เรอง ลมตและความตอเนองของฟงกชน

รายวชาคณตศาสตร

จดท าโดย นายนรนทรโชต บณยนนทสร

กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร โรงเรยนหนองแวงวทยาคม อ าเภอศขรภม จงหวดสรนทร

ส านกงานเขตพนทการศกษามธยมศกษา เขต 33

ค าน า บทเรยนส าเรจรปชดลมตและความตอเนองของฟงกชนชดน ไดจดท าขนเพอใชเปนสอการเรยนการสอนซอมเสรมประกอบการแกไขปญหาการเรยนรเกยวลมตและความตอเนองของฟงกชนของนกเรยนชนมธยมศกษาปท 6 บทเรยนส าเรจรปชดนมเนอหาและวธการเรยนรทเปนระบบ โดยเรยนรจากงายไปยาก นกเรยนจะคนพบความรดวยตนเอง และเกดทกษะในการแกปญหาไดอยางถกตอง และมประสทธภาพ บทเรยนส าเรจรปชดน มทงหมด 2 กรอบ มเนอหาครอบตามหลกสตรตามกลมสาระการเรยนรคณตศาสตร ชนมธยมศกษาปท 6 ผจดท าหวงเปนอยางยงวา บทเรยนส าเรจรปชดลมตและความตอเนองของฟงกชน จะเปนประโยชนตอการเรยนวชาคณตศาสตร ชวยแบงเบาภาระครผสอน สามารถใชเปนเครองน าทางใหนกเรยนไดประสบผลส าเรจ มทกษะการเรยนรในเรองของลมตและความตอเนองของฟงกชนอยางมคณภาพ หากมขอผดพลาดประการใด ตองกราบขออภยมา ณ ทนดวย

สารบญ

หนา ค าน า ก สารบญ ข ค าชแจง 1 ค าแนะน าส าหรบคร 2 ค าแนะน าส าหรบนกเรยน 3 แบบทดสอบกอนเรยน 4 ลมตและความตอเนองของฟงกชน กรอบท 1 ลมตของฟงกชน 7 กรอบท 2 ความตอเนองของฟงกชน 16 แบบทดสอบหลงเรยน 20 บรรณานกรม 22

ค าชแจง บทเรยนส าเรจรปชดลมตและความตอเนองของฟงกชนเลมน จดท าขนเพอใชเปนสอการเรยนการสอนซอมเสรมประกอบการแกไขปญหาการเรยนรเกยวลมตและความตอเนองของฟงกชนของนกเรยนชนมธยมศกษาปท 6 ซงบทเรยนส าเรจรปทจดท าขนนไดก าหนดเนอหาและวตถประสงคตามหลกสตรกลมสาระการเรยนรคณตศาสตร ผเรยนสามารถศกษาเนอหา และประเมนผลการเรยนรไดดวยตนเอง ตามขนตอนทก าหนดไว ซงมการเสรมแรงแกผเรยนเปนระยะๆ โดยการเฉลยค าตอบใหทนท เนอหาการเรยนรแบงเปนตอนยอยๆ เสนอเนอหาทละนอย มค าถามใหผเรยนคดท ากจกรรมหรอตอบแลวเฉลยค าตอบใหทนท ผเรยนจะสามารถรบรไดดวยตนเองตามความสามารถแตละบคคล

ค าแนะน าส าหรบคร

1. ครควรศกษาเนอหา และจดประสงคของหลกสตรกลมสาระการเรยนรคณตศาสตร เรองลมตและความตอเนองของฟงกชน ใหละเอยดครบถวน

2. ครแนะน าใหนกเรยนศกษาเนอหาของบทเรยนส าเรจรปดวยตนเอง และท าแบบทดสอบกอนเรยนและหลงเรยน

3. บทเรยนส าเรจรปเลมน ครสามารถน าไปใชสอนซอมเสรมกบ 3.1 นกเรยนทเรยนรชา 3.2 นกเรยนทเรยนชา กรณหยดเรยน หรอยายมาเรยนใหมระหวางภาคเรยน 3.3 ใชสอนเสรมกบนกเรยนทตองการคนควาหาความรเพมเตมจากบทเรยน

