Integrales Triples

1

INTEGRALES EN TRES VARIABLESDefinición

* Si es un intervalo en , es de la forma , con M M œ Ò+ß ,Ó + ,‘

Si es una partición de es de la forma :‡ T M ßM

P con M ! " 8 ! " 8œ Ö> ß > ß ÞÞÞß > × + œ > > ÞÞÞ > œ ,

es decir divide al intervalo en subintervalos del tipoT M 8 M

con Ò> ß > Ó 3 − Ö"ß #ß ÞÞÞß 8 ×3" 3

Si es un rectangulo en , es de la forma con ‡ V M ‚ N Mß N‘#

intervalos en ‘

* Si es una partición de , es una colección del tipo T V T œ ÐT ß T ÑM N

donde son particiones de respectivamenteT ß T M ß NM N

Si es un rectangulo en , es de la forma con ‡ V M ‚ N ‚O‘3

intervalos en Mß N ßO ‘

* Si es una partición de , es una colección del tipo T V T œ ÐT ß T ß T ÑM N O

donde son particiones de respectivamenteT ß T ß T M ß N ßOM N O

2

Ejemplo

Sea dondeV œ Ò+ß , Ó ‚ Ò-ß . Ó ‚ Ò ß Ó ß T œ ÐT ß T ß T Ñ! " M N O

P P PM ! " 8 N ! " 7 O ! " >œ Ö> ß > ß ÞÞÞß > × ß œ Ö= ß = ß ÞÞÞß = × ß œ Ö< ß < ß ÞÞÞß < × se tiene que divide al rectangulo en sub-rectangulos del tipoT V 87>

W œ V œ Ò> ß > Ó ‚ Ò= ß = Ó ‚ Ò< ß < Ó345 3" 3 4" 4 5" 5

Sea función acotada.0 À V © qqqqqp‘ ‘3

Sea rectangulo y partición de V T V Para cada sub-rectangulo de , se define :W T

supQ œ Ö0ÐBÑÎB − W×W

inf7 œ Ö0ÐBÑÎB − W×W

volumen de EÐWÑ œ W œ Ð> > ÑÐ= = ÑÐ< < Ñ3 3" 4 4" 5 5"

suma superior de respecto a W œ Q † EÐWÑ œ 0 TT WW−T

! suma inferior de respecto a W œ Q † EÐWÑ œ 0 TT W

W−T

!

3

Teorema

Sea función acotada0 À V © qqqqqp‘ ‘$

sean particiones de entonces se cumple queT ßU V

1.- W Ÿ WT T

2.- W Ÿ WT U

Observación

En general se cumple que :

sup partición inf partición Ö W ÎT × Ÿ Ö W ÎT ×T T

Definición

Sea función acotada0 À V © qqqqqp‘ ‘$

Diremos que es Riemann Integrable en si0 V

sup partición inf partición Ö W ÎT × œ Ö W ÎT ×T T

al valor común se le denotara por 'V0

y se le llama " Integral de sobre "0 V

Notación

' ' ' ' ' ' 'V V V V0 œ 0ÐBß Cß DÑ.Z œ 0ÐBß Cß DÑ.B.C.D œ 0ÐBß Cß DÑ.D.C.B

Observación

Si (caso conocido)8 œ " 0 œ 0 œ 0ÐBÑ.B' ' 'V ,Ò+ß, Ó

+

4

Definición

Sea , diremos que es un conjunto de medida nulaF § F‘$

ssi sucesión de rectángulos) tal queÐa !ÑÐbÖV ×% 3 3−

1.- F © V V ÞÞÞV" # 8

2.- !3−

EÐV Ñ 3 %

Teorema

Todo sunconjunto de contable o numerable tiene medida nula‘$

Ejemplo Sea F œ ÖÐ"ß "ß "Ñß Ð$ß #ß "Ñß Ð#ß &ß $Ñ×

V œ Ò ß Ó ‚ Ò ß Ó ‚ Ò" ß " Ó à EÐV Ñ œ" "" $ " $# # # # "# "# '

