GIẢI TÍCH HÀM NHIỀU BIẾN - | Blog toán · Cách 3: Miền cần tính tích phân là...

GIẢI TÍCH HÀM NHIỀU BIẾN

(Chương 4 & Chương 5)

Chương 4

TÍCH PHÂN BỘI

§1. TÍCH PHÂN BỘI HAI

I. Tích phân bội hai

( , )f x y dxdy

: miền lấy tích phân, bị chặn trong 2 . Tính chất: Cho f, g khả tích trên và . Ta có

f g dxdy f dxdy gdxdy ,

f dxdy f dxdy ,

Nếu 1 2 ... k với i j khi i j , f khả tích trên mỗi

i thì

f dxdy f dxdy ,

Nếu ( , ) 0, ( , )f x y x y thì

0f dxdy .

II. Tích phân lặp

( ) ( )

( , ) ( , )

g x g xb b

a g x a g x

h y h yd d

c h y c h y

f x y dydx f x y dy dx

f x y dxdy f x y dx dy

Chú ý: Trong tính trước, ( , )f x y dy : tích phân theo y, xem x là hằng,

( , )f x y dx : tích phân theo x, xem y là hằng, Tích phân ngoài cùng có cận là một con số.

Ví dụ 1. Tính 3 5

( 2 )x y dxdy .

Giải

53 5 3 2

2 1 2 1

( 2 ) 22

xx y dxdy xy dy

25 110 2 32.2 2

y y dy

x y dydx .

ĐS: 1/3.

III. Phương pháp tính tích phân bội haiCó 3 phương pháp chính:

-Đưa về tích phân lặp, -Đổi biến tổng quát, -Đổi biến sang tọa độ cực.

3.1. Phương pháp đưa về tích phân lặp

Veõ Keïp ( )Caét ( )Chieáu

(giao điểm)

( )( )OyOx

Vẽ: -Miền khép kín.

-Khi vẽ đường, cần chú ý giao điểm có thể với các đường khác. Kẹp, cắt, chiếu: Nhìn theo hướng Oy: (chuyển pt đường về dạng y theo x)

1 2( , ) : , ( ) ( )x y a x b g x y g x

( , ) ( , )g xb

f x y dxdy f x y dy dx

Nhìn theo hướng Ox: (chuyển pt đường về dạng x theo y)

1 2( , ) : , ( ) ( )x y c y d h y x h y

( , ) ( , )h yd

f x y dxdy f x y dx dy

Chú ý: Nên làm theo hướng mà miền không bị “chia cắt” hoặc ít bị “chia cắt” nhất. Nếu ( , ) : ,x y a x b c y d thì

( , ) ( , ) ( , )

b d d b

a c c a

f x y dxdy f x y dy dx f x y dx dy

Nếu ( , ) ( ). ( )f x y h x g y thì

( ). ( ) ( ) ( )b d

h x g y dxdy h x dx g y dy

IV. Chú ý tích phân cận đối xứng của hàm chẵn, hàm lẻ:-Hàm ( )f x được gọi là hàm chẵn theo biến x nếu

( ) ( ),f x f x x D . -Hàm ( )f x được gọi là hàm lẻ theo biến x nếu

( ) ( ),f x f x x D . -Tính chất:

2 ( ) neáu ( ) laø ( )

0 neáu ( ) laø

f x dx f x haøm chaünf x dx

f x haøm leû

Ví dụ 1. Tính

(2 )x y dxdy với là hình chữ nhật [ 2,3] [0,2] .

Giải

Cách 1 (theo hướng Oy):

23 2 3 32

2 0 2 20

(2 ) (2 ) 2 (4 2) 20.2

yx y dxdy x y dy dx xy dx x dx

Cách 2 (theo hướng Ox): SV tự làm.

Nhận xét: Đây là một ví dụ đơn giản với cận lấy tích phân đều là hằng số nên tathoải mái đảo thứ tự lấy tích phân.

Ví dụ 2. Tính s in2 .2yx dxdy với

2( , ) 0 , 1 22

x y x y .

Giải

ĐS: 2 .ln2

Ví dụ 3. Tính 2y dxdy với là hình giới hạn bởi 2 , 5 , 1y x y x x .

