Teoría de Conjuntos y Conjuntos Numéricos

U N I V E R S I D A D D E P U E R T O R I C O E N A R E C I B O

D E P A R T A M E N T O D E M A T E M Á T I C A S

P R O F A . Y U I T Z A T . H U M A R Á N M A R T Í N E Z

A D A P T A D A P O R

P R O F A . C A R O L I N E R O D R Í G U E Z M A R T Í N E Z

¿Qué es un conjunto?

Un conjunto es una colección bien definida

de objetos.

“Bien definida” se refiere a que para cualquier objeto que consideramos, podemos determinar si está o no, en el conjunto.

Una colección no está bien definida si el criterio que determina si un elemento pertenece o no al conjunto depende de opiniones o preferencias.

Ejemplos

Conjuntos bien definido

El conjunto de las vocales en el idioma español.

?

Conjunto que NO está bien definido

El conjunto de los mejores sabores de mantecado

?

Notación de lista para conjuntos

Los objetos que forman un conjunto se llaman los elementos del conjunto.

Un conjunto se puede representar enumerando sus elementos separados por comas y entre llaves.

Esta notación se conoce como forma de listado o lista.

Por ejemplo:

1. Los elementos del conjunto de las vocales del alfabeto español son {a, e, i, o, u}.

2. Los elementos del conjunto de los colores primarios se son {azul, rojo, amarillo}.

Notación de elementos

Los elementos del conjunto se denotan o representan con letras minúsculas.

Se utilizan letras mayúsculas, como A, B, y C, para representar conjuntos.

Para un conjunto A, escribimos a ∈ A si a es un elemento de A (∈ significa “pertenece al conjunto”).

Para un conjunto A, escribimos a ∉ A si a NO es un elemento de A (∉ significa “NO pertenece al conjunto”).

Por ejemplo:

Sea B = {☼, ♫, ☺, □} entonces,

☺___ B

@ ___B

Conjunto vacío

El conjunto vacío o nulo, es el conjunto que no contiene elementos.

Se denota como {} o Ø.

Por ejemplo:

El conjunto de “los estudiantes de este salón que han ido al satélite de la Tierra, la luna.” es un ejemplo de un conjunto vacío.

?

Conjuntos numéricos

Naturales

Números de conteo

{1, 2, 3, 4, 5, 6, …}

A este conjunto se le asigna la letra N.

N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, …}

Cardinales

• Son utilizados para medir el tamaño de los conjuntos, o sea, el número de elementos en un conjunto dado.

• Se compone de los números naturales + cero

• En inglés el conjunto se llama “Whole Numbers” por lo que algunos le designan la letra W.

{0,1, 2, 3, 4, 5, 6, …}

Opuestos de naturales

2 0

Dos números son opuestos o inversos aditivos si al sumarlos el total es cero.

Por ejemplo:

En general, cualquier número real más su opuesto es igual a cero.

Para n un número real,

n + (─n ) = ─n + n = 0.

1 0 (-5) + ? = 0

(-10) + ? = 0

Enteros

La unión de los naturales, cero y los opuestos de los naturales

{…, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …}

es el conjunto de los enteros.

A este conjunto se le asigna la letra Z.

Z = {…, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …}

Sub-conjuntos de los Enteros

implica “es subconjunto de”

El conjunto de los naturales es subconjunto del conjunto de los enteros, N Z, ya que todos los elementos de N están en Z.

El conjunto de los cardinales es un subconjunto de Z, W Z.

Más sub-conjuntos de los Enteros

Al conjunto {0, 1, 2, 3, 4, …} se le llama el conjunto de los enteros no negativos pues no contiene enteros negativos.

Al conjunto {…, −4, −3, −2, −1, 0} se le llama el conjunto de los enteros no positivos pues no contiene elementos positivos.

El conjunto de los enteros positivos es {1, 2, 3, 4, …} y se denota 𝑍+

El conjunto de los enteros negativos es {…, −4, −3, −2, −1} y se denota 𝑍−.

Naturales

N={1, 2, 3, 4, …} {0} {-1, -2, -3, …}

Enteros,

Z = {…, -2, -1, 0, 1, 2, …}

Racionales

A este conjunto se le asigna la letra Q.

Este conjunto está compuesto por los enteros, las fracciones de naturales y los opuestos de las fracciones de naturales.

𝑄 =𝑝

𝑞| 𝑝 ∈ 𝑍, 𝑞 ∈ 𝑍 𝑦 𝑞 ≠ 0

Racionales

Ejemplos:

5

3

11

4

11

4

8

5

8

5

9

2

9

2

42

8

33

9

07

0

Fracciones

de

naturales

Opuestos de

fracciones de

naturales

Enteros

510

50

Tipos de números racionales

Cualquier número racional se puede representar con uno de dos tipos de números decimales:

decimal exacto

Ejemplo:

decimal periódico

Ejemplo:

2504

1.

