Limit
-
Upload
aon-narinchoti -
Category
Documents
-
view
13.538 -
download
6
description
Transcript of Limit
เรอง ลมตและความตอเนองของฟงกชน
รายวชาคณตศาสตร
จดท าโดย นายนรนทรโชต บณยนนทสร
กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร โรงเรยนหนองแวงวทยาคม อ าเภอศขรภม จงหวดสรนทร
ส านกงานเขตพนทการศกษามธยมศกษา เขต 33
ค าน า บทเรยนส าเรจรปชดลมตและความตอเนองของฟงกชนชดน ไดจดท าขนเพอใชเปนสอการเรยนการสอนซอมเสรมประกอบการแกไขปญหาการเรยนรเกยวลมตและความตอเนองของฟงกชนของนกเรยนชนมธยมศกษาปท 6 บทเรยนส าเรจรปชดนมเนอหาและวธการเรยนรทเปนระบบ โดยเรยนรจากงายไปยาก นกเรยนจะคนพบความรดวยตนเอง และเกดทกษะในการแกปญหาไดอยางถกตอง และมประสทธภาพ บทเรยนส าเรจรปชดน มทงหมด 2 กรอบ มเนอหาครอบตามหลกสตรตามกลมสาระการเรยนรคณตศาสตร ชนมธยมศกษาปท 6 ผจดท าหวงเปนอยางยงวา บทเรยนส าเรจรปชดลมตและความตอเนองของฟงกชน จะเปนประโยชนตอการเรยนวชาคณตศาสตร ชวยแบงเบาภาระครผสอน สามารถใชเปนเครองน าทางใหนกเรยนไดประสบผลส าเรจ มทกษะการเรยนรในเรองของลมตและความตอเนองของฟงกชนอยางมคณภาพ หากมขอผดพลาดประการใด ตองกราบขออภยมา ณ ทนดวย
สารบญ
หนา ค าน า ก สารบญ ข ค าชแจง 1 ค าแนะน าส าหรบคร 2 ค าแนะน าส าหรบนกเรยน 3 แบบทดสอบกอนเรยน 4 ลมตและความตอเนองของฟงกชน กรอบท 1 ลมตของฟงกชน 7 กรอบท 2 ความตอเนองของฟงกชน 16 แบบทดสอบหลงเรยน 20 บรรณานกรม 22
ค าชแจง บทเรยนส าเรจรปชดลมตและความตอเนองของฟงกชนเลมน จดท าขนเพอใชเปนสอการเรยนการสอนซอมเสรมประกอบการแกไขปญหาการเรยนรเกยวลมตและความตอเนองของฟงกชนของนกเรยนชนมธยมศกษาปท 6 ซงบทเรยนส าเรจรปทจดท าขนนไดก าหนดเนอหาและวตถประสงคตามหลกสตรกลมสาระการเรยนรคณตศาสตร ผเรยนสามารถศกษาเนอหา และประเมนผลการเรยนรไดดวยตนเอง ตามขนตอนทก าหนดไว ซงมการเสรมแรงแกผเรยนเปนระยะๆ โดยการเฉลยค าตอบใหทนท เนอหาการเรยนรแบงเปนตอนยอยๆ เสนอเนอหาทละนอย มค าถามใหผเรยนคดท ากจกรรมหรอตอบแลวเฉลยค าตอบใหทนท ผเรยนจะสามารถรบรไดดวยตนเองตามความสามารถแตละบคคล
ค าแนะน าส าหรบคร
1. ครควรศกษาเนอหา และจดประสงคของหลกสตรกลมสาระการเรยนรคณตศาสตร เรองลมตและความตอเนองของฟงกชน ใหละเอยดครบถวน
2. ครแนะน าใหนกเรยนศกษาเนอหาของบทเรยนส าเรจรปดวยตนเอง และท าแบบทดสอบกอนเรยนและหลงเรยน
