Post on 16-Mar-2016
description
Ocjena uOcjena učinkovitosti postupaka činkovitosti postupaka za rješavanje kinematike za rješavanje kinematike Stewartovih paralelnih Stewartovih paralelnih mehanizamamehanizama
Magistarski radMagistarski rad
2
SadržajSadržaj UvodUvod Kinematika SPMKinematika SPM Matematička definicija problemaMatematička definicija problema Postupci rješavanja unaprijedne kinematikePostupci rješavanja unaprijedne kinematike Prilagodbe postupaka rješavanjaPrilagodbe postupaka rješavanja Ocjena učinkovitostiOcjena učinkovitosti ZaključakZaključak
3
UvodUvod Stewartovi paralelni mehanizmi (SPM) pripadaju porodici Stewartovi paralelni mehanizmi (SPM) pripadaju porodici
paralelnih manipulatoraparalelnih manipulatora pparalelni manipulator: aralelni manipulator: rradad je ostvaren zajedničkim je ostvaren zajedničkim
djelovanjem nekoliko djelovanjem nekoliko paralelnih kinematskih lanacaparalelnih kinematskih lanaca vvećina današnjih paralelnih manipulatora načinjena je ećina današnjih paralelnih manipulatora načinjena je
po uzoru na Stewartov paralelni manipulator – po uzoru na Stewartov paralelni manipulator – Stewartova platformaStewartova platforma ili ili heksapodheksapod
hheksapod:eksapod: šest paralelnih kinematskih lanaca – šest šest paralelnih kinematskih lanaca – šest krakova koji povezuju nepomičnu (osnovnu) i pomičnu krakova koji povezuju nepomičnu (osnovnu) i pomičnu platformuplatformu
heksapodom heksapodom se se upravlja upravlja mijenjanjem duljina krakovamijenjanjem duljina krakova
4
UvodUvod
5
UvodUvodSvojstva Stewartove platforme:Svojstva Stewartove platforme: velika preciznostvelika preciznost dobra pokretljivost (dinamička svojstva)dobra pokretljivost (dinamička svojstva) čvršća mehanička strukturačvršća mehanička struktura mali radni prostormali radni prostor složeno upravljanjesloženo upravljanje
6
Kinematika SPMKinematika SPM upravljanje heksapodom: promjenom upravljanje heksapodom: promjenom duljina duljina krakovakrakova orijentacija krakova u prostoru je nepoznataorijentacija krakova u prostoru je nepoznata konfiguracija heksapoda (stanje u kojemu se nalazi) određena konfiguracija heksapoda (stanje u kojemu se nalazi) određena
je je položajem i orijentacijompoložajem i orijentacijom pomične platforme pomične platforme zadanom položaju i orijentaciji odgovara zadanom položaju i orijentaciji odgovara jedinstveni skup jedinstveni skup
duljina krakovaduljina krakova ppreslikavanje poloreslikavanje položaja i orijentacije pomične platforme u duljine žaja i orijentacije pomične platforme u duljine
krakova heksapoda naziva se krakova heksapoda naziva se inverzna kinematika heksapodainverzna kinematika heksapoda
IIK: (K: (položaj, orijentacijapoložaj, orijentacija) ) ( (ll11, l, l22, l, l33, l, l44, l, l55, l, l66))
računanje inverzne kinematike je jednostavno, jednoznačno i računanje inverzne kinematike je jednostavno, jednoznačno i brzobrzo
za zadano gibanje heksapoda računa se inverzna kinematika u za zadano gibanje heksapoda računa se inverzna kinematika u dovoljno velikom broju točakadovoljno velikom broju točaka
7
Kinematika SPMKinematika SPM pronalaženje položaja i orijentacije pomične platforme pronalaženje položaja i orijentacije pomične platforme
na osnovi zadanih duljina krakova – unaprijedna na osnovi zadanih duljina krakova – unaprijedna kinematika heksapodakinematika heksapoda
UUK: K: ((ll11, l, l22, l, l33, l, l44, l, l55, l, l66) ) ((položaj, orijentacijapoložaj, orijentacija) )
problem unaprijedne kinematike:problem unaprijedne kinematike: nije jednoznačan (može postojati više rješenja)nije jednoznačan (može postojati više rješenja) rješenje se ne može opisati analitičkirješenje se ne može opisati analitički
8
Kinematika SPMKinematika SPMZašto je potrebno rješenje unaprijedne kinematike?Zašto je potrebno rješenje unaprijedne kinematike? povratna veza u sustavu za upravljanje manipulatorom povratna veza u sustavu za upravljanje manipulatorom
((force-feedback controlforce-feedback control)) mapiranje nepoznatih površina (mapiranje nepoznatih površina (positon-orientation positon-orientation
sensorsensor)) osjetnik vanjske sile i momenta (osjetnik vanjske sile i momenta (force-torque sensorforce-torque sensor))
Koja su svojstva prihvatljivog postupka rješavanja?Koja su svojstva prihvatljivog postupka rješavanja? pouzdanost pouzdanost – pronalaženje rješenja bez obzira na – pronalaženje rješenja bez obzira na
početne uvjetepočetne uvjete brzina brzina – omogućuje rad u stvarnom vremenu– omogućuje rad u stvarnom vremenu preciznost preciznost – ovisno o zahtjevima primjene– ovisno o zahtjevima primjene
9
Matematička definicija problemaMatematička definicija problema Definicija konstrukcije heksapodaDefinicija konstrukcije heksapoda: koordinate hvatišta : koordinate hvatišta
krakova na osnovnoj i pomičnoj platformikrakova na osnovnoj i pomičnoj platformi šest vektora za osnovnu ( ) i šest za pomičnu platformu ( šest vektora za osnovnu ( ) i šest za pomičnu platformu (
) )
pplatforme su latforme su planarne –planarne – sva hvati sva hvatišta ušta u jednoj ravnini jednoj ravnini vektori i spajaju središte platforme sa odgovarajućim vektori i spajaju središte platforme sa odgovarajućim
