Ngo Van Thanh, IOP 11/2011

Phần II. Tin học ứng dụng Chương 1: Các phương pháp tính số (LT: 5, TH:5)

Đạo hàm số

Tích phân số

Giải phương trình và hệ phương trình tuyến tính

Tìm nghiệm các phương trình phi tuyến

1.1 Đạo hàm số Định nghĩa:

Đạo hàm dạng 2 điểm:

Đạo hàm dạng 3 điểm (End-Point):

Hoặc là (Mid-Point)

Đạo hàm dạng 5 điểm (Mid-Point):

Hoặc là (End-point)

Đạo hàm bậc 2: Đạo hàm dạng 3 điểm (Mid-Point):

1.2 Tích phân số

Phương pháp Newton và phương pháp Simpson

Phương pháp FIT trực tiếp:

Các hệ số an được xác định bằng phương pháp khử Gauss

Biểu thức Newton-Cotes:

Chia nhỏ miền lấy tích phân (a, b) thành n + 1 điểm.

Đa thức nội suy Lagrange bậc n của hàm f :

Quy tắc hình thang (Trapezium).

Đa thức bậc 1,

Quy tắc Simpson.

Đa thức bậc 2,

Phương pháp tổ hợp MidPoint.

Chia miền tích phân thành n + 2 khoảng,

Phương pháp tổ hợp hình thang.

Chia miền tích phân thành n khoảng,

Phương pháp tổ hợp Simpson.

Chia miền tích phân thành n khoảng,

Phương pháp Monte-Carlo. Tích phân nhiều lớp

Tích Phân nhiều lớp:

Lấy tích phân theo phương pháp tổ hợp Simpson:

Chia miền tích phân thành n và m khoảng

Lấy tiếp tích phân theo phương pháp tổ hợp Simpson:

Trong đó:

Cuối cùng ta có:

Sai số:

1.3 Giải phương trình và hệ phương trình tuyến tính

Phương pháp tính trực tiếp Hệ M phương trình tuyến tính với N ẩn.

…

Biểu diễn dạng ma trận:

Phương pháp khử Gaussian

Xét hệ N phương trình tuyến tính với N ẩn số, dạng mở rộng ma trận:

Giải hệ phương trình bằng phương pháp khử theo hàng. Xét ví dụ đơn giản

Nhân hàng 1 cho 3 rồi cộng với hàng thứ 2, thay kết quả cho hàng 2.

Nhân hàng 1 cho -2 rồi cộng với hàng thứ 3, thay kết quả cho hàng 3.

Hàng 1 vừa rồi gọi là phương trình pivot hay hàng pivot, phần tử a11 gọi là phần tử

pivot.

Áp dụng phương pháp tương tự bắt đầu từ phương trình pivot thứ hai và phần tử pivot thứ 2.

Hệ phương trình tương đương bây giờ có dạng

Giải lần lượt từ phương trình thứ 3 đến phương trình 1.

Trường hợp tổng quát:

Chọn hàng thứ nhất làm hàng pivot, ta có:

Thực hiện tiếp cho hàng pivot thứ hai:

Cuối cùng ta thu được ma trận chéo, trong đó các phần tử nằm phía dưới đường chéo đều bằng 0.

Pivoting and scaling. Nếu các phần tử pivot (các phần tử trên đường chéo) rất bé thì sẽ có sai số

do các phép tính làm tròn các con số sau dấu chấm thập phân.

Nếu các phần tử pivot bằng không thì không sử dụng được phương pháp khử Gaussian.

Để giải quyết các vấn đề trên.

Nếu phần tử pivot bằng 0, thực hiện tráo đổi hàng pivot cho hàng kế tiếp.

Sử dụng các phương pháp scaling

Phương pháp scaling theo cột (partial pivoting).

Phương pháp scaling theo hàng (scaled partial pivoting).

Kết hợp cả hai phương pháp trên (full pivoting).

Cuối cùng là tìm các nghiệm bằng phương pháp thay thế ngược (backward substitution)

Phương pháp scaling theo cột (partial pivoting):

Xét phần tử pivot akk, ta có

Tìm giá trị mki lớn nhất, tương đương với việc tìm phần tử có giá trị tuyệt đối lớn nhất trong cột i: |aki|

Tráo đổi hàng pivot cho hàng tương ứng với

Ví dụ:

Phần tử |-3| lớn nhất trong các phần tử của cột 1.

Tráo đổi hàng thứ 2 cho hàng 1.

Tiếp tục thực hiện phương pháp này cho đến khi thu được ma trận rút gọn về dạng chéo.