3. บทเรยนส าเรจรปเลมน ครสามารถน าไปใชสอนซอมเสรมกบ 3.1 นกเรยนทเรยนรชา 3.2 นกเรยนทเรยนชา กรณหยดเรยน หรอยายมาเรยนใหมระหวางภาคเรยน 3.3 ใชสอนเสรมกบนกเรยนทตองการคนควาหาความรเพมเตมจากบทเรยน
ค าแนะน าส าหรบนกเรยน
1. บทเรยนส าเรจรปชดลมตและความตอเนองของฟงกชนเลมน นกเรยนสามารถเรยนดวยตนเองตามความสามารถ มกจกรรมใหนกเรยนท า มทงค าอธบาย ตวอยาง แบบฝกหด และค าตอบ พรอมทงบทสรป
2. นกเรยนควรท าความเขาใจกอนวา บทเรยนส าเรจรปนไมใชการทดสอบ แตมงใหนกเรยนเรยนรดวยตนเองตามความสามารถ
3. นกเรยนควรมสมาธ และความซอสตยตอตนเอง ในขณะศกษาบทเรยน และปฏบตกจกรรมไมเปดดเฉลยกอน โดยการเตรยมแถบกระดาษไวส าหรบปดเฉลยค าตอบกอน หากเฉลยค าตอบนนอยในกรอบเดยวกนกบแบบฝกหด จนกวานกเรยนจะท าแบบฝกหดเสรจแลว จงคอยเปดดเฉลยค าตอบ
4. ขอใหนกเรยนท าแบบฝกหดดวยความมนใจ ถาท าไมไดหรอสงสยกพยายามดบทเรยนทผานมา และค าตอบของนกเรยนสามารถตรวจดกบเฉลยค าตอบไดทนทหลกจากนกเรยนท ากจกรรมหรอท าแบบฝกหดเสรจแลว
5. กอนทนกเรยนจะศกษาบทเรยนส าเรจรป ควรท าแบบฝกหด หรอแบบทดสอบกอนเรยน และท าแบบฝกหดหรอแบบทดสอบหลงเรยน เมอนกเรยนศกษาเนอหาจบแลวพรอมตรวจค าตอบกบเฉลย เพอทราบความกาวหนาของนกเรยน
6. เมอนกเรยนไดศกษา และทราบผลความกาวหนาของตนเองแลว ใหเกบเอกสารหรอสงของตาง ๆ ทน ามาใชในการเรยนใหเรยบรอย เพอพรอมทผอนจะน าไปศกษาไดตอไป
แบบทดสอบกอนเรยน ค าชแจง ใหนกเรยนท าเครองหมาย x ในกระดาษค าตอบหนาขอ ก,ข,ค, และ ง ทถกตอง
1. ถา
2,2
2,)(
2
xx
xxxf แลว
)(lim22
xfx
มคาเทาใด
ก. 0 ข. 1 ค. 2 ง. 4
2. ถา
1,2
1,1)(
x
xxxf แลวขอตอไปน
ขอใดไมถกตอง ก. 2)1( f ข. 2)(lim
1
xf
x
ค. 0)(lim1
xfx
ง. )1()(lim1
fxfx
3. 1
34lim
2
2
x
xx
xเทากบเทาใด
ก. –7 ข. –5 ค. –1 ง. 7
4. 2
4lim
2
2
x
x
xเทากบเทาใด
ก. x-2 ข. 0 ค. 2 ง. 4
5. x
x
x
24lim
0
เทากบเทาใด
ก. 4
1
ข. 6
1
ค. 8
1
ง. 10
1
6. 32
9lim
2
2
3
xx
x
xเทากบเทาใด
ก. 0 ข. 1 ค. 2 ง. 3
7. ขอใดกลาวไมถกตอง เมอก าหนด
2,32
2,3)(
xx
xxxf
ก. 6)(lim2
xfx
ข. f เปนฟงกชนตอเนองท x = 2 ค. f เปนฟงกชนตอเนองท x= 3 ง. f เปนฟงกชนทม )(lim
4xf
x
8. f จะตอเนองทจด x = a กตอเมอ 1. f(a) หาคาได 2. )(lim xf
axหาคาได
3. f(a) = )(lim xfax
ก าหนด
1,2
1,)(
2
x
