Ngo Van Thanh, IOP 11/2011nvthanh/cours/comp/Bai_Giang_P2.01.pdf · Cuối cùng ta thu được ma...
Transcript of Ngo Van Thanh, IOP 11/2011nvthanh/cours/comp/Bai_Giang_P2.01.pdf · Cuối cùng ta thu được ma...
![Page 1: Ngo Van Thanh, IOP 11/2011nvthanh/cours/comp/Bai_Giang_P2.01.pdf · Cuối cùng ta thu được ma trận chéo, ... Tính tỷ số các phần tử trong cột k Tìm hàng thứ](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022052608/5a9e7cc77f8b9a84178b67d5/html5/thumbnails/1.jpg)
Ngo Van Thanh, IOP 11/2011
![Page 2: Ngo Van Thanh, IOP 11/2011nvthanh/cours/comp/Bai_Giang_P2.01.pdf · Cuối cùng ta thu được ma trận chéo, ... Tính tỷ số các phần tử trong cột k Tìm hàng thứ](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022052608/5a9e7cc77f8b9a84178b67d5/html5/thumbnails/2.jpg)
Phần II. Tin học ứng dụng Chương 1: Các phương pháp tính số (LT: 5, TH:5)
Đạo hàm số
Tích phân số
Giải phương trình và hệ phương trình tuyến tính
Tìm nghiệm các phương trình phi tuyến
![Page 3: Ngo Van Thanh, IOP 11/2011nvthanh/cours/comp/Bai_Giang_P2.01.pdf · Cuối cùng ta thu được ma trận chéo, ... Tính tỷ số các phần tử trong cột k Tìm hàng thứ](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022052608/5a9e7cc77f8b9a84178b67d5/html5/thumbnails/3.jpg)
1.1 Đạo hàm số Định nghĩa:
Đạo hàm dạng 2 điểm:
Đạo hàm dạng 3 điểm (End-Point):
Hoặc là (Mid-Point)
![Page 4: Ngo Van Thanh, IOP 11/2011nvthanh/cours/comp/Bai_Giang_P2.01.pdf · Cuối cùng ta thu được ma trận chéo, ... Tính tỷ số các phần tử trong cột k Tìm hàng thứ](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022052608/5a9e7cc77f8b9a84178b67d5/html5/thumbnails/4.jpg)
Đạo hàm dạng 5 điểm (Mid-Point):
Hoặc là (End-point)
Đạo hàm bậc 2: Đạo hàm dạng 3 điểm (Mid-Point):
![Page 5: Ngo Van Thanh, IOP 11/2011nvthanh/cours/comp/Bai_Giang_P2.01.pdf · Cuối cùng ta thu được ma trận chéo, ... Tính tỷ số các phần tử trong cột k Tìm hàng thứ](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022052608/5a9e7cc77f8b9a84178b67d5/html5/thumbnails/5.jpg)
1.2 Tích phân số
Phương pháp Newton và phương pháp Simpson
Phương pháp FIT trực tiếp:
Các hệ số an được xác định bằng phương pháp khử Gauss
![Page 6: Ngo Van Thanh, IOP 11/2011nvthanh/cours/comp/Bai_Giang_P2.01.pdf · Cuối cùng ta thu được ma trận chéo, ... Tính tỷ số các phần tử trong cột k Tìm hàng thứ](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022052608/5a9e7cc77f8b9a84178b67d5/html5/thumbnails/6.jpg)
Biểu thức Newton-Cotes:
Chia nhỏ miền lấy tích phân (a, b) thành n + 1 điểm.
Đa thức nội suy Lagrange bậc n của hàm f :
Quy tắc hình thang (Trapezium).
Đa thức bậc 1,
![Page 7: Ngo Van Thanh, IOP 11/2011nvthanh/cours/comp/Bai_Giang_P2.01.pdf · Cuối cùng ta thu được ma trận chéo, ... Tính tỷ số các phần tử trong cột k Tìm hàng thứ](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022052608/5a9e7cc77f8b9a84178b67d5/html5/thumbnails/7.jpg)
Quy tắc Simpson.
Đa thức bậc 2,
Phương pháp tổ hợp MidPoint.
Chia miền tích phân thành n + 2 khoảng,
![Page 8: Ngo Van Thanh, IOP 11/2011nvthanh/cours/comp/Bai_Giang_P2.01.pdf · Cuối cùng ta thu được ma trận chéo, ... Tính tỷ số các phần tử trong cột k Tìm hàng thứ](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022052608/5a9e7cc77f8b9a84178b67d5/html5/thumbnails/8.jpg)
Phương pháp tổ hợp hình thang.
