Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta...
Transcript of Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta...
![Page 1: Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta ...s-mat-pcs.oulu.fi/~keba/Tilasto/Prosper_kalvot.pdf · Tilastomatematiikka Kevät 2008 Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto,](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060214/5f059a727e708231d413c7e3/html5/thumbnails/1.jpg)
TilastomatematiikkaKevät 2008
Keijo Ruotsalainen
Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta
Matematiikan jaos
Tilastomatematiikka – p.1/73
![Page 2: Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta ...s-mat-pcs.oulu.fi/~keba/Tilasto/Prosper_kalvot.pdf · Tilastomatematiikka Kevät 2008 Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto,](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060214/5f059a727e708231d413c7e3/html5/thumbnails/2.jpg)
Johdanto
Moderni yhteiskunta: Todellisuuden tilastollinenmalliKolme matemaattista ideaa:
Satunnaisuus (umpimähkäisyys)
Tilastomatematiikka – p.2/73
![Page 3: Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta ...s-mat-pcs.oulu.fi/~keba/Tilasto/Prosper_kalvot.pdf · Tilastomatematiikka Kevät 2008 Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto,](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060214/5f059a727e708231d413c7e3/html5/thumbnails/3.jpg)
Johdanto
Moderni yhteiskunta: Todellisuuden tilastollinenmalliKolme matemaattista ideaa:
Satunnaisuus (umpimähkäisyys)
todennäköisyys
Tilastomatematiikka – p.2/73
![Page 4: Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta ...s-mat-pcs.oulu.fi/~keba/Tilasto/Prosper_kalvot.pdf · Tilastomatematiikka Kevät 2008 Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto,](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060214/5f059a727e708231d413c7e3/html5/thumbnails/4.jpg)
Johdanto
Moderni yhteiskunta: Todellisuuden tilastollinenmalliKolme matemaattista ideaa:
Satunnaisuus (umpimähkäisyys)
todennäköisyys
tilastot (tilastolliset jakaumat)
Tilastomatematiikka – p.2/73
![Page 5: Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta ...s-mat-pcs.oulu.fi/~keba/Tilasto/Prosper_kalvot.pdf · Tilastomatematiikka Kevät 2008 Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto,](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060214/5f059a727e708231d413c7e3/html5/thumbnails/5.jpg)
Todennäköisyys
Satunnaiskoe : Kokeen tulos satunnainen,havainnoitava alkeistapahtuma
Tilastomatematiikka – p.3/73
![Page 6: Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta ...s-mat-pcs.oulu.fi/~keba/Tilasto/Prosper_kalvot.pdf · Tilastomatematiikka Kevät 2008 Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto,](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060214/5f059a727e708231d413c7e3/html5/thumbnails/6.jpg)
Todennäköisyys
Satunnaiskoe : Kokeen tulos satunnainen,havainnoitava alkeistapahtuma
Otosavaruus S: satunnaiskokeen tulostenjoukko
Tilastomatematiikka – p.3/73
![Page 7: Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta ...s-mat-pcs.oulu.fi/~keba/Tilasto/Prosper_kalvot.pdf · Tilastomatematiikka Kevät 2008 Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto,](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060214/5f059a727e708231d413c7e3/html5/thumbnails/7.jpg)
Todennäköisyys
Satunnaiskoe : Kokeen tulos satunnainen,havainnoitava alkeistapahtuma
Otosavaruus S: satunnaiskokeen tulostenjoukko
Tapahtuma A ⊂ S on otosavaruudenosajoukko.
Tilastomatematiikka – p.3/73
![Page 8: Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta ...s-mat-pcs.oulu.fi/~keba/Tilasto/Prosper_kalvot.pdf · Tilastomatematiikka Kevät 2008 Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto,](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060214/5f059a727e708231d413c7e3/html5/thumbnails/8.jpg)
Todennäköisyys
Satunnaiskoe : Kokeen tulos satunnainen,havainnoitava alkeistapahtuma
Otosavaruus S: satunnaiskokeen tulostenjoukko
Tapahtuma A ⊂ S on otosavaruudenosajoukko.
Tapahtumasysteemi E on otosavaruudenosajoukkojen joukko.
Tilastomatematiikka – p.3/73
![Page 9: Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta ...s-mat-pcs.oulu.fi/~keba/Tilasto/Prosper_kalvot.pdf · Tilastomatematiikka Kevät 2008 Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto,](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060214/5f059a727e708231d413c7e3/html5/thumbnails/9.jpg)
Esimerkkejä
Esim 1. Heitetään kolikkoa kunnes saadaan ensimmäisenkerran "klaava". Tällöin otosavaruus S = N.
Esim 2. Heitetään kolikkoa n kertaa. Tarkastellaansatunnaiskoetta, jossa lasketaan "klaavojen lukumäärä".Tällöin otosavaruus
S = {0, 1, 2, 3, . . . , n}Esim 3. Heitetään noppaa kaksi kertaa. Tällöin otosavaruus
S = {(i, j)| 1 ≤ i, j ≤ 6}
Tilastomatematiikka – p.4/73
![Page 10: Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta ...s-mat-pcs.oulu.fi/~keba/Tilasto/Prosper_kalvot.pdf · Tilastomatematiikka Kevät 2008 Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto,](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060214/5f059a727e708231d413c7e3/html5/thumbnails/10.jpg)
Joukko-oppia
Perusjoukko S
Joukon komplementtiA = S \ A = {x ∈ S| x /∈ A}.
Tilastomatematiikka – p.5/73
![Page 11: Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta ...s-mat-pcs.oulu.fi/~keba/Tilasto/Prosper_kalvot.pdf · Tilastomatematiikka Kevät 2008 Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto,](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060214/5f059a727e708231d413c7e3/html5/thumbnails/11.jpg)
Joukko-oppia
Perusjoukko S
Joukon komplementtiA = S \ A = {x ∈ S| x /∈ A}.
Yhdiste A ∪ B = {x ∈ S| x ∈ A tai x ∈ B}
Tilastomatematiikka – p.5/73
![Page 12: Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta ...s-mat-pcs.oulu.fi/~keba/Tilasto/Prosper_kalvot.pdf · Tilastomatematiikka Kevät 2008 Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto,](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060214/5f059a727e708231d413c7e3/html5/thumbnails/12.jpg)
Joukko-oppia
Perusjoukko S
Joukon komplementtiA = S \ A = {x ∈ S| x /∈ A}.
Yhdiste A ∪ B = {x ∈ S| x ∈ A tai x ∈ B}Leikkaus A ∩ B = {x ∈ S| x ∈ A ja x ∈ B}
Tilastomatematiikka – p.5/73
![Page 13: Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta ...s-mat-pcs.oulu.fi/~keba/Tilasto/Prosper_kalvot.pdf · Tilastomatematiikka Kevät 2008 Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto,](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060214/5f059a727e708231d413c7e3/html5/thumbnails/13.jpg)
Joukko-oppia
Perusjoukko S
Joukon komplementtiA = S \ A = {x ∈ S| x /∈ A}.