xxxf f ไมตอเนองท
x = 1เนองจากขาดสมบตขอใด ก. 1 ข. 2 ค. 3 ง. ขอ 1,2
เฉลยแบบทดสอบกอนเรยน
1. ง 2. ค 3. ก 4. ง 5. ก 6. ค 7. ข 8. ค
สวสดครบนอง ๆ พตนหอมมเรองมาฝากใหนองชน ม.6 ทกคน พรมาวาตอนนนอง ๆ ก าลงเรยนคณตศาสตร เรอง ลมตและความตอเนองของฟงกชน อยใชไหม ถางนตามพตนหอมมาเลย
ถา a และ L เปนจ านวนจรง โดยท y = f(x) ซงมโดเมนและเรนจเปนสบเซตของจ านวนจรงมคาเขาใกลหรอเทากบ L ในขณะท x มคาเขาใกล a ใด ๆ แลวจะกลาววา f(x) มลมตเทากบ L ในขณะท x เขาใกล a เขยนแทนดวยสญลกษณ Lxf
ax
)(lim
การพจารณาวา x เขาใกล a ใด ๆ จะพจารณา 2 กรณ คอ เมอ x เขาใกล a โดยท x < a ซงจะเรยกวา x เขาใกล a ทางซาย เขยนแทนดวยสญลกษณ xa- และพจารณาเมอ x เขาใกล a โดยท x > a ซงจะเรยกวา x เขาใกล a ทางดานขวา เขยนแทนดวย xa+
กรอบท 1
ลมตของฟงกชน
นอง ๆ ครบ ดงนน ลมตของฟงกชน f(x) เมอ xa จะหาคาไดเมอ 1. )(lim xf
ax หาคาได
2. )(lim xfax
หาคาได
3. )(lim xfax
= )(lim xfax
นอง ๆ ลงดตวอยางนนะครบจะไดเขาใจมากขน ตวอยาง จงพจารณาฟงกชน f(x) = x+5 ขณะท x เขาใกล 2 โดยเตมคา f(x) ลงในตาราง
x < 2 x > 2 x f(x) x f(x)
1.5 6.5 2.5 7.5 1.9 6.9 2.1 7.1
1.95 6.95 2.05 7.05 1.99 6.99 2.01 7.01
1.995 6.995 2.005 7.005 1.999 6.999 2.001 7.001
)(lim
2xf
x = 7
)(lim2
xfx
= 7
)(lim2
xfx
= 7
เปนอยางไรบางครบนอง ๆ คราวนลองท าแบบฝกหดเองบางนะครบ
แบบฝกหด ใหนกเรยนพจารณาฟงกชน f(x) = 2x – 1 ขณะท x เขาใกล 3 โดยเตมคา f(x) ลงในตาราง
x < 3 x > 3 x f(x) x f(x)
2.5 3.5 2.9 3.1
2.95 3.05 2.99 3.01
2.995 3.005 2.999 3.001
)(lim
2xf
x = ……………..
)(lim2
xfx
= ……………..
)(lim2
xfx
= ……………..
เฉลยแบบฝกหด
x < 3 x > 3 x f(x) x f(x)
2.5 4 3.5 6 2.9 4.8 3.1 5.2
2.95 4.9 3.05 5.1 2.99 4.98 3.01 5.02
2.995 4.99 3.005 5.01 2.999 4.998 3.001 5.002
)(lim
3xf
x = 3
)(lim3
xfx
= 3
)(lim3
xfx
= 3
เปนอยางไรบางครบนอง ๆ วธการหาลมตดงกลาวคอนขางทจะยงยากใชไหมละ คราวนพตนหอม มวธการงายกวาเดมโดยการใชทฤษฎบทเกยวกบลมต ชวยในการหาค าตอบ
ทฤษฎบท เมอ a, L และ M เปนจ านวนจรงใด ๆ ถา f และ g เปนฟงกชนทมโดเมนและเรนจเปนสบเซตของเซตของจ านวนจรง โดยท Lxf
ax
)(lim และ Mxg
ax
)(lim
แลว 1. cc
ax
lim เมอ c เปนคาคงตวใด ๆ
2. axax
lim
3.
