Integrales triples

Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones

UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.

53

2. INTEGRALES TRIPLES

En esta sección se presenta la integral triple para funciones de tres variables, funciones

del tipo 3f : B ⊆ → , tal como se hizo en la sección anterior para las integrales

dobles. Así como se define la integral triple a partir de una triple suma de Riemann y se

ilustra el proceso de resolución de la misma, de manera similar se puede esbozar la

definición y el cálculo de integrales múltiples de funciones del tipo nf : Q ⊆ → .

2.1 INTEGRAL TRIPLE SOBRE UNA CAJA RECTANGULAR

Sea f una función definida sobre la caja rectangular B , esto es 3f : B ⊆ → , donde B está definida como:

[ ] [ ] [ ]B a,b c,d r ,s= × × (II.1)

o también:

( ){ }3 B x, y,z a x b c y d r z s= ∈ ≤ ≤ ∧ ≤ ≤ ∧ ≤ ≤ (II.2)

Sea P una partición del paralelepípedo B , la cual se logra con el

producto cartesiano de las particiones xP , yP y zP y de los

intervalos [ ]ba, , [ ]dc, y [ ]r ,s , respectivamente, como se muestra

a continuación:

{ }nniix xxxxxxxP ,,,,,,,, 11210 −−= …… (II.3)

{ }mmjjy yyyyyyyP ,,,,,,,, 11210 −−= …… (II.4)

{ }0 1 2 1 1z k k l lP z ,z ,z , ,z ,z , ,z ,z− −= … … (II.5)

entonces

La caja rectangular B , también recibe el nombre

de rectángulo en 3 , O intervalo tridimensional, aunque el nombre más apropiado para B es paralelepípedo.



54

x y zP P P P= × × (II.6)

La partición P del paralelepípedo B , entonces se obtiene al

dividirla en pequeñas cajas rectangulares tal como se muestra en

la siguiente figura.

Figura 2.1

Partición P de una caja rectangular B .

Si la partición xP tiene 1+n elementos y n subintervalos [ ]ii xx ,1−

de longitud 1−−=∆ iii xxx ; la partición yP tiene 1+m elementos y m

subintervalos [ ]jj yy ,1− de longitud 1−−=∆ jjj yyy y la partición zP

tiene 1l + elementos y l subintervalos [ ]1k kz ,z− de longitud

1k k kz z z −∆ = − , entonces la caja rectangular B queda dividida por

la partición P en n m l⋅ ⋅ paralelepípedos denominados ijkB , donde

el volumen de cada una de estas pequeñas cajas o

subparalelepípedos, denotado ijkV∆ , se obtiene de acuerdo a la

siguiente ecuación:



55

ijk i j kV x y z∆ = ∆ ⋅∆ ⋅∆ (II.7)

Al evaluar la función f en un punto arbitrario ( )* * *i j kx , y ,z del

subparalelepípedo ijkB , se puede establecer la triple suma de

Riemann para la función f en la partición P , denotada como TS :

( )1 1 1

n m l* * *

T i j k ijki j k

S f x , y ,z V= = =

= ∆∑∑∑ (II.8)

En la figura 2.2 se observa el punto ( )* * *i j kx , y ,z contenido en el

elemento ijkB de la partición P .

Figura 2.2

Paralelepípedo genérico ijkB de la partición P .

La norma de la partición P , denotada como P , es la longitud de

la diagonal más grande de todos los paralelepípedos ijkB . Si se

En la figura 2.2, se aprecia que:

*1

*1

*1

i i i

j j j

k k k

x x x

y y y

z z z

−

−

−

≤ ≤

≤ ≤

≤ ≤



56

selecciona una partición más fina, de manera que la norma de la

partición tienda a cero, esto es 0→P , entonces la expresión

(II.8) cambia y recibe el nombre del límite de la triple suma de

Riemann, como se muestra a continuación:

( )0 0 1 1 1

n m l* * *

T i j k ijkP P i j kL im S Lim f x , y ,z V

→ →= = =

= ∆∑∑∑ (II.9)

A partir del límite de la triple suma de Riemann se establece la

definición de la integral triple de una función f en un

paralelepípedo B .

