Post on 13-Dec-2015
1
INTEGRALES EN TRES VARIABLESDefinición
* Si es un intervalo en , es de la forma , con M M œ Ò+ß ,Ó + ,‘
Si es una partición de es de la forma :‡ T M ßM
P con M ! " 8 ! " 8œ Ö> ß > ß ÞÞÞß > × + œ > > ÞÞÞ > œ ,
es decir divide al intervalo en subintervalos del tipoT M 8 M
con Ò> ß > Ó 3 − Ö"ß #ß ÞÞÞß 8 ×3" 3
Si es un rectangulo en , es de la forma con ‡ V M ‚ N Mß N‘#
intervalos en ‘
* Si es una partición de , es una colección del tipo T V T œ ÐT ß T ÑM N
donde son particiones de respectivamenteT ß T M ß NM N
Si es un rectangulo en , es de la forma con ‡ V M ‚ N ‚O‘3
intervalos en Mß N ßO ‘
* Si es una partición de , es una colección del tipo T V T œ ÐT ß T ß T ÑM N O
donde son particiones de respectivamenteT ß T ß T M ß N ßOM N O
2
Ejemplo
Sea dondeV œ Ò+ß , Ó ‚ Ò-ß . Ó ‚ Ò ß Ó ß T œ ÐT ß T ß T Ñ! " M N O
P P PM ! " 8 N ! " 7 O ! " >œ Ö> ß > ß ÞÞÞß > × ß œ Ö= ß = ß ÞÞÞß = × ß œ Ö< ß < ß ÞÞÞß < × se tiene que divide al rectangulo en sub-rectangulos del tipoT V 87>
W œ V œ Ò> ß > Ó ‚ Ò= ß = Ó ‚ Ò< ß < Ó345 3" 3 4" 4 5" 5
Sea función acotada.0 À V © qqqqqp‘ ‘3
Sea rectangulo y partición de V T V Para cada sub-rectangulo de , se define :W T
supQ œ Ö0ÐBÑÎB − W×W
inf7 œ Ö0ÐBÑÎB − W×W
volumen de EÐWÑ œ W œ Ð> > ÑÐ= = ÑÐ< < Ñ3 3" 4 4" 5 5"
suma superior de respecto a W œ Q † EÐWÑ œ 0 TT WW−T
! suma inferior de respecto a W œ Q † EÐWÑ œ 0 TT W
W−T
!
3
Teorema
Sea función acotada0 À V © qqqqqp‘ ‘$
sean particiones de entonces se cumple queT ßU V
1.- W Ÿ WT T
2.- W Ÿ WT U
Observación
En general se cumple que :
sup partición inf partición Ö W ÎT × Ÿ Ö W ÎT ×T T
Definición
Sea función acotada0 À V © qqqqqp‘ ‘$
Diremos que es Riemann Integrable en si0 V
sup partición inf partición Ö W ÎT × œ Ö W ÎT ×T T
al valor común se le denotara por 'V0
y se le llama " Integral de sobre "0 V
Notación
' ' ' ' ' ' 'V V V V0 œ 0ÐBß Cß DÑ.Z œ 0ÐBß Cß DÑ.B.C.D œ 0ÐBß Cß DÑ.D.C.B
Observación
Si (caso conocido)8 œ " 0 œ 0 œ 0ÐBÑ.B' ' 'V ,Ò+ß, Ó
+
4
Definición
Sea , diremos que es un conjunto de medida nulaF § F‘$
