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5/21/2018 PDF de Amostra - Humongous Calculus
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Rio de Janeiro, 2013
Exercciosde Clculo
5/21/2018 PDF de Amostra - Humongous Calculus
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iiiOFabulosoLivrodeExercciosdeClculo
Sumrio
Introduo ix
Captulo 1: Equaes Lineares e Desigualdades 1
Geometria Linear .....................................................................................................................2Desigualdades Lineares e Representaes de Intervalos ...................................................................6
Equaes e Desigualdades de Mdulo ..........................................................................................9
Sistemas de Equaes e Desigualdades .......................................................................................12
Captulo 2: Polinmios 17
Expresses Exponenciais e Radicais ........................................................................................... 18
Operaes com Expresses Polinomiais .......................................................................................20
Fatorando Polinmios ............................................................................................................. 24Resolvendo Equaes Quadrticas ............................................................................................26
Captulo 3: Expresses Racionais 29
Adicionando e Subtraindo Expresses Racionais .........................................................................30
Multiplicando e Dividindo Expresses Racionais ........................................................................32
Resolvendo Equaes Racionais ................................................................................................ 35
Desigualdades Polinomiais e Racionais ..................................................................................... 38
Captulo 4: Funes 45Combinando Funes .............................................................................................................. 46
Elaborando o Grfico de Transformaes de Funo .................................................................... 49
Funes Inversas .................................................................................................................... 54
Assntotas de Funes Racionais ............................................................................................... 57
Problemas com x elevado primeira potncia
Criando, fazendo o grco e medindo retas e segmentos de reta
Adeus, sinaldeigualdade.Ol, parntesesecolchetes
Resolva dois pelo preo de um
Encontre uma soluo comum compartilhada entre mltiplasequaes ou desigualdades
Porque no d para ter expoentes de 1 para sempre
Potncias e razes quadradas
Como +, , x e polinmios
Reverta o processo de multiplicao
Equaes com expoente mais alto 2
Fraes, fraes e mais fraes
Lembra do mnimo denominador comum?
Multiplicar = fcil, dividir = quase to fcil
Aqui entra a regra de trs simples
Nmeros crticos dividem sua reta numrica
Agora voc vai comear a ver f(x) em todo lugarFaa o (+, , x, ) normal ou insira-os um no outro
Extenses, compresses, reexes e deslizamentos
Funes que cancelam outras funes
Equaes da intocvel linha tracejada
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Sumrio
iv OFabulosoLivrodeExercciosdeClculo
Captulo 5: Funes Logartmicas e Exponenciais 61
Explorando as Funes Exponenciais e Logartmicas ................................................................... 62
Funes Exponenciais e Logartmicas Naturais ........................................................................... 66
Propriedades dos Logaritmos ....................................................................................................67
Resolvendo Equaes Exponenciais e Logartmicas ......................................................................70
Captulo 6: Sees Cnicas 73
Parbolas .............................................................................................................................. 74
Crculos ................................................................................................................................80
Elipses ..................................................................................................................................83
Hiprboles .............................................................................................................................89
Captulo 7: Fundamentos da Trigonometria 95
Medindo ngulos ................................................................................................................... 96
Relaes entre ngulos ............................................................................................................97
Avaliando Funes Trigonomtricas .......................................................................................... 99
Funes Trigonomtricas Inversas ........................................................................................... 106
Captulo 8: Grficos, Identidades e Equaes Trigonomtricos 109
Desenhando o Grfico de Transformaes Trigonomtricas .......................................................... 110
Aplicando Identidades Trigonomtricas ................................................................................... 114
Resolvendo Equaes Trigonomtricas ...................................................................................... 119
Captulo 9: Investigando Limites 127
Avaliando Limites de Um Lado e Gerais Graficamente .............................................................. 128
Limites e Infinito .................................................................................................................. 133
Definio Formal de Limite .................................................................................................... 138
Captulo 10: Avaliando Limites 141
Mtodo da Substituio ......................................................................................................... 142
Mtodo de Fatorao ............................................................................................................. 145
Mtodo do Conjugado ........................................................................................................... 150
Teoremas de Limite Especiais .................................................................................................. 153
Funes como log3x, ln x, 4xe ex
Domine todas essas potncias
Basesnoescritas, bases deeefrmuladamudanadebase
Expandindo e simplicando expresses de log
Expoentes e logs se cancelam
Parbolas, crculos, elipses e hiprboles
Grcos de equaes quadrticas
Centro + raio = formas redondas e problemas fceis
Uma palavra rebuscada para ovais
Coisas que parecem com duas parbolas
Adicione seno, cosseno e tangente mistura
Radianos, graus e revolues
ngulos coterminais, complementares e suplementares
Trigonometria e ngulos de referncia do tringulo retngulo
Insira um nmero e obtenha um ngulo para variar
ProvasdeEquaese
identidadetrigonomtricas
Expansoedeslocamentodegrfcosdeonda
Simplique expresses e prove identidades
Resolva para em vez de x
Qual altura a funo PRETENDE alcanar?
