ���������� ���

������β�a

|f(x)| dx� ����� ��

����b2�

b1

f(x) dx

���� ≤b2�

b1

|f(x)| dx,

�� ���� � ����� �� �� ����� ��������� ������������ �������� �������������������� ���� ������ ��� ���� ������ �������� � ������� ���

������ ��������� ������������� ��������� �� ����� �� ���������� �������������� ��������� ��������� ��������� ������ �������� ����������� �������������� ������ ����������

Lema �. ���� �� f : [a,β) → R ���������� ��������� ����� �� �� f(x) ≥ 0

�� ����� x ∈ [a,β)� ���� ��������β�a

f(x) dx ���������� ��� � ���� ��� ��

�������� F (b) =b�a

f(x) dx ���������� �� [a,β)�

� �� ������������ �������� f ����� �� �� �������� F �������� �� ��� �������� ���� �� �� ���� ���� lim

b→βF (b) = supF (b)� �

Posledica �. (Integralni test konvergencije redova) ���� �� f :[1,+∞) → R ���������� � ��������� �������� � ���� �� f(x) ≥ 0 �� �����

Page 26: enastava.matf.bg.ac.rs - π 10enastava.matf.bg.ac.rs/~milinko/integral.pdf" + - 4 % # Zadatak 9. $ ! lim n→∞ 17 +27 +···+n7 n8 Zadatak 8. $ ! lim n→∞ 1 nk+m+1 n −1 j=1

��� �� �������� ��������

x ∈ [a,+∞)� ���� ��������+∞�1

f(x) dx ���������� ��� � ���� ��� ����������

���∞�

n=1f(n)�

� ����� �� �������� f ���������� ����

f(k + 1) ≤� k+1

k

f(x) dx ≤ f(k),

������ ��������� ��������

n�

k=1

f(k + 1) ≤� n+1

1

f(x) dx ≤n�

k=1

f(k).

������ ����� �� �� ������� �������� F (b) =b�a

f(x) dx ���������� ��� � ����

��� �� ��������� ������� ��� sn =�n

k=1 f(k)� �

Primer �. ������ ��� ������ �� ����

1np ���������� ��� � ���� ��� ��

p > 1� ��� ������� ���� ������ �� �������� �� ��������� � � ������� �� �

Zadatak ��. ���� �� an ����������� ������� ��� ���������� ���������������� �� �� ���

∞�

n=1

an+1 − an

ap+1n+1

������������ �� p > 0 ��� p = 0 ������ ������� �� �� ���� ����� �

Zadatak ��. ���� �� cn ��� ������� ���� ��������� ��������� [a,+∞)������ �� ��� �� ���� δ > 0� cn+1 − cn ≥ δ� ���� ��

f : [a,+∞) → [0,+∞)

��������� ��������� �������� �� ��� �������

limx→+∞

� x

a

f(t) dt, ����

���� ���∞�

n=1

f(cn) ����

����������� �������� ��� ��� ��� cn �������� ������� �����

supn≥2

(cn − cn−1) < +∞,

���� �� ������������� ���� ���� ����� ������������ ������ ����� �

Lema ��. (Poredbeni princip) ���� �� f : [a, β) → R � g : [a,β) → R���������� �������� ����� �� ��

0 ≤ f(x) ≤ g(x)

Page 27: enastava.matf.bg.ac.rs - π 10enastava.matf.bg.ac.rs/~milinko/integral.pdf" + - 4 % # Zadatak 9. $ ! lim n→∞ 17 +27 +···+n7 n8 Zadatak 8. $ ! lim n→∞ 1 nk+m+1 n −1 j=1

�� ������������ �������� ���

�� ����� x ∈ [a,β)� ��� ��������β�a

g(x) dx ���������� ���� ���������� � �����

����β�a

f(x) dx� ��� ��������β�a

f(x) dx ���������� ���� ��������� � ��������

β�a

g(x) dx�

� ����� ����� ��b2�

b1

f(x) dx ≤b2�

b1

g(x) dx

� ���� �� �Posledica �. ��� �� f, g : [a,β) → R ��������� ���������� ���������

����� �� ��

limx→β−0

f(x)

g(x)= c /∈ {0,+∞}

���� �� ���������β�

a

f(x) dx �

β�

a

g(x) dx

����������������� ��� ��� ��� ������������� ��� ��� ������������

� � ������� ����� β ��

(c− ε) g(x) ≤ f(x) ≤ (c+ ε) g(x),

�� ����� ����� �� ���� ��� �Primer ��. ��

�� cos xx2

�� ≤ 1x2 � ������� � ����� �� ��������

+∞�

π2

cosx

x2dx

��������� ����������� �

Primer ��. ��������+∞�π2

sin xx dx �� ������������� ��� ���� ��������� ����

���������� ������� ����������� ������������ ��������� +∞

π2

sinx

xdx = −cosx

x

��+∞π2

−� +∞

π2

cosx

x2dx = −

� +∞

π2

cosx

x2dx,

� �������� �������� ����������� �������� +∞

π2

����sinx

x

���� dx ≥� +∞

π2

sin2 x

xdx =

1

2

� +∞

π2

dx

x− 1

2

� +∞

π2

cos 2x

xdx.

���� �������� �� ������ ������ ���������� � ����� ����������� ��� +∞

π2

����sinx

x

���� dx

���������� �

Page 28: enastava.matf.bg.ac.rs - π 10enastava.matf.bg.ac.rs/~milinko/integral.pdf" + - 4 % # Zadatak 9. $ ! lim n→∞ 17 +27 +···+n7 n8 Zadatak 8. $ ! lim n→∞ 1 nk+m+1 n −1 j=1

��� �� �������� ��������

Primer ��. ��������� ���� ��������� ��������� �����

y =1

x, 1 ≤ x < +∞

��� x���� ��

V =

� +∞

1

π

�1

x

�2

dx = −π1

x

����+∞

1

= π,

��� �� �������� ���� �������� ������

A =

� +∞

1

2π1

x

�1 +

�− 1

x2

�2

dx = +∞,

��� �� 1x

�1 +

�− 1

x2

�2> 1

x � � ��������+∞�1

dxx ���������� ������ �������� ����

��� ������� ��������� � ���������� ��������� ��� ��� �� �������� ���� ������ �� ������ ������ ��� �� ���� �� �� ������� �

Zadatak ��. �� �� ������ �������� ��������� ����� �� ������� �� �������� x+ y = 1 ���� �� ��

��� ��������� ������ ������ �

Primer ��. �������� � +∞

0

e−x2

dx

����������� �������� +∞

0

e−x2

dx =

� 1

0

e−x2

dx+

� +∞

1

e−x2

dx.

���� �������� �� ������ ������ ���� ������������ � ����� ����������� ��� ��

[1,+∞) ���� e−x2 ≤ e−x� � ��������� +∞

1

e−x dx = −e−x

����+∞

1

= e

����������� �

Page 29: enastava.matf.bg.ac.rs - π 10enastava.matf.bg.ac.rs/~milinko/integral.pdf" + - 4 % # Zadatak 9. $ ! lim n→∞ 17 +27 +···+n7 n8 Zadatak 8. $ ! lim n→∞ 1 nk+m+1 n −1 j=1

�� ������������ �������� ���

�������� ���� ��� ����������� �� ������������� ��������� �������� �������� �������� ������������

Lema ��. (Abelov i Dirihleov test) ���� �� f : [a,β) → R ������������ g : [a,β) → R ���������� ���������������� �������� ��������� ��� ����

(A1) ��������β�a

f(x) dx ���������� �

(A2) �������� g �� �������������

(D1) �������� F (b) =b�a

f(x) dx �� ���������� �

(D2) limx→β

g(x) = 0

���� ��������β�a

f(x)g(x) dx �����������

� �� ����� ������� � ������� ��������� ����� ���� ������ b2

b1

f(x)g(x) dx = g(b1)

� ξ

b1

f(x) dx+ g(b2)

� b2

ξ

f(x) dx.

������ ����� ����� �� ����� ���� �� �Zadatak ��. �������� ������������� ���������

� +∞

0

sinx

xdx �

� +∞

0

x2 cos ex dx.

��������� � ������ ��������� ������ ����� ex = t� ����� ������������ ��������� �� ���� �������������� ���� �� ����

���������� �������� f : (α,β) → C� ���� ��� �� ������������ β

α

f(x) dx :=

� c

α

f(x) dx+

� β

c

f(x) dx, ����

��� �� c ���������� ����� ������ α � β� �� ����������� ��������β�α

f(x) dx

���������� ��� ��� ��������� �� ������ ������ � ���� �������������

Primer ��. �������� � +∞

−∞e−x2

dx

����������� ��� ������������ ���������� 0

−∞e−x2

dx �

� +∞

0

e−x2

dx

��� ������ ���� �

Primer ��. ���������� ���������e−x2

dx

���� ����������� ��������� ��� �������� ��������

I =

� +∞

−∞e−x2

dx,

Page 30: enastava.matf.bg.ac.rs - π 10enastava.matf.bg.ac.rs/~milinko/integral.pdf" + - 4 % # Zadatak 9. $ ! lim n→∞ 17 +27 +···+n7 n8 Zadatak 8. $ ! lim n→∞ 1 nk+m+1 n −1 j=1

��� �� �������� ��������

������ ��� �������� ��������� ���� �� �� ��������� ����� �� ������ ���������� ����������� �����

z = e−(x2+y2).

��� ����� �� ������ ��������� ����� z = e−x2

��� z����� ������ �� ����� xy������ � ������� ��� ���������� ����� �� ����� � ����� (0, 0, 1)� �������������������� ���� ����� ������ �� ��� ������ �� ������������� ����� �� ������z �� ���� ���� �� ����������� r =

√− log z ���������� �� ��������� �� ���������� (0, 1)�� �� �� �������� ��������� ������� −π log z� �� ����������������������� ����� �� �� ��������� ����

V = −π

� 1

0

log z dz = π.

����������� ���� V ������ ������� �� ����������� ������� y = const� ����������� y� ������ �� ����� ���� (0, y, 0) ���� �� �������� �� y ��� ��� ���������

A(y) =

� +∞

−∞e−(x2+y2) dx = e−y2

� +∞

−∞e−x2

dx.

�� ��������������� �������� ���� ����� �� ��

V =

� +∞

−∞A(y) dy =

� +∞

−∞e−y2

dy ·� +∞

−∞e−x2

dx = I2.

������ ����� �� �� I =√π� �

Primer ��. ��������� +∞

−∞e−x dx =

� 0

−∞e−x dx+

� +∞

0

e−x dx

���������� ��� ���� �������� �� ������ ������ ���������� �

Primer ��. ���� �� a� b ��������� ������ �������� ��������� ������� +∞

0

f(ax)− f(bx)

xdx

�������� �� ��������������� ����������� ��� ������ �������������� � ��������� f � ���� ����������� �������

� +∞

0

f(ax)− f(bx)

xdx = (f(0)− f(+∞)) log

b

a.

���� ��� ���� ��� �� f : [0,+∞) → R ���������� ��������� ����� �� ��������� +∞

y

f(x)− f(+∞)

xdx ����

���������� �� ����� y > 0� �������� ��� ������� ��� ��� ������������������������ ���� �� ������ �� ������������� �� �� f(+∞) = 0 �� ��������������� �������� f(x) ������ �� ���������� �������� f(x)− f(+∞)�� � ���������� ����� ���� ����� �� �� ����� y > 0 ��������

� +∞

y

f(x)

xdx

��������� �Giuliano Frullani� ����������� ����������� �����������

Page 31: enastava.matf.bg.ac.rs - π 10enastava.matf.bg.ac.rs/~milinko/integral.pdf" + - 4 % # Zadatak 9. $ ! lim n→∞ 17 +27 +···+n7 n8 Zadatak 8. $ ! lim n→∞ 1 nk+m+1 n −1 j=1

�� ������������ �������� ���

����������� ���� ��

� R

ε

f(ax)− f(bx)

xdx =

� R

ε

f(ax)

xdx−

� R

ε

f(bx)

xdx.

����� ������� ����� t = ax � ����� � t = bx � ������ ��������� �� ������������ � ������������ ��������� ��������� ������� ��������

� R

ε

f(ax)− f(bx)

xdx =

� bε

f(t)

tdt−

� bR

aR

f(t)

tdt.

��� �� ���� �������� �� ������ ������ ��������� ���� ������� � ���������������� ������� ��� ����� ��������

� bε

f(t)

tdt = f(ξ1)

� εb

εa

dt

t= f(ξ1) log

b

a

�� ���� ξ1 ∈ [εa, εb]� ����������� �� ���� ����� �� ������ ����������� ��������� �� ��

� bR

aR

f(t)

tdt = f(ξ2) log

b

a

�� ���� ξ2 ∈ [aR, bR]� ����� ξ1 → 0 ��� ε → 0 � ξ2 → +∞ ��� R → +∞� ����������� ����� ����������� ��������

�� ����������� ������� ������ �� ������� �� ��� +∞

0

arctan (ax)− arctan (bx)

xdx =

π

2log

a

b�

� +∞

0

e−ax − e−bx

xdx = log

b

a

�� ��������� ������� a� b� �

Zadatak ��. �������� �� ��

� +∞

0

arctan(−ax)ax − arctan(−bx)

bx

xdx = log

a

b.