Yhdiste A ∪ B = {x ∈ S| x ∈ A tai x ∈ B}Leikkaus A ∩ B = {x ∈ S| x ∈ A ja x ∈ B}de Morganin kaavat:
A ∪ B = A ∩ B
A ∩ B = A ∪ B
Tilastomatematiikka – p.5/73
![Page 14: Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta ...s-mat-pcs.oulu.fi/~keba/Tilasto/Prosper_kalvot.pdf · Tilastomatematiikka Kevät 2008 Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto,](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060214/5f059a727e708231d413c7e3/html5/thumbnails/14.jpg)
Lisää joukko-oppia
Tapahtumasysteemi E on Boolen algebra:
1. ∅, S ∈ E2. A ∈ E =⇒ A ∈ E3. A,B ∈ E =⇒ A ∪ B ∈ E4. A,B ∈ E =⇒ A ∩ B ∈ E
Tilastomatematiikka – p.6/73
![Page 15: Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta ...s-mat-pcs.oulu.fi/~keba/Tilasto/Prosper_kalvot.pdf · Tilastomatematiikka Kevät 2008 Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto,](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060214/5f059a727e708231d413c7e3/html5/thumbnails/15.jpg)
Klassinen todennäköisyys
Otosavaruus on äärellinenS = {e1, e2, . . . , eN}
Tilastomatematiikka – p.7/73
![Page 16: Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta ...s-mat-pcs.oulu.fi/~keba/Tilasto/Prosper_kalvot.pdf · Tilastomatematiikka Kevät 2008 Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto,](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060214/5f059a727e708231d413c7e3/html5/thumbnails/16.jpg)
Klassinen todennäköisyys
Otosavaruus on äärellinen S = {e1, e2, . . . , eN}Alkeistapahtuman todennäköisyys: P (ei) = 1
N
Tilastomatematiikka – p.7/73
![Page 17: Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta ...s-mat-pcs.oulu.fi/~keba/Tilasto/Prosper_kalvot.pdf · Tilastomatematiikka Kevät 2008 Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto,](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060214/5f059a727e708231d413c7e3/html5/thumbnails/17.jpg)
Klassinen todennäköisyys
Otosavaruus on äärellinen S = {e1, e2, . . . , eN}Alkeistapahtuman todennäköisyys: P (ei) = 1
N
Satunnaiskokeen tapahtuman Aesiintymistodennäköisyys P (A) = m
N, missä
m = #(A) on joukon A alkioiden lukumäärä.
Tilastomatematiikka – p.7/73
![Page 18: Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta ...s-mat-pcs.oulu.fi/~keba/Tilasto/Prosper_kalvot.pdf · Tilastomatematiikka Kevät 2008 Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto,](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060214/5f059a727e708231d413c7e3/html5/thumbnails/18.jpg)
Klassinen todennäköisyys
Otosavaruus on äärellinen S = {e1, e2, . . . , eN}Alkeistapahtuman todennäköisyys: P (ei) = 1
N
Satunnaiskokeen tapahtuman Aesiintymistodennäköisyys P (A) = m
N, missä
m = #(A) on joukon A alkioiden lukumäärä.
Ilmeisesti P (S) = 1.
Tilastomatematiikka – p.7/73
![Page 19: Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta ...s-mat-pcs.oulu.fi/~keba/Tilasto/Prosper_kalvot.pdf · Tilastomatematiikka Kevät 2008 Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto,](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060214/5f059a727e708231d413c7e3/html5/thumbnails/19.jpg)
Kombinatoriikkaa
Permutaatio Äärellisen joukon alkioiden jono,jossa jokainen alkio esiintyy täsmälleenkerran. Permutaatioiden lukumäärän! = 1 · 2 · 3 · · · (n − 1) · n
Tilastomatematiikka – p.8/73
![Page 20: Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta ...s-mat-pcs.oulu.fi/~keba/Tilasto/Prosper_kalvot.pdf · Tilastomatematiikka Kevät 2008 Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto,](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060214/5f059a727e708231d413c7e3/html5/thumbnails/20.jpg)
Kombinatoriikkaa
Permutaatio Äärellisen joukon alkioiden jono,jossa jokainen alkio esiintyy täsmälleenkerran. Permutaatioiden lukumäärän! = 1 · 2 · 3 · · · (n − 1) · nk-permutaatio on äärellisen joukon k:n erialkion jono, joiden lukumäärä on n!
(n−k)! .
Tilastomatematiikka – p.8/73
![Page 21: Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta ...s-mat-pcs.oulu.fi/~keba/Tilasto/Prosper_kalvot.pdf · Tilastomatematiikka Kevät 2008 Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto,](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060214/5f059a727e708231d413c7e3/html5/thumbnails/21.jpg)
Kombinatoriikkaa
Permutaatio Äärellisen joukon alkioiden jono,jossa jokainen alkio esiintyy täsmälleenkerran. Permutaatioiden lukumäärän! = 1 · 2 · 3 · · · (n − 1) · nk-permutaatio on äärellisen joukon k:n erialkion jono, joiden lukumäärä on n!
(n−k)! .
k-kombinaatio on äärellisen joukonk-alkioinen osajoukko. Tässä joukossa on(n
k
)= n!
(n−k)!k! alkiota.
Tilastomatematiikka – p.8/73
![Page 22: Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta ...s-mat-pcs.oulu.fi/~keba/Tilasto/Prosper_kalvot.pdf · Tilastomatematiikka Kevät 2008 Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto,](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060214/5f059a727e708231d413c7e3/html5/thumbnails/22.jpg)
Geometrinen todennäköisyys
Otosavaruus S on jana, alue tai 3-ulotteinentila.
Tilastomatematiikka – p.9/73
![Page 23: Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta ...s-mat-pcs.oulu.fi/~keba/Tilasto/Prosper_kalvot.pdf · Tilastomatematiikka Kevät 2008 Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto,](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060214/5f059a727e708231d413c7e3/html5/thumbnails/23.jpg)
Geometrinen todennäköisyys
Otosavaruus S on jana, alue tai 3-ulotteinentila.
Tapahtuma A on S:n osajoukko.
Tilastomatematiikka – p.9/73
![Page 24: Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta ...s-mat-pcs.oulu.fi/~keba/Tilasto/Prosper_kalvot.pdf · Tilastomatematiikka Kevät 2008 Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto,](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060214/5f059a727e708231d413c7e3/html5/thumbnails/24.jpg)
Geometrinen todennäköisyys
Otosavaruus S on jana, alue tai 3-ulotteinentila.
Tapahtuma A on S:n osajoukko.
Tapahtuman A todennäköisyys on
P (A) =m(A)
m(S)
missä m(A) joukon pituus, pinta-ala taitilavuus.
Tilastomatematiikka – p.9/73
![Page 25: Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta ...s-mat-pcs.oulu.fi/~keba/Tilasto/Prosper_kalvot.pdf · Tilastomatematiikka Kevät 2008 Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto,](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060214/5f059a727e708231d413c7e3/html5/thumbnails/25.jpg)
Todennäköisyyden aksiomat
Todennäköisyysavaruus on {S, E , P}1. 0 ≤ P (A) ≤ 1
2. P (S) = 1
3. P (A ∪ B) = P (A) + P (B), kun A ∩ B = ∅Lause 1. P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B)
Tilastomatematiikka – p.10/73
![Page 26: Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta ...s-mat-pcs.oulu.fi/~keba/Tilasto/Prosper_kalvot.pdf · Tilastomatematiikka Kevät 2008 Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto,](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060214/5f059a727e708231d413c7e3/html5/thumbnails/26.jpg)
Todennäköisyyden perusominaisuudet
Lause 2. Todennäköisyydelle on voimassa:
(i) P (A) = 1 − P (A), P (∅) = 0;
(ii) Jos tapahtumat {Ai, A2, . . . , An} ovat toisensapoissulkevia, ts. Ai ∩ Aj = ∅, kun i 6= j, niin
P (A1∪A2∪· · ·∪An) = P (A1)+P (A2)+· · ·+P (An);
(iii) Aina kun A ⊂ B, niin P (A) ≤ P (B);
(iv) P (A ∩ B) = P (A) − P (A ∩ B).