ssi sucesión de rectángulos) tal queÐa !ÑÐbÖV ×% 3 3−
1.- F © V V ÞÞÞV" # 8
2.- !3−
EÐV Ñ 3 %
Teorema
Todo sunconjunto de contable o numerable tiene medida nula‘$
Ejemplo Sea F œ ÖÐ"ß "ß "Ñß Ð$ß #ß "Ñß Ð#ß &ß $Ñ×
V œ Ò ß Ó ‚ Ò ß Ó ‚ Ò" ß " Ó à EÐV Ñ œ" "" $ " $# # # # "# "# '
% % %
V œ Ò ß Ó ‚ Ò ß Ó ‚ Ò" ß " Ó à EÐV Ñ œ# #& ( $ &# # # # "# "# '
% % %
V œ Ò ß Ó ‚ Ò ß Ó ‚ Ò$ ß $ Ó à EÐV Ñ œ$ $$ & * ""# # # # "# "# '
% % %
se tiene que : 1.- F © V V V" # $
2.- parta todo !3œ"
$
3 ' #EÐV Ñ $ † œ % % % %
por lo tanto es un conjunto de medida nulaF
Ejemplo Sea F œ ÖÐBß CÑ − Î " Ÿ B Ÿ # • " Ÿ C Ÿ $ • ÐD œ $ ” D œ "Ñב$
V œ Ò "ß # Ó ‚ Ò"ß $ Ó ‚ Ò$ ß $ Ó à EÐV Ñ œ" "$# $# )$% % %
V œ Ò "ß # Ó ‚ Ò"ß $ Ó ‚ Ò" ß " Ó à EÐV Ñ œ# #$# $# )$% % %
se tiene que : 1.- F © V V" #
2.- parta todo !3œ"
#
3$ $) %EÐV Ñ # † œ % % % %
por lo tanto es un conjunto de medida nulaF
5
Observación
Si es una suc de conjuntos de medida nula en E ß ÞÞÞE" 7$‘
entonces la union de ellos es un conjunto de medida nula
Teorema
Sea acotada0 À V § qqqqqp‘ ‘$
sea no es continua F œ ÖB − VÎ0 ×
Entonces
es Riemann Integrable en ssi tiene medida nula0 V F
Teorema
Sea Riemann Integrable0 À Ò+ß , Ó ‚ Ò-ß . Ó ‚ Ò ß Ó qqqqqp! " ‘ y supongamos que para cada fijo B 0 ÐCß DÑ œ 0ÐBß Cß DÑB
es una función Riemann Integrable en respecto a Ò-ß . Ó ‚ Ò ß Ó œ W ÐCß DÑ! "
Entonces la función 1ÐBÑ œ 0 ÐCß DÑ œ 0ÐBß Cß DÑ.D.C' ' '
WB -
.!
"
es integrable en respecto a Ò+ß , Ó B
y ' ' ' '+ + -, , .1ÐBÑ.B œ Ð 0ÐBß Cß DÑ.D.C Ñ.B
!
"
y se cumple que :
' ' ' ' 'V0 œ Ð 0ÐBß Cß DÑ.D.C Ñ.B+ -
, .!
"
6
Observación
Sea Riemann Integrable0 À Ò+ß , Ó ‚ Ò-ß . Ó ‚ Ò ß Ó qqqqqp! " ‘
y supongamos que para cada fijo C 0 ÐBß DÑ œ 0ÐBß Cß DÑC
es una función Riemann Integrable en respecto a Ò+ß , Ó ‚ Ò ß Ó ÐBß DÑ! " Entonces la función 1ÐCÑ œ 0 ÐBß DÑ œ 0ÐBß Cß DÑ.D.B' ' '
WC +
,!
"
es integrable en respecto a Ò-ß . Ó C
y ' ' ' '- - +. . ,1ÐCÑ.C œ Ð 0ÐBß Cß DÑ.D.B Ñ.C
!
"
y se cumple que :
' ' ' ' ' ' ' 'V0 œ Ð 0ÐBß Cß DÑ.D.B Ñ.C œ Ð 0ÐBß Cß DÑ.D.C Ñ.B- + + -
. , , .! !
