Post on 12-Jun-2020
TilastomatematiikkaKevät 2008
Keijo Ruotsalainen
Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta
Matematiikan jaos
Tilastomatematiikka – p.1/73
Johdanto
Moderni yhteiskunta: Todellisuuden tilastollinenmalliKolme matemaattista ideaa:
Satunnaisuus (umpimähkäisyys)
Tilastomatematiikka – p.2/73
Johdanto
Moderni yhteiskunta: Todellisuuden tilastollinenmalliKolme matemaattista ideaa:
Satunnaisuus (umpimähkäisyys)
todennäköisyys
Tilastomatematiikka – p.2/73
Johdanto
Moderni yhteiskunta: Todellisuuden tilastollinenmalliKolme matemaattista ideaa:
Satunnaisuus (umpimähkäisyys)
todennäköisyys
tilastot (tilastolliset jakaumat)
Tilastomatematiikka – p.2/73
Todennäköisyys
Satunnaiskoe : Kokeen tulos satunnainen,havainnoitava alkeistapahtuma
Tilastomatematiikka – p.3/73
Todennäköisyys
Satunnaiskoe : Kokeen tulos satunnainen,havainnoitava alkeistapahtuma
Otosavaruus S: satunnaiskokeen tulostenjoukko
Tilastomatematiikka – p.3/73
Todennäköisyys
Satunnaiskoe : Kokeen tulos satunnainen,havainnoitava alkeistapahtuma
Otosavaruus S: satunnaiskokeen tulostenjoukko
Tapahtuma A ⊂ S on otosavaruudenosajoukko.
Tilastomatematiikka – p.3/73
Todennäköisyys
Satunnaiskoe : Kokeen tulos satunnainen,havainnoitava alkeistapahtuma
Otosavaruus S: satunnaiskokeen tulostenjoukko
Tapahtuma A ⊂ S on otosavaruudenosajoukko.
Tapahtumasysteemi E on otosavaruudenosajoukkojen joukko.
Tilastomatematiikka – p.3/73
Esimerkkejä
Esim 1. Heitetään kolikkoa kunnes saadaan ensimmäisenkerran "klaava". Tällöin otosavaruus S = N.
Esim 2. Heitetään kolikkoa n kertaa. Tarkastellaansatunnaiskoetta, jossa lasketaan "klaavojen lukumäärä".Tällöin otosavaruus
S = {0, 1, 2, 3, . . . , n}Esim 3. Heitetään noppaa kaksi kertaa. Tällöin otosavaruus
S = {(i, j)| 1 ≤ i, j ≤ 6}
Tilastomatematiikka – p.4/73
Joukko-oppia
Perusjoukko S
Joukon komplementtiA = S \ A = {x ∈ S| x /∈ A}.
Tilastomatematiikka – p.5/73
Joukko-oppia
Perusjoukko S
Joukon komplementtiA = S \ A = {x ∈ S| x /∈ A}.
Yhdiste A ∪ B = {x ∈ S| x ∈ A tai x ∈ B}
Tilastomatematiikka – p.5/73
Joukko-oppia
Perusjoukko S
Joukon komplementtiA = S \ A = {x ∈ S| x /∈ A}.
Yhdiste A ∪ B = {x ∈ S| x ∈ A tai x ∈ B}Leikkaus A ∩ B = {x ∈ S| x ∈ A ja x ∈ B}
Tilastomatematiikka – p.5/73
Joukko-oppia
Perusjoukko S
Joukon komplementtiA = S \ A = {x ∈ S| x /∈ A}.
Yhdiste A ∪ B = {x ∈ S| x ∈ A tai x ∈ B}Leikkaus A ∩ B = {x ∈ S| x ∈ A ja x ∈ B}de Morganin kaavat:
A ∪ B = A ∩ B
A ∩ B = A ∪ B
Tilastomatematiikka – p.5/73
Lisää joukko-oppia
Tapahtumasysteemi E on Boolen algebra:
1. ∅, S ∈ E2. A ∈ E =⇒ A ∈ E3. A,B ∈ E =⇒ A ∪ B ∈ E4. A,B ∈ E =⇒ A ∩ B ∈ E
Tilastomatematiikka – p.6/73
Klassinen todennäköisyys
Otosavaruus on äärellinenS = {e1, e2, . . . , eN}
Tilastomatematiikka – p.7/73
Klassinen todennäköisyys
Otosavaruus on äärellinen S = {e1, e2, . . . , eN}Alkeistapahtuman todennäköisyys: P (ei) = 1
N
Tilastomatematiikka – p.7/73
Klassinen todennäköisyys
Otosavaruus on äärellinen S = {e1, e2, . . . , eN}Alkeistapahtuman todennäköisyys: P (ei) = 1
N
Satunnaiskokeen tapahtuman Aesiintymistodennäköisyys P (A) = m
N, missä
m = #(A) on joukon A alkioiden lukumäärä.