DEFINICIÓN: Integral triple de f sobre B

Sea 3:f → una función definida sobre un paralelepípedo

B del espacio. La integral triple de f sobre B , denotada por

( )B

f x, y,z dV∫∫∫ , se define como:

( ) ( )0 1 1 1

n m l* * *i j k ijkB P i j k

f x, y,z dV Lim f x , y ,z V→

= = =

= ∆∑∑∑∫∫∫ (II.10)

si el límite existe.



57

2.2 TEOREMA DE FUBINI

El teorema de Fubini proporciona un método práctico para evaluar

una integral triple por medio de integrales iteradas, tal como se

mostró para las integrales dobles en el capítulo anterior.

La integral iterada presente en la ecuación (II.11) del teorema de

Fubini también puede ser escrita de otras cinco formas diferentes,

que se obtienen al cambiar el orden de integración de las variables

x, y y z. Estas integrales iteradas son:

( ) ( )

d s b

B c r af x, y,z dV f x, y,z dxdzdy=∫∫∫ ∫ ∫ ∫ (II.12)

( ) ( )

s b d

B r a cf x, y,z dV f x, y,z dydxdz=∫∫∫ ∫ ∫ ∫ (II.13)

( ) ( )

b s d

B a r cf x, y,z dV f x, y,z dydzdx=∫∫∫ ∫ ∫ ∫ (II.14)

( ) ( )

b d s

B a c rf x, y,z dV f x, y,z dzdydx=∫∫∫ ∫ ∫ ∫ (II.15)

( ) ( )

d b s

B c a rf x, y,z dV f x, y,z dzdxdy=∫∫∫ ∫ ∫ ∫ (II.16)

TEOREMA de Fubini para Integrales Triples

Sea f una función continua en el paralelepípedo

[ ] [ ] [ ]B a,b c,d r,s= × × , entonces:

( ) ( )

s d b

B r c af x, y,z dV f x, y,z dxdydz=∫∫∫ ∫ ∫ ∫ (II.11)

Al igual que en el capítulo anterior; para la resolución de integrales triples, se emplearán los siguientes símbolos para identificar los límites de integración:

: Valor de la variable a la salida de la región B (límite superior).

: Valor de la variable

a la entrada de la región B (límite superior).



58

Evalúe la integral triple ( )B

f x, y,z dV∫∫∫ y dibuje el paralelepípedo

B , donde ( ) ( )3 1f x, y,z xz y= − y [ ] [ ]2 3 2 1 0 2B , , , = × − × .

Solución:

Para resolver la integral triple de la función f se debe seleccionar

primero el orden de integración. En la figura 2.3 se muestra el

paralelepípedo B , donde además se señala, mediante la flecha

que atraviesa verticalmente a la región B , que la integración se

comienza con la variable z.

Figura 2.3

Paralelepípedo B del ejemplo 2.1.

A continuación se resuelve la integral triple:

( ) ( ) 1 3 2 3

-2 2 0, , 1

BI f x y z dV xz y dzdxdy= = −∫∫∫ ∫ ∫ ∫

( ) ( ) 2 1 3 1 34

-2 2 -2 2 0

1 1 14

I xz y dxdy x y dxdy = − = − ∫ ∫ ∫ ∫

( ) ( ) ( ) 1 3 1 1 22

-2 -2 2 -2

1 5 5 451 1 12 2 4 4

I x y dy y dy y = − = − = − − = ∫ ∫

EJEMPLO 2.1

Es común llamar I a la integral triple que desea resolverse.

Figura 2.4

Proyección del paralelepípedo B del

ejemplo 2.1 en el plano xy

La proyección de B mostrada en la figura 2.4, indica que la segunda integración se realiza respecto a la variable x.

B

Valor de z a la salida de B

2z =

Valor de z a la entrada de B

0z =



59

( ) 1 3 2 3

-2 2 0

4514

xz y dzdxdy− =∫ ∫ ∫


f x, y,z dV∫∫∫ y dibuje el paralelepípedo

B , donde ( )f x, y,z x y cos z= + y [ ] [ ]1 2 0 1 02

B , , ,π = − × × .