% % %

V œ Ò ß Ó ‚ Ò ß Ó ‚ Ò" ß " Ó à EÐV Ñ œ# #& ( $ &# # # # "# "# '

% % %

V œ Ò ß Ó ‚ Ò ß Ó ‚ Ò$ ß $ Ó à EÐV Ñ œ$ $$ & * ""# # # # "# "# '

% % %

se tiene que : 1.- F © V V V" # $

2.- parta todo !3œ"

$

3 ' #EÐV Ñ $ † œ % % % %

por lo tanto es un conjunto de medida nulaF

Ejemplo Sea F œ ÖÐBß CÑ − Î " Ÿ B Ÿ # • " Ÿ C Ÿ $ • ÐD œ $ ” D œ "Ñ×‘$

V œ Ò "ß # Ó ‚ Ò"ß $ Ó ‚ Ò$ ß $ Ó à EÐV Ñ œ" "$# $# )$% % %

V œ Ò "ß # Ó ‚ Ò"ß $ Ó ‚ Ò" ß " Ó à EÐV Ñ œ# #$# $# )$% % %

se tiene que : 1.- F © V V" #

2.- parta todo !3œ"

#

3$ $) %EÐV Ñ # † œ % % % %

por lo tanto es un conjunto de medida nulaF

5

Observación

Si es una suc de conjuntos de medida nula en E ß ÞÞÞE" 7$‘

entonces la union de ellos es un conjunto de medida nula

Teorema

Sea acotada0 À V § qqqqqp‘ ‘$

sea no es continua F œ ÖB − VÎ0 ×

Entonces

es Riemann Integrable en ssi tiene medida nula0 V F

Teorema

Sea Riemann Integrable0 À Ò+ß , Ó ‚ Ò-ß . Ó ‚ Ò ß Ó qqqqqp! " ‘ y supongamos que para cada fijo B 0 ÐCß DÑ œ 0ÐBß Cß DÑB

es una función Riemann Integrable en respecto a Ò-ß . Ó ‚ Ò ß Ó œ W ÐCß DÑ! "

Entonces la función 1ÐBÑ œ 0 ÐCß DÑ œ 0ÐBß Cß DÑ.D.C' ' '

WB -

.!

"

es integrable en respecto a Ò+ß , Ó B

y ' ' ' '+ + -, , .1ÐBÑ.B œ Ð 0ÐBß Cß DÑ.D.C Ñ.B

!

"

y se cumple que :

' ' ' ' 'V0 œ Ð 0ÐBß Cß DÑ.D.C Ñ.B+ -

, .!

"

6

Observación

Sea Riemann Integrable0 À Ò+ß , Ó ‚ Ò-ß . Ó ‚ Ò ß Ó qqqqqp! " ‘

y supongamos que para cada fijo C 0 ÐBß DÑ œ 0ÐBß Cß DÑC

es una función Riemann Integrable en respecto a Ò+ß , Ó ‚ Ò ß Ó ÐBß DÑ! " Entonces la función 1ÐCÑ œ 0 ÐBß DÑ œ 0ÐBß Cß DÑ.D.B' ' '

WC +

,!

"

es integrable en respecto a Ò-ß . Ó C

y ' ' ' '- - +. . ,1ÐCÑ.C œ Ð 0ÐBß Cß DÑ.D.B Ñ.C

!

"

y se cumple que :

' ' ' ' ' ' ' 'V0 œ Ð 0ÐBß Cß DÑ.D.B Ñ.C œ Ð 0ÐBß Cß DÑ.D.C Ñ.B- + + -

. , , .! !

