MA3231 Analisis Real

Hendra Gunawan*

*http://hgunawan82.wordpress.com

Analysis and Geometry GroupBandung Institute of Technology

Bandung, INDONESIA

Program Studi S1 Matematika ITB, Semester II 2016/2017

HG* (*ITB Bandung) MA3231 Analisis Real 27 February 2017 1 / 22

BAB 9. TURUNAN

1 9.1 Turunan Fungsi di Suatu Titik

2 9.2 Sifat-sifat Dasar Turunan

3 9.3 Turunan Tingkat Tinggi

HG* (*ITB Bandung) MA3231 Analisis Real 27 February 2017 2 / 22

BAB 9. TURUNAN

1 9.1 Turunan Fungsi di Suatu Titik

2 9.2 Sifat-sifat Dasar Turunan

3 9.3 Turunan Tingkat Tinggi

HG* (*ITB Bandung) MA3231 Analisis Real 27 February 2017 2 / 22

BAB 9. TURUNAN

1 9.1 Turunan Fungsi di Suatu Titik

2 9.2 Sifat-sifat Dasar Turunan

3 9.3 Turunan Tingkat Tinggi

HG* (*ITB Bandung) MA3231 Analisis Real 27 February 2017 2 / 22

9.1 Turunan Fungsi di Suatu Titik

Diberikan sebuah fungsi, kita seringkali perlu mempelajari bagaimananilai fungsi itu berubah terhadap peubahnya. Sebagai contoh, jikaf = f(t) menyatakan posisi suatu benda yang berubah terhadapwaktu t, kita ingin mengetahui seberapa cepat f berubah pada saat ttertentu. Permasalahan ini merupakan permasalahan limit yang khas,yang dikenal sebagai turunan.

HG* (*ITB Bandung) MA3231 Analisis Real 27 February 2017 3 / 22

9.1 Turunan Fungsi di Suatu Titik

Misalkan f terdefinisi pada suatu interval terbuka I yang memuattitik c. Fungsi f dikatakan mempunyai turunan di c apabila limit

limx→c

f(x)− f(c)x− c

ada. Nilai limit tersebut kemudian disebut turunan dari f di c, yangdilambangkan dengan f ′(c) atau Df(c).

Jadi, untuk fungsi f yang mempunyai turunan di c, kita mempunyai

f ′(c) = limx→c

f(x)− f(c)x− c

.

Dengan mengganti x dengan c+ h, kita peroleh

f ′(c) = limh→0

f(c+ h)− f(c)h

.

HG* (*ITB Bandung) MA3231 Analisis Real 27 February 2017 4 / 22

9.1 Turunan Fungsi di Suatu Titik

Catatan: f mempunyai turunan di c jika dan hanya jika terdapatbilangan L = f ′(c) sedemikian sehingga

f(c+ h)− f(c)− Lh = ε(h)

dengan ε(h)h→ 0 untuk h→ 0.

Secara geometris, fungsi f mempunyai turunan di titik c berartibahwa grafik fungsi y = f(x) mempunyai garis singgung di titik(c, f(c)) dan gradien garis singgung tersebut adalah f ′(c).

HG* (*ITB Bandung) MA3231 Analisis Real 27 February 2017 5 / 22

9.1 Turunan Fungsi di Suatu Titik

Persamaan garis singgung pada grafik fungsi y = f(x) di titik(c, f(c)) dalam hal ini adalah

y = f(c) + f ′(c)(x− c).

Persamaan ini merupakan hampiran linear untuk y = f(x). Jika xberubah dari c ke c+ h, maka y akan bertambah kira-kira sebesarhf ′(c). Jadi, dengan mengetahui f ′, kita mengetahui bagaimana fberubah (bila x berubah).

Catatan: Masalah menentukan persamaan garis singgung pada kurvadi titik tertentu pertama kali dipelajari oleh Rene Descartes pada1620-an. Namun, kalkulus diferensial dan integral yang kita kenalsekarang ini ‘ditemukan’ oleh Isaac Newton pada 1665 (dipublikasikanpada 1704) dan Gottfried Wilhelm von Leibniz pada 1684.

HG* (*ITB Bandung) MA3231 Analisis Real 27 February 2017 6 / 22

9.1 Turunan Fungsi di Suatu Titik

Gambar 9.1 Grafik fungsi f yang mempunyai turunan di titik c

HG* (*ITB Bandung) MA3231 Analisis Real 27 February 2017 7 / 22

9.1 Turunan Fungsi di Suatu Titik

Contoh 1. Misalkan f(x) = x2 dan c = 1. Untuk memeriksa apakahf mempunyai turunan di 1, kita hitung

limx→1

f(x)− f(1)x− 1

= limx→1

x2 − 1

x− 1= lim

x→1(x+ 1) = 2.

Jadi f mempunyai turunan di 1, dengan f ′(1) = 2.