Chia miền tích phân thành n khoảng,
Phương pháp tổ hợp Simpson.
Chia miền tích phân thành n khoảng,
![Page 9: Ngo Van Thanh, IOP 11/2011nvthanh/cours/comp/Bai_Giang_P2.01.pdf · Cuối cùng ta thu được ma trận chéo, ... Tính tỷ số các phần tử trong cột k Tìm hàng thứ](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022052608/5a9e7cc77f8b9a84178b67d5/html5/thumbnails/9.jpg)
Phương pháp Monte-Carlo. Tích phân nhiều lớp
![Page 10: Ngo Van Thanh, IOP 11/2011nvthanh/cours/comp/Bai_Giang_P2.01.pdf · Cuối cùng ta thu được ma trận chéo, ... Tính tỷ số các phần tử trong cột k Tìm hàng thứ](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022052608/5a9e7cc77f8b9a84178b67d5/html5/thumbnails/10.jpg)
Tích Phân nhiều lớp:
Lấy tích phân theo phương pháp tổ hợp Simpson:
Chia miền tích phân thành n và m khoảng
![Page 11: Ngo Van Thanh, IOP 11/2011nvthanh/cours/comp/Bai_Giang_P2.01.pdf · Cuối cùng ta thu được ma trận chéo, ... Tính tỷ số các phần tử trong cột k Tìm hàng thứ](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022052608/5a9e7cc77f8b9a84178b67d5/html5/thumbnails/11.jpg)
Lấy tiếp tích phân theo phương pháp tổ hợp Simpson:
Trong đó:
![Page 12: Ngo Van Thanh, IOP 11/2011nvthanh/cours/comp/Bai_Giang_P2.01.pdf · Cuối cùng ta thu được ma trận chéo, ... Tính tỷ số các phần tử trong cột k Tìm hàng thứ](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022052608/5a9e7cc77f8b9a84178b67d5/html5/thumbnails/12.jpg)
Cuối cùng ta có:
Sai số:
![Page 13: Ngo Van Thanh, IOP 11/2011nvthanh/cours/comp/Bai_Giang_P2.01.pdf · Cuối cùng ta thu được ma trận chéo, ... Tính tỷ số các phần tử trong cột k Tìm hàng thứ](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022052608/5a9e7cc77f8b9a84178b67d5/html5/thumbnails/13.jpg)
1.3 Giải phương trình và hệ phương trình tuyến tính
Phương pháp tính trực tiếp Hệ M phương trình tuyến tính với N ẩn.
…
Biểu diễn dạng ma trận:
![Page 14: Ngo Van Thanh, IOP 11/2011nvthanh/cours/comp/Bai_Giang_P2.01.pdf · Cuối cùng ta thu được ma trận chéo, ... Tính tỷ số các phần tử trong cột k Tìm hàng thứ](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022052608/5a9e7cc77f8b9a84178b67d5/html5/thumbnails/14.jpg)
Phương pháp khử Gaussian
Xét hệ N phương trình tuyến tính với N ẩn số, dạng mở rộng ma trận:
Giải hệ phương trình bằng phương pháp khử theo hàng. Xét ví dụ đơn giản
Nhân hàng 1 cho 3 rồi cộng với hàng thứ 2, thay kết quả cho hàng 2.
Nhân hàng 1 cho -2 rồi cộng với hàng thứ 3, thay kết quả cho hàng 3.
![Page 15: Ngo Van Thanh, IOP 11/2011nvthanh/cours/comp/Bai_Giang_P2.01.pdf · Cuối cùng ta thu được ma trận chéo, ... Tính tỷ số các phần tử trong cột k Tìm hàng thứ](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022052608/5a9e7cc77f8b9a84178b67d5/html5/thumbnails/15.jpg)
Hàng 1 vừa rồi gọi là phương trình pivot hay hàng pivot, phần tử a11 gọi là phần tử
pivot.
Áp dụng phương pháp tương tự bắt đầu từ phương trình pivot thứ hai và phần tử pivot thứ 2.
Hệ phương trình tương đương bây giờ có dạng
Giải lần lượt từ phương trình thứ 3 đến phương trình 1.
![Page 16: Ngo Van Thanh, IOP 11/2011nvthanh/cours/comp/Bai_Giang_P2.01.pdf · Cuối cùng ta thu được ma trận chéo, ... Tính tỷ số các phần tử trong cột k Tìm hàng thứ](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022052608/5a9e7cc77f8b9a84178b67d5/html5/thumbnails/16.jpg)
Trường hợp tổng quát:
Chọn hàng thứ nhất làm hàng pivot, ta có:
![Page 17: Ngo Van Thanh, IOP 11/2011nvthanh/cours/comp/Bai_Giang_P2.01.pdf · Cuối cùng ta thu được ma trận chéo, ... Tính tỷ số các phần tử trong cột k Tìm hàng thứ](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022052608/5a9e7cc77f8b9a84178b67d5/html5/thumbnails/17.jpg)
Thực hiện tiếp cho hàng pivot thứ hai:
Cuối cùng ta thu được ma trận chéo, trong đó các phần tử nằm phía dưới đường chéo đều bằng 0.