Giải Cách 1 (theo hướng Oy):

51 5 1 13

2 2 3 3

0 2 0 02

1 39(125 8 ) .3 3 4

yy dxdy y dy dx dx x x dx

Cách 2 (theo hướng Ox): SV tự làm. Nhận xét: Trong ví dụ này, ta nên dùng cách 1 vì miền không bị “chia cắt” khinhìn theo hướng Oy.

Ví dụ 4. Tính 2( )x y dxdy với là hình giới hạn bởi 29 , 0, 3 1.x y x y

Giải Cách 1 (theo hướng Ox):

Cách 2 (theo hướng Oy): Cách 3:

Miền cần tính tích phân là miền DECB, có thể được tính như sau 2 2 2( ) ( ) ( )

DECB ABC ADE

x y dxdy x y dxdy x y dxdy .

ĐS: 512 .3

Nhận xét: Trong ví dụ này, ta nên dùng cách 2 vì miền không bị “chia cắt” khinhìn theo hướng Ox.

Ví dụ 5. Tính ydxdy với là hình tròn 2 2 1x y nằm trong phần tư thứ ba.

Giải

Cách 1 (theo hướng Oy):

Cách 2 (theo hướng Ox): SV tự làm.

ĐS: 1.3

Ví dụ 6. Tính

3xe dxdy với là hình được giới hạn bởi 20, 1, 0, 3x x y y x .

Giải SV tự làm thử bằng 2 cách. Nhận xét: Đây là một ví dụ cho thấy, không phải lúc nào ta cũng giải được bằng2 cách. 3.2. Phương pháp đổi biến tổng quát Dấu hiệu: hàm lấy tích phân hoặc miền lấy tích phân phức tạp và có thể đặt ẩn phụ được. Bước 1 (đổi biến): Đặt

( , )( , )

u u x yv v x y

Bước 2: Tính

trò tuyeät ñoái

J với

( , ) 0( , )

x xx y u vJu v y y

Cách 1: Từ (*)

( , )( , )

x x u vJ J

y y u v

Cách 2: Từ (*)

( , )( , )

( , ) 10( , ) u v

u ux yu v J J

x y v vx y

Bước 3 (đổi miền): Tìm điều kiện cho ,u v uv . Bước 4:

( , ) ( ( , ), ( , )).xy uv

f x y dxdy f x u v y u v dudvJ

Ví dụ 1. Tính

(2 )x y dxdy với là hình bình hành được giới hạn bởi

1, 2, 2 1, 2 3x y x y x y x y . Giải

Cách 1 (đưa về tích phân lặp):

Nhận xét:-Nếu nhìn theo hướng Oy thì ta phải tách ra làm 3 miền. -Nếu nhìn theo hướng Ox thì ta phải tách ra làm 2 miền. Mặc dù ta tính vẫn được, nhưng dài, tính toán dễ sai. Cách 2 (đổi biến tổng quát): Nhận xét: nhìn vào phương trình của các đường, ta thấy có 2 yếu tố được lặplại là “ x y ” và “ 2x y ”. Đây là một ví dụ mà ta nhìn vào miền lấy tích phân để đặt ẩn phụ. Đặt

1 ( )3 3 .2 2 3 1 (2 )

x u vu x y u v xv x y u v y y u v

1 11 13 3 0 .

3 31 13 3

x xu vJ Jy yu v

Ta có 1 1x y u

2 2x y u 2 1 1x y v 2 3 3x y v

( , ) :1 2, 1 3u v u v .Vậy,

2 1(2 ) ( ) (2 ) .3 3

x y dxdy u v u v dudv13

2 3 ???

1 1 43 3 3

vdudv vdv du .

