MAKALAH

GEOMETRI ANALITIK BIDANG

HIPERBOLA

OLEH :

SITI ANISA

NPM. 131000284202014

SYAFRI MARNI

NPM. 10100028420

YELSI MARSELIA

NPM. 131000284202018

DOSEN PEMBIMBING : Prima Yudhi., M.Pd.

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN IPA

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH SUMATERA BARAT

PADANGPANJANG

2014

KATA PENGANTAR

Puji syukur kami ucapkan kepada Allah SWT atas segala rahmat dan hidayahnya,

sehingga penyusunan makalah dengan judul Hiperbola akhirnya dapat terselesaikan

dengan baik. Kami berharap dari isi makalah ini dapat di jadikan suatu pedoman bagi

pembaca dalam menulis tugas ataupun makalah, sehingga pesan/materi dapat

tersampaikan dengan baik.

Penyusunan makalah inipun dikerjakan untuk memenuhi tugas yang diberikan oleh

Bapak Prima Yudhi M.Pd. sebagai Dosen Mata kuliah Geometri Analitik Bidang.

Semoga penyusunan makalah ini dapat bermanfa’at bagi pembaca, Amin.

Padangpanjang, 03 Desember 2014

Penulis

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Hiperbola adalah himpunan titik-titik yang selisih jaraknya terhadap dua titik

tertentu tetap besarnya. Kedua titik tertentu itu disebut titik focus.Jarak kedua titik

tertentu tersebut adalah 2a.

Hiperbola dan elips memiliki hubungan yang sangat erat, khususnya pada

bentuk persamaannya. Hiperbola dan elips, adalah hasil dari suatu pengirisan dari

kerucut. Suatu kerucut jika diiris horizontal, maka irisannya berbentuk lingkaran. Jika

kerucut tersebut dipotong secara miring (dan tidak memotong alasnya), maka

terbentuk suatu ellips. Jika mengirisnya memotong alasnya dan memotongnya secara

vertikal, maka terbentuk suatu hiperbola.

Berdasarkan definisi hiperbola, kita dapat menggambarkan grafik hiperbola.

Misalkan kita tentukan titik fokusnya adalah F’(-c, 0) dan F(c, 0) sedangkan selisih

jarak konstan tertentu adalah 2a.

B. Rumusan Masalah

1. Pengertian hiperbola.

2. Persamaan hiperbola yang berpusat di O(0,0)

3. Persamaan hiperbola yang berpusat di P(x,y)

C. Tujuan

1. Untuk mengetahui pengertian hiperbola

2. Untuk mengetahui persamaan hiperbola yang berpusat di O(0,0)

3. Untuk mengetahui persamaan hiperbola yang berpusat di P(x,y)

DAFTAR PUSTAKA

Matematika untuk SMK dan MAK kelas XII

BAB III

PENUTUP

A. KESIMPULAN

A. Hiperbola adalah himpunan titik-titik yang selisih jaraknya terhadap dua titik

tertentu tetap besarnya. Kedua titik tertentu itu disebut titik focus.Jarak kedua titik

tertentu tersebut adalah 2a.

B. Persamaan hiperbola yang berpusat di O(0,0)

𝑥2

𝑎2 –

𝑦2

𝑏2 = 1

C. Persamaan hiperbola yang berpusat dititik P(x,y)

(𝑥−𝑚)2

𝑎2 –

(𝑦−𝑛)2

𝑏2 = 1

B. SARAN

Semoga dengan penyusunan makalah ini dapat membantu pembaca dalam membuat

tugas, dan menjadikan makalah ini sebagai referensi dalam belajar.

BAB II

PEMBAHASAN

A. Pengertian Hiperbola

Hiperbola adalah himpunan titik-titik yang selisih jaraknya terhadap dua titik tertentu

tetap besarnya. Kedua titik tertentu itu disebut titik focus.Jarak kedua titik tertentu tersebut

adalah 2a.

Hiperbola dan elips memiliki hubungan yang sangat erat, khususnya pada bentuk

persamaannya. Hiperbola dan elips, adalah hasil dari suatu pengirisan dari kerucut. Suatu

kerucut jika diiris horizontal, maka irisannya berbentuk lingkaran. Jika kerucut tersebut

dipotong secara miring (dan tidak memotong alasnya), maka terbentuk suatu ellips. Jika

mengirisnya memotong alasnya dan memotongnya secara vertikal, maka terbentuk suatu

hiperbola.

Berdasarkan definisi hiperbola, kita dapat menggambarkan grafik hiperbola. Misalkan

kita tentukan titik fokusnya adalah F’(-c, 0) dan F(c, 0) sedangkan selisih jarak konstan

tertentu adalah 2a.

F dan F’ disebut titik focus.