Tilastomatematiikka – p.11/73
![Page 27: Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta ...s-mat-pcs.oulu.fi/~keba/Tilasto/Prosper_kalvot.pdf · Tilastomatematiikka Kevät 2008 Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto,](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060214/5f059a727e708231d413c7e3/html5/thumbnails/27.jpg)
Todennäköisyyden tulkinta
satunnaiskokeen N-kertainen toisto"riippumattomasti";
Tilastomatematiikka – p.12/73
![Page 28: Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta ...s-mat-pcs.oulu.fi/~keba/Tilasto/Prosper_kalvot.pdf · Tilastomatematiikka Kevät 2008 Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto,](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060214/5f059a727e708231d413c7e3/html5/thumbnails/28.jpg)
Todennäköisyyden tulkinta
satunnaiskokeen N-kertainen toisto"riippumattomasti";
Tarkasteltava tapahtuma A esiintyy n(A)kertaa
Tilastomatematiikka – p.12/73
![Page 29: Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta ...s-mat-pcs.oulu.fi/~keba/Tilasto/Prosper_kalvot.pdf · Tilastomatematiikka Kevät 2008 Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto,](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060214/5f059a727e708231d413c7e3/html5/thumbnails/29.jpg)
Todennäköisyyden tulkinta
satunnaiskokeen N-kertainen toisto"riippumattomasti";
Tarkasteltava tapahtuma A esiintyy n(A)kertaa
Tällöin
P (A) = limN→∞
n(A)
N
Tilastomatematiikka – p.12/73
![Page 30: Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta ...s-mat-pcs.oulu.fi/~keba/Tilasto/Prosper_kalvot.pdf · Tilastomatematiikka Kevät 2008 Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto,](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060214/5f059a727e708231d413c7e3/html5/thumbnails/30.jpg)
2. Ehdollinen todennäköisyys ja riippumattomuus
Satunnaiskokeen otosavaruus S, E sentapahtumasysteemi ja P todennäköisyys.Määr 1. Tapahtuman A ehdollinen todennäköisyys ehdollaB on
P (A|B) =P (A ∩ B)
P (B),
kun P (B) > 0.
Tilastomatematiikka – p.13/73
![Page 31: Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta ...s-mat-pcs.oulu.fi/~keba/Tilasto/Prosper_kalvot.pdf · Tilastomatematiikka Kevät 2008 Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto,](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060214/5f059a727e708231d413c7e3/html5/thumbnails/31.jpg)
Ehdollisen todennäköisyyden ominaisuuksia
1. 0 ≤ P (A|B) ≤ 1;
2. P (B|B) = 1;
3. P (A1 ∪ A2|B) = P (A1|B) + P (A2|B), kunA1 ∩ A2 ∩ B = ∅.
Tilastomatematiikka – p.14/73
![Page 32: Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta ...s-mat-pcs.oulu.fi/~keba/Tilasto/Prosper_kalvot.pdf · Tilastomatematiikka Kevät 2008 Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto,](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060214/5f059a727e708231d413c7e3/html5/thumbnails/32.jpg)
Kertolaskusääntö
Todennäköisyyslaskennan kertosääntö:
P (A ∩ B) = P (B)P (A|B), kun P (B) > 0
P (A ∩ B) = P (A)P (B|A), kun P (A) > 0
Täydellisellä induktiolla voidaan todistaa:Lause 3. Olkoot A1, A2, . . . , An ∈ E siten, ettäP (A1 ∩ · · · ∩ An) > 0. Tällöin on voimassa
P (A1 ∩ A2 ∩ · · · ∩ An) = P (A1)P (A2|A1)P (A3|A2 ∩ A1)
· · ·P (An|A1 ∩ · · · ∩ An−1).
Tilastomatematiikka – p.15/73
![Page 33: Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta ...s-mat-pcs.oulu.fi/~keba/Tilasto/Prosper_kalvot.pdf · Tilastomatematiikka Kevät 2008 Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto,](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060214/5f059a727e708231d413c7e3/html5/thumbnails/33.jpg)
Esimerkki
Esim 4. Laatikossa on 5 punaista ja 3 sinistä sukkaa.Poimitaan umpimähkään kaksi sukkaa. Millätodennäköisyydellä saadaan sininen pari.
Ratk.:
Tapahtumat: B=“1. sukka sininen”,A=“saadaan sininen pari”.
P (A|B) = 27 , sillä 7:stä sukasta 2 sinistä.
Koska A = A ∩ B , niin
P (A) = P (A∩B) = P (A|B)P (B) =2
7· 38
=3
28.
Tilastomatematiikka – p.16/73
![Page 34: Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta ...s-mat-pcs.oulu.fi/~keba/Tilasto/Prosper_kalvot.pdf · Tilastomatematiikka Kevät 2008 Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto,](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060214/5f059a727e708231d413c7e3/html5/thumbnails/34.jpg)
Kokonaistodennäköisyys
Pari {A1, A2} on otosavaruuden S ositus , jos
A1 ∩ A2 = ∅ ja A1 ∪ A2 = S.
Tilastomatematiikka – p.17/73
![Page 35: Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta ...s-mat-pcs.oulu.fi/~keba/Tilasto/Prosper_kalvot.pdf · Tilastomatematiikka Kevät 2008 Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto,](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060214/5f059a727e708231d413c7e3/html5/thumbnails/35.jpg)
Kokonaistodennäköisyys
Pari {A1, A2} on otosavaruuden S ositus , jos
A1 ∩ A2 = ∅ ja A1 ∪ A2 = S.
Oletetaan, että P (Ai) > 0, i = 1, 2.
Tilastomatematiikka – p.17/73
![Page 36: Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta ...s-mat-pcs.oulu.fi/~keba/Tilasto/Prosper_kalvot.pdf · Tilastomatematiikka Kevät 2008 Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto,](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060214/5f059a727e708231d413c7e3/html5/thumbnails/36.jpg)
Kokonaistodennäköisyys
Pari {A1, A2} on otosavaruuden S ositus , jos
A1 ∩ A2 = ∅ ja A1 ∪ A2 = S.
Oletetaan, että P (Ai) > 0, i = 1, 2.
Tapahtumalle B (P (B) > 0):
(A1 ∩ B) ∪ (A2 ∩ B) = B
(A1 ∩ B) ∩ (A2 ∩ B) = ∅
Tilastomatematiikka – p.17/73
![Page 37: Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta ...s-mat-pcs.oulu.fi/~keba/Tilasto/Prosper_kalvot.pdf · Tilastomatematiikka Kevät 2008 Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto,](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060214/5f059a727e708231d413c7e3/html5/thumbnails/37.jpg)
Kok.todennäk.
P (B) = P (A1 ∩ B) + P (A2 ∩ B).
Tilastomatematiikka – p.18/73
![Page 38: Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta ...s-mat-pcs.oulu.fi/~keba/Tilasto/Prosper_kalvot.pdf · Tilastomatematiikka Kevät 2008 Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto,](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060214/5f059a727e708231d413c7e3/html5/thumbnails/38.jpg)
Kok.todennäk.
P (B) = P (A1 ∩ B) + P (A2 ∩ B).
Toisaalta kertolaskusäännön nojalla i = 1, 2:P (Ai ∩ B) = P (B|Ai)P (Ai).
Tilastomatematiikka – p.18/73
![Page 39: Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta ...s-mat-pcs.oulu.fi/~keba/Tilasto/Prosper_kalvot.pdf · Tilastomatematiikka Kevät 2008 Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto,](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060214/5f059a727e708231d413c7e3/html5/thumbnails/39.jpg)
Kok.todennäk.
P (B) = P (A1 ∩ B) + P (A2 ∩ B).
Toisaalta kertolaskusäännön nojalla i = 1, 2:P (Ai ∩ B) = P (B|Ai)P (Ai).
Kokonaistodennäköisyyden kaava
P (B) = P (B|A1)P (A1) + P (B|A2)P (A2).
Tilastomatematiikka – p.18/73
![Page 40: Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta ...s-mat-pcs.oulu.fi/~keba/Tilasto/Prosper_kalvot.pdf · Tilastomatematiikka Kevät 2008 Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto,](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060214/5f059a727e708231d413c7e3/html5/thumbnails/40.jpg)
Bayesin kaava
Kertolaskusäännön jakokonaistodennäköisyyden perusteellaLause 4 (Bayes’n kaava).
P (A1|B) =P (B|A1)P (A1)
∑2k=1 P (Ak)P (B|Ak)
.