Ví dụ 2. Tính

sin x y dxdy

x y với là hình được giới hạn bởi các trục Ox, Oy và

1x y . Giải

Cách 1 (đưa về tích phân lặp):

Khoù tính nguyeân haøm

sin sinxx y x ydxdy dy dx

x y x y

Cách 2 (đổi biến tổng quát): Nhận xét: nhìn hàm bên trong dấu tích phân, ta thấy có 2 yếu tố gây ra khó khăn trong việc tính nguyên hàm là “ x y ” và “ x y ”.Đây là một ví dụ mà ta nhìn vào hàm lấy tích phân để đặt ẩn phụ. Đặt

u x yv x y

1 1( , ) 2( , ) 1 1

u ux yu v

x y v vx y

1 1 .2 2

Ta có

: 0u x

Ox y u vv x

u yOy x u v

1 1x y v là hình được giới hạn bởi , , 1u v u v v .

Vậy,

1sin sin . sin 0.2

x y u udxdy dudv dudvx y v v

3.3. Phép đổi biến sang tọa độ cực Dấu hiệu: miền có dạng tròn hoặc dạng elip. Trường hợp miền có dạng tròn (có chứa biểu thức 2 2x y ): Bước 1 (đổi biến): Đặt

cossin

x ry r

Bước 2: J r .

Bước 3 (đổi miền): Tìm điều kiện cho ,r r . : nhìn hình, tìm tia xuất phát và tia kết thúc (tia qua O và tiếp xúc với ),

là góc quét từ tia xuất phát đến tia kết thúc. r : tìm “ r vào” và “r ra”.

Bước 4:

( , ) ( cos , sin ).xy r

f x y dxdy f r r drdr

Chú ý: Nếu đường tròn có dạng 2 2 20 0( ) ( )x x y y R , tâm

0 0( , ) (0,0)I x y O thì ta cũng có thể dùng phép đổi biến

cossin

y y r.

Khi đó, điều kiện của r và phải được xác định theo gốc tọa độ mới là điểm

0 0( , )I x y .

Trường hợp miền có dạng elip (có chứa biểu thức 2 2

x ya b

Đặt

cossin

x ary br

J abr . Chú ý: Trong phép đổi biến này, chưa chắc là góc quét từ tia xuất phát đến tia kết thúc. Để xác định điều kiện cho ta nên dựa vào phương trình của tia xuất phát và tia kết thúc. Một vài trường hợp cụ thể: là miền sao cho một tia xuất phát tại O chỉ cắt biên của tại 2 điểm:

cos(*)

sinx ry r

vaøo ra

( ) ( )r r

Thay (*) vào pt đường vào 1( )r . Thay (*) vào pt đường ra 2( )r . Ví dụ. Tính

2 2x ye dxdy với là hình được giới hạn bởi 2 2 1,x y 2 2 4x y

và nằm trong phần tư thứ nhất. Giải

Đặt

cossin

x ry r

, , 0 , 1 2.2

Vậy,

/2 2 ???4

. ( ).4

x y re dxdy e rd dr e e

Nhận xét: Trong ví dụ này, và r đều dễ tìm điều kiện, nhìn hình là thấy ngay.

là miền sao cho gốc tọa độ O nằm trên biên:

cos(*)

sinx ry r

0 ( )r R

Thay (*) vào pt đường cong ( )R . Ví dụ 1. Tính

2 2 2a x y dxdy với 2 2 2( , ) : , 0x y x y a y .

Giải

Đặt

cossin

x ry r

, , 0 , 0 .J r r a

Vậy,

2 2 2 2 2

a aa x y dxdy a r rdrd

Ví dụ 2. Tính

2 24 x y dxdy với 2 2( , ) : 2 , 0x y x y x y .

Giải

Đặt

cossin

x ry r

, J r , 02

2 2 22 2 cos 2cosx y x r r r

0 2cosr . Vậy,

2cos2 ???2 2 2

8 24 4 . .3 2 3

x y dxdy r rdrd

Ví dụ 3. Tính

2 24 x y dxdy với

2 2( , ) : 0 2, 2 4x y x x x y x .

Giải

Đặt

cossin

x ry r

, J r , 02

Mặt khác,

2 2 2 2

2 cos cos sinsin 4 cos

2 cos 2cos2cos 2.

x x y x

x x y x x yy xy x

r r rr r

r r rr

Vậy,

22 ???

0 2 cos

164 4 . .9

x y dxdy r rdrd

là miền chứa gốc tọa độ O:

cos(*)

sinx ry r

0 20 ( )r R

Thay (*) vào pt đường cong ( )R . Ví dụ 1. Tính

2 2x ye dxdy với là hình tròn đơn vị.