ค าแนะน าส าหรบนกเรยน

1. บทเรยนส าเรจรปชดลมตและความตอเนองของฟงกชนเลมน นกเรยนสามารถเรยนดวยตนเองตามความสามารถ มกจกรรมใหนกเรยนท า มทงค าอธบาย ตวอยาง แบบฝกหด และค าตอบ พรอมทงบทสรป

2. นกเรยนควรท าความเขาใจกอนวา บทเรยนส าเรจรปนไมใชการทดสอบ แตมงใหนกเรยนเรยนรดวยตนเองตามความสามารถ

3. นกเรยนควรมสมาธ และความซอสตยตอตนเอง ในขณะศกษาบทเรยน และปฏบตกจกรรมไมเปดดเฉลยกอน โดยการเตรยมแถบกระดาษไวส าหรบปดเฉลยค าตอบกอน หากเฉลยค าตอบนนอยในกรอบเดยวกนกบแบบฝกหด จนกวานกเรยนจะท าแบบฝกหดเสรจแลว จงคอยเปดดเฉลยค าตอบ

4. ขอใหนกเรยนท าแบบฝกหดดวยความมนใจ ถาท าไมไดหรอสงสยกพยายามดบทเรยนทผานมา และค าตอบของนกเรยนสามารถตรวจดกบเฉลยค าตอบไดทนทหลกจากนกเรยนท ากจกรรมหรอท าแบบฝกหดเสรจแลว

5. กอนทนกเรยนจะศกษาบทเรยนส าเรจรป ควรท าแบบฝกหด หรอแบบทดสอบกอนเรยน และท าแบบฝกหดหรอแบบทดสอบหลงเรยน เมอนกเรยนศกษาเนอหาจบแลวพรอมตรวจค าตอบกบเฉลย เพอทราบความกาวหนาของนกเรยน

6. เมอนกเรยนไดศกษา และทราบผลความกาวหนาของตนเองแลว ใหเกบเอกสารหรอสงของตาง ๆ ทน ามาใชในการเรยนใหเรยบรอย เพอพรอมทผอนจะน าไปศกษาไดตอไป

แบบทดสอบกอนเรยน ค าชแจง ใหนกเรยนท าเครองหมาย x ในกระดาษค าตอบหนาขอ ก,ข,ค, และ ง ทถกตอง

1. ถา

2,2

2,)(

2

xx

xxxf แลว

)(lim22

xfx

มคาเทาใด

ก. 0 ข. 1 ค. 2 ง. 4

2. ถา

1,2

1,1)(

x

xxxf แลวขอตอไปน

ขอใดไมถกตอง ก. 2)1( f ข. 2)(lim

1

xf

x

ค. 0)(lim1

xfx

ง. )1()(lim1

fxfx

3. 1

34lim

2

2

x

xx

xเทากบเทาใด

ก. –7 ข. –5 ค. –1 ง. 7

4. 2

4lim

2

2

x

x

xเทากบเทาใด

ก. x-2 ข. 0 ค. 2 ง. 4

5. x

x

x

24lim

0

เทากบเทาใด

ก. 4

1

ข. 6

1

ค. 8

1

ง. 10

1

6. 32

9lim

2

2

3

xx

x

xเทากบเทาใด

ก. 0 ข. 1 ค. 2 ง. 3

7. ขอใดกลาวไมถกตอง เมอก าหนด

2,32

2,3)(

xx

xxxf

ก. 6)(lim2

xfx

ข. f เปนฟงกชนตอเนองท x = 2 ค. f เปนฟงกชนตอเนองท x= 3 ง. f เปนฟงกชนทม )(lim

4xf

x

8. f จะตอเนองทจด x = a กตอเมอ 1. f(a) หาคาได 2. )(lim xf

axหาคาได

3. f(a) = )(lim xfax

ก าหนด

1,2

1,)(

2

x

xxxf f ไมตอเนองท

x = 1เนองจากขาดสมบตขอใด ก. 1 ข. 2 ค. 3 ง. ขอ 1,2

เฉลยแบบทดสอบกอนเรยน

1. ง 2. ค 3. ก 4. ง 5. ก 6. ค 7. ข 8. ค

สวสดครบนอง ๆ พตนหอมมเรองมาฝากใหนองชน ม.6 ทกคน พรมาวาตอนนนอง ๆ ก าลงเรยนคณตศาสตร เรอง ลมตและความตอเนองของฟงกชน อยใชไหม ถางนตามพตนหอมมาเลย