Solución:

En la figura 2.5 se muestra el paralelepípedo B y se indica,

además, que la primera integración parcial se realiza respecto a la

variable x.

Figura 2.5

Paralelepípedo B del ejemplo 2.2.

( ) ( ) 1 2

2 0 0 1

, , cosB

I f x y z dV x y z dxdzdyπ

−= = +∫∫∫ ∫ ∫ ∫

22 1 1 2 2

0 0 0 0 1

3cos 3 cos2 2xI xy z dzdy y z dzdy

π π

−

= + = + ∫ ∫ ∫ ∫

EJEMPLO 2.2

B

Valor de x a la salida de B

2x =

Valor de x a la entrada de B

1x = −

Figura 2.6

Proyección del paralelepípedo B del

ejemplo 2.2 en el plano yz

La proyección de B en el plano yz, muestra que la segunda integración parcial se realiza respecto a la variable z.



60

1 22 1 1

0 0 0 0

3 3 33 32 4 2 4

I z ysenz dy y dy y

π

π π = + = + = + ∫ ∫

1 22 1 1

0 0 0 0

3 3 33 32 4 2 4

I z ysenz dy y dy y

π

π π = + = + = + ∫ ∫

( ) 1 2

2 0 0 1

3 3cos4 2

x y z dxdzdyπ π

−+ = +∫ ∫ ∫



61

2.3 INTEGRALES TRIPLES SOBRE REGIONES MÁS GENERALES

Así como en el capítulo anterior se definió la integral doble sobre

regiones generales, en esta sección se amplía la definición de la

integral triple de una función f sobre una región general B

acotada del espacio tridimensional.

Por ejemplo, considere una región B , más general que un

paralelepípedo, del espacio tridimensional, tal como se ilustra en

la figura 2.6.

Figura 2.6

Región general B del espacio tridimensional

Para evaluar la integral triple de la función 3f : → sobre la

región general B , usando una integral iterada, primero debe

seleccionarse el orden de integración. En la figura 2.7, donde

se aprecian las superficies que acotan superior e inferiormente

a la región B , se señala el orden de integración sugerido para

esta región.

B



62

Figura 2.7

Primer orden de integración para una región general B

Es decir, la región general B está acotada inferior y superiormente

por las superficies 1γ y 2γ , respectivamente, y por lo tanto puede

definirse como:

( ) ( ) ( ) ( ){ }1 2B x, y,z x, y D x, y z x, yγ γ= ∈ ∧ ≤ ≤ (II.17)

Luego, la integral triple de la función 3f : → sobre la región

general B , puede obtenerse como:

( ) ( )( )

( )2

1

x ,y

B D x,yf x, y,z dV f x, y,z dzdA

γ

γ=∫∫∫ ∫∫ ∫ (II.18)

Para seleccionar el segundo orden de integración, se debe

proyectar a la región B sobre el plano xy , obteniéndose así una

región bidimensional D , que se observa en la figura 2.8.

B

D


( )2z x, yγ=


( )1z x, yγ=



63

Figura 2.8

Proyección de la región general B sobre el plano xy

Entonces, como la región general B está definida de la siguiente

manera:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }1 2 1 2B x, y,z a x b, g x y g x , x, y z x, yγ γ= ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤

(II.19)

Se tiene que:

( ) ( )( )

( )

( )

( )2 2

1 1

b g x x,y

B a g x x,yf x, y,z dV f x, y,z dzdydx

γ

γ=∫∫∫ ∫ ∫ ∫ (II.20)

Por otra parte, si la región general B se define como:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }1 2 1 2B x, y,z h z x h z , x,z y x,z , r z sβ β= ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤

(II.21) Entonces:

( ) ( )( )

( )

( )

( )2 2

1 1

s h z x ,z

B r h z x ,zf x, y,z dV f x, y,z dydxdz

β

β=∫∫∫ ∫ ∫ ∫ (II.22)