Giải Đặt

cossin

x ry r

, , 0 2 , 0 1.J r r

Vậy,

2 2 22 1 ???

1. 1 .x y re dxdy e rdrde

Ví dụ 2. Tính

2 21 x y dxdya b

với là phần trong của elip 2 2

2 2 1x ya b

Giải

Đặt

cossin

x ary br

, , 0 2 , 0 1.J abr r

Vậy,

2 12 2 ???

21 1 . .3

x y abdxdy ab r rdrda b

§2. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN BỘI HAI

I. Tính diện của miền phẳng 2D

S dxdy

Ghi nhớ: Công thức tính diện tích miền phẳng 2D là công thức tính tích phân bội hai với hàm ( , ) 1f x y . Ví dụ 1. Tính diện tích miền phẳng giới hạn bởi 2 4y x và 2 4 4y x .

Giải

S dxdy (đvdt).

Ví dụ 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi elip 2 2

19 4x y , tia Ox và tia

, ( 0)y x x . Giải

Đặt

3 cos2 sin

x ry r

, 6J r ,

0 2 sin sin 0 0y r .

23 32 sin 3 cos tan arctan2 2

y x r r .

0 1r . Vậy,

2 1 ???

36 3 3arctan .2D

S dxdy rdrd

Nhận xét: Trong ví dụ này, nhiều người nhầm 2 4.

II. Tính diện của mặt cong 3 Cho mặt cong có pt ( , )z z x y . Khi đó

221 x y

S z z dxdy

D là hình chiếu của xuống mp Oxy. Cho mặt cong có pt ( , )y y x z . Khi đó

2 21 x z

S y y dxdz

D là hình chiếu của xuống mp Oxz. Cho mặt cong có pt ( , )x x y z . Khi đó

2 21 y z

S x x dydz

D là hình chiếu của xuống mp Oyz. Ví dụ 1. Tính diện tích phần mặt phẳng 6 3 2 12x y z nằm trong góc phần tám thứ nhất.

Giải

Cách 1 (chiếu xuống Oxy): Ta có :

3 36 3 2 12 6 3 3,2 2x yx y z z x y z z

22 3 71 3

2 2D D

S dxdy dxdy

với D là hình tam giác như hình vẽ

Vậy,

???7 14

S dxdy (đvdt).

Cách 2: Ta có :

2 26 3 2 12 4 2 2,3 3x zx y z y x z y y

22 2 71 2

3 3D D

S dxdz dxdz

Vậy,

???7 14

S dxdz (đvdt).

Cách 3: Ta có :

1 1 1 16 3 2 12 2 ,2 3 2 3y zx y z x y z x x

2 21 1 71

2 3 6D D

S dydz dydz

Vậy,

???7 14

S dydz (đvdt).

Ví dụ 2. Tính diện tích phần của paraboloid 2 2z x y nằm dưới mặt phẳng 9z .

Giải

Ta có : 2 2z x y 2 , 2x yz x z y .

2 2 2 21 2 2 1 4( )

S x y dxdy x y dxdy ,

với D là hình tròn tâm O(0,0), bán kính 3R . SV tự làm tiếp.

ĐS: 37 37 1

6(đvdt).

Ví dụ 3. Tính diện tích phần mặt phẳng 7x y z nằm trong mặt trụ

2 2 4x y . Giải

Ta có : 7 7x y z z x y 1, 1x yz z .

1 1 1 3D D

S dxdy dxdy ,

với D là hình tròn tâm O(0,0), bán kính 2R . SV tự làm tiếp. ĐS: 4 3 (đvdt).

Ví dụ 4. Tính diện tích phần mặt phẳng paraboloid 2 2z x y nằm phía trong mặt cầu 2 2 2 6x y z .

Giải

Ta có : 2 2z x y 2 , 2x yz x z y .

2 2 2 21 2 2 1 4( )

S x y dxdy x y dxdy ,

với D là hình chiếu của xuống mp Oxy. Xét

2 2 2 6z x yx y z

2 2 2 22 2

2( ) 3 ( )6z x y z x y

x yz n z lz z

D là hình tròn tâm O(0,0), bán kính 2R . SV tự làm tiếp.