ถา a และ L เปนจ านวนจรง โดยท y = f(x) ซงมโดเมนและเรนจเปนสบเซตของจ านวนจรงมคาเขาใกลหรอเทากบ L ในขณะท x มคาเขาใกล a ใด ๆ แลวจะกลาววา f(x) มลมตเทากบ L ในขณะท x เขาใกล a เขยนแทนดวยสญลกษณ Lxf

ax

)(lim

การพจารณาวา x เขาใกล a ใด ๆ จะพจารณา 2 กรณ คอ เมอ x เขาใกล a โดยท x < a ซงจะเรยกวา x เขาใกล a ทางซาย เขยนแทนดวยสญลกษณ xa- และพจารณาเมอ x เขาใกล a โดยท x > a ซงจะเรยกวา x เขาใกล a ทางดานขวา เขยนแทนดวย xa+

กรอบท 1

ลมตของฟงกชน

นอง ๆ ครบ ดงนน ลมตของฟงกชน f(x) เมอ xa จะหาคาไดเมอ 1. )(lim xf

ax หาคาได

2. )(lim xfax

หาคาได

3. )(lim xfax

= )(lim xfax

นอง ๆ ลงดตวอยางนนะครบจะไดเขาใจมากขน ตวอยาง จงพจารณาฟงกชน f(x) = x+5 ขณะท x เขาใกล 2 โดยเตมคา f(x) ลงในตาราง

x < 2 x > 2 x f(x) x f(x)

1.5 6.5 2.5 7.5 1.9 6.9 2.1 7.1

1.95 6.95 2.05 7.05 1.99 6.99 2.01 7.01

1.995 6.995 2.005 7.005 1.999 6.999 2.001 7.001

)(lim

2xf

x = 7

)(lim2

xfx

= 7

)(lim2

xfx

= 7

เปนอยางไรบางครบนอง ๆ คราวนลองท าแบบฝกหดเองบางนะครบ

แบบฝกหด ใหนกเรยนพจารณาฟงกชน f(x) = 2x – 1 ขณะท x เขาใกล 3 โดยเตมคา f(x) ลงในตาราง

x < 3 x > 3 x f(x) x f(x)

2.5 3.5 2.9 3.1

2.95 3.05 2.99 3.01

2.995 3.005 2.999 3.001

)(lim

2xf

x = ……………..

)(lim2

xfx

= ……………..

)(lim2

xfx

= ……………..

เฉลยแบบฝกหด

x < 3 x > 3 x f(x) x f(x)

2.5 4 3.5 6 2.9 4.8 3.1 5.2

2.95 4.9 3.05 5.1 2.99 4.98 3.01 5.02

2.995 4.99 3.005 5.01 2.999 4.998 3.001 5.002

)(lim

3xf

x = 3

)(lim3

xfx

= 3

)(lim3

xfx

= 3

เปนอยางไรบางครบนอง ๆ วธการหาลมตดงกลาวคอนขางทจะยงยากใชไหมละ คราวนพตนหอม มวธการงายกวาเดมโดยการใชทฤษฎบทเกยวกบลมต ชวยในการหาค าตอบ

ทฤษฎบท เมอ a, L และ M เปนจ านวนจรงใด ๆ ถา f และ g เปนฟงกชนทมโดเมนและเรนจเปนสบเซตของเซตของจ านวนจรง โดยท Lxf

ax

)(lim และ Mxg

ax

)(lim

แลว 1. cc

ax

lim เมอ c เปนคาคงตวใด ๆ

2. axax

lim

3.