Tilastomatematiikka – p.19/73
![Page 41: Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta ...s-mat-pcs.oulu.fi/~keba/Tilasto/Prosper_kalvot.pdf · Tilastomatematiikka Kevät 2008 Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto,](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060214/5f059a727e708231d413c7e3/html5/thumbnails/41.jpg)
Esimerkki
Esim 5. Pumpun venttiilin toimintaa valvotaanautomaattisella hälytysjärjestelmällä. Tiedetään, ettäjärjestelmä hälyttää, kun venttiili ei toimi,todennäköisyydellä 0.98. Todennäköisyydellä 0.985järjestelmä ei hälytä, kun venttiili toimii. Venttiili toimiitodennäköisyydellä 0.0001. Määrää todennäköisyys sille,että venttiili ei toimi, kun järjestelmä hälyttää.
Tilastomatematiikka – p.20/73
![Page 42: Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta ...s-mat-pcs.oulu.fi/~keba/Tilasto/Prosper_kalvot.pdf · Tilastomatematiikka Kevät 2008 Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto,](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060214/5f059a727e708231d413c7e3/html5/thumbnails/42.jpg)
Esimerkki
Esim 6. Mikäli piirilevy tehtaan tuotantolinja on oikeinsäädetty, niin keskimäärin 75 % piirilevyistä on laadultaanhyviä ja keskimäärin 25 % keskinkertaisia. Oletetaan, että10 %:a ajasta tuotantolinjan säädöt pielessä, ja tällöin vain25 % piirilevyistä on laadultaan hyviä ja keskimäärin 75 %on keskinkertaisia. Valmistuslinjalta otetaan piirilevytarkastukseen. Millä todennäköisyydellä linja olinäytteenottohetkellä oikein säädetty, kun piirilevy osoittautuilaadultaan hyväksi?
Tilastomatematiikka – p.21/73
![Page 43: Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta ...s-mat-pcs.oulu.fi/~keba/Tilasto/Prosper_kalvot.pdf · Tilastomatematiikka Kevät 2008 Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto,](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060214/5f059a727e708231d413c7e3/html5/thumbnails/43.jpg)
Riippumattomuus
Määr 2. Tapahtumat A ja B ovat riippumattomia, jos
P (A ∩ B) = P (A)P (B).
Siis; B:n esiintyminen ei vaikuta tapahtuman Atodennäköisyyteen: P (A|B) = P (A).Lause 5. Tapahtumat A ja B ovat riippumattomia, jos ja
vain jos A ja B ovat riippumattomia.
Statistinen riippumattomuus on todennäköisyys-
funktion ominaisuus.
Tilastomatematiikka – p.22/73
![Page 44: Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta ...s-mat-pcs.oulu.fi/~keba/Tilasto/Prosper_kalvot.pdf · Tilastomatematiikka Kevät 2008 Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto,](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060214/5f059a727e708231d413c7e3/html5/thumbnails/44.jpg)
Riippumattomien tapahtumien yhdiste
Olkoon tapahtumat A1, A2, . . . , An
riippumattomia.
Tilastomatematiikka – p.23/73
![Page 45: Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta ...s-mat-pcs.oulu.fi/~keba/Tilasto/Prosper_kalvot.pdf · Tilastomatematiikka Kevät 2008 Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto,](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060214/5f059a727e708231d413c7e3/html5/thumbnails/45.jpg)
Riippumattomien tapahtumien yhdiste
Olkoon tapahtumat A1, A2, . . . , An
riippumattomia.
Todennäköisyys tapahtumalle "ainakin yksitapahtumista Ai sattuu"
P (A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ An) =
1−[
1 − P (A1)]
· · ·[
1 − P (An)]
.
Tilastomatematiikka – p.23/73
![Page 46: Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta ...s-mat-pcs.oulu.fi/~keba/Tilasto/Prosper_kalvot.pdf · Tilastomatematiikka Kevät 2008 Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto,](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060214/5f059a727e708231d413c7e3/html5/thumbnails/46.jpg)
Esimerkki
Esim 7. Systeemi koostuu kolmesta rinnankytketystäidenttisestä komponentista. Systeemi toimii, jos ainakin yksikolmesta rinnakkaisesta komponentista on toimiva.Jokaisen komponentin kestoikä on yli 10 viikkoatodennäköisyydellä 0.2. Millä todennäköisyydelläkokonaissysteemin virheetön toiminta-aika on yli 10 viikkoa?
Tilastomatematiikka – p.24/73
![Page 47: Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta ...s-mat-pcs.oulu.fi/~keba/Tilasto/Prosper_kalvot.pdf · Tilastomatematiikka Kevät 2008 Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto,](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060214/5f059a727e708231d413c7e3/html5/thumbnails/47.jpg)
Riippumattomien kokeiden yhdistäminen
E1, E2, . . . , En riippumattomia satunnaiskokeita
Satunnaiskokeiden otosavaruudetS1, S2, . . . , Sn,
P1, P2, . . . , Pn satunnaiskokeidentodennäköisyysfunktiot
Yhdistetyn kokeen otosavaruus
S = S1 × S2 × · · · × Sn (× on karteesinen tulo).
Tilastomatematiikka – p.25/73
![Page 48: Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta ...s-mat-pcs.oulu.fi/~keba/Tilasto/Prosper_kalvot.pdf · Tilastomatematiikka Kevät 2008 Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto,](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060214/5f059a727e708231d413c7e3/html5/thumbnails/48.jpg)
kokeiden yhdist.
Osajoukot ovat muotoa A1 × A2 × · · · × An,jotka tulkitaan tapahtumaksi "A1 sattuukokeessa E1 ja A2 sattuu kokeessa E2 jne...".
Yhdistetyn tapahtuman todennäköisyys
P (A1×A2×· · ·×An) = P1(A1)P2(A2) . . . Pn(An).
Satunnaiskokeiden riippumattomuuden päättely:
Käytetään ensisijaisesti yleistä tietoa ja tervet-
tä maalaisjärkeä; vasta toissijaisesti laskennalli-
sia menetelmiä.Tilastomatematiikka – p.26/73
![Page 49: Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta ...s-mat-pcs.oulu.fi/~keba/Tilasto/Prosper_kalvot.pdf · Tilastomatematiikka Kevät 2008 Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto,](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060214/5f059a727e708231d413c7e3/html5/thumbnails/49.jpg)
3. Satunnaismuuttuja
Luonnon- tai teknistieteellisissäsovellutuksissa satunnaiskokeen lopputuloson numeerinen lukuarvo.
Virtapiireissä mitataan jännitteitä javirranvoimakkuuksiaTörmäyskokeissa lasketaan esiintyvienhiukkasten lukumääriäSähkömagneettisissa sovellutuksissaarvioidaan kentän intensiteettiäTietoliikennetekniikassa oikein koodattujenbittien lukumäärä
Tilastomatematiikka – p.27/73
![Page 50: Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta ...s-mat-pcs.oulu.fi/~keba/Tilasto/Prosper_kalvot.pdf · Tilastomatematiikka Kevät 2008 Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto,](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060214/5f059a727e708231d413c7e3/html5/thumbnails/50.jpg)
Satunnaismuuttuja
Satunnaiskokeeseen liitettävää lukuakutsutaan satunnaismuuttujaksi.
Matemaattisesti: Satunnaismuuttuja onkuvaus X : S → R
todennäköisyysavaruudesta {S; E , P}reaalilukujen joukkoon.
Satunnaismuuttujan arvojoukko SX tulkitaansatunnaiskokeen otosavaruudeksi.
Tilastomatematiikka – p.28/73
![Page 51: Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta ...s-mat-pcs.oulu.fi/~keba/Tilasto/Prosper_kalvot.pdf · Tilastomatematiikka Kevät 2008 Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto,](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060214/5f059a727e708231d413c7e3/html5/thumbnails/51.jpg)
Satunnaismuuttuja
Satunnaismuuttujan valinta ei oleyksikäsitteinen;
Esim. Nopanheitossa silmäluku onsatunnaismuuttuja; mutta yhtä hyvin voitaisiinvalita satunnaismuuttujaksiX(′silmäluku on i′) = 100 + i, i = 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Kuvaus X on satunnaismuuttuja, jostapahtuma {X ≤ x} on tapahtumasysteeminE joukko:
{X ≤ x} = {e ∈ S| X(e) ≤ x} ∈ E .