ĐS: 133

(đvdt).

Ví dụ 5. Tính diện tích phần mặt cầu 2 2 2 4x y z nằm trong hình trụ 2 2 2 0x y x .

Giải

Nhận xét: Trong ví dụ này, ta khó vẽ được phần mặt cần tính diện tích. Hãy tưởng tượng bằng hình ảnh một ống hút đâm xuyên qua quả banh, sẽ tạo ra 2 lát cắt như nhau: 1 lát bên trên và 1 lát bên dưới. Do đó, ta chỉ cần tính diện tích của 1 lát bên trên, sau đó nhân 2 sẽ ra kết quả cần tìm. Ta có 1 : 2 24z x y

2 2 2 2

x yz zx y x y

22. 2. 1 2.4

x yD D

S S z z dxdy dxdyx y

với 2 2( , ) : 2D x y x y x .

SV tự làm tiếp. ĐS: 8( 2) (đvdt). III. Tìm khối lượng và trọng tâm mảnh phẳng Cho một mảnh phẳng D trong mặt phẳng có khối lượng riêng tại điểm

( , )M x y D là hàm hai biến ( , )x y . Ta có

3.1. Khối lượng mảnh phẳng D :

( , )D

M x y dxdy

3.2. Trọng tâm ( , )G x y của mảnh phẳng D :

1 ( , ) ,

1 ( , )

x x x y dxdyM

y y x y dxdyM

Đặc biệt, nếu vật đồng chất, tức là ( , )x y const tại mọi điểm thì

x xdxdyS

y ydxdyS

với DS là diện tích miền D. Ví dụ. Giả sử vật thể là hình giới hạn bởi 1,x 2 ,y x và trục Ox và có khối lượng riêng là ( , ) 6 6 6x y x y . Hãy tìm khối lượng và trọng tâm của vật thể đó.

Giải SV tự làm.

5 1114, , .7 14

BÀI TẬP Bài 1. Tính các tích phân sau

( 2 )x

x y dydx . ĐS: 9 / 20.

2) 2 2

xy dxdy . ĐS: 9 / 8.

x dxdy . ĐS: 3/24 329 45

x y dydx . ĐS: 56

x y dydxx

. ĐS: 1 ln22

yye dxdy . ĐS:

1 ( 1)2

e dxdy . ĐS: 41 ( 4 )2

x y x dxdy . ĐS: 1/12.

x y dydx . ĐS: 1 (1 cos1)2

xe y dxdy . ĐS: 2e .

Bài 2. Trong các tích phân sau, hãy vẽ miền lấy tích phân và đổi thứ tự lấy tích phân

( , )y

f x y dxdy . ĐS: 2

( , )x

f x y dydx .

( , )y

f x y dxdy . ĐS:

( , )x

f x y dydx .

( , )y

f x y dxdy . ĐS:

26 3 9

0 0 06

( , ) ( , )x x

f x y dydx f x y dydx .

( , )y

f x y dxdy

2 0 8 2

1 22 1 2 1

( , ) ( , )x

f x y dydx f x y dydx .

( , )x

f x y dydx . ĐS: 2

( , )y

f x y dxdy .

6) 1 4

( , )x

f x y dydx . ĐS: /44

( , )y

f x y dxdy .

7) 2 ln

( , )x

f x y dydx . ĐS: ln 2 2

( , )ye

f x y dxdy .

( , )x

f x y dydx . ĐS: 31

( , )y

f x y dxdy .

9) 2 3

( , )x

f x y dydx . ĐS: 2 6 2

0 23 3

( , ) ( , )y

f x y dxdy f x y dxdy .

10) 3 2

( , )x

f x y dydx . ĐS: 1 3 2 3 6 3

1 1 1 1 23 2

( , ) ( , ) ( , )y

f x y dxdy f x y dxdy f x y dxdy .

0 0 1 0

( , ) ( , )x x

f x y dydx f x y dydx . ĐS:

( , )y

f x y dxdy .

