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DETERMINANTES

Regra de Chiò Matriz de Vandermonde Cálculo de Matriz Inversa por meio de Determinantes

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Relembrando o que já sabemos...

Já vimos que podemos calcular o determinante de qualquer matriz de ordem n > 1 utilizando o Teorema de Laplace, mas percebemos que para facilitar nossos cálculos precisamos obter uma fila com o maior número de elementos nulos e para conseguirmos uma fila desse tipo utilizamos o Teorema de Jacobi.

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Contudo, o que podemos observar se a matriz em questão for de ordem n > 4 ?

Como por exemplo:

Calcule o determinante da matriz D:

2 4 6 7 8

0 0 0 1 0

9 1 5 7 4

2 8 6 3 1

0 7 9 0 6

D =

4

Abaixamento da ordem de um determinante:

REGRA DE CHIÒ

1º) Deve-se ter a11 = 1; suprimi-se a 1ª linha e a 1ª coluna.

2º) De cada elemento restante em A, subtraímos o produto daqueles elementos que se encontram nas “extremidades das perpendiculares” traçadas, do elemento considerado, sobre a 1ª linha e sobre a 1ª coluna.

Exemplo:

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Se na matriz A não existir elemento igual a 1 ?

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Obs. 1: Se na matriz A, a11 é diferente de 1, e se existir algum elemento igual a 1, podemos através de trocas de filas transformar A em uma outra matriz A” para a qual a”11=1.

-

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Obs.2: Se na matriz A não existir elemento igual a 1, usando o Teorema de JACOBI podemos obter a matriz onde a”11=1.

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Também podemos:

Obs.: P6) multiplicando-se (ou dividindo-se) os elementos de uma fila por um número, o determinante fica multiplicado (ou dividido) por esse número.

R =

R = 2 . det (R) R/2 = det (R)

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Matriz de Vandermonde (ou das potências)Chamamos matriz de Vandermonde, ou das potências, toda

matriz de ordem n ≥ 2, do tipo:Isto é, as filas de M são formadas por potências de mesma

base, com expoente inteiro, variando de 0 até n – 1.Obs.: 1) Os elementos da 2ª linha são chamados elementos

característicos da matriz. 2) Indicamos o det. de uma matriz de Vandermonde

por V ( 2, 1, -3, 5).

1 1 1 1

2 1 -3 5

4 1 9 25

8 1 -27 125

= 8 . 4 . 3 . (-4) . (-5) . (-1) = -1920

2 1 -3 5

?

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Calcule o determinante:

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Cálculo da Matriz Inversa por meio de Determinantes

Antes precisamos saber:

1) Matriz dos cofatores – Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Chamamos de matriz dos cofatores de A, e indicamos por A’, a matriz que se obtém de A, substituindo cada elemento de A por seu cofator.

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2) Matriz adjunta – Seja A uma matriz

quadrada de ordem n e A’ a matriz dos

cofatores de A. Chamamos de matriz adjunta

de A, e indicamos por A , a transposta da

matriz A’, isto é,

A = ( A’ ) t

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Relação para o Cálculo da inversa de uma matriz quadrada K

Se K é uma matriz quadrada de ordem n e det ( K ) ≠ 0, então a inversa de K é:

K -1 = 1 . K det (K)

Teorema: K . K = K . K = det (K) . I n