Encontre limites em um grco de funo
O que acontece quando x ou f(x) ca enorme?
Problemas com psilon-delta no so divertidos
Calculando limites sem um grco da funo
To fcil quanto inserir um valor para x
A primeira coisa que voc deve tentar se a substituio no funcionar
Para lidar com radicais problemticos
Frmulas de limite que voc deve memorizar
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Sumrio
vOFabulosoLivrodeExercciosdeClculo
Captulo 11: Continuidade e o Coeficiente Diferencial 155
Continuidade ...................................................................................................................... 156
Tipos de Descontinuidade ...................................................................................................... 157
O Coeficiente Diferencial ........................................................................................................ 166
Diferenciao ....................................................................................................................... 170
Captulo 12: Mtodos Bsicos de Diferenciao 173
Derivadas Trigonomtricas, Logartmicas e Exponenciais ........................................................... 174
A Regra da Potncia ............................................................................................................. 176
As Regras do Produto e do Quociente ....................................................................................... 179
A Regra da Cadeia ............................................................................................................... 183
Captulo 13: Grficos de Funo e Derivadas 191
Nmeros Crticos .................................................................................................................. 192
Sinais da Primeira Derivada .................................................................................................. 195
Sinais da Segunda Derivada.................................................................................................. 201
Grficos de Funo e Derivada ............................................................................................... 206
Captulo 14: Aplicaes Bsicas da Diferenciao 209
Equaes de Tangentes .......................................................................................................... 210
O Teorema de Valor Extremo ................................................................................................... 215
Mtodo de Newton ................................................................................................................ 218Regra de LHpital ............................................................................................................... 222
Captulo 15: Aplicaes Avanadas da Diferenciao 227
Os Teoremas do Valor Mdio e de Rolle .................................................................................... 228
Movimento Retilneo ............................................................................................................. 233
Taxas Relacionadas .............................................................................................................. 237
Otimizao .......................................................................................................................... 244
Captulo 16: Tcnicas de Diferenciao Adicionais 251
Diferenciao Implcita.......................................................................................................... 252
Diferenciao Logartmica ..................................................................................................... 259
Diferenciando Funes Trigonomtricas Inversas ....................................................................... 264
Diferenciando Funes Inversas .............................................................................................. 266
Grfcosindivisveiseumaprviadasderivadas
Limite existente + funo denida = continuidade
Buracos vs. quebras, removvel vs. no removvel
O caminho mais longo para encontrar a derivada
Quando existe uma derivada?
Os quatro pesos pesados para encontrar derivadas
Memorizefrmulasespeccasparaessasfunes
Um atalho para diferenciar xn
Diferencie funes que so multiplicadas ou divididas
Diferencie funes que so inseridas em funes
O que os sinais das derivadas dizem sobre os grcos
Nmeros que separam grcos ondulados
Use grcos ondulados para determinar a direo da funo
Pontos de inexo e concavidade
Como os grcos de f, f e f se relacionam?
Coloque suas habilidades com derivadas em uso
Ponto de tangncia + derivada = equao da tangente
Toda funo tem seus altos e baixos
Aproxime os zeros de uma funoEncontre limites que costumavam ser impossveis
Usoscomplicados,masinteressantes,dasderivadas
Inclinaes mdias = inclinaes imediatas
Funes de posio, velocidade e acelerao
Descubra a rapidez com que as variveis mudam em uma funo
Encontre os maiores ou menores valores de uma funo
Ainda mais maneiras de diferenciar
Essencial quando voc no consegue resolver uma funo para encontrar y
Use as propriedades de log para tornar as derivadas complicadas mais fceis
Porque a derivada de tg1x no sec2x
Sem nem saber o que elas so!
