Post on 28-Jun-2015
description
M · T · 3Hj. Esti Puspitaningrum, S.T., M.Eng.
BAB 2
gÜtÇáyÉÜÅtá|
0)(8)(40
=+ ∫t
dttiti
0)(30
=∫t
dttv
03sin2'3"4 =−+ tff
xx 2cos3sin6 +
te
47
−
0)('5)("3 =+ xfxf
Domain nyata
(waktu, jarak, dsb),
0)(8
)(4 =+ sIs
sI
0)(3
=tVs
04
234
2
2=
+−+
ssFFs
49
1822
++
+ s
s
s
4
7
+s
0)(5)(32
=+ ssFsFs
Domain s,( + ‒ × ÷ )
InversInvers LaplaceLaplace
TransformasiTransformasi LaplaceLaplace
DUNIA NYATADUNIA NYATADUNIA NYATADUNIA NYATA DUNIA LAPLACEDUNIA LAPLACEDUNIA LAPLACEDUNIA LAPLACE
I N T R OI N T R OI N T R OI N T R O
)(tf )(sFL
)()]([ sFtfL =
Transformasi Laplace Bentuk LaplaceBentuk LaplaceBentuk
nyata
Bentuk
nyata
CONTOH:CONTOH:CONTOH:CONTOH:
t5sin
[ ]=tL 5sin22
5
5
+s ω = 5
Transformasikan ke bentuk Laplace:
ditulis:
)(sF )(tf1−
L
)()]([1
tfsFL =−
Invers Laplace Bentuk LaplaceBentuk LaplaceBentuk
nyata
Bentuk
nyata
CONTOH:CONTOH:CONTOH:CONTOH:
64
82
+s
ω = 8=
+
−
22
1
8
8
sL t8sin
Lakukan invers Laplace pada:
ditulis:
228
8
+=
s
CONTOH APLIKASI LAPLACE 1 (RC): CONTOH APLIKASI LAPLACE 1 (RC): CONTOH APLIKASI LAPLACE 1 (RC): CONTOH APLIKASI LAPLACE 1 (RC):
Dapatkan nilai arus i(t):
0=∑v 0)(1
)(20 =++− ∫ dttiC
tRi
V20
0)(8)(420 =++− ∫ dttiti
iiii(t) = …..??????(t) = …..??????(t) = …..??????(t) = …..??????
Bentuk LaplaceBentuk LaplaceBentuk
nyata
Bentuk
nyata
0)(1
)(20 =++− ∫ dttiC
tRi
0)(8)(420 =++− ∫ dttiti
Dapatkan nilai arus i(t):
0=∑v
V20
s
20− )(4 sI+ 0)(
8=+ sI
s
0)(8
420
=
++− sI
ss
Ubah ke bentuk
+‒×÷ laplace
(domain s)
Bentuk LaplaceBentuk LaplaceBentuk
nyata
Bentuk
nyata
( )2
5)(
+=⇒
ssI
CONTOH APLIKASI LAPLACE 1 (RC): CONTOH APLIKASI LAPLACE 1 (RC): CONTOH APLIKASI LAPLACE 1 (RC): CONTOH APLIKASI LAPLACE 1 (RC):
Dapatkan nilai arus i(t):
( )2
5)(
+=
ssI
te
25
−=)(ti Ampere
Cari bentuk
nyata-nya
Bentuk LaplaceBentuk LaplaceBentuk
nyata
Bentuk
nyata
V20
CONTOH APLIKASI LAPLACE 1 (RC): CONTOH APLIKASI LAPLACE 1 (RC): CONTOH APLIKASI LAPLACE 1 (RC): CONTOH APLIKASI LAPLACE 1 (RC):
α = 2
TransformasiTransformasiTransformasiTransformasi laplacelaplacelaplacelaplace: : : :
mengubah suatu fungsi ke bentuk Laplace yang
lebih mudah disederhanakan.