O también, para una región B como la siguiente:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }1 2 1 2B x, y,z y,z x y,z , c y d , j y z j yω ω= ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤

Observe, en la figura 2.8, que la proyección de la región B sobre el plano xy, es una región D bidimensional de tipo 1.

x = b

D

x = a

Valor de y a la salida de D

( )2y g x=

Valor de y a la entrada de D

( )1y g x=



64

(II.23)

La integral triple es:

( ) ( )( )

( )

( )

( )2 2

1 1

d j y y ,z

B c j y y ,zf x, y,z dV f x, y,z dxdzdy

ω

ω=∫∫∫ ∫ ∫ ∫ (II.24)

Evalúe la integral triple B

dV∫∫∫ , donde B es la región del espacio

tridimensional definida como:

( ){ }2 2 20 2B x, y,z x , x y x , x y z x y= ≤ ≤ ≤ ≤ + ≤ ≤ +

Solución:

Para evaluar B

dV∫∫∫ , se debe seleccionar la variable con respecto

a la cual se realiza la primera integración parcial. En la siguiente

figura se visualiza la región B .

Figura 2.9

Región B del ejemplo 2.3

EJEMPLO 2.3

En la figura 2.9, se aprecia que el recinto B está limitado superiormente por la superficie 2 2z x y= + e inferiormente por la superficie z x y= + .

B


2 2z x y= +


z x y= +



65

Por lo tanto, la primera integración se realiza respecto a la variable

z, considerando a x y a y constantes.

En la figura 2.10 se muestra la proyección de la región B sobre el

plano xy. Adicionalmente se ilustra el segundo orden de

integración seleccionado.

Figura 2.10

Proyección de la región B del ejemplo 2.3 en el plano xy

Resolviendo la integral triple, se tiene:

( )2 2 2 2 2 2 2 2

0 4 0 4

x x y x

B x x y xI dV dzdydx y x x y dydx

+

+= = = + − −∫∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

6 4 3 2 2

0

79 123 2 3x x xI x dx

= − − + −

∫

2 2 2 2

0 4

6724105

x x y

x x ydzdydx

+

+=∫ ∫ ∫

Cuando se proyecta la región B sobre el plano xy, tal como se muestra en la figura 2.10, se obtiene una región D bidimensional de tipo 1.

x = 2

D

Valor de y a la salida de D

4y x=

Valor de y a la entrada de D

2y x=



66

Evalúe la integral triple B

dV∫∫∫ , donde B es la región

tridimensional comprendida entre los planos cartesianos y el plano

10x y z+ + = .

Solución:

Para resolver la integral triple, B

dV∫∫∫ , es necesario ilustrar el

orden de integración. En la siguiente figura, mediante la flecha que

atraviesa horizontalmente a la región B , se ilustra el valor que

toma la variable y a la entrada y la salida de la misma.

Figura 2.11


Al proyectar la región B en el plano cartesiano xz, se obtiene una

región bidimensional mostrada en la figura 2.12. En esta figura, se

ilustra además, el segundo orden de integración seleccionado

para resolver la integral triple B

dV∫∫∫ .

EJEMPLO 2.4

En la figura 2.11, se aprecia que el recinto B está limitado por la izquierda por el plano cartesiano xz y por la derecha por el plano de ecuación 10y x z= − −

B

Valor de y a la salida de B

10y x z= − −

Valor de y a la entrada de B

0y =



67

Figura 2.12

Proyección de la región B del ejemplo 2.4 en el plano xz

Resolviendo la integral triple:

( ) 10 10 10 10 10

0 0 0 0 010

x x z x

BI dV dydzdx x z dzdx

− − − −= = = − −∫∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

2 10

050 10

2xI x dx

= + −

∫

10 10 10

0 0 0

5003

x x zdydzdx

− − −=∫ ∫ ∫

En la figura 2.12 se observa que la proyección de la región B sobre el plano xz, es una región D de tipo 1 o tipo 2; sin embargo, se trabaja como una región tipo 1.

