Ocjena u činkovitosti postupaka za rješavanje kinematike Stewartovih paralelnih mehanizama

Ocjena uOcjena učinkovitosti postupaka činkovitosti postupaka za rješavanje kinematike za rješavanje kinematike Stewartovih paralelnih Stewartovih paralelnih mehanizamamehanizama

Magistarski radMagistarski rad

2

SadržajSadržaj UvodUvod Kinematika SPMKinematika SPM Matematička definicija problemaMatematička definicija problema Postupci rješavanja unaprijedne kinematikePostupci rješavanja unaprijedne kinematike Prilagodbe postupaka rješavanjaPrilagodbe postupaka rješavanja Ocjena učinkovitostiOcjena učinkovitosti ZaključakZaključak

3

UvodUvod Stewartovi paralelni mehanizmi (SPM) pripadaju porodici Stewartovi paralelni mehanizmi (SPM) pripadaju porodici

paralelnih manipulatoraparalelnih manipulatora pparalelni manipulator: aralelni manipulator: rradad je ostvaren zajedničkim je ostvaren zajedničkim

djelovanjem nekoliko djelovanjem nekoliko paralelnih kinematskih lanacaparalelnih kinematskih lanaca vvećina današnjih paralelnih manipulatora načinjena je ećina današnjih paralelnih manipulatora načinjena je

po uzoru na Stewartov paralelni manipulator – po uzoru na Stewartov paralelni manipulator – Stewartova platformaStewartova platforma ili ili heksapodheksapod

hheksapod:eksapod: šest paralelnih kinematskih lanaca – šest šest paralelnih kinematskih lanaca – šest krakova koji povezuju nepomičnu (osnovnu) i pomičnu krakova koji povezuju nepomičnu (osnovnu) i pomičnu platformuplatformu

heksapodom heksapodom se se upravlja upravlja mijenjanjem duljina krakovamijenjanjem duljina krakova

4

UvodUvod

5

UvodUvodSvojstva Stewartove platforme:Svojstva Stewartove platforme: velika preciznostvelika preciznost dobra pokretljivost (dinamička svojstva)dobra pokretljivost (dinamička svojstva) čvršća mehanička strukturačvršća mehanička struktura mali radni prostormali radni prostor složeno upravljanjesloženo upravljanje

6

Kinematika SPMKinematika SPM upravljanje heksapodom: promjenom upravljanje heksapodom: promjenom duljina duljina krakovakrakova orijentacija krakova u prostoru je nepoznataorijentacija krakova u prostoru je nepoznata konfiguracija heksapoda (stanje u kojemu se nalazi) određena konfiguracija heksapoda (stanje u kojemu se nalazi) određena

je je položajem i orijentacijompoložajem i orijentacijom pomične platforme pomične platforme zadanom položaju i orijentaciji odgovara zadanom položaju i orijentaciji odgovara jedinstveni skup jedinstveni skup

duljina krakovaduljina krakova ppreslikavanje poloreslikavanje položaja i orijentacije pomične platforme u duljine žaja i orijentacije pomične platforme u duljine

krakova heksapoda naziva se krakova heksapoda naziva se inverzna kinematika heksapodainverzna kinematika heksapoda

IIK: (K: (položaj, orijentacijapoložaj, orijentacija) ) ( (ll11, l, l22, l, l33, l, l44, l, l55, l, l66))

računanje inverzne kinematike je jednostavno, jednoznačno i računanje inverzne kinematike je jednostavno, jednoznačno i brzobrzo

za zadano gibanje heksapoda računa se inverzna kinematika u za zadano gibanje heksapoda računa se inverzna kinematika u dovoljno velikom broju točakadovoljno velikom broju točaka

7

Kinematika SPMKinematika SPM pronalaženje položaja i orijentacije pomične platforme pronalaženje položaja i orijentacije pomične platforme

na osnovi zadanih duljina krakova – unaprijedna na osnovi zadanih duljina krakova – unaprijedna kinematika heksapodakinematika heksapoda

UUK: K: ((ll11, l, l22, l, l33, l, l44, l, l55, l, l66) ) ((položaj, orijentacijapoložaj, orijentacija) )

problem unaprijedne kinematike:problem unaprijedne kinematike: nije jednoznačan (može postojati više rješenja)nije jednoznačan (može postojati više rješenja) rješenje se ne može opisati analitičkirješenje se ne može opisati analitički

8

Kinematika SPMKinematika SPMZašto je potrebno rješenje unaprijedne kinematike?Zašto je potrebno rješenje unaprijedne kinematike? povratna veza u sustavu za upravljanje manipulatorom povratna veza u sustavu za upravljanje manipulatorom

((force-feedback controlforce-feedback control)) mapiranje nepoznatih površina (mapiranje nepoznatih površina (positon-orientation positon-orientation

sensorsensor)) osjetnik vanjske sile i momenta (osjetnik vanjske sile i momenta (force-torque sensorforce-torque sensor))

Koja su svojstva prihvatljivog postupka rješavanja?Koja su svojstva prihvatljivog postupka rješavanja? pouzdanost pouzdanost – pronalaženje rješenja bez obzira na – pronalaženje rješenja bez obzira na

početne uvjetepočetne uvjete brzina brzina – omogućuje rad u stvarnom vremenu– omogućuje rad u stvarnom vremenu preciznost preciznost – ovisno o zahtjevima primjene– ovisno o zahtjevima primjene

9

Matematička definicija problemaMatematička definicija problema Definicija konstrukcije heksapodaDefinicija konstrukcije heksapoda: koordinate hvatišta : koordinate hvatišta

krakova na osnovnoj i pomičnoj platformikrakova na osnovnoj i pomičnoj platformi šest vektora za osnovnu ( ) i šest za pomičnu platformu ( šest vektora za osnovnu ( ) i šest za pomičnu platformu (

) )

pplatforme su latforme su planarne –planarne – sva hvati sva hvatišta ušta u jednoj ravnini jednoj ravnini vektori i spajaju središte platforme sa odgovarajućim vektori i spajaju središte platforme sa odgovarajućim

zglobomzglobom definirani su u lokalnim koordinatnim sustavima osnovne i definirani su u lokalnim koordinatnim sustavima osnovne i

pomične platforme (nepromjenjive veličine)pomične platforme (nepromjenjive veličine)