Tilastomatematiikka – p.29/73
![Page 52: Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta ...s-mat-pcs.oulu.fi/~keba/Tilasto/Prosper_kalvot.pdf · Tilastomatematiikka Kevät 2008 Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto,](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060214/5f059a727e708231d413c7e3/html5/thumbnails/52.jpg)
Kertymäfunktio
Realisaatio: Satunnaismuuttujan arvo xsatunnaiskokeessa;
Tarkasteltavat tapahtumat A = {a ≤ X ≤ b},tai {X ∈ I| I ⊂ R};
Satunnaismuuttujaan liittyvätodennäköisyysmitta
PX({X ≤ x}) = P ({e ∈ S| X(e) ≤ x}).kertymäfunktio: FX(x) = PX(X ≤ x).
Tilastomatematiikka – p.30/73
![Page 53: Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta ...s-mat-pcs.oulu.fi/~keba/Tilasto/Prosper_kalvot.pdf · Tilastomatematiikka Kevät 2008 Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto,](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060214/5f059a727e708231d413c7e3/html5/thumbnails/53.jpg)
Kertymäfunktion ominaisuuksia
1. F (x1) ≤ F (x2), kun x1 ≤ x2;
2. F (x) ≥ 0;
3. F (−∞) = 0, F (∞) = 1
4. P (x1 < X ≤ x2) = F (x2) − F (x1).
Tapahtuma {X ≤ −∞} on tietysti tyhjä joukko, ja
{X < ∞} täytyy sisältää kaikki satunnaiskokeen
tapahtumat.
Tilastomatematiikka – p.31/73
![Page 54: Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta ...s-mat-pcs.oulu.fi/~keba/Tilasto/Prosper_kalvot.pdf · Tilastomatematiikka Kevät 2008 Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto,](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060214/5f059a727e708231d413c7e3/html5/thumbnails/54.jpg)
3.1 Diskreetti satunnaismuuttuja
Diskreetin satunnaismuuttujan X arvojoukkoSX on äärellinen tai numeroituvasti ääretön:SX = {xk; k = 1, 2, 3, . . . }.
Pistetodennäköisyysfunktio:
f(x) =
{
P (X = xk), x = xk
0, x 6= xk,∀ k
Diskreetin satunnaismuuttujan kertymäfunktioon porrasfunktio
F (x) =∑
xk≤x
P (X = xk).
Tilastomatematiikka – p.32/73
![Page 55: Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta ...s-mat-pcs.oulu.fi/~keba/Tilasto/Prosper_kalvot.pdf · Tilastomatematiikka Kevät 2008 Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto,](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060214/5f059a727e708231d413c7e3/html5/thumbnails/55.jpg)
Binomijakauma
Toistokoe: n riippumattomatonta toistoa.
Tapahtuman B todennäköisyys P (B) = p, jakomplementtitapahtuma B, P (B) = 1 − p.
Satunnaismuuttuja X ilmoittaa tapahtuman Besiintymisten lukumäärän n-kertaisessatoistossa.
Satunnaismuuttujan arvojoukkoSX = {0, . . . , n}.
Tilastomatematiikka – p.33/73
![Page 56: Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta ...s-mat-pcs.oulu.fi/~keba/Tilasto/Prosper_kalvot.pdf · Tilastomatematiikka Kevät 2008 Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto,](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060214/5f059a727e708231d413c7e3/html5/thumbnails/56.jpg)
Binomijakauma
Tapahtumien “B sattuu täsmälleen k kertaa”lukumäärä on
(n
k
).
Yksittäisen kertaotoksen todennäköisyys onpk(1 − p)n−k.
Binomi-jakautuneen satunnaismuuttujanpistetodennäköisyysfunktio on
P (X = k) =
(n
k
)
pk(1 − p)n−k.
Merkintäsopimus: X ∼ Bin(p).Tilastomatematiikka – p.34/73
![Page 57: Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta ...s-mat-pcs.oulu.fi/~keba/Tilasto/Prosper_kalvot.pdf · Tilastomatematiikka Kevät 2008 Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto,](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060214/5f059a727e708231d413c7e3/html5/thumbnails/57.jpg)
Esim.1
Tietoliikennekanava lähettää bittejä 0 ja 1.Kanavan häiriöiden takia esiintyy satunnainendekoodausvirhe, jonka todennäköisyys on p (kts.kuva)0
1 1
0
p
p
1−p
1−p
Millä todennäköisyydellä 10-bittisen viestin de-
koodauksessa esiintyy täsmälleen 3 virheellisesti
dekoodattua bittiä?Tilastomatematiikka – p.35/73
![Page 58: Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta ...s-mat-pcs.oulu.fi/~keba/Tilasto/Prosper_kalvot.pdf · Tilastomatematiikka Kevät 2008 Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto,](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060214/5f059a727e708231d413c7e3/html5/thumbnails/58.jpg)
Esim.2
Satunnaislukugeneraattori tuottaa 10000numeroa joukosta {0, 1, 2, . . . , 9}.
Millä todennäköisyydellä 4 peräkkäistänumeroa ovat samat?
Jaetaan saatu numerosarja 2500:aan 4:nnumeron blokkiin. Satunnaismuuttuja Xilmoittaa lukumäärän blokeille, joissa kaikki 4numeroa ovat samat. Määrää X:ntn-jakauma. Millä todennäköisyydellänumerosarja sisältää enemmän kuin 2 neljäsamaa numeroa sisältävää blokkia?
Tilastomatematiikka – p.36/73
![Page 59: Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta ...s-mat-pcs.oulu.fi/~keba/Tilasto/Prosper_kalvot.pdf · Tilastomatematiikka Kevät 2008 Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto,](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060214/5f059a727e708231d413c7e3/html5/thumbnails/59.jpg)
Geometrinen jakauma
Satunnaiskokeen n-kertainen toisto;
Tarkasteltava tapahtuma B
Millä todennäköisyydellä B tapahtuuensimmäisen kerran k:nnella toistolla?
Tapahtuman
A = B × · · · × B︸ ︷︷ ︸
k−1 kertaa
×B.
todennäköisyys on P (A) = (1 − p)k−1p.
Tilastomatematiikka – p.37/73
![Page 60: Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta ...s-mat-pcs.oulu.fi/~keba/Tilasto/Prosper_kalvot.pdf · Tilastomatematiikka Kevät 2008 Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto,](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060214/5f059a727e708231d413c7e3/html5/thumbnails/60.jpg)
Geometrinen jakauma
Satunnaismuuttuja X ilmoittaa monennellakerralla B sattuu ensimmäisen kerran.
Pistetodennäköisyysfunktio on
P (X = k) = p(1 − p)k−1.
Merkintä: X ∼ Geo(p)
Tilastomatematiikka – p.38/73
![Page 61: Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta ...s-mat-pcs.oulu.fi/~keba/Tilasto/Prosper_kalvot.pdf · Tilastomatematiikka Kevät 2008 Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto,](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060214/5f059a727e708231d413c7e3/html5/thumbnails/61.jpg)
Esim.3
T. Teekkari saapuu laskiaisriehasta kotiin. Avain-
nipussa on n = 10 avainta. Hän kokeilee satun-
naisesti avaimia lukkoon. Jokaisen kokeilun jäl-
keen avaimella on yhtä suuri todennäköisyys tulla
valituksi seuravilla kerroilla. Millä todennäköisyy-
dellä hän saa oven auki 4:nnellä yrittämällä? Mil-
lä tn:llä yrityksiä tarvitaan enemmän kuin kolme
kappaletta?