zglobomzglobom definirani su u lokalnim koordinatnim sustavima osnovne i definirani su u lokalnim koordinatnim sustavima osnovne i
pomične platforme (nepromjenjive veličine)pomične platforme (nepromjenjive veličine)
6,..,1 ,0
,0
ip
ppb
bb iy
ix
iiy
ix
i
10
Matematička definicija problemaMatematička definicija problema Rješenje unaprijedne kinematikeRješenje unaprijedne kinematike: : položajpoložaj i i
orijentacijaorijentacija pomične platforme u globalnom pomične platforme u globalnom koordinatnom sustavukoordinatnom sustavu
globalni koordinatni sustav ekvivalentan je sustavu globalni koordinatni sustav ekvivalentan je sustavu osnovne platformeosnovne platforme
položaj pomične platforme opisan je vektorom koji položaj pomične platforme opisan je vektorom koji spaja središta platformispaja središta platformi
z
y
x
ttt
t
t
t
11
Matematička definicija problemaMatematička definicija problema orijentacija pomične platforme: kutevi zakreta oko osi orijentacija pomične platforme: kutevi zakreta oko osi
globalnog koordinatnog sustavaglobalnog koordinatnog sustava zakret za kut zakret za kut oko osi oko osi xx, potom , potom oko osi oko osi yy, te , te oko osi oko osi
zz navedeni kutevi definiraju navedeni kutevi definiraju rotacijsku matricurotacijsku matricu RR rotacijska matrica rotacijska matrica •• vektor u sustavu pomične platforme vektor u sustavu pomične platforme
+ vektor translacije pomične platforme + vektor translacije pomične platforme = vektor u globalnom koordinatnom = vektor u globalnom koordinatnom sustavusustavu
t il
iB p
6,..,1, ipRtp iiB
12
Matematička definicija problemaMatematička definicija problema točno rtočno rjeješenje nije moguće analitički odrediti šenje nije moguće analitički odrediti iterativni iterativni
postupcipostupci potrebno je definirati funkciju greške proizvoljnoga – potrebno je definirati funkciju greške proizvoljnoga –
trenutnog rješenja u odnosu na stvarno rješenjetrenutnog rješenja u odnosu na stvarno rješenje oocjena valjanosti rjecjena valjanosti rješenja – primjenom inverzne kinematikešenja – primjenom inverzne kinematike računanje duljina krakova pomoću položaja i orijentacijeračunanje duljina krakova pomoću položaja i orijentacije duljina kraka računa se kao euklidska udaljenost hvatišta duljina kraka računa se kao euklidska udaljenost hvatišta
na osnovnoj i pomičnoj platformi:na osnovnoj i pomičnoj platformi:
u radu je definirano pet funkcija koje ocjenjuju valjanost u radu je definirano pet funkcija koje ocjenjuju valjanost rješenja – pet funkcija ciljarješenja – pet funkcija cilja
6,..,1),,( ipbDl iB
ii
13
Matematička definicija problemaFunkcija Funkcija FF11 – položaj i orijentacija kao varijable – položaj i orijentacija kao varijable varijable su komponente vektora translacije i kutevi varijable su komponente vektora translacije i kutevi
zakreta pomične platformezakreta pomične platforme ukupna pogreška izražena je kao suma kvadrata ukupna pogreška izražena je kao suma kvadrata
pogrešaka za svaki krakpogrešaka za svaki krak varijable su grupirane u vektor čiji elementi varijable su grupirane u vektor čiji elementi
predstavljaju rješenje unaprijedne kinematikepredstavljaju rješenje unaprijedne kinematike
t
6
1
2221 ),(
iii
Bi lpbDF
Tzyx tttX 1
14
Matematička definicija problemaSvojstva funkcije Svojstva funkcije FF11 velik stupanj nelinearnosti – elementi rotacijske matrice velik stupanj nelinearnosti – elementi rotacijske matrice
su trigonometrijske funkcije kutevasu trigonometrijske funkcije kuteva teško odrediti ukupan broj mogućih rješenjateško odrediti ukupan broj mogućih rješenja derivabilna u svakoj točkiderivabilna u svakoj točki najčešće korišten oblik ocjene rješenja unaprijedne najčešće korišten oblik ocjene rješenja unaprijedne
kinematikekinematike
15
Matematička definicija problemaFunkcija Funkcija FF22 – kanonski oblik jednadžbi unaprijedne – kanonski oblik jednadžbi unaprijedne
kinematikekinematike ideja: uporaba elemenata rotacijske matrice kao ideja: uporaba elemenata rotacijske matrice kao
varijabli, čime se izbjegavaju trigonometrijske ovisnostivarijabli, čime se izbjegavaju trigonometrijske ovisnosti
dobiva se veći broj varijablidobiva se veći broj varijabli neke je moguće eliminirati – vrijedi npr.neke je moguće eliminirati – vrijedi npr.
zzz
yyy
xxx
aonaonaon
aonR
ona
16
Matematička definicija problema ideja br. 2: promjena ideja br. 2: promjena
koordinatnih sustava osnovne koordinatnih sustava osnovne i pomične platformei pomične platforme
odgovarajućim izborom odgovarajućim izborom koordinatnih sustava koordinatnih sustava pojednostavljuje se oblik pojednostavljuje se oblik jednadžbijednadžbi
u oblikovanju jednadžbi polazi u oblikovanju jednadžbi polazi se također od 6 osnovnih se također od 6 osnovnih jednakosti za euklidsku jednakosti za euklidsku udaljenost točakaudaljenost točaka
Zp
Xp
Yp
Xb
Yb
Zb
p1
p2
p3
p4 p5
p6
b1 b2
b3
b4
b5 b6
17
Matematička definicija problemaKanonski oblik jednadžbiKanonski oblik jednadžbi (sustav 9x9) (sustav 9x9)::