6,..,1 ,0

,0

ip

ppb

bb iy

ix

iiy

ix

i

10

Matematička definicija problemaMatematička definicija problema Rješenje unaprijedne kinematikeRješenje unaprijedne kinematike: : položajpoložaj i i

orijentacijaorijentacija pomične platforme u globalnom pomične platforme u globalnom koordinatnom sustavukoordinatnom sustavu

globalni koordinatni sustav ekvivalentan je sustavu globalni koordinatni sustav ekvivalentan je sustavu osnovne platformeosnovne platforme

položaj pomične platforme opisan je vektorom koji položaj pomične platforme opisan je vektorom koji spaja središta platformispaja središta platformi

z

y

x

ttt

t

t

t

11

Matematička definicija problemaMatematička definicija problema orijentacija pomične platforme: kutevi zakreta oko osi orijentacija pomične platforme: kutevi zakreta oko osi

globalnog koordinatnog sustavaglobalnog koordinatnog sustava zakret za kut zakret za kut oko osi oko osi xx, potom , potom oko osi oko osi yy, te , te oko osi oko osi

zz navedeni kutevi definiraju navedeni kutevi definiraju rotacijsku matricurotacijsku matricu RR rotacijska matrica rotacijska matrica •• vektor u sustavu pomične platforme vektor u sustavu pomične platforme

+ vektor translacije pomične platforme + vektor translacije pomične platforme = vektor u globalnom koordinatnom = vektor u globalnom koordinatnom sustavusustavu

t il

iB p

6,..,1, ipRtp iiB

12

Matematička definicija problemaMatematička definicija problema točno rtočno rjeješenje nije moguće analitički odrediti šenje nije moguće analitički odrediti iterativni iterativni

postupcipostupci potrebno je definirati funkciju greške proizvoljnoga – potrebno je definirati funkciju greške proizvoljnoga –

trenutnog rješenja u odnosu na stvarno rješenjetrenutnog rješenja u odnosu na stvarno rješenje oocjena valjanosti rjecjena valjanosti rješenja – primjenom inverzne kinematikešenja – primjenom inverzne kinematike računanje duljina krakova pomoću položaja i orijentacijeračunanje duljina krakova pomoću položaja i orijentacije duljina kraka računa se kao euklidska udaljenost hvatišta duljina kraka računa se kao euklidska udaljenost hvatišta

na osnovnoj i pomičnoj platformi:na osnovnoj i pomičnoj platformi:

u radu je definirano pet funkcija koje ocjenjuju valjanost u radu je definirano pet funkcija koje ocjenjuju valjanost rješenja – pet funkcija ciljarješenja – pet funkcija cilja

6,..,1),,( ipbDl iB

ii

13

Matematička definicija problemaFunkcija Funkcija FF11 – položaj i orijentacija kao varijable – položaj i orijentacija kao varijable varijable su komponente vektora translacije i kutevi varijable su komponente vektora translacije i kutevi

zakreta pomične platformezakreta pomične platforme ukupna pogreška izražena je kao suma kvadrata ukupna pogreška izražena je kao suma kvadrata

pogrešaka za svaki krakpogrešaka za svaki krak varijable su grupirane u vektor čiji elementi varijable su grupirane u vektor čiji elementi

predstavljaju rješenje unaprijedne kinematikepredstavljaju rješenje unaprijedne kinematike

t

6

1

2221 ),(

iii

Bi lpbDF

Tzyx tttX 1

14

Matematička definicija problemaSvojstva funkcije Svojstva funkcije FF11 velik stupanj nelinearnosti – elementi rotacijske matrice velik stupanj nelinearnosti – elementi rotacijske matrice

su trigonometrijske funkcije kutevasu trigonometrijske funkcije kuteva teško odrediti ukupan broj mogućih rješenjateško odrediti ukupan broj mogućih rješenja derivabilna u svakoj točkiderivabilna u svakoj točki najčešće korišten oblik ocjene rješenja unaprijedne najčešće korišten oblik ocjene rješenja unaprijedne

kinematikekinematike

15

Matematička definicija problemaFunkcija Funkcija FF22 – kanonski oblik jednadžbi unaprijedne – kanonski oblik jednadžbi unaprijedne

kinematikekinematike ideja: uporaba elemenata rotacijske matrice kao ideja: uporaba elemenata rotacijske matrice kao

varijabli, čime se izbjegavaju trigonometrijske ovisnostivarijabli, čime se izbjegavaju trigonometrijske ovisnosti

dobiva se veći broj varijablidobiva se veći broj varijabli neke je moguće eliminirati – vrijedi npr.neke je moguće eliminirati – vrijedi npr.

zzz

yyy

xxx

aonaonaon

aonR

ona

16

Matematička definicija problema ideja br. 2: promjena ideja br. 2: promjena

koordinatnih sustava osnovne koordinatnih sustava osnovne i pomične platformei pomične platforme

odgovarajućim izborom odgovarajućim izborom koordinatnih sustava koordinatnih sustava pojednostavljuje se oblik pojednostavljuje se oblik jednadžbijednadžbi

u oblikovanju jednadžbi polazi u oblikovanju jednadžbi polazi se također od 6 osnovnih se također od 6 osnovnih jednakosti za euklidsku jednakosti za euklidsku udaljenost točakaudaljenost točaka

Zp

Xp

Yp

Xb

Yb

Zb

p1

p2

p3

p4 p5

p6

b1 b2

b3

b4

b5 b6

17

Matematička definicija problemaKanonski oblik jednadžbiKanonski oblik jednadžbi (sustav 9x9) (sustav 9x9)::

1222 zyx nnn ,

1222 zyx ooo , 2

1222 lttt zyx ,

0 zzyyxx ononon ,

AnAtAtntntn xxzzyyxx 21 ,

BoBnBtBoBnBtBtototo yyyxxxzzyyxx 654321 ,

4464544434241 CoCnCtCoCnCtC yyyxxx ,

5565554535251 CoCnCtCoCnCtC yyyxxx ,

6666564636261 CoCnCtCoCnCtC yyyxxx .

18

Matematička definicija problemaKonačni oblik funkcije greške i vektora rješenja:Konačni oblik funkcije greške i vektora rješenja:

2

4464544434241

2654321

221

2

221

222222222222 11

CoCnCtCoCnCtC

BoBnBtBoBnBtBtototo

AnAtAtntntnononon

ltttooonnnF

yyyxxx

yyyxxxzzyyxx

xxzzyyxxzzyyxx

zyxzyxzyx

25565554535251 CoCnCtCoCnCtC yyyxxx

26666564636261 CoCnCtCoCnCtC yyyxxx

Tzyxzyxzyx tttooonnnX 2

19

Matematička definicija problemaSvojstva funkcije Svojstva funkcije FF22 : : veći broj nepoznanica – ukupno 9veći broj nepoznanica – ukupno 9 polinomski oblik (4. stupnja) – nema transcendentalnih polinomski oblik (4. stupnja) – nema transcendentalnih

ovisnostiovisnosti derivabilna u svakoj točkiderivabilna u svakoj točki potrebno je naknadno izračunavanje kuteva zakreta iz potrebno je naknadno izračunavanje kuteva zakreta iz

elemenata rotacijske matriceelemenata rotacijske matrice

20

Matematička definicija problemaFunkcije Funkcije FF33 ii FF44 – reducirani kanonski oblik jedna – reducirani kanonski oblik jednadžbidžbi kanonski oblik jednadžbi dopušta redukciju broja kanonski oblik jednadžbi dopušta redukciju broja

varijablivarijabli od 9 jednadžbi kanonskog oblika 3 su od 9 jednadžbi kanonskog oblika 3 su linearne linearne 3 3

varijable se mogu prikazati kao linearne kombinacijevarijable se mogu prikazati kao linearne kombinacije eliminacija eliminacija ttxx, , ttyy i i nnyy daje: daje:

.

,

,

3333231

2232221

1131211

DoDoDnDn

DoDoDnDt

DoDoDnDt

yxxy

yxxy

yxxx

21

Matematička definicija problemaFunkcija Funkcija FF33 (kao (kao FF22 bez posljednja tri pribrojnika): bez posljednja tri pribrojnika):

Svojstva funkcije Svojstva funkcije FF33 (u odnosu na (u odnosu na FF22):): manji broj nepoznanica (6) od kanonskog oblikamanji broj nepoznanica (6) od kanonskog oblika i dalje polinomski oblik, najviše 4. stupnjai dalje polinomski oblik, najviše 4. stupnja

2

654321

221

2

221

222222222223 11

BoBnBtBoBnBtBtototo

AnAtAtntntnononon

ltttooonnnF

yyyxxxzzyyxx

xxzzyyxxzzyyxx

zyxzyxzyx

Tzzyxzx tooonnX 3

22

Matematička definicija problema moguće je i dalje smanjenje broja varijabli, ali uz moguće je i dalje smanjenje broja varijabli, ali uz

povećanje složenosti jednadžbipovećanje složenosti jednadžbi dobiva se sustav 4. stupnja od 3 jednadžbe sa tri dobiva se sustav 4. stupnja od 3 jednadžbe sa tri

nepoznanicenepoznanice funkcija funkcija FF44 ima sljedeći oblik: ima sljedeći oblik:

22221

22221

212

2222224

1

2

1

yxyxxx

yyxxxxxyyx

yxyxxyxx

nnlttAnAtA

tntnAnAtAtntn

oonnononF

2222

1222

321

3212

1

2

yxyxyxx

yyxxyxxxyyx

oolttEoEoEnE

totoEoEoEnEtoto

Tyxx oonX 4

23

Matematička definicija problemaFunkcija Funkcija FF55 – prikaz orijentacije pomoću rotacijskog – prikaz orijentacije pomoću rotacijskog

vektoravektora svaku rotaciju moguće je prikazati jednim zakretom oko svaku rotaciju moguće je prikazati jednim zakretom oko

odgovarajuće postavljene osiodgovarajuće postavljene osi orijentacija pomične platforme predstavlja se vektorom orijentacija pomične platforme predstavlja se vektorom

osi rotacije i kutom zakreta – potrebno 4 varijableosi rotacije i kutom zakreta – potrebno 4 varijable vektor osi rotacije je jedinične duljine – definira se vektor osi rotacije je jedinične duljine – definira se

umnožak kuta rotacije i vektora osi rotacije:umnožak kuta rotacije i vektora osi rotacije:

vektor rješenja i dalje ima 6 elemenata:vektor rješenja i dalje ima 6 elemenata:

kr

q

Tzyxzyx rrrtttX 5

24

Matematička definicija problema iz početne zadane orijentacije (kutevi iz početne zadane orijentacije (kutevi , , i i ) )

izračunava se vektor osi rotacije i kut rotacije izračunava se vektor osi rotacije i kut rotacije qq tokom rješavanja računaju se elementi rotacijske tokom rješavanja računaju se elementi rotacijske

matricematrice na kraju postupka rješavanja orijentacija se ponovno na kraju postupka rješavanja orijentacija se ponovno

prikazuje pomoću prikazuje pomoću , , i i funkcija funkcija FF55 računa se kao i računa se kao i FF11 – euklidska udaljenost – euklidska udaljenost

točakatočaka

Svojstva funkcije Svojstva funkcije FF55:: nelinearna – sadrži trigonometrijske funkcijenelinearna – sadrži trigonometrijske funkcije nije derivabilna u svakoj točki (nedefiniranost vektora nije derivabilna u svakoj točki (nedefiniranost vektora

osi rotacije za neke slučajeve)osi rotacije za neke slučajeve)

25

Postupci rješavanja unaprijedne kinematikePotrebe za rješenjem unaprijedne kinematike:Potrebe za rješenjem unaprijedne kinematike: u postupku analizeu postupku analize

tražimo sva rješenjatražimo sva rješenja vrijeme rješavanja nije kritičnovrijeme rješavanja nije kritično složeniji postupci, posebno definirani za određenu složeniji postupci, posebno definirani za određenu

vrstu manipulatora (numerički)vrstu manipulatora (numerički) u stvarnom vremenuu stvarnom vremenu

tražimo samo jedno rješenje (po mogućnosti pravo)tražimo samo jedno rješenje (po mogućnosti pravo) vrijeme je ograničenovrijeme je ograničeno poznatpoznata je početna konfiguracija heksapodaa je početna konfiguracija heksapoda iterativni (konvergencijski) postupciiterativni (konvergencijski) postupci

Na matematički definiran problem primjenjuje se neki od Na matematički definiran problem primjenjuje se neki od algoritama optimiranjaalgoritama optimiranja