" "

Ejemplo

Sea y V œ Ò "ß # Ó ‚ Ò"ß % Ó ‚ Ò#ß $ Ó 0ÐBß Cß DÑ œ 'B CD#

Calcular ' 'V0

Solución

' ' ' ' ' ' ' ¸V0 œ Ð 'B CD.D.C Ñ.B œ Ð $B CD .CÑ.B" " # " "

# % $ # %# # # $

#

œ "&B C.C.B œ B C .B œ B .B' ' ' '¸" " " # " ## % # ## # # #"& ##&%

"

œ B œ † * œ '(&##& ##&$ $

$"

#¸Observación

Sea acotado, entoncesK © ß K‘$

existe rectángulo tal que V © K © V‘$

7

Definición Sea función acotada , acotada0 À K § qqqqqp K‘ ‘$

y sea rectángulo tal que V K © V

Sea función0ÐBÑ œ0ÐBÑ à B − K! à B − VÏKœ

Diremos que es Riemann In tegrable en 0 K

si es Riemann Integrable en y se tendra que :0 V

' 'K V0 œ 0

Observación

Si son rectangulos tales que y VßV K § V K § V" "

se cumple que : ' '

V V0 œ 0"

Teorema

Sea función acotada , acotada0 À K § qqqqqp K‘ ‘$

continua en con conjunto de medida nula y 0 M8>ÐKÑÏF F J<ÐKÑ conjunto de medida nula Entonces es Riemann Integrable en 0 K

8

TeoremaÐFubini)

Sea función acotada , acotada y cerrada0 À K § qqqqqp K‘ ‘$

continua en y supongamos que esta formada por los 0 K J<ÐKÑ planos los cilindros B œ + ß B œ , à C œ 1 ÐBÑ ß C œ 1 ÐBÑ" #

tal que 1 ÐBÑ Ÿ 1 ÐBÑ aB − Ò+ß , Ó" #

y las superficies : D œ J ÐBß CÑ ß D œ J ÐBß CÑ" #

tal que J ÐBß CÑ Ÿ J ÐBß CÑ aÐBß CÑ" #

Se cumple que : ' ' ' 'K +

,0 œ 0ÐBß Cß DÑ.D.C.B

1 ÐBÑ J ÐBßCÑ" "

1 ÐBÑ J ÐBßCÑ# #

Observación

Si se tiene que al volumen de 0ÐBß Cß DÑ œ " 0 œ K'K

9

Ejemplo

Calcular el volumen del sólido que está arriba del plano BC À

acotado por el paraboloide elíptico :D œ B %C# #

y el cilindro B %C œ %# #

Solución

luego, se tiene que : Z œ % .D.C.B' ' '! !# B %C

!

È%B#

## #

o bien : Z œ % .D.B.C' ' '! ! !

# "C B %C1 È # # #

Ejemplo

Calcular el volumen del sólido acotado por Àel cilindro el plano À B C œ #& ß À B C D œ )# #

y el plano BC

Solución

10

luego, se tiene que : Z œ .D.C.B œ #!!' ' '& !& #&B )BC

#&BÈÈ

#

#

1

Ejemplo

Calcular el volumen del sólido acotado por À

el cono 9 el plano À B D œ C ß À C œ *# # #

Solución

luego, se tiene que : Z œ # .D.B.C' ' '! !* C *B

!

C$

# #È

Ejemplo Resolver , si es la región acotada por los cilindros' ' '

WBCD W

B C œ % ß B D œ %# # # #

Solución

luego, se tiene que :

Z œ ) BCD.D.C.B œ % BCD .C.B' ' ' ' ' ¸! ! ! ! !# %B %B # %B #

!

%BÈ È È È# # # #

11

œ % BCÐ% B Ñ .C.B œ # BC Ð% B Ñ .B' ' ' ¸! ! !# %B ## # #

!

%BÈ È# #

œ # B Ð% B Ñ .B œ Ð% B Ñ œ' ¸! $ $# # # # $" %

!

# $

Ejemplo

Resolver , si es la región acotada por el tetraedro' ' 'W C W

formado por os planos : y los planos "#B #!C "&D œ '! coordenados

Solución

luego :

si en se tiene D œ ! "#B #!C "&D œ '! C œ B $$&

de se tiene que "#B #!C "&D œ '! D œ '!"#B#!C"&

con lo cual, se tiene :

' ' 'W C œ C .D.C.B' ' '

!&

! !