" "
Ejemplo
Sea y V œ Ò "ß # Ó ‚ Ò"ß % Ó ‚ Ò#ß $ Ó 0ÐBß Cß DÑ œ 'B CD#
Calcular ' 'V0
Solución
' ' ' ' ' ' ' ¸V0 œ Ð 'B CD.D.C Ñ.B œ Ð $B CD .CÑ.B" " # " "
# % $ # %# # # $
#
œ "&B C.C.B œ B C .B œ B .B' ' ' '¸" " " # " ## % # ## # # #"& ##&%
"
œ B œ † * œ '(&##& ##&$ $
$"
#¸Observación
Sea acotado, entoncesK © ß K‘$
existe rectángulo tal que V © K © V‘$
7
Definición Sea función acotada , acotada0 À K § qqqqqp K‘ ‘$
y sea rectángulo tal que V K © V
Sea función0ÐBÑ œ0ÐBÑ à B − K! à B − VÏKœ
Diremos que es Riemann In tegrable en 0 K
si es Riemann Integrable en y se tendra que :0 V
' 'K V0 œ 0
Observación
Si son rectangulos tales que y VßV K § V K § V" "
se cumple que : ' '
V V0 œ 0"
Teorema
Sea función acotada , acotada0 À K § qqqqqp K‘ ‘$
continua en con conjunto de medida nula y 0 M8>ÐKÑÏF F J<ÐKÑ conjunto de medida nula Entonces es Riemann Integrable en 0 K
8
TeoremaÐFubini)
Sea función acotada , acotada y cerrada0 À K § qqqqqp K‘ ‘$
continua en y supongamos que esta formada por los 0 K J<ÐKÑ planos los cilindros B œ + ß B œ , à C œ 1 ÐBÑ ß C œ 1 ÐBÑ" #
tal que 1 ÐBÑ Ÿ 1 ÐBÑ aB − Ò+ß , Ó" #
y las superficies : D œ J ÐBß CÑ ß D œ J ÐBß CÑ" #
tal que J ÐBß CÑ Ÿ J ÐBß CÑ aÐBß CÑ" #
Se cumple que : ' ' ' 'K +
,0 œ 0ÐBß Cß DÑ.D.C.B
1 ÐBÑ J ÐBßCÑ" "
1 ÐBÑ J ÐBßCÑ# #
Observación
Si se tiene que al volumen de 0ÐBß Cß DÑ œ " 0 œ K'K
9
Ejemplo
Calcular el volumen del sólido que está arriba del plano BC À
acotado por el paraboloide elíptico :D œ B %C# #
y el cilindro B %C œ %# #
Solución
luego, se tiene que : Z œ % .D.C.B' ' '! !# B %C
!
È%B#
## #
o bien : Z œ % .D.B.C' ' '! ! !
# "C B %C1 È # # #
Ejemplo
Calcular el volumen del sólido acotado por Àel cilindro el plano À B C œ #& ß À B C D œ )# #
y el plano BC
Solución
10
luego, se tiene que : Z œ .D.C.B œ #!!' ' '& !& #&B )BC
#&BÈÈ
#
#
1
Ejemplo
Calcular el volumen del sólido acotado por À
el cono 9 el plano À B D œ C ß À C œ *# # #
Solución
luego, se tiene que : Z œ # .D.B.C' ' '! !* C *B
!
C$
# #È
Ejemplo Resolver , si es la región acotada por los cilindros' ' '
WBCD W
B C œ % ß B D œ %# # # #
Solución
luego, se tiene que :
Z œ ) BCD.D.C.B œ % BCD .C.B' ' ' ' ' ¸! ! ! ! !# %B %B # %B #
!
%BÈ È È È# # # #
11
œ % BCÐ% B Ñ .C.B œ # BC Ð% B Ñ .B' ' ' ¸! ! !# %B ## # #
!
%BÈ È# #
œ # B Ð% B Ñ .B œ Ð% B Ñ œ' ¸! $ $# # # # $" %
!
# $
Ejemplo
Resolver , si es la región acotada por el tetraedro' ' 'W C W
formado por os planos : y los planos "#B #!C "&D œ '! coordenados
Solución
luego :
si en se tiene D œ ! "#B #!C "&D œ '! C œ B $$&
de se tiene que "#B #!C "&D œ '! D œ '!"#B#!C"&
con lo cual, se tiene :
' ' 'W C œ C .D.C.B' ' '
!&
! !
B$$& "&
'!"#B#!C
œ C D .C.B' ' ¸!&
!
B$
!
$&
'!"#B#!C"&
œ C Ð Ñ.C.B' '! "&&
!
B$ '!"#B#!C$&
œ Ð%C BC C Ñ.C.B' '! & $&
!