0 3 3 3

( , ) ( , )x x

f x y dydx f x y dydx . ĐS: 3

( , )y

f x y dxdy .

Bài 3. Tính các tích phân sau 1)

2x ydxdy , là hình chữ nhật giới hạn bởi 2, 4, 1, 5.x x y y ĐS: 224.

2 3 4(6 5 )x y y dxdy , 2( , ) | 0 3, 0 1x y x y . ĐS: 21/2.

dxdyx y

, [3,4] [1,2] . ĐS: ln(25 / 24) .

2 1xy dxdy

x, 2( , ) | 0 1, 3 3x y x y . ĐS: 9ln2 .

x dxdyy

, 2( , ) | 0 1, 0 1x y x y . ĐS: / 3 .

x dxdyxy

, [0,1] [0,1] . ĐS: 2ln2 1.

7) 2 2

x dxdyx y

, [1,2] [0,1]. ĐS:

1 5 1ln 2arctan2 2 2 4

8) lnx ydxdy , là hình chữ nhật 0 4, 1x y e . ĐS: 8.

2x yxye dxdy , [0,1] [0,2] . ĐS: 21 ( 3)2

cos( 2 )x y dxdy ,

2( , ) | 0 , 02

x y x y . ĐS: -2.

2 2(cos sin )x y dxdy , là hình vuông 0 , 0

4 4x y . ĐS: 2 / 16 .

sin cosx ye ydxdy , là hình chữ nhật 0 , 0

2x y .

ĐS: ( 1)( 1)e e .

sin( )x x y dxdy , [0, / 6] [0, / 3]. ĐS:

3 12 12

14) sin( )y xy dxdy , [1,2] [0, ] . ĐS: 0.

x ye dxdy , 2( , ) | 0 1, 0 1x y x y . ĐS: 2( 2)e .

x y dxdy , là hình vuông 1, 1x y . ĐS: 8/3.

3 2x y dxdy , 2( , ) , 0 2x y x y x x . ĐS: 256/21.

( )x y dxdy , là hình giới hạn bởi 3 , 0, 6.y x x y ĐS: -20.

3) xydxdy , là hình giới hạn bởi 0, 0, 3 2.x y x y ĐS: 2/27.

( 1)x dxdy , là hình giới hạn bởi , 2, 3.y x y x x ĐS: 40/3.

5) x dxdy , là hình tam giác có các đỉnh (2,3)A , (7,2)B , (4,5)C . ĐS: 26.

6) 3y dxdy , là hình tam giác có các đỉnh (0,2)A , (1,1)B , (3,2)C . ĐS: 147/20.

7) xy dxdy , là hình tam giác có các đỉnh (0,0)O , (1,2)A , (0,3)B . ĐS: 7/8.

(2 3 1)x y dxdy , là hình tam giác có các đỉnh ( 1, 1)A , (2, 4)B ,

(1,3)C . ĐS: 3. Bài 5. Tính các tích phân sau

y dxdyx

, 2( , ) 0 2 , 1 2x y y x x . ĐS: 8 10ln3 3

2 2( )x y dxdy , là miền giới hạn bởi các đường thẳng

, 1, 1, 3.y x y x y y ĐS: 14.

( )x y dxdy , là miền cho bởi 2x y . ĐS: 0.

( 2 )x y dxdy , là miền giới hạn bởi các đường thẳng

, 2 , 2, 3.y x y x x x ĐS: 76/3. 5)

x ye dxdy , là miền cho bởi 1 max | |,| | 2x y . ĐS: 4 4 2 2e e e e .

2( )x y x dxdy , là miền giới hạn bởi các đường 2 2, .y x x y ĐS: -1/504.

( )x y dxdy , là miền giới hạn bởi các đường

2 23 , 4 .y x y x ĐS: 48 35

(3 )x y dxdy , 2 2( , ) 5 4, 3 1x y x y x . ĐS: -784/15.

9) 2 2( sin )x y dxdy ,

2( , ) 0 3cos ,2 2

x y x y y . ĐS: 12/5.