Inax nn

ax,lim

4. ccLxfcxcfaxax

,)(lim)(lim

เปนคาคงตวใด ๆ

5. MLxgxfxgxfaxaxax

)(lim)(lim)]()([lim

6. MLxgxfxgxfaxaxax

)(lim)(lim)]()([lim

7. MLxgxfxgxfaxaxax

.)(lim).(lim)]().([lim

8. 0,)(lim

)(lim

)(

)(lim

M

M

L

xg

xf

xg

xf

ax

ax

ax

9.

InLxfxf nn

ax

n

ax,)](lim[)]([lim

10. }1{,)(lim)(lim

InLxfxf n

n

ax

n

axและ RLn

ตวอยางท 1 จงหา )42(lim 2

3

xx

x

วธท า โดยทฤษฎบท จะได )42(lim 2

3

xx

x = 4lim2limlim

33

2

3

xxxxx

= 32 + 2( 4)lim3

xx

= 9 + (2)(3) – 4 = 11

ตวอยางท 2 จงหา 8

89lim

2

3

x

xx

x

วธท า โดยทฤษฎบท จะได

8

89lim

2

3

x

xx

x =

)8(lim

)89(lim

3

2

3

x

xx

x

x

= 8limlim

8limlim9lim

33

33

2

3

xx

xxx

x

xx

= 83

8)3)(9(32

= 11

44

= 4

ตวอยางท 3 จงหา 5

25lim

2

5

x

x

x

วธท า เนองจาก 5

252

x

x = )5(

)5)(5(

x

xx

= 5x

ดงนน 5

25lim

2

5

x

x

x = )5(lim

5

x

x

= -5 + 5 = 0

ขอสงเกต การหาลมตของฟงกชน f(x) =5

252

x

x ท x = -5 ไมสามารถใชทฤษฎบท โดยตรง

ไดเพราะ จะอยในรป0

0 ดงนนเมอตองการหาลมตของฟงกชน f(x) = 5

252

x

x ท x = -5 จงหาลมต

ของฟงกชน f(x) = x + 5 ท –5 แทน

นองดตวอยางแลวเปนอยางไรกนบาง เพอความเขาใจใหดยงขนนะครบ อยาลมท าแบบฝกหดทดสอบความเขาใจของตนเองนะครบ

ตวอยางท 4 จงหาลมตx

x

x

24lim

0

วธท า จากฟงกชนทก าหนดใหจะเหนวาไมสามารถใชทฤษฎบท หาคาลมตของฟงกชน ไดโดยตรง จงจะจดรปของฟงกชนใหมดงน

เนองจาก x

x 24 = 24

2424

x

x

x

x

= )24(

2)4( 22

xx

x

= )24(

44

xx

x

= 24

1

x เมอ x0

จะได x

x

x

24lim

0

=

24

1lim

0 xx

= 4

1

แบบฝกหดท 2 จงหาคาของลมตตอไปน ถาลมตหาคาได 1. 5lim 2

4

xx

x

2. )92(lim 2

3

xx

x

3. 5

25lim

2

5

x

x

x

4. 16

4lim

24

x

x

x

5. 3

9lim

9

t

t

t

6. x

x

x

395lim

0

เฉลยแบบฝกหดท 2

1. 5 2. 12 3. 10

4. 8

1

5. 6

6. 6

5

กรอบท 2

ความตอเนองของฟงกชน

คราวนพตนหอมจะพานอง ๆ มารจกความตอเนองของฟงกชน นอง ๆ ตามพตนหอมมาเลยครบจะไดรจกลกษณะ และวธการตรวจสอบความตอเนองของ ฟงกชน

บทนยาม ให a เปนจ านวนจรงใด ๆ ฟงกชน f เปนฟงกชน

ตอเนองท x = a เมอฟงกชน f มสมบตตอไปน 1. f(a) หาคาได 2. )(lim xf

ax หาคาได

3. )(lim xfax

= f(a)