Inax nn
ax,lim
4. ccLxfcxcfaxax
,)(lim)(lim
เปนคาคงตวใด ๆ
5. MLxgxfxgxfaxaxax
)(lim)(lim)]()([lim
6. MLxgxfxgxfaxaxax
)(lim)(lim)]()([lim
7. MLxgxfxgxfaxaxax
.)(lim).(lim)]().([lim
8. 0,)(lim
)(lim
)(
)(lim
M
M
L
xg
xf
xg
xf
ax
ax
ax
9.
InLxfxf nn
ax
n
ax,)](lim[)]([lim
10. }1{,)(lim)(lim
InLxfxf n
n
ax
n
axและ RLn
ตวอยางท 1 จงหา )42(lim 2
3
xx
x
วธท า โดยทฤษฎบท จะได )42(lim 2
3
xx
x = 4lim2limlim
33
2
3
xxxxx
= 32 + 2( 4)lim3
xx
= 9 + (2)(3) – 4 = 11
ตวอยางท 2 จงหา 8
89lim
2
3
x
xx
x
วธท า โดยทฤษฎบท จะได
8
89lim
2
3
x
xx
x =
)8(lim
)89(lim
3
2
3
x
xx
x
x
= 8limlim
8limlim9lim
33
33
2
3
xx
xxx
x
xx
= 83
8)3)(9(32
= 11
44
= 4
ตวอยางท 3 จงหา 5
25lim
2
5
x
x
x
วธท า เนองจาก 5
252
x
x = )5(
)5)(5(
x
xx
= 5x
ดงนน 5
25lim
2
5
x
x
x = )5(lim
5
x
x
= -5 + 5 = 0
ขอสงเกต การหาลมตของฟงกชน f(x) =5
252
x
x ท x = -5 ไมสามารถใชทฤษฎบท โดยตรง
ไดเพราะ จะอยในรป0
0 ดงนนเมอตองการหาลมตของฟงกชน f(x) = 5
252
x
x ท x = -5 จงหาลมต
ของฟงกชน f(x) = x + 5 ท –5 แทน
นองดตวอยางแลวเปนอยางไรกนบาง เพอความเขาใจใหดยงขนนะครบ อยาลมท าแบบฝกหดทดสอบความเขาใจของตนเองนะครบ
ตวอยางท 4 จงหาลมตx
x
x
24lim
0
วธท า จากฟงกชนทก าหนดใหจะเหนวาไมสามารถใชทฤษฎบท หาคาลมตของฟงกชน ไดโดยตรง จงจะจดรปของฟงกชนใหมดงน
เนองจาก x
x 24 = 24
2424
x
x
x
x
= )24(
2)4( 22
xx
x
= )24(
44
xx
x
= 24
1
x เมอ x0
จะได x
x
x
24lim
0
=
24
1lim
0 xx
= 4
1
แบบฝกหดท 2 จงหาคาของลมตตอไปน ถาลมตหาคาได 1. 5lim 2
4
xx
x
2. )92(lim 2
3
xx
x
3. 5
25lim
2
5
x
x
x
4. 16
4lim
24
x
x
x
5. 3
9lim
9
t
t
t
6. x
x
x
395lim
0
เฉลยแบบฝกหดท 2
1. 5 2. 12 3. 10
4. 8
1
5. 6
6. 6
5
กรอบท 2
ความตอเนองของฟงกชน
คราวนพตนหอมจะพานอง ๆ มารจกความตอเนองของฟงกชน นอง ๆ ตามพตนหอมมาเลยครบจะไดรจกลกษณะ และวธการตรวจสอบความตอเนองของ ฟงกชน
บทนยาม ให a เปนจ านวนจรงใด ๆ ฟงกชน f เปนฟงกชน
ตอเนองท x = a เมอฟงกชน f มสมบตตอไปน 1. f(a) หาคาได 2. )(lim xf
ax หาคาได
3. )(lim xfax
= f(a)
ตามพตนหอมมานะครบ ดตรวจอยางการตรวจสอบฟงกชน วาฟงกชนใดมความตอเนองหรอไม