B$ % % #$&
œ Ð#C BC C .B' ¸! & *& # # $# %
!
B$$&
12
œ Ð B $Ñ Ð BÑ .B œ ÞÞÞ'! & $ "&& $ # ##
Ejemplo
Dado el solido determinado por:
I À D Ÿ % à G À D $ † ( (B"Ñ ÐC#Ñ B"Ñ ÐC#Ñ* % * %
#"
# # # #
È É
Expresar las integrales que permiten calcular el volumen del sólidoSolución
consideremos:
I À D œ % à G À D œ $ † ( (B"Ñ ÐC#Ñ B"Ñ ÐC#Ñ* % * %
#"
# # # #È É
I G À"
( (
( (
B"Ñ ÐC#Ñ B"Ñ ÐC#Ñ* % * %
# #
B"Ñ ÐC#Ñ* %
B"Ñ ÐC#Ñ* % $
D
# # # #
# ## # #
D œ % ==3 D œ %
$ † œ D œÈ É ==3 D œ % ==3 D œ $
œ œ "
D$
#
B"Ñ ÐC#Ñ* % $
D B"Ñ ÐC#Ñ* %
#
# # # # #( (
È
Sea I À œ ""B"Ñ ÐC#Ñ
* %( # #
13
Z œ % .D.C.B' ' '" # $†
% # "ÐB"Ñ#
* %
B"Ñ ÐC#Ñ# #
* %
% B"Ñ ÐC#Ñ# #
*Ê Ê
È É (
(
( la cual no es posible resolver, por ello ) Teorema(Sustitución)
Sea función de clase tal que 1 À E § qqqqqp G J<ÐEÑ‘ ‘3 3 "
esta formada por un Nº finito de superficies de clase .G"
Ademas supongamos que y su frontera están contenidas en elE dominio de y que :1 1.- es inyectiva1 2.- El jacobiano de es distinto de cero en 1 1ÐEÑ Entonces Si es acotada y continua en 0 1ÐEÑ
,z ,w ,w' ' ¸ ¸1ÐEÑ E0ÐBß C Ñ œ Ð0 ‰ 1ÑÐ?ß @ Ñ ./>Ð1 Ð?ß @ Ñ
ß
,œ Ð0 ‰ 1ÑÐ?ß @ AÑ' ¸ ¸E `Ð?ß@ Ñ
`ÐBßC Ñ,z,w
Ejemplo
Dado el sólido determinado por:
I À D Ÿ % à G À D $ † ( (B"Ñ ÐC#Ñ B"Ñ ÐC#Ñ* % * %
#"
# # # #
È É
Calcular el volumen del sólido
Solución
consideremos:
14
I À D œ % à G À D œ $ † ( (B"Ñ ÐC#Ñ B"Ñ ÐC#Ñ* % * %
#"
# # # #È É
I G À D œ % ==3
$ † œ D
"#(
(
B"Ñ ÐC#Ñ* %
B"Ñ ÐC#Ñ* %
# #
# #
È É (
(
B"Ñ ÐC#Ñ* %
B"Ñ ÐC#Ñ* %
# #
# #
D œ % ==3
œ
#
D$
#
D$
#
D$
#
#
D œ % ==3
œ(B"Ñ ÐC#Ñ
* %
# #
D œ $
œ "
È(B"Ñ ÐC#Ñ
* %
# #
Sea I À"(B"Ñ ÐC#Ñ
* %
# #
œ "
consideremos B " œ $ -9=Ð Ñ
C # œ # =/8Ð Ñ
D œ D
3 )
3 )
se tiene que à œ '`ÐBßCßDÑ`Ð ß ßDÑ3 )
3
con lo cual : I À œ " ßI À D œ % ß G À D œ $ †" "# #3 3 3È
Z œ % ' .D. .' ' '!
# " % #1 3
! $†È 3
É3 3 )
œ % Ð % $ † Ñ ' .D. .' ' ' È È!
# " % #1 3
! $†#È 3
É3 3 3 3 )
œ #% Ð % † $ † Ñ . .' ' È È!