0x =

D

Valor de z a la salida de D

10z x= −

Valor de z a la entrada de D

0z =



68

2.4 PROPIEDADES DE LA INTEGRAL TRIPLE

A continuación se presentan las propiedades de la integral triple

de una función 3f : → real de tres variables sobre una región

general B del espacio tridimensional. Estas propiedades son

similares a las propiedades de las integrales dobles.

2.4.1 Propiedad de linealidad

Sean 3f : → y 3g : → dos funciones reales y continuas

definidas en una región tridimensional B , y sean α y β dos

números reales cualesquiera, entonces:

( ) ( ) ( )

( )

, , , , , ,

, ,B B

B

f x y z g x y z dV f x y z dV

g x y z dV

α β α

β

+ = +

+

∫∫ ∫∫∫∫

(II.25)

2.4.2. Propiedad de orden

Sean 3f : → y 3g : → dos funciones reales y continuas

definidas en una región tridimensional B , tales que

( ) ( )f x, y,z g x, y,z≥ ( )x, y,z B∀ ∈ , entonces:

( ) ( ), , , ,B B

f x y z dV g x y z dV≥∫∫ ∫∫ (II.26)

2.4.3. Propiedad aditiva respecto a la región de integración

Sea 3f : → una función real y continua definida en una región

general tridimensional B . Si la región B está dividida en dos

subregiones 1B y 2B (es decir 1 2B B B= ∪ ), entonces:

( ) ( ) ( )1 2

, , , , , ,B B B

f x y z dv f x y z dV f x y z dV= +∫∫ ∫∫ ∫∫ (II.27)



69


f x, y,z dV∫∫∫ , donde ( )f x, y,z xyz= y B

es el recinto definido como:

( ){ }2 2 2 2 24 1 0 0 0B x, y,z x y z , x y , x , y , z= + + ≤ + ≥ ≥ ≥ ≥

Solución:

El recinto B es la región del primer octante que se encuentra

dentro de la esfera, de radio 4 y centro en el origen del sistema de

coordenadas; y fuera del cilindro circular recto de radio 1 y que

tiene como eje directriz al eje z. En la figura 2.13 se muestra el

recinto B .

Figura 2.13


Seleccionando a z como la primera variable de integración se

tiene:

2 2 4

0

x y

B DI xyzdV xyzdzdA

− −= =∫∫∫ ∫∫ ∫

EJEMPLO 2.5

En la figura 2.13, se muestra el recinto B, del ejemplo 2.5. Esta región está acotada superiormente por la superficie de ecuación

2 24z x y= − − e inferiormente por el plano cartesiano xy ( 0z = ).

B


2 24z x y= − −


0z =



70

Donde D es la proyección del recinto B sobre el plano xy. Esta

región se muestra en la figura 2.14.

Figura 2.14

Proyección de la región B del ejemplo 2.5 en el plano xy

Luego, 1 2D D D= ∪ , donde:

( ){ }( ){ }

2 21

22

0 1 1 4

1 2 0 4

D x, y x x y x

D x, y x y x

= ≤ ≤ ∧ − ≤ ≤ −

= ≤ ≤ ∧ ≤ ≤ −

Resolviendo la integral triple, se tiene:

2 2 2 2 2 2

2

1 4 4 2 4 4

0 1 0 1 0 0

-x x y -x x y

B -xI xyzdV xyzdzdydx xyzdzdydx

− − − −= = +∫∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

( ) ( )2 2

2

1 4 2 42 2 2 2

0 1 1 04 4

2 2-x -x

-x

xy xyI x y dydx x y dydx = − − + − − ∫ ∫ ∫ ∫

5 1 2 3

0 1

9 9 928 8 16 16x xI dx x x dx

= + − + = +

∫ ∫

98B

xyzdV =∫∫∫

Cuando se proyecta la región B sobre el plano xy, se obtiene una región D que no es de tipo 1 ni de tipo 2, por lo que se divide en dos subregiones tipo 1.

Valor de y a la salida de D1

24y x= −

Valor de y a la entrada de D1

21y x= −

D1

1x =

D2


24y x= −


0y =



71


xyz dV∫∫∫ , donde B es la región del

primer octante comprendida entre los conos, cuyas ecuaciones

son ( )2 22z x y= + y 2 2z x y= + ; y el plano 4z = .