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Sumrio
vi OFabulosoLivrodeExercciosdeClculo
Captulo 17: Aproximando reas 273
Somas Informais de Riemann ................................................................................................. 274
Regra dos Trapzios .............................................................................................................. 285
Regra de Simpson ................................................................................................................. 293
Somas Formais de Riemann ................................................................................................... 295
Captulo 18: Integrao 301
Regra da Potncia para Integrao ......................................................................................... 302
Integrando Funes Trigonomtricas e Exponenciais .................................................................. 305
O Teorema Fundamental de Clculo ....................................................................................... 307
Substituio de Variveis ....................................................................................................... 317
Captulo 19: Aplicaes do Teorema Fundamental 323
Calculando a rea entre duas curvas ...................................................................................... 324
O Teorema do Valor Mdio para Integrao .............................................................................. 330
Funes de Acumulao e Mudana Acumulada ...................................................................... 338
Captulo 20: Integrando Expresses Racionais 347
Separao............................................................................................................................ 348
Diviso Longa ..................................................................................................................... 351
Aplicando Funes Trigonomtricas Inversas ............................................................................ 354
Completamento de Quadrados ................................................................................................ 357Fraes Parciais ................................................................................................................... 361
Captulo 21: Tcnicas de Integrao Avanadas 367
Integrao por Partes ............................................................................................................ 368
Substituio Trigonomtrica ................................................................................................... 372
Integrais Imprprias ............................................................................................................. 387
Captulo 22: Volume Rotacional e de Seo Transversal 393
Volume de um Slido com Sees Transversais Conhecidas .......................................................... 394
Mtodo do Disco ................................................................................................................... 401
Mtodo dos Anis ................................................................................................................. 410
Mtodo das Cascas ............................................................................................................... 421
Estime a rea entre uma curva e um eixo x
Somas esquerda, direita, do ponto mdio, acima e abaixo
Parecida com as somas de Riemann, mas muito mais precisa
Aproxima muito bem a rea abaixo de funes curvas
Voc vai querer colocar os pingos nos is
Agora, a derivada no a resposta, a pergunta
Adicione 1 ao expoente e divida pela nova potnciaAs integrais trigonomtricas no se parecemnem um pouco com as derivadas
Integrao e rea esto profundamente relacionadas
Geralmente chamada de substituio
O que fazer com as integrais denidas
Em vez de apenas uma funo e o eixo xCrie uma rea retangular que equivalha rea abaixo de uma curva
Integraiscomlimitesxeaplicaesdaintegraonavidareal
Oquefazerquandohumafraodentrodaintegral
Transforme uma grande e feia frao em fraes menores e menos feias
Divida antes de integrar
Muito til, mas apenas em algumas circunstncias
Para quando h quadrticas embaixo e nenhuma varivel em cimaUma maneira rebuscada de separar grandes fraes
H ainda mais maneiras de encontrar integrais deve ser o seu aniversrio
como a regra do produto, mas para integrais
Usando identidades e pequenos diagramas de tringulos retngulos
Integrando apesar das assntotas e limites de integrao innitivos
Por favor, coloque seus culos 3D agora
Corteoslidoempartesemeaessas partes
Crculos so as sees transversais mais fceis possveis
Encontre volumes mesmo se os slidos no forem slidos
Algo em que se apoiar quando o mtodo dos anis no funcionar
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Sumrio
viiOFabulosoLivrodeExercciosdeClculo
Captulo 23: Aplicaes Avanadas de Integrais Definidas 427
Comprimento do Arco ............................................................................................................ 428
rea da Superfcie ................................................................................................................ 431
Centroides ........................................................................................................................... 436
Captulo 24: Equaes Paramtricas e Polares 447
Equaes Paramtricas .......................................................................................................... 448
Coordenadas Polares ............................................................................................................. 452
Desenhando o Grfico de Curvas Polares ................................................................................. 455
Aplicaes da Diferenciao Paramtrica e Polar ....................................................................... 460
Aplicaes da Integrao Paramtrica e Polar ........................................................................... 466
Captulo 25: Equaes Diferenciais 471
Separao de Variveis .......................................................................................................... 472
Crescimento e Decaimento Exponenciais ................................................................................... 477
Aproximaes Lineares .......................................................................................................... 484
Campos Direcionais .............................................................................................................. 486
Mtodo de Euler ................................................................................................................... 492
Captulo 26: Sequncias e Sries Bsicas 499
Sequncias e Convergncia ..................................................................................................... 500
Sries e Testes de Convergncia Bsicos .................................................................................... 502Soma Telescpica e Srie de p .................................................................................................. 506
Sries Geomtricas ................................................................................................................. 509
O Teste da Integral ............................................................................................................... 510
Captulo 27: Testes Adicionais de Convergncia de Sries Infinitas 513
Teste da Comparao ............................................................................................................ 514
Teste da Comparao do Limite .............................................................................................. 516
Teste da Razo ..................................................................................................................... 519
Teste da Raiz ....................................................................................................................... 522
Teste da Srie Alternada e Convergncia Absoluta ..................................................................... 526
Maisproblemasenvolvendointegraislimi
tadas
Qual a distncia do ponto A para o ponto B em uma estrada cheia de curvas?