ตวอยางท 5 ก าหนดให f(x) = 3x – 1 จงพจารณาวาฟงกชน f เปนฟงกชนตอเนองท x = 0
หรอไม วธท า จาก f(x) = 3x – 1 จะได f(0) = - 1 และ )(lim
0xf
x = )13(lim
0
x
x
= 3(0) – 1 = -1 นนคอ )(lim
0xf
x= f(0)
ดงนน ฟงกชน f(x) = 3x – 1 เปนฟงกชนตอเนองท x = 0
ตวอยางท 6 ก าหนดให
3,73
3,1)(
xx
xxxf
จงพจารณาวาฟงกชน f เปนฟงกชนตอเนองท x = 3 หรอไม
วธท า จาก
3,73
3,1)(
xx
xxxf
และ x =3 จะได f(x) = x – 1 ดงนน f(3) = 2 การหา )(lim
3xf
xจากบทนยามของลมต ดงนนจะตองหา )(lim
3xf
x
และ )(lim3
xfx
จะได )(lim3
xfx
= )1(lim3
xx
= 2 )(lim
3xf
x = )73(lim
3
x
x
= 2 นนคอ )(lim
3xf
x = f(3)
ดงนน ฟงกชน
3,73
3,1)(
xx
xxxf เปนฟงกชนตอเนองท x = 3
แบบฝกหดท 3
จงพจารณาวาฟงกชนทก าหนดใหตอไปนเปนฟงกชนตอเนอง ณ จดทก าหนดใหหรอไม
1. f(x) = 3x2 – 5 เมอ x = 0
2. f(x) = 9
32
x
x เมอ x = 3
3. f(x) =
0,23
0,3
x
xx เมอ x = 0
4.
4,
167
4,32
)(x
x
xx
xf เมอ x = 4
พตนหอมมแบบฝกหดมาใหนอง ๆ ลองท าเพอทดสอบ ความรความเขาใจของนอง ๆ วามมากแคไหน ตามมาเลยครบ
เฉลยแบบฝกหดท 3
1. ตอเนอง 2. ไมตอเนอง 3. ไมตอเนอง 4. ไมตอเนอง
แบบทดสอบหลงเรยน ค าชแจง ใหนกเรยนท าเครองหมาย x ในกระดาษค าตอบหนาขอ ก,ข,ค, และ ง ทถกตอง
1. ถา
2,2
2,)(
2
xx
xxxf แลว
)(lim22
xfx
มคาเทาใด
ก. 0 ข. 1 ค. 2 ง. 4
2. ถา
1,2
1,1)(
x
xxxf แลวขอตอไปน
ขอใดไมถกตอง ก. 2)1( f ข. 2)(lim
1
xf
x
ค. 0)(lim1
xfx
ง. )1()(lim1
fxfx
3. 1
34lim
2
2
x
xx
xเทากบเทาใด
ก. –7 ข. –5 ค. –1 ง. 7
4. 2
4lim
2
2
x
x
xเทากบเทาใด
ก. x-2 ข. 0 ค. 2 ง. 4
5. x
x
x
24lim
0
เทากบเทาใด
ก. 4
1
ข. 6
1
ค. 8
1
ง. 10
1
6. 32
9lim
2
2
3
xx
x
xเทากบเทาใด
ก. 0 ข. 1 ค. 2 ง. 3
7. ขอใดกลาวไมถกตอง เมอก าหนด
2,32
2,3)(
xx
xxxf
ก. 6)(lim2
xfx
ข. f เปนฟงกชนตอเนองท x = 2 ค. f เปนฟงกชนตอเนองท x= 3 ง. f เปนฟงกชนทม )(lim
4xf
x
8. f จะตอเนองทจด x = a กตอเมอ 1. f(a) หาคาได 2. )(lim xf
axหาคาได
3. f(a) = )(lim xfax
ก าหนด
1,2
1,)(
2
x
xxxf f ไมตอเนองท
x = 1เนองจากขาดสมบตขอใด ก. 1 ข. 2 ค. 3 ง. ขอ 1,2
เฉลยแบบทดสอบหลงเรยน
1. ง 2. ค 3. ก 4. ง 5. ก 6. ค 7. ข 8. ค