CONTOH SOAL:CONTOH SOAL:CONTOH SOAL:CONTOH SOAL:
Dapatkan nilai arus i(t):
Bentuk LaplaceBentuk LaplaceBentuk
nyata
Bentuk
nyata
V100
=)(tit
e1.0
20−
Ampere
CONTOH APLIKASI LAPLACE 1 (RC): CONTOH APLIKASI LAPLACE 1 (RC): CONTOH APLIKASI LAPLACE 1 (RC): CONTOH APLIKASI LAPLACE 1 (RC):
Dapatkan nilai arus i(t):
0=∑v 0)(1
)(200
=++− ∫−
tt
dttiC
tRie
Vet−
20
0)(8)(4200
=++− ∫−
tt
dttitie
Bentuk LaplaceBentuk LaplaceBentuk
nyata
Bentuk
nyata
1
20
+−
s)(4 sI+ 0)(
8=+ sI
sα =
)2)(1(
5)(
++=
ss
ssI
CONTOH APLIKASI LAPLACE 2 (RC): CONTOH APLIKASI LAPLACE 2 (RC): CONTOH APLIKASI LAPLACE 2 (RC): CONTOH APLIKASI LAPLACE 2 (RC):
Ubah ke bentuk
+‒×÷ laplace
(domain s)
1
Dapatkan nilai arus i(t):
Vet−
20
Bentuk LaplaceBentuk LaplaceBentuk
nyata
Bentuk
nyata
( )2
10
)1(
5)(
++
+
−=→
sssI
te
−− 5=)(ti Ampere
Cari bentuk
nyata-nya
te
210
−+
CONTOH APLIKASI LAPLACE 2 (RC): CONTOH APLIKASI LAPLACE 2 (RC): CONTOH APLIKASI LAPLACE 2 (RC): CONTOH APLIKASI LAPLACE 2 (RC):
)2)(1(
5)(
++=
ss
ssI
CONTOH SOAL 2:CONTOH SOAL 2:CONTOH SOAL 2:CONTOH SOAL 2:
Dapatkan nilai arus i(t):
Bentuk LaplaceBentuk LaplaceBentuk
nyata
Bentuk
nyata
Vet−
450
=)(ti tt ee 1.010100
−−− Ampere
CONTOH APLIKASI LAPLACE 2 (RC): CONTOH APLIKASI LAPLACE 2 (RC): CONTOH APLIKASI LAPLACE 2 (RC): CONTOH APLIKASI LAPLACE 2 (RC):
Hitung nilai arus di bawah ini, jika saklar
disambungkan pada saat t = 0!
Bentuk LaplaceBentuk LaplaceBentuk
nyata
Bentuk
nyataCONTOH APLIKASI LAPLACE 3 (RL): CONTOH APLIKASI LAPLACE 3 (RL): CONTOH APLIKASI LAPLACE 3 (RL): CONTOH APLIKASI LAPLACE 3 (RL):
0=∑v 0)(
)(20 =++−−
dt
tdiLtRie
t
1
20
+−
s
0)(
5)(1020 =++−−
dt
tditie
t
)2)(1(
4)(
++=
sssI
Vet−
20
)(10 sI+ ( ) 0)0()(5 =−+ IssIα =
= 0 1
Hitung nilai arus di bawah ini, jika saklar
disambungkan pada saat t = 0!
Bentuk LaplaceBentuk LaplaceBentuk
nyata
Bentuk
nyataCONTOH APLIKASI LAPLACE 3 (RL): CONTOH APLIKASI LAPLACE 3 (RL): CONTOH APLIKASI LAPLACE 3 (RL): CONTOH APLIKASI LAPLACE 3 (RL):
)2)(1(
4)(
++=
sssI
Vet−
20
Cari bentuk
nyata-nya
)2(
4
)1(
4)(
+−
+=
sssI
=)(ti Amperete−
4te 2
4−
−
Hitung nilai arus di bawah ini, jika saklar
disambungkan pada saat t = 0!
Bentuk LaplaceBentuk LaplaceBentuk
nyata
Bentuk
nyataCONTOH APLIKASI LAPLACE 3 (RL): CONTOH APLIKASI LAPLACE 3 (RL): CONTOH APLIKASI LAPLACE 3 (RL): CONTOH APLIKASI LAPLACE 3 (RL):
Vet2
60−
CONTOH SOAL 3:CONTOH SOAL 3:CONTOH SOAL 3:CONTOH SOAL 3:
=)(titt ee 5.12
1212−−
+− Ampere
SIMPLIFIKASI LAPLACE PADA RANGKAIANSIMPLIFIKASI LAPLACE PADA RANGKAIANSIMPLIFIKASI LAPLACE PADA RANGKAIANSIMPLIFIKASI LAPLACE PADA RANGKAIAN
Transformasi Laplace dapat digunakan untuk memudahkan penyelesaian berbagai kasus,
dengan cara seperti yang sebelumnya dicontohkan.