Tilastomatematiikka – p.7/73
Klassinen todennäköisyys
Otosavaruus on äärellinen S = {e1, e2, . . . , eN}Alkeistapahtuman todennäköisyys: P (ei) = 1
N
Satunnaiskokeen tapahtuman Aesiintymistodennäköisyys P (A) = m
N, missä
m = #(A) on joukon A alkioiden lukumäärä.
Ilmeisesti P (S) = 1.
Tilastomatematiikka – p.7/73
Kombinatoriikkaa
Permutaatio Äärellisen joukon alkioiden jono,jossa jokainen alkio esiintyy täsmälleenkerran. Permutaatioiden lukumäärän! = 1 · 2 · 3 · · · (n − 1) · n
Tilastomatematiikka – p.8/73
Kombinatoriikkaa
Permutaatio Äärellisen joukon alkioiden jono,jossa jokainen alkio esiintyy täsmälleenkerran. Permutaatioiden lukumäärän! = 1 · 2 · 3 · · · (n − 1) · nk-permutaatio on äärellisen joukon k:n erialkion jono, joiden lukumäärä on n!
(n−k)! .
Tilastomatematiikka – p.8/73
Kombinatoriikkaa
Permutaatio Äärellisen joukon alkioiden jono,jossa jokainen alkio esiintyy täsmälleenkerran. Permutaatioiden lukumäärän! = 1 · 2 · 3 · · · (n − 1) · nk-permutaatio on äärellisen joukon k:n erialkion jono, joiden lukumäärä on n!
(n−k)! .
k-kombinaatio on äärellisen joukonk-alkioinen osajoukko. Tässä joukossa on(n
k
)= n!
(n−k)!k! alkiota.
Tilastomatematiikka – p.8/73
Geometrinen todennäköisyys
Otosavaruus S on jana, alue tai 3-ulotteinentila.
Tilastomatematiikka – p.9/73
Geometrinen todennäköisyys
Otosavaruus S on jana, alue tai 3-ulotteinentila.
Tapahtuma A on S:n osajoukko.
Tilastomatematiikka – p.9/73
Geometrinen todennäköisyys
Otosavaruus S on jana, alue tai 3-ulotteinentila.
Tapahtuma A on S:n osajoukko.
Tapahtuman A todennäköisyys on
P (A) =m(A)
m(S)
missä m(A) joukon pituus, pinta-ala taitilavuus.
Tilastomatematiikka – p.9/73
Todennäköisyyden aksiomat
Todennäköisyysavaruus on {S, E , P}1. 0 ≤ P (A) ≤ 1
2. P (S) = 1
3. P (A ∪ B) = P (A) + P (B), kun A ∩ B = ∅Lause 1. P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B)
Tilastomatematiikka – p.10/73
Todennäköisyyden perusominaisuudet
Lause 2. Todennäköisyydelle on voimassa:
(i) P (A) = 1 − P (A), P (∅) = 0;
(ii) Jos tapahtumat {Ai, A2, . . . , An} ovat toisensapoissulkevia, ts. Ai ∩ Aj = ∅, kun i 6= j, niin
P (A1∪A2∪· · ·∪An) = P (A1)+P (A2)+· · ·+P (An);
(iii) Aina kun A ⊂ B, niin P (A) ≤ P (B);
(iv) P (A ∩ B) = P (A) − P (A ∩ B).
Tilastomatematiikka – p.11/73
Todennäköisyyden tulkinta
satunnaiskokeen N-kertainen toisto"riippumattomasti";
Tilastomatematiikka – p.12/73
Todennäköisyyden tulkinta
satunnaiskokeen N-kertainen toisto"riippumattomasti";
Tarkasteltava tapahtuma A esiintyy n(A)kertaa
Tilastomatematiikka – p.12/73
Todennäköisyyden tulkinta
satunnaiskokeen N-kertainen toisto"riippumattomasti";
Tarkasteltava tapahtuma A esiintyy n(A)kertaa
Tällöin
P (A) = limN→∞
n(A)
N
Tilastomatematiikka – p.12/73
2. Ehdollinen todennäköisyys ja riippumattomuus
Satunnaiskokeen otosavaruus S, E sentapahtumasysteemi ja P todennäköisyys.Määr 1. Tapahtuman A ehdollinen todennäköisyys ehdollaB on
P (A|B) =P (A ∩ B)
P (B),
kun P (B) > 0.
