Post on 26-Jun-2015
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DETERMINANTES
Regra de Chiò Matriz de Vandermonde Cálculo de Matriz Inversa por meio de Determinantes
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Relembrando o que já sabemos...
Já vimos que podemos calcular o determinante de qualquer matriz de ordem n > 1 utilizando o Teorema de Laplace, mas percebemos que para facilitar nossos cálculos precisamos obter uma fila com o maior número de elementos nulos e para conseguirmos uma fila desse tipo utilizamos o Teorema de Jacobi.
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Contudo, o que podemos observar se a matriz em questão for de ordem n > 4 ?
Como por exemplo:
Calcule o determinante da matriz D:
2 4 6 7 8
0 0 0 1 0
9 1 5 7 4
2 8 6 3 1
0 7 9 0 6
D =
4
Abaixamento da ordem de um determinante:
REGRA DE CHIÒ
1º) Deve-se ter a11 = 1; suprimi-se a 1ª linha e a 1ª coluna.
2º) De cada elemento restante em A, subtraímos o produto daqueles elementos que se encontram nas “extremidades das perpendiculares” traçadas, do elemento considerado, sobre a 1ª linha e sobre a 1ª coluna.
Exemplo:
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Se na matriz A não existir elemento igual a 1 ?
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Obs. 1: Se na matriz A, a11 é diferente de 1, e se existir algum elemento igual a 1, podemos através de trocas de filas transformar A em uma outra matriz A” para a qual a”11=1.
-
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Obs.2: Se na matriz A não existir elemento igual a 1, usando o Teorema de JACOBI podemos obter a matriz onde a”11=1.
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Também podemos:
Obs.: P6) multiplicando-se (ou dividindo-se) os elementos de uma fila por um número, o determinante fica multiplicado (ou dividido) por esse número.
R =
R = 2 . det (R) R/2 = det (R)
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Matriz de Vandermonde (ou das potências)Chamamos matriz de Vandermonde, ou das potências, toda
matriz de ordem n ≥ 2, do tipo:Isto é, as filas de M são formadas por potências de mesma
base, com expoente inteiro, variando de 0 até n – 1.Obs.: 1) Os elementos da 2ª linha são chamados elementos
característicos da matriz. 2) Indicamos o det. de uma matriz de Vandermonde
por V ( 2, 1, -3, 5).
1 1 1 1
2 1 -3 5
4 1 9 25
8 1 -27 125
= 8 . 4 . 3 . (-4) . (-5) . (-1) = -1920
2 1 -3 5
?
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Calcule o determinante:
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Cálculo da Matriz Inversa por meio de Determinantes
Antes precisamos saber:
1) Matriz dos cofatores – Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Chamamos de matriz dos cofatores de A, e indicamos por A’, a matriz que se obtém de A, substituindo cada elemento de A por seu cofator.
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2) Matriz adjunta – Seja A uma matriz
quadrada de ordem n e A’ a matriz dos
cofatores de A. Chamamos de matriz adjunta
de A, e indicamos por A , a transposta da
matriz A’, isto é,
A = ( A’ ) t
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Relação para o Cálculo da inversa de uma matriz quadrada K
Se K é uma matriz quadrada de ordem n e det ( K ) ≠ 0, então a inversa de K é:
K -1 = 1 . K det (K)
Teorema: K . K = K . K = det (K) . I n