1222 zyx nnn ,
1222 zyx ooo , 2
1222 lttt zyx ,
0 zzyyxx ononon ,
AnAtAtntntn xxzzyyxx 21 ,
BoBnBtBoBnBtBtototo yyyxxxzzyyxx 654321 ,
4464544434241 CoCnCtCoCnCtC yyyxxx ,
5565554535251 CoCnCtCoCnCtC yyyxxx ,
6666564636261 CoCnCtCoCnCtC yyyxxx .
18
Matematička definicija problemaKonačni oblik funkcije greške i vektora rješenja:Konačni oblik funkcije greške i vektora rješenja:
2
4464544434241
2654321
221
2
221
222222222222 11
CoCnCtCoCnCtC
BoBnBtBoBnBtBtototo
AnAtAtntntnononon
ltttooonnnF
yyyxxx
yyyxxxzzyyxx
xxzzyyxxzzyyxx
zyxzyxzyx
25565554535251 CoCnCtCoCnCtC yyyxxx
26666564636261 CoCnCtCoCnCtC yyyxxx
Tzyxzyxzyx tttooonnnX 2
19
Matematička definicija problemaSvojstva funkcije Svojstva funkcije FF22 : : veći broj nepoznanica – ukupno 9veći broj nepoznanica – ukupno 9 polinomski oblik (4. stupnja) – nema transcendentalnih polinomski oblik (4. stupnja) – nema transcendentalnih
ovisnostiovisnosti derivabilna u svakoj točkiderivabilna u svakoj točki potrebno je naknadno izračunavanje kuteva zakreta iz potrebno je naknadno izračunavanje kuteva zakreta iz
elemenata rotacijske matriceelemenata rotacijske matrice
20
Matematička definicija problemaFunkcije Funkcije FF33 ii FF44 – reducirani kanonski oblik jedna – reducirani kanonski oblik jednadžbidžbi kanonski oblik jednadžbi dopušta redukciju broja kanonski oblik jednadžbi dopušta redukciju broja
varijablivarijabli od 9 jednadžbi kanonskog oblika 3 su od 9 jednadžbi kanonskog oblika 3 su linearne linearne 3 3
varijable se mogu prikazati kao linearne kombinacijevarijable se mogu prikazati kao linearne kombinacije eliminacija eliminacija ttxx, , ttyy i i nnyy daje: daje:
.
,
,
3333231
2232221
1131211
DoDoDnDn
DoDoDnDt
DoDoDnDt
yxxy
yxxy
yxxx
21
Matematička definicija problemaFunkcija Funkcija FF33 (kao (kao FF22 bez posljednja tri pribrojnika): bez posljednja tri pribrojnika):
Svojstva funkcije Svojstva funkcije FF33 (u odnosu na (u odnosu na FF22):): manji broj nepoznanica (6) od kanonskog oblikamanji broj nepoznanica (6) od kanonskog oblika i dalje polinomski oblik, najviše 4. stupnjai dalje polinomski oblik, najviše 4. stupnja
2
654321
221
2
221
222222222223 11
BoBnBtBoBnBtBtototo
AnAtAtntntnononon
ltttooonnnF
yyyxxxzzyyxx
xxzzyyxxzzyyxx
zyxzyxzyx
Tzzyxzx tooonnX 3
22
Matematička definicija problema moguće je i dalje smanjenje broja varijabli, ali uz moguće je i dalje smanjenje broja varijabli, ali uz
povećanje složenosti jednadžbipovećanje složenosti jednadžbi dobiva se sustav 4. stupnja od 3 jednadžbe sa tri dobiva se sustav 4. stupnja od 3 jednadžbe sa tri
nepoznanicenepoznanice funkcija funkcija FF44 ima sljedeći oblik: ima sljedeći oblik:
22221
22221
212
2222224
1
2
1
yxyxxx
yyxxxxxyyx
yxyxxyxx
nnlttAnAtA
tntnAnAtAtntn
oonnononF
2222
1222
321
3212
1
2
yxyxyxx
yyxxyxxxyyx
oolttEoEoEnE
totoEoEoEnEtoto
Tyxx oonX 4
23
Matematička definicija problemaFunkcija Funkcija FF55 – prikaz orijentacije pomoću rotacijskog – prikaz orijentacije pomoću rotacijskog
vektoravektora svaku rotaciju moguće je prikazati jednim zakretom oko svaku rotaciju moguće je prikazati jednim zakretom oko
odgovarajuće postavljene osiodgovarajuće postavljene osi orijentacija pomične platforme predstavlja se vektorom orijentacija pomične platforme predstavlja se vektorom
osi rotacije i kutom zakreta – potrebno 4 varijableosi rotacije i kutom zakreta – potrebno 4 varijable vektor osi rotacije je jedinične duljine – definira se vektor osi rotacije je jedinične duljine – definira se
umnožak kuta rotacije i vektora osi rotacije:umnožak kuta rotacije i vektora osi rotacije:
vektor rješenja i dalje ima 6 elemenata:vektor rješenja i dalje ima 6 elemenata:
kr
q
Tzyxzyx rrrtttX 5
24
Matematička definicija problema iz početne zadane orijentacije (kutevi iz početne zadane orijentacije (kutevi , , i i ) )
izračunava se vektor osi rotacije i kut rotacije izračunava se vektor osi rotacije i kut rotacije qq tokom rješavanja računaju se elementi rotacijske tokom rješavanja računaju se elementi rotacijske
matricematrice na kraju postupka rješavanja orijentacija se ponovno na kraju postupka rješavanja orijentacija se ponovno
prikazuje pomoću prikazuje pomoću , , i i funkcija funkcija FF55 računa se kao i računa se kao i FF11 – euklidska udaljenost – euklidska udaljenost
točakatočaka
Svojstva funkcije Svojstva funkcije FF55:: nelinearna – sadrži trigonometrijske funkcijenelinearna – sadrži trigonometrijske funkcije nije derivabilna u svakoj točki (nedefiniranost vektora nije derivabilna u svakoj točki (nedefiniranost vektora
osi rotacije za neke slučajeve)osi rotacije za neke slučajeve)
25
Postupci rješavanja unaprijedne kinematikePotrebe za rješenjem unaprijedne kinematike:Potrebe za rješenjem unaprijedne kinematike: u postupku analizeu postupku analize