ตามพตนหอมมานะครบ ดตรวจอยางการตรวจสอบฟงกชน วาฟงกชนใดมความตอเนองหรอไม

ตวอยางท 5 ก าหนดให f(x) = 3x – 1 จงพจารณาวาฟงกชน f เปนฟงกชนตอเนองท x = 0

หรอไม วธท า จาก f(x) = 3x – 1 จะได f(0) = - 1 และ )(lim

0xf

x = )13(lim

0

x

x

= 3(0) – 1 = -1 นนคอ )(lim

0xf

x= f(0)

ดงนน ฟงกชน f(x) = 3x – 1 เปนฟงกชนตอเนองท x = 0

ตวอยางท 6 ก าหนดให

3,73

3,1)(

xx

xxxf

จงพจารณาวาฟงกชน f เปนฟงกชนตอเนองท x = 3 หรอไม

วธท า จาก

3,73

3,1)(

xx

xxxf

และ x =3 จะได f(x) = x – 1 ดงนน f(3) = 2 การหา )(lim

3xf

xจากบทนยามของลมต ดงนนจะตองหา )(lim

3xf

x

และ )(lim3

xfx

จะได )(lim3

xfx

= )1(lim3

xx

= 2 )(lim

3xf

x = )73(lim

3

x

x

= 2 นนคอ )(lim

3xf

x = f(3)

ดงนน ฟงกชน

3,73

3,1)(

xx

xxxf เปนฟงกชนตอเนองท x = 3

แบบฝกหดท 3

จงพจารณาวาฟงกชนทก าหนดใหตอไปนเปนฟงกชนตอเนอง ณ จดทก าหนดใหหรอไม

1. f(x) = 3x2 – 5 เมอ x = 0

2. f(x) = 9

32

x

x เมอ x = 3

3. f(x) =

0,23

0,3

x

xx เมอ x = 0

4.

4,

167

4,32

)(x

x

xx

xf เมอ x = 4

พตนหอมมแบบฝกหดมาใหนอง ๆ ลองท าเพอทดสอบ ความรความเขาใจของนอง ๆ วามมากแคไหน ตามมาเลยครบ

เฉลยแบบฝกหดท 3

1. ตอเนอง 2. ไมตอเนอง 3. ไมตอเนอง 4. ไมตอเนอง

แบบทดสอบหลงเรยน ค าชแจง ใหนกเรยนท าเครองหมาย x ในกระดาษค าตอบหนาขอ ก,ข,ค, และ ง ทถกตอง

1. ถา

2,2

2,)(

2

xx

xxxf แลว

)(lim22

xfx

มคาเทาใด

ก. 0 ข. 1 ค. 2 ง. 4

2. ถา

1,2

1,1)(

x

xxxf แลวขอตอไปน

ขอใดไมถกตอง ก. 2)1( f ข. 2)(lim

1

xf

x

ค. 0)(lim1

xfx

ง. )1()(lim1

fxfx

3. 1

34lim

2

2

x

xx

xเทากบเทาใด

ก. –7 ข. –5 ค. –1 ง. 7

4. 2

4lim

2

2

x

x

xเทากบเทาใด

ก. x-2 ข. 0 ค. 2 ง. 4

5. x

x

x

24lim

0

เทากบเทาใด

ก. 4

1

ข. 6

1

ค. 8

1

ง. 10

1

6. 32

9lim

2

2

3

xx

x

xเทากบเทาใด

ก. 0 ข. 1 ค. 2 ง. 3

7. ขอใดกลาวไมถกตอง เมอก าหนด

2,32

2,3)(

xx

xxxf

ก. 6)(lim2

xfx

ข. f เปนฟงกชนตอเนองท x = 2 ค. f เปนฟงกชนตอเนองท x= 3 ง. f เปนฟงกชนทม )(lim

4xf

x

8. f จะตอเนองทจด x = a กตอเมอ 1. f(a) หาคาได 2. )(lim xf

axหาคาได

3. f(a) = )(lim xfax

ก าหนด

1,2

1,)(

2

x

xxxf f ไมตอเนองท

x = 1เนองจากขาดสมบตขอใด ก. 1 ข. 2 ค. 3 ง. ขอ 1,2

เฉลยแบบทดสอบหลงเรยน

1. ง 2. ค 3. ก 4. ง 5. ก 6. ค 7. ข 8. ค