�� ��������� ������� a � b� �

Zadatak ��. ���� �� a � b ��������� �������� �������� �� ��� +∞

0

cos (ax)− cos (bx)

xdx = log

b

a

� ������ ������� �������� +∞

0

sin (px) sin (qx)

xdx =

1

2log

����p+ q

p− q

����

�� ��������� ������� p� q� �

Zadatak ��. �������� �� ��

� 1

0

tb−1 − ta−1

log tdt = log

b

a

�� ��������� ������� a� b� �

Page 32: enastava.matf.bg.ac.rs - π 10enastava.matf.bg.ac.rs/~milinko/integral.pdf" + - 4 % # Zadatak 9. $ ! lim n→∞ 17 +27 +···+n7 n8 Zadatak 8. $ ! lim n→∞ 1 nk+m+1 n −1 j=1

��� �� �������� ��������

��������� ��� �� ���������� ������������� ��������� �� ���� �������������� �� ���� ���� �������� �� ����� ������ � ���� ���������� ��� �������

lima→α

� c

a

f(x) dx � limb→β

� b

c

f(x) dx.

���� ������� �� ������� limδ→0+0

β−δ�α+δ

f(x) dx�

Primer ��. ���� �������

limb→+∞

� +b

−b

x dx = limb→+∞

x2

2

����+b

−b

= 0,

��������+∞�

−∞

x dx =

0�

−∞

x dx+

+∞�

0

x dx

���������� ��� ����������� ��� ��������� �� ������ ������� �

�����

v.p.

� β

α

f(x) dx := limδ→0+0

� β−δ

α+δ

f(x) dx,

��� �� α� β ������� ���������� ������ ���� � ������� α = −∞� β = +∞�

v.p.

� +∞

−∞f(x) dx := lim

T→+∞

� T

−T

f(x) dx,

������ �� glavnom vrednox�u ������������� ���������� ���� ��� � ������� ���

v.p.+∞�−∞

x dx = 0�

������������� ���� �� �� ���� ���������� ��������

f : [a, γ) ∪ (γ, b] → C.

���� ��� � b

a

f(x) dx =

� γ

a

f(x) dx+

� b

γ

f(x) dx

�� �� ����������� �������� �� ����� ������ ���������� ��� ������������ ������������ �� ������� �����

v.p

� b

a

f(x) dx := limδ→0+0

�� γ−δ

a

f(x) dx+

� b

γ+δ

f(x) dx

������ �� glavnom vrednox�u ������������� ���������� b

af(x) dx�

Primer ��. ��������1�

−1

dxx ���������� ��� �� v.p.

1�−1

dxx = 0� �

Zadatak ��. �������� ������������� �������� ���������

���

π2�0

tg x dx ���+∞�−∞

ex−ex dx ���+∞�0

dx√x4+x

���+∞�0

sin xxp dx� �

Page 33: enastava.matf.bg.ac.rs - π 10enastava.matf.bg.ac.rs/~milinko/integral.pdf" + - 4 % # Zadatak 9. $ ! lim n→∞ 17 +27 +···+n7 n8 Zadatak 8. $ ! lim n→∞ 1 nk+m+1 n −1 j=1

�� ������������ �������� ���

Zadatak ��. ���� �� f : [0,+∞) → R ���������� ��������� ����������������� �������� �� �� ������������� ���������

� +∞

0

f(x) dx

ne sledi �� ��

limx→+∞

f(x) = 0.

�� �� �� ������������� ���� ������������� ��������� ����� �� �� �������� f����������� �

��������� ������� �������� �� �� ������������ ��������� �� ���� ����������� ���������� ������� ������������� ����

�an ���������� ⇒ lim

n→∞an = 0.

�� ��� � ���� �� � ������� �������

Zadatak ��. ���� �� f : R → C ���������� ���������������� ����������������� �� �� ������������� ���������

� +∞

−∞|f �(x)| dx

����� �� �������

limx→+∞

f(x),

� �� �� ������������� ���������� +∞

−∞f(x) dx �

� +∞

−∞|f �(x)| dx

����� �� ��

limx→+∞

f(x) = 0.

��������� ���������

|f(x1)− f(x2)| =����� x1

x2

f �(x) dx

���� ≤� +∞

−∞|f �(x)| dx

� ������� ����� ������������ ������� �Zadatak ��. ���� �� f : [a,+∞) → R �������� ��������� ����� �� �����

���� � +∞

a

f(x) dx

����������� �������� �� ��

limx→+∞

f(x) = 0 � limx→+∞

xf(x) = 0.

��������� �� ��������� ������ �� ������������� ��������� �����

limx→+∞

� x

x/2

f(t) dt = 0,

� �� ��������� �������� f : [a,+∞) → [0,+∞) ��� x

x/2

f(t) dt ≥ 1

2xf(x).

Page 34: enastava.matf.bg.ac.rs - π 10enastava.matf.bg.ac.rs/~milinko/integral.pdf" + - 4 % # Zadatak 9. $ ! lim n→∞ 17 +27 +···+n7 n8 Zadatak 8. $ ! lim n→∞ 1 nk+m+1 n −1 j=1

��� �� �������� ��������

�� x > a� �

Zadatak ��. ���� �� f : (0, 1] → R �������� ��������� ����� �� ��������� 1

0

f(x) dx

�������������� �������� ��� ��� �������� f ���������� �������� ����� �� p = 0� ����

limn→∞

1

n

n�

k=1

f(k/n) =

� 1

0

f(x) dx.

��� �������� �� ��

limn→∞

n√n!

n=

1

e,

���� �������� ����� ������ ������� �� �� ���� ������������� ��� �� f ��������� � ���������� ���� ��

� k/n

(k−1)/n

f(x) dx ≤ 1

nf(k/n) ≤

� (k+1)/n

k/n

f(x) dx

�� 2 ≤ k ≤ n− 1� ������ ����� �� �� n > 2 ����

1

nf(1/n) +

� 1

1/n

f(x) dx ≤ 1

n

n�

k=1

f(k/n) ≤� 1

1/n

f(x) dx+1

nf(1).

�� ����� ���������� ��� ����� f(x) = log x� �

�� ������� ��������

� ���� ��������� ���� �������� ������� ��������� ����������� ������������������ ���������

���� ���������� ��������� ���������� ���� �� [a, b] ��������� � ��������� ��������� ������� ���� ������ P = {x0, . . . , xn}� ������ �� ��

a = x0 < x1 < · · · < xn−1 < xn = b

������ �� podelom ��������� [a, b]� ����� x1, . . . , xn �������� �� podeonim ta-qkama� � ��������� [xk−1, xk] podeonim intervalima ������ P �

������ P1 �� finija �� ������ P2 ��� �� P2 ⊂ P1� ��� ��� �� ����� ������������ ������ P2 ����������� � ������� ����� ������ P1�

���� �� ���� ������ P = {x0, . . . , xn} � ���� ��� �� 1 ≤ k ≤ n� Δk = xk−xk−1

������ ��������� [xk−1, xk]� ���� �� f : [a, b] → R ���������� �������� � ������

mk = infx∈[xk−1,xk]

f(x), Mk = supx∈[xk−1,xk]

f(x).

����

s(f, P ) =n�

k=1

mkΔk � S(f, P ) =n�

k=1

MkΔk

�������� donjom i gornjom Darbuovom sumom �������� f �� ������ P �

Lema ��. ���� �� ������ P1 ������ �� ������ P2� ���� ��

s(f, P2) ≤ s(f, P1) � S(f, P1) ≤ S(f, P2).

Page 35: enastava.matf.bg.ac.rs - π 10enastava.matf.bg.ac.rs/~milinko/integral.pdf" + - 4 % # Zadatak 9. $ ! lim n→∞ 17 +27 +···+n7 n8 Zadatak 8. $ ! lim n→∞ 1 nk+m+1 n −1 j=1

�� ������� �������� ���

� ������������� ���� �� ��

P2 = {x0, . . . , xn}, P1 = {x0, . . . , xj , ξ, xj+1, . . . , xn}.���� ������� ���� ����� �� ���������� ������������

infx∈[xj ,ξ]

f(x)(ξ − xj) + infx∈[ξ,xj+1]

f(x)(xj+1 − ξ) ≥ infx∈[xj ,xj+1]

f(x)(xj+1 − xj),

supx∈[xj ,ξ]

f(x)(ξ − xj) + supx∈[ξ,xj+1]

f(x)(xj+1 − ξ) ≤ supx∈[xj ,xj+1]

f(x)(xj+1 − xj).

����� �� ������ P1 ������ ��������� ������� ����� ������ ������ P2� ��������� ���������� ����������� ������� ���� ���� ���������� �� ���� ������������ �

Posledica �. ���� �� P1 � P2 ���������� ������ ��������� [a, b]� ������ s(f, P1) ≤ S(f, P2)�

� ���� �� P ����� ������ P1 � P2� ��� ������ ���� �� ������� ����� ��� ������������ ������ P1 � P2� ������ P �� ������ �� ������ P1 � P2� �� �� ������������� �����

s(f, P1) ≤ s(f, P ) � S(f, P ) ≤ S(f, P2).

����� ���� ����� �� ��������� ������������ s(f, P ) ≤ S(f, P )� ��� ��������� ��������� ����� �� �� ����

{s(f, P ) | P ������ ��������� [a, b]}��������� ������ ���� ����� ������ ��������� ����� ��� �� ������ ����������������� ��� ��������� ������� ����

{S(f, P ) | P ������ ��������� [a, b]}�� ��������� ������ ���� ����� ����� ��������� ������ �� ��� ����������������

� b

af(x) dx := supP s(f, P ) �

� b

af(x) dx := infP S(f, P ).

�������� �� gornjim i donjim Darbuovim integralom �������� f �

Definicija �. ���������� �������� f : [a, b] → R �� integrabilna poRimanu ��� �� � b

a

f(x) dx =

� b

a

f(x) dx.

� ��� �������� ���������� �������� ������ � ����� ��������� ��������� �����

���� Rimanovim integralom �������� f � ���������� ��b�a

f(x) dx�

�� ���������� �������� f : [a, b] → C ������ �� �� ������������ �� ������� ��� �� ����� �������� Re f � Im f � � ��� �������� ��� ������� ���������� � b

a

f(x) dx =

� b

a

Re f(x) dx+ i

� b

a

Im f(x) dx. ����

������� ������� �������� �� �� ��������� �������� ����� �������� b

a��

������� � ������� ���������

Teorema �. �� ���������� �������� f � ������� �������� ������ �� �����������

Page 36: enastava.matf.bg.ac.rs - π 10enastava.matf.bg.ac.rs/~milinko/integral.pdf" + - 4 % # Zadatak 9. $ ! lim n→∞ 17 +27 +···+n7 n8 Zadatak 8. $ ! lim n→∞ 1 nk+m+1 n −1 j=1

��� �� �������� ��������

� �� ���� ������ �� ������� ������������ �������� ������ � �������������� �� �� ���������� �� ������ ������ ��������� ����������� ����������

��� ������ Pn� ���� �� �P1 = P1� �P2 = �P1 ∪ P2� � � � � �Pk+1 = �Pk ∪ Pk+1� �� �����

k� �� ���� �� ����� �� �� ������ s(f, �Pn) � S(f, �Pn) ��������� �� ��

limn→∞

s(f, �Pn) = supn

s(f, �Pn) ≤ infn

S(f, �Pn) = limn→∞

S(f, �Pn). ����

��� �� �������� f ����������� �������� � ����� �� �� ��� ������� �������������� ���� ��� �� ������ � ����� �� �� ���������� ��������� ��������� ������������� ���� ����� �� �� �� ������ � ���������� �

Zadatak ��. ���������� ���� � ����� ������� ��������

� b

a

χQ(x) dx �

� b

a

χQ(x) dx

���������� ��������

χQ(x) :=

�1 �� x ∈ Q

0 �� x /∈ Q.

�� �� �� ���������� �������� ������������ �� ������� �

Teorema �. (Darbuov kriterijum integrabilnosti) ���������� ��������� f : [a, b] → R �� ������������ �� ������ ��� � ���� ��� �� ����� ε > 0������� ������ P ��������� [a, b] ����� �� ��

S(f, P )− s(f, P ) < ε.

� ������������� ���� �� �� f : [a, b] → R ������������ �� ������� ���� ��

supP

s(f, P ) = infP

S(f, P ) =

� b

a

f(x) dx.

���� �� ε > 0� ���� ������� ������ P1 � P2 ����� �� ��� b

a

f(x) dx− s(f, P1) <ε

2� S(f, P2)−

� b

a

f(x) dx <ε

2,

�� �� S(f, P2)− s(f, P1) = S(f, P2)−� b

af(x) dx+

� b

af(x) dx− s(f, P1) < ε� ����

�� P ����� ������ P1 � P2� �� ���� �� ����� S(f, P )− s(f, P ) < ε�������������� ���� �� �� ����� ε > 0 ������� ������ P ��������� [a, b]

����� �� �� S(f, P )− s(f, P ) < ε� ���� ��

� b

a

f(x) dx−� b

a

f(x) dx < S(f, P )− s(f, P ) < ε.