B$$& "&

'!"#B#!C

œ C D .C.B' ' ¸!&

!

B$

!

$&

'!"#B#!C"&

œ C Ð Ñ.C.B' '! "&&

!

B$ '!"#B#!C$&

œ Ð%C BC C Ñ.C.B' '! & $&

!

B$ % % #$&

œ Ð#C BC C .B' ¸! & *& # # $# %

!

B$$&

12

œ Ð B $Ñ Ð BÑ .B œ ÞÞÞ'! & $ "&& $ # ##

Ejemplo

Dado el solido determinado por:

I À D Ÿ % à G À D $ † ( (B"Ñ ÐC#Ñ B"Ñ ÐC#Ñ* % * %

#"

# # # #

È É

Expresar las integrales que permiten calcular el volumen del sólidoSolución

consideremos:

I À D œ % à G À D œ $ † ( (B"Ñ ÐC#Ñ B"Ñ ÐC#Ñ* % * %

#"

# # # #È É

I G À"

( (

( (

B"Ñ ÐC#Ñ B"Ñ ÐC#Ñ* % * %

# #

B"Ñ ÐC#Ñ* %

B"Ñ ÐC#Ñ* % $

D

# # # #

# ## # #

D œ % ==3 D œ %

$ † œ D œÈ É ==3 D œ % ==3 D œ $

œ œ "

D$

#

B"Ñ ÐC#Ñ* % $

D B"Ñ ÐC#Ñ* %

#

# # # # #( (

È

Sea I À œ ""B"Ñ ÐC#Ñ

* %( # #

13

Z œ % .D.C.B' ' '" # $†

% # "ÐB"Ñ#

* %

B"Ñ ÐC#Ñ# #

* %

% B"Ñ ÐC#Ñ# #

*Ê Ê

È É (

(

( la cual no es posible resolver, por ello ) Teorema(Sustitución)

Sea función de clase tal que 1 À E § qqqqqp G J<ÐEÑ‘ ‘3 3 "

esta formada por un Nº finito de superficies de clase .G"

Ademas supongamos que y su frontera están contenidas en elE dominio de y que :1 1.- es inyectiva1 2.- El jacobiano de es distinto de cero en 1 1ÐEÑ Entonces Si es acotada y continua en 0 1ÐEÑ

,z ,w ,w' ' ¸ ¸1ÐEÑ E0ÐBß C Ñ œ Ð0 ‰ 1ÑÐ?ß @ Ñ ./>Ð1 Ð?ß @ Ñ

ß

,œ Ð0 ‰ 1ÑÐ?ß @ AÑ' ¸ ¸E `Ð?ß@ Ñ

`ÐBßC Ñ,z,w

Ejemplo

Dado el sólido determinado por:


#"

# # # #

È É

Calcular el volumen del sólido

Solución

consideremos:

14


#"

# # # #È É

I G À D œ % ==3

$ † œ D

"#(

(

B"Ñ ÐC#Ñ* %

B"Ñ ÐC#Ñ* %

# #

# #

È É (

(

B"Ñ ÐC#Ñ* %

B"Ñ ÐC#Ñ* %

# #

# #

D œ % ==3

œ

#

D$

#

D$

#

D$

#

#

D œ % ==3

œ(B"Ñ ÐC#Ñ

* %

# #

D œ $

œ "

È(B"Ñ ÐC#Ñ

* %

# #

Sea I À"(B"Ñ ÐC#Ñ

* %

# #

œ "

consideremos B " œ $ -9=Ð Ñ

C # œ # =/8Ð Ñ

D œ D

3 )

3 )

se tiene que à œ '`ÐBßCßDÑ`Ð ß ßDÑ3 )

3

con lo cual : I À œ " ßI À D œ % ß G À D œ $ †" "# #3 3 3È

Z œ % ' .D. .' ' '!

# " % #1 3

! $†È 3

É3 3 )

œ % Ð % $ † Ñ ' .D. .' ' ' È È!

# " % #1 3

! $†#È 3

É3 3 3 3 )

œ #% Ð % † $ † Ñ . .' ' È È!