# "1
!# #3 3 3 3 )
œ #% Ð Ð% Ñ † Ñ . œ #% Ð Ñ.' '¸! !
# #$#
"1 1
" )$ $ $ $
# $$ % $!
3 3 ) )È È
œ #%Ð Ñ œ "# Ð Ñ% $ % $$ $ $ $
) )È È) 1¸
!
#1
15
Ejemplo Calcular ,el volumen de la esfera : B C D Ÿ #&# # #
Solución
Sea se tiene queB œ -9=Ð Ñ
C œ =/8Ð ÑD œ D
3 )
3 )
`ÐBßCßDÑ`Ð ß ßDÑ3 )
œ œ-9=Ð Ñ =/8Ð Ñ !=/8Ð Ñ -9=Ð Ñ !
! ! "
â ââ ââ ââ ââ ââ â) 3 )) 3 ) 3
con lo cual, se tiene :
B C D Ÿ #& Í D Ÿ #&# # # # #3
si en se tiene D œ ! D Ÿ #& Ÿ &3 3# #
por lo tanto :
Z œ ) .D. .' ' '! ! !
& #&1#
#È 33 3 )
œ ) D . . œ ) #& . .' ' ' '¸ È! !! !
& &
!
#& #1 1# #
#
3 3 ) 3 3 3 )È 3
16
œ ) Ð#& Ñ . œ & . œ † & œ † &' '¸ ¸! !
" ) ) %$ $ $ $
# $ $ $! !
&1 1 1# #
$# #3 ) ) ) 1
Otras forma de resolver el problema es considerando coordenadas esféricas
es decir .
Sea se tiene queB œ <=/8Ð Ñ-9=Ð ÑC œ <=/8Ð Ñ=/8Ð ÑD œ <-9=Ð Ñ
: )
: )
:
`ÐBßCßDÑ`Ð<ß ß Ñ) :
œ=/8Ð Ñ-9=Ð Ñ <=/8Ð Ñ=/8Ð Ñ <-9=Ð Ñ-9=Ð Ñ=/8Ð Ñ=/8Ð Ñ <=/8Ð Ñ-9=Ð Ñ <-9=Ð Ñ=/8Ð Ñ
-9=Ð Ñ ! <=/8Ð Ñ
â ââ ââ ââ ââ ââ â: ) : ) : ): ) : ) : )
: :
œ < =/8Ð Ñ# :
con lo cual, se tiene :
B C D Ÿ #& Í < Ÿ #& Í < Ÿ &# # # #
por lo tanto :
Z œ ) < =/8Ð Ñ. .<.' ' '! !!
& #1 1# # : : )
œ ) < -9=Ð Ñ .<.' ' ¸! !
& #!
1 1# #: )
œ ) < .<. œ < .' ' ' ¸! !! $
& # $)!
&1 1# #) )
œ & . œ † & œ † &) ) %$ $ $!
$ $ $!
' ¸1 1# #) ) 1
17
Ejemplo
Calcular el volumen de la región sobre el plano ,limitado por elBCparaboloide : y el cilindro : D œ B C B C œ %# # # #
Solución
Sea se tiene que B œ -9=Ð Ñ œ
C œ =/8Ð ÑD œ D
3 ) 3
3 )
`ÐBßCßDÑ`Ð ß ßDÑ3 )
con lo cual, se tiene :
D œ B C Í D œ# # #3
B C œ % Í œ % Í œ ## # #3 3
con lo cual :
por lo tanto : Z œ % .D. . œ % D . .' ' ' ' ' ¸! !! ! !
# #
!
1 1# #
# #3 33 3 ) 3 3 )
18
œ % . . œ . œ "'. œ "' œ )' ' ' '¸ ¸! ! !!