����� �� ε ����������� ������ ����� �� �� ����� ������� �������� ������������ �

��������� �� �� ������� � ������ ��������� �� ������� �� �� �� ������������������ ������������ �� ������� ������� ���� �� f : [a, b] → R ������������������ � ���� �� ε > 0� �� ��������� ������� ����� ���� ����� �� �� f��������� ����������� ��

(∃δ > 0) |x− y| < δ ⇒ |f(x)− f(y)| < ε

b− a.

Page 37: enastava.matf.bg.ac.rs - π 10enastava.matf.bg.ac.rs/~milinko/integral.pdf" + - 4 % # Zadatak 9. $ ! lim n→∞ 17 +27 +···+n7 n8 Zadatak 8. $ ! lim n→∞ 1 nk+m+1 n −1 j=1

�� ������� �������� ���

���� �� ���������� ������ P : a = x0 < x1 < · · · < xn−1 < xn = b ����� �� ��Δk < δ �� ����� k ���� Mk −mk < ε

b−a � �� ��

S(f, P )− s(f, P ) =n�

k=1

(Mk −mk)Δk <ε

b− a

n�

k=1

Δk =ε

b− a(b− a) = ε,

���� ����� ������� �� ����� �� �� f ������������ �� ������� ������� ���������� �������� ��� ������� � �������� �� ������� �������� ������ ����������������

Posledica �. ���� �� f : [a, b] → C ���������� �������� ���� ��� ������������ ������ �������� ���� �� f ������������ �� �������

� �� ���� ����� �� ������� ������������ �������� ������ � ���������� ������ �� ���������� �� ������ ������ ��������� ���� �� ε > 0� ���� �� [x1, y1]�� � � � [xm, ym] ��������� ���� ������ ����� �������� ����� �� ��

m�

k=1

(yk − xk) <ε

4 supx∈[a,b]

|f(x)| .

�� ��������� ������� ����� �� �� �������� f ��������� ���������� �� �����

A = [a, x1] ∪ [y1, x2] ∪ · · · ∪ [ym−1, xm] ∪ [ym, b], ����

��

(∃δ > 0)(∀x, y ∈ A) |x− y| < δ ⇒ |f(x)− f(y)| < ε

2(b− a).

�������� ����� �� ��������� � ���� �� ������������ ������ ���� �� δ� ��������� ������� ����� �� z1� � � � � zn� ���� �� P ������ ��������� [a, b] ������������ ������ z1� � � � � zn� x1� � � �xm� y1� � � � � ym� ���� ��

S(f, P ) − s(f, P ) =n�

k=1

�sup

x∈[zk,zk−1]

f(x)− infx∈[zk,zk−1]

f(x)�(zk − zk−1)+

+m�

k=1

�sup

x∈[yk,xk]

f(x)− infx∈[yk,xk]

f(x)�(yk − xk)

< ε2(b−a)

n�k=1

(yk − yk−1) + 2 supx∈[a,b]

|f(x)|m�

k=1

(yk − xk) <ε2 + ε

2 = ε.

����� ���� ����� �� ������� �� �

Posledica �. ���� �� f : [a, b] → R �������� ��������� ���� �� f ������������� �� �������

� ���� �� ε > 0� ���� �� P = {x0, x1, . . . , xn} ������ ��������� [a, b] �� �������� Δk < ε

|f(b)−f(a)| �� ��� k� �� ����������� �������� f ����� �� �� ���

x, y ∈ [a, b] ���� Mk −mk = |f(xk)− f(xk−1)| �n�

k=1

��f(xk)− f(xk−1)�� =

����n�

k=1

�f(xk)− f(xk−1)

�����,

Page 38: enastava.matf.bg.ac.rs - π 10enastava.matf.bg.ac.rs/~milinko/integral.pdf" + - 4 % # Zadatak 9. $ ! lim n→∞ 17 +27 +···+n7 n8 Zadatak 8. $ ! lim n→∞ 1 nk+m+1 n −1 j=1

��� �� �������� ��������

�� ��

S(f, P )− s(f, P ) =n�

k=1

(Mk −mk)Δk

< ε|f(b)−f(a)|

n�k=1

��f(xk)− f(xk−1)��

< ε|f(b)−f(a)|

����n�

k=1

�f(xk)− f(xk−1)

�����= ε

|f(b)−f(a)| (|f(b)− f(a)|) = ε.

������ ����������� �� ����� ����� �� ������� �� �

���� ����� � �������� ������� ���� �� P ������ ��������� [a, b] ���������� �������

a = x0 < x1 < · · · < xn = b.

��������

λ(P ) := max1≤j≤n

|xj − xj−1|

������ �� ���������� ������ P ����� �� ξ = (ξ1, · · · , ξn) n������ ������ ���� ������������ ξj ∈ [xj−1, xj ]�

��� (P, ξ) ������ �� ������� �� ���������� �������� ���� ��

σ(f, P, ξ) :=n�

j=1

f(ξj)(xj − xj−1).

������ �� ��

J = limλ(P )→0

σ(f, P, ξ)

��� �� ����� ε > 0 ������� ����� δ > 0� �� �� ����� ������ �� ����������������� (P, ξ) ���� �� ��������� λ(P ) < δ ���� |J − σ(f, P, ξ)| < ε�

��������� ����

s(f, P ) ≤ σ(f, P, ξ) ≤ S(f, P ). ����

Zadatak ��. �������� �� ����

s(f, P ) = infξσ(f, P, ξ) S(f, P ) = sup

ξσ(f, P, ξ). ����

��������� ���� � ���� �������� �� �� �������� f ������������ �� ������ ��[a, b] ��� � ���� ��� ������� lim

λ(P )→0σ(f, P, ξ)� �

�� ���������� ������� �������� ������������ ���������� ��������� �����������

� b

a

f(x) dx = limλ(P )→0

σ(f, P, ξ). ����

��������� �� ��� ���������� ��� ������ � �� �������� �� ����������� ������ C�

Page 39: enastava.matf.bg.ac.rs - π 10enastava.matf.bg.ac.rs/~milinko/integral.pdf" + - 4 % # Zadatak 9. $ ! lim n→∞ 17 +27 +···+n7 n8 Zadatak 8. $ ! lim n→∞ 1 nk+m+1 n −1 j=1

�� ������� �������� ���

���� ������� ���� ����� ��������������� ���� S ⊂ R �� ���� Lebe-gove mere nula ��� �� ����� ε > 0 ������� ������� ���������� ����������������� ���������

�(an, bn)

�n∈N

����� �� ��

S ⊂�

n∈N

(an, bn) �

∞�

n=1

(bn − an) < ε.

Primer ��. ������� ���� �� ���� �������� ���� ����� ������� ��� ��S = {s1, . . . , sk} � ε > 0� ���� �������� ��������� Ij = (s1−2−j−1ε, s1+2−j−1ε)�1 ≤ j ≤ k ������� S� ���� �� |Ij | ������ ��������� Ij � ���� ��

�j

|Ij | =�j

ε2j <

ε. �

Lema ��. ���������� ����� ������� �������� ���� ���� �� ���� ���� �����

� ���� ���Sk}k∈N ���������� �������� ������� ���� ���� � ε > 0� ���

��� �� ����� �� ������� Sk �������� ���� ����� �� ����� k ������� ������������������ ���������

�Ikj }j∈N ����� �� ��

Sk ⊂�

j∈N

Ikj �

∞�

j=1

|Ikj | <ε

2k,

��� �� |Ikj | ������ ��������� Ikj � ���� ���

k∈N

Sk ⊂�

k∈N

j∈N

Ikj

� ∞�

k=1

∞�

j=1

|Ikj | <∞�

k=1

ε

2k= ε,

��� ����� �� ���

k∈N Sk ���� �������� ���� ����� �

����������� �� ���� �� � ������� �� ����� �� �� ����� ��������� �������� ����� � �������� ������� ��������� ����� ����������� ���� ������������ �����

Primer ��. � ������� �� �� ���� �� ��� ������������ �������� ����� ��������� ������� Cn ��������� ������������� ��������� �������� ������������������� �� �� ����� �� ������� Cn ����� 2n ���������� ��������� �� ������� ����� ������ ( 13 )

n� ���� �� �� ���� ������ ���� ��������� ���� �� ����� Cn

������ ( 23 )n� ����� ( 23 )

n → 0 ��� n → ∞� ����� �� �� �������� C ���� ��������� ���� �� ����� �� �� C ���������� � ������ ����� ������ �� �� �� C��������� � ������ ������������� ��� ������� �� �� ���� ���� �

Primer ��. �������� [a, b] ���� ���� �������� ���� ����� ������� ������������ ���������� �������� (an, bn) ��������� ���� ������� [a, b] �����n(bn − an) ≥ b− a� �

Lema ��. ���� �� [a, b] ��������� �������� � S ⊂ [a, b] �������� ��������� �� S ���� �������� ���� ���� ��� � ���� ��� �� ����� ε > 0 �������������� �������� ��������� (a1, b1)� � � � � (am, bm) ����� �� ��

S ⊂ (a1, b1) ∪ · · · ∪ (am, bm) �

m�

k=1

(bk − ak) < ε.

Page 40: enastava.matf.bg.ac.rs - π 10enastava.matf.bg.ac.rs/~milinko/integral.pdf" + - 4 % # Zadatak 9. $ ! lim n→∞ 17 +27 +···+n7 n8 Zadatak 8. $ ! lim n→∞ 1 nk+m+1 n −1 j=1

��� �� �������� ��������

� �� ���������� ����� �������� ���� ���� ����� �� ������� ���������� ��������� ��������� {In}n∈N ���� ������� ���� S � ���� �� ������ ������ ���� �� ε������ �� S ��������� ����� ���������� [a, b] \ S �� �������� �� ��� �� ����������� ��������� ����� ����������� �� �� ���� ���� ���� ����������� ��� �������������� ��������� {Jλ}λ∈Λ� ��������� {In}n∈N� {Jλ}λ∈Λ �������� ����������������� ��������� [a, b]� �� �������������� ������� �������� ����� �� ���� ���� ���� ��������� ������� ������������� ��������� Ik ���� ����� ��� ������������ �������� ������� ��������� ����� S � ������ ������ �� ������ �� ε� �

� ��������� � ��� ������ �� �� ���������� �������� ���� ��� ������������ ������ ������� ������������ �� ������� � � ��������� � �� � ���������� ���������� ����� ������� ���� �� ���� ������������ �� ������� ��������� �������� �� �������� ��������� � ������ �� ��� � ��������� �� ����� �������� ���������� ����� ������ ������� �������� � �� ���� ����� � ������� �������� ��� ������ �������� ����� �� ����� ����� ����� ������� ��� ������������ �� �� ���� ���� � ���� ���� ������������ �� �������

���� ���� ���������� ����������� ���� ������ ������������� � ���������������� �� �������

Teorema �. (Lebegova teorema o integrabilnosti) ���������� ��������� f : [a, b] → C �� ������������ �� ������ ��� � ���� ��� �� ���� ������������ ���� �������� ���� �����

� ����� �� ����� ��� ����� �������� ���� ���� ���� �������� ���� ��������� ���� �� ���� ����� �� ��� ������� ���� �� ������ � ���������� ������������� ��������� ��� ���� � �� ���� ��������� ���������� �� ���� �������� ������ ��������� ���� �� S ���� ������� �������� f : [a, b] → R�

������������� ���� �� �� f ������������ � �������� �� �� S ������������ ����� �� ��������� � �� ���� ��� ����� �� �� S ���� ������ x ∈ [a, b] ������� �� ���������� ω(f, x) �������� f ���� �� ����� ����������� S ��� �����

S =∞�

n=1

Sn,

��� �� Sn = {x ∈ [a, b] | ω(f, x) ≥ 1n}� �� ���� �� ����� �� �� ������� ��������

�� �� ����� �� ������� Sn �������� ���� ���������������� ���� Sn0

� ���� �� ε > 0� ����� �� f ������������� ����������� ����������� ��������������� �������� �� ����� �� ������� ������P = {x0, x1, . . . , xm} ��������� [a, b] ����� �� ��

S(f, P )− s(f, P ) <ε

n0.

���� ��

K := {k ∈ N | (xk−1, xk) ∩ Sn0�= ∅}.

�� ������

Mk = supx∈[xk−1,xk]

f(x), mk = infx∈[xk−1,xk]

f(x),

�� k ∈ K ����

Mk −mk ≥ 1

n0,

Page 41: enastava.matf.bg.ac.rs - π 10enastava.matf.bg.ac.rs/~milinko/integral.pdf" + - 4 % # Zadatak 9. $ ! lim n→∞ 17 +27 +···+n7 n8 Zadatak 8. $ ! lim n→∞ 1 nk+m+1 n −1 j=1

�� ������� �������� ���

������ �����

1

n0

k∈K

(xk − xk−1) ≤�

k∈K

(Mk −mk)(xk − xk−1) < S(f, P )− s(f, P ) <ε

n0.