Phương pháp scaling theo hàng (scaled partial pivoting):

Xác định hệ số tỷ lệ là phần tử lớn nhất trong từng hàng

Tính tỷ số các phần tử trong cột k

Tìm hàng thứ p mà tỷ số này có giá trị lớn nhất.

Tráo đổi hàng pivot cho hàng thứ p đó.

Xét ví dụ:

Ta có:

Tính:

Vì a31/s3 lớn nhất nên tráo đổi hàng 1 cho hàng 3.

Phương pháp phân ly LU. Giả thiết rằng ma trận A có thể viết dưới dạng tích của hai ma trận tam giác:

Suy ra

Ta có hai phương trình ma trận:

: giải phương trình này để tìm y

: giải phương trình này để tìm x

Giải phương trình:

Giải phương trình:

Phân ly LU để tìm hai ma trận L và U.

Các phần tử của các ma trận thoả mãn biểu thức:

Với i < j :

Với i = j :

Với i > j :

Đây là hệ N 2 phương trình với (N 2 + N ) ẩn số.

Thuật toán Crout:

Đầu tiên đặt N phần tử trên đường chéo của ma trận L bằng 1.

Chạy vòng lặp j = 1, 2,…, N.

Bước 1: chạy tiếp vòng lặp trong i = 1,2, …, j. Áp dụng điều kiện cho i < j ;

i = j và . Tính

Bước 2: chạy vòng lặp i = j + 1, j + 2, …, N . Áp dụng điều kiện cho i > j. Tính

Kết hợp 2 ma trận L và U:

Chương trình đơn giản:

SUBROUTINE ludcmp(a,indx,d)

IMPLICIT NONE

REAL, DIMENSION(:,:), INTENT(INOUT) :: a

INTEGER, DIMENSION(:), INTENT(OUT) :: indx

REAL, INTENT(OUT) :: d

REAL, DIMENSION(size(a,1)) :: vv

REAL, PARAMETER :: TINY=1.0e-20 !A small number.

INTEGER :: j,n,imax

n=assert_eq(size(a,1),size(a,2),size(indx),‟ludcmp‟)

d=1.0 !No row interchanges yet.

vv=maxval(abs(a),dim=2)

if (any(vv == 0.0)) &

write(6,*) ‟ There is a row of zeros.‟

vv=1.0/vv

do j=1,n

imax=(j-1)+imaxloc(vv(j:n)*abs(a(j:n,j)))

if (j /= imax)

call swap(a(imax,:),a(j,:))

d = -d

vv(imax) = vv(j)

end if

indx(j) = imax

if (a(j,j) == 0.0) a(j,j)=TINY

a(j+1:n,j) = a(j+1:n,j)/a(j,j)

*

do i=1,j-1

a(i,j)=a(i,j)-sum(a(i,1:i-1)*a(1:i-1,j))

enddo

*

do i=j,n !This is i = j and i = j+1: ::N

a(i,j)=a(i,j)-sum(a(i,1:j-1)*a(1:j-1,j))

enddo

enddo

END SUBROUTINE ludcmp

Chương trình F90 kiểu parallel tối ưu:

SUBROUTINE ludcmp(a,indx,d)

IMPLICIT NONE

REAL, DIMENSION(:,:), INTENT(INOUT) :: a

INTEGER, DIMENSION(:), INTENT(OUT) :: indx

REAL, INTENT(OUT) :: d

REAL, DIMENSION(size(a,1)) :: vv

REAL, PARAMETER :: TINY=1.0e-20 !A small number.

INTEGER :: j,n,imax

n=assert_eq(size(a,1),size(a,2),size(indx),‟ludcmp‟)

d=1.0 !No row interchanges yet.

vv=maxval(abs(a),dim=2)

if (any(vv == 0.0)) &

write(6,*) ‟ There is a row of zeros.‟

vv=1.0/vv

do j=1,n

imax=(j-1) + imaxloc(vv(j:n)*abs(a(j:n,j)))

!Find the pivot row (only j:n elements).

if (j /= imax) then

!Do we need to interchange rows?

call swap(a(imax,:),a(j,:))

! Yes, do so...

d = -d !...and change the parity of d.

vv(imax)= vv(j)

!Also interchange the scale factor.

end if

indx(j) = imax

if (a(j,j) == 0.0) a(j,j) = TINY

a(j+1:n,j)=a(j+1:n,j)/a(j,j)

!Divide by the pivot element.

a(j+1:n,j+1:n)=a(j+1:n,j+1:n) - &

outerprod(a(j+1:n,j),a(j,j+1:n))

!Reduce remaining submatrix.

end do

END SUBROUTINE ludcmp

Nghịch đảo ma trận.