Tilastomatematiikka – p.13/73
Ehdollisen todennäköisyyden ominaisuuksia
1. 0 ≤ P (A|B) ≤ 1;
2. P (B|B) = 1;
3. P (A1 ∪ A2|B) = P (A1|B) + P (A2|B), kunA1 ∩ A2 ∩ B = ∅.
Tilastomatematiikka – p.14/73
Kertolaskusääntö
Todennäköisyyslaskennan kertosääntö:
P (A ∩ B) = P (B)P (A|B), kun P (B) > 0
P (A ∩ B) = P (A)P (B|A), kun P (A) > 0
Täydellisellä induktiolla voidaan todistaa:Lause 3. Olkoot A1, A2, . . . , An ∈ E siten, ettäP (A1 ∩ · · · ∩ An) > 0. Tällöin on voimassa
P (A1 ∩ A2 ∩ · · · ∩ An) = P (A1)P (A2|A1)P (A3|A2 ∩ A1)
· · ·P (An|A1 ∩ · · · ∩ An−1).
Tilastomatematiikka – p.15/73
Esimerkki
Esim 4. Laatikossa on 5 punaista ja 3 sinistä sukkaa.Poimitaan umpimähkään kaksi sukkaa. Millätodennäköisyydellä saadaan sininen pari.
Ratk.:
Tapahtumat: B=“1. sukka sininen”,A=“saadaan sininen pari”.
P (A|B) = 27 , sillä 7:stä sukasta 2 sinistä.
Koska A = A ∩ B , niin
P (A) = P (A∩B) = P (A|B)P (B) =2
7· 38
=3
28.
Tilastomatematiikka – p.16/73
Kokonaistodennäköisyys
Pari {A1, A2} on otosavaruuden S ositus , jos
A1 ∩ A2 = ∅ ja A1 ∪ A2 = S.
Tilastomatematiikka – p.17/73
Kokonaistodennäköisyys
Pari {A1, A2} on otosavaruuden S ositus , jos
A1 ∩ A2 = ∅ ja A1 ∪ A2 = S.
Oletetaan, että P (Ai) > 0, i = 1, 2.
Tilastomatematiikka – p.17/73
Kokonaistodennäköisyys
Pari {A1, A2} on otosavaruuden S ositus , jos
A1 ∩ A2 = ∅ ja A1 ∪ A2 = S.
Oletetaan, että P (Ai) > 0, i = 1, 2.
Tapahtumalle B (P (B) > 0):
(A1 ∩ B) ∪ (A2 ∩ B) = B
(A1 ∩ B) ∩ (A2 ∩ B) = ∅
Tilastomatematiikka – p.17/73
Kok.todennäk.
P (B) = P (A1 ∩ B) + P (A2 ∩ B).
Tilastomatematiikka – p.18/73
Kok.todennäk.
P (B) = P (A1 ∩ B) + P (A2 ∩ B).
Toisaalta kertolaskusäännön nojalla i = 1, 2:P (Ai ∩ B) = P (B|Ai)P (Ai).
Tilastomatematiikka – p.18/73
Kok.todennäk.
P (B) = P (A1 ∩ B) + P (A2 ∩ B).
Toisaalta kertolaskusäännön nojalla i = 1, 2:P (Ai ∩ B) = P (B|Ai)P (Ai).
Kokonaistodennäköisyyden kaava
P (B) = P (B|A1)P (A1) + P (B|A2)P (A2).
Tilastomatematiikka – p.18/73
Bayesin kaava
Kertolaskusäännön jakokonaistodennäköisyyden perusteellaLause 4 (Bayes’n kaava).
P (A1|B) =P (B|A1)P (A1)
∑2k=1 P (Ak)P (B|Ak)
.
Tilastomatematiikka – p.19/73
Esimerkki
Esim 5. Pumpun venttiilin toimintaa valvotaanautomaattisella hälytysjärjestelmällä. Tiedetään, ettäjärjestelmä hälyttää, kun venttiili ei toimi,todennäköisyydellä 0.98. Todennäköisyydellä 0.985järjestelmä ei hälytä, kun venttiili toimii. Venttiili toimiitodennäköisyydellä 0.0001. Määrää todennäköisyys sille,että venttiili ei toimi, kun järjestelmä hälyttää.
Tilastomatematiikka – p.20/73
Esimerkki
Esim 6. Mikäli piirilevy tehtaan tuotantolinja on oikeinsäädetty, niin keskimäärin 75 % piirilevyistä on laadultaanhyviä ja keskimäärin 25 % keskinkertaisia. Oletetaan, että10 %:a ajasta tuotantolinjan säädöt pielessä, ja tällöin vain25 % piirilevyistä on laadultaan hyviä ja keskimäärin 75 %on keskinkertaisia. Valmistuslinjalta otetaan piirilevytarkastukseen. Millä todennäköisyydellä linja olinäytteenottohetkellä oikein säädetty, kun piirilevy osoittautuilaadultaan hyväksi?
