Onderscheidingsvermogen van hypothesetoetsen toegepast op de

z-toets

Prof. dr. P. Theuns

Hypothesetoetsen - Voorbeeld MELKEen kaasfabriek vermoedt dat sommige leveranciers

van melk water toevoegen aan hun melk.

Onderzoek het vriespunt van de melk.

Normaliter is het vriespunt van melk normaal verdeeldmet = -0.545°C en = 0.008°C

Voor 5 opeenvolgende zendingen melk vindt men:

539.0X

Is dit een goede aanwijzing dat met de melk werd geknoeid?

Werd met de melk geknoeid ?

C008.0C545.0

C539.05

Xn H0: = 0 = -0.545°C

HA: > -0.545°C

645.10.004

545.0539.0

0

n

Xz

z-tabel p(z>1.645)=.05

0,0045

008.0

nX

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3

X

Z

=-0

.545

°C

-0.5

41°C

-0.5

39°C

Steekproevenverdeling van X onder H0

Indien er niet werd geknoeid, hoe groot is de kans op dergelijk (of hoger) steekproefgemiddelde?

WAARSCHIJNLIJK werd met de melk geknoeid !

Er blijven 2 mogelijkheden:

• Er werd INDERDAAD met de melk geknoeid.

• Er werd NIET met de melk geknoeid: gemiddeld vindt men in 5% van de steekproeven met n = 5 dergelijk hoog (of hoger) vriespunt. Het is dus mogelijk dat toevallig dergelijke uitzonderlijke steekproef werd getrokken.

BESLUITGezien het gevonden steekproefgemiddelde uitzonderlijk hoog is (komt voor in slechts 5% van de steekproeven) verwerpen we H0 en aanvaarden HA: ER WERD GEKNOEID!

Hierbij nemen we een risico =5% dat we een verkeerde beslissing nemen.

Beslissingsfouten

Beslissing Werkelijke situatieop grond van

steekproef melk is OKmet melkgeknoeid

melk is OK Juistebeslissing

FOUT

Type 2 =

met melkgeknoeid

FOUT

Type 1 = Juiste

beslissing

ONDERSCHEIDINGSVERMOGEN

Onderscheidingsvermogen

Kwaliteit van kaas komt in gevaar indien melk zoveel wordt aangelengd dat vriespunt stijgt tot 0.53°C

zal hypothesetoets op 5 monsters dergelijk hoog vriespunt correct detecteren?

Onderscheidingsvermogen van de hypothesetoets indien A=-0.53°C

Onderscheidingsvermogen - grafisch

-0,555 -0,550 -0,545 -0,540 -0,535 -0,530 -0,525 -0,520

0 Akritieke waarde

X

zA0-1-2-3 1 2

X

1-

1-

H0 aanvaarden H0 verwerpen

Steekproeven-verdeling onder

HA

Steekproeven-verdeling onder H0

Onderscheidingsvermogen berekenen

-2.52

5

008.0530.0539.0

X

Xz A

A

Kritieke waarde voor vriespunt: X = -0.539°C

p(X>-0. 539)=p(zA>-2.52)= 0.9941

1. Kritieke waarde bepalen onder H0

2. z-waarde van kritieke waarde bepalen onder HA

3. Onderscheidingsvermogen = Overschreidingskans van kritieke waarde onder HA

z-waarde van X = -0.539°C onder HA : A=-0.53°C

HA en het onderscheidingsvermogen

H0 HA

0 Akritieke waarde

H0 HA

0 Akritieke waarde

Onderscheidingsvermogen en

H0 HA

0 Akritieke waarde

H0 HA

0 Akritieke waarde

n & en het onderscheidingsvermogen

n

X

kleiner

groter H0 HA

0 Akritieke waarde

H0 HA

0 A

kritieke waarde

n

Voorbeeld 2-zijdige toets

De Psychomotorische ActivatieTest werd genormeerd op 3000 normale kinderen en de resultaten worden

uitgedrukt in genormaliseerde t-scores

Een onderzoeker wilt de PAT gebruiken om na te gaan of stadskinderen verschillen van plattelandskinderen op

vlak van psychomotoriek

hoe groot is de kans dat men dan een significant verschil (=0.05) zal vinden voor de PAT-scores

indien het verschil tussen beide populaties gemiddeld 5 t-punten bedraagt en 2 steekproeven

van 20 kinderen zullen worden onderzocht?

Berekening onderscheidingsvermogen

H0: 1 - 2 = 0HA: 1 - 2 = 5 = 10n1=n2=20

20.61096.1

96.110

20100

20100

21

2121

2

22

1

21

21

21

21

XX

XXXX

nn

XX

XX

XXz

1. Kritieke waarde bepalen onder H0

2. z-waarde van kritieke waarde bepalen onder HA

3. Onderscheidingsvermogen

38.010

52.6

z

5:H onder 20.6 van waarde- 21A21 XXz

p(|X1-X2|>6.20)=p(z<-3.54)+p(z>0.38)= 0.0002 + 0.3520 = 0.3522

54.310

52.6

z

5

Onderscheidingsvermogen voor 5 t-punten

0

kritieke waarde

0 21 XX -5

z00-1-2-3 1 2 3 4 5

A

zA0-1-2-3 1 2 3 4 5