Khusus untuk soal rangkaian listrik, transformasi laplace dapat lebih mempermudah lagi,
yaitu dengan mengganti spesifikasi setiap komponen listrik menjadi bentuk laplace
ekuivalen-nya sebelum penyelesaian soal dilakukan:
SIMPLIFIKASI LAPLACE PADA RANGKAIANSIMPLIFIKASI LAPLACE PADA RANGKAIANSIMPLIFIKASI LAPLACE PADA RANGKAIANSIMPLIFIKASI LAPLACE PADA RANGKAIAN
1. Pada Kapasitor
Sehingga impedansiimpedansiimpedansiimpedansi
transfomtransfomtransfomtransfom-nya:
SIMPLIFIKASI LAPLACE PADA RANGKAIANSIMPLIFIKASI LAPLACE PADA RANGKAIANSIMPLIFIKASI LAPLACE PADA RANGKAIANSIMPLIFIKASI LAPLACE PADA RANGKAIAN
2. Pada Induktor
Sehingga impedansiimpedansiimpedansiimpedansi
transfomtransfomtransfomtransfom-nya:
SIMPLIFIKASI LAPLACE PADA RANGKAIANSIMPLIFIKASI LAPLACE PADA RANGKAIANSIMPLIFIKASI LAPLACE PADA RANGKAIANSIMPLIFIKASI LAPLACE PADA RANGKAIAN
3. Pada Resistor
Sehingga impedansiimpedansiimpedansiimpedansi
transfomtransfomtransfomtransfom-nya:
SIMPLIFIKASI LAPLACE PADA RANGKAIANSIMPLIFIKASI LAPLACE PADA RANGKAIANSIMPLIFIKASI LAPLACE PADA RANGKAIANSIMPLIFIKASI LAPLACE PADA RANGKAIAN
CONTOH 1:CONTOH 1:CONTOH 1:CONTOH 1:
Dengan menggunakan transformasi Laplace, cari
nilai tegangan kapasitor pada rangkaian di
samping! (Kapasitor sama sekali tidak dicharge
sebelumnya.)
V20
s
20
s
20− )(4 sI+ 0)(
8=+ sI
s
Dengan menggunakan metode mesh/loop:
( )2
5)(
+=
ssI
)(8
)( sIs
sV =
Jawab:
( )2
58)(
+=
sssV
( )2
2020
+−=
ss
)1(20)(2t
etv−
−= VoltAmpereeti
t25)(
−=
SIMPLIFIKASI LAPLACE PADA RANGKAIANSIMPLIFIKASI LAPLACE PADA RANGKAIANSIMPLIFIKASI LAPLACE PADA RANGKAIANSIMPLIFIKASI LAPLACE PADA RANGKAIAN
CONTOH SOAL 1:CONTOH SOAL 1:CONTOH SOAL 1:CONTOH SOAL 1:
Dengan menggunakan transformasi Laplace, cari nilai tegangan kapasitor
pada rangkaian di bawah! (Kapasitor sama sekali tidak dicharge
sebelumnya.)
=)(tv Volt)1(1003t
e−
−
SIMPLIFIKASI LAPLACE PADA RANGKAIANSIMPLIFIKASI LAPLACE PADA RANGKAIANSIMPLIFIKASI LAPLACE PADA RANGKAIANSIMPLIFIKASI LAPLACE PADA RANGKAIAN
CONTOH 2:CONTOH 2:CONTOH 2:CONTOH 2:Saklar pada rangkaian di samping dibuka pada
saat t = 0s.
Dengan menggunakan transformasi Laplace,
cari nilai tegangan pada resistor ¼Ω (v2 (t))!
(Kapasitor sama sekali tidak dicharge
sebelumnya.)
