Mt3 #3 laplace

M · T · 3Hj. Esti Puspitaningrum, S.T., M.Eng.

BAB 2

gÜtÇáyÉÜÅtá|

0)(8)(40

=+ ∫t

dttiti

0)(30

=∫t

dttv

03sin2'3"4 =−+ tff

xx 2cos3sin6 +

te

47

−

0)('5)("3 =+ xfxf

Domain nyata

(waktu, jarak, dsb),

0)(8

)(4 =+ sIs

sI

0)(3

=tVs

04

234

2

2=

+−+

ssFFs

49

1822

++

+ s

s

s

4

7

+s

0)(5)(32

=+ ssFsFs

Domain s,( + ‒ × ÷ )

InversInvers LaplaceLaplace

TransformasiTransformasi LaplaceLaplace

DUNIA NYATADUNIA NYATADUNIA NYATADUNIA NYATA DUNIA LAPLACEDUNIA LAPLACEDUNIA LAPLACEDUNIA LAPLACE

I N T R OI N T R OI N T R OI N T R O

)(tf )(sFL

)()]([ sFtfL =

Transformasi Laplace Bentuk LaplaceBentuk LaplaceBentuk

nyata

Bentuk

nyata

CONTOH:CONTOH:CONTOH:CONTOH:

t5sin

[ ]=tL 5sin22

5

5

+s ω = 5

Transformasikan ke bentuk Laplace:

ditulis:

)(sF )(tf1−

L

)()]([1

tfsFL =−

Invers Laplace Bentuk LaplaceBentuk LaplaceBentuk

nyata

Bentuk

nyata

CONTOH:CONTOH:CONTOH:CONTOH:

64

82

+s

ω = 8=

+

−

22

1

8

8

sL t8sin

Lakukan invers Laplace pada:

ditulis:

228

8

+=

s

CONTOH APLIKASI LAPLACE 1 (RC): CONTOH APLIKASI LAPLACE 1 (RC): CONTOH APLIKASI LAPLACE 1 (RC): CONTOH APLIKASI LAPLACE 1 (RC):

Dapatkan nilai arus i(t):

0=∑v 0)(1

)(20 =++− ∫ dttiC

tRi

V20

0)(8)(420 =++− ∫ dttiti

iiii(t) = …..??????(t) = …..??????(t) = …..??????(t) = …..??????

Bentuk LaplaceBentuk LaplaceBentuk

nyata

Bentuk

nyata

0)(1

)(20 =++− ∫ dttiC

tRi

0)(8)(420 =++− ∫ dttiti


0=∑v

V20

s

20− )(4 sI+ 0)(

8=+ sI

s

0)(8

420

=

++− sI

ss

Ubah ke bentuk

+‒×÷ laplace

(domain s)


nyata

Bentuk

nyata

( )2

5)(

+=⇒

ssI



( )2

5)(

+=

ssI

te

25

−=)(ti Ampere

Cari bentuk

nyata-nya


nyata

Bentuk

nyata

V20


α = 2

TransformasiTransformasiTransformasiTransformasi laplacelaplacelaplacelaplace: : : :

mengubah suatu fungsi ke bentuk Laplace yang

lebih mudah disederhanakan.

CONTOH SOAL:CONTOH SOAL:CONTOH SOAL:CONTOH SOAL:



nyata

Bentuk

nyata

V100

=)(tit

e1.0

20−

Ampere



0=∑v 0)(1

)(200

=++− ∫−

tt

dttiC

tRie

Vet−

20

0)(8)(4200

=++− ∫−

tt

dttitie


nyata

Bentuk

nyata

1

20

+−

s)(4 sI+ 0)(

8=+ sI

sα =

)2)(1(

5)(

++=

ss

ssI


Ubah ke bentuk

+‒×÷ laplace

(domain s)

1


Vet−

20


nyata

Bentuk

nyata

( )2

10

)1(

5)(

++

+

−=→

sssI

te

−− 5=)(ti Ampere

Cari bentuk

nyata-nya

te

210

−+


)2)(1(

5)(

++=

ss

ssI

CONTOH SOAL 2:CONTOH SOAL 2:CONTOH SOAL 2:CONTOH SOAL 2:



nyata

Bentuk

nyata

Vet−

450

=)(ti tt ee 1.010100

−−− Ampere


Hitung nilai arus di bawah ini, jika saklar

disambungkan pada saat t = 0!