tražimo sva rješenjatražimo sva rješenja vrijeme rješavanja nije kritičnovrijeme rješavanja nije kritično složeniji postupci, posebno definirani za određenu složeniji postupci, posebno definirani za određenu
vrstu manipulatora (numerički)vrstu manipulatora (numerički) u stvarnom vremenuu stvarnom vremenu
tražimo samo jedno rješenje (po mogućnosti pravo)tražimo samo jedno rješenje (po mogućnosti pravo) vrijeme je ograničenovrijeme je ograničeno poznatpoznata je početna konfiguracija heksapodaa je početna konfiguracija heksapoda iterativni (konvergencijski) postupciiterativni (konvergencijski) postupci
Na matematički definiran problem primjenjuje se neki od Na matematički definiran problem primjenjuje se neki od algoritama optimiranjaalgoritama optimiranja
26
Postupci rješavanja unaprijedne kinematikePrimijenjeni algoritmi optimiranja:Primijenjeni algoritmi optimiranja: Hooke-Jeeves postupakHooke-Jeeves postupak Powellov postupakPowellov postupak Metoda najbržeg spustaMetoda najbržeg spusta Newton-Raphsonov postupakNewton-Raphsonov postupak Newton-Raphsonov postupak s konstantnim JacobijanomNewton-Raphsonov postupak s konstantnim Jacobijanom Postupak po Fletcheru i PowelluPostupak po Fletcheru i Powellu
Cilj rada: pronaći odgovarajuću kombinaciju matematičke Cilj rada: pronaći odgovarajuću kombinaciju matematičke definicije problema (funkcije F1-F5) i algoritma definicije problema (funkcije F1-F5) i algoritma optimiranja koja omogućuje rješavanje u stvarnom optimiranja koja omogućuje rješavanje u stvarnom vremenuvremenu
27
Prilagodbe postupaka rješavanjaPrilagodbe postupaka rješavanja algoritme algoritme optimiranja optimiranja je ponekad moguće prilagoditi je ponekad moguće prilagoditi
koknretnom problemukoknretnom problemu smanjuje se općenitost, ali je moguće povećanje brzine smanjuje se općenitost, ali je moguće povećanje brzine
ili stupnja konvergencije (postotka pronalaženja ili stupnja konvergencije (postotka pronalaženja rješenja)rješenja)
Učinkovito pronalaženje minimuma na pravcuUčinkovito pronalaženje minimuma na pravcu neki algoritmi optimiranja koriste pronalaženje neki algoritmi optimiranja koriste pronalaženje
minimuma na pravcu u svakom koraku – vremenski minimuma na pravcu u svakom koraku – vremenski zahtjevnozahtjevno
traženje minimuma na pravcu traženje minimuma na pravcu traženje minimuma po traženje minimuma po jednoj varijabli koja množi proizvoljni vektor smjera:jednoj varijabli koja množi proizvoljni vektor smjera:)(min 0 vXF
l
28
Prilagodbe postupaka rješavanjaPrilagodbe postupaka rješavanja funkcije F2 i F3 su polinomi 4. stupnjafunkcije F2 i F3 su polinomi 4. stupnja parcijalna derivacija po parcijalna derivacija po ll daje polinom 3. stupnjadaje polinom 3. stupnja traženi minimum je jedna od nul-točaka polinomatraženi minimum je jedna od nul-točaka polinoma
pronalaženje nul-točaka u okolini pronalaženje nul-točaka u okolini ll=0 puno je brže od =0 puno je brže od traženja minimuma na pravcu uzastopnim traženja minimuma na pravcu uzastopnim izračunavanjem funkcijeizračunavanjem funkcije
svi algoritmi koji koriste pretraživanje na pravcu ubrzani svi algoritmi koji koriste pretraživanje na pravcu ubrzani su za funkcije F2 i F3su za funkcije F2 i F3
023 ¶¶ dcbaF llll
29
Prilagodbe postupaka rješavanjaPrilagodbe postupaka rješavanja parcijalnom derivacijom funkcija F1 i F5 po parcijalnom derivacijom funkcija F1 i F5 po ttxx, , ttyy i i ttzz
također se dobiva polinom 3. stupnjatakođer se dobiva polinom 3. stupnja moguće je traženje minimuma po koordinatnim osima moguće je traženje minimuma po koordinatnim osima ttxx, , ttyy i i ttzz
ideja: načiniti 2-3 iteracije traženja po tim koordinatnim ideja: načiniti 2-3 iteracije traženja po tim koordinatnim osima osima prijeprije početka postupka optimiranja početka postupka optimiranja
Početno pretraživanjePočetno pretraživanje: nekoliko koraka traženja po : nekoliko koraka traženja po koordinatnim osima (u cilju pronalaženja boljeg koordinatnim osima (u cilju pronalaženja boljeg početnog rješenja)početnog rješenja)
30
Prilagodbe postupaka rješavanjaPrilagodbe postupaka rješavanjaGeneriranje početnog rješenja eliminacijom varijabliGeneriranje početnog rješenja eliminacijom varijabli reducirani kanonski oblik jednadžbi ima samo 3 varijable reducirani kanonski oblik jednadžbi ima samo 3 varijable
–nedovoljno za jednoznačan opis konfiguracije –nedovoljno za jednoznačan opis konfiguracije heksapodaheksapoda
sa tri varijable je predstavljen cijeli skup kofiguracija sa tri varijable je predstavljen cijeli skup kofiguracija heksapoda sa bilo kojim vrijednostima ostalih heksapoda sa bilo kojim vrijednostima ostalih (eliminiranih) varijabli(eliminiranih) varijabli