JawabJawabJawabJawab::::
Dengan metode tegangan node & KCL:
arusarusarusarus masukmasukmasukmasuk = = = = arusarusarusarus keluarkeluarkeluarkeluar
)8(121
10211
s
VVV
s
−+=
41
0
81
221−
=− V
s
VV
( ) ( ) ssVsV 10882 21 =−+
( )21
8
84V
s
sV
+=
Substitusi:
16
102
+=
sV
61
35
+=
s
6
23
5)(
tetv
−= Volt
SIMPLIFIKASI LAPLACE PADA RANGKAIANSIMPLIFIKASI LAPLACE PADA RANGKAIANSIMPLIFIKASI LAPLACE PADA RANGKAIANSIMPLIFIKASI LAPLACE PADA RANGKAIAN
CONTOH SOAL 2:CONTOH SOAL 2:CONTOH SOAL 2:CONTOH SOAL 2:Saklar pada rangkaian di bawah dibuka pada saat t = 0s.
Dengan menggunakan transformasi Laplace, cari nilai tegangan pada resistor ¼Ω (v2 (t))!
(Kapasitor sama sekali tidak dicharge sebelumnya.)
=)(2 tv Volt94
12te −
SIMPLIFIKASI LAPLACE PADA RANGKAIANSIMPLIFIKASI LAPLACE PADA RANGKAIANSIMPLIFIKASI LAPLACE PADA RANGKAIANSIMPLIFIKASI LAPLACE PADA RANGKAIAN
RANGKAIAN RLC SERIRANGKAIAN RLC SERIRANGKAIAN RLC SERIRANGKAIAN RLC SERIRANGKAIAN RLC SERIRANGKAIAN RLC SERIRANGKAIAN RLC SERIRANGKAIAN RLC SERI ImpedansiImpedansiImpedansiImpedansi transfomtransfomtransfomtransfom-nya:
=)(sZ sLsC
1+ R+
)(1
sIRsC
sL
++=
RANGKAIAN RLC PARALELRANGKAIAN RLC PARALELRANGKAIAN RLC PARALELRANGKAIAN RLC PARALELRANGKAIAN RLC PARALELRANGKAIAN RLC PARALELRANGKAIAN RLC PARALELRANGKAIAN RLC PARALEL
Sehingga impedansiimpedansiimpedansiimpedansi
transfomtransfomtransfomtransfom-nya:=
)(
1
sZsC
sLR++
11)(
12
sILCRCss
Cs
++=⇒ )(sV
)()()( sIsZsV =
SIMPLIFIKASI LAPLACE PADA RANGKAIANSIMPLIFIKASI LAPLACE PADA RANGKAIANSIMPLIFIKASI LAPLACE PADA RANGKAIANSIMPLIFIKASI LAPLACE PADA RANGKAIAN
Definisikan fungsi tegangan v(t) pada rangkaian di bawah ini:(Kondisi awal tidak dicharge)
s
2Ls
Cs
1R )(sV
RCsLssZ
1
1
11
)(
1++=
++=→
LCRCss
CssZ
1)(
2
×+×+=
)05.04(1)05.010(
05.02
ss
s
++=
52
202 ss
s
)()()( sIsZsV =
sss
s 2
52
202
⋅++
=
52
402
++=
ss
CONTOH :CONTOH :CONTOH :CONTOH :
SIMPLIFIKASI LAPLACE PADA RANGKAIANSIMPLIFIKASI LAPLACE PADA RANGKAIANSIMPLIFIKASI LAPLACE PADA RANGKAIANSIMPLIFIKASI LAPLACE PADA RANGKAIAN
52
40)(
2++
=ss
sV
++=
−−
22
11
2)1(
220)]([
sLsVL
222)1(
220
++=
s
tes
Lt ω
ωα
ω αsin
)(22
1 −−=
++
Volttetvt
2sin20)(−
=
=ω
=α
2
1
CONTOH :CONTOH :CONTOH :CONTOH :
SIMPLIFIKASI LAPLACE PADA RANGKAIANSIMPLIFIKASI LAPLACE PADA RANGKAIANSIMPLIFIKASI LAPLACE PADA RANGKAIANSIMPLIFIKASI LAPLACE PADA RANGKAIAN
tes
Lt ω
ωα
ω αsin
)(22
1 −−=
++
CONTOH SOAL :CONTOH SOAL :CONTOH SOAL :CONTOH SOAL :
Definisikan fungsi tegangan v(t) pada
rangkaian di bawah ini:(Kondisi awal tidakdicharge)
Volttetvt
4sin16)(2−
=
SIMPLIFIKASI LAPLACE PADA RANGKAIANSIMPLIFIKASI LAPLACE PADA RANGKAIANSIMPLIFIKASI LAPLACE PADA RANGKAIANSIMPLIFIKASI LAPLACE PADA RANGKAIAN