Solución:

Al graficar el recinto B se obtiene el sólido mostrado en la figura

2.15.

Figura 2.15


Según la gráfica anterior, la variable z, toma diferentes valores a la

salida del recinto B, por lo cual la integral triple debe resolverse

empleando la propiedad 4.3.

( ) ( ) ( )( )2 2

2 2 2 21 2

4 2

x y

B D x y D x yxyz dV xyz dzdA xyz dzdA

+

+ += +∫∫∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫

Para la primera de estas integrales, donde el límite superior para z

es 4, la proyección de la región B en el plano xy, es una región

denominada D1 se muestra a continuación:

EJEMPLO 2.6

En la figura 2.15, se muestra el recinto B. Observa que la flecha que se encuentra a la izquierda sale de la región en el plano de ecuación 4z = , mientras que la flecha de la derecha sale de la región por la superficie del cono ( )2 22z x y= + .

B


4z =


2 2z x y= +


( )2 22z x y= +


2 2z x y= +



72

Figura 2.16

Primera proyección de la región B del ejemplo 2.6 en el plano xy

Luego, 1 1. 1.A BD D D= ∪ , donde:

( ){ }( ){ }

2 21

21

0 8 8 16

8 4 0 16

.A

.B

D x, y x x y x

D x, y x y x

= ≤ ≤ ∧ − ≤ ≤ −

= ≤ ≤ ∧ ≤ ≤ −

Con la figura anterior se establece el segundo orden de

integración de la primera integral triple planteada, resultando:

( ) ( )

( )

2

2 2 2 2 21

2

2 2

4 8 16 4

0 8

4 16 4

8 0

x

D x y x x y

x

x y

xyz dzdA xyz dzdydx

xyz dzdydx

−

+ − +

−

+

= +

+

∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

Para definir el segundo orden de integración en la integral

( )( )2 2

2 22

2

x y

D x yxyz dzdA

+

+∫∫ ∫ , se proyecta la región B, sobre el plano xy

en la siguiente figura.

La región D1, de la figura 2.16, no es de tipo 1 ni de tipo 2, por lo que se divide en dos subregiones tipo 1.

Valor de y a la salida de D1.A

216y x= −

Valor de y a la entrada de D1.A

28y x= −

D1.A

8x =

D1.B

Valor de y a la salida de D1.B

216y x= −

Valor de y a la entrada de D1.B

0y =



73

Figura 2.17

Segunda proyección de la región B del ejemplo 2.6 en el plano xy

Donde:

( ){ }22 0 8 0 8D x, y x y x= ≤ ≤ ∧ ≤ ≤ −

Resultando:

( )( ) ( )( )2 2 2 2 2

2 2 2 22

2 8 8 2

0 0

x y x x y

D x y x yxyz dzdA xyz dzdydx

+ − +

+ +=∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫

Por lo tanto:

( ) ( )

( )

( )( )

2

2 2 2

2

2 2

2 2 2

2 2

8 16 4

0 8

4 16 4

8 0

8 8 2

0 0

x

B x x y

x

x y

x x y

x y

I xyz dV xyz dzdydx

xyz dzdydx

xyz dzdydx

−

− +

−

+

− +

+

= = +

+ +

+

∫∫∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

Resolviendo, se tiene:

La región D2, mostrada en la figura 2.17, es una región de tipo 1.

D2

0x =


28y x= −


0y =

( )8 0,



74

( ) ( )

( )

2 2

2

2

8 16 4 162 2 2 2

0 8 8 0

8 8 2 2

0 0

16 162 2

2

x x

x

x

xy xyI y x dydx y x dydx

xy y x dydx

− −

−

−

= − − + − − +

+ +

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫

5 58 4 83

0 8 08 4 32 8

8 8x xI xdx x x dx x dx

= + − + + − +

∫ ∫ ∫

32 6432 643 3

I = + + =

Entonces, la integral triple pedida es:

( ) 64B

I xyz dV= =∫∫∫

Integrales triples

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