u postupku preslikavanja rješenja u standardni oblik u postupku preslikavanja rješenja u standardni oblik položaja i orijentacije (6 varijabli) ostale vrijednosti se položaja i orijentacije (6 varijabli) ostale vrijednosti se izračunavaju pomoću konstantiizračunavaju pomoću konstanti
ako su predstavljene varijable jednake stvarnom ako su predstavljene varijable jednake stvarnom rješenju, ostale će varijable automatski poprimiti točne rješenju, ostale će varijable automatski poprimiti točne vrijednostivrijednosti
31
Prilagodbe postupaka rješavanjaPrilagodbe postupaka rješavanjaPrimjer: reducirani kanonski oblik sa varijablama Primjer: reducirani kanonski oblik sa varijablama nnxx, , ooxx i i ooyy ne sadržne sadržii informaciju o položaju pomične platforme informaciju o položaju pomične platforme položaj središta platforme (položaj središta platforme (ttxx, , ttyy ii ttzz) dobiva se ) dobiva se
preslikavanjem u nereducirani oblikpreslikavanjem u nereducirani oblik ako varijable ako varijable nnxx, , ooxx i i ooyy odgovaraju stvarnom rješenju, odgovaraju stvarnom rješenju,
automatski se dobivaju točne vrijednosti za ostale automatski se dobivaju točne vrijednosti za ostale varijablevarijable
inače: dobivene vrijednosti inače: dobivene vrijednosti ttxx, , ttyy ii ttzz koriste se kao koriste se kao početno rješenje početno rješenje postupka optimiranjapostupka optimiranja! (orijentacija ! (orijentacija se ne mijenja)se ne mijenja)
postupak postupak generiranjgeneriranjaa početnog rješenja: pretvorba u početnog rješenja: pretvorba u reducirani kanonski oblik, potom ponovno u reducirani kanonski oblik, potom ponovno u nereducirani obliknereducirani oblik
32
Ocjena učinkovitostiOcjena učinkovitosti nanaći odgovarajuću kombinaciju funckije cilja, postupka ći odgovarajuću kombinaciju funckije cilja, postupka
optimiranja i prilagodbeoptimiranja i prilagodbeKriteriji učinkovitosti:Kriteriji učinkovitosti:
sposobnost konvergencije ka najbližem rješenjusposobnost konvergencije ka najbližem rješenju brzina konvergencije uz zadanu preciznostbrzina konvergencije uz zadanu preciznost najveća moguća preciznostnajveća moguća preciznost
Ispitivanje učinkovitosti:Ispitivanje učinkovitosti: statičko ispitivanjestatičko ispitivanje simulacija dinamičkog radasimulacija dinamičkog rada
33
Ocjena učinkovitostiOcjena učinkovitostiIspitne konfiguracije (statičko ispitivanje):Ispitne konfiguracije (statičko ispitivanje):
Početni položaj (početno rješenje) Krajnji položaj (stvarno rješenje) x y z x y z
1 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 8 2 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 -1 7 3 0 0 0 0 0 5 0 0 0 2 -5 8 4 0 0 0 0 0 5 0 0 0 -2 5 9 5 0 0 0 0 0 5 0 0 0 6 4 7 1 0 0 0 0 0 5 0 45 0 0 0 7 2 0 0 0 0 0 5 40 0 0 0 -5 9 3 0 0 0 0 0 5 10 -15 10 2 3 7 4 0 0 0 0 0 5 -40 40 40 1 -3 6 5 0 0 0 0 0 5 40 -40 -40 2 -5 7 6 0 0 0 0 0 5 20 -45 -10 -2 3 9 7 0 0 0 0 0 5 40 -40 -40 -2 3 9 8 0 0 0 0 0 5 50 -40 -50 1 3 6 9 0 0 0 0 0 5 90 -20 40 3 2 7 10 0 0 0 0 0 5 45 90 0 2 -5 8 1a 0 0 0 0 0 5 5 5 -5 0.4 -0.5 5.4 1b 0 0 0 0 0 5 -5 -5 5 -0.4 0.5 4.5 2a 15 -50 -5 -1.5 3.5 9.5 20 -45 -10 -2 3 9 2b 25 -40 -15 -2.5 2.5 8.5 20 -45 -10 -2 3 9 3a -45 45 45 3.5 0.5 7.5 -50 40 50 3 1 7 3b -55 35 55 2.5 1.5 6.5 -50 40 50 3 1 7
34
Ocjena učinkovitostiOcjena učinkovitostiStatičko ispitivanjeStatičko ispitivanje 5 funkcija cilja, 6 algoritama optimiranja, 2 prilagodbe postupka5 funkcija cilja, 6 algoritama optimiranja, 2 prilagodbe postupka za svaku funkciju i algoritam – 4 inačice i odgovarajuća oznaka:za svaku funkciju i algoritam – 4 inačice i odgovarajuća oznaka:
''AA' – nepromijenjeni algoritam' – nepromijenjeni algoritam ''BB' – generiranje početnog rješenja eliminacijom varijabli' – generiranje početnog rješenja eliminacijom varijabli ''CC' – početno pretraživanje po x,y,z koordinatama' – početno pretraživanje po x,y,z koordinatama ''DD' – generiranje poč. rješenja i početno pretraživanje' – generiranje poč. rješenja i početno pretraživanje
rezultati: rezultati: vrijeme vrijeme (ms) potrebno postupku da pronađe zadano (ms) potrebno postupku da pronađe zadano rješenjerješenje
ako je postupak konvergirao na neko drugo rješenje (također ako je postupak konvergirao na neko drugo rješenje (također minimum!), polje u tablici je zatamnjenominimum!), polje u tablici je zatamnjeno
ako postupak nije konvergirao (lokalni minimum, predugo ako postupak nije konvergirao (lokalni minimum, predugo vrijeme, divergencija) u polju je '–' vrijeme, divergencija) u polju je '–'
35
Ocjena učinkovitostiOcjena učinkovitostiRezultati optimiranja funkcije Rezultati optimiranja funkcije FF11
Hooke-Jeeves postupak Powellov postupak Newton-Raphsonov postupak&konst. Jacobijan