Secara umum dapat ditunjukkan bahwa f(x) = x2 mempunyaiturunan di setiap titik c ∈ R, dengan f ′(c) = 2c.

Fungsi f ′ : c 7→ 2c disebut sebagai turunan dari f .

HG* (*ITB Bandung) MA3231 Analisis Real 27 February 2017 8 / 22

9.1 Turunan Fungsi di Suatu Titik

Contoh 2. Misalkan f(x) = |x| dan c = 0. Perhatikan bahwa

limh→0

f(h)− f(0)h

= limh→0

|h|h

tidak ada (mengapa?). Karena itu, f tidak mempunyai turunan di 0.

Proposisi 3. Misalkan f terdefinisi pada suatu interval terbuka Iyang memuat titik c. Jika f mempunyai turunan di c, maka fkontinu di c.

Bukti. [Diberikan di papan tulis.]

HG* (*ITB Bandung) MA3231 Analisis Real 27 February 2017 9 / 22

9.1 Turunan Fungsi di Suatu Titik

Catatan: Kontraposisi dari Proposisi 3 yang menyatakan: jika ftidak kontinu di c, maka f tidak akan mempunyai turunan di c.Kekontinuan f di c merupakan syarat perlu bagi f untuk mempunyaiturunan di c.

Sebagai contoh, fungsi f : [0, 2]→ R yang didefinisikan sebagai

f(x) =

{2x, 0 ≤ x < 1;1, 1 ≤ x ≤ 2,

tidak mungkin mempunyai turunan di 1 karena f tidak kontinu dititik tersebut.

HG* (*ITB Bandung) MA3231 Analisis Real 27 February 2017 10 / 22

9.1 Turunan Fungsi di Suatu Titik

SOAL

1 Diketahui f(x) = x|x|, x ∈ R. Selidiki apakah f mempunyaiturunan di 0.

2 Konstruksi sebuah fungsi f : R→ R yang mempunyai turunanhanya di sebuah titik.

HG* (*ITB Bandung) MA3231 Analisis Real 27 February 2017 11 / 22

9.2 Sifat-sifat Dasar Turunan

Dengan menggunakan definisi turunan dan sifat-sifat limit, kitamempunyai teorema berikut.

Teorema 4. Misalkan f dan g terdefinisi pada suatu interval terbukaI yang memuat titik c. Misalkan λ dan µ bilangan real sembarang.Jika f dan g mempunyai turunan di c, maka λf + µg, fg, dan f/gmempunyai turunan di c, dan

(i) (λf + µg)′(c) = λf ′(c) + µf ′(c);

(ii) (fg)′(c) = f ′(c)g(c) + f(c)g′(c);

(iii)(fg

)′(c) = f ′(c)g(c)−f(c)g′(c)

g2(c)asalkan g(c) 6= 0.

HG* (*ITB Bandung) MA3231 Analisis Real 27 February 2017 12 / 22

9.2 Sifat-sifat Dasar Turunan

Bukti. (i) Latihan.

(ii) Perhatikan bahwa

1h

[f(c+ h)g(c+ h)− f(c)g(c)

]= g(c+ h)

[f(c+h)−f(c)

h

]+ f(c)

[g(c+h)−g(c)

h

]→ g(c)f ′(c) + f(c)g′(c),

untuk h→ 0.

(iii) Latihan.

HG* (*ITB Bandung) MA3231 Analisis Real 27 February 2017 13 / 22

9.2 Sifat-sifat Dasar Turunan

Contoh 5. Misalkan n ∈ N dan f(x) = xn. Maka turunan dari fadalah

f ′(x) = nxn−1.

Fakta ini dapat dibuktikan secara induktif. Untuk n = 1 atauf(x) = x, jelas bahwa f ′(x) = 1. Sekarang misalkan pernyataan diatas benar untuk n = k, yakni jika f(x) = xk, maka f ′(x) = kxk−1.Maka, untuk n = k + 1 atau f(x) = xk+1, kita peroleh

f ′(x) = D(xk.x) = D(xk).x+ xk.D(x) = kxk−1.x+ xk = (k+ 1)xk.

Jadi, menurut Prinsip Induksi Matematika, pernyataan benar untuksetiap n ∈ N.

HG* (*ITB Bandung) MA3231 Analisis Real 27 February 2017 14 / 22

9.2 Sifat-sifat Dasar Turunan

Teorema 6 (Aturan Rantai). Misalkan g mempunyai turunan di cdan f mempunyai turunan di y = g(c). Maka, f ◦ g mempunyaiturunan di c dan

(f ◦ g)′(c) = f ′(g(c))g′(c).

Bukti. Berdasarkan definisi turunan,

(f ◦ g)′(c) = limx→c

(f ◦ g)(x)− (f ◦ g)(c)x− c

= limx→c

f(g(x))− f(g(c))x− c

.