RANGKAIAN DENGAN KOMPONEN (L, C) TELAH TERRANGKAIAN DENGAN KOMPONEN (L, C) TELAH TERRANGKAIAN DENGAN KOMPONEN (L, C) TELAH TERRANGKAIAN DENGAN KOMPONEN (L, C) TELAH TERRANGKAIAN DENGAN KOMPONEN (L, C) TELAH TERRANGKAIAN DENGAN KOMPONEN (L, C) TELAH TERRANGKAIAN DENGAN KOMPONEN (L, C) TELAH TERRANGKAIAN DENGAN KOMPONEN (L, C) TELAH TER--------CHARGING SEBELUMNYACHARGING SEBELUMNYACHARGING SEBELUMNYACHARGING SEBELUMNYACHARGING SEBELUMNYACHARGING SEBELUMNYACHARGING SEBELUMNYACHARGING SEBELUMNYA
Kapasitor:
Induktor:
CARA CEPAT MENGHITUNG SPLITCARA CEPAT MENGHITUNG SPLITCARA CEPAT MENGHITUNG SPLITCARA CEPAT MENGHITUNG SPLITCARA CEPAT MENGHITUNG SPLITCARA CEPAT MENGHITUNG SPLITCARA CEPAT MENGHITUNG SPLITCARA CEPAT MENGHITUNG SPLIT
Contoh:
Variabel s harus berbentuk
single (1s, tidak boleh 2s)
CARA CEPAT MENGHITUNG SPLITCARA CEPAT MENGHITUNG SPLITCARA CEPAT MENGHITUNG SPLITCARA CEPAT MENGHITUNG SPLITCARA CEPAT MENGHITUNG SPLITCARA CEPAT MENGHITUNG SPLITCARA CEPAT MENGHITUNG SPLITCARA CEPAT MENGHITUNG SPLIT
Contoh Soal:
=−+
−
)3)(2(
29.
ss
sa
=−−
−
)93)(2(
153.
ss
sb
=−+ )24)(1(
12.
ssc
3
5
2
4
−+
+ ss
3
2
2
3
−−
− ss
2
2
1
2
−−
+ ss
=−+
−
6
13.
2ss
sd
2
1
3
2
−+
+ ss
Variabel s harus berbentuk
single (1s, tidak boleh 2s)
3)2(
13
−=
−
−=
ss
sA
)3( +s)3( +s
SPLITSPLITSPLITSPLITSPLITSPLITSPLITSPLIT
=−+
−
)2)(3(
13
ss
s
23 −+
+ s
B
s
A
3)2(
13
−=
−
−=
ss
sAdimana
Mengapa?PerhatikanPerhatikanPerhatikanPerhatikan::::Kalikan kedua ruas dengan (s + 3), supaya A bebas dari (s + 3):
=−+
−
)2)(3(
13
ss
s
3+s
A
s = sembarang bilangan.
Jika dimasukkan s = ‒3,
membuat s + 3 = 0, maka
bagian B menjadi nol,
menyisakan hanya A, sehingga
dapat dicari nilai A-nya.
=−
−
)2(
13
s
s)3(
2+
−+ s
s
BA
=0
2−+
s
B)3( +s
=0
)23(
1)3(3
−−
−−= 2=
Dgn cara yg sama tapi langsung:)32(
1)2(3
+
−=
2)3(
13
=
+
−=
ss
sB 1=
SPLIT SPLIT SPLIT SPLIT SPLIT SPLIT SPLIT SPLIT –––––––– Level 2: Level 2: Level 2: Level 2: Level 2: Level 2: Level 2: Level 2: PenyebutPenyebutPenyebutPenyebutPenyebutPenyebutPenyebutPenyebut berpangkatberpangkatberpangkatberpangkatberpangkatberpangkatberpangkatberpangkat
)52)(2)(1(
)3(1002
++++
+
ssss
s
)52()2()1(2
++
++
++
+=
ss
DCs
s
B
s
A
=A1
2)52)(2(
)3(100
−=
+++
+
ssss
s
)5)1(2)1)((21(
)31(1002
+−+−+−
+−= 50=
=B2
2)52)(1(
)3(100
−=
+++
+
ssss
s
)5)2(2)2)((22(
)32(1002
+−+−+−
+−= 20−=
)52)(2)(1(
)3(1002
++++
+
ssss
s
)52()2(
20
)1(
502
++
++
+−
+=
ss
DCs
ss
Karena penyebut
berpangkat 2
)52)(2)(1(
)3(1002
++++
+
ssss
s
)52()2(
20
)1(
502
++
++
+−
+=
ss
DCs
ss
s = sembarang bilangan.