![Page 18: Ngo Van Thanh, IOP 11/2011nvthanh/cours/comp/Bai_Giang_P2.01.pdf · Cuối cùng ta thu được ma trận chéo, ... Tính tỷ số các phần tử trong cột k Tìm hàng thứ](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022052608/5a9e7cc77f8b9a84178b67d5/html5/thumbnails/18.jpg)
Pivoting and scaling. Nếu các phần tử pivot (các phần tử trên đường chéo) rất bé thì sẽ có sai số
do các phép tính làm tròn các con số sau dấu chấm thập phân.
Nếu các phần tử pivot bằng không thì không sử dụng được phương pháp khử Gaussian.
Để giải quyết các vấn đề trên.
Nếu phần tử pivot bằng 0, thực hiện tráo đổi hàng pivot cho hàng kế tiếp.
Sử dụng các phương pháp scaling
Phương pháp scaling theo cột (partial pivoting).
Phương pháp scaling theo hàng (scaled partial pivoting).
Kết hợp cả hai phương pháp trên (full pivoting).
Cuối cùng là tìm các nghiệm bằng phương pháp thay thế ngược (backward substitution)
![Page 19: Ngo Van Thanh, IOP 11/2011nvthanh/cours/comp/Bai_Giang_P2.01.pdf · Cuối cùng ta thu được ma trận chéo, ... Tính tỷ số các phần tử trong cột k Tìm hàng thứ](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022052608/5a9e7cc77f8b9a84178b67d5/html5/thumbnails/19.jpg)
Phương pháp scaling theo cột (partial pivoting):
Xét phần tử pivot akk, ta có
Tìm giá trị mki lớn nhất, tương đương với việc tìm phần tử có giá trị tuyệt đối lớn nhất trong cột i: |aki|
Tráo đổi hàng pivot cho hàng tương ứng với
Ví dụ:
Phần tử |-3| lớn nhất trong các phần tử của cột 1.
Tráo đổi hàng thứ 2 cho hàng 1.
Tiếp tục thực hiện phương pháp này cho đến khi thu được ma trận rút gọn về dạng chéo.
![Page 20: Ngo Van Thanh, IOP 11/2011nvthanh/cours/comp/Bai_Giang_P2.01.pdf · Cuối cùng ta thu được ma trận chéo, ... Tính tỷ số các phần tử trong cột k Tìm hàng thứ](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022052608/5a9e7cc77f8b9a84178b67d5/html5/thumbnails/20.jpg)
Phương pháp scaling theo hàng (scaled partial pivoting):
Xác định hệ số tỷ lệ là phần tử lớn nhất trong từng hàng
Tính tỷ số các phần tử trong cột k
Tìm hàng thứ p mà tỷ số này có giá trị lớn nhất.
Tráo đổi hàng pivot cho hàng thứ p đó.
Xét ví dụ:
Ta có:
Tính:
Vì a31/s3 lớn nhất nên tráo đổi hàng 1 cho hàng 3.
![Page 21: Ngo Van Thanh, IOP 11/2011nvthanh/cours/comp/Bai_Giang_P2.01.pdf · Cuối cùng ta thu được ma trận chéo, ... Tính tỷ số các phần tử trong cột k Tìm hàng thứ](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022052608/5a9e7cc77f8b9a84178b67d5/html5/thumbnails/21.jpg)
Phương pháp phân ly LU. Giả thiết rằng ma trận A có thể viết dưới dạng tích của hai ma trận tam giác:
Suy ra
Ta có hai phương trình ma trận:
: giải phương trình này để tìm y
: giải phương trình này để tìm x
![Page 22: Ngo Van Thanh, IOP 11/2011nvthanh/cours/comp/Bai_Giang_P2.01.pdf · Cuối cùng ta thu được ma trận chéo, ... Tính tỷ số các phần tử trong cột k Tìm hàng thứ](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022052608/5a9e7cc77f8b9a84178b67d5/html5/thumbnails/22.jpg)
Giải phương trình:
Giải phương trình:
Phân ly LU để tìm hai ma trận L và U.