Mea a pele de um slido de revoluo
Encontre o centro de gravidade de uma forma em duas dimenses
Escrevendo equaes sem x e y
Assim como os revolucionrios o Porto Boston, apenas adicione t
Converta de (x, y) para (r, ) e vice-versa
Fazendo grcos com r e em vez de x e y
Ensinealgunsvelhostruquesdediferenciaoaumcachorronovo
Talvezalgumasintegrais tambminteressemaocachorronovo
Equaes que contm uma derivada
Separe y e dy dos x e dx
Quandoamudanadeumapopulaoproporcional aoseutamanho
Um grco e sua reta tangente s vezes so bastante parecidos
Parecem-se com padres de vento em um mapa meteorolgico
Pequenos passos para encontrar a soluo da equao diferencial
O que pior que uma frao? Innitas Fraes
As listas de nmeros sabem para onde esto indo?
Testededivergnciaderepresentaodesigmaedotermogeral
Como lidar com essas sries fceis de serem identicadas
Elas convergem? E, caso o faam, qual a soma?
Sries innitas e integrais imprprias esto relacionados
Parausarcoms
riesinfnitas
aindamaisfeias
Provando que as sries so maiores do que grandes e menores do que pequenas
Sries que convergem ou divergem por associao
Compare termos vizinhos de uma srie
til para termos dentro de sinais de radical
E se as sries tiverem termos negativos?
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Sumrio
viii OFabulosoLivrodeExercciosdeClculo
Captulo 28: Sries Infinitas Avanadas 531
Sries de Potncia ................................................................................................................. 532
Sries de Taylor e Maclaurin .................................................................................................. 540
Apndice A: Grcos e transformaes grcas importantes para memorizar 547
Apndice B: O crculo unitrio 553
Apndice C: Identidades trigonomtricas 555
Apndice D: Frmulas de Derivadas 557
Apndice E: Frmulas de Antiderivadas 559
ndice 561
Sries que contm x
Encontrando intervalos de convergncia
Sries que aproximam valores de funo
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ixOFabulosoLivrodeExercciosdeClculo
IntroduoVoc est tendo aulas de clculo? Sim? Ento voc PRECISA deste livro. Vou dizero porqu:
Fato n 1: A melhor maneira de aprender clculo trabalhando com problemasde clculo.
No h como negar. Se fosse possvel entender as aulas apenas lendo o livroterico ou fazendo boas anotaes, todos seriam aprovados com louvor.Infelizmente, a dura verdade que voc precisa apertar os cintos e trabalhar osproblemas at sentir seus dedos dormentes.
Fato n 2: A maioria dos livros apenas diz QUAIS so as respostas dos problemasprticos, mas no COMO chegar a elas!
claro que o seu livro pode ter 175 problemas para cada tpico apresentado,mas a maioria deles apenas traz as respostas. Isso significa que se voc noacertar a resposta, estar completamente perdido! Saber que errou no ajuda emnada se voc no souber POR QUE errou. Os livros de matemtica ficam sentadosem um enorme trono, assim como o Grande e Terrvel Oz, e dizem No, tentede novo. E isso o que fazemos. Repetidas vezes. E continuamos a chegar resposta errada para o problema. Que maneira deliciosa de aprender! (No vamosnem discutir por que eles apenas dizem as respostas dos problemas pares. Issosignifica que de fato o AUTOR do livro nem ao menos sentiu vontade de trabalharos mpares?)