3033303

1.....

3

8= 0.375

5

12= 0.41666… = 0.416

Naturales

N={1, 2, 3, 4, …} {0} {-1, -2, -3, …}

Enteros,

Z = {…, -2, -1, 0, 1, 2, …}

Fracciones de naturales Opuestos de fracciones

de naturales

Racionales

Irracionales

Es un número que NO se puede representar como el cociente de dos enteros, es irracional (I).

La representación decimal de los números irracionales

a) nunca termina (no es exacta)

b) nunca se repite (no es periódica).

Irracionales

Ejemplos

Comparación entre un número racional y uno irracional

0.714285714285714285714285714285714285714285714285714285714285714285714285714285714285714285714285714285714285714285714285714285714285714285714285714285714285714285714285714285714285714285714285714285714285714285 …

1.4142135623730950488016887242096980785696718753769480731766797379907324784621070388503875343276415727350138462309122970249248360558507372126441214970999358314132226659275055927557999505011

2 5

7=

Reales

Es la unión del conjunto de los números racionales y del conjunto de los números irracionales.

Básicamente, es el conjunto que contiene todos los números que usamos en nuestro diario vivir para hacer cómputos.

Se denota con R.

Naturales

N={1, 2, 3, 4, …} {0} {-1, -2, -3, …}

Enteros,

Z = {…, -2, -1, 0, 1, 2, …}

Fracciones de naturales Opuestos de fracciones

de naturales

Racionales,

Q = {p/q | p, q son enteros y q ≠ 0}

Irracionales

Reales, R

Otro diagrama, R

5

3

9

2

-2

2

-7

0 1 7

250.

30.

Irracionales

π

2

3 4

e

Reales, R

Racionales, Q

Enteros, Z

Naturales, N

Todo número real es un número racional o irracional.

¿Cuál miembro de A pertenece a cada conjunto?

A = 0,−𝜋,4

3, 2 3, 1.414,

2

7, 12. 3 , 7, −23

NATURALES:

ENTEROS:

RACIONALES:

IRRACIONALES:

REALES:

7

Forma constructiva o generadora para nombrar conjuntos

Notación constructiva para conjuntos

Otra representación para un conjunto es la forma constructiva o generadora de conjuntos.

En esta forma se define un conjunto enunciando propiedades que deben tener sus elementos.

Al igual que en forma de listado se utilizan llaves. Ejemplo: El conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5, …, 10} en notación

constructiva se puede escribir de varias formas, A = { a | a es un natural menor que 11}

A = { a | a es un natural menor o igual a 10} A = {a∈N | a < 11} A = {a∈N | a ≤ 10}

Notación constructiva

Ejemplo: Escriba el conjunto C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,…, 100} en notación constructiva.

De notación constructiva a lista

Ejemplo: Escriba el conjunto “los naturales entre 5 y 10” en notación constructiva usando notación de conjuntos y en forma de lista:

Solución:

La recta numérica real

Los números reales se pueden localizar en una recta numérica, colocando un punto en la localización correcta del número.

Práctica

Localice los números reales que se muestran en la recta numérica.

−

𝟏𝟓

𝟒 , −

𝟓

𝟑, 𝟓. 𝟐𝟓,

𝟕

𝟔, 𝟐 𝟑

Solución:

Notación de intervalo

Subconjuntos de los números reales

Subconjuntos de los Reales se pueden representar con notación de intervalo

Un intervalo abierto representa un subconjunto de reales que está entre dos números, pero sin incluirlos.

Ejemplo:

Intervalo cerrado

Un intervalo cerrado representa un subconjunto de reales entre e incluyendo dos números.

Ejemplo:

Intervalos infinitos

Un intervalo infinito representa un conjunto de reales mayores que un número dado.

Ejemplo:

Intervalos infinitos

Un intervalo infinito representa un conjunto de reales menores que un número dado.

Ejemplo:

Práctica

Complete la tabla.

Exprese cada intervalo en notacion generadora y construya la gráfica

Práctica

𝑎) {𝑥|𝑥 ≥ 5} en notación de intervalo

𝑏) 𝑦 0 < 𝑦 ≤ 10 en notación de intervalo

𝑐) 𝑉 = “naturales menores que 20 pero mayores o iguales a 3”, en

notación generadora de conjuntos

Práctica

Localice los números reales que se muestran en la recta numérica.

−

𝟏𝟓

𝟒 , −

𝟓

𝟑, 𝟓. 𝟐𝟓,

𝟕

𝟔, 𝟐 𝟑