# $ %! !
#1 1 1 1# # # #3 3 ) 3 ) ) ) 1
Ejemplo
Dado el solido determinado por:
I À D Ÿ % à G À D $ † ( (B"Ñ ÐC#Ñ B"Ñ ÐC#Ñ* % * %
#"
# # # #
È É
Calcular el volumen del sólidoSolución
consideremos:
I À D œ % à G À D œ $ † ( (B"Ñ ÐC#Ñ B"Ñ ÐC#Ñ* % * %
#"
# # # #È É
I G À D œ % ==3
$ † œ D
"B"Ñ ÐC#Ñ
* %#
B"Ñ ÐC#Ñ* %
(
(
# #
# #È É (
(
B"Ñ ÐC#Ñ* %
#
B"Ñ ÐC#Ñ* % $
D
# #
# # #
D œ % ==3
œ
D$
#
B"Ñ ÐC#Ñ* % $
D
#
# # #
D œ % ==3
œ(
D œ $
œ "
È(B"Ñ ÐC#Ñ
* %
# #
Sea I À"(B"Ñ ÐC#Ñ
* %
# #
œ "
19
Usando coordenadas cilindricas :
; B " œ $ -9=Ð Ñ à C # œ # =/8Ð Ñ D œ D3 ) 3 )
se tiene que `ÐBßCßDÑ`Ð ß ßDÑ3 )œ '3
con lo cual : I À œ " ßI À D œ % ß G À D œ $ †" "# #3 3 3È
Z œ % ' .D. . œ % ' D . .' ' ' ' '! !
# #" "% # % #1 13 3
! $† ! $†È È3 3
É É3 3 ) 3 3 )¸
œ % ' Ð % $ † Ñ. .' ' È È!
# "1
!#3 3 3 3 )
œ #% Ð % † $ † Ñ . .' ' È È!
# "1
!# #3 3 3 3 )
œ #% Ð Ð% Ñ † Ñ . œ #% Ð Ñ.' '¸! !
# #$#
"1 1
" )$ $ $ $
# $$ % $!
3 3 ) )È È
œ #%Ð Ñ œ "' Ð $ #Ñ% $$ $
)È) 1¸ È
!
#1
Usando coordenadas esfericas :
;B " œ $<=/8Ð Ñ-9=Ð Ñ à C # œ #<=/8Ð Ñ=/8Ð Ñ: ) : ) D œ <-9=Ð Ñ:
se tiene que `ÐBßCßDÑ`Ð<ß ß Ñ#
) :œ '< =/8Ð Ñ:
con lo cual : I À < œ # à
G À œ $ †" '-9=Ð Ñ =/8Ð Ñ Í œ: : :È 1
por lo tanto : Z œ % .<. .' ' '!
# ' #1 1
! !'< =/8Ð Ñ# : : )
œ % . . œ '% . .' ' ' '¸! !
# ' # '#1 1 1 1
! !!#< =/8Ð Ñ =/8Ð Ñ$ : : : :) )
œ '% . œ '% "Ñ.' '¸! !
# #'1 11
-9=Ð Ñ Ð :!
) )È$#
20
œ '% "Ñ œ "' #ÑÐ Ð $È$# ) 1¸
!
1# È
Ejemplo
Dado el solido limitado por :
T À œ # D àÐB"Ñ ÐC"Ñ% *
# #
G À D Ÿ à"ÐB"Ñ ÐC"Ñ
% *É # #
G À D % #ÐB"Ñ ÐC"Ñ
% *É # #
a) Expresar las integrales triples en coordenadas cartesianas
que determinan su volumen.
b) Usando integrales triples ,calcular el volumen del solido.