Fato n 3: Mesmo quando os livros de matemtica tentam mostrar os passos deum problema, eles no fazem um trabalho muito bom.
Os matemticos adoram pular passos. Voc pode estar conseguindo seguir bemuma explicao e, ento, de repente, PUF, se perde. Voc pensa consigo mesmo,Como eles fizeram isso? ou De onde veio esse 42? Ele no estava a no passo
anterior!. Por que quase todos esses livros presumem que, para trabalhar umproblema na pgina 200, melhor que voc conhea o que h nas pginas de1 a 199 como a palma da sua mo? Voc no quer passar o resto da sua vidafazendo uma lio de casa! Voc s quer saber por que continua chegando a umnmero negativo ao calcular o custo mnimo para a construo de uma piscinacujo comprimento quatro vezes a soma de sua profundidade, adicionado razo pela qual a gua vaza de um trem que saiu de Chicago s 4h da manh,viajando na direo oeste mesma velocidade que o carbono se decompe.
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Introduo
x OFabulosoLivrodeExercciosdeClculo
Fato n 4: Ler listas de fatos divertido por um tempo, mas depois a piada ficavelha. Vamos direto ao assunto.
Praticamente todo tipo de problema de clculo com o qualvoc poderia se deparar est aqui afinal, este livro GIGANTE! Se mil problemas no forem suficientes, ento voctem algum tipo de apetite maluco por matemtica e, meuamigo, eu procuraria ajuda profissional. Este livro de prticaera bom, mas para torn-lo TIMO, eu revisei e trabalheitodos os problemas e fiz anotaes nas margens quando acheique algo estava confuso ou precisava de um pouco mais deexplicao. Tambm desenhei pequenos crnios ao lado dosproblemas mais difceis, para que voc saiba que no precisaentrar em pnico se o exerccio for muito desafiador. Afinal, sevoc est trabalhando em um problema e fica completamente
desnorteado, no melhor saber que o problema FOI FEITOpara ser difcil? reconfortante, pelo menos para mim.
Imagino que voc ter uma surpresa agradvel ao ver como asexplicaes das respostas so detalhadas, e espero que ache queas minhas pequenas notas so teis ao longo do caminho. Podeme chamar de louco, mas acho que as pessoas que QUEREMaprender clculo e esto dispostas a gastar seu tempo abrindoo caminho por meio da prtica dos problemas devem, de fato,ser capazes de entender os problemas e aprender durante opercurso, mas essa s a minha opinio.
Boa sorte, e no se esquea de visitar o meu site, em www.calculus-help.com.Se tiver vontade, mande-me um e-mail com aquilo que anda pensando comseus botes. (Mas no literalmente, pois botes de verdade podem entupir osencanamentos da Internet.)
Mike Kelley
Todas
asminhas
notassofeitasao
lado,comonessecaso,
eindicamaspartes
dolivroqueeuestou
tentandoexplicar.
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Introduo
xiOFabulosoLivrodeExercciosdeClculo
DedicatriaEste livro para a minha famlia, que iria me amar e me apoiar, eu escrevendolivros de matemtica absurdamente grandes ou no. Para a minha esposa, Lisa,cujo apego sanidade permanece firme mesmo quando a minha comea a seesgotar, eu no poderia te amar mais. Ao meu valente filho pirata, Nick, de quemeu espero que continue a terminar a maioria de suas frases com macacos memordam, mesmo quando ele no tiver mais 3 anos. E para as minhas lindasgmeas, Erin e Sara, que acabaram de dizer sua primeira palavra: sapatos.Imagino que eu vou continuar a ouvir essa palavra muito mais vezes em umfuturo no muito distante.
Um agradecimento especial a Mike Sanders, que me ajudou a transformar minhaideia de um livro de matemtica cheio de marcaes em realidade, e s minhaseditoras, Sue Strickland e Ginny Munroe, que trabalham bastante para evitar queeu parea bobo.
Este livro em memria a Joe, que nos deixou em 2006. Quando eu escrevio livro O Guia Completo Para Quem No CDF ClculoJoe me disse (comum pesado sotaque de ex-caminhoneiro de Long Island) que ele seria um tirona mosca. Com uma sinceridade que no vi igual em nenhuma pessoa que jconheci, suas simples palavras de encorajamento significavam muito para mim,como um novo autor na luta. Obrigado, Joe. Voc estava certo.