Bila g(x)− g(c) 6= 0 pada suatu interval terbuka (c− δ, c+ δ), maka

(f ◦ g)′(c) = limx→c

f(g(x))− f(g(c))g(x)− g(c)

· g(x)− g(c)x− c

= f ′(g(c)) · g′(c).

Namun, bila g konstan (misalnya), maka argumentasi di atas gugur.Bagaimana mengatasinya?

HG* (*ITB Bandung) MA3231 Analisis Real 27 February 2017 15 / 22

9.2 Sifat-sifat Dasar Turunan

Untuk mengatasinya, definisikan

h(y) :=

{f(y)−f(g(c))

y−g(c) , y 6= g(c),

f ′(g(c)), y = g(c).

Perhatikan bahwa h kontinu di g(c). Mengingat g kontinu di c, makamenurut Teorema 10 pada Bab 7, h ◦ g kontinu di c.

Akibatnya, kita peroleh

(f ◦ g)′(c) = limx→c

f(g(x))− f(g(c))x− c

= limx→c

h(g(x)) · g(x)− g(c)x− c

= f ′(g(c)) · g′(c),

sebagaimana yang kita harapkan.

HG* (*ITB Bandung) MA3231 Analisis Real 27 February 2017 16 / 22

9.2 Sifat-sifat Dasar Turunan

SOAL

1 Buktikan bahwa untuk bilangan rasional r sembarang berlaku

D(xr) = rxr−1

asalkan x > 0.

2 Misalkan f : R→ R mempunyai turunan di x. Buktikan jika fmempunyai invers f−1 : R→ R dan f−1 mempunyai turunan diy = f(x), maka

Df−1(y) =1

Df(x).

HG* (*ITB Bandung) MA3231 Analisis Real 27 February 2017 17 / 22

9.3 Turunan Tingkat Tinggi

Jika f mempunyai turunan di setiap titik dalam suatu intervalterbuka I, maka kita katakan f mempunyai turunan pada I.

Dalam hal ini turunan dari f , yaitu f ′, merupakan fungsi yang jugaterdefinisi pada I.

Selanjutnya kita dapat mendefinisikan turunan kedua dari f sebagaiturunan dari f ′, yang nilainya di c adalah

f ′′(c) = limx→c

f ′(x)− f ′(c)x− c

,

asalkan limit ini ada.

HG* (*ITB Bandung) MA3231 Analisis Real 27 February 2017 18 / 22

9.3 Turunan Tingkat Tinggi

Dapat diperiksa bahwa bila f mempunyai turunan kedua di c, maka

f(c+ h)− f(c)− hf ′(c)− h2

2f ′′(c) = ε(h),

dengan ε(h)h2→ 0 untuk h→ 0.

Dengan mengetahui f ′′, kita dapat mengetahui bagaimana f ′

berubah.

Secara geometris, turunan kedua dari f berkaitan dengankecekungan grafik fungsi f .

Jika f ′′ bernilai positif pada suatu interval, maka f ′ membesarsehingga grafik fungsi f cekung ke atas pada interval tersebut.

Jika f ′′ bernilai negatif pada suatu interval, maka f ′ mengecilsehingga grafik fungsi f cekung ke bawah pada interval tersebut.

HG* (*ITB Bandung) MA3231 Analisis Real 27 February 2017 19 / 22

9.3 Turunan Tingkat Tinggi

Setelah menghitung turunan pertama dan kedua dari f , turunanketiga dan seterusnya dapat didefinisikan secara serupa.

Secara umum, f (n)(x) menyatakan turunan ke-n, n ∈ N, dari f .

Contoh 7. Jika f(x) = 1x

, maka

f ′(x) = − 1

x2;

f ′′(x) =2

x3;

f ′′′(x) = − 6

x4;

dan seterusnya. (Dapatkah anda menentukan rumus umum f (n)(x)untuk n ∈ N?)

HG* (*ITB Bandung) MA3231 Analisis Real 27 February 2017 20 / 22

9.3 Turunan Tingkat Tinggi

Bila f mempunyai turunan ke-n pada suatu interval yang memuattitik c, maka f dapat dihampiri oleh suatu polinom berderajat n− 1dan kesalahannya dapat ditaksir dengan turunan ke-n. Lihat TeoremaTaylor pada bab berikutnya.

HG* (*ITB Bandung) MA3231 Analisis Real 27 February 2017 21 / 22

9.3 Turunan Tingkat Tinggi

SOAL

1 Menggunakan Teorema Nilai Rata-rata, dapat ditunjukkan jika fmempunyai turunan kedua di c, maka

f ′′(c) = limh→0

f(c+ h)− 2f(c) + f(c− h)h2

.

Berikan sebuah contoh fungsi yang tidak mempunyai turunankedua di suatu titik namun limit di atas ada.

2 Misalkan p(x) adalah polinom berderajat n. Buktikan bahwap(m)(x) = 0 untuk m > n.

HG* (*ITB Bandung) MA3231 Analisis Real 27 February 2017 22 / 22