A B C D A B C D A B C D 1 0.7 0.1 3.2 0.9 26 12 137 12.9 1.5 0.1 1.7 0.9 2 0.9 0.1 4.6 0.9 228 12 258 12.9 1.4 0.1 1.5 0.9 3 2.5 0.1 21.5 0.9 454 12 303 12.9 1.5 0.1 2.4 0.9 4 15 0.1 11.8 0.9 355 12 351 12.9 1.5 0.1 2.4 0.9 5 2.9 0.1 12.3 0.9 643 12 395 12.9 1.2 0.1 2.3 0.9 1 1 4 5 4.6 71 69 126 84 7.9 7.9 8.7 8.7 2 3 5.3 7.6 7.3 311 249 - 233 4.6 4.6 5.4 5.4 3 1.4 5.5 6.3 6.4 272 320 262 319 6.2 .2 7 7 4 1.5 7.4 8.3 8.9 336 336 609 630 10.2 10.2 11 11 5 6.4 6.4 7.4 7.4 - - 1775 - - - - - 6 32.5 42.3 57.2 36.8 320 216 605 296 12.3 12.4 13.2 13.2 7 11 9.3 9.2 10 494 287 - 415 18.3 18.4 19.1 19.1 8 13.9 12.5 14.4 14.7 914 - 532 328 42.6 42.7 43.4 43.4 9 26.4 29.9 9.7 9.3 707 1040 632 613 - - - - 10 689 14.3 10.8 13.2 212 223 - 264 20.3 20.4 21.1 21.2 1a 3.5 3.3 4.2 4.1 201 111 108 144 6.7 6.7 7.4 7.4 1b 3.5 3.4 4.4 4.5 126 124 193 196 7.6 7.7 8.4 8.4 2a 2.2 7 7.4 7.4 213 137 299 191 10.3 10.3 11.1 13.1 2b 2.4 6.4 8.3 8.3 248 250 267 314 10.5 10.6 11.3 13.1 3a 19.9 13.9 19.6 15.1 454 409 444 258 27 27.1 27.9 38.4 3b 17.6 16.2 12.1 13.6 644 922 298 257 26.5 26.3 26.9 38.3
36
Ocjena učinkovitostiOcjena učinkovitostiRezultati optimiranja funkcije Rezultati optimiranja funkcije FF22
Newton-Raphsonov postupak Newton-Raphsonov postupak&konst. Jacobian
Postupak po Fletcheru i Powellu
A B C D A B C D A B C D 1 3.4 0.8 4.2 1.5 0.5 0.1 1.3 0.9 5.9 0.1 9.1 1 2 2.7 0.8 3.5 1.5 0.3 0.1 1.1 0.9 4.1 0.1 4.4 1 3 3.4 0.8 4.2 1.5 1.4 0.1 2.2 0.9 15.9 0.1 14.3 1 4 3.4 0.8 4.9 1.5 0.8 0.1 1.6 0.9 9.6 0.1 4.7 1 5 4.1 0.8 4.2 1.5 0.3 0.1 1.1 0.9 14.6 0.1 6.9 1 1 3.4 2.8 4.2 4.2 0.6 0.6 1.3 1.3 3.3 2.7 7.1 9.2 2 4.1 2.8 5.9 3.5 0.8 0.6 - 1.4 8.1 3.2 - 4.9 3 3.4 2.8 4.2 3.5 0.3 0.2 1.1 1.1 9.1 4.3 6.8 4.4 4 4.1 4.1 4.8 4.9 0.5 0.5 1.3 1.4 8.9 8.8 10.4 10.4 5 7.4 6.8 8.2 8.3 - 2.3 - 2.9 9.2 8.7 17.8 15.5 6 4.1 2.8 4.8 4.2 - - - - 4.7 4 5.5 4.9 7 4.1 3.5 4.8 4.2 - - - - 6.7 7.5 10.9 6.4 8 4.7 - 5.9 - 1 - 1.7 - 6.1 8.5 7.1 9.1 9 688 128 10.8 8.9 - - - - 13.4 10.7 8.9 8.6 10 4.7 4.1 6.2 5.6 - - - - 6.2 4.4 12.2 10.9 1a 2.7 2.8 3.5 3.5 0.1 0.1 0.9 0.9 3.2 3.2 3.8 3.2 1b 2.7 2.8 3.5 3.5 0.2 0.2 0.9 0.9 3.2 3.3 3.8 3 2a 2.7 2.8 3.5 3.5 - - - - 12.4 3.2 11.2 10.8 2b 2.7 2.1 3.5 2.9 - - - - 3.2 3 4.5 3.8 3a 4.1 3.4 3.5 4.2 0.6 0.6 1.6 1.6 6.8 7.1 4.6 5.6 3b 3.4 2.8 4.2 4.2 0.7 0.7 1.5 1.5 10.7 10.5 5.3 7.4
37
Ocjena učinkovitostiOcjena učinkovitostiRezultati optimiranja funkcije Rezultati optimiranja funkcije FF33
Newton-Raphsonov postupak Metoda najbržeg spusta Postupak po Fletcheru i Powellu
A B C D A B C D A B C D 1 1.8 0.4 2.3 1.2 10 1.5 27 2.3 8.4 0.1 4.4 1 2 1.4 0.4 2.3 1.2 6.4 1.5 5.1 11.8 6 0.1 4.5 1 3 1.8 0.4 2.6 1.2 9.7 1.5 11 4.3 8.5 0.1 10.9 1 4 1.8 0.4 2.6 1.2 3.4 1.5 3.8 2.8 3.9 0.1 3.5 1 5 1.4 0.4 2.6 1.2 10.5 1.5 13 3.3 9.5 0.1 11.6 1 1 1.8 1.4 2.6 2.1 3.9 2.3 3.5 3.9 3.6 2.1 4.6 3.9 2 2.1 1.4 2.9 2.2 5.2 2.4 - 5 6.7 2.4 - 4.4 3 1.4 1.4 2.2 2.1 6.9 3.4 7.3 3 6 3.2 6.2 3.5 4 2.1 2 2.9 2.8 7.7 7.7 6.7 6.8 5.8 5.8 6.2 6.3 5 3.8 3.5 4.7 4.1 5.4 8.5 11.8 6.4 9.6 8.4 21 7.6 6 2.1 1.4 2.9 2.2 - 3.2 - 4.2 6.6 5.1 - 3.7 7 2.1 1.7 3.7 2.5 11.2 6.5 12 6.9 8.9 10.5 9.8 6.7 8 2.4 3011 3.3 - 10 9.8 9.9 10 5.8 10.9 9.7 9.3 9 - - - - 4.3 3.1 6.8 8.7 8.6 3.1 15.3 3.8 10 2.8 2.1 4 2.8 5.5 5.8 7.4 6.6 4.4 5.7 9.1 6.5 1a 1.8 1.4 2.2 2.2 3.3 2.3 3.3 3.3 2.4 2.2 3.1 3 1b 1.4 1.4 2.2 2.2 2.7 2.3 3.6 3.4 2.4 2 3.2 3.1 2a 1.4 1.1 2.2 1.8 4.9 2.3 5.5 4 6.6 2.1 5.3 7.8 2b 1.4 1.1 2.2 1.8 7.7 2.3 8.2 3.2 6.6 2.2 4.1 8.1 3a 3.5 1.7 4.6 2.5 10.1 5.8 4.9 7.3 8.1 5.5 4.6 10.6 3b 1.8 1.4 2.6 2.2 10.8 9.2 6.6 7.7 8.1 7.7 6.5 6.7
38
Ocjena učinkovitostiOcjena učinkovitostiRezultati optimiranja funkcije Rezultati optimiranja funkcije FF55
Hooke-Jeeves postupak A B C D
1 4.7 0.1 3.1 0.9 2 0.6 0.1 3.7 0.9 3 11.3 0.1 9.4 0.9 4 3.6 0.1 8.2 0.9 5 3.3 0.1 12.2 0.9 1 3.3 3.3 4.1 4.3 2 5.3 5.0 - 5.6 3 5.2 4.9 5.8 6.3 4 8.2 7.1 10.2 5.5 5 7 21.2 6.5 20.8 6 10.6 6.2 40.9 5.8 7 - 7.3 - 9.1 8 - 8.5 11.8 9.7 9 8.2 6.5 10.3 13.9 10 - 9.2 - 8.3 1a 4 4.2 4.7 4.7 1b 4.2 4.2 4.4 4.5 2a 5.3 6.9 7 6.5 2b 4.8 5.4 6.9 6.4 3a 13.1 11.8 14 12.1 3b 10.5 9.6 9.7 9.8
39
Ocjena učinkovitostiOcjena učinkovitostiSimulacija dinamiSimulacija dinamičkog radačkog rada definirane su putanje pomične platformedefinirane su putanje pomične platforme početni položaj je poznatpočetni položaj je poznat kretanje je podijeljeno na jednake vremenske razmake – kretanje je podijeljeno na jednake vremenske razmake –
intervaleintervale unutar svakoga intervala traži se novi položaj pomične unutar svakoga intervala traži se novi položaj pomične
platforme i računa pogreška između stvarne i dobivene platforme i računa pogreška između stvarne i dobivene vrijednostivrijednosti