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Captulo 1EQUAES LINEARES E DESIGUALDADES
Um entendimento adequado e rigoroso das equaes lineares e seus
formatos padro, dos segmentos lineares e dos algoritmos associados,dos sistemas de equaes lineares mltiplas e das desigualdades lineares um pr-requisito essencial para o estudo do clculo. Embora a maioriados alunos de clculo esteja familiarizada com os tpicos presentesneste captulo, a mera familiaridade no suficiente. Para ter xito comtpicos mais avanados dos captulos que se seguem, o domnio dessashabilidades e desses conceitos fundamentais por parte do aluno deve serassegurado.
Problemascomxelevadoprimeirapotncia
Pontoseretassoosconceitosgeomtricosmaisbsicos,porisso,voc
vai
precisarentendercomoelesserelacionaman
tesdepoderavanarpara
funesmaiscomplexaseseusgrficos.Vocp
recisarsabercomocriar
equaesderetas,desenharogrficodereta
snoplanodecoordenadase,
atmesmo,encontraroscomprimentosepo
ntosmdiosdesegmentosde
reta.Voctambmprecisarsaberoquefaze
rcomexpressesquecontm
sinaisde,e.Depoisquevocdomina
risso,revisarcomoencontrar
soluesdesistemasdeequaesedesigualda
des(quandovoctrabalhacom
maisdeumaequaooudesigualdadeporve
z).
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Captulo 1 Equaes Lineares e Desigualdades
2 OFabulosoLivrodeExercciosdeClculo
Geometria LinearCriando, fazendo o grco e medindo retas e segmentos de reta
1.1 Resolva a equao: 3x (x 7) = 4x 5.
Distribua 1 nos parnteses e combine os termos semelhantes.
Subtraia 4xe 7 de ambos os lados da equao para separar a varivel e ostermos constantes.
Divida ambos os lados por 2 para obter a soluo.
1.2 Calcule a inclinao, m, da reta 4x 3y= 9.
Resolva a equao para encontrarye para reescrev-la no formato deinterceptao e inclinao.
A inclinao da reta o coeficiente de
1.3 Prove que a inclinao de uma reta no formato padro, B 0
Escreva a equao no formato de interceptao de inclinao encontrandoy.
O coeficiente de x a inclinao da reta: m=
Oformato
deinterceptaoe
inclinaodeumareta
y=mx+b,emquema
inclinaodaretaeba
interceptaodey.
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Captulo 1 Equaes Lineares e Desigualdades
3OFabulosoLivrodeExercciosdeClculo
1.4 Reescreva a equao linear no formato padro.
Distribua os termos constantes e combine os semelhantes.
Multiplique por 15 o mnimo denominador comum, para eliminar as fraes.
Separe a varivel e os termos constantes.
1.5 Escreva a equao da reta que passa pelos pontos (3, 8) e (6,2) noformato de interceptao e inclinao.
Calcule a inclinao da reta.
Substitua a inclinao na frmula de interceptao e inclinao (y = mx + b) nolugar de m, substitua x ey usando um dos pares de coordenadas e encontre b.
Substitua me bna frmula de interceptao e inclinao.
1.6 Calcule as interceptaes de xeyem 3x 4y= 6 e use-as para fazer o grficoda reta.
Para calcular a interceptao de x, substitua 0 no lugar deye encontre x. Damesma forma, substitua 0 no lugar de xpara calcular a interceptao dey.
Aequaoestarnoformatopadrosetiver:(1)Nenhumafrao,(2)Somentetermoscom
xeydoladoesquerdo,(3)Somenteotermoconstantedoladodireitoe(4)Umcoefcientedexpositivo.
Multipliquetodaaequaopor1paraqueocoefcientedexsejapositivo.(umrequisitodoformatopadro.)
Pensenoponto(3,8)como(x1,y1)eem(6,2)como(x
2,y2),ento,x1=3,y
1=8,
x2=6ey2=2.
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Captulo 1 Equaes Lineares e Desigualdades
4 OFabulosoLivrodeExercciosdeClculo
Portanto, o grfico de 3x 4y= 6 corta o eixo xem (2,0) e o eixoyemcomo ilustra a Figura 1-1.
Figura 1-1
O grfico de 3x 4y = 6 com suas interceptaes de
x e y identificadas.
1.7 Presuma que a retapcontm o ponto (3,1) e que ela seja paralela a x 4y= 1.Escreva a equao depno formato de interceptao e inclinao.