Các phần tử của các ma trận thoả mãn biểu thức:
Với i < j :
Với i = j :
Với i > j :
Đây là hệ N 2 phương trình với (N 2 + N ) ẩn số.
![Page 23: Ngo Van Thanh, IOP 11/2011nvthanh/cours/comp/Bai_Giang_P2.01.pdf · Cuối cùng ta thu được ma trận chéo, ... Tính tỷ số các phần tử trong cột k Tìm hàng thứ](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022052608/5a9e7cc77f8b9a84178b67d5/html5/thumbnails/23.jpg)
Thuật toán Crout:
Đầu tiên đặt N phần tử trên đường chéo của ma trận L bằng 1.
Chạy vòng lặp j = 1, 2,…, N.
Bước 1: chạy tiếp vòng lặp trong i = 1,2, …, j. Áp dụng điều kiện cho i < j ;
i = j và . Tính
Bước 2: chạy vòng lặp i = j + 1, j + 2, …, N . Áp dụng điều kiện cho i > j. Tính
Kết hợp 2 ma trận L và U:
![Page 24: Ngo Van Thanh, IOP 11/2011nvthanh/cours/comp/Bai_Giang_P2.01.pdf · Cuối cùng ta thu được ma trận chéo, ... Tính tỷ số các phần tử trong cột k Tìm hàng thứ](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022052608/5a9e7cc77f8b9a84178b67d5/html5/thumbnails/24.jpg)
![Page 25: Ngo Van Thanh, IOP 11/2011nvthanh/cours/comp/Bai_Giang_P2.01.pdf · Cuối cùng ta thu được ma trận chéo, ... Tính tỷ số các phần tử trong cột k Tìm hàng thứ](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022052608/5a9e7cc77f8b9a84178b67d5/html5/thumbnails/25.jpg)
Chương trình đơn giản:
SUBROUTINE ludcmp(a,indx,d)
IMPLICIT NONE
REAL, DIMENSION(:,:), INTENT(INOUT) :: a
INTEGER, DIMENSION(:), INTENT(OUT) :: indx
REAL, INTENT(OUT) :: d
REAL, DIMENSION(size(a,1)) :: vv
REAL, PARAMETER :: TINY=1.0e-20 !A small number.
INTEGER :: j,n,imax
n=assert_eq(size(a,1),size(a,2),size(indx),‟ludcmp‟)
d=1.0 !No row interchanges yet.
vv=maxval(abs(a),dim=2)
if (any(vv == 0.0)) &
write(6,*) ‟ There is a row of zeros.‟
vv=1.0/vv
![Page 26: Ngo Van Thanh, IOP 11/2011nvthanh/cours/comp/Bai_Giang_P2.01.pdf · Cuối cùng ta thu được ma trận chéo, ... Tính tỷ số các phần tử trong cột k Tìm hàng thứ](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022052608/5a9e7cc77f8b9a84178b67d5/html5/thumbnails/26.jpg)
do j=1,n
imax=(j-1)+imaxloc(vv(j:n)*abs(a(j:n,j)))
if (j /= imax)
call swap(a(imax,:),a(j,:))
d = -d
vv(imax) = vv(j)
end if
indx(j) = imax
if (a(j,j) == 0.0) a(j,j)=TINY
a(j+1:n,j) = a(j+1:n,j)/a(j,j)
*
do i=1,j-1
a(i,j)=a(i,j)-sum(a(i,1:i-1)*a(1:i-1,j))
enddo
*
do i=j,n !This is i = j and i = j+1: ::N
a(i,j)=a(i,j)-sum(a(i,1:j-1)*a(1:j-1,j))
enddo
enddo
END SUBROUTINE ludcmp
![Page 27: Ngo Van Thanh, IOP 11/2011nvthanh/cours/comp/Bai_Giang_P2.01.pdf · Cuối cùng ta thu được ma trận chéo, ... Tính tỷ số các phần tử trong cột k Tìm hàng thứ](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022052608/5a9e7cc77f8b9a84178b67d5/html5/thumbnails/27.jpg)
Chương trình F90 kiểu parallel tối ưu:
SUBROUTINE ludcmp(a,indx,d)
IMPLICIT NONE
REAL, DIMENSION(:,:), INTENT(INOUT) :: a
INTEGER, DIMENSION(:), INTENT(OUT) :: indx
REAL, INTENT(OUT) :: d
REAL, DIMENSION(size(a,1)) :: vv
REAL, PARAMETER :: TINY=1.0e-20 !A small number.