(-a,0) dan (a,0) disebut titik puncak.

B. Unsur-Unsur Hiperbola

- Titik O merupakan pusat hiperbola

- Titik Fokus yaitu : F dan F’

- titik puncak (-a,0) dan (a,0)

- persamaan asimtot :

Sumbu-x (yang memuat dua titik dari hiperbola) disebut sumbu tranversal (transverse

axis) dan sumbu-y disebut sumbu sekawan (conjugate axes). Titik potong hiperbola

dengan sumbu trasversal disebut titik ujung (dalam hal ini (±a, 0)) dan perpotongan

kedua sumbu simetri disebut pusat hiperbola. Jarak antara kedua titik ujung adalah 2a

dan disebut sumbu mayor dan besaran 2b disebut sumbu minor.

C. Persamaan hiperbola yang berpusat di O(0,0)

Perhatikan kembali gambar di atas dengan F(-c, 0) atau F1 (-c, 0) dan G(c, 0) atau

F2(c, 0), serta titik P(x, y) atau T(x, y) pada hiperbola.

F1T – F2T = 2a, atau

F1T – F2T = ± 2a

√(𝑥 + 𝑐)2 + (𝑦 − 0)2 - √(𝑥 − 𝑐)2 + (𝑦 − 0)2 = 2a

√(𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦2 - √(𝑥 − 𝑐)2 + 𝑦2 = 2a

√(𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦2 = 2a + √(𝑥 − 𝑐)2 + 𝑦2 . . . . 1

Persamaan satu sama – sama dikuadratkan lalu disederhanakan, diperoleh :

( x + c )2 + y2 = 4a2 + (x – c)2 + y2 + 4a √(𝑥 − 𝑐)2 + 𝑦2

2cx = 4a2 – 2cx + 4a √(𝑥 − 𝑐)2 + 𝑦2

4cx – 4a2 = 4a √(𝑥 − 𝑐)2 + 𝑦2

cx – a2 = a √(𝑥 − 𝑐)2 + 𝑦2

Dengan mengkuadratkan kembali, diperoleh :

x2c2 – 2a2xc + a4 = a2 (x2 – 2xc + c2 + y2)

x2c2 – 2a2xc + a4 = a2 x2 – 2a2xc + a2c2 + a2y2

x2c2 – 2a2xc + a4 – a2x2 + 2a2xc = a2c2 + a2y2

x2c2 – a2x2 – a2y2 = a2c2- a4

x2(c2 – a2) - a2y2 = a2(c2 – a2)

Misalkan : c2 – a2 = b2 , maka :

x2 b2- a2y2 = a2b2

jika kedua ruas dibagi dengan a2b2 maka diperoleh :

𝑥2

𝑎2 -

𝑦2

𝑏2 = 1 Persamaan hiperbola .

Persamaan hiperbola yang sejajar dengan sumbu x adalah :

𝑥2

𝑎2 –

𝑦2

𝑏2 = 1

Dengan unsur – unsur sebagai berikut :

Pusat O(0,0)

Fokus F1(-c, 0) dan F2(c, 0)

Puncak A(-a, 0) dan B(a, 0)

Sumbu simetri :

- Sumbu utama adalah sumbu X

- Sumbu sekawan adalah sumbu Y

Sumbu nyata AB = 2a

Sumbu imajiner MN = 2b

Asimtot, y = ± 𝑏

𝑎 x

Persamaan hiperbola yang sejajar dengan sumbu y adalah :

𝑦2

𝑎2 -

𝑥2

𝑏2 = 1

Dengan unsur – unsur sebagai berikut :

Pusat O(0,0)

Fokus F1(0, -c) dan F2(0, c)

Puncak A(0, -a) dan B(0, a)

Sumbu simetri :

- Sumbu utama adalah sumbu Y

- Sumbu sekawan adalah sumbu X

Sumbu nyata AB = 2a

Sumbu imajiner MN = 2b

Asimtot, y = ± 𝑎

𝑏 x

Contoh soal :

1. Tentukan persamaan hiperbola jika diketahui :

Fokus F1 (-13, 0) dan F2 (13, 0) dengan puncak (-5, 0) dan (5, 0)

Jawab :

Diketahui F1 (-13, 0) dan F2 (13, 0) => pusat (0, 0)

Fokus (±13, 0), maka c = 13

Puncak (±5, 0), maka a = 5

b 2= c2- a2 = 132+ 52= 169 – 25 = 144

sumbu utama sumbu X, maka persamaan hiperbolanya adalah

𝑥2

𝑎2 -

𝑦2

𝑏2 = 1

𝑥2

25 -

𝑦2

144 = 1

2. Tentukan koordinat titik puncak, fokus, dan persamaan asimtot hiperbola dari

persamaan berikut 𝑥2

16 -

𝑦2

4 = 1

Jawab :