������ �������� �

k∈K

(xk − xk−1) < ε. ����

��������� �� ��������� {(xk−1, xk)}k∈K ��������� ���� V = Sn0\ T � ��� �� T

���� ������ �� Sn0���� �� ������� ����� ������ P � �� ���� ����� �� �� ����

V �������� ���� ����� ����� �� ��������� �� �� � T ���� �������� ���� ���������� �� �� � Sn0

⊂ V ∪ T ���� �������� ���� ������������������ ���� �� �� S ���� �������� ���� ����� ����

Sε = {x ∈ [a, b] | ω(f, x) ≥ ε

2(b− a)}

�� �������� ������� ��������� [a, b]� ������� ��� �� x0 ∈ [a, b] \ Sε� ���� ��ω(f, x0) <

ε2(b−a) � �� ������� δ > 0 ����� �� ��

sup{f(x) | |x− x0| < δ}− inf{f(x) | |x− x0| < δ} <ε

2(b− a),

�� �� (x0 − δ, x0 + δ) ⊂ [a, b] \ Sε� ������ ����� �� �� [a, b] \ Sε �������� �� �� Sε

����������� Sε ⊂ S ����� �� �� Sε ���� �������� ���� ���� ��� �� ������ ���� ���

������� ������� �������� (a1, b1)� � � � � (ak, bk) ��������� ��������� ����� ����

Sε ⊂k�

j=1

(aj , bj) �

k�

j=1

(bj − aj) <ε

4 supx∈[a,b]

|f(x)| . ����

����� �� �� t ∈ [a, b] \�kj=1(aj , bj)

ω(f, t) <ε

2(b− a),

�� ����� t ∈ [a, b] \�kj=1(aj , bj) ������� �������� It ����� �� �� t ∈ It �

supx∈It

f(x)− infx∈It

f(x) <ε

2(b− a). ����

����� �� ���� [a, b] \�kj=1(aj , bj) �������� ������� ��������� [a, b]� �� ������

����

J =�It | t ∈ [a, b] \

k�

j=1

(aj , bj)�

������ �� ��������� ������� ������������ It1 � � � � � Itr ��� ����� ���� �������� �� P ������ ��������� [a, b] ���� �� ������� ����� ����� a1� b1� � � � � ak� bk� �������� ����� ��������� It1 � � � � � Itr � �� ��� ������ ������

S(f, P )− s(f, P ) < ε. ����

������� ������������ ���� S(f, P )−s(f, P ) =�

(Mj−mj)(xj−xj−1) �� ��� ������� ����� ���� �������� �������� ����������� (aj , bj) � ����� ����������� Itj �� ����������� ���� �� ���� � ���� �� ����� �������� ����� ����� ������� ��� ����� �� �� �������� f ������������ �� ������� �

Page 42: enastava.matf.bg.ac.rs - π 10enastava.matf.bg.ac.rs/~milinko/integral.pdf" + - 4 % # Zadatak 9. $ ! lim n→∞ 17 +27 +···+n7 n8 Zadatak 8. $ ! lim n→∞ 1 nk+m+1 n −1 j=1

��� �� �������� ��������

��������� �� �� ��������� � � � ���� ������ � ��� ��������� �����������������

Zadatak ��. �������� �������� ������� � ��������������� �������� ��������������� �������� �������� �� ������� �� �� ���� ��� � ������������������ �� ������� �� �� ���� ���� ��������� �������� �������� �� ��������� �� �� ���� ���� �

���� ��������� ����� ����������� �� ����������� ������ ������ [a, b] ⊂ R ��������� ��������� �� ���������� ��������� ��������� ��

� b

a

1 dx = supP

n�

k=1

1 ·Δk = b− a,

���

������ ��������� [a, b] =

b�

a

1 dx. ����

���������� ����� ������ ������ ��������� ������ �� �������� �� ������������� ���� �� S ⊂ R � ���� ��

χS(x) :=

�1 �� x ∈ S

0 �� x /∈ S

��������������� �������� ����� S� �������� χS �� �������� � ������ ��������� ∂S ����� S ��� ���������� �� �� ���� ��� � ���������� � ���� ��������������� ������� ������������� �� ��

x ∈ ∂S = S ∩ (R \ S).����� �� ���������� ��������� ����� ����������� �� �� ���� ���� � ������δ�������� ����� x ������� ����� x1 ∈ S � x2 ∈ R \ S� ����� �� ����

χS(x1)− χS(x2) = 1,

�������� χS �� ���������� ������� ����� � ����� x� �� �� �������� � ��������� �������� ���� ����

x /∈ ∂S = S ∩ (R \ S).�� ���������� ��������� ����� ����� �� ������� δ > 0 ����� �� �� (x−δ, x+δ) ⊂S ��� (x − δ, x + δ) ⊂ R \ S� � ����� ������� �� χS ≡ 1 �� (x − δ, x + δ)� � ������� χS ≡ 0 �� (x − δ, x + δ)� � ��� ������� �������� χS �� ���������� ������ x�

���� �� [a, b] �������� ���� ������ ���� S� �� ������� � ����� �� �� χS

������������ �� ������ �� [a, b] ��� � ���� ��� �� ��� ∂S ���� �������� ��������� � ��� �������� ���� S ������ �� merljivim u �ordanovom smislu� �����

µ(S) :=

� b

a

χS(x) dx ����

������ �� �ordanovom merom ����� S��� ���� ��� �������� � ��������� �������� ���������� �� ����������

���� �� ���� S ⊂ R ���������� ��������� ���� � f : S → C ����������� ��������� �������� �������� f �� ����� S ������������ ��� ��������

Page 43: enastava.matf.bg.ac.rs - π 10enastava.matf.bg.ac.rs/~milinko/integral.pdf" + - 4 % # Zadatak 9. $ ! lim n→∞ 17 +27 +···+n7 n8 Zadatak 8. $ ! lim n→∞ 1 nk+m+1 n −1 j=1

�� ������� �������� ���

�������� ���� �� ������� �������� f �� ����� S � ������� ���� ��� ����� S������������ ���� ��

S

f(x) dx :=

� b

a

f(x)χS(x) dx, ����

��� �� [a, b] ���� ���� �������� ����� �� �� S ⊂ [a, b]� ������� �������� �������� ������ � ���� �������� �������� �� integralom funkcije f po skupu S��� ��� ����������� ��������� ���� ���� ����� ���� �� �� ������ ���

µ(S) =

S

1 dx,

���� ������� �� ����� �������� �� �� ��������� ���� ��������� ������ �������������� ���� �������� �� �� ��� ���������� ������ ��� �� �� ������ �� ��������������� [a, b] ���� ������ ���� S�

Lema ��. ���� �� S ⊂ [a1, b1] � S ⊂ [a2, b2] � ���� �� f : S → C ����������� ��������� ���� �� �������� f · χS ������������ �� ������ �� ���������[a1, b1] ��� � ���� ��� �� ������������ �� ��������� [a2, b2] � ����

� b1

a1

f(x)χS(c) dx =

� b2

a2

f(x)χS(c) dx.

� �������� f · χS ���� �� ���� �������� � ������� ������� �������� f �� ������� ����� ∂S� ������� �� ������ �������� ������� � ��������������������� �� �� �������� f · χS ������������ �� ������ �� ��������� [a1, b1] ���� ���� ��� �� ������������ �� ��������� [a2, b2]�

���� �� �P1 � �P2 ������ ��������� [a1, b1] � [a2, b2]� ���� �� P1 ������ ������

���� [a1, b1] ���� ������ ��� ����� ������ �P1 � ����� ������ �P2 ���� �������������� [a1, b1] ∩ [a2, b2]� �� ������ ����� ������������ ������ P2 ���������

[a2, b2]� ��������� ������ ������ �P1 ���� ��������� ����� [a1, b1]∩[a2, b2] �������P2� �������� f · χS �� ������� ���� ��� ��������� [a1, b1] ∩ [a2, b2]� ����

S(f · χS , P1) = S(f · χS , P2).

������ P1 �� ������ �� ������ �P1� � ������ P2 �� ������ �� ������ �P2� �����

�� ��� ������������ ������ �� ���������� ������ �P1 � �P2� ����� ���� ������� ���� �� � ���������� ��������� ���������� �

Zadatak ��. ��� �������� �� �� ��������� ���� ����� S ⊂ [a, b] ����������� ��� � ���� ��� �� ����� ε > 0 ������� ������� �������� ��������� (a1, b1)�� � � � (an, bn) ����� �� ��

S ⊂ (a1, b1) ∪ · · · ∪ (an, bn) �

n�

k=1

(bk − ak) < ε.

���������� ��� �� �������� ���� ������ ����� ������� ������ ��������� [a, b]����� �� �� ����� �������� ���� �������� χS ����

�Mk)Δk < ε��

��� ���� �� ���� S ��������� ���� ����� �������� �� �� S �������� ���������

��� �������� �� �� Q ∩ [a, b] ���� �������� ���� ����� ��� �� ���� ������� ���������� ������� ���������� �������� �� �� ∂Q = R�� �

Page 44: enastava.matf.bg.ac.rs - π 10enastava.matf.bg.ac.rs/~milinko/integral.pdf" + - 4 % # Zadatak 9. $ ! lim n→∞ 17 +27 +···+n7 n8 Zadatak 8. $ ! lim n→∞ 1 nk+m+1 n −1 j=1

��� �� �������� ��������

���� �������� ��������� ���������� �� ������� � ����� �� �� ��� ��������� ��������� ��������� ������� �� ������� �������� neprekidne ������������������ ���� ���� �������� ��������� ��������� ���� ���� �� ������������������ ������������ �� �������

Lema ��. ���� �� S ⊂ R ��������� ���� � ���� �� �������� f : S → C �g : S → R ������������ �� ������� ���� ��������

S

f(x) dx

���� ≤�

S

��f(x)�� dx.

��� �� � f ������ � ��� �� f(x) ≤ g(x) �� ����� x ∈ [a, b] ���� ���

S

f(x) dx ≤�

S

g(x) dx.

� �� ���������� ��������� �� ����������� ����� ����� �� ������ �� �������������� �� �� S = [a, b]� ����� ���� ����� �� ������������� ��������� ��������� ����� �

Lema ��. ���� �� S ⊂ R ��������� ����� ���� �� �������� f : S → C �g : S → C ������������ �� ������ � ���� �� λ ∈ C� ���� ���

S

�f(x) + g(x)

�dx =

S

f(x) dx+

S

g(x) dx,

S

λf(x) dx = λ

S

f(x) dx.

� �� ���������� ��������� �� ����������� ����� ����� �� ������ �� �� ����������� �� ������ S = [a, b]� � �� ���� �� ������ �� ������������� �� �� f �g ������ ���������

����� �� f � g ������������ ��������� �� ����� ε > 0 ������� ������ P��������� [a, b] ����� �� ��

s(f, P ) >b�a

f(x) dx− ε2 , S(f, P ) <

b�a

f(x) dx+ ε2 ,

s(g, P ) >b�a

g(x) dx− ε2 , S(g, P ) <

b�a

g(x) dx+ ε2

�� sup(f + g) ≤ sup f + sup g, inf(f + g) ≥ inf f + inf g �����

s(f + g, P ) ≥ s(f, P ) + s(g, P ) >b�a

f(x) dx+b�a

g(x) dx− ε,

S(f + g, P ) ≤ S(f, P ) + S(g, P ) <b�a

f(x) dx+b�a

g(x) dx+ ε,

�� ��

b�

a

f(x) dx+

b�

a

g(x) dx− ε <

b�

a

�f(x) + g(x)

�dx <

b�

a

f(x) dx+

b�

a

g(x) dx+ ε.

����� �� ε ����������� ���� �� �������� ���� ���������� ������ �� ��������� ������ �

Lema ��. ���� �� �������� f : [a, b] → R ������������ �� ������� �������� � b

a

f(x) dx =

� c

a

f(x) dx+

� b

c

f(x) dx

�� ����� c ∈ [a, b]�

Page 45: enastava.matf.bg.ac.rs - π 10enastava.matf.bg.ac.rs/~milinko/integral.pdf" + - 4 % # Zadatak 9. $ ! lim n→∞ 17 +27 +···+n7 n8 Zadatak 8. $ ! lim n→∞ 1 nk+m+1 n −1 j=1

�� ������� �������� ���

� ����� �� f(x) = f(x)(χ[a,c](x) + χ(c,b](x))� �� �������� �� ���� �� �����

b�a

f(x) dx =b�a

(f(x)χ[a,c](x) + f(x)χ(c,b](x)) dx

=b�a

f(x)χ[a,c](x) dx+b�a

f(x)χ(c,b](x)) dx

=�

[a,c]

f(x) dx+�

(c,b]

f(x) dx

=c�a

f(x) dx+b�c

f(x) dx.

� ��������� ������ ��� ��������� ����������

(c,b]

f(x) dx =�

[c,b]

f(x) dx ����

���� ����� �� ���������� ��������� ���������� �

Zadatak ��. ���� �� a > 1 � f : [1, a] → C ���������� ������������������������� �������� �� ��

� a

1

[x]f �(x) dx = [a]f(a)−[a]�

k=1

f(k),

��� �� [x] ��� ��� ������� ����� x� �

Zadatak ��. �������� �� ��� �� n ∈ N�

� n+1

1

sin (πx)

[x]dx = − 2

π

n�

k=1

(−1)k−1

k.

