TRAZADO GEOMETRICO DE

CONICAS

TRAZADO GEOMETRICO DE CONICAS

CIRCUNFERENCIAS

ELIPSE

HIPERBOLA

PARABOLA

CIRCUNFERENCIASCIRCUNFERENCIAS

TANGENCIASTANGENCIAS

Lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de uno llamado centro

0 TLa tangente a una circunferencia en un punto, es la perpendicular a la recta que une dicho punto con el centro de la circunferencia ( el radio)

T

Si dos circunferencias son tangentes el punto de tangencia estará sobre la línea que une los centros

TANGENCIASTANGENCIAS

ARCOS DE CIRCUNFERENCIAS TANGENTES EXTERIORESARCOS DE CIRCUNFERENCIAS TANGENTES EXTERIORES

R

O1

O2

rR+r

ARCOS DE CIRCUNFERENCIAS TANGENTES EXTERIORESARCOS DE CIRCUNFERENCIAS TANGENTES EXTERIORES

O1O2

rR

R-r

CIRCUNFERENCIAS

TANGENTE A UNA CIRCUNFERENCIA EN UN PUNTO DE LA MISMATANGENTE A UNA CIRCUNFERENCIA EN UN PUNTO DE LA MISMA

T

A B

0

CIRCUNFERENCIAS

TANGENTE A UN ARCO DE CIRCUNFERENCIA EN UN PUNTO DEL MISMO NO CONOCIENDO EL CENTRO DEL ARCO

TANGENTE A UN ARCO DE CIRCUNFERENCIA EN UN PUNTO DEL MISMO NO CONOCIENDO EL CENTRO DEL ARCO

A

T

BC

CIRCUNFERENCIAS

TANGENTES A UNA CIRCUNFERENCIA DESDE UN PUNTO EXTERIOR A ELLATANGENTES A UNA CIRCUNFERENCIA DESDE UN PUNTO EXTERIOR A ELLA

O1

T2

T1

t2

P

O

t1

CIRCUNFERENCIAS

TANGENTES COMUNES EXTERIORES A DOS CIRCUNFERENCIASTANGENTES COMUNES EXTERIORES A DOS CIRCUNFERENCIAS

O2

O1

r

T12

T11

T21

T22

R

R-r

t2

t2

CIRCUNFERENCIAS

TANGENTES COMUNES INTERIORES A DOS CIRCUNFERENCIASTANGENTES COMUNES INTERIORES A DOS CIRCUNFERENCIAS

r

O1

O2

R

R+r

A

B

T21

T22

T12

T11

t1

t2

CIRCUNFERENCIAS

CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A UNA RECTA DADA, QUE PASAN POR UN PUNTO P EXTERIOR A LA RECTA Y TIENEN UN RADIO R CONOCIDO

CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A UNA RECTA DADA, QUE PASAN POR UN PUNTO P EXTERIOR A LA RECTA Y TIENEN UN RADIO R CONOCIDO

P

A

R

r

RO1 O2

T1 T2

R

CURVAS CONICASCURVAS CONICASCurvas que resultan de la intersección de una superficie cónica con un plano y que depende del ángulo que forman el plano y el eje de revolución de la superficie cónica

β = 90º

α = β

α < β

α > β

ELIPSEELIPSE

- Curva cerrada y plana simétrica respecto a dos ejes, eje mayor o real (2a), y menor o virtual (2b).

CURVAS CONICASCURVAS CONICAS

- Lugar geométrico de los puntos del plano que cumplen la condición de que la suma de las distancia a dos puntos fijos llamados focos, que están sobre el eje real, es constante e igual a la longitud del eje mayor.- Radios vectores son los segmentos que unen cada punto de la elipse con los focos.(r y r’ ) se cumple que r + r’ = 2a

A

C

B

D

F F'

a

c

b

r'

N

M

ar

ELIPSEELIPSE

CURVAS CONICASCURVAS CONICAS

- Circunferencia principal es la que tiene por centro el centro de la elipse y por diámetro el eje mayor.

- Circunferencias focales tienen por centros los focos de la elipse y por radio el eje mayor.