INTEGER :: j,n,imax
n=assert_eq(size(a,1),size(a,2),size(indx),‟ludcmp‟)
d=1.0 !No row interchanges yet.
vv=maxval(abs(a),dim=2)
if (any(vv == 0.0)) &
write(6,*) ‟ There is a row of zeros.‟
vv=1.0/vv
![Page 28: Ngo Van Thanh, IOP 11/2011nvthanh/cours/comp/Bai_Giang_P2.01.pdf · Cuối cùng ta thu được ma trận chéo, ... Tính tỷ số các phần tử trong cột k Tìm hàng thứ](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022052608/5a9e7cc77f8b9a84178b67d5/html5/thumbnails/28.jpg)
do j=1,n
imax=(j-1) + imaxloc(vv(j:n)*abs(a(j:n,j)))
!Find the pivot row (only j:n elements).
if (j /= imax) then
!Do we need to interchange rows?
call swap(a(imax,:),a(j,:))
! Yes, do so...
d = -d !...and change the parity of d.
vv(imax)= vv(j)
!Also interchange the scale factor.
end if
indx(j) = imax
if (a(j,j) == 0.0) a(j,j) = TINY
a(j+1:n,j)=a(j+1:n,j)/a(j,j)
!Divide by the pivot element.
a(j+1:n,j+1:n)=a(j+1:n,j+1:n) - &
outerprod(a(j+1:n,j),a(j,j+1:n))
!Reduce remaining submatrix.
end do
END SUBROUTINE ludcmp
![Page 29: Ngo Van Thanh, IOP 11/2011nvthanh/cours/comp/Bai_Giang_P2.01.pdf · Cuối cùng ta thu được ma trận chéo, ... Tính tỷ số các phần tử trong cột k Tìm hàng thứ](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022052608/5a9e7cc77f8b9a84178b67d5/html5/thumbnails/29.jpg)
Nghịch đảo ma trận.
Xét hệ phương trình tuyến tính:
Nhân hai vế cho ma trận ngịch đảo A-1:
Nếu xác định được A-1 thì hệ phương trình hoàn toàn có thể tìm nghiệm dưới
dạng:
![Page 30: Ngo Van Thanh, IOP 11/2011nvthanh/cours/comp/Bai_Giang_P2.01.pdf · Cuối cùng ta thu được ma trận chéo, ... Tính tỷ số các phần tử trong cột k Tìm hàng thứ](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022052608/5a9e7cc77f8b9a84178b67d5/html5/thumbnails/30.jpg)
1.4 Tìm nghiệm các phương trình phi tuyến
Phương pháp khoanh vùng
Khoanh vùng nghiệm bằng cách vẽ đồ thị các hàm
![Page 31: Ngo Van Thanh, IOP 11/2011nvthanh/cours/comp/Bai_Giang_P2.01.pdf · Cuối cùng ta thu được ma trận chéo, ... Tính tỷ số các phần tử trong cột k Tìm hàng thứ](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022052608/5a9e7cc77f8b9a84178b67d5/html5/thumbnails/31.jpg)
Phương trình có nghiệm trong khoảng (a, b) nếu
liên tục trên khoảng (a, b).
Các bước thực hiện:
Vẽ đồ thị của hàm số bằng các phần mềm
như Gnuplot, Mathematica, Matlab…
Dựa trên đồ thị, xác định khoảng (a, b) mà nghiệm nằm trong khoảng đó.
Xác định nghiệm gần đúng của phương trình x0.
![Page 32: Ngo Van Thanh, IOP 11/2011nvthanh/cours/comp/Bai_Giang_P2.01.pdf · Cuối cùng ta thu được ma trận chéo, ... Tính tỷ số các phần tử trong cột k Tìm hàng thứ](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022052608/5a9e7cc77f8b9a84178b67d5/html5/thumbnails/32.jpg)
Khoanh vùng nghiệm từ trong ra ngoài
Xét hai điểm bất kỳ
Tính tích
Nếu tích trên thì kết thúc chương trình tính.
Ngược lại, nếu
Nếu thì thay giá trị
Ngược lại: thì thay
Với b là thừa số tùy chọn.
Thực hiện các phép tính trên theo một số vòng lặp xác định.
![Page 33: Ngo Van Thanh, IOP 11/2011nvthanh/cours/comp/Bai_Giang_P2.01.pdf · Cuối cùng ta thu được ma trận chéo, ... Tính tỷ số các phần tử trong cột k Tìm hàng thứ](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022052608/5a9e7cc77f8b9a84178b67d5/html5/thumbnails/33.jpg)
INTEGER, PARAMETER :: NTRY=50
REAL, PARAMETER :: FACTOR=1.6
INTEGER :: j
REAL :: f1,f2
if (x1 == x2) RETURN
f1=func(x1)
f2=func(x2)
succes=.true.
do j=1,NTRY
if ((f1 > 0.0 .and. f2 < 0.0) .or. &
(f1 < 0.0 .and. f2 > 0.0)) RETURN
if (abs(f1) < abs(f2)) then
x1=x1+FACTOR*(x1-x2)
f1=func(x1)
else
x2=x2+FACTOR*(x2-x1)
f2=func(x2)
end if
end do
succes=.false.