26

Postupci rješavanja unaprijedne kinematikePrimijenjeni algoritmi optimiranja:Primijenjeni algoritmi optimiranja: Hooke-Jeeves postupakHooke-Jeeves postupak Powellov postupakPowellov postupak Metoda najbržeg spustaMetoda najbržeg spusta Newton-Raphsonov postupakNewton-Raphsonov postupak Newton-Raphsonov postupak s konstantnim JacobijanomNewton-Raphsonov postupak s konstantnim Jacobijanom Postupak po Fletcheru i PowelluPostupak po Fletcheru i Powellu

Cilj rada: pronaći odgovarajuću kombinaciju matematičke Cilj rada: pronaći odgovarajuću kombinaciju matematičke definicije problema (funkcije F1-F5) i algoritma definicije problema (funkcije F1-F5) i algoritma optimiranja koja omogućuje rješavanje u stvarnom optimiranja koja omogućuje rješavanje u stvarnom vremenuvremenu

27

Prilagodbe postupaka rješavanjaPrilagodbe postupaka rješavanja algoritme algoritme optimiranja optimiranja je ponekad moguće prilagoditi je ponekad moguće prilagoditi

koknretnom problemukoknretnom problemu smanjuje se općenitost, ali je moguće povećanje brzine smanjuje se općenitost, ali je moguće povećanje brzine

ili stupnja konvergencije (postotka pronalaženja ili stupnja konvergencije (postotka pronalaženja rješenja)rješenja)

Učinkovito pronalaženje minimuma na pravcuUčinkovito pronalaženje minimuma na pravcu neki algoritmi optimiranja koriste pronalaženje neki algoritmi optimiranja koriste pronalaženje

minimuma na pravcu u svakom koraku – vremenski minimuma na pravcu u svakom koraku – vremenski zahtjevnozahtjevno

traženje minimuma na pravcu traženje minimuma na pravcu traženje minimuma po traženje minimuma po jednoj varijabli koja množi proizvoljni vektor smjera:jednoj varijabli koja množi proizvoljni vektor smjera:)(min 0 vXF

l

28

Prilagodbe postupaka rješavanjaPrilagodbe postupaka rješavanja funkcije F2 i F3 su polinomi 4. stupnjafunkcije F2 i F3 su polinomi 4. stupnja parcijalna derivacija po parcijalna derivacija po ll daje polinom 3. stupnjadaje polinom 3. stupnja traženi minimum je jedna od nul-točaka polinomatraženi minimum je jedna od nul-točaka polinoma

pronalaženje nul-točaka u okolini pronalaženje nul-točaka u okolini ll=0 puno je brže od =0 puno je brže od traženja minimuma na pravcu uzastopnim traženja minimuma na pravcu uzastopnim izračunavanjem funkcijeizračunavanjem funkcije

svi algoritmi koji koriste pretraživanje na pravcu ubrzani svi algoritmi koji koriste pretraživanje na pravcu ubrzani su za funkcije F2 i F3su za funkcije F2 i F3

023 ¶¶ dcbaF llll

29

Prilagodbe postupaka rješavanjaPrilagodbe postupaka rješavanja parcijalnom derivacijom funkcija F1 i F5 po parcijalnom derivacijom funkcija F1 i F5 po ttxx, , ttyy i i ttzz

također se dobiva polinom 3. stupnjatakođer se dobiva polinom 3. stupnja moguće je traženje minimuma po koordinatnim osima moguće je traženje minimuma po koordinatnim osima ttxx, , ttyy i i ttzz

ideja: načiniti 2-3 iteracije traženja po tim koordinatnim ideja: načiniti 2-3 iteracije traženja po tim koordinatnim osima osima prijeprije početka postupka optimiranja početka postupka optimiranja

Početno pretraživanjePočetno pretraživanje: nekoliko koraka traženja po : nekoliko koraka traženja po koordinatnim osima (u cilju pronalaženja boljeg koordinatnim osima (u cilju pronalaženja boljeg početnog rješenja)početnog rješenja)

30

Prilagodbe postupaka rješavanjaPrilagodbe postupaka rješavanjaGeneriranje početnog rješenja eliminacijom varijabliGeneriranje početnog rješenja eliminacijom varijabli reducirani kanonski oblik jednadžbi ima samo 3 varijable reducirani kanonski oblik jednadžbi ima samo 3 varijable

–nedovoljno za jednoznačan opis konfiguracije –nedovoljno za jednoznačan opis konfiguracije heksapodaheksapoda

sa tri varijable je predstavljen cijeli skup kofiguracija sa tri varijable je predstavljen cijeli skup kofiguracija heksapoda sa bilo kojim vrijednostima ostalih heksapoda sa bilo kojim vrijednostima ostalih (eliminiranih) varijabli(eliminiranih) varijabli

u postupku preslikavanja rješenja u standardni oblik u postupku preslikavanja rješenja u standardni oblik položaja i orijentacije (6 varijabli) ostale vrijednosti se položaja i orijentacije (6 varijabli) ostale vrijednosti se izračunavaju pomoću konstantiizračunavaju pomoću konstanti

ako su predstavljene varijable jednake stvarnom ako su predstavljene varijable jednake stvarnom rješenju, ostale će varijable automatski poprimiti točne rješenju, ostale će varijable automatski poprimiti točne vrijednostivrijednosti

31

Prilagodbe postupaka rješavanjaPrilagodbe postupaka rješavanjaPrimjer: reducirani kanonski oblik sa varijablama Primjer: reducirani kanonski oblik sa varijablama nnxx, , ooxx i i ooyy ne sadržne sadržii informaciju o položaju pomične platforme informaciju o položaju pomične platforme položaj središta platforme (položaj središta platforme (ttxx, , ttyy ii ttzz) dobiva se ) dobiva se

preslikavanjem u nereducirani oblikpreslikavanjem u nereducirani oblik ako varijable ako varijable nnxx, , ooxx i i ooyy odgovaraju stvarnom rješenju, odgovaraju stvarnom rješenju,

automatski se dobivaju točne vrijednosti za ostale automatski se dobivaju točne vrijednosti za ostale varijablevarijable

inače: dobivene vrijednosti inače: dobivene vrijednosti ttxx, , ttyy ii ttzz koriste se kao koriste se kao početno rješenje početno rješenje postupka optimiranjapostupka optimiranja! (orijentacija ! (orijentacija se ne mijenja)se ne mijenja)

postupak postupak generiranjgeneriranjaa početnog rješenja: pretvorba u početnog rješenja: pretvorba u reducirani kanonski oblik, potom ponovno u reducirani kanonski oblik, potom ponovno u nereducirani obliknereducirani oblik