Tilastomatematiikka – p.21/73
Riippumattomuus
Määr 2. Tapahtumat A ja B ovat riippumattomia, jos
P (A ∩ B) = P (A)P (B).
Siis; B:n esiintyminen ei vaikuta tapahtuman Atodennäköisyyteen: P (A|B) = P (A).Lause 5. Tapahtumat A ja B ovat riippumattomia, jos ja
vain jos A ja B ovat riippumattomia.
Statistinen riippumattomuus on todennäköisyys-
funktion ominaisuus.
Tilastomatematiikka – p.22/73
Riippumattomien tapahtumien yhdiste
Olkoon tapahtumat A1, A2, . . . , An
riippumattomia.
Tilastomatematiikka – p.23/73
Riippumattomien tapahtumien yhdiste
Olkoon tapahtumat A1, A2, . . . , An
riippumattomia.
Todennäköisyys tapahtumalle "ainakin yksitapahtumista Ai sattuu"
P (A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ An) =
1−[
1 − P (A1)]
· · ·[
1 − P (An)]
.
Tilastomatematiikka – p.23/73
Esimerkki
Esim 7. Systeemi koostuu kolmesta rinnankytketystäidenttisestä komponentista. Systeemi toimii, jos ainakin yksikolmesta rinnakkaisesta komponentista on toimiva.Jokaisen komponentin kestoikä on yli 10 viikkoatodennäköisyydellä 0.2. Millä todennäköisyydelläkokonaissysteemin virheetön toiminta-aika on yli 10 viikkoa?
Tilastomatematiikka – p.24/73
Riippumattomien kokeiden yhdistäminen
E1, E2, . . . , En riippumattomia satunnaiskokeita
Satunnaiskokeiden otosavaruudetS1, S2, . . . , Sn,
P1, P2, . . . , Pn satunnaiskokeidentodennäköisyysfunktiot
Yhdistetyn kokeen otosavaruus
S = S1 × S2 × · · · × Sn (× on karteesinen tulo).
Tilastomatematiikka – p.25/73
kokeiden yhdist.
Osajoukot ovat muotoa A1 × A2 × · · · × An,jotka tulkitaan tapahtumaksi "A1 sattuukokeessa E1 ja A2 sattuu kokeessa E2 jne...".
Yhdistetyn tapahtuman todennäköisyys
P (A1×A2×· · ·×An) = P1(A1)P2(A2) . . . Pn(An).
Satunnaiskokeiden riippumattomuuden päättely:
Käytetään ensisijaisesti yleistä tietoa ja tervet-
tä maalaisjärkeä; vasta toissijaisesti laskennalli-
sia menetelmiä.Tilastomatematiikka – p.26/73
3. Satunnaismuuttuja
Luonnon- tai teknistieteellisissäsovellutuksissa satunnaiskokeen lopputuloson numeerinen lukuarvo.
Virtapiireissä mitataan jännitteitä javirranvoimakkuuksiaTörmäyskokeissa lasketaan esiintyvienhiukkasten lukumääriäSähkömagneettisissa sovellutuksissaarvioidaan kentän intensiteettiäTietoliikennetekniikassa oikein koodattujenbittien lukumäärä
Tilastomatematiikka – p.27/73
Satunnaismuuttuja
Satunnaiskokeeseen liitettävää lukuakutsutaan satunnaismuuttujaksi.
Matemaattisesti: Satunnaismuuttuja onkuvaus X : S → R
todennäköisyysavaruudesta {S; E , P}reaalilukujen joukkoon.
Satunnaismuuttujan arvojoukko SX tulkitaansatunnaiskokeen otosavaruudeksi.
Tilastomatematiikka – p.28/73
Satunnaismuuttuja
Satunnaismuuttujan valinta ei oleyksikäsitteinen;
Esim. Nopanheitossa silmäluku onsatunnaismuuttuja; mutta yhtä hyvin voitaisiinvalita satunnaismuuttujaksiX(′silmäluku on i′) = 100 + i, i = 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Kuvaus X on satunnaismuuttuja, jostapahtuma {X ≤ x} on tapahtumasysteeminE joukko:
{X ≤ x} = {e ∈ S| X(e) ≤ x} ∈ E .
Tilastomatematiikka – p.29/73
Kertymäfunktio
Realisaatio: Satunnaismuuttujan arvo xsatunnaiskokeessa;
Tarkasteltavat tapahtumat A = {a ≤ X ≤ b},tai {X ∈ I| I ⊂ R};
Satunnaismuuttujaan liittyvätodennäköisyysmitta
PX({X ≤ x}) = P ({e ∈ S| X(e) ≤ x}).kertymäfunktio: FX(x) = PX(X ≤ x).