# "1

!# #3 3 3 3 )

œ #% Ð Ð% Ñ † Ñ . œ #% Ð Ñ.' '¸! !

# #$#

"1 1

" )$ $ $ $

# $$ % $!

3 3 ) )È È

œ #%Ð Ñ œ "# Ð Ñ% $ % $$ $ $ $

) )È È) 1¸

!

#1

15

Ejemplo Calcular ,el volumen de la esfera : B C D Ÿ #&# # #

Solución

Sea se tiene queB œ -9=Ð Ñ

C œ =/8Ð ÑD œ D

3 )

3 )

`ÐBßCßDÑ`Ð ß ßDÑ3 )

œ œ-9=Ð Ñ =/8Ð Ñ !=/8Ð Ñ -9=Ð Ñ !

! ! "

â ââ ââ ââ ââ ââ â) 3 )) 3 ) 3


B C D Ÿ #& Í D Ÿ #&# # # # #3

si en se tiene D œ ! D Ÿ #& Ÿ &3 3# #

por lo tanto :

Z œ ) .D. .' ' '! ! !

& #&1#

#È 33 3 )

œ ) D . . œ ) #& . .' ' ' '¸ È! !! !

& &

!

#& #1 1# #

#

3 3 ) 3 3 3 )È 3

16

œ ) Ð#& Ñ . œ & . œ † & œ † &' '¸ ¸! !

" ) ) %$ $ $ $

# $ $ $! !

&1 1 1# #

$# #3 ) ) ) 1

Otras forma de resolver el problema es considerando coordenadas esféricas

es decir .

Sea se tiene queB œ <=/8Ð Ñ-9=Ð ÑC œ <=/8Ð Ñ=/8Ð ÑD œ <-9=Ð Ñ

: )

: )

:

`ÐBßCßDÑ`Ð<ß ß Ñ) :

œ=/8Ð Ñ-9=Ð Ñ <=/8Ð Ñ=/8Ð Ñ <-9=Ð Ñ-9=Ð Ñ=/8Ð Ñ=/8Ð Ñ <=/8Ð Ñ-9=Ð Ñ <-9=Ð Ñ=/8Ð Ñ

-9=Ð Ñ ! <=/8Ð Ñ

â ââ ââ ââ ââ ââ â: ) : ) : ): ) : ) : )

: :

œ < =/8Ð Ñ# :


B C D Ÿ #& Í < Ÿ #& Í < Ÿ &# # # #

por lo tanto :

Z œ ) < =/8Ð Ñ. .<.' ' '! !!

& #1 1# # : : )

œ ) < -9=Ð Ñ .<.' ' ¸! !

& #!

1 1# #: )

œ ) < .<. œ < .' ' ' ¸! !! $

& # $)!

&1 1# #) )

œ & . œ † & œ † &) ) %$ $ $!

$ $ $!

' ¸1 1# #) ) 1

17

Ejemplo

Calcular el volumen de la región sobre el plano ,limitado por elBCparaboloide : y el cilindro : D œ B C B C œ %# # # #

Solución

Sea se tiene que B œ -9=Ð Ñ œ

C œ =/8Ð ÑD œ D

3 ) 3

3 )

`ÐBßCßDÑ`Ð ß ßDÑ3 )


D œ B C Í D œ# # #3

B C œ % Í œ % Í œ ## # #3 3

con lo cual :

por lo tanto : Z œ % .D. . œ % D . .' ' ' ' ' ¸! !! ! !

# #

!

1 1# #

# #3 33 3 ) 3 3 )

18

œ % . . œ . œ "'. œ "' œ )' ' ' '¸ ¸! ! !!