32

Ocjena učinkovitostiOcjena učinkovitosti nanaći odgovarajuću kombinaciju funckije cilja, postupka ći odgovarajuću kombinaciju funckije cilja, postupka

optimiranja i prilagodbeoptimiranja i prilagodbeKriteriji učinkovitosti:Kriteriji učinkovitosti:

sposobnost konvergencije ka najbližem rješenjusposobnost konvergencije ka najbližem rješenju brzina konvergencije uz zadanu preciznostbrzina konvergencije uz zadanu preciznost najveća moguća preciznostnajveća moguća preciznost

Ispitivanje učinkovitosti:Ispitivanje učinkovitosti: statičko ispitivanjestatičko ispitivanje simulacija dinamičkog radasimulacija dinamičkog rada

33

Ocjena učinkovitostiOcjena učinkovitostiIspitne konfiguracije (statičko ispitivanje):Ispitne konfiguracije (statičko ispitivanje):

Početni položaj (početno rješenje) Krajnji položaj (stvarno rješenje) x y z x y z

1 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 8 2 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 -1 7 3 0 0 0 0 0 5 0 0 0 2 -5 8 4 0 0 0 0 0 5 0 0 0 -2 5 9 5 0 0 0 0 0 5 0 0 0 6 4 7 1 0 0 0 0 0 5 0 45 0 0 0 7 2 0 0 0 0 0 5 40 0 0 0 -5 9 3 0 0 0 0 0 5 10 -15 10 2 3 7 4 0 0 0 0 0 5 -40 40 40 1 -3 6 5 0 0 0 0 0 5 40 -40 -40 2 -5 7 6 0 0 0 0 0 5 20 -45 -10 -2 3 9 7 0 0 0 0 0 5 40 -40 -40 -2 3 9 8 0 0 0 0 0 5 50 -40 -50 1 3 6 9 0 0 0 0 0 5 90 -20 40 3 2 7 10 0 0 0 0 0 5 45 90 0 2 -5 8 1a 0 0 0 0 0 5 5 5 -5 0.4 -0.5 5.4 1b 0 0 0 0 0 5 -5 -5 5 -0.4 0.5 4.5 2a 15 -50 -5 -1.5 3.5 9.5 20 -45 -10 -2 3 9 2b 25 -40 -15 -2.5 2.5 8.5 20 -45 -10 -2 3 9 3a -45 45 45 3.5 0.5 7.5 -50 40 50 3 1 7 3b -55 35 55 2.5 1.5 6.5 -50 40 50 3 1 7

34

Ocjena učinkovitostiOcjena učinkovitostiStatičko ispitivanjeStatičko ispitivanje 5 funkcija cilja, 6 algoritama optimiranja, 2 prilagodbe postupka5 funkcija cilja, 6 algoritama optimiranja, 2 prilagodbe postupka za svaku funkciju i algoritam – 4 inačice i odgovarajuća oznaka:za svaku funkciju i algoritam – 4 inačice i odgovarajuća oznaka:

''AA' – nepromijenjeni algoritam' – nepromijenjeni algoritam ''BB' – generiranje početnog rješenja eliminacijom varijabli' – generiranje početnog rješenja eliminacijom varijabli ''CC' – početno pretraživanje po x,y,z koordinatama' – početno pretraživanje po x,y,z koordinatama ''DD' – generiranje poč. rješenja i početno pretraživanje' – generiranje poč. rješenja i početno pretraživanje

rezultati: rezultati: vrijeme vrijeme (ms) potrebno postupku da pronađe zadano (ms) potrebno postupku da pronađe zadano rješenjerješenje

ako je postupak konvergirao na neko drugo rješenje (također ako je postupak konvergirao na neko drugo rješenje (također minimum!), polje u tablici je zatamnjenominimum!), polje u tablici je zatamnjeno

ako postupak nije konvergirao (lokalni minimum, predugo ako postupak nije konvergirao (lokalni minimum, predugo vrijeme, divergencija) u polju je '–' vrijeme, divergencija) u polju je '–'

35

Ocjena učinkovitostiOcjena učinkovitostiRezultati optimiranja funkcije Rezultati optimiranja funkcije FF11

Hooke-Jeeves postupak Powellov postupak Newton-Raphsonov postupak&konst. Jacobijan

A B C D A B C D A B C D 1 0.7 0.1 3.2 0.9 26 12 137 12.9 1.5 0.1 1.7 0.9 2 0.9 0.1 4.6 0.9 228 12 258 12.9 1.4 0.1 1.5 0.9 3 2.5 0.1 21.5 0.9 454 12 303 12.9 1.5 0.1 2.4 0.9 4 15 0.1 11.8 0.9 355 12 351 12.9 1.5 0.1 2.4 0.9 5 2.9 0.1 12.3 0.9 643 12 395 12.9 1.2 0.1 2.3 0.9 1 1 4 5 4.6 71 69 126 84 7.9 7.9 8.7 8.7 2 3 5.3 7.6 7.3 311 249 - 233 4.6 4.6 5.4 5.4 3 1.4 5.5 6.3 6.4 272 320 262 319 6.2 .2 7 7 4 1.5 7.4 8.3 8.9 336 336 609 630 10.2 10.2 11 11 5 6.4 6.4 7.4 7.4 - - 1775 - - - - - 6 32.5 42.3 57.2 36.8 320 216 605 296 12.3 12.4 13.2 13.2 7 11 9.3 9.2 10 494 287 - 415 18.3 18.4 19.1 19.1 8 13.9 12.5 14.4 14.7 914 - 532 328 42.6 42.7 43.4 43.4 9 26.4 29.9 9.7 9.3 707 1040 632 613 - - - - 10 689 14.3 10.8 13.2 212 223 - 264 20.3 20.4 21.1 21.2 1a 3.5 3.3 4.2 4.1 201 111 108 144 6.7 6.7 7.4 7.4 1b 3.5 3.4 4.4 4.5 126 124 193 196 7.6 7.7 8.4 8.4 2a 2.2 7 7.4 7.4 213 137 299 191 10.3 10.3 11.1 13.1 2b 2.4 6.4 8.3 8.3 248 250 267 314 10.5 10.6 11.3 13.1 3a 19.9 13.9 19.6 15.1 454 409 444 258 27 27.1 27.9 38.4 3b 17.6 16.2 12.1 13.6 644 922 298 257 26.5 26.3 26.9 38.3