Tilastomatematiikka – p.30/73
Kertymäfunktion ominaisuuksia
1. F (x1) ≤ F (x2), kun x1 ≤ x2;
2. F (x) ≥ 0;
3. F (−∞) = 0, F (∞) = 1
4. P (x1 < X ≤ x2) = F (x2) − F (x1).
Tapahtuma {X ≤ −∞} on tietysti tyhjä joukko, ja
{X < ∞} täytyy sisältää kaikki satunnaiskokeen
tapahtumat.
Tilastomatematiikka – p.31/73
3.1 Diskreetti satunnaismuuttuja
Diskreetin satunnaismuuttujan X arvojoukkoSX on äärellinen tai numeroituvasti ääretön:SX = {xk; k = 1, 2, 3, . . . }.
Pistetodennäköisyysfunktio:
f(x) =
{
P (X = xk), x = xk
0, x 6= xk,∀ k
Diskreetin satunnaismuuttujan kertymäfunktioon porrasfunktio
F (x) =∑
xk≤x
P (X = xk).
Tilastomatematiikka – p.32/73
Binomijakauma
Toistokoe: n riippumattomatonta toistoa.
Tapahtuman B todennäköisyys P (B) = p, jakomplementtitapahtuma B, P (B) = 1 − p.
Satunnaismuuttuja X ilmoittaa tapahtuman Besiintymisten lukumäärän n-kertaisessatoistossa.
Satunnaismuuttujan arvojoukkoSX = {0, . . . , n}.
Tilastomatematiikka – p.33/73
Binomijakauma
Tapahtumien “B sattuu täsmälleen k kertaa”lukumäärä on
(n
k
).
Yksittäisen kertaotoksen todennäköisyys onpk(1 − p)n−k.
Binomi-jakautuneen satunnaismuuttujanpistetodennäköisyysfunktio on
P (X = k) =
(n
k
)
pk(1 − p)n−k.
Merkintäsopimus: X ∼ Bin(p).Tilastomatematiikka – p.34/73
Esim.1
Tietoliikennekanava lähettää bittejä 0 ja 1.Kanavan häiriöiden takia esiintyy satunnainendekoodausvirhe, jonka todennäköisyys on p (kts.kuva)0
1 1
0
p
p
1−p
1−p
Millä todennäköisyydellä 10-bittisen viestin de-
koodauksessa esiintyy täsmälleen 3 virheellisesti
dekoodattua bittiä?Tilastomatematiikka – p.35/73
Esim.2
Satunnaislukugeneraattori tuottaa 10000numeroa joukosta {0, 1, 2, . . . , 9}.
Millä todennäköisyydellä 4 peräkkäistänumeroa ovat samat?
Jaetaan saatu numerosarja 2500:aan 4:nnumeron blokkiin. Satunnaismuuttuja Xilmoittaa lukumäärän blokeille, joissa kaikki 4numeroa ovat samat. Määrää X:ntn-jakauma. Millä todennäköisyydellänumerosarja sisältää enemmän kuin 2 neljäsamaa numeroa sisältävää blokkia?
Tilastomatematiikka – p.36/73
Geometrinen jakauma
Satunnaiskokeen n-kertainen toisto;
Tarkasteltava tapahtuma B
Millä todennäköisyydellä B tapahtuuensimmäisen kerran k:nnella toistolla?
Tapahtuman
A = B × · · · × B︸ ︷︷ ︸
k−1 kertaa
×B.
todennäköisyys on P (A) = (1 − p)k−1p.
Tilastomatematiikka – p.37/73
Geometrinen jakauma
Satunnaismuuttuja X ilmoittaa monennellakerralla B sattuu ensimmäisen kerran.
Pistetodennäköisyysfunktio on
P (X = k) = p(1 − p)k−1.
Merkintä: X ∼ Geo(p)
Tilastomatematiikka – p.38/73
Esim.3
T. Teekkari saapuu laskiaisriehasta kotiin. Avain-
nipussa on n = 10 avainta. Hän kokeilee satun-
naisesti avaimia lukkoon. Jokaisen kokeilun jäl-
keen avaimella on yhtä suuri todennäköisyys tulla
valituksi seuravilla kerroilla. Millä todennäköisyy-
dellä hän saa oven auki 4:nnellä yrittämällä? Mil-
lä tn:llä yrityksiä tarvitaan enemmän kuin kolme
kappaletta?
Tilastomatematiikka – p.39/73
Poisson-jakauma
Kun n-kertaisessa toistokokeessa
Toistojen lukumäärä n on hyvin suuri;
Tapahtuman B todennäköisyys on pieni(P (B) << 1)
P (Ak) =
(n
k
)
pk(1 − p)n−k =n!
k!(n − k)!pk(1 − p)n−k
≈ P ′k =
ake−a
k!,
missä a = np ja 0 ≤ k < ∞.Tilastomatematiikka – p.40/73
Poisson-jakauma
Eksponenttifunktio: ea =∑∞
k=0ak
k!