� ������� � �� ���� ������ ��� ������ ���� �� ����������� ������������������ �������� �� ������ �������� ���� �������� ���� � �� ������������� ��������� ��� �� ������������� ���� � ������� � ������ �� �������������� ����������� ���� ������� ��������

Teorema ��. ���� �� f : [a, b] → C ������������ ��������� ���� �� ���������

F (x) =

� x

a

f(t) dt

���������� �� [a, b]� ��� �� �������� f ���������� � ����� x0� ���� �� F���������������� � ��� ����� � ���� F �(x0) = f(x0)�

� ����� �� f ������������� ��� �� ����������� ��� ���� |f(x)| ≤ M �� ����M ∈ (0,+∞)� �� ��

|F (x+ h)− F (x)| =

����x+h�a

f(t) dt−� x

af(t) dt

���� =�� x+h�

x

f(t) dt��

≤x+h�x

|f(t)| dt ≤ M |h|,

������ ����� �� �� F �����������

Page 46: enastava.matf.bg.ac.rs - π 10enastava.matf.bg.ac.rs/~milinko/integral.pdf" + - 4 % # Zadatak 9. $ ! lim n→∞ 17 +27 +···+n7 n8 Zadatak 8. $ ! lim n→∞ 1 nk+m+1 n −1 j=1

��� �� �������� ��������

���� �� �������� f ���������� � ����� x0� ���� ��

��F (x0+h)−F (x0)h − f(x0)

�� =�� 1h

x0+h�x0

f(t) dt− 1h

x0+h�x0

f(x0) dt��

=�� 1h

x0+h�x0

�f(t)− f(x0)

�dt��

≤ 1h

x0+h�x0

|f(t)− f(x0)| dt

≤ supt∈[x0,x0+h]

|f(t)− f(x0)|.

����� �� �������� f ���������� � ����� x0� �������� ����� ���� ���� ���h → 0� �

������� ������� �� �������� ��������� � �� ���� ����

Teorema ��. ���� �� ϕ : [α,β] → [a, b] ���������� ���������������� ����������� ϕ(α) = a� ϕ(β) = b � ���� �� f : [a, b] → C ������������ ��������� ������ � �������� f(ϕ(t))ϕ�(t) ������������ �� [α,β] � ����

� b

a

f(x) dx =

� β

α

f(ϕ(t))ϕ�(t) dt.

� ����� �� �������� f ������������� �� �������� ������� � �������������������� �� �� ���� ����� ������ ������� ���� ����� ����� �� ϕ ��������������������������� ����� �� �� � ���� ������� �������� f(ϕ(t))ϕ�(t) ���� ������� ��� ���� �� ��������� �������� � ��� �������������

����� �� ϕ ���������� ����� ��������� �� ����� ������ P : α = t0 < t1 <. . . < tn = β ����� xj = ϕ(tj) �������� ������ ��������� [a, b]� �������� ��������� �� Pϕ� �� ���������� ������������� �������� ϕ � ϕ−1 �����

λ(P ) → 0 ⇔ λ(Pϕ) → 0,

��� �� λ(·) ��������� ������ ��� �������� ��� �� ���� ����� �������� ����������� ������� �� ������� ���������� σ(f, P, ξ) ���������

f(ξj)|xj − xj−1| =�

f ◦ ϕ(τj)|xj − xj−1| =�

f ◦ ϕ(τj)ϕ�(τj)|tj − tj−1|,��� ���� �� ����� ξj �������� ���� �� �� ξj = ϕ(τj)� ��� �� τj ����� ���������������� ���������� ������� �� �������� ϕ �� ��������� [tj , tj−1]� ����������� ������� ��������� ���������� ��������� �� ����� ��� λ(P ) → 0 ���������� ���� �� ���� ����� �

���� ������������ ������� ��������� ������� �������� ��� ����������� �� ���������� �������� ���� �� ������������ �� ������ �� �������������������� [a, b]� ������������ ������� �������� �� ������ �� ��������������������� ��� ������������ ��������� ��� �� �������� f : [a, β) → C ������������� �� ������ � ���������� �� ������ ��������� [a, b] ⊂ [a,β)� �����

� β

a

f(x) dx := limb→β

� b

a

f(x) dx ����

�������� nesvojstvenim Rimanovim integralom �������� f � ��� ���� ��������� � ��������� β = ∞ ��� lim

x→β|f(x)| = +∞� ������� ����� ���� ����

���� ������ �� �������� ���� ����������� � ��������� ������ �� ����������

Page 47: enastava.matf.bg.ac.rs - π 10enastava.matf.bg.ac.rs/~milinko/integral.pdf" + - 4 % # Zadatak 9. $ ! lim n→∞ 17 +27 +···+n7 n8 Zadatak 8. $ ! lim n→∞ 1 nk+m+1 n −1 j=1

�� ���������������� �������� ���

������������ ������� �������� �� ���������� ����������� ������� ������������� ������� �������� �� ���� ������������� � ������ �������� �������������� ��������� ��������� �������� �� �� ������� ���� ����� ��� � �������� ��������� ����������

�������� ������ ���� � � ���� �� ����������� �� ������� ����������������������� ��������� � ��������� ������� ���� � �� ������������ ����������������

�� ���������������� ��������

���� ���������� ������������������ ���������� ����� �� ��������� ��������� ��������� �� ������������������ ��������� ���� �� ���������� ������� ������

���� �� α : [a, b] → R �������� � f : [a, b] → R ���������� ��������� �������� P = {x0, x1, . . . , xn} ��������� [a, b] ����������

Δαk := α(xk)− α(xk−1)

s(f,α, P ) =

n�

k=1

mkΔαk, S(f,α, P ) =

n�

k=1

MkΔαk,

��� �� mk := infx∈[xk−1,xk]

f(x)� Mk := supx∈[xk−1,xk]

f(x)� ������� ������

� b

a

f(x) dα(x) := supP

s(f,α, P ) �

� b

a

f(x) dα(x) := infP

S(f,α, P ).

Definicija �. ��� ��

� b

a

f(x) dα =

� b

a

f(x) dα.

��� �������� �������� Riman–Stiltjesovim integralom�������� f �� ����

����� α � ����������b�a

f(x) dα(x) ���b�a

f dα� ���� ���� ���������� ������

������� ������� �� �� ������� �� �� ���� � ������������������� � �� ���

�������� ���������� ��������� ������ (S)b�a

f(x) dα(x)�

��� �� f : [a, b] → C ���������� ���������� ��������� ��� ����������������� �������� �� ��������� �������� α : [a, b] → R ��

� b

a

f dα :=

� b

a

Re f dα+ i

� b

a

Im f dα,

������� ��������� �� ������ ������ ��������

Napomena �. �� ������ ����������� �������� α� �� ������������������� α ����� ���� ������������� (∀x ∈ [a, b])α(a) ≤ α(x) ≤ α(b)� ������� �� ���������� ���������������� � � �������� �������� �� ograniqene�������� f � α� ��� ������ ����������� �� α� ���� �� ����� �������� f � α �

���������� �T. J. Stieltjes� ����������� ��������� �����������

Page 48: enastava.matf.bg.ac.rs - π 10enastava.matf.bg.ac.rs/~milinko/integral.pdf" + - 4 % # Zadatak 9. $ ! lim n→∞ 17 +27 +···+n7 n8 Zadatak 8. $ ! lim n→∞ 1 nk+m+1 n −1 j=1

��� �� �������� ��������

���������� �������������� ��� �������� b

af dα ���� ������� �

� b

aα df � ����

��������� ���������� ������������� b

a

f dα+

� b

a

α df = f(b)α(b)− f(a)α(a)

������� ������� �� ������ �������� ����� �� ������ ������� � ������������������������������ ��������� ������ �� �������� �������� ����� �������� ���������� ���������� ������������ �� ���� �� �������� �� ����� �

�������� ������� �������� �� ���������� ������ ������������������� ���������� α(x) = x�

��� � ������� ��������� ���������������� �������� ���� �� �� ��������� ��� ����� � �������� ������� ��� ���������� �� �������� ���������� ������ ���� ������� � b

a

f(x) dα = limλ(P )→0

σ(f,α, P, ξ), ����

������� �� ������� ����� �� ������� ��� �������

• f �� ����������� ���• α �� ���������� � �������

�f dα�

������ ����������� σ(f,α, P, ξ) � ������������� ���� � ���������� �� ��������� ���� ������� ���� �� ����� �� �������� ������ ��� ��������� ����������

Zadatak ��. ��������� ���� �������� ��������� ���������� �������������� �������� �� ���������� ��� �� P = {x0, . . . , xn} � ξ = (ξ1, . . . , ξn)� ���������� ��

σ(α, f, P, ξ) = f(x)α(x)|ba − σ(f,α, Q,χ),

��� �� Q = {a, ξ1, . . . , ξn, b}� χ = (x0, x1, . . . , xn) � �� λ(P ) → 0 ⇔ λ(Q) → 0��������� �� ������ ����� ������� �� �������� ��� �

� ������� ������� �� �������� �� ���� ����� ��� ������� � �� ���� �������

Teorema ��. �������� ���������� ���������������� ����������������� ��������

b�

a

f(x) dα(x),

��� �� f : [a, b] → R ���������� � α : [a, b] → R �������� ��������� ���������� � ���� ��� �� ����� ε > 0 ������� ������ P ��������� [a, b] ����� �� ����

|S(f,α, P )− s(f,α, P )| < ε. ����

Posledica �. ��� �� f : [a, b] → R ����������� � α : [a, b] → R �������

��������� ���� �������� b

af dα�

� ���� �� ε > 0� ���� ������� h > 0 ����� �� �� (α(b)− α(a))h < ε� ����� �� f���������� ���������� �� [a, b] ��� ���������� ��������� ������� δ > 0 �������

|x− y| < δ ⇒ |f(x)− f(y)| < h.

����� �� α �������� ���� ��������� ��������� � ���� �� �������� ��� � ��� ����������� �������� ���� ���� ���� �� ������ �������� ����� ������ ����� �� �� ������ ���������������� ��� �� α ���������� ���� �� −α ��������

Page 49: enastava.matf.bg.ac.rs - π 10enastava.matf.bg.ac.rs/~milinko/integral.pdf" + - 4 % # Zadatak 9. $ ! lim n→∞ 17 +27 +···+n7 n8 Zadatak 8. $ ! lim n→∞ 1 nk+m+1 n −1 j=1

�� ���������������� �������� ���

������ ����� �� �� ����� ������ P �� ���� �� λ(P ) < δ ���� Mk −mk < h� ����

S(f,α, P )− s(f,α, P ) =n�

k=1

(Mk −mk)Δαk ≤ hn�

k=1

Δαk = h(α(b)− α(a)) < ε.

������� �� ������ ������� ��� ����� �� �������� b

af dα� �

Posledica �. ��� �� f : [a, b] → R ��������� � α : [a, b] → R ������� �

���������� ��������� ���� �������� b

af dα�

� ���� �� ε > 0 � n ∈ N ����� �� ���� α(b)−α(a)n (f(b)−f(a)) < ε� �� ���������

����� �������� α ����� �� ������� ������ P ����� �� �� Δαk = α(b)−α(a)n �

������������� ��� ��������� �������� �� �� f ������� ��������� ���� ��Mk = f(xk) � mk = f(xk−1)� �� ��

S(f,α, P )− s(f,α, P ) = α(b)−α(a)n

n�k=1

(f(xk)− f(xk−1))

= α(b)−α(a)n (f(b)− f(a)) < ε.

��� �� ������ ������� ��� ����� �� �������� b

af dα� �

Posledica ��. ���� �� f : [a, b] → [A,B] ���������� � α : [a, b] → R

������� ��������� ��� �������� b

af dα� ���� �� ����� ���������� ��������

ψ : [A,B] → R �������� b

aψ ◦ f dα�

� ���� �� ε > 0� �� ���������� ������������� �������� ψ �� [A,B] ����� ��������� δ > 0 ����� �� ����

|x− y| < δ ⇒ |ψ(x)− ψ(y)| < ε

� �� �� ε > δ� ����� �������� b

af dα� �� ������� �� ����� �� ������� ������

P = {x0, . . . , xn} ��������� [a, b] ����� �� ��

S(f,α, P )− s(f,α, P ) < δ2. ����

���� ��

mk := minx∈[xk−1,xk]

f(x), Mk := maxx∈[xk−1,xk]

f(x),

m∗k := min

x∈[xk−1,xk]ψ ◦ f(x), M∗

k := maxx∈[xk−1,xk]

ψ ◦ f(x).

���� ��

S := {k | Mk −mk < δ}, T := {k | Mk −mk ≥ δ}.�� ���� �����

δ�

k∈T

Δαk ≤�

k∈T

(Mk −mk)Δαk ≤ δ2,

�� ��

S(ψ ◦ f,α, P )− s(ψ ◦ f,α, P ) =�k∈S

(M∗k −m∗

k)Δαk +�k∈T

(M∗k −m∗

k)Δαk

≤ ε(α(b)− α(a)) + 2 sup |ψ(y)|δ< ε((α(b)− α(a)) + 2 sup |ψ(y)|).

�������� ���� ����� �� ������� ��� �

Page 50: enastava.matf.bg.ac.rs - π 10enastava.matf.bg.ac.rs/~milinko/integral.pdf" + - 4 % # Zadatak 9. $ ! lim n→∞ 17 +27 +···+n7 n8 Zadatak 8. $ ! lim n→∞ 1 nk+m+1 n −1 j=1

��� �� �������� ��������

���� �������� ������������������ ���������� ���� �� α : [a, b] → R� β : [a, b] → R �������� � f : [a, b] → C � g : [a, b] → C ���������� ���������

��� ��� �� µ ∈ C � ��� �������� b

af dα �

� b

ag dα� ���� ������� �

� b

a(f+g) dα

�� b

a(µf) dα � ����

� b

a

(f + g) dα =

� b

a

f dα+

� b

a

g dα,

� b

a

(µf) dα = µ

� b

a

f dα.