36


Newton-Raphsonov postupak Newton-Raphsonov postupak&konst. Jacobian

Postupak po Fletcheru i Powellu

A B C D A B C D A B C D 1 3.4 0.8 4.2 1.5 0.5 0.1 1.3 0.9 5.9 0.1 9.1 1 2 2.7 0.8 3.5 1.5 0.3 0.1 1.1 0.9 4.1 0.1 4.4 1 3 3.4 0.8 4.2 1.5 1.4 0.1 2.2 0.9 15.9 0.1 14.3 1 4 3.4 0.8 4.9 1.5 0.8 0.1 1.6 0.9 9.6 0.1 4.7 1 5 4.1 0.8 4.2 1.5 0.3 0.1 1.1 0.9 14.6 0.1 6.9 1 1 3.4 2.8 4.2 4.2 0.6 0.6 1.3 1.3 3.3 2.7 7.1 9.2 2 4.1 2.8 5.9 3.5 0.8 0.6 - 1.4 8.1 3.2 - 4.9 3 3.4 2.8 4.2 3.5 0.3 0.2 1.1 1.1 9.1 4.3 6.8 4.4 4 4.1 4.1 4.8 4.9 0.5 0.5 1.3 1.4 8.9 8.8 10.4 10.4 5 7.4 6.8 8.2 8.3 - 2.3 - 2.9 9.2 8.7 17.8 15.5 6 4.1 2.8 4.8 4.2 - - - - 4.7 4 5.5 4.9 7 4.1 3.5 4.8 4.2 - - - - 6.7 7.5 10.9 6.4 8 4.7 - 5.9 - 1 - 1.7 - 6.1 8.5 7.1 9.1 9 688 128 10.8 8.9 - - - - 13.4 10.7 8.9 8.6 10 4.7 4.1 6.2 5.6 - - - - 6.2 4.4 12.2 10.9 1a 2.7 2.8 3.5 3.5 0.1 0.1 0.9 0.9 3.2 3.2 3.8 3.2 1b 2.7 2.8 3.5 3.5 0.2 0.2 0.9 0.9 3.2 3.3 3.8 3 2a 2.7 2.8 3.5 3.5 - - - - 12.4 3.2 11.2 10.8 2b 2.7 2.1 3.5 2.9 - - - - 3.2 3 4.5 3.8 3a 4.1 3.4 3.5 4.2 0.6 0.6 1.6 1.6 6.8 7.1 4.6 5.6 3b 3.4 2.8 4.2 4.2 0.7 0.7 1.5 1.5 10.7 10.5 5.3 7.4

37


Newton-Raphsonov postupak Metoda najbržeg spusta Postupak po Fletcheru i Powellu

A B C D A B C D A B C D 1 1.8 0.4 2.3 1.2 10 1.5 27 2.3 8.4 0.1 4.4 1 2 1.4 0.4 2.3 1.2 6.4 1.5 5.1 11.8 6 0.1 4.5 1 3 1.8 0.4 2.6 1.2 9.7 1.5 11 4.3 8.5 0.1 10.9 1 4 1.8 0.4 2.6 1.2 3.4 1.5 3.8 2.8 3.9 0.1 3.5 1 5 1.4 0.4 2.6 1.2 10.5 1.5 13 3.3 9.5 0.1 11.6 1 1 1.8 1.4 2.6 2.1 3.9 2.3 3.5 3.9 3.6 2.1 4.6 3.9 2 2.1 1.4 2.9 2.2 5.2 2.4 - 5 6.7 2.4 - 4.4 3 1.4 1.4 2.2 2.1 6.9 3.4 7.3 3 6 3.2 6.2 3.5 4 2.1 2 2.9 2.8 7.7 7.7 6.7 6.8 5.8 5.8 6.2 6.3 5 3.8 3.5 4.7 4.1 5.4 8.5 11.8 6.4 9.6 8.4 21 7.6 6 2.1 1.4 2.9 2.2 - 3.2 - 4.2 6.6 5.1 - 3.7 7 2.1 1.7 3.7 2.5 11.2 6.5 12 6.9 8.9 10.5 9.8 6.7 8 2.4 3011 3.3 - 10 9.8 9.9 10 5.8 10.9 9.7 9.3 9 - - - - 4.3 3.1 6.8 8.7 8.6 3.1 15.3 3.8 10 2.8 2.1 4 2.8 5.5 5.8 7.4 6.6 4.4 5.7 9.1 6.5 1a 1.8 1.4 2.2 2.2 3.3 2.3 3.3 3.3 2.4 2.2 3.1 3 1b 1.4 1.4 2.2 2.2 2.7 2.3 3.6 3.4 2.4 2 3.2 3.1 2a 1.4 1.1 2.2 1.8 4.9 2.3 5.5 4 6.6 2.1 5.3 7.8 2b 1.4 1.1 2.2 1.8 7.7 2.3 8.2 3.2 6.6 2.2 4.1 8.1 3a 3.5 1.7 4.6 2.5 10.1 5.8 4.9 7.3 8.1 5.5 4.6 10.6 3b 1.8 1.4 2.6 2.2 10.8 9.2 6.6 7.7 8.1 7.7 6.5 6.7

38


Hooke-Jeeves postupak A B C D

1 4.7 0.1 3.1 0.9 2 0.6 0.1 3.7 0.9 3 11.3 0.1 9.4 0.9 4 3.6 0.1 8.2 0.9 5 3.3 0.1 12.2 0.9 1 3.3 3.3 4.1 4.3 2 5.3 5.0 - 5.6 3 5.2 4.9 5.8 6.3 4 8.2 7.1 10.2 5.5 5 7 21.2 6.5 20.8 6 10.6 6.2 40.9 5.8 7 - 7.3 - 9.1 8 - 8.5 11.8 9.7 9 8.2 6.5 10.3 13.9 10 - 9.2 - 8.3 1a 4 4.2 4.7 4.7 1b 4.2 4.2 4.4 4.5 2a 5.3 6.9 7 6.5 2b 4.8 5.4 6.9 6.4 3a 13.1 11.8 14 12.1 3b 10.5 9.6 9.7 9.8