![Page 34: Ngo Van Thanh, IOP 11/2011nvthanh/cours/comp/Bai_Giang_P2.01.pdf · Cuối cùng ta thu được ma trận chéo, ... Tính tỷ số các phần tử trong cột k Tìm hàng thứ](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022052608/5a9e7cc77f8b9a84178b67d5/html5/thumbnails/34.jpg)
Khoanh vùng nghiệm từ ngoài vào trong (cho phép khoanh vùng nhiều nghiệm)
Xét hai điểm cho trước
Chia thành n khoảng và trong đó có tối đa là nb nghiệm.
Tính tích
Nếu tích trên đưa ra khoảng nghiệm
Thực hiện các phép tính trên cho n khoảng.
![Page 35: Ngo Van Thanh, IOP 11/2011nvthanh/cours/comp/Bai_Giang_P2.01.pdf · Cuối cùng ta thu được ma trận chéo, ... Tính tỷ số các phần tử trong cột k Tìm hàng thứ](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022052608/5a9e7cc77f8b9a84178b67d5/html5/thumbnails/35.jpg)
nbb=0
x=x1
dx=(x2-x1)/n
fp=fx(x)
do i=1,n !Loop over all intervals
x=x+dx
fc=fx(x)
if(fc*fp.le.0.) then
nbb=nbb+1
xb1(nbb)=x-dx
xb2(nbb)=x
if(nbb.eq.nb)goto 1
endif
fp=fc
enddo
1 continue
nb=nbb
END SUBROUTINE zbrak.
![Page 36: Ngo Van Thanh, IOP 11/2011nvthanh/cours/comp/Bai_Giang_P2.01.pdf · Cuối cùng ta thu được ma trận chéo, ... Tính tỷ số các phần tử trong cột k Tìm hàng thứ](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022052608/5a9e7cc77f8b9a84178b67d5/html5/thumbnails/36.jpg)
Phương pháp phi đạo hàm Phương pháp chia đôi (bisection method).
Tìm nghiệm nhanh hơn phương pháp khoanh vùng nghiệm.
Có độ chính xác cao hơn.
Chỉ tìm được một nghiệm nào đó khoảng (a, b).
Xét khoảng (a, b) mà trong đó phương trình phi tuyến có nghiệm, tức là
Chọn điểm c là điểm giữa của (a, b).
Nếu như f (c) cùng dấu với f (a) thì thay khoảng (a, b) bằng (c, b).
Nếu như f (c) cùng dấu với f (b) thì thay khoảng (a, b) bằng (a, c).
Thực hiện qua trình lặp trên một số bước nào đó, hoặc khoảng chia đôi bé hơn một thừa số cho trước (sai số).
![Page 37: Ngo Van Thanh, IOP 11/2011nvthanh/cours/comp/Bai_Giang_P2.01.pdf · Cuối cùng ta thu được ma trận chéo, ... Tính tỷ số các phần tử trong cột k Tìm hàng thứ](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022052608/5a9e7cc77f8b9a84178b67d5/html5/thumbnails/37.jpg)
fmid=func(x2)
f=func(x1)
if (f*fmid >= 0.0) write(6,*) 'rtbis:root must be bracketed„
if (f < 0.0) then
rtbis=x1
dx=x2-x1
else
rtbis=x2
dx=x1-x2
end if
do j=1,MAXIT !Bisection loop.
dx=dx*0.5
xmid=rtbis+dx
fmid=func(xmid)
if (fmid <= 0.0) rtbis = xmid
if (abs(dx) < xacc .or. fmid == 0.0) RETURN
end do
write(6,*) 'rtbis:too many bisections'
![Page 38: Ngo Van Thanh, IOP 11/2011nvthanh/cours/comp/Bai_Giang_P2.01.pdf · Cuối cùng ta thu được ma trận chéo, ... Tính tỷ số các phần tử trong cột k Tìm hàng thứ](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022052608/5a9e7cc77f8b9a84178b67d5/html5/thumbnails/38.jpg)
Phương pháp cát tuyến (Secant method).
Áp dụng cho các hàm trơn (smooth) ở gần nghiệm.
Tốc độ hội tụ nhanh hơn phương pháp bisection.
Xét khoảng (a, b) mà trong đó phương trình phi tuyến có nghiệm.