Poisson-jakautuneen satunnaismuuttujanX : S → N pistetodennäköisyys
P (X = k) =ake−a
k!,
sillä∞∑
k=0
P (X = k) = e−a
∞∑
k=0
ak
k!= e−aea = 1.
Tilastomatematiikka – p.41/73
Poisson-jakauma
Luku a on keskimääräinen lukumäärätapahtumalle B
X ∼ Poi(a)
Klassinen esimerkki: valosähköinen ilmiö:
Valonsäde irroittaa valosähköisesti herkän materiaalin pin-
nasta elektroneja. Vetämällä ne positiivisella jännitteellä va-
rattuun anodiin ulkoisen virtapiirin virran voimakkuus kas-
vaa. Virran voimakkuudesta voidaan päätellä irronneiden
elektronien lukumäärä.Tilastomatematiikka – p.42/73
Hurraa, Einstein!
Irronneiden elektronien lukumäärä onsatunnaismuuttuja.
Keskimääräinen emittoituneiden elektronien lukumääräa on suoraan verrannollinen säteilynkokonaisenergiaan W aikavälillä [0, T ]:
a =ηW
hν, (HURRAA, EINSTEIN!),
missä h on Planck’n vakio, η on ns. materiaalinkvanttitehokkuus ja ν aallonpituus.
Tilastomatematiikka – p.43/73
Valosähk. ilmiö
Fotoni irroittaa elektronin tn:llä η << 1;Whν
on pintaan osuvien fotonien lukumäärä;
Todennäköisyys, että k elektroniarekisteröidään mittalaitteessa noudattaabinomijakaumaa
Mutta; elektronien lukumäärä n >> 1 jairtoamistodennäköisyys η << 1, niinsatunnaismuuttuja X (emittoituneidenelektronien lukumäärä) noudattaa Poissoninjakaumaa Poi(a).
Tilastomatematiikka – p.44/73
Esim.4
Asiakaspalveluun saapuu keskimäärin 50000
soittoa vuorokaudessa. Asiakaspalvelun ylikuor-
mitustila on pienin kokonaisluku N siten, että asia-
kaspalveluun saapuu tn:llä 0.001 enemmän kuin
N puhelua sekunnisssa. Olettaen, että puhelujen
lukumäärä on Poisson-jakautunut, määrää sys-
teemin ylikuormitustila.
Tilastomatematiikka – p.45/73
Esimerkkejä
Painovirheiden lukumäärä kirjan sivulla;
Yli 100-vuotiaaksi elävien lukumääräkunnassa;
Vääriin numeroihin soitettujen puhelujenlukumäärä vuorokaudessa;
Asiakkaiden saapuminen aikayksikössä
Galaksien lukumäärä alueessa R
Tilastomatematiikka – p.46/73
Ominaisuuksia
Jos X1 ∼ Bin(n1, p) ja X2 ∼ Bin(n2, p), niin
X1 + X2 ∼ Bin(n1 + n2, p)
Jos X1 ∼ Poi(a1) ja X2 ∼ Poi(a2), niin
X1 + X2 ∼ Poi(a1 + a2)
Tilastomatematiikka – p.47/73
Hypergeometrinen jakauma
Tarkastellaan numeroita {1, 2, . . . , N}Numeroista on merkitty m kappaletta
Valitaan joukosta umpimähkäisesti n numeroa
Millä todennäköisyydellä kokeensuorittajavalitsi täsmälleen k kappaletta ennakoltamerkittyä numeroa?
Tilastomatematiikka – p.48/73
Hypergeometrinen jakauma
Satunnaiskoe määrittelee satunnaismuuttujanX, joka noudattaa hypergeometristajakaumaa:
P (X = k) =
(m
k
)(N−m
n−k
)
(N
n
) .
Esim.: Millä todennäköisyydellä lotossasaadaan täsmälleen 4 oikein?
Tilastomatematiikka – p.49/73
3.2 Jatkuva satunnaismuuttuja
Satunnaismuuttuja X on jatkuva, jos
kertymäfunktio on jatkuva kaikilla x:n arvoilla
Lisäoletus:
kertymäfunktio on paloittain derivoituva
Tällöin kertymäfunktion derivaatta ontiheysfunktio
fX(x) =dFX(x)
dx
Tilastomatematiikka – p.50/73
Tiheysfunktio
Kertymäfunktio tiheysfunktion fX(t) integraali
FX(x) =
∫ x
−∞fX(t)dt.
Jos ei ole suurta erehtymisen riskiä, niinusein merkitään f(x) = fX(x).
Jatkuvalle jakaumalleF (a + h) − F (a − h) → 0, kun h → 0. Näinollen P (X = a) = 0.
Diskreetille jakaumalle tämä ei välttämättäpäde.