��� ��� �� f � g ������ � (∀x ∈ [a, b]) f(x) ≤ g(x)� � ��� �������� b

af dα �� b

ag dα� ���� ��

� b

a

f dα ≤� b

a

g dα.

��� ��� �� a < c < b � ��� �������� b

af dα�

� c

af dα �

� b

cf dα ���� ��

� b

a

f dα =

� c

a

f dα+

� b

c

f dα.

��� ��� �� (∀x ∈ [a, b]) |f(x)| ≤ M � ��� �������� b

af dα� ���� ��

�����

� b

a

f dα

����� ≤ M(α(b)− α(a)).

��� ��� �������� b

af dα �

� b

af dβ� ���� ������� �

� b

af d(α+ β) � ����

� b

a

f d(α+ β) =

� b

a

f dα+

� b

a

f dβ.

��� ��� �������� b

af dα � ��� �� c > 0� ���� ������� �

� b

af d(cα) �

� b

a

f d(cα) = c

� b

a

f dα.

��� ��� �������� b

af dα �

� b

ag dα� ���� ������� �

� b

a(f · g) dα�

��� ��� �������� b

af dα� ���� ������� �

� b

a|f | dα � ����

�����

� b

a

f dα

����� ≤� b

a

|f | dα.

Zadatak ��. ���� ��

f(x) =

�0, �� x ∈ [−1, 0]

1, �� x ∈ (0, 1],α(x) =

�0, �� x ∈ [−1, 0)

1, �� x ∈ [0, 1].

�������� �� ���������� 1

−1

f dα =

� 0

−1

f dα+

� 1

0

f dα ����

�� �������� ��� �� ����� ������ 0

−1f dα = 0 =

� 1

0f dα = 0� �

� 1

−1f dα �

������ ���� �� ���� ��� �� �������� �� �� ���� �������� ������� � ���������������� � �� ���� ����

Page 51: enastava.matf.bg.ac.rs - π 10enastava.matf.bg.ac.rs/~milinko/integral.pdf" + - 4 % # Zadatak 9. $ ! lim n→∞ 17 +27 +···+n7 n8 Zadatak 8. $ ! lim n→∞ 1 nk+m+1 n −1 j=1

�� ���������������� �������� ���

��������� ��������� �� ������ ������ � ���� ���� �� �� ���������� ������������� ����������� ��������� �� ����� ������ � ������ ���� ����� ���������� �� ����� ������ P ����� �� 0 /∈ P ����

S(f,α, P )− s(f,α, P ) = 1.

��������� ���� �������� �� �������� ��� ���������� �� ��� �� ���� �� ���� ��� ���� ���������� ��������� ���

������� ������������ ���������� ������ ������ � ����� ��������� �������������� ������� �������� �� �������� ���������� ������������������ ����������� ���� � ���� �� ���� ��� � ������ ������� ���� ���� �������� �������������� ��� ��� ���� ������������ ���������� ��

���� ������� ������������������ ��������� �� �������� ��������� �� �� ���������������� �������� �������� ���������� �� ���� �� ����� ��α(x) = x� ������� ������� ���� ��� ����� ������ ������� ��������������������������� �� ��������

Teorema ��. ���� �� �������� f : [a, b] → C ������������ �� ������ � α :[a, b] → R ������� ���������������� ��������� ����� �� �� dα

dx ������������

�� ������� ���� �������� b

af dα � ����� b

a

f dα =

� b

a

fdα

dxdx.

� �������� ���������� ������� �� �������� α ���������

j

f(ξj)(α(xj)− α(xj−1)) =�

j

f(ξj)α�(cj)(xj − xj−1)

=�

j

f(ξj)α�(ξj)(xj − xj−1)+

+�

j

f(ξj)(α�(ci)− α�(ξj))(xj − xj−1).

�������� f �� ����������� � α� ������������� ��� ��� ��������� �� �������������� ���� ������ �������� ������� ��������� ���������� ������ ���������� ��������� �� ����� � �������� ������� �

Napomena �. ������� �� � ������� �� ���� ��� ��� ����� ����� ����������������� ����������� �� ������� ��������� ��������� �� �� ��� ����� �������� �� ��������������� �������� ��� �� ���� ����������� � �������������������� ���������� �

Teorema ��. (Prva teorema o srednjoj vrednosti za Riman–Stil-tjesov integral) ���� �� f : [a, b] → R ����������� � α : [a, b] → R ���������������� ���� ������� ����� c ∈ [a, b]� ����� �� ��

� b

a

f dα = f(c)(α(b)− α(a)).

� ���� �� M = sup[a,b] f � m = inf [a,b] f � ���� ��

m(α(b)− α(a)) ≤� b

a

f dα ≤ M(α(b)− α(a)).

Page 52: enastava.matf.bg.ac.rs - π 10enastava.matf.bg.ac.rs/~milinko/integral.pdf" + - 4 % # Zadatak 9. $ ! lim n→∞ 17 +27 +···+n7 n8 Zadatak 8. $ ! lim n→∞ 1 nk+m+1 n −1 j=1

��� �� �������� ��������

������ ����� �� �� � b

a

f dα = θ(α(b)− α(a))

�� ���� θ ∈ [m,M ]� �� ������������� �������� f ����� �� �� f(c) = θ �� ����c ∈ [a, b]� �

Teorema ��. (Druga teorema o srednjoj vrednosti za Riman–Stil-tjesov integral) ���� �� f,α : [a, b] → R �������� �������� � ���� �� α����������� ���� ������� ����� c ∈ [a, b]� ����� �� ��

� b

a

f dα = f(a)[α(c)− α(a)] + f(b)[α(b)− α(c)].

� �� ���� ������� � ������� ��������� � ������� ���������� ������������������� ��� �����

� b

a

f dα = f(b)α(b)− f(a)α(a)−� b

a

α df

= f(b)α(b)− f(a)α(a)− α(c)(f(b)− f(a))

�� ���� c ∈ [a, b]� ������ �� ���������� ������ ������� �������� �Zadatak ��. ������� ������� � ������� ��������� �� ������� ��������

�� ������� � ������� ��������� �� ����������������� �

Zadatak ��. ��������� ���������� ������������������ ��������� ��������� � �������� ������� �������� ������� �������� ������� � ����� ����������� � ��������� ���������� ���� �� f,ϕ : [a, b] → R ���������� ������������� �� �� �� ϕ ������ �������� � ���� �� ψ = ϕ−1 ���� �������� ������������� �� � b

a

f(x) dx =

� ϕ(b)

ϕ(a)

f(ψ(t)) dψ(t),

��� �� �� ����� ������ �������� � �� ������ ���������������� ��������� ��������� ��� �������� ��������� �� dψ �� ������ ������ ���������� ������� � ������� ������������� �� �� ψ ����������������� ������� �� ψ ������������������ ��� ������� ����� ��� ���������� ������� ������� � ����� ����������� ��������� ���������� �

���� �������� ���������� ����������� ���� �� f : [a, b] → K ����������� �� ��������� [a, b] ⊂ R �� ����������� � ���� K ∈ {R,C}� ��� ��

P : a = t0 < t1 < · · · < tn = b

������ ��������� I� ��� ������ �� ���������� ����

V ba (f ;P ) = |f(t0)|+

n�

k=1

|f(tk)− f(tk−1)|.

������� ���������� �������� f �� ��������� [a, b] �� ����

Varba (f) := supP

V ba (f ;P ).

������� �� ���� ���� �������� �������� f �������� ��������� ���������� ������������

Page 53: enastava.matf.bg.ac.rs - π 10enastava.matf.bg.ac.rs/~milinko/integral.pdf" + - 4 % # Zadatak 9. $ ! lim n→∞ 17 +27 +···+n7 n8 Zadatak 8. $ ! lim n→∞ 1 nk+m+1 n −1 j=1

�� ���������������� �������� ���

��� �� K = R� ����� �������� ���������� ���������� f : [a, b] → R ��������� ��� �������� ���������

f(t) =Vartt0 (f) + f(t)

2− Vartt0 (f)− f(t)

2.

���� � �������� ��� �� f = f1 − f2 �� �������� �������� f1 � f2� ���� �� f�������� ���������� �����������

��� ������� ��� ��������� �� ���������� � ������� ������ �� ���������������� �������� � �������� ��������� ��������� �� �������� �������������������� �� ����������� � C�

Zadatak ��. �� �� ��

F : [0,+∞) → R, F (x) =

� x

0

sin t

tdt

�������� ���������� ����������� �

Zadatak ��. ���� �� f : [0, 2π] → R �������� ���������� ���������� �������������� f(0) = f(2π)� �������� �� ��

����� 2π

0

f(x) cos(nx) dx

���� ≤1

nVar2π0 f.

Zadatak ��. ��������� ������ �������� x �→ Varxa f ��� ��

��� f : [−2, 2] → R� f(x) = 3x2 − 2x3� a = −2���� f : [0, 2] → R� f(x) = [x]− x� a = 0� �

Zadatak ��. ����������� 5

0xd([x]− x)� �

Zadatak ��. ���� �� g : [a, b] → R �������� ���������� ����������� ����������� � ����� ξ ∈ [a, b]� � ���� �� f : [a, b] → R �������� ���������� ��f(ξ) = 1 � f(x) = 0 �� x �= ξ�

��� �� �� ������� ���������� ��������� b

af dg� ��� �������� ����������

������ �� �� �� ������� � ��� ���� ��� ���������� ����� �������������

�������� g � ����� ξ� �

Zadatak ��. ���� �� ��������

ρ(x) =

�1, x ≥ 0

0, x < 0,χ(x) =

�1, x > 0

0, x ≤ 0,η(x) =

1, x > 0

0, x = 0,12 x < 0.

���� �� f : [−1, 1] → R ���������� ���������

��� �������� �� ���������� ��������� 1

−1f dρ ������� ��� � ���� ��� �� f

���������� �� ����� ������ � ���� � ���������� �� � ��� ��������

��� �������� �� ���������� ��������� 1

−1f dχ ������� ��� � ���� ��� �� f

���������� �� ���� ������ � ���� � ���������� �� � ��� ��������

��� �������� �� ���������� ��������� 1

−1f dη ������� ��� � ���� ��� �� f

���������� � ���� � ���������� �� � ��� ��������

Page 54: enastava.matf.bg.ac.rs - π 10enastava.matf.bg.ac.rs/~milinko/integral.pdf" + - 4 % # Zadatak 9. $ ! lim n→∞ 17 +27 +···+n7 n8 Zadatak 8. $ ! lim n→∞ 1 nk+m+1 n −1 j=1

��� �� �������� ��������

��� ���� �� {ξn}∞n=1 ��� � (0, 1)� {λn}∞n=1 ��� ����������� �������� ������� ���

�∞n=1 λn ���������� � g(x) =

�∞n=1 λnρ(x − ξn)� �������� ��

�� ����� ���������� �������� ψ : [0, 1] → R ����� 1

0

ψ dg =∞�

n=1

λnψ(ξn).

�������� ��������� �������� �� ���������� �������� �������� �������� �

Zadatak ��. ���� �� f, g : [a, b] → R ���������� ���������

��� ���� �� ��� ����� �� �������� f, g ���������� � ����� c ∈ (a, b)��������� �� �� ������������ ���������

� c

a

f dg �

� b

c

f dg

����� ������������ ���������� b

a

f dg.

��� �� �� ��� ���� � ��� �� ��� �������� �������� � ����� c� �

�� ��������� ������������ �������� ������ ���������

� ����� � ��� ������ ��������� ����������� �������� ������ ����������� ������� ���������� � �� ���� ���� �������� �� ��������� ������� ����������������� � ����� �� ��� ���� �� ���������� ����������� �������� ���������� ����������� ��������� ���� ������� ������� �� ��� ������ ���� � ������������ ��� �� �� ���������� ���������������� � ����������������� ������������ � ���� ���������� ���� ��������� ������� ���������� ��� ���� �� ������������������ � ������� ��������������� ��������� ������� ��������� ������������ ��� ��� ������ ������������ ������� ��� �������� ��������� xn = a������� ����� ������� �� �� ���� ���� ��� ��� �� ��������� �� ����������er �� r ∈ Q� ����� ���� ������ ������ ������� ���������� ���������� ex ����� x ∈ R� �������� �� �� ��������

f : R → (0,+∞), f(x) = ex

��������� � ���������� ��� ��������� ������������ ���������� ������� ����������������� ��������� ������� ��������� ��� ��������

���� �� ����������� �� ��������� ���� ���������� � �������� ������������������ �������� �� ����� ���� ������������� ����� ���������� ����� � ������������ ����� ������� ���������� �� �� ���� ���� �� �������� ��������� ��������� ����������� ��� ������� ��������� � ������ ���� ���������� ��������������� ��� �������� ������ ���������� ������� ������ ��� ���������������� ������ � �������� ��� ���������� ����� ���������� ����� �� ������������ ���� � ����� � ���������� ������� ����������������� � �������������������������� ���������

� ����� � ��� ������ ���� ����������� �������� ���� �� �� �������� ����������� ����� ������ �������� ������ ������� ���������� �� �� ���� ���� ���������� �� ��� ���� ��������� �� �� �� �� ���� ����� ������������������� ������ ���������� ��������� � �� ���������� ������

Page 55: enastava.matf.bg.ac.rs - π 10enastava.matf.bg.ac.rs/~milinko/integral.pdf" + - 4 % # Zadatak 9. $ ! lim n→∞ 17 +27 +···+n7 n8 Zadatak 8. $ ! lim n→∞ 1 nk+m+1 n −1 j=1

�� ��������� ������������ �������� ������ ��������� ���

�������� ���� ���� ����������� �������� ���� �� �� �������� �� ��������������� ��� ��� ��������� �� �� ���������� �������� ����� ����������� ������ ����� �� ���� ���� �� ����� �� ��� � �������� f(t) = 1/t� ��������� ������ �� ���������� �������� ��������� ���

log x :=

� x

1

1

tdt, �� x > 0. ����

�� ������� ������� ����������� ������ ����� ���� ����� �� �� ����� ����������� �������� ���������������� ������������ � ������������ ��������������� �� ������ ������� ��������� ���� ��������

d

dxlog x =

1

x> 0, ����

������ ����� �� �� ������������ �������� ������ �������� ��� ����� �� ����� ��������� ������ �������� ������� �� �������� ������� �������� ��������������� ���� ������������ �������� �� ����� ����������� ���� x = 1� ��� �������� ������� �

log 1 =

� 1

1

1

tdt = 0.