Chọn hai điểm ban đầu p0 = a, p1 = b.
Phương trình đường thẳng đi qua (p0, f(p0)) và (p1, f(p1))
Giao điểm với trục hoành tại (p2, 0):
suy ra
Tổng quát:
![Page 39: Ngo Van Thanh, IOP 11/2011nvthanh/cours/comp/Bai_Giang_P2.01.pdf · Cuối cùng ta thu được ma trận chéo, ... Tính tỷ số các phần tử trong cột k Tìm hàng thứ](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022052608/5a9e7cc77f8b9a84178b67d5/html5/thumbnails/39.jpg)
fl=func(x1)
f =func(x2)
if (abs(fl) < abs(f)) then
rtsec=x1
xl=x2
call swap(fl,f)
else
xl=x1
rtsec=x2
end if
do j=1,MAXIT !Secant loop.
dx=(xl-rtsec)*f/(f-fl)
xl=rtsec
fl=f
rtsec=rtsec+dx
f=func(rtsec)
if (abs(dx) < xacc .or. f == 0.0) RETURN ! Convergence.
end do
![Page 40: Ngo Van Thanh, IOP 11/2011nvthanh/cours/comp/Bai_Giang_P2.01.pdf · Cuối cùng ta thu được ma trận chéo, ... Tính tỷ số các phần tử trong cột k Tìm hàng thứ](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022052608/5a9e7cc77f8b9a84178b67d5/html5/thumbnails/40.jpg)
Phương pháp đạo hàm (Methods with derivatives) Phương pháp lặp Newton (Newton iterative method).
Khai triển chuỗi Taylor:
Xét: suy ra
Hệ số góc của phương trình f(x):
Suy ra
Nghiệm của phương trình là khi
![Page 41: Ngo Van Thanh, IOP 11/2011nvthanh/cours/comp/Bai_Giang_P2.01.pdf · Cuối cùng ta thu được ma trận chéo, ... Tính tỷ số các phần tử trong cột k Tìm hàng thứ](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022052608/5a9e7cc77f8b9a84178b67d5/html5/thumbnails/41.jpg)
Nếu hàm số f(x) không tính được đạo hàm bằng giải tích thì phải tính f’ (x) theo phương pháp gần đúng tại mỗi vòng lặp.
![Page 42: Ngo Van Thanh, IOP 11/2011nvthanh/cours/comp/Bai_Giang_P2.01.pdf · Cuối cùng ta thu được ma trận chéo, ... Tính tỷ số các phần tử trong cột k Tìm hàng thứ](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022052608/5a9e7cc77f8b9a84178b67d5/html5/thumbnails/42.jpg)
Thuật toán:
Run_newton(f; f‟; x0;N; tol)
(1) đặt x = x0; n = 0
(2) while n <= N
(3) tính fx f(x)
(4) if (|fx| < tol)
(5) return x
(6) tính fpx f‟(x)
(7) if |fpx| < tol
(8) return x
(9) Gán x = x – fx/fpx
(10) Gán n = n + 1
(11) end while
![Page 43: Ngo Van Thanh, IOP 11/2011nvthanh/cours/comp/Bai_Giang_P2.01.pdf · Cuối cùng ta thu được ma trận chéo, ... Tính tỷ số các phần tử trong cột k Tìm hàng thứ](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022052608/5a9e7cc77f8b9a84178b67d5/html5/thumbnails/43.jpg)
Chương trình:
INTEGER, PARAMETER :: MAXIT=20
INTEGER :: j
REAL :: df,dx,f
rtnewt=0.5*(x1+x2) Initial guess.
do j=1,MAXIT
call funcd(rtnewt,f,df)
dx=f/df
rtnewt=rtnewt-dx
if ((x1-rtnewt)*(rtnewt-x2) < 0.0)&
write(6,*) 'rtnewt:values jumped out of brackets'
if (abs(dx) < xacc) RETURN ! Convergence.
end do
write(6,*) 'rtnewt exceeded maximum iterations'
END FUNCTION rtnewt
![Page 44: Ngo Van Thanh, IOP 11/2011nvthanh/cours/comp/Bai_Giang_P2.01.pdf · Cuối cùng ta thu được ma trận chéo, ... Tính tỷ số các phần tử trong cột k Tìm hàng thứ](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022052608/5a9e7cc77f8b9a84178b67d5/html5/thumbnails/44.jpg)
Một số trường hợp mà phương pháp lặp Newton sẽ tính sai.
Kết hợp bisection và Newton-Raphson. Phương pháp bisection được áp dụng cho trường hợp phương pháp Newton hội tụ chậm hoặc nghiệm tìm được vượt ra ngoài khoảng nghiệm.