nyata

Bentuk

nyataCONTOH APLIKASI LAPLACE 3 (RL): CONTOH APLIKASI LAPLACE 3 (RL): CONTOH APLIKASI LAPLACE 3 (RL): CONTOH APLIKASI LAPLACE 3 (RL):

0=∑v 0)(

)(20 =++−−

dt

tdiLtRie

t

1

20

+−

s

0)(

5)(1020 =++−−

dt

tditie

t

)2)(1(

4)(

++=

sssI

Vet−

20

)(10 sI+ ( ) 0)0()(5 =−+ IssIα =

= 0 1




nyata

Bentuk


)2)(1(

4)(

++=

sssI

Vet−

20

Cari bentuk

nyata-nya

)2(

4

)1(

4)(

+−

+=

sssI

=)(ti Amperete−

4te 2

4−

−




nyata

Bentuk


Vet2

60−


=)(titt ee 5.12

1212−−

+− Ampere

SIMPLIFIKASI LAPLACE PADA RANGKAIANSIMPLIFIKASI LAPLACE PADA RANGKAIANSIMPLIFIKASI LAPLACE PADA RANGKAIANSIMPLIFIKASI LAPLACE PADA RANGKAIAN

Transformasi Laplace dapat digunakan untuk memudahkan penyelesaian berbagai kasus,

dengan cara seperti yang sebelumnya dicontohkan.

Khusus untuk soal rangkaian listrik, transformasi laplace dapat lebih mempermudah lagi,

yaitu dengan mengganti spesifikasi setiap komponen listrik menjadi bentuk laplace

ekuivalen-nya sebelum penyelesaian soal dilakukan:


1. Pada Kapasitor

Sehingga impedansiimpedansiimpedansiimpedansi

transfomtransfomtransfomtransfom-nya:


2. Pada Induktor




3. Pada Resistor




CONTOH 1:CONTOH 1:CONTOH 1:CONTOH 1:

Dengan menggunakan transformasi Laplace, cari

nilai tegangan kapasitor pada rangkaian di

samping! (Kapasitor sama sekali tidak dicharge

sebelumnya.)

V20

s

20

s

20− )(4 sI+ 0)(

8=+ sI

s

Dengan menggunakan metode mesh/loop:

( )2

5)(

+=

ssI

)(8

)( sIs

sV =

Jawab:

( )2

58)(

+=

sssV

( )2

2020

+−=

ss

)1(20)(2t

etv−

−= VoltAmpereeti

t25)(

−=



Dengan menggunakan transformasi Laplace, cari nilai tegangan kapasitor

pada rangkaian di bawah! (Kapasitor sama sekali tidak dicharge

sebelumnya.)

=)(tv Volt)1(1003t

e−

−


CONTOH 2:CONTOH 2:CONTOH 2:CONTOH 2:Saklar pada rangkaian di samping dibuka pada

saat t = 0s.

Dengan menggunakan transformasi Laplace,

cari nilai tegangan pada resistor ¼Ω (v2 (t))!

(Kapasitor sama sekali tidak dicharge

sebelumnya.)

JawabJawabJawabJawab::::

Dengan metode tegangan node & KCL:

arusarusarusarus masukmasukmasukmasuk = = = = arusarusarusarus keluarkeluarkeluarkeluar

)8(121

10211

s

VVV

s

−+=

41

0

81

221−

=− V

s

VV

( ) ( ) ssVsV 10882 21 =−+

( )21

8

84V

s

sV

+=

Substitusi:

16

102

+=

sV

61

35

+=

s

6

23

5)(

tetv

−= Volt


CONTOH SOAL 2:CONTOH SOAL 2:CONTOH SOAL 2:CONTOH SOAL 2:Saklar pada rangkaian di bawah dibuka pada saat t = 0s.

Dengan menggunakan transformasi Laplace, cari nilai tegangan pada resistor ¼Ω (v2 (t))!

(Kapasitor sama sekali tidak dicharge sebelumnya.)