Tilastomatematiikka – p.39/73
![Page 62: Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta ...s-mat-pcs.oulu.fi/~keba/Tilasto/Prosper_kalvot.pdf · Tilastomatematiikka Kevät 2008 Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto,](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060214/5f059a727e708231d413c7e3/html5/thumbnails/62.jpg)
Poisson-jakauma
Kun n-kertaisessa toistokokeessa
Toistojen lukumäärä n on hyvin suuri;
Tapahtuman B todennäköisyys on pieni(P (B) << 1)
P (Ak) =
(n
k
)
pk(1 − p)n−k =n!
k!(n − k)!pk(1 − p)n−k
≈ P ′k =
ake−a
k!,
missä a = np ja 0 ≤ k < ∞.Tilastomatematiikka – p.40/73
![Page 63: Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta ...s-mat-pcs.oulu.fi/~keba/Tilasto/Prosper_kalvot.pdf · Tilastomatematiikka Kevät 2008 Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto,](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060214/5f059a727e708231d413c7e3/html5/thumbnails/63.jpg)
Poisson-jakauma
Eksponenttifunktio: ea =∑∞
k=0ak
k!
Poisson-jakautuneen satunnaismuuttujanX : S → N pistetodennäköisyys
P (X = k) =ake−a
k!,
sillä∞∑
k=0
P (X = k) = e−a
∞∑
k=0
ak
k!= e−aea = 1.
Tilastomatematiikka – p.41/73
![Page 64: Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta ...s-mat-pcs.oulu.fi/~keba/Tilasto/Prosper_kalvot.pdf · Tilastomatematiikka Kevät 2008 Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto,](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060214/5f059a727e708231d413c7e3/html5/thumbnails/64.jpg)
Poisson-jakauma
Luku a on keskimääräinen lukumäärätapahtumalle B
X ∼ Poi(a)
Klassinen esimerkki: valosähköinen ilmiö:
Valonsäde irroittaa valosähköisesti herkän materiaalin pin-
nasta elektroneja. Vetämällä ne positiivisella jännitteellä va-
rattuun anodiin ulkoisen virtapiirin virran voimakkuus kas-
vaa. Virran voimakkuudesta voidaan päätellä irronneiden
elektronien lukumäärä.Tilastomatematiikka – p.42/73
![Page 65: Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta ...s-mat-pcs.oulu.fi/~keba/Tilasto/Prosper_kalvot.pdf · Tilastomatematiikka Kevät 2008 Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto,](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060214/5f059a727e708231d413c7e3/html5/thumbnails/65.jpg)
Hurraa, Einstein!
Irronneiden elektronien lukumäärä onsatunnaismuuttuja.
Keskimääräinen emittoituneiden elektronien lukumääräa on suoraan verrannollinen säteilynkokonaisenergiaan W aikavälillä [0, T ]:
a =ηW
hν, (HURRAA, EINSTEIN!),
missä h on Planck’n vakio, η on ns. materiaalinkvanttitehokkuus ja ν aallonpituus.
Tilastomatematiikka – p.43/73
![Page 66: Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta ...s-mat-pcs.oulu.fi/~keba/Tilasto/Prosper_kalvot.pdf · Tilastomatematiikka Kevät 2008 Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto,](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060214/5f059a727e708231d413c7e3/html5/thumbnails/66.jpg)
Valosähk. ilmiö
Fotoni irroittaa elektronin tn:llä η << 1;Whν
on pintaan osuvien fotonien lukumäärä;
Todennäköisyys, että k elektroniarekisteröidään mittalaitteessa noudattaabinomijakaumaa
Mutta; elektronien lukumäärä n >> 1 jairtoamistodennäköisyys η << 1, niinsatunnaismuuttuja X (emittoituneidenelektronien lukumäärä) noudattaa Poissoninjakaumaa Poi(a).
Tilastomatematiikka – p.44/73
![Page 67: Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta ...s-mat-pcs.oulu.fi/~keba/Tilasto/Prosper_kalvot.pdf · Tilastomatematiikka Kevät 2008 Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto,](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060214/5f059a727e708231d413c7e3/html5/thumbnails/67.jpg)
Esim.4
Asiakaspalveluun saapuu keskimäärin 50000
soittoa vuorokaudessa. Asiakaspalvelun ylikuor-
mitustila on pienin kokonaisluku N siten, että asia-
kaspalveluun saapuu tn:llä 0.001 enemmän kuin
N puhelua sekunnisssa. Olettaen, että puhelujen
lukumäärä on Poisson-jakautunut, määrää sys-
teemin ylikuormitustila.
Tilastomatematiikka – p.45/73
![Page 68: Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta ...s-mat-pcs.oulu.fi/~keba/Tilasto/Prosper_kalvot.pdf · Tilastomatematiikka Kevät 2008 Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto,](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060214/5f059a727e708231d413c7e3/html5/thumbnails/68.jpg)
Esimerkkejä
Painovirheiden lukumäärä kirjan sivulla;
Yli 100-vuotiaaksi elävien lukumääräkunnassa;
Vääriin numeroihin soitettujen puhelujenlukumäärä vuorokaudessa;
Asiakkaiden saapuminen aikayksikössä
Galaksien lukumäärä alueessa R
Tilastomatematiikka – p.46/73
![Page 69: Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta ...s-mat-pcs.oulu.fi/~keba/Tilasto/Prosper_kalvot.pdf · Tilastomatematiikka Kevät 2008 Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto,](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060214/5f059a727e708231d413c7e3/html5/thumbnails/69.jpg)
Ominaisuuksia
Jos X1 ∼ Bin(n1, p) ja X2 ∼ Bin(n2, p), niin
X1 + X2 ∼ Bin(n1 + n2, p)
Jos X1 ∼ Poi(a1) ja X2 ∼ Poi(a2), niin
X1 + X2 ∼ Poi(a1 + a2)
Tilastomatematiikka – p.47/73
![Page 70: Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta ...s-mat-pcs.oulu.fi/~keba/Tilasto/Prosper_kalvot.pdf · Tilastomatematiikka Kevät 2008 Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto,](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060214/5f059a727e708231d413c7e3/html5/thumbnails/70.jpg)
Hypergeometrinen jakauma
Tarkastellaan numeroita {1, 2, . . . , N}Numeroista on merkitty m kappaletta
Valitaan joukosta umpimähkäisesti n numeroa
Millä todennäköisyydellä kokeensuorittajavalitsi täsmälleen k kappaletta ennakoltamerkittyä numeroa?
Tilastomatematiikka – p.48/73
![Page 71: Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta ...s-mat-pcs.oulu.fi/~keba/Tilasto/Prosper_kalvot.pdf · Tilastomatematiikka Kevät 2008 Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto,](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060214/5f059a727e708231d413c7e3/html5/thumbnails/71.jpg)
Hypergeometrinen jakauma
Satunnaiskoe määrittelee satunnaismuuttujanX, joka noudattaa hypergeometristajakaumaa:
P (X = k) =
(m
k
)(N−m
n−k
)
(N
n
) .
Esim.: Millä todennäköisyydellä lotossasaadaan täsmälleen 4 oikein?
Tilastomatematiikka – p.49/73
![Page 72: Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta ...s-mat-pcs.oulu.fi/~keba/Tilasto/Prosper_kalvot.pdf · Tilastomatematiikka Kevät 2008 Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto,](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060214/5f059a727e708231d413c7e3/html5/thumbnails/72.jpg)
3.2 Jatkuva satunnaismuuttuja
Satunnaismuuttuja X on jatkuva, jos
kertymäfunktio on jatkuva kaikilla x:n arvoilla
Lisäoletus:
kertymäfunktio on paloittain derivoituva
Tällöin kertymäfunktion derivaatta ontiheysfunktio
fX(x) =dFX(x)
dx
Tilastomatematiikka – p.50/73
![Page 73: Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta ...s-mat-pcs.oulu.fi/~keba/Tilasto/Prosper_kalvot.pdf · Tilastomatematiikka Kevät 2008 Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto,](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060214/5f059a727e708231d413c7e3/html5/thumbnails/73.jpg)
Tiheysfunktio
Kertymäfunktio tiheysfunktion fX(t) integraali
FX(x) =
∫ x
−∞fX(t)dt.
Jos ei ole suurta erehtymisen riskiä, niinusein merkitään f(x) = fX(x).
Jatkuvalle jakaumalleF (a + h) − F (a − h) → 0, kun h → 0. Näinollen P (X = a) = 0.