- Distancia focal es la que hay entre los focos (2c)

- Se cumple que a2= b2+ c2

- Excentricidad e = c2/a se cumple que para la elipse e <1

CONSTRUCCION DE ELIPSE POR PUNTOS A PARTIR DE LOS EJES

CONSTRUCCION DE ELIPSE POR PUNTOS A PARTIR DE LOS EJES

ELIPSEELIPSE

CONSTRUCCION DE ELIPSE POR HACES PROYECTIVOS A PARTIR DE LOS EJES

CONSTRUCCION DE ELIPSE POR HACES PROYECTIVOS A PARTIR DE LOS EJES

A B

C

D

F F’G

a

GBGA

M

N

A B

C

D

4 3 2 1

1

2

3

4

O

CONSTRUCCION DE ELIPSE POR AFINIDADCONSTRUCCION DE ELIPSE POR AFINIDAD

ELIPSEELIPSE

A B

C

D

E

G H

O

TANGENTE A UNA ELIPSE EN UN PUNTO DE LA MISMA

TANGENTE A UNA ELIPSE EN UN PUNTO DE LA MISMA

ELIPSEELIPSE

F’F

Pt

TANGENTES A UNA ELIPSE DESDE UN PUNTO EXTERIOR

TANGENTES A UNA ELIPSE DESDE UN PUNTO EXTERIOR

P

F F’

2a

PFI

G

H J

HIPERBOLAHIPERBOLA

- Curva plana, abierta, con dos ramas y simétrica respecto a dos ejes,

CURVAS CONICASCURVAS CONICAS

- Lugar geométrico de los puntos del plano que cumplen la condición de que la diferencia de las distancia a dos puntos fijos llamados focos, que están sobre el eje real, es constante e igual al valor del eje mayor V1V2 ( 2a )- Radios vectores son los segmentos que unen cada punto de la curva con los focos.(r y r’ ) se cumple que r - r’ = 2a

F F’V1V2

A B

rr’O

2a

2c

HIPERBOLAHIPERBOLA

CURVAS CONICASCURVAS CONICAS

- Circunferencia principal es la que tiene por centro el de la hipérbola y por diámetro 2a.

- Circunferencias focales tienen por centros los focos de la hipérbola y por radio 2a.

- Distancia focal es la que hay entre los focos (2c), los focos están sobre el eje principal o real

- Se cumple que c2= b2+ a2

- Excentricidad e = c2/a se cumple que para la elipse e >1

HIPERBOLAHIPERBOLA

CURVAS CONICASCURVAS CONICAS

- Las asíntotas de la hipérbola son las rectas tangentes a la curva en los puntos del infinito.

- Las asíntotas son simétricas respecto a los ejes y pasan por el centro O

- Se llama hipérbola equilátera a la hipérbola cuyas asíntotas forman 45º con los ejes.

CONSTRUCCION DE UNA HIPERBOLA CONOCIDOS LOS VERTICES Y LOS FOCOSCONSTRUCCION DE UNA HIPERBOLA CONOCIDOS LOS VERTICES Y LOS FOCOS

HIPERBOLAHIPERBOLA

F

F’V1

V2 ABO

r’=V2A

r =V1A

r’=V2A

r =V1A

r =V1B r =V1B

r =V2B r =V2B

TANGENTE A UNA HIPERBOLA EN UN PUNTO DE LA MISMA

TANGENTE A UNA HIPERBOLA EN UN PUNTO DE LA MISMA

ELIPSEELIPSE

TANGENTES A UNA HIPERBOLA DESDE UN PUNTO EXTERIOR

TANGENTES A UNA HIPERBOLA DESDE UN PUNTO EXTERIOR

FV1

F’V2

V1 V2

IP

tO

P

F V1

OF’V2

I

J

K

L

PF’V1 V1

PARABOLAPARABOLA

- Curva plana, abierta, con una rama y simétrica respecto a un eje.

CURVAS CONICASCURVAS CONICAS

- Lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco, y de una recta fija llamada directriz.

- Radios vectores son los segmentos que unen cada punto de la parábola con el foco y la directriz

V F

d

r

r

CONSTRUCCION DE UNA PARABOLA CONOCIDOS EL FOCO Y LA DIRECTRIZCONSTRUCCION DE UNA PARABOLA CONOCIDOS EL FOCO Y LA DIRECTRIZ

HIPERBOLAHIPERBOLA

O V

F

A

d

AO