39

Ocjena učinkovitostiOcjena učinkovitostiSimulacija dinamiSimulacija dinamičkog radačkog rada definirane su putanje pomične platformedefinirane su putanje pomične platforme početni položaj je poznatpočetni položaj je poznat kretanje je podijeljeno na jednake vremenske razmake – kretanje je podijeljeno na jednake vremenske razmake –

intervaleintervale unutar svakoga intervala traži se novi položaj pomične unutar svakoga intervala traži se novi položaj pomične

platforme i računa pogreška između stvarne i dobivene platforme i računa pogreška između stvarne i dobivene vrijednostivrijednosti

ispitni postupci u dinamičkom ispitivanju uključuju ispitni postupci u dinamičkom ispitivanju uključuju generiranje početnog rješenja eliminacijom varijabli generiranje početnog rješenja eliminacijom varijabli (stupac '(stupac 'BB')')

40

Ocjena učinkovitostiOcjena učinkovitostiPrvi pomak:Prvi pomak:

relativno jednostavan (mijenjaju se samo relativno jednostavan (mijenjaju se samo xx, , yy i kut i kut )) simulacija za simulacija za tt od 0 do 5 sekundi od 0 do 5 sekundi

.50,7,0

,32.1arctan35

,10

5.3exp45.75.3exp3185.2

,10

5.3exp45.75.3exp3172

tz

tt

ttty

tttx

41

Ocjena učinkovitostiOcjena učinkovitostiDrugi pomak:Drugi pomak: Treći pomak:Treći pomak:

.40

,42arctan15

,4cos52

sin20

,8.1sin25,2sin5.17

,2

cos2.2

,2

sin2

ttt

ttt

ttttz

tty

ttx

.40

,42arctan15

,4cos52

sin

,8.1sin,2sin

,2

cos2.2

,2

sin2

ttt

ttt

ttttz

tty

ttx

30

5538

42

Ocjena učinkovitostiOcjena učinkovitostiNeke ovisnosti varijabli u trećem pomaku:Neke ovisnosti varijabli u trećem pomaku:

1 2 3 4t

6

7

8

9

10

11zHtL

1 2 3 4t

-40

-20

20

40

aHtL

1 2 3 4t

5

10

15

20

25

30

35bHtL

1 2 3 4t

-20

-10

10

20gHtL

43

Ocjena učinkovitostiOcjena učinkovitosti rezultati simulacije: apsolutna pogreška stvarnih i rezultati simulacije: apsolutna pogreška stvarnih i

izračunatih vrijednosti položaja i orijentacije pomične izračunatih vrijednosti položaja i orijentacije pomične platforme platforme u svakom intervaluu svakom intervalu

interval interval TT izražen je u ms izražen je u ms zbog raznolikosti i velikog broja intervala uzima se zbog raznolikosti i velikog broja intervala uzima se

najvećanajveća pogreška u posljednjih 100 ms pogreška u posljednjih 100 ms prikaz je u prikaz je u logaritamskomlogaritamskom mjerilu mjerilu odvojeno su prikazane pogreške u kutovima i pogreške odvojeno su prikazane pogreške u kutovima i pogreške

u koordinatama:u koordinatama: xx (crveno, puna crta)(crveno, puna crta) yy (plavo, isprekidana crta)(plavo, isprekidana crta) zz (crno, isprekidana crta)(crno, isprekidana crta)

44

Ocjena učinkovitostiOcjena učinkovitostiFunkcija Funkcija FF11, prvi pomak, Hooke-Jeeves postupak, , prvi pomak, Hooke-Jeeves postupak, TT = 10 = 10

msms

0 10 20 30 40 50Broj intervala

1. 106

5. 1060.00001

0.000050.0001

0.0005

antulospAaksergop


1. 1072. 1075. 1071. 1062. 1065. 1060.00001

antulospAaksergop

45

Ocjena učinkovitostiOcjena učinkovitostiFunkcija Funkcija FF33, prvi pomak, Fletcher-Powell postupak, , prvi pomak, Fletcher-Powell postupak, TT = 2 = 2

msms


1. 109

5. 1091. 108

5. 1081. 107

5. 1071. 106

antulospAaksergop


5. 10101. 109

5. 1091. 108

5. 108

antulospAaksergop

46

Ocjena učinkovitostiOcjena učinkovitostiFunkcija Funkcija FF33, prvi pomak, Newton-Raphsonov postupak, , prvi pomak, Newton-Raphsonov postupak, TT = =

2 ms2 ms


2. 1014

5. 10141. 10132. 1013

5. 10131. 1012

antulospAaksergop


5. 1015

1. 1014

2. 1014

5. 1014

antulospAaksergop

47

Ocjena učinkovitostiOcjena učinkovitostiFunkcija Funkcija FF33, drugi pomak, Newton-Raphsonov postupak, , drugi pomak, Newton-Raphsonov postupak, TT

= 2 ms= 2 ms

0 10 20 30 40Broj intervala

1. 1015

5. 10151. 1014

5. 10141. 1013

5. 10131. 1012

antulospAaksergop


5. 1015

1. 1014

2. 1014

5. 1014

antulospAaksergop

48

Ocjena učinkovitostiOcjena učinkovitostiFunkcija Funkcija FF33, treći pomak, N-R postupak, , treći pomak, N-R postupak, TT = 2 ms = 2 ms


1. 10141. 10131. 10121. 10111. 10101. 109

antulospAaksergop


1. 10151. 1014

1. 10131. 10121. 10111. 1010

antulospAaksergop

49

Ocjena učinkovitostiOcjena učinkovitostiFunkcija Funkcija FF33, treći pomak, N-R postupak, , treći pomak, N-R postupak, TT = 2 ms, = 2 ms,

razilaženjerazilaženje


1. 1012

1. 1091. 106

0.001

1

antulospAaksergop


1. 1012

1. 109

1. 106

0.001

1

antulospAaksergop

50

Ocjena učinkovitostiOcjena učinkovitosti postoje dvije putanje (ili vipostoje dvije putanje (ili više njih)še njih) sa jednakim sa jednakim

duljinama krakova u svakom trenutkuduljinama krakova u svakom trenutku – – ekvivalentna ekvivalentna gibanjagibanja

pojava je posljedica postojanja više rješenja unaprijedne pojava je posljedica postojanja više rješenja unaprijedne kinematikekinematike

funkcija cilja je u oba slučaja minimalna (oko 10funkcija cilja je u oba slučaja minimalna (oko 10-30-30 do 10 do 10--