Diskreetille jakaumalle tämä ei välttämättäpäde.
Tilastomatematiikka – p.51/73
![Page 74: Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta ...s-mat-pcs.oulu.fi/~keba/Tilasto/Prosper_kalvot.pdf · Tilastomatematiikka Kevät 2008 Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto,](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060214/5f059a727e708231d413c7e3/html5/thumbnails/74.jpg)
Tiheysfunktion ominaisuuksia
1.∫ ∞−∞ fX(x)dx = 1;
2. P (a < X ≤ b) =∫ b
afX(x)dx = FX(b) − FX(a);
3. fX(x) = dFX(x)dx
.
Koska P (x = b) = 0, niin jatkuvalle jakaumalle:
P (a < X < b) = P (a ≤ X < b) = P (a ≤ X ≤ b)
= P (a < X ≤ b).
Tilastomatematiikka – p.52/73
![Page 75: Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta ...s-mat-pcs.oulu.fi/~keba/Tilasto/Prosper_kalvot.pdf · Tilastomatematiikka Kevät 2008 Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto,](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060214/5f059a727e708231d413c7e3/html5/thumbnails/75.jpg)
Eksponenttijakauma
Eksponenttijakauman, X ∼ exp(a),
tiheysfunktio fX(x) =
0, x < 0,
ae−ax, x ≥ 0.
kertymäfunktio
FX(x) =∫ x
−∞fX(x)dx =
0, x < 0
1 − e−ax, x ≥ 0.
Parametri a > 0: Käänteisluku 1a
ilmoittaasatunnaismuuttujan keskimääräisen arvon.
Mallinnetaan tapahtuman odotusaikaa (diodin elinaika)Tilastomatematiikka – p.53/73
![Page 76: Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta ...s-mat-pcs.oulu.fi/~keba/Tilasto/Prosper_kalvot.pdf · Tilastomatematiikka Kevät 2008 Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto,](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060214/5f059a727e708231d413c7e3/html5/thumbnails/76.jpg)
Tasajakauma
Tasajakauman, X ∼ Tas(a, b),
Tiheysfunktio fX(x) =
0, x < a
1b−a
, a ≤ x ≤ b
0, x > b
.
Kertymäfunktio FX(x) =
0, x < a
x−ab−a
, a ≤ x ≤ b
1, x > b
.
Tilastomatematiikka – p.54/73
![Page 77: Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta ...s-mat-pcs.oulu.fi/~keba/Tilasto/Prosper_kalvot.pdf · Tilastomatematiikka Kevät 2008 Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto,](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060214/5f059a727e708231d413c7e3/html5/thumbnails/77.jpg)
Normaalijakauma
2-parametrinen jakauma: X ∼ N(µ, σ2).
Tiheysfunktio on ns. Gaussin kellokäyrä:
fX(x) =1√
2πσ2e−
(x−µ)2
2σ2 .
Parametri µ on satunnaismuuttujan Xkeskimääräinen arvo;
Parametri σ2 sen varianssi (tunnusluvuttarkemmin myöhemmillä luennoilla), ja σ onhajonta.
Tilastomatematiikka – p.55/73
![Page 78: Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta ...s-mat-pcs.oulu.fi/~keba/Tilasto/Prosper_kalvot.pdf · Tilastomatematiikka Kevät 2008 Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto,](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060214/5f059a727e708231d413c7e3/html5/thumbnails/78.jpg)
Normaalijakauman kertymäfunktio
Arvoja
FX(x) =1√
2πσ2
∫ x
−∞e−
(z−µ)2
2σ2 dz
ei osata laskea tarkasti.
(0, 1)-jakautuneen l. standardisoidunnormaalijakauman kertymäfunktion Φ(x)arvot taulukosta
Tilastomatematiikka – p.56/73
![Page 79: Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta ...s-mat-pcs.oulu.fi/~keba/Tilasto/Prosper_kalvot.pdf · Tilastomatematiikka Kevät 2008 Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto,](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060214/5f059a727e708231d413c7e3/html5/thumbnails/79.jpg)
Standardisoitu normaalijakauma
tiheysfunktio
fX(x) =1√2π
e−x2
2
kertymäfunktio
Φ(x) =1√2π
∫ x
−∞e−
t2
2 dt.
Kertymäfunktion arvot Φ(x):n taulukosta
Tilastomatematiikka – p.57/73
![Page 80: Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta ...s-mat-pcs.oulu.fi/~keba/Tilasto/Prosper_kalvot.pdf · Tilastomatematiikka Kevät 2008 Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto,](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060214/5f059a727e708231d413c7e3/html5/thumbnails/80.jpg)
Φ(x):n ominaisuuksia
Symmetriaominaisuus:
Φ(−x) = 1 − Φ(x).
Todennäköisyys, että Z ∈ [a, b] on
P (a < Z < b) = Φ(b) − Φ(a).
Lause 6. Jos Z ∼ N(0, 1), niin satunnaismuuttuja
X = σZ + µ ∼ N(µ, σ2).
Tilastomatematiikka – p.58/73
![Page 81: Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta ...s-mat-pcs.oulu.fi/~keba/Tilasto/Prosper_kalvot.pdf · Tilastomatematiikka Kevät 2008 Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto,](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060214/5f059a727e708231d413c7e3/html5/thumbnails/81.jpg)
Taulukon käyttö
Olkoon X ∼ N(µ, σ2) =⇒ .
Satunnaismuuttuja
Z =X − µ
σ∼ N(0, 1).
Todennäköisyys sille, että X ≤ a on
P (X ≤ a) = P (Z ≤ a − µ
σ) = Φ(
a − µ
σ).
Tilastomatematiikka – p.59/73
![Page 82: Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta ...s-mat-pcs.oulu.fi/~keba/Tilasto/Prosper_kalvot.pdf · Tilastomatematiikka Kevät 2008 Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto,](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060214/5f059a727e708231d413c7e3/html5/thumbnails/82.jpg)
Vikaantumisjakaumat
Laitteiston ehdollinenvikaantumistodennäköisyys
hasardifunktio β(t);
satunnaismuuttujaX =“rikkoontumisajankohta”;
Ehdollinen todennäköisyys laitteistonvikaantumiselle aikavälillä [t, t + dt]
P (t < X ≤ t + dt|X ≥ t) = β(t)dt.
Tilastomatematiikka – p.60/73
![Page 83: Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta ...s-mat-pcs.oulu.fi/~keba/Tilasto/Prosper_kalvot.pdf · Tilastomatematiikka Kevät 2008 Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto,](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060214/5f059a727e708231d413c7e3/html5/thumbnails/83.jpg)
Hasardifunktio
Satunnaismuuttujan X tiheysfunktio f(t) jakertymäfunktio F (t).
P (t < X ≤ t + dt|X ≥ t)
= F (t + dt|X ≥ t) − F (t|X ≥ t)
=F (t + dt) − F (t)
1 − F (t)=
f(t)dt
1 − F (t).
=⇒ hasardifunktio β(t) =f(t)
1 − F (t)Tilastomatematiikka – p.61/73
![Page 84: Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta ...s-mat-pcs.oulu.fi/~keba/Tilasto/Prosper_kalvot.pdf · Tilastomatematiikka Kevät 2008 Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto,](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060214/5f059a727e708231d413c7e3/html5/thumbnails/84.jpg)
Hasardifunktio
Tiheysfunktio on kertymäfunktion derivaatta =⇒
β(t) =F ′(t)
1 − F (t)= − d
dtln[1 − F (t)].
Integroimalla puolittain saadaan:
F (t) =
{
0, t < 0
1 − e−∫ t
0β(s)ds, t ≥ 0.
Tiheysfunktio: f(t) =
{
0, t < 0
β(t)e−∫ t
0β(s)ds, t ≥ 0.
Tilastomatematiikka – p.62/73
![Page 85: Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta ...s-mat-pcs.oulu.fi/~keba/Tilasto/Prosper_kalvot.pdf · Tilastomatematiikka Kevät 2008 Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto,](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060214/5f059a727e708231d413c7e3/html5/thumbnails/85.jpg)
Weibull’n jakauma
Weibullin jakauman hasardifunktioβ(t) = abtb−1, t > 0, a, b > 0.