ispitni postupci u dinamičkom ispitivanju uključuju ispitni postupci u dinamičkom ispitivanju uključuju generiranje početnog rješenja eliminacijom varijabli generiranje početnog rješenja eliminacijom varijabli (stupac '(stupac 'BB')')
40
Ocjena učinkovitostiOcjena učinkovitostiPrvi pomak:Prvi pomak:
relativno jednostavan (mijenjaju se samo relativno jednostavan (mijenjaju se samo xx, , yy i kut i kut )) simulacija za simulacija za tt od 0 do 5 sekundi od 0 do 5 sekundi
.50,7,0
,32.1arctan35
,10
5.3exp45.75.3exp3185.2
,10
5.3exp45.75.3exp3172
tz
tt
ttty
tttx
41
Ocjena učinkovitostiOcjena učinkovitostiDrugi pomak:Drugi pomak: Treći pomak:Treći pomak:
.40
,42arctan15
,4cos52
sin20
,8.1sin25,2sin5.17
,2
cos2.2
,2
sin2
ttt
ttt
ttttz
tty
ttx
.40
,42arctan15
,4cos52
sin
,8.1sin,2sin
,2
cos2.2
,2
sin2
ttt
ttt
ttttz
tty
ttx
30
5538
42
Ocjena učinkovitostiOcjena učinkovitostiNeke ovisnosti varijabli u trećem pomaku:Neke ovisnosti varijabli u trećem pomaku:
1 2 3 4t
6
7
8
9
10
11zHtL
1 2 3 4t
-40
-20
20
40
aHtL
1 2 3 4t
5
10
15
20
25
30
35bHtL
1 2 3 4t
-20
-10
10
20gHtL
43
Ocjena učinkovitostiOcjena učinkovitosti rezultati simulacije: apsolutna pogreška stvarnih i rezultati simulacije: apsolutna pogreška stvarnih i
izračunatih vrijednosti položaja i orijentacije pomične izračunatih vrijednosti položaja i orijentacije pomične platforme platforme u svakom intervaluu svakom intervalu
interval interval TT izražen je u ms izražen je u ms zbog raznolikosti i velikog broja intervala uzima se zbog raznolikosti i velikog broja intervala uzima se
najvećanajveća pogreška u posljednjih 100 ms pogreška u posljednjih 100 ms prikaz je u prikaz je u logaritamskomlogaritamskom mjerilu mjerilu odvojeno su prikazane pogreške u kutovima i pogreške odvojeno su prikazane pogreške u kutovima i pogreške
u koordinatama:u koordinatama: xx (crveno, puna crta)(crveno, puna crta) yy (plavo, isprekidana crta)(plavo, isprekidana crta) zz (crno, isprekidana crta)(crno, isprekidana crta)
44
Ocjena učinkovitostiOcjena učinkovitostiFunkcija Funkcija FF11, prvi pomak, Hooke-Jeeves postupak, , prvi pomak, Hooke-Jeeves postupak, TT = 10 = 10
msms
0 10 20 30 40 50Broj intervala
1. 106
5. 1060.00001
0.000050.0001
0.0005
antulospAaksergop
0 10 20 30 40 50Broj intervala
1. 1072. 1075. 1071. 1062. 1065. 1060.00001
antulospAaksergop
45
Ocjena učinkovitostiOcjena učinkovitostiFunkcija Funkcija FF33, prvi pomak, Fletcher-Powell postupak, , prvi pomak, Fletcher-Powell postupak, TT = 2 = 2
msms
0 10 20 30 40 50Broj intervala
1. 109
5. 1091. 108
5. 1081. 107
5. 1071. 106
antulospAaksergop
0 10 20 30 40 50Broj intervala
5. 10101. 109
5. 1091. 108
5. 108
antulospAaksergop
46
Ocjena učinkovitostiOcjena učinkovitostiFunkcija Funkcija FF33, prvi pomak, Newton-Raphsonov postupak, , prvi pomak, Newton-Raphsonov postupak, TT = =
2 ms2 ms
0 10 20 30 40 50Broj intervala
2. 1014
5. 10141. 10132. 1013
5. 10131. 1012
antulospAaksergop
0 10 20 30 40 50Broj intervala
5. 1015
1. 1014
2. 1014
5. 1014
antulospAaksergop
47
Ocjena učinkovitostiOcjena učinkovitostiFunkcija Funkcija FF33, drugi pomak, Newton-Raphsonov postupak, , drugi pomak, Newton-Raphsonov postupak, TT
= 2 ms= 2 ms
0 10 20 30 40Broj intervala
1. 1015
5. 10151. 1014
5. 10141. 1013
5. 10131. 1012
antulospAaksergop
0 10 20 30 40Broj intervala
5. 1015
1. 1014
2. 1014
5. 1014
antulospAaksergop
48
Ocjena učinkovitostiOcjena učinkovitostiFunkcija Funkcija FF33, treći pomak, N-R postupak, , treći pomak, N-R postupak, TT = 2 ms = 2 ms
0 10 20 30 40Broj intervala
1. 10141. 10131. 10121. 10111. 10101. 109
antulospAaksergop
0 10 20 30 40Broj intervala
1. 10151. 1014
1. 10131. 10121. 10111. 1010
antulospAaksergop
49
Ocjena učinkovitostiOcjena učinkovitostiFunkcija Funkcija FF33, treći pomak, N-R postupak, , treći pomak, N-R postupak, TT = 2 ms, = 2 ms,
razilaženjerazilaženje
0 10 20 30 40Broj intervala
1. 1012
1. 1091. 106
0.001
1
antulospAaksergop
0 10 20 30 40Broj intervala
1. 1012
1. 109
1. 106
0.001
1
antulospAaksergop
50
Ocjena učinkovitostiOcjena učinkovitosti postoje dvije putanje (ili vipostoje dvije putanje (ili više njih)še njih) sa jednakim sa jednakim
duljinama krakova u svakom trenutkuduljinama krakova u svakom trenutku – – ekvivalentna ekvivalentna gibanjagibanja
pojava je posljedica postojanja više rješenja unaprijedne pojava je posljedica postojanja više rješenja unaprijedne kinematikekinematike
funkcija cilja je u oba slučaja minimalna (oko 10funkcija cilja je u oba slučaja minimalna (oko 10-30-30 do 10 do 10--
2020) – algoritam u oba slučaja pronalazi rješenje, no samo ) – algoritam u oba slučaja pronalazi rješenje, no samo je jedno pravoje jedno pravo
bez bez dodatnih podataka (osim duljina krakova) dodatnih podataka (osim duljina krakova) nije nije mogućemoguće odrediti koje od rješenja predstavlja stvarnu odrediti koje od rješenja predstavlja stvarnu konfiguraciju heksapodakonfiguraciju heksapoda