Calcule a inclinao de x 4y= 1, usando o mtodo do Problema 1.3.
Insira esta interceptao e as coordenadas (x1,y
1) = (3,1) na frmula de
inclinao e ponto.
Isoleypara expressar a equao no formato de interceptao de inclinao.
Afrmula
deinclinaoep
onto
criaumaequa
ocombase
nainclinaoda
reta,m,e
umpontonare
ta,(x1,y1).
Noinsiranada
nolugar
dexeyqueno
tenha
pequenosnmer
osao
lado.
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Captulo 1 Equaes Lineares e Desigualdades
5OFabulosoLivrodeExercciosdeClculo
Nota: Os problemas 1.8 - 1.10 referem-se ao paralelogramo ABCD, da Figura 1-2.
1.8 De acordo com um teorema bsico da geometria euclidiana, as diagonaisde um paralelogramo se interceptam nos pontos mdios. Verifique que esseteorema vlido para o paralelogramo ABCD.
Figura 1-2
Paralelogramo
ABCD.
Calcule os pontos mdios de ACe BD; as diagonais interceptar-se-o nos pontosmdios se, e somente se, esses pontos mdios coincidirem.
Ponto mdio de AC: Ponto mdio de BD:
Nota: Os problemas 1.8 1.10 referem-se ao paralelogramo ABCD na Figura 1-2.
1.9 Prove que ABCD um losango verificando que seus lados so congruentes.
Aplique a frmula da distncia quatro vezes, uma em cada lado.
Opontomdiodeumsegmentoderetacompontosterminais(x1,y1)e(x
2,y2).Emoutraspalavras,acoordenada
dexdopontomdiodeumsegmentoamdiadascoordenadasdexdeseusextremos.Omesmoseaplicaparaacoordenada
dey.
Adistnciaentre
ospontos
(x1,y1)e(x2,y2)
.
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Captulo 1 Equaes Lineares e Desigualdades
6 OFabulosoLivrodeExercciosdeClculo
1.10 Prove que ABCD um losango verificando que suas diagonais soperpendiculares umas s outras.
Calcule as inclinaes das diagonais usando a frmula de inclinao doProblema 1.5.
Inclinao de AC: Inclinao de BD:
As diagonais so recprocas negativas, por isso, os segmentos de reta soperpendiculares.
Desigualdades Lineares e Representaes de Intervalos
Adeus, sinal de igualdade. Ol, parnteses e colchetes.
1.11 Escreva a expresso x4 usando a representao de intervalos.
Um intervalo definido pelos dois valores que ligam uma desigualdade, ovalor inferior seguido pelo valor superior. Voc deve indicar se cada pontoterminal est includo no intervalo ou no. (Um colchete prximo a um pontoterminal significa que ele est incluso, e um parntese indica sua excluso.)
Qualquer nmero maior que ou igual a 4 torna esta afirmao verdadeira; 4
o limite mais baixo e deve ser includo. O limite maior o infinito. Portanto,x4 representado como [4,).
1.12 Escreva a expresso x < 10 usando a representao de intervalos.
O limite superior 10 e deve ser excludo (j que 10 no menor do que 10).Qualquer nmero menor que 10 torna essa afirmao verdadeira; h valoresinfinitos na direo negativa, por isso, o limite inferior . Portanto, aafirmao da desigualdade escrita como (,10).
1.13 Escreva a expresso 6 x> 1 usando a representao de intervalos.
O limite inferior deve sempre preceder o limite superior, independentementede como a expresso esteja escrita: (1,6].
1.14 Escreva a soluo para a desigualdade usando a representao de intervalos:4x 2 > x+ 13.
Separe as variveis e os termos constantes e, depois, divida pelo coeficiente de x.
Asretasparale
las
tminclinaes
iguais.
Asinclinaesde
retas
perpendiculares
so
recprocasumas
soutrase
possuemsinaiso
postos.
Sempre
useparntesesa
o
ladodeaorep
resentar
intervalos.Voc
nopode
incluiralgoqu
enoseja
umnmeroreal
,fnito.
REGRAGERAL:
Useumcolcheteseo
smbolodadesigualdade
prximoaonmerofor
oudocontrrio,
use
umparntese.Sempre
useparntesesprximos
ae.
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Escreva a soluo como uma representao de intervalos: (5,).