Weibullin jakauman tiheys- ja kertymäfunktioovat
F (t) = 1 − e−atb, t > 0
f(t) = abtb−1e−atb, t > 0.
Weibullin jakauma on odotusajan jakauma, jonka
avulla mallinnetaan jonkun suotuisan tapahtuman
ajankohtaaTilastomatematiikka – p.63/73
![Page 86: Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta ...s-mat-pcs.oulu.fi/~keba/Tilasto/Prosper_kalvot.pdf · Tilastomatematiikka Kevät 2008 Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto,](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060214/5f059a727e708231d413c7e3/html5/thumbnails/86.jpg)
4. Jakauman tunnusluvut
Odotusarvo =“satunnaismuuttujankeskimääräinen arvo”
Varianssi (hajonta) mittaa poikkeamaakeskimääräisestä arvosta
Vinous
Kurtosis
Tilastomatematiikka – p.64/73
![Page 87: Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta ...s-mat-pcs.oulu.fi/~keba/Tilasto/Prosper_kalvot.pdf · Tilastomatematiikka Kevät 2008 Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto,](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060214/5f059a727e708231d413c7e3/html5/thumbnails/87.jpg)
4.1 Odotusarvo
Diskreetin jakauman odotusarvo
Odotusarvo ilmoittaa jakaumankeskimääräisen arvon
E(X) =∑
k∈I xkP (X = xk),
jos summa on suppeneva.
Tilastomatematiikka – p.65/73
![Page 88: Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta ...s-mat-pcs.oulu.fi/~keba/Tilasto/Prosper_kalvot.pdf · Tilastomatematiikka Kevät 2008 Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto,](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060214/5f059a727e708231d413c7e3/html5/thumbnails/88.jpg)
Esimerkkejä
Geometrisen jakauman odotusarvo
E(X) =1
p,
missä jakauman parametri on 0 < p < 1.
Binomijakauman Bin(n, p) odotusarvoE(X) = np.
Poissonin jakauman Poi(a) odotusarvo onE(X) = a.
Tilastomatematiikka – p.66/73
![Page 89: Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta ...s-mat-pcs.oulu.fi/~keba/Tilasto/Prosper_kalvot.pdf · Tilastomatematiikka Kevät 2008 Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto,](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060214/5f059a727e708231d413c7e3/html5/thumbnails/89.jpg)
Mutta, jos
Satunnaismuuttujan Xpistetodennäköisyysfunktio on
P (X = k) =6
π2k2,
Tällöin
E(X) =∞∑
k=1
k · 6
π2k2=
6
π2
∞∑
k=1
1
k= ∞.
Satunnaismuuttujalla X ei ole odotusarvoa.
Tilastomatematiikka – p.67/73
![Page 90: Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta ...s-mat-pcs.oulu.fi/~keba/Tilasto/Prosper_kalvot.pdf · Tilastomatematiikka Kevät 2008 Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto,](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060214/5f059a727e708231d413c7e3/html5/thumbnails/90.jpg)
Jatkuvan jakauman odotusarvo
Satunnaismuuttujan X
tiheysfunktio fX(x)
kertymäfunktio FX(x)
Satunnaismuuttujan odotusarvo
E(X) =
∫ ∞
−∞xfX(x)dx,
mikäli integraali on olemassa.
Tilastomatematiikka – p.68/73
![Page 91: Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta ...s-mat-pcs.oulu.fi/~keba/Tilasto/Prosper_kalvot.pdf · Tilastomatematiikka Kevät 2008 Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto,](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060214/5f059a727e708231d413c7e3/html5/thumbnails/91.jpg)
Cauchy-jakauma
Cauchy-jakauman tiheysfunktio
f(x) =2
π
1
1 + x2u(x).
Tilastomatematiikka – p.69/73
![Page 92: Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta ...s-mat-pcs.oulu.fi/~keba/Tilasto/Prosper_kalvot.pdf · Tilastomatematiikka Kevät 2008 Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto,](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060214/5f059a727e708231d413c7e3/html5/thumbnails/92.jpg)
Cauchy-jakauma
Cauchy-jakauman tiheysfunktio
f(x) =2
π
1
1 + x2u(x).
Kun a > 0
2
π
∫ a
0
x
1 + x2dx =
2
π
/a
0
1
2log(1+x2) =
1
2πlog(1+a2).
Tilastomatematiikka – p.69/73
![Page 93: Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta ...s-mat-pcs.oulu.fi/~keba/Tilasto/Prosper_kalvot.pdf · Tilastomatematiikka Kevät 2008 Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto,](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060214/5f059a727e708231d413c7e3/html5/thumbnails/93.jpg)
Cauchy-jakauma
Cauchy-jakauman tiheysfunktio
f(x) =2
π
1
1 + x2u(x).
Kun a > 0
2
π
∫ a
0
x
1 + x2dx =
2
π
/a
0
1
2log(1+x2) =
1
2πlog(1+a2).
Odotusarvoa ei ole olemassa, sillä∫ ∞
0
2
π(1 + x2)dx = lim
a→∞1
2πlog(1 + a2) = ∞
Tilastomatematiikka – p.69/73
![Page 94: Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta ...s-mat-pcs.oulu.fi/~keba/Tilasto/Prosper_kalvot.pdf · Tilastomatematiikka Kevät 2008 Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto,](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060214/5f059a727e708231d413c7e3/html5/thumbnails/94.jpg)
Tärkeiden jakaumien odotusarvoja:
X ∼Tas(a, b), E(X) =a + b
2
X ∼Exp(λ), E(X) =1
λX ∼N(µ, σ2), E(X) = µ
Tilastomatematiikka – p.70/73
![Page 95: Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta ...s-mat-pcs.oulu.fi/~keba/Tilasto/Prosper_kalvot.pdf · Tilastomatematiikka Kevät 2008 Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto,](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060214/5f059a727e708231d413c7e3/html5/thumbnails/95.jpg)
4.2 Odotusarvon ominaisuuksia
X on diskreetti satunnaismuuttuja
h(x) reaaliarvoinen differentioituva funktio
Satunnaismuuttujan Y = h(X)
arvojoukko SY = {yj = h(xj)| xj ∈ SX}pistetodennäköisyysfunktioP (Y = yj) =
∑
xi| yj=h(xi)P (X = xi).
Oletus:∑
xi|h(xi)|P (X = xi) < ∞.
Tilastomatematiikka – p.71/73
![Page 96: Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta ...s-mat-pcs.oulu.fi/~keba/Tilasto/Prosper_kalvot.pdf · Tilastomatematiikka Kevät 2008 Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto,](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060214/5f059a727e708231d413c7e3/html5/thumbnails/96.jpg)
Lauseita
Lause 7. Satunnaismuuttujan Y = h(X) odotusarvo
E(Y ) = E(h(X)) =∑
xi
h(xi)P (X = xi).
Lause 8. Olkoon h(x) siten, että∫ ∞
−∞|h(x)|fX(x)dx < ∞. Tällöin
satunnaismuuttujan Y = h(X) odotusarvo
E(Y ) =∫ ∞
−∞h(x)fX(x)dx.
Tilastomatematiikka – p.72/73
![Page 97: Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta ...s-mat-pcs.oulu.fi/~keba/Tilasto/Prosper_kalvot.pdf · Tilastomatematiikka Kevät 2008 Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto,](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022060214/5f059a727e708231d413c7e3/html5/thumbnails/97.jpg)
Lineaarisuus
Satunnaismuuttujan odotusarvo on lineaarinen,ts. on voimassa:Lause 9. Olkoon X ja Y reaalisia satunnaismuuttujia, jaa, b ∈ R. Tällöin
E(aX + bY ) = aE(X) + bE(Y ).
Huom! Vakion odotusarvo on vakio: E(a) = a.
Tilastomatematiikka – p.73/73