Tilastomatematiikka – p.51/73
Tiheysfunktion ominaisuuksia
1.∫ ∞−∞ fX(x)dx = 1;
2. P (a < X ≤ b) =∫ b
afX(x)dx = FX(b) − FX(a);
3. fX(x) = dFX(x)dx
.
Koska P (x = b) = 0, niin jatkuvalle jakaumalle:
P (a < X < b) = P (a ≤ X < b) = P (a ≤ X ≤ b)
= P (a < X ≤ b).
Tilastomatematiikka – p.52/73
Eksponenttijakauma
Eksponenttijakauman, X ∼ exp(a),
tiheysfunktio fX(x) =
0, x < 0,
ae−ax, x ≥ 0.
kertymäfunktio
FX(x) =∫ x
−∞fX(x)dx =
0, x < 0
1 − e−ax, x ≥ 0.
Parametri a > 0: Käänteisluku 1a
ilmoittaasatunnaismuuttujan keskimääräisen arvon.
Mallinnetaan tapahtuman odotusaikaa (diodin elinaika)Tilastomatematiikka – p.53/73
Tasajakauma
Tasajakauman, X ∼ Tas(a, b),
Tiheysfunktio fX(x) =
0, x < a
1b−a
, a ≤ x ≤ b
0, x > b
.
Kertymäfunktio FX(x) =
0, x < a
x−ab−a
, a ≤ x ≤ b
1, x > b
.
Tilastomatematiikka – p.54/73
Normaalijakauma
2-parametrinen jakauma: X ∼ N(µ, σ2).
Tiheysfunktio on ns. Gaussin kellokäyrä:
fX(x) =1√
2πσ2e−
(x−µ)2
2σ2 .
Parametri µ on satunnaismuuttujan Xkeskimääräinen arvo;
Parametri σ2 sen varianssi (tunnusluvuttarkemmin myöhemmillä luennoilla), ja σ onhajonta.
Tilastomatematiikka – p.55/73
Normaalijakauman kertymäfunktio
Arvoja
FX(x) =1√
2πσ2
∫ x
−∞e−
(z−µ)2
2σ2 dz
ei osata laskea tarkasti.
(0, 1)-jakautuneen l. standardisoidunnormaalijakauman kertymäfunktion Φ(x)arvot taulukosta
Tilastomatematiikka – p.56/73
Standardisoitu normaalijakauma
tiheysfunktio
fX(x) =1√2π
e−x2
2
kertymäfunktio
Φ(x) =1√2π
∫ x
−∞e−
t2
2 dt.
Kertymäfunktion arvot Φ(x):n taulukosta
Tilastomatematiikka – p.57/73
Φ(x):n ominaisuuksia
Symmetriaominaisuus:
Φ(−x) = 1 − Φ(x).
Todennäköisyys, että Z ∈ [a, b] on
P (a < Z < b) = Φ(b) − Φ(a).
Lause 6. Jos Z ∼ N(0, 1), niin satunnaismuuttuja
X = σZ + µ ∼ N(µ, σ2).
Tilastomatematiikka – p.58/73
Taulukon käyttö
Olkoon X ∼ N(µ, σ2) =⇒ .
Satunnaismuuttuja
Z =X − µ
σ∼ N(0, 1).
Todennäköisyys sille, että X ≤ a on
P (X ≤ a) = P (Z ≤ a − µ
σ) = Φ(
a − µ
σ).
Tilastomatematiikka – p.59/73
Vikaantumisjakaumat
Laitteiston ehdollinenvikaantumistodennäköisyys
hasardifunktio β(t);
satunnaismuuttujaX =“rikkoontumisajankohta”;
Ehdollinen todennäköisyys laitteistonvikaantumiselle aikavälillä [t, t + dt]
P (t < X ≤ t + dt|X ≥ t) = β(t)dt.
Tilastomatematiikka – p.60/73
Hasardifunktio
Satunnaismuuttujan X tiheysfunktio f(t) jakertymäfunktio F (t).
P (t < X ≤ t + dt|X ≥ t)
= F (t + dt|X ≥ t) − F (t|X ≥ t)
=F (t + dt) − F (t)
1 − F (t)=
f(t)dt
1 − F (t).
=⇒ hasardifunktio β(t) =f(t)
1 − F (t)Tilastomatematiikka – p.61/73
Hasardifunktio
Tiheysfunktio on kertymäfunktion derivaatta =⇒
β(t) =F ′(t)
1 − F (t)= − d
dtln[1 − F (t)].
Integroimalla puolittain saadaan:
F (t) =
{
0, t < 0
1 − e−∫ t
0β(s)ds, t ≥ 0.
Tiheysfunktio: f(t) =
{
0, t < 0
β(t)e−∫ t
0β(s)ds, t ≥ 0.