51
Ocjena učinkovitostiOcjena učinkovitosti
52
Ocjena učinkovitostiOcjena učinkovitostiKretanje središta pomične platforme u trećem pomaku Kretanje središta pomične platforme u trećem pomaku
(prostor koordinata) i ekvivalentna putanja:(prostor koordinata) i ekvivalentna putanja:
-2 0 2
X
-2
0
2
Y
68
10Z
-2
0
2
Y
-20
2
X
-202Y
6
8
10
Z
-20
2
X
-202Y -2
02
X
-2 0 2
Y
6
8
10
Z
6
8
10
Z
53
Ocjena učinkovitostiOcjena učinkovitostiOrijentacija pomične platforme u trećem pomaku (prostor Orijentacija pomične platforme u trećem pomaku (prostor
kutova) i ekvivalentna putanja:kutova) i ekvivalentna putanja:
-100
-50
0
50
Alfa
02040Beta
-40-20020 Gama
02040Beta
-40-20020 Gama
-100-50
050
Alfa
020
40
Beta
-40
-20
0
20
Gama
-100-50
050
Alfa
020
40
Beta
-40
-20
0
20
Gama
-100-50
050
Alfa
020
40
Beta
-40
-20
0
20
Gama
-100-50
050
Alfa
020
40
Beta
-40
-20
0
20
Gama
54
Ocjena učinkovitostiOcjena učinkovitosti uz određene pretpostavke moguće je približno uz određene pretpostavke moguće je približno
predvidjeti položaj platforme u sljedećoj iteracijipredvidjeti položaj platforme u sljedećoj iteracijiPretpostavke:Pretpostavke:
mala promjena smjera gibanja unutar jednog mala promjena smjera gibanja unutar jednog intervalaintervala
mala promjena položaja unutar jednoga intervalamala promjena položaja unutar jednoga intervala koristimo se koristimo se trenutnim rjetrenutnim rješenjem ( ) i rješenjima u šenjem ( ) i rješenjima u
prethodne dvije iteracijeprethodne dvije iteracije ( ( , , ))Postupak izračunavanja novog početnog rješenja (tri Postupak izračunavanja novog početnog rješenja (tri
načina):načina): 100 2 PPX
200 5.05.1 PPX
210
212
101
5.15.2
,5.0
,5.0
TTX
PPT
PPT
0P
1P
2P
55
Ocjena učinkovitostiOcjena učinkovitostiRezultat prilagodbe (uz izračunavanje novog početnog Rezultat prilagodbe (uz izračunavanje novog početnog
rješenja): algoritam prati stvarnu putanju heksapoda!rješenja): algoritam prati stvarnu putanju heksapoda!Ispitivanje 'izdržljivosti' prilagodbe:Ispitivanje 'izdržljivosti' prilagodbe:
ubrzavanje simuliranog gibanjaubrzavanje simuliranog gibanja tek kod 8x ubrzanog gibanja (4 tek kod 8x ubrzanog gibanja (4 0.5 sekunde) 0.5 sekunde)
pojavljuju se veće apsolutne pogreškepojavljuju se veće apsolutne pogreške ne može se jamčiti uspješnost postupka za sve ne može se jamčiti uspješnost postupka za sve
definirane putanjedefinirane putanje primjer: gibanje kod kojega nisu zadovoljene primjer: gibanje kod kojega nisu zadovoljene
pretpostavke o malim promjenama smjera i položajapretpostavke o malim promjenama smjera i položaja
56
ZaključakZaključak problem: unaprijedna kinematika heksapodaproblem: unaprijedna kinematika heksapoda cilj: naći postupak rješavanja koji omogućuje rad u cilj: naći postupak rješavanja koji omogućuje rad u
stvarnom vremenustvarnom vremenu ispitani su iterativni (konvergencijski) postupciispitani su iterativni (konvergencijski) postupci upotrebljeno je pet funkcija greške, šest optimizacijskih upotrebljeno je pet funkcija greške, šest optimizacijskih
algoritama i dvije prilagodbe postupaka:algoritama i dvije prilagodbe postupaka: postupak početnog pretraživanja po koordinatama se postupak početnog pretraživanja po koordinatama se
ne preporučujene preporučuje generiranje poč. rješenja eliminacijom varijabli generiranje poč. rješenja eliminacijom varijabli
pokazalo se korisnimpokazalo se korisnim učinkovite kombinacije funkcije cilja i algoritma učinkovite kombinacije funkcije cilja i algoritma
optimiranja: Newton-Raphson (optimiranja: Newton-Raphson (FF22, , FF33), Hooke-Jeeves (), Hooke-Jeeves (FF11, , FF55), Fletcher-Powell (), Fletcher-Powell (FF22, , FF33))
57
ZaključakZaključak uočena je pojava uočena je pojava ekvivalentnih gibanjaekvivalentnih gibanja (posljedica (posljedica
postojanja više rješenja unaprijedne kinematike)postojanja više rješenja unaprijedne kinematike) samo na osnovi duljina krakova ne može se samo na osnovi duljina krakova ne može se definitivno definitivno
odrediti koje rjeodrediti koje rješšenje predstavlja stvarnu konfiguracijuenje predstavlja stvarnu konfiguraciju predložene su empirijske prilagodbe postupaka predložene su empirijske prilagodbe postupaka
optimiranja (predviđanje novog položaja)optimiranja (predviđanje novog položaja) u slučaju zadovoljenih pretpostavki (mala promjena u slučaju zadovoljenih pretpostavki (mala promjena
položaja i smjera gibanja unutar intervala) moguće je položaja i smjera gibanja unutar intervala) moguće je rješavanje unaprijedne kinematike opisanim postupcima rješavanje unaprijedne kinematike opisanim postupcima u stvarnom vremenuu stvarnom vremenu