𝑥2

16 -

𝑦2

4 = 1 a2 = 16 maka a = 4 dan b2 = 4 maka b = 2

Pusat (0, 0)

Puncak (-a, 0) = (-4, 0) dan (a, 0) = (4, 0)

c2 = a2 + b2 = 16 + 4 = 20 maka c = √20 = 2√5

fokus (-c, 0) = (-2√5, 0) dan (c, 0) = (2√5 , 0)

persamaan asimtot : y = ± 𝑏

𝑎 x

maka y = ± 2

4 atau ±

1

2

D. Persamaan hiperbola yang berpusat dititik P(x,y)

Persamaan Hiperbola yang berpusat P (m,n) diperoleh dengan cara menggeser

hiperbola yang pusatnya (0,0) yaitu pada arah horizontal dan vertikal sehingga diperoleh

hiperbola yang berpusat di titik p(m,n) sebagai berikut :

(𝑥−𝑚)2

𝑎2 –

(𝑦−𝑛)2

𝑏2 = 1

Persamaan hiperbola yang sejajar dengan sumbu x

(𝑥−𝑚)2

𝑎2 –

(𝑦−𝑛)2

𝑏2 = 1

Dengan unsur – unsurnya sebagai berikut :

Pusat P (m,n)

Fokus F1(m – c , n) dan F2(m + c, n )

Puncak A(m – a , n) dan B(m + a, n)

Sumbu simetri :

- Sumbu utama adalah sumbu y = n

- Sumbu sekawan adalah sumbu x = m

Sumbu nyata AB = 2a

Sumbu imajiner MN = 2b

Persamaan Asimtot g1 dan g2 adalah : y – n = ± 𝑏

𝑎 (x – m)

Persamaan hiperbola yang sejajar dengan sumbu y

(𝑦−𝑛)2

𝑎2 –

(𝑥−𝑚)2

𝑏2 = 1

Dengan unsur – unsurnya sebagai berikut :

Pusat P (m,n)

Fokus F1(m , n – c) dan F2(m,n + c )

Sumbu simetri :

- Sumbu utama adalah sumbu x = m

- Sumbu sekawan adalah sumbu y = n

Sumbu nyata AB = 2a

Sumbu imajiner MN = 2b

Persamaan Asimtot

g1 : y – n = 𝑏

𝑎 (x – m)

g2 : y – n = - 𝑏

𝑎 (x – m)

Eksentristas (e) = 𝑐

𝑎 , e > 1

Contoh soal

1. Fokus F1(-2 , -3) dan Fokus F2(8 , -3) dan titik puncak (7 , -3)

Jawab :

Diketahui Fokus F1(-2 , -3) dan Fokus F2(8 , -3) pusat −2+8

2 ,

−3+(−3)

2 = (3 , -3)

Jarak pusat ke fokus (c) = 8 – 3 = 5

Puncak ( 7,-3)

Jarak pusat dengan puncak (a) = 7 – 3 = 4

b 2= c2- a2 =5 2- 42= 25 - 16 = 9

persamaan hiperbola :

(𝑥−3)2

16 –

(𝑦+3)2

9 = 1 atau 9 (𝑥 − 3)2 - 16 (𝑦 + 3)2 = 144

9 𝑥2 - 16 𝑦2- 54x – 96y - 207 = 0

2. Tentukan titik pusat , titik fokus , titik puncak, panjang lactus rectum dan persamaan

asimtotnya pada hiperbola berikut (𝑥−4)2

64 –

(𝑦+1)2

225 = 1

Jawab :

Diketahui (𝑥−4)2

64 –

(𝑦+1)2

225 = 1 titik pusat (4, -1)

𝑎2 = 64 a = 8

𝑏2 = 225 b = 15

𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 = 64 + 225 = 289 c = 17

Fokus (4 – 17, -1) = (-13, -1) dan (4 + 17, -1) = (21, -1)

Titik puncak (4 – 8, -1) = (-4, -1) dan (4 + 8, -1) = (12, -1)

Panjang lactus rectum = 2𝑏2

𝑎 =

2 .225

8 =

225

4

Asimtot : y + 1 = ± 15

8 (x – 4)

Latihan

1. Tentukan persamaan hiperbola, bila :

a. Fokus F1(0, -10) dan F2 (0,10) dengan puncak (0,-6) dan (0,6)

2. Tentukan titik pusat, fokus, titik puncak, sumbu utama, sumbu sekawan, panjang

sumbu nyata, sumbu imajiner, persamaan asimtot, dan lactus rectum dari

hiperbola dengan persamaan :

a. 4y2 – 9x2 + 16y + 18x – 29 = 0