Jika dimasukkan s = 0, C menjadi hilang dan D dapat dicari nilainya:
)5020)(20)(10(
)30(1002
+⋅+++
+
)5020(
0
)20(
20
)10(
502
+⋅+
+⋅+
+−
+=
DC
305
1050D
+−= =D 50−
Sekarang masukkan nilai s sembarang untuk mendapatkan nilai C:
Untuk memudahkan perhitungan masukkan nilai s misal s = 1:
)5121)(21)(11(
)31(1002
+⋅+++
+
)5121(
501
)21(
20
)11(
502
+⋅+
−⋅+
+−
+=
C
3
25
8
50
3
2025
−+−=
C =C 30−
SPLIT SPLIT SPLIT SPLIT SPLIT SPLIT SPLIT SPLIT –––––––– Level 2: Level 2: Level 2: Level 2: Level 2: Level 2: Level 2: Level 2: PenyebutPenyebutPenyebutPenyebutPenyebutPenyebutPenyebutPenyebut berpangkatberpangkatberpangkatberpangkatberpangkatberpangkatberpangkatberpangkat
=++++
+
)52)(2)(1(
)3(1002 ssss
s
Invers Laplace-nya:
++
+−
+−
+
−
)52(
5030
)2(
20
)1(
502
1
ss
s
ssL
++
+−−=
−−−
)52(
50302050
2
12
ss
sLee
tt
+++
++
+−−=
−−−
2222
12
2)1(
210
2)1(
)1(302050
ss
sLee
tt
fungsi s
fungsi s2
tes
sL
t ωωα
α αcos
)(22
1 −−=
++
+
tes
Lt ω
ωα
ω αsin
)(22
1 −−=
++
teteeetttt
2sin202cos3020502 −−−−
−−−=
SPLIT SPLIT SPLIT SPLIT SPLIT SPLIT SPLIT SPLIT –––––––– Level 2: Level 2: Level 2: Level 2: Level 2: Level 2: Level 2: Level 2: PenyebutPenyebutPenyebutPenyebutPenyebutPenyebutPenyebutPenyebut berpangkatberpangkatberpangkatberpangkatberpangkatberpangkatberpangkatberpangkat
)52(
5030
)2(
20
)1(
502
++
+−
+−
+ ss
s
ss
sisanya
teteee tttt3sin79.193cos35.933.2069.29
2224 −−−−+−−
Contoh soal:
Dapatkan INVERS LAPLACE dari:
tes
sL
tω
ωα
α αcos
)(22
1 −−=
++
+te
sL t ω
ωα
ω αsin
)(22
1 −−=
++
Gunakan:
SPLIT SPLIT SPLIT SPLIT SPLIT SPLIT SPLIT SPLIT –––––––– Level 2: Level 2: Level 2: Level 2: Level 2: Level 2: Level 2: Level 2: PenyebutPenyebutPenyebutPenyebutPenyebutPenyebutPenyebutPenyebut berpangkatberpangkatberpangkatberpangkatberpangkatberpangkatberpangkatberpangkat
)134)(2)(4(
40203)(
2++++
+=
ssss
ssV
=)(tv
tes
L α
α
−−=
+
11
134
65.40354.9
2
33.20
4
69.292
++
+−+
+−
+ ss
s
ss
22223)2(
3786.19
3)2(
2354.9
2
33.20
4
69.29
+++
++
+−
+−
+=
ss
s
ss
=)(sV
223)2(
65.40354.92)2(354.9
2
33.20
4
69.29
++
+×++−+
+−
+=
s
s
ss