1.15 Escreva a soluo da desigualdade usando a representao de intervalos:
3 (2x 1) 5 10x+ 19
Distribua o termo constante, combine os termos semelhantes e isole xdo ladoesquerdo da equao.
A diviso por um termo constante negativo altera fundamentalmente adesigualdade:
Escreva a soluo na forma de representao de intervalos:
1.16 Desenhe o grfico da desigualdade: 2 x< 3.
Reescreva a desigualdade como um intervalo: [2,3). Para desenhar o grficodo intervalo em uma reta numrica, insira um ponto para cada limite (pontoscheios para limites includos e pontos vazados para limites excludos). Todos os
valores entre esses limites pertencem ao intervalo, por isso, trace uma reta maisescura entre os pontos, como ilustrado na Figura 1-3.
Figura 1-3O grfico de 2 x 1.
No h limite superior para o intervalo (1,), mas todos os valores maiores
que 1 satisfazem a desigualdade. Portanto, escurea todos os nmerosmaiores que 1 na reta numrica, como ilustrado na Figura 1-4.
Figura 1-4 O grfico de x > 1 exclui o limite inferior, x = 1.
Sevocmultiplicaroudividirambososladosdeumadesigualdadeporumnmeronegativo,invertaosinaldadesigualdade.Nessecaso,setorna.
Algunslivrosusamcolchetesemvezdepontoscheios
eparntesesemvezdepontosvazadosnaretanumrica.
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8 OFabulosoLivrodeExercciosdeClculo
1.18 Solucione e desenhe o grfico da desigualdade: 7 1 2x< 11.
Isole 2xno meio da desigualdade composta subtraindo 1 de cada expresso.Em seguida, divida cada expresso por 2 para isolar x, invertendo os sinais dadesigualdade ao fazer isso.
O grfico da soluo, (5,4] ilustrado na Figura 1-5.
Figura 1-5 O grfico de 7 1 2x
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9OFabulosoLivrodeExercciosdeClculo
1.20 Resolva a equao: 2x y 4.
Resolva a desigualdade para encontrary.
Este grfico slido (e no tracejado), pois a reta em si pertence soluo.Sombreie a regio acima da reta, como ilustrado na Figura 1-7.
Figura 1-7
Todos os pares ordenados acima da reta so solues
vlidas para a desigualdade 2x y 4.
Equaes e Desigualdades de MduloResolva dois pelo preo de um
1.21 Resolva a equao: |3x 7| = 8.
Para que esta afirmao seja vlida, a expresso dentro do mdulo deve serigual a 8 (j que |8| = 8) ou a 8 (j que |8| = 8).
A soluo x ou x= 5.
Sevocnoquisertestarpontosparadescobrirondedevesombrear,resolvaaequaoparaencontraryeuseessaregrageral:Sombreieacimadaretaparamaiorqueeabaixodareta
paramenorque.
Nosolicitadoquevocdesenheogrfcodasoluo,poisumaretanumricacompontosem e5nomuitointeressante.
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10 OFabulosoLivrodeExercciosdeClculo
1.22 Resolva a equao: 1 2|x+ 6| = 4.
Isole o mdulo absoluto do lado esquerdo da equao.
Aplique a tcnica descrita no Problema 1.21.
1.23 Resolva a equao: 9 3|x+ 2| = 15.
Isole o mdulo do lado esquerdo da equao.
Esta equao no tem soluo.
1.24 Resolva a desigualdade: |x 5| < 1.
A soluo para a desigualdade de valor absoluto |x+ a| < b, em que ae bsonmeros reais (e b> 0), equivale soluo da desigualdade composta b< x+ a< b.
1 < x 5 < 1
Resolva a desigualdade usando o mtodo descrito no Problema 1.18.
A soluo, em representao de intervalos, (4,6).
1.25 Desenhe o grfico da soluo para a desigualdade: 2|x 7| 5 1.
Isole o mdulo do lado esquerdo da desigualdade.
Removaas
barrasdemduloecrie
duasequaesumacomo
ladodireitopositivoeoutra
comoladodireitonegativo
.
Omdulode
umnmerose
mpre
positivoouzero,
porisso,
nohcomoalg
oem
mduloserigua
la2.
Corteasbarrasde
desigualdade,coloque
umsinaldedesigualdade
equivalenteesquerda,e
depoiscoloqueoopostodo
ladodireitonoladoesquerdo
.