# $ %! !

#1 1 1 1# # # #3 3 ) 3 ) ) ) 1

Ejemplo

Dado el solido determinado por:


#"

# # # #

È É

Calcular el volumen del sólidoSolución

consideremos:


#"

# # # #È É

I G À D œ % ==3

$ † œ D

"B"Ñ ÐC#Ñ

* %#

B"Ñ ÐC#Ñ* %

(

(

# #

# #È É (

(

B"Ñ ÐC#Ñ* %

#

B"Ñ ÐC#Ñ* % $

D

# #

# # #

D œ % ==3

œ

D$

#

B"Ñ ÐC#Ñ* % $

D

#

# # #

D œ % ==3

œ(

D œ $

œ "

È(B"Ñ ÐC#Ñ

* %

# #

Sea I À"(B"Ñ ÐC#Ñ

* %

# #

œ "

19

Usando coordenadas cilindricas :

; B " œ $ -9=Ð Ñ à C # œ # =/8Ð Ñ D œ D3 ) 3 )

se tiene que `ÐBßCßDÑ`Ð ß ßDÑ3 )œ '3

con lo cual : I À œ " ßI À D œ % ß G À D œ $ †" "# #3 3 3È

Z œ % ' .D. . œ % ' D . .' ' ' ' '! !

# #" "% # % #1 13 3

! $† ! $†È È3 3

É É3 3 ) 3 3 )¸

œ % ' Ð % $ † Ñ. .' ' È È!

# "1

!#3 3 3 3 )

œ #% Ð % † $ † Ñ . .' ' È È!

# "1

!# #3 3 3 3 )

œ #% Ð Ð% Ñ † Ñ . œ #% Ð Ñ.' '¸! !

# #$#

"1 1

" )$ $ $ $

# $$ % $!

3 3 ) )È È

œ #%Ð Ñ œ "' Ð $ #Ñ% $$ $

)È) 1¸ È

!

#1

Usando coordenadas esfericas :

;B " œ $<=/8Ð Ñ-9=Ð Ñ à C # œ #<=/8Ð Ñ=/8Ð Ñ: ) : ) D œ <-9=Ð Ñ:

se tiene que `ÐBßCßDÑ`Ð<ß ß Ñ#

) :œ '< =/8Ð Ñ:

con lo cual : I À < œ # à

G À œ $ †" '-9=Ð Ñ =/8Ð Ñ Í œ: : :È 1

por lo tanto : Z œ % .<. .' ' '!

# ' #1 1

! !'< =/8Ð Ñ# : : )

œ % . . œ '% . .' ' ' '¸! !

# ' # '#1 1 1 1

! !!#< =/8Ð Ñ =/8Ð Ñ$ : : : :) )

œ '% . œ '% "Ñ.' '¸! !

# #'1 11

-9=Ð Ñ Ð :!

) )È$#

20

œ '% "Ñ œ "' #ÑÐ Ð $È$# ) 1¸

!

1# È

Ejemplo

Dado el solido limitado por :

T À œ # D àÐB"Ñ ÐC"Ñ% *

# #

G À D Ÿ à"ÐB"Ñ ÐC"Ñ

% *É # #

G À D % #ÐB"Ñ ÐC"Ñ

% *É # #

a) Expresar las integrales triples en coordenadas cartesianas

que determinan su volumen.

b) Usando integrales triples ,calcular el volumen del solido.

Solución

donde :

21

T G À œ # D

œ D

"ÐB"Ñ ÐC"Ñ

% *

ÐB"Ñ ÐC"Ñ% *

# #

# #É ==3 œ # D

œ D

ÐB"Ñ ÐC"Ñ% *

ÐB"Ñ ÐC"Ñ% *

#

# #

# #

==3 D œ # D

œ D

#

ÐB"Ñ ÐC"Ñ% *

## #

==3 D œ "

œ "ÐB"Ñ ÐC"Ñ% *

# #

con I À œ ""ÐB"Ñ ÐC"Ñ

% *

# #

T G À œ # D

œ D %

#ÐB"Ñ ÐC"Ñ

% *

ÐB"Ñ ÐC"Ñ% *

# #

# #É ==3 œ # D

œ ÐD %Ñ

ÐB"Ñ ÐC"Ñ% *

ÐB"Ñ ÐC"Ñ% *

#

# #

# #

==3 ÐD %Ñ œ # D

œ ÐD %Ñ

#

ÐB"Ñ ÐC"Ñ% *

## #

==3 D œ #

œ %ÐB"Ñ ÐC"Ñ% *

# #

con I À œ "#ÐB"Ñ ÐC"Ñ

% '