Tilastomatematiikka – p.62/73
Weibull’n jakauma
Weibullin jakauman hasardifunktioβ(t) = abtb−1, t > 0, a, b > 0.
Weibullin jakauman tiheys- ja kertymäfunktioovat
F (t) = 1 − e−atb, t > 0
f(t) = abtb−1e−atb, t > 0.
Weibullin jakauma on odotusajan jakauma, jonka
avulla mallinnetaan jonkun suotuisan tapahtuman
ajankohtaaTilastomatematiikka – p.63/73
4. Jakauman tunnusluvut
Odotusarvo =“satunnaismuuttujankeskimääräinen arvo”
Varianssi (hajonta) mittaa poikkeamaakeskimääräisestä arvosta
Vinous
Kurtosis
Tilastomatematiikka – p.64/73
4.1 Odotusarvo
Diskreetin jakauman odotusarvo
Odotusarvo ilmoittaa jakaumankeskimääräisen arvon
E(X) =∑
k∈I xkP (X = xk),
jos summa on suppeneva.
Tilastomatematiikka – p.65/73
Esimerkkejä
Geometrisen jakauman odotusarvo
E(X) =1
p,
missä jakauman parametri on 0 < p < 1.
Binomijakauman Bin(n, p) odotusarvoE(X) = np.
Poissonin jakauman Poi(a) odotusarvo onE(X) = a.
Tilastomatematiikka – p.66/73
Mutta, jos
Satunnaismuuttujan Xpistetodennäköisyysfunktio on
P (X = k) =6
π2k2,
Tällöin
E(X) =∞∑
k=1
k · 6
π2k2=
6
π2
∞∑
k=1
1
k= ∞.
Satunnaismuuttujalla X ei ole odotusarvoa.
Tilastomatematiikka – p.67/73
Jatkuvan jakauman odotusarvo
Satunnaismuuttujan X
tiheysfunktio fX(x)
kertymäfunktio FX(x)
Satunnaismuuttujan odotusarvo
E(X) =
∫ ∞
−∞xfX(x)dx,
mikäli integraali on olemassa.
Tilastomatematiikka – p.68/73
Cauchy-jakauma
Cauchy-jakauman tiheysfunktio
f(x) =2
π
1
1 + x2u(x).
Tilastomatematiikka – p.69/73
Cauchy-jakauma
Cauchy-jakauman tiheysfunktio
f(x) =2
π
1
1 + x2u(x).
Kun a > 0
2
π
∫ a
0
x
1 + x2dx =
2
π
/a
0
1
2log(1+x2) =
1
2πlog(1+a2).
Tilastomatematiikka – p.69/73
Cauchy-jakauma
Cauchy-jakauman tiheysfunktio
f(x) =2
π
1
1 + x2u(x).
Kun a > 0
2
π
∫ a
0
x
1 + x2dx =
2
π
/a
0
1
2log(1+x2) =
1
2πlog(1+a2).
Odotusarvoa ei ole olemassa, sillä∫ ∞
0
2
π(1 + x2)dx = lim
a→∞1
2πlog(1 + a2) = ∞
Tilastomatematiikka – p.69/73
Tärkeiden jakaumien odotusarvoja:
X ∼Tas(a, b), E(X) =a + b
2
X ∼Exp(λ), E(X) =1
λX ∼N(µ, σ2), E(X) = µ
Tilastomatematiikka – p.70/73
4.2 Odotusarvon ominaisuuksia
X on diskreetti satunnaismuuttuja
h(x) reaaliarvoinen differentioituva funktio
Satunnaismuuttujan Y = h(X)
arvojoukko SY = {yj = h(xj)| xj ∈ SX}pistetodennäköisyysfunktioP (Y = yj) =
∑
xi| yj=h(xi)P (X = xi).
Oletus:∑
xi|h(xi)|P (X = xi) < ∞.
Tilastomatematiikka – p.71/73
Lauseita
Lause 7. Satunnaismuuttujan Y = h(X) odotusarvo
E(Y ) = E(h(X)) =∑
xi
h(xi)P (X = xi).
Lause 8. Olkoon h(x) siten, että∫ ∞
−∞|h(x)|fX(x)dx < ∞. Tällöin
satunnaismuuttujan Y = h(X) odotusarvo
E(Y ) =∫ ∞
−∞h(x)fX(x)dx.
Tilastomatematiikka – p.72/73
Lineaarisuus
Satunnaismuuttujan odotusarvo on lineaarinen,ts. on voimassa:Lause 9. Olkoon X ja Y reaalisia satunnaismuuttujia, jaa, b ∈ R. Tällöin
E(aX + bY ) = aE(X) + bE(Y ).
Huom! Vakion odotusarvo on vakio: E(a) = a.
Tilastomatematiikka – p.73/73