Solución
donde :
21
T G À œ # D
œ D
"ÐB"Ñ ÐC"Ñ
% *
ÐB"Ñ ÐC"Ñ% *
# #
# #É ==3 œ # D
œ D
ÐB"Ñ ÐC"Ñ% *
ÐB"Ñ ÐC"Ñ% *
#
# #
# #
==3 D œ # D
œ D
#
ÐB"Ñ ÐC"Ñ% *
## #
==3 D œ "
œ "ÐB"Ñ ÐC"Ñ% *
# #
con I À œ ""ÐB"Ñ ÐC"Ñ
% *
# #
T G À œ # D
œ D %
#ÐB"Ñ ÐC"Ñ
% *
ÐB"Ñ ÐC"Ñ% *
# #
# #É ==3 œ # D
œ ÐD %Ñ
ÐB"Ñ ÐC"Ñ% *
ÐB"Ñ ÐC"Ñ% *
#
# #
# #
==3 ÐD %Ñ œ # D
œ ÐD %Ñ
#
ÐB"Ñ ÐC"Ñ% *
## #
==3 D œ #
œ %ÐB"Ñ ÐC"Ñ% *
# #
con I À œ "#ÐB"Ñ ÐC"Ñ
% '
# #
# #
22
Es claro que hay simetría en y que las funcionesI ßI" #
determinadas por respetan dicha simetría,T ßG ßG" #
por lo tanto:
a) Z œ % .D.C.B' ' '"
""
"$ "
%
É ÉÉ
ÐB"Ñ ÐB"Ñ ÐC"Ñ# # #
% % *
ÐB"Ñ ÐC"Ñ# #
% *
% .D.C.B' ' '"
"
"$ " %
"' " #
É ÉÉ
ÐB"Ñ ÐB"Ñ ÐC"Ñ# # #
% % *
ÐB"Ñ#
"'ÐB"Ñ ÐC"Ñ# #
% *
% .D.C.B' ' '"
$"
"' "
%
# ÉÉ
ÐB"Ñ#
"'
ÐB"Ñ ÐC"Ñ# #
% *
ÐB"Ñ ÐC"Ñ# #
% *
b) Consideremos la siguente sustitución:ß
B " œ # -9=Ð Ñ à C " œ $ =/8Ð Ñ à D œ D à œ '3 ) 3 ) 3`ÐBßCßDÑ`Ð ß ßDÑ3 )
con lo cual : T À œ # D Í D œ # ÐB"Ñ ÐC"Ñ ÐB"Ñ ÐC"Ñ
% * % *
# # # #
Í D œ # 3#
G À D œ Í D œ"ÐB"Ñ ÐC"Ñ
% *É # #
3
G À D % œ Í D œ %#ÐB"Ñ ÐC"Ñ
% *É # #
3
I À œ " à I À œ #" #3 3
23
Z œ % ' .D. . % ' .D. .' ' ' ' ' '
! !! % " %
" # #1 1# #
#
3 3
3 33 3 ) 3 3 )
œ % #% . . % Ð$' ' ' Ñ. .' ' ' '! !! "
" # $ #1 1# #3 3 ) 3 3 3 3 )
œ %) . % Ð") # Ñ .' ' '¸ ¸! !
# # % $! "
" #
"
# $#
1 1# #3 ) 3 3 3 )
œ œ%) . (!. &*' '! !
1 1# #) ) 1
Ejemplo Calcular el volumen del sólido determinado por:
I À D Ÿ % à G À D Ÿ $ † ( (B"Ñ ÐC#Ñ B"Ñ ÐC#Ñ* % * %
#"
# # # #
È É
G À D #B"Ñ ÐC#Ñ
* %É ( # #
Solución
consideremos coordenadas esfericas
24
B " œ $<=/8Ð Ñ-9=Ð Ñ
C # œ #<=/8Ð Ñ=/8Ð Ñ
D œ <-9=Ð Ñ
: )
: )
:
se tiene que `ÐBßCßDÑ`Ð<ß ß Ñ#
) :œ '< =/8Ð Ñ:
con lo cual : I À D Ÿ % Í < Ÿ #(B"Ñ ÐC#Ñ
* %#
# #
G À D Ÿ $ † Í Ÿ"B"Ñ ÐC#Ñ
* % 'È É ( # # 1 :
G À D Í Ÿ#B"Ñ ÐC#Ñ
* % %É ( # #
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Ejemplo
Calcular el volumen del sólido limitado por
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Solución
I À D "Ñ Ÿ %(B"Ñ ÐC#Ñ* %
## #
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consideremos coordenadas esfericas B " œ '<=/8Ð Ñ-9=Ð Ñ
C # œ %<=/8Ð Ñ=/8Ð Ñ
D " œ #<-9=Ð Ñ
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se tiene que `ÐBßCßDÑ`Ð<ß ß Ñ#
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con lo cual : I À D "Ñ Ÿ % Í < Ÿ "(B"Ñ ÐC#Ñ
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