=)(2 tv Volt94

12te −


RANGKAIAN RLC SERIRANGKAIAN RLC SERIRANGKAIAN RLC SERIRANGKAIAN RLC SERIRANGKAIAN RLC SERIRANGKAIAN RLC SERIRANGKAIAN RLC SERIRANGKAIAN RLC SERI ImpedansiImpedansiImpedansiImpedansi transfomtransfomtransfomtransfom-nya:

=)(sZ sLsC

1+ R+

)(1

sIRsC

sL

++=

RANGKAIAN RLC PARALELRANGKAIAN RLC PARALELRANGKAIAN RLC PARALELRANGKAIAN RLC PARALELRANGKAIAN RLC PARALELRANGKAIAN RLC PARALELRANGKAIAN RLC PARALELRANGKAIAN RLC PARALEL


transfomtransfomtransfomtransfom-nya:=

)(

1

sZsC

sLR++

11)(

12

sILCRCss

Cs

++=⇒ )(sV

)()()( sIsZsV =


Definisikan fungsi tegangan v(t) pada rangkaian di bawah ini:(Kondisi awal tidak dicharge)

s

2Ls

Cs

1R )(sV

RCsLssZ

1

1

11

)(

1++=

++=→

LCRCss

CssZ

1)(

2

×+×+=

)05.04(1)05.010(

05.02

ss

s

++=

52

202 ss

s

)()()( sIsZsV =

sss

s 2

52

202

⋅++

=

52

402

++=

ss

CONTOH :CONTOH :CONTOH :CONTOH :


52

40)(

2++

=ss

sV

++=

−−

22

11

2)1(

220)]([

sLsVL

222)1(

220

++=

s

tes

Lt ω

ωα

ω αsin

)(22

1 −−=

++

Volttetvt

2sin20)(−

=

=ω

=α

2

1

CONTOH :CONTOH :CONTOH :CONTOH :


tes

Lt ω

ωα

ω αsin

)(22

1 −−=

++

CONTOH SOAL :CONTOH SOAL :CONTOH SOAL :CONTOH SOAL :

Definisikan fungsi tegangan v(t) pada

rangkaian di bawah ini:(Kondisi awal tidakdicharge)

Volttetvt

4sin16)(2−

=


RANGKAIAN DENGAN KOMPONEN (L, C) TELAH TERRANGKAIAN DENGAN KOMPONEN (L, C) TELAH TERRANGKAIAN DENGAN KOMPONEN (L, C) TELAH TERRANGKAIAN DENGAN KOMPONEN (L, C) TELAH TERRANGKAIAN DENGAN KOMPONEN (L, C) TELAH TERRANGKAIAN DENGAN KOMPONEN (L, C) TELAH TERRANGKAIAN DENGAN KOMPONEN (L, C) TELAH TERRANGKAIAN DENGAN KOMPONEN (L, C) TELAH TER--------CHARGING SEBELUMNYACHARGING SEBELUMNYACHARGING SEBELUMNYACHARGING SEBELUMNYACHARGING SEBELUMNYACHARGING SEBELUMNYACHARGING SEBELUMNYACHARGING SEBELUMNYA

Kapasitor:

Induktor:

CARA CEPAT MENGHITUNG SPLITCARA CEPAT MENGHITUNG SPLITCARA CEPAT MENGHITUNG SPLITCARA CEPAT MENGHITUNG SPLITCARA CEPAT MENGHITUNG SPLITCARA CEPAT MENGHITUNG SPLITCARA CEPAT MENGHITUNG SPLITCARA CEPAT MENGHITUNG SPLIT

Contoh:

Variabel s harus berbentuk

single (1s, tidak boleh 2s)

CARA CEPAT MENGHITUNG SPLITCARA CEPAT MENGHITUNG SPLITCARA CEPAT MENGHITUNG SPLITCARA CEPAT MENGHITUNG SPLITCARA CEPAT MENGHITUNG SPLITCARA CEPAT MENGHITUNG SPLITCARA CEPAT MENGHITUNG SPLITCARA CEPAT MENGHITUNG SPLIT

Contoh Soal:

=−+

−

)3)(2(

29.

ss

sa

=−−

−

)93)(2(

153.

ss

sb

=−+ )24)(1(

12.

ssc

3

5

2

4

−+

+ ss

3

2

2

3

−−

− ss

2

2

1

2

−−

+ ss

=−+

−

6

13.

2ss

sd

2

1

3

2

−+

+ ss

Variabel s harus berbentuk

single (1s, tidak boleh 2s)

3)2(

13

−=

−

−=

ss

sA

)3( +s)3( +s

SPLITSPLITSPLITSPLITSPLITSPLITSPLITSPLIT

=−+

−

)2)(3(

13

ss

s

23 −+

+ s

B

s

A

3)2(

13

−=

−

−=

ss

sAdimana

Mengapa?PerhatikanPerhatikanPerhatikanPerhatikan::::Kalikan kedua ruas dengan (s + 3), supaya A bebas dari (s + 3):

=−+

−

)2)(3(

13

ss

s

3+s

A

s = sembarang bilangan.