�� ������������ ���������� 1

0

1

tdt �

� +∞

1

1

tdt

����������� �� ��

limx→0+

log x = −∞ � limx→+∞

log x = +∞. ����

������ ���������� ������������ �������� ������ �� ����������� � ������ ������������ ���������� ����� e� ��� ������������ ������ ���������log x = 1� ��������� �� ��� ��������� ��� ������� ����� �� ���� � �������������� ����� �� ��������� ����� ��� ������ ���������� � �� �� ��� ������������������ ���� ������ ����������� ����������

�� ����������� � ������������� ��������� ����� �� ��

log : (0,+∞) → R

���������� �� ��� �������� ��������� �� ��� ����� ������� �������� ��������� ��������� ���������� �� ���������� �������� x �→ ex ��� ���������������� ����� �� ������� �� ����� �������� �������� ��������

d

dxex = ex.

� ���� �������� ��������� ������������� � ���������������� �������������� ������� ���������� �������� ����� �� ����� �������� ���� � ������������������ ������ ������ ��� �������� ������� ������� ���������� ���������������� �������� ��������

log (xy) = log x+ log y �� ��� x, y > 0.

���� �� y > 0 ���������� ��������� �

h(x) = log (xy)− (log x+ log y).

Page 56: enastava.matf.bg.ac.rs - π 10enastava.matf.bg.ac.rs/~milinko/integral.pdf" + - 4 % # Zadatak 9. $ ! lim n→∞ 17 +27 +···+n7 n8 Zadatak 8. $ ! lim n→∞ 1 nk+m+1 n −1 j=1

��� �� �������� ��������

�������������� ��������

h�(x) = y1

xy− 1

x= 0.

����� �� h(1) = log y − (log 1 + log y) = 0� � �������� h �� ���������� ����������������� �� ���������� �� ���������� ������� ����� �� �� h ≡ 0�

Zadatak ��. �������� �� �� log (ab) = b log a �� a > 0� �Zadatak ��. �������� �� ��� ���������� ����� e ��� ������������ ������

��������� log x = 1 �������� �� ��

e = limh→0

(1 + h)1/h. ����

��������� �� ���� ����� �� �� (log)�(1) = 1� �� ���������� ����� ������ ��

(log)�(1) = limh→0

log (1 + h)− log 1

h.

������� ������ ����� ��� ������ ����� ��� ��������������� � ������������� � ����������������

�������� ������ �� ���������� ������ ���������� ���� �������

arctanx :=

� x

0

1

1 + t2dt

������ �� ���������� �������� ����� �������� �������������� �� ������������� ��������

(arctanx)� =1

1 + x2> 0,

������ ����� �� �� ����� ������� ������ �������� ��������� �� ��� ������������ ��� ������ �� ���������� ��������� ��� ��� ��� ������ ������ ��������� ������ �� ���������� � ������ ���������������� ��������� �� ������������ �� ���� � ������������ ���������� ����� π� ���� ��� ������� ���������� ���� ������ ������� ���������� ���� ��� ���� � ������ ���������� ���� ���� ����

�� ���� ������������

�� ������ ����� ��� ������� �� �� ���� �� �������� �� ������� ��������

Teorema ��. (Koxi–Xvarcova nejednakost za integrale) ���� ��I ⊂ R �������� �

f, g : I → C

������������ ��� ������� ��������� ����� �� ���

I

|f(x)|2 dx < +∞,

I

|g(x)|2 dx < +∞. ����

���� �� �

I

|f(x)g(x)| dx ≤��

I

|f(x)|2 dx�1/2��

I

|g(x)|2 dx�1/2

, ����

��� ���� ��������� ���� ��� � ���� ��� ������� λ ∈ C� ����� �� ��

f(x) = λg(x)

�� ��� x ∈ I�

Page 57: enastava.matf.bg.ac.rs - π 10enastava.matf.bg.ac.rs/~milinko/integral.pdf" + - 4 % # Zadatak 9. $ ! lim n→∞ 17 +27 +···+n7 n8 Zadatak 8. $ ! lim n→∞ 1 nk+m+1 n −1 j=1

�� ���� ������������ ���

��� � � ������� ������������� ������������ �� ������� ����� ��� �������� ��� ������������ ��������������� ���� �� R2(I) ���� ���� �������� ������ ������������ �� ������ �� ��������� I � ������������ ����� ���� �� R2(I)��������� ������� �� ���� �� ��

�f, g� :=�

I

f(x)g(x) dx

��������� �������� ��������� � ��

�f� :=��

I

|f(x)|2 dx�1/2

�� ���� �������� ������ �������� ����������� ����� ���� ���� ���� �� �������� � ������

|�f, g�| ≤ �f� · �g�,����� �� �� �������� �������� ������� �� ������ ���� �� ��������� �������������� ��� ���� ��������� ���� ��� � ���� ��� �� ������� �����������

��������� ������� ��� ��������� � ���� ������� �� �� ���� ��� �� �����

Teorema ��. (Helderova nejednakost za integrale) ���� �� p, q > 1������ �������� ����� �� ��

1

p+

1

q= 1,

I ⊂ R �������� �

f, g : I → C

������������ ��� ������� ��������� ����� �� ���

I

|f(x)|p dx < +∞,

I

|g(x)|q dx < +∞.

���� �� �

I

|f(x)g(x)| dx ≤��

I

|f(x)|p dx�1/p��

I

|g(x)|q dx�1/q

,

��� ���� ��������� ���� ��� � ���� ��� ������� λ ∈ C� ����� �� ��

f(x) = λg(x)q−1

�� ��� x ∈ I�

����� �� �������� ������������ ���� ��������� � ������� �� �� ���� ������������� �� ������� �� ������ ��� � ����� ������� ���������� � ���� �������� �� �� ���� ���

Posledica ��. (Nejednakost Minkovskog za integrale) ���� �� p > 1� ���� ��

f, g : I → C

������������ �������� ���������� �� ��������� I ⊂ R� ����� �� ���

I

|f(x)|p dx < +∞,

I

|g(x)|p dx < +∞. ����

���� ����

I

|f(x) + g(x)|p dx�1/p

≤��

I

|f(x)|p dx�1/p

+

��

I

|g(x)|p dx�1/p

. ����

Page 58: enastava.matf.bg.ac.rs - π 10enastava.matf.bg.ac.rs/~milinko/integral.pdf" + - 4 % # Zadatak 9. $ ! lim n→∞ 17 +27 +···+n7 n8 Zadatak 8. $ ! lim n→∞ 1 nk+m+1 n −1 j=1

��� �� �������� ��������

����������� ���� ��� ������� ������������ ��������������� ���� �� Rp(I)���� ���� �������� ���� �� ������������ �� ������ �� ��������� I � ������������� ����� ���� �� Rp(I) ��������� ������� �� ���� �� ��

�f�p :=

��

I

|f(x)|p dx�1/p

���������� ������ �������� ����������� ���������� ���� �� �� ������ �������

�f + g�p ≤ �f�p + �g�p,��� �� ������� ����������� ��������

Zadatak ��. (Jangova nejednakost za integrale) ���� ��

f : [0, a] → [0, f(a)] ⊂ R

������ ������� ���������� �������� ����� �� �� f(0) = 0 � ���� ��

f−1 : [0, f(a)] → [0, a]

���� �������� ��������� �������� �� ��

xy ≤� x

0

f(t) dt+

� y

0

f−1(t) dt

�� ��� x ∈ [0, a]� y ∈ [0, f(a)]� ���� ������������ �������������� ��� ��������������

��������� ���� ��

h(x) :=

� x

0

f(t) dt+

� f(x)

0

f−1(t) dt− xf(x).

��������� �� �� h�(x) = 0 �� ��� x ∈ [a, b]� �

Zadatak ��. �������� ������� �� �� �������� f(x) = xp−1 �� p > 1�������� ��������� �� ������� �� �� ���� ����

�� �����

��� ����������� π

0

sin3 x cosx

1 + cos2 xdx

��� ����������

� 0

−1

log (√1− x−

√1 + x) dx.

��� ����������� 1

0

log (√1− x+

√1 + x) dx.

��������� ������ ����� x = cos 2t�

Page 59: enastava.matf.bg.ac.rs - π 10enastava.matf.bg.ac.rs/~milinko/integral.pdf" + - 4 % # Zadatak 9. $ ! lim n→∞ 17 +27 +···+n7 n8 Zadatak 8. $ ! lim n→∞ 1 nk+m+1 n −1 j=1

�� ����� ���

��� ���� �� a1, a2, . . . , an ��������� ��������� ����������� �������� �� ��

n�

j,k=1

xkxj

� 1

0

sak+aj ds =

� 1

0

� n�

i=1

xisai

�2

ds.

��� �������� �� �� �������

A =

�1

1 + aj + ak

1≤j,k≤n

�������������� ���� �� �� detA �= 0���������� �� ���� �� ��� ��������� �� �� ���������� ������ �������

x1, x2, . . . , xn ��������� �� ���� ���� �����������n�

j,k=1

xjxk

1 + aj + ak> 0.

��� ���� �� f : [−a, a] → C ����� ��������� �������� �� ��� a

−a

f(x)

1 + exdx =

� a

0

f(x) dx.

��� ���� �� f : [0,+∞) → R ���������� ��������� ����� �� ��

(∀x ≥ 0) 0 < f(x+ 1) < f(x) � limx→+∞

f(x) = 0.

���� ��

an =

� n+1

n

f(x) dx.

�������� �� ���∞�

n=0

(−1)nan

�������������� ���� ��

In =

� π/2

0

cosn x dx.

��� �������� �� �� I0 = π/2� I1 = 1���� ��������� ���������� ����������� �������� �� ��

In =n− 1

nIn−2.

��� ���������� �������� �� ��

I2nI2n+1 =1

2n+ 1

π

2.

��� �������� �� ��

Im ≤ Im−1 ≤ Im−2 =m

m− 1Im

� ������� �� ������� ���� �� ��

limn→∞

√nI2n =

√π

2.

Page 60: enastava.matf.bg.ac.rs - π 10enastava.matf.bg.ac.rs/~milinko/integral.pdf" + - 4 % # Zadatak 9. $ ! lim n→∞ 17 +27 +···+n7 n8 Zadatak 8. $ ! lim n→∞ 1 nk+m+1 n −1 j=1

��� �� �������� ��������

��� ��������� ����� ���� �� ���� ��� �������� �� ��

� 1

0

(1− x2)n dx ≤� 1

0

e−nx2

dx ≤� 1

0

dx

(1 + x2)n.

������� ������ �������� �� ��

√nI2n+1 ≤

� √n

0

e−t2 dt ≤ √nI2n−2,

��� �� In �������� �� ����� ���� �������� ��������� �� ����� ����������� �� �� � +∞

0

e−t2 dt =

√π

2.

��� �� ��� ����� ����� �� �� �������� �������� �������� �� �������� �� �� ���� ����

��� ���������� � π

−π

cosx

1 + exdx.

���� �������� ������������� ����

∞�

n=1

(−1)n1√n

� n

0

e−x2

dx.

���� ���� �� f : [1/2, 3/2] → C ���������� ���������������� ����������������� �� ���

∞�

n=1

� 3/2

1/2

f(x) sin (nx) dx

��������������� ����������

limn→∞

2 + 4 + 6 + · · ·+ 2n

n2� lim

n→∞

�1

n+ 1+

1

n+ 2+ · · ·+ 1

2n

�.

���� ���� �� f : [0, 1] → (0,+∞) ���������� ��������� �������� �� ������� n ∈ N ������� ����������� ξ(n) ∈ R ����� �� ��

1

n

� 1

0

f(x) dx =

� ξ(n)

0

f(x) dx

� �������� �� ��

limn→∞

nξ(n) =1

f(0)

� 1

0

f(x) dx.