![Page 45: Ngo Van Thanh, IOP 11/2011nvthanh/cours/comp/Bai_Giang_P2.01.pdf · Cuối cùng ta thu được ma trận chéo, ... Tính tỷ số các phần tử trong cột k Tìm hàng thứ](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022052608/5a9e7cc77f8b9a84178b67d5/html5/thumbnails/45.jpg)
Chương trình: call funcd(x1,fl,df) call funcd(x2,fh,df) if ((fl > 0.0 .and. fh > 0.0) .or. & (fl < 0.0 .and. fh < 0.0)) & write(6,*)'root must be bracketed in rtsafe' if (fl == 0.0) then rtsafe=x1 RETURN else if (fh == 0.0) then rtsafe=x2 RETURN else if (fl < 0.0) xl=x1 xh=x2 else xh=x1 xl=x2 end if * rtsafe=0.5*(x1+x2) !Initialize the guess for root, dxold=abs(x2-x1) !the “stepsize before last,” dx=dxold !and the last step. call funcd(rtsafe,f,df)
![Page 46: Ngo Van Thanh, IOP 11/2011nvthanh/cours/comp/Bai_Giang_P2.01.pdf · Cuối cùng ta thu được ma trận chéo, ... Tính tỷ số các phần tử trong cột k Tìm hàng thứ](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022052608/5a9e7cc77f8b9a84178b67d5/html5/thumbnails/46.jpg)
Chương trình:
do i=1,ntrial
call usrfun(x,fvec,fjac)
! User subroutine supplies function values at
! x in fvec and Jacobian matrix in fjac.
if (sum(abs(fvec)) <= tolf) RETURN
!Check function convergence.
!Right-hand side of linear equations.
p=-fvec
call ludcmp(fjac,indx,d)
!Solve linear equations using LU decomposition
call lubksb(fjac,indx,p)
!Update solution.
x=x+p
if (sum(abs(p)) <= tolx) RETURN
!Check root convergence.
end do
![Page 47: Ngo Van Thanh, IOP 11/2011nvthanh/cours/comp/Bai_Giang_P2.01.pdf · Cuối cùng ta thu được ma trận chéo, ... Tính tỷ số các phần tử trong cột k Tìm hàng thứ](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022052608/5a9e7cc77f8b9a84178b67d5/html5/thumbnails/47.jpg)
Phương pháp lặp Newton cho hệ các phương trình không tuyến tính
Xét hệ hai phương trình không tuyến tính bất kỳ:
Giao điểm của các đường mức chính là nghiệm của hệ phương trình.
![Page 48: Ngo Van Thanh, IOP 11/2011nvthanh/cours/comp/Bai_Giang_P2.01.pdf · Cuối cùng ta thu được ma trận chéo, ... Tính tỷ số các phần tử trong cột k Tìm hàng thứ](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022052608/5a9e7cc77f8b9a84178b67d5/html5/thumbnails/48.jpg)
Xét hệ N phương trình không tuyến tính
Khai triển chuỗi Taylor cho hệ phương trình trên
Ma trận các đạo hàm riêng chính là ma trận Jacobian
Suy ra:
Bỏ qua số hạng bậc cao, đặt , ta có
Giải phương trình trên để tìm bằng phương pháp phân ly LU. Nghiệm gần
đúng của hệ có dạng:
![Page 49: Ngo Van Thanh, IOP 11/2011nvthanh/cours/comp/Bai_Giang_P2.01.pdf · Cuối cùng ta thu được ma trận chéo, ... Tính tỷ số các phần tử trong cột k Tìm hàng thứ](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022052608/5a9e7cc77f8b9a84178b67d5/html5/thumbnails/49.jpg)
do j=1,MAXIT !Loop over allowed iterations.
if (((rtsafe-xh)*df-f)*((rtsafe-xl)*df-f) > 0.0 .or. &
abs(2.0*f) > abs(dxold*df) ) then
! Bisect if Newton out of range, or not decreasing fast enough.
dxold=dx
dx=0.5*(xh-xl)
rtsafe=xl+dx
if (xl == rtsafe) RETURN !Change in root is negligible.
else !Newton step acceptable. Take it.
dxold=dx
dx=f/df
temp=rtsafe
rtsafe=rtsafe-dx
if (temp == rtsafe) RETURN
end if
if (abs(dx) < xacc) RETURN !Convergence criterion.
call funcd(rtsafe,f,df)
if (f < 0.0) then !Maintain the bracket on the root.
xl=rtsafe
else
xh=rtsafe
end if end do write(6,*) 'rtsafe:exceeded maximum iterations' END FUNCTION rtsafe