Jika dimasukkan s = ‒3,

membuat s + 3 = 0, maka

bagian B menjadi nol,

menyisakan hanya A, sehingga

dapat dicari nilai A-nya.

=−

−

)2(

13

s

s)3(

2+

−+ s

s

BA

=0

2−+

s

B)3( +s

=0

)23(

1)3(3

−−

−−= 2=

Dgn cara yg sama tapi langsung:)32(

1)2(3

+

−=

2)3(

13

=

+

−=

ss

sB 1=

SPLIT SPLIT SPLIT SPLIT SPLIT SPLIT SPLIT SPLIT –––––––– Level 2: Level 2: Level 2: Level 2: Level 2: Level 2: Level 2: Level 2: PenyebutPenyebutPenyebutPenyebutPenyebutPenyebutPenyebutPenyebut berpangkatberpangkatberpangkatberpangkatberpangkatberpangkatberpangkatberpangkat

)52)(2)(1(

)3(1002

++++

+

ssss

s

)52()2()1(2

++

++

++

+=

ss

DCs

s

B

s

A

=A1

2)52)(2(

)3(100

−=

+++

+

ssss

s

)5)1(2)1)((21(

)31(1002

+−+−+−

+−= 50=

=B2

2)52)(1(

)3(100

−=

+++

+

ssss

s

)5)2(2)2)((22(

)32(1002

+−+−+−

+−= 20−=

)52)(2)(1(

)3(1002

++++

+

ssss

s

)52()2(

20

)1(

502

++

++

+−

+=

ss

DCs

ss

Karena penyebut

berpangkat 2

)52)(2)(1(

)3(1002

++++

+

ssss

s

)52()2(

20

)1(

502

++

++

+−

+=

ss

DCs

ss

s = sembarang bilangan.

Jika dimasukkan s = 0, C menjadi hilang dan D dapat dicari nilainya:

)5020)(20)(10(

)30(1002

+⋅+++

+

)5020(

0

)20(

20

)10(

502

+⋅+

+⋅+

+−

+=

DC

305

1050D

+−= =D 50−

Sekarang masukkan nilai s sembarang untuk mendapatkan nilai C:

Untuk memudahkan perhitungan masukkan nilai s misal s = 1:

)5121)(21)(11(

)31(1002

+⋅+++

+

)5121(

501

)21(

20

)11(

502

+⋅+

−⋅+

+−

+=

C

3

25

8

50

3

2025

−+−=

C =C 30−


=++++

+

)52)(2)(1(

)3(1002 ssss

s

Invers Laplace-nya:

++

+−

+−

+

−

)52(

5030

)2(

20

)1(

502

1

ss

s

ssL

++

+−−=

−−−

)52(

50302050

2

12

ss

sLee

tt

+++

++

+−−=

−−−

2222

12

2)1(

210

2)1(

)1(302050

ss

sLee

tt

fungsi s

fungsi s2

tes

sL

t ωωα

α αcos

)(22

1 −−=

++

+

tes

Lt ω

ωα

ω αsin

)(22

1 −−=

++

teteeetttt

2sin202cos3020502 −−−−

−−−=


)52(

5030

)2(

20

)1(

502

++

+−

+−

+ ss

s

ss

sisanya

teteee tttt3sin79.193cos35.933.2069.29

2224 −−−−+−−

Contoh soal:

Dapatkan INVERS LAPLACE dari:

tes

sL

tω

ωα

α αcos

)(22

1 −−=

++

+te

sL t ω

ωα

ω αsin

)(22

1 −−=

++

Gunakan:


)134)(2)(4(

40203)(

2++++

+=

ssss

ssV

=)(tv

tes

L α

α

−−=

+

11

134

65.40354.9

2

33.20

4

69.292

++

+−+

+−

+ ss

s

ss

22223)2(

3786.19

3)2(

2354.9

2

33.20

4

69.29

+++

++

+−

+−

+=

ss

s

ss

=)(sV

223)2(

65.40354.92)2(354.9

2

33.20

4

69.29

++

+×++−+

+−

+=

s

s

ss

Mt3 #3 laplace

Education

Transcript of Mt3 #3 laplace