# #

# #

22

Es claro que hay simetría en y que las funcionesI ßI" #

determinadas por respetan dicha simetría,T ßG ßG" #

por lo tanto:

a) Z œ % .D.C.B' ' '"

""

"$ "

%

É ÉÉ

ÐB"Ñ ÐB"Ñ ÐC"Ñ# # #

% % *

ÐB"Ñ ÐC"Ñ# #

% *

% .D.C.B' ' '"

"

"$ " %

"' " #

É ÉÉ

ÐB"Ñ ÐB"Ñ ÐC"Ñ# # #

% % *

ÐB"Ñ#

"'ÐB"Ñ ÐC"Ñ# #

% *

% .D.C.B' ' '"

$"

"' "

%

# ÉÉ

ÐB"Ñ#

"'

ÐB"Ñ ÐC"Ñ# #

% *

ÐB"Ñ ÐC"Ñ# #

% *

b) Consideremos la siguente sustitución:ß

B " œ # -9=Ð Ñ à C " œ $ =/8Ð Ñ à D œ D à œ '3 ) 3 ) 3`ÐBßCßDÑ`Ð ß ßDÑ3 )

con lo cual : T À œ # D Í D œ # ÐB"Ñ ÐC"Ñ ÐB"Ñ ÐC"Ñ

% * % *

# # # #

Í D œ # 3#

G À D œ Í D œ"ÐB"Ñ ÐC"Ñ

% *É # #

3

G À D % œ Í D œ %#ÐB"Ñ ÐC"Ñ

% *É # #

3

I À œ " à I À œ #" #3 3

23

Z œ % ' .D. . % ' .D. .' ' ' ' ' '

! !! % " %

" # #1 1# #

#

3 3

3 33 3 ) 3 3 )

œ % #% . . % Ð$' ' ' Ñ. .' ' ' '! !! "

" # $ #1 1# #3 3 ) 3 3 3 3 )

œ %) . % Ð") # Ñ .' ' '¸ ¸! !

# # % $! "

" #

"

# $#

1 1# #3 ) 3 3 3 )

œ œ%) . (!. &*' '! !

1 1# #) ) 1

Ejemplo Calcular el volumen del sólido determinado por:

I À D Ÿ % à G À D Ÿ $ † ( (B"Ñ ÐC#Ñ B"Ñ ÐC#Ñ* % * %

#"

# # # #

È É

G À D #B"Ñ ÐC#Ñ

* %É ( # #

Solución

consideremos coordenadas esfericas

24

B " œ $<=/8Ð Ñ-9=Ð Ñ

C # œ #<=/8Ð Ñ=/8Ð Ñ

D œ <-9=Ð Ñ

: )

: )

:


) :œ '< =/8Ð Ñ:

con lo cual : I À D Ÿ % Í < Ÿ #(B"Ñ ÐC#Ñ

* %#

# #

G À D Ÿ $ † Í Ÿ"B"Ñ ÐC#Ñ

* % 'È É ( # # 1 :

G À D Í Ÿ#B"Ñ ÐC#Ñ

* % %É ( # #

: 1

por lo tanto .

Z œ % .<. .' ' '!

# %

'

#1

1

1

!'< =/8Ð Ñ# : : )

Ejemplo

Calcular el volumen del sólido limitado por

I À D "Ñ Ÿ %(B"Ñ ÐC#Ñ* %

## #

(

Solución

I À D "Ñ Ÿ %(B"Ñ ÐC#Ñ* %

## #

(

Í ( (B"Ñ ÐC#Ñ D"Ñ' % #

# # #

# # # Ÿ "

25

consideremos coordenadas esfericas B " œ '<=/8Ð Ñ-9=Ð Ñ

C # œ %<=/8Ð Ñ=/8Ð Ñ

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Integrales Triples

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