Xét hệ phương trình tuyến tính:

Nhân hai vế cho ma trận ngịch đảo A-1:

Nếu xác định được A-1 thì hệ phương trình hoàn toàn có thể tìm nghiệm dưới

dạng:

1.4 Tìm nghiệm các phương trình phi tuyến

Phương pháp khoanh vùng

Khoanh vùng nghiệm bằng cách vẽ đồ thị các hàm

Phương trình có nghiệm trong khoảng (a, b) nếu

liên tục trên khoảng (a, b).

Các bước thực hiện:

Vẽ đồ thị của hàm số bằng các phần mềm

như Gnuplot, Mathematica, Matlab…

Dựa trên đồ thị, xác định khoảng (a, b) mà nghiệm nằm trong khoảng đó.

Xác định nghiệm gần đúng của phương trình x0.

Khoanh vùng nghiệm từ trong ra ngoài

Xét hai điểm bất kỳ

Tính tích

Nếu tích trên thì kết thúc chương trình tính.

Ngược lại, nếu

Nếu thì thay giá trị

Ngược lại: thì thay

Với b là thừa số tùy chọn.

Thực hiện các phép tính trên theo một số vòng lặp xác định.

INTEGER, PARAMETER :: NTRY=50

REAL, PARAMETER :: FACTOR=1.6

INTEGER :: j

REAL :: f1,f2

if (x1 == x2) RETURN

f1=func(x1)

f2=func(x2)

succes=.true.

do j=1,NTRY

if ((f1 > 0.0 .and. f2 < 0.0) .or. &

(f1 < 0.0 .and. f2 > 0.0)) RETURN

if (abs(f1) < abs(f2)) then

x1=x1+FACTOR*(x1-x2)

f1=func(x1)

else

x2=x2+FACTOR*(x2-x1)

f2=func(x2)

end if

end do

succes=.false.

Khoanh vùng nghiệm từ ngoài vào trong (cho phép khoanh vùng nhiều nghiệm)

Xét hai điểm cho trước

Chia thành n khoảng và trong đó có tối đa là nb nghiệm.

Tính tích

Nếu tích trên đưa ra khoảng nghiệm

Thực hiện các phép tính trên cho n khoảng.

nbb=0

x=x1

dx=(x2-x1)/n

fp=fx(x)

do i=1,n !Loop over all intervals

x=x+dx

fc=fx(x)

if(fc*fp.le.0.) then

nbb=nbb+1

xb1(nbb)=x-dx

xb2(nbb)=x

if(nbb.eq.nb)goto 1

endif

fp=fc

enddo

1 continue

nb=nbb

END SUBROUTINE zbrak.

Phương pháp phi đạo hàm Phương pháp chia đôi (bisection method).

Tìm nghiệm nhanh hơn phương pháp khoanh vùng nghiệm.

Có độ chính xác cao hơn.

Chỉ tìm được một nghiệm nào đó khoảng (a, b).

Xét khoảng (a, b) mà trong đó phương trình phi tuyến có nghiệm, tức là

Chọn điểm c là điểm giữa của (a, b).

Nếu như f (c) cùng dấu với f (a) thì thay khoảng (a, b) bằng (c, b).

Nếu như f (c) cùng dấu với f (b) thì thay khoảng (a, b) bằng (a, c).

Thực hiện qua trình lặp trên một số bước nào đó, hoặc khoảng chia đôi bé hơn một thừa số cho trước (sai số).

fmid=func(x2)

f=func(x1)

if (f*fmid >= 0.0) write(6,*) 'rtbis:root must be bracketed„

if (f < 0.0) then

rtbis=x1

dx=x2-x1

else

rtbis=x2

dx=x1-x2

end if

do j=1,MAXIT !Bisection loop.

dx=dx*0.5

xmid=rtbis+dx

fmid=func(xmid)

if (fmid <= 0.0) rtbis = xmid

if (abs(dx) < xacc .or. fmid == 0.0) RETURN

end do

write(6,*) 'rtbis:too many bisections'

Phương pháp cát tuyến (Secant method).

Áp dụng cho các hàm trơn (smooth) ở gần nghiệm.

Tốc độ hội tụ nhanh hơn phương pháp bisection.

Xét khoảng (a, b) mà trong đó phương trình phi tuyến có nghiệm.

Chọn hai điểm ban đầu p0 = a, p1 = b.

Phương trình đường thẳng đi qua (p0, f(p0)) và (p1, f(p1))

Giao điểm với trục hoành tại (p2, 0):

suy ra

Tổng quát:

fl=func(x1)

f =func(x2)

if (abs(fl) < abs(f)) then

rtsec=x1

xl=x2

call swap(fl,f)

else

xl=x1

rtsec=x2

end if

do j=1,MAXIT !Secant loop.

dx=(xl-rtsec)*f/(f-fl)

xl=rtsec

fl=f

rtsec=rtsec+dx

f=func(rtsec)

if (abs(dx) < xacc .or. f == 0.0) RETURN ! Convergence.

end do

Phương pháp đạo hàm (Methods with derivatives) Phương pháp lặp Newton (Newton iterative method).