��������� �������� ���� �� �� ξ(n) > 0 � �� ξ(n) → 0 ��� n → ∞������ ��

� 1

0

f(x) dx = nξ(n)1

ξ(n)

� ξ(n)

0

f(x) dx

������� ������� ���������

Page 61: enastava.matf.bg.ac.rs - π 10enastava.matf.bg.ac.rs/~milinko/integral.pdf" + - 4 % # Zadatak 9. $ ! lim n→∞ 17 +27 +···+n7 n8 Zadatak 8. $ ! lim n→∞ 1 nk+m+1 n −1 j=1

�� ����� ���

���� �������� �� �� ����� n ∈ N ������� ����������� ξ(n) ∈ [1,+∞) ������� ��

1√n

� n

1

�1 +

1

x

�x

dx =

� ξ(n)

1

�1 +

1

x

�x

dx

� �� ��

limn→∞

ξ(n)√n

= 1

���� �������� �� ��

π

6<

� 1

0

dx√4− x2 − x3

<π√2

8.

���� �������� ��������

f(x) = x

�π

2− arctan

1

x

� �������� ��� ������� �������� �� ������� �������� �������� f−1

� ���������� � π4

0

f−1(y) dy.

���� ���� �� f : [0, 1] → R ������ ������� ��������� ����� �� �� f(0) = 0�� ���� �� f−1 ���� �������� ��������� �������� �� ��

(∀x ∈ [0, 1])

� x

0

f(t) dt+

� f(x)

0

f−1(s) ds = xf(x).

���� �������� �� ��� x

0

�� s

0

f(t) dt

�ds =

� x

0

(x− s)f(s) ds.

���� �������� y = f(x) ���� �� ���������� ��

x =

� y

0

dt√1 + 4t2

.

�������� ���� ������������ ���������� �� �� ����� ����� f �� ��������������� �������� f � ���� ��������� ������������������ ���������� ����������� ����� �� f(x)�

���� ���� �� f : [0,+∞) → [0,+∞) ���������� ��������� ����� �� �� ��������� ������ ����� ������� � x���� �� ��������� [0, c] �������

c2

2+

c

2sin c+

π

2cos c,

�� ����� c > 0� ���� f(π/2)����� ���� ������ �����

y =

� x

0

�cos (2t) dt, 0 ≤ x ≤ π

4.

���� �������� ������������ a

0

�1 + cos2 t dt >

�a2 + sin2 a

Page 62: enastava.matf.bg.ac.rs - π 10enastava.matf.bg.ac.rs/~milinko/integral.pdf" + - 4 % # Zadatak 9. $ ! lim n→∞ 17 +27 +···+n7 n8 Zadatak 8. $ ! lim n→∞ 1 nk+m+1 n −1 j=1

��� �� �������� ��������

���� �������� �� �� �������� ������ ����� y = 1/x � x���� �� ���������[1, 2] ���� ��� � �� ��������� [10, 20]� �������� �������� �� �� ��������� ������ �� ����� � x���� �� ��������� [a, b] ��� 0 < a < b� ������� � �� ��������� [ha, hb]� �� ��� h > 0�

���� �� ���� ��������� ��������� p ��������� +∞

1

�px

1 + x2− 1

2x

�dx

����������� ���������� �������� �� �� ��������� p����� ����������

limn→∞

n�

k=1

n

�1 +

k

n.

���� ����������

limn→∞

� 1

0

ntn−1

1 + tdt.

���� ����������∞�

n=0

� n+1

n

dx

1 + x2.

���� �������� ������������� ������

an =

� n

0

dx

xp� bn =

1

n

� n

0

dx

xp.

���� �������� �� ��

In =

� 1

0

log (1 + xn) dx

��������� ��� ���� ���������� �� ��������� ���� ��

In =

� 1

0

xn arctanx dx.

����������lim

n→∞n(π − 4(n+ 1)In).

���� �������� ������������� ���������� �� ��

Γ(x) =

� +∞

0

tx−1e−t dt.

�������� �� �� ��� �������� ���������� �� x > 0� �������� �� ��Γ(n+ 1) = n!�

���� ���� ��

f(x) =

� x

0

arctan1

tdt.

��� �������� �������� f � �������� ��� ���������� ���� �� A = [0,+∞)� �������� ���� B = f(A) � �������� ��

����������� f |A : A → B ��� ���������� �������� ������������g : B → A�

��� ����������

limy→+∞

g(y)

y� lim

y→+∞g(y)1/y.

Page 63: enastava.matf.bg.ac.rs - π 10enastava.matf.bg.ac.rs/~milinko/integral.pdf" + - 4 % # Zadatak 9. $ ! lim n→∞ 17 +27 +···+n7 n8 Zadatak 8. $ ! lim n→∞ 1 nk+m+1 n −1 j=1

�� ����� ���

��� �������� ������������� ����

∞�

n=0

g(n)xn.

���� ���� ��

In =

� π/4

0

tann x dx, n ∈ N.

��� �������� �� �� ��� In ����������� �������� �� ��

1

2(n+ 1)< In <

1

2(n− 1)�� n > 1.

��� �������� ������������� ����

∞�

n=1

Ipn logq

�n+ 1

n

� ���������� �� ������� ���������� p � q����� ���� ��

In =

� 1

0

xn sin (πx) dx, Jn =

� 1

0

xne√x dx

�������� ������������� �������

In ��

Jn����� ���� �� f : [0, 1] → C ���������� ��������� �������� �� ��� π

2

0

f(sinx) dx =

� π2

0

f(cosx) dx �

� π

0

xf(sinx) dx =π

2

� π

0

f(sinx) dx.

���� ���� �� cn ����������� ��� ������� �������� � f : [a,+∞) → [0,+∞)��������� ��������� �������� �� ���

∞�

n=2

f(cn)(cn − cn−1)

���������� ��� ������� �������

limx→+∞

� x

a

f(t) dt,

� ���∞�

n=2

f(cn−1)(cn − cn−1)

��������� ��� ��

limx→+∞

� x

a

f(t) dt = +∞.

���� ���� �� f : [0, 1] → [0,+∞) ����������� ���������� ��������� ������� �� � x

0

f(t) dt ≥ f(x)

�� ����� x ∈ [0, 1]� �������� �� �� f ≡ 0�

Page 64: enastava.matf.bg.ac.rs - π 10enastava.matf.bg.ac.rs/~milinko/integral.pdf" + - 4 % # Zadatak 9. $ ! lim n→∞ 17 +27 +···+n7 n8 Zadatak 8. $ ! lim n→∞ 1 nk+m+1 n −1 j=1

��� �� �������� ��������

���� ���� �� f : [a, b] → R ���������� ��������� ����� �� ��� b

a

f(x) dx = 0.

�������� �� ������� c ∈ (a, b) ����� �� ��

f(c) =

� c

a

f(x) dx.

���� ���� �� f : [0, 1] → R ��������� ��������� �������� �� ��� a

0

f(x) dx ≥ a

� 1

0

f(x) dx

�� ����� a ∈ [0, 1]����� ���� �� f : [0, 1] → R ���������� �������� �� ���� ��

� 1

0

f(x) dx = 0 �

� 1

0

xf(x) dx = 0.

�������� �� f ��� ��� ��� ��������� �������� �� �� ������� ���������� ����������� �������� f : [0, 1] →

[0,+∞) ����� �� ��� 1

0

f(x) dx = 1,

� 1

0

xf(x) dx = a,

� 1

0

x2f(x) dx = a2.

���� ���� �� f : [0,+∞) → R ���������������� ��������� ����� �� ��

|f �(x)| ≤ 1 �

� 4

0

f(x) dx = 0.

�������� �� ��

f(4) =1

4

� 4

0

tf �(t) dt � f(x) ≤ x+ 2

�� ��� x ≥ 4����� ���� �� f : [0, 1] → [0,+∞) ����������� ���������� �������� �������

��� ����� �� �� f(0) = 1� �������� �� ��� 1

0

xf(x) dx ≤ 2

3

�� 1

0

f(x) dx

�2

.

��������� ������ ����� t = λx � ��������

F (x) =

� x

0

f(t) dt

�� ��������� ���������� � f(0) = 1 �������� �� ��

F (x) ≥ x

2(1 + f(x)).

������� �� ����� ���������� ������������ ��������� �� ��� 1

0

xf(x) dx ≤ F (1)− 1

4− 1

2

� 1

0

xf(x) dx.

���� �������� ������������� ���������� 1

0

log1 + x

xdx.

Page 65: enastava.matf.bg.ac.rs - π 10enastava.matf.bg.ac.rs/~milinko/integral.pdf" + - 4 % # Zadatak 9. $ ! lim n→∞ 17 +27 +···+n7 n8 Zadatak 8. $ ! lim n→∞ 1 nk+m+1 n −1 j=1

�� ����� ���

���� �������� �� ��������� +∞

0

dx

xp + xq

���������� ��� � ���� ��� �� min{p, q} < 1 < max{p, q}����� �������� �� ��������

� +∞

0

dx

(1 + x2)(1 + xp)

���������� � �� ������ �������� �� ������ �� p����� �������� �� ��������

� 1

0

xp

1 + xq sinxdx

���������� ��� � ���� ��� �� p > min{−1, q}����� �������� ��������� � ������� ������������� ����

�cn ��� ��

��� cn =� 1

0x cos (nx) dx

��� cn = (−1)n� 1

0xn arctan (x/n) dx�

��� cn = (−1)n� n+1

n−1(1 + x3)−1 arctanx dx�

��� cn = (−1)n� 2n

n(x5 + n)−1/2 dx�

��� cn =� n2

n(1 + x4)−1 dx�

���� ���� �� f : [1,+∞) → [0,+∞) ������ ���������������� ������������� �� ��

(∀x > 1) f ��(x) ≤ 0 ≤ f �(x).

�������� �� ��

∞�

n=1

�� n+1

n

f(x) dx− f(n) + f(n+ 1)

2

�≤ f(2)− f(1)

2.

��������� ��������� ���������� �������� f �������� �� ��

f(n) + f(n+ 1)

2≤

� n+1

n

f(x) dx

� f(x) ≤ f(n+ 1) + f �(n+ 1)(x− n− 1)� ����������� �����������

f(k + 2)− f(k + 1)− f �(k + 1) =1

2f ��(ξk) ≤ 0,

���� ����� �� ��������� ������� � ������������ � ������ ���������������

���� ���� �� f, g : R → R ������ ��������� ����� �� ���������� +∞

−∞(f(x))2 dx �

� +∞

−∞(g(x))2 dx

������������� �������� �� ��������� +∞

−∞f(x)g(x) dx

��������� �����������

Page 66: enastava.matf.bg.ac.rs - π 10enastava.matf.bg.ac.rs/~milinko/integral.pdf" + - 4 % # Zadatak 9. $ ! lim n→∞ 17 +27 +···+n7 n8 Zadatak 8. $ ! lim n→∞ 1 nk+m+1 n −1 j=1

��� �� �������� ��������

���� ���� �� f : R → R ������ ���������������� �������� �� ������������ ������ �������� ����� �� ���������

� +∞

−∞(f (n)(x))2 dx, n = 0, 1, 2

������������� �������� �� ��� +∞

−∞(f �(x))2 dx+

� +∞

−∞f ��(x)f(x) dx = 0.

���� ���� �� f : [a,+∞) → R ������ ���������������� �������� ����� �����������

� +∞

a

(f(x))2 dx �

� +∞

a

(f ��(x))2 dx

������������ � �� ���� ����

(∃M) (∀x ≥ a) |f(x)f �(x)| ≤ M.

�������� �� ��������� +∞

a

(f �(x))2 dx

��������������� ���� �� a� b� p� q ��������� �������� �������� �� ��

���+∞�0

e−ax sin (ax)−e−bx sin (bx)x dx = 0�

���+∞�0

e−ax cos (ax)−e−bx cos (bx)x dx = log (b/a)�

���+∞�0

1x log p+qe−ax

p+qe−bx dx = log (1 + qp−1) log (ba−1)�

���+∞�0

��ax+pax+q

�n

−�

bx+pbx+q

�n�dxx = (1− (p/q)n) log (a/b)�

���+∞�0

sin(ax+p)−sin(bx+p)x dx = sin p log (b/a)�

���+∞�0

cos(ax+p)−cos(bx+p)x dx = cos p log (b/a)�

��������� ����������� ������ �� �� ���� �������� ����������

� +π/2

−π/2

1

2013x + 1· sin2014 x

sin2014 x+ cos2014 xdx.

��������� ������ ��� +π/2

−π/2=

� +π/2

0+� 0

−π/2� � ������ ���������

������ ����� t = −x����� ���� ��� ���������� �������� f : [0,+∞) → (0,+∞) ���� ���������

���� �����

(∀x > 0) 2x

� x

0

f(t) dt = f(x).

Page 67: enastava.matf.bg.ac.rs - π 10enastava.matf.bg.ac.rs/~milinko/integral.pdf" + - 4 % # Zadatak 9. $ ! lim n→∞ 17 +27 +···+n7 n8 Zadatak 8. $ ! lim n→∞ 1 nk+m+1 n −1 j=1

�� ����� ���

���� ���� �� ζ(s) �������� ���� �������� ������� ������ �� �� ���� �����µ(n) ���������� �������� ������� ���� �� ���� ���� �

M(x) =�

n≤x

µ(n).

�������� �� ��

ζ(z) = z

� +∞

1

[x]

xz+1dx �

1

ζ(z)= z

� +∞

1

M(x)

xz+1dx

�� Re(z) > 1