2020) – algoritam u oba slučaja pronalazi rješenje, no samo ) – algoritam u oba slučaja pronalazi rješenje, no samo je jedno pravoje jedno pravo

bez bez dodatnih podataka (osim duljina krakova) dodatnih podataka (osim duljina krakova) nije nije mogućemoguće odrediti koje od rješenja predstavlja stvarnu odrediti koje od rješenja predstavlja stvarnu konfiguraciju heksapodakonfiguraciju heksapoda

51

Ocjena učinkovitostiOcjena učinkovitosti

52

Ocjena učinkovitostiOcjena učinkovitostiKretanje središta pomične platforme u trećem pomaku Kretanje središta pomične platforme u trećem pomaku

(prostor koordinata) i ekvivalentna putanja:(prostor koordinata) i ekvivalentna putanja:

-2 0 2

X

-2

0

2

Y

68

10Z

-2

0

2

Y

-20

2

X

-202Y

6

8

10

Z

-20

2

X

-202Y -2

02

X

-2 0 2

Y

6

8

10

Z

6

8

10

Z

53

Ocjena učinkovitostiOcjena učinkovitostiOrijentacija pomične platforme u trećem pomaku (prostor Orijentacija pomične platforme u trećem pomaku (prostor

kutova) i ekvivalentna putanja:kutova) i ekvivalentna putanja:

-100

-50

0

50

Alfa

02040Beta

-40-20020 Gama

02040Beta

-40-20020 Gama

-100-50

050

Alfa

020

40

Beta

-40

-20

0

20

Gama

-100-50

050

Alfa

020

40

Beta

-40

-20

0

20

Gama

-100-50

050

Alfa

020

40

Beta

-40

-20

0

20

Gama

-100-50

050

Alfa

020

40

Beta

-40

-20

0

20

Gama

54

Ocjena učinkovitostiOcjena učinkovitosti uz određene pretpostavke moguće je približno uz određene pretpostavke moguće je približno

predvidjeti položaj platforme u sljedećoj iteracijipredvidjeti položaj platforme u sljedećoj iteracijiPretpostavke:Pretpostavke:

mala promjena smjera gibanja unutar jednog mala promjena smjera gibanja unutar jednog intervalaintervala

mala promjena položaja unutar jednoga intervalamala promjena položaja unutar jednoga intervala koristimo se koristimo se trenutnim rjetrenutnim rješenjem ( ) i rješenjima u šenjem ( ) i rješenjima u

prethodne dvije iteracijeprethodne dvije iteracije ( ( , , ))Postupak izračunavanja novog početnog rješenja (tri Postupak izračunavanja novog početnog rješenja (tri

načina):načina): 100 2 PPX

200 5.05.1 PPX

210

212

101

5.15.2

,5.0

,5.0

TTX

PPT

PPT

0P

1P

2P

55

Ocjena učinkovitostiOcjena učinkovitostiRezultat prilagodbe (uz izračunavanje novog početnog Rezultat prilagodbe (uz izračunavanje novog početnog

rješenja): algoritam prati stvarnu putanju heksapoda!rješenja): algoritam prati stvarnu putanju heksapoda!Ispitivanje 'izdržljivosti' prilagodbe:Ispitivanje 'izdržljivosti' prilagodbe:

ubrzavanje simuliranog gibanjaubrzavanje simuliranog gibanja tek kod 8x ubrzanog gibanja (4 tek kod 8x ubrzanog gibanja (4 0.5 sekunde) 0.5 sekunde)

pojavljuju se veće apsolutne pogreškepojavljuju se veće apsolutne pogreške ne može se jamčiti uspješnost postupka za sve ne može se jamčiti uspješnost postupka za sve

definirane putanjedefinirane putanje primjer: gibanje kod kojega nisu zadovoljene primjer: gibanje kod kojega nisu zadovoljene

pretpostavke o malim promjenama smjera i položajapretpostavke o malim promjenama smjera i položaja

56

ZaključakZaključak problem: unaprijedna kinematika heksapodaproblem: unaprijedna kinematika heksapoda cilj: naći postupak rješavanja koji omogućuje rad u cilj: naći postupak rješavanja koji omogućuje rad u

stvarnom vremenustvarnom vremenu ispitani su iterativni (konvergencijski) postupciispitani su iterativni (konvergencijski) postupci upotrebljeno je pet funkcija greške, šest optimizacijskih upotrebljeno je pet funkcija greške, šest optimizacijskih

algoritama i dvije prilagodbe postupaka:algoritama i dvije prilagodbe postupaka: postupak početnog pretraživanja po koordinatama se postupak početnog pretraživanja po koordinatama se

ne preporučujene preporučuje generiranje poč. rješenja eliminacijom varijabli generiranje poč. rješenja eliminacijom varijabli

pokazalo se korisnimpokazalo se korisnim učinkovite kombinacije funkcije cilja i algoritma učinkovite kombinacije funkcije cilja i algoritma

optimiranja: Newton-Raphson (optimiranja: Newton-Raphson (FF22, , FF33), Hooke-Jeeves (), Hooke-Jeeves (FF11, , FF55), Fletcher-Powell (), Fletcher-Powell (FF22, , FF33))

57

ZaključakZaključak uočena je pojava uočena je pojava ekvivalentnih gibanjaekvivalentnih gibanja (posljedica (posljedica

postojanja više rješenja unaprijedne kinematike)postojanja više rješenja unaprijedne kinematike) samo na osnovi duljina krakova ne može se samo na osnovi duljina krakova ne može se definitivno definitivno

odrediti koje rjeodrediti koje rješšenje predstavlja stvarnu konfiguracijuenje predstavlja stvarnu konfiguraciju predložene su empirijske prilagodbe postupaka predložene su empirijske prilagodbe postupaka

optimiranja (predviđanje novog položaja)optimiranja (predviđanje novog položaja) u slučaju zadovoljenih pretpostavki (mala promjena u slučaju zadovoljenih pretpostavki (mala promjena

položaja i smjera gibanja unutar intervala) moguće je položaja i smjera gibanja unutar intervala) moguće je rješavanje unaprijedne kinematike opisanim postupcima rješavanje unaprijedne kinematike opisanim postupcima u stvarnom vremenuu stvarnom vremenu

Ocjena u činkovitosti postupaka za rješavanje kinematike Stewartovih paralelnih mehanizama

Documents

Transcript of Ocjena u činkovitosti postupaka za rješavanje kinematike Stewartovih paralelnih mehanizama