Khai triển chuỗi Taylor:

Xét: suy ra

Hệ số góc của phương trình f(x):

Suy ra

Nghiệm của phương trình là khi

Nếu hàm số f(x) không tính được đạo hàm bằng giải tích thì phải tính f’ (x) theo phương pháp gần đúng tại mỗi vòng lặp.

Thuật toán:

Run_newton(f; f‟; x0;N; tol)

(1) đặt x = x0; n = 0

(2) while n <= N

(3) tính fx f(x)

(4) if (|fx| < tol)

(5) return x

(6) tính fpx f‟(x)

(7) if |fpx| < tol

(8) return x

(9) Gán x = x – fx/fpx

(10) Gán n = n + 1

(11) end while

Chương trình:

INTEGER, PARAMETER :: MAXIT=20

INTEGER :: j

REAL :: df,dx,f

rtnewt=0.5*(x1+x2) Initial guess.

do j=1,MAXIT

call funcd(rtnewt,f,df)

dx=f/df

rtnewt=rtnewt-dx

if ((x1-rtnewt)*(rtnewt-x2) < 0.0)&

write(6,*) 'rtnewt:values jumped out of brackets'

if (abs(dx) < xacc) RETURN ! Convergence.

end do

write(6,*) 'rtnewt exceeded maximum iterations'

END FUNCTION rtnewt

Một số trường hợp mà phương pháp lặp Newton sẽ tính sai.

Kết hợp bisection và Newton-Raphson. Phương pháp bisection được áp dụng cho trường hợp phương pháp Newton hội tụ chậm hoặc nghiệm tìm được vượt ra ngoài khoảng nghiệm.

Chương trình: call funcd(x1,fl,df) call funcd(x2,fh,df) if ((fl > 0.0 .and. fh > 0.0) .or. & (fl < 0.0 .and. fh < 0.0)) & write(6,*)'root must be bracketed in rtsafe' if (fl == 0.0) then rtsafe=x1 RETURN else if (fh == 0.0) then rtsafe=x2 RETURN else if (fl < 0.0) xl=x1 xh=x2 else xh=x1 xl=x2 end if * rtsafe=0.5*(x1+x2) !Initialize the guess for root, dxold=abs(x2-x1) !the “stepsize before last,” dx=dxold !and the last step. call funcd(rtsafe,f,df)

Chương trình:

do i=1,ntrial

call usrfun(x,fvec,fjac)

! User subroutine supplies function values at

! x in fvec and Jacobian matrix in fjac.

if (sum(abs(fvec)) <= tolf) RETURN

!Check function convergence.

!Right-hand side of linear equations.

p=-fvec

call ludcmp(fjac,indx,d)

!Solve linear equations using LU decomposition

call lubksb(fjac,indx,p)

!Update solution.

x=x+p

if (sum(abs(p)) <= tolx) RETURN

!Check root convergence.

end do

Phương pháp lặp Newton cho hệ các phương trình không tuyến tính

Xét hệ hai phương trình không tuyến tính bất kỳ:

Giao điểm của các đường mức chính là nghiệm của hệ phương trình.

Xét hệ N phương trình không tuyến tính

Khai triển chuỗi Taylor cho hệ phương trình trên

Ma trận các đạo hàm riêng chính là ma trận Jacobian

Suy ra:

Bỏ qua số hạng bậc cao, đặt , ta có

Giải phương trình trên để tìm bằng phương pháp phân ly LU. Nghiệm gần

đúng của hệ có dạng:

do j=1,MAXIT !Loop over allowed iterations.

if (((rtsafe-xh)*df-f)*((rtsafe-xl)*df-f) > 0.0 .or. &

abs(2.0*f) > abs(dxold*df) ) then

! Bisect if Newton out of range, or not decreasing fast enough.

dxold=dx

dx=0.5*(xh-xl)

rtsafe=xl+dx

if (xl == rtsafe) RETURN !Change in root is negligible.

else !Newton step acceptable. Take it.

dxold=dx

dx=f/df

temp=rtsafe

rtsafe=rtsafe-dx

if (temp == rtsafe) RETURN

end if

if (abs(dx) < xacc) RETURN !Convergence criterion.

call funcd(rtsafe,f,df)

if (f < 0.0) then !Maintain the bracket on the root.

xl=rtsafe

else

xh=rtsafe

end if end do write(6,*) 'rtsafe:exceeded maximum iterations' END FUNCTION rtsafe