4 1x y dxdy , là miền nằm phía trên đường 1y và nằm trong vòng

tròn 2 2 4x y . ĐS: 0. 11)

( )x y dxdy , là miền giới hạn bởi các đường

22 , 2 1.y x y x ĐS: 64/15. 12)

2(3 2 )x xy y dxdy , là miền giới hạn bởi các đường

20, , 2.x x y y ĐS: 244/21. 13)

2x dxdy , là miền giới hạn bởi các đường 24, .y y x ĐS: 128/15.

14) 2x ydxdy , là miền giới hạn bởi các đường

a) 2 2, 4 , 4y x y x y . b) 2 2, 4 , 2y x y x x . c) 2 2, , 2y x y x x .

ĐS: a) 512/3; b) 60/7; c) 0. 15)

2 26x y dxdy , là miền giới hạn bởi các đường 2, , 2 .y x y x y x

ĐS: 1066/315.

Bài 6. Tính các tích phân sau

y dxdyx

, là hình được giới hạn bởi , 2 , 1, 3y x y x xy xy . ĐS: 1.

( )y x dxdy , là hình được giới hạn bởi

1 7 11, 3, , 53 3 3

y x y x y x y x . ĐS: 8 .

3 2( ) ( )x y x y dxdy , là hình được giới hạn bởi

1, 1, 3, 1x y x y x y x y . ĐS: 20/3. 4)

xydxdy , là hình được giới hạn bởi

2 2, 3 , , 2 ( 0)y x y x y x y x x . ĐS: 105/32.

y xy xe dxdy , là hình được giới hạn bởi 4 điểm

(0,1), (0,2), (2,0), (1,0). ĐS: 134

2 2 2 2(2 3 )(2 3 7 )x y x y xy dxdy , là hình được giới hạn bởi

2 2 22 3 1, 2 3, 2 1, ( 0, 0)

3x y x y x y y x x y . ĐS: 1/2.

Bài 7. Tính các tích phân sau

2 24 x y dxdy , 2 2 2( , ) 2 , 0x y x y x y . ĐS:

8 23 2 3

(3 )x y dxdy ,

2 2 2 2( , ) 9, 3

3x y x y y x . ĐS: -432/169.

2 2ln( )x y dxdy , là hình vành khăn giữa các đường tròn

2 2 2 2 2 4,x y e x y e . ĐS: 2 2(3 1)e e . 4)

xydxdy , là hình tròn với tâm tại gốc tọa độ và bán kính 3. ĐS: 0.

( )x y dxdy , là miền bên trái trục Oy và nằm giữa hai đường tròn

2 2 2 21, 4x y x y . ĐS: -14/3. 6)

2 2cos( )x y dxdy , là miền bên trên trục Ox và nằm trong đường tròn

2 2 9x y . ĐS: sin92

2 2x ye dxdy , là miền giới hạn bởi đường 24x y và trục Oy.

ĐS: 4(1 )2

8) xye dxdy , là hình tròn 2 2 25x y nằm trong phần tư thứ nhất.

ĐS: 5 2342

arctan y dxdyx

, 2 2 2( , ) 1 4, 0x y x y y x . ĐS: 2364

2 2 2R x y dxdy , là miền giới hạn bởi đường tròn 2 2 2x y R và các

đường , 3y x y x và nằm trong góc phần tư thứ nhất. ĐS: 3

( 2 1)x y dxdy , là giao của hai hình tròn 2 2 2x y y , 2 2 2x y x .

5 54 2

12) xdxdy , là miền nằm giữa hai đường tròn 2 2 2x y x , 2 2 4x y x .

ĐS: 7 .

2 2x y dxdy , là miền cho bởi 2 2 4x x y , 0x , 0y .

4 23 9

y dxdyx

, là miền cho bởi 2 21 2x y x . ĐS: 3 3

arctan y dxdyx

2 2 2( , ) 1 9, 33

xx y x y y x . ĐS: 2

1sin( )1

xy dxdyx y

, là nửa trên của hình tròn tâm O, bán kính

1. ĐS: ( 2 1) .

17) Tính

sin x ydxdy

2 22 2( , ) :

16 9x y x y . ĐS: ( 2 1) .

2 24 x y dxdya b

, là miền giới hạn bởi 2 2

2 2 1x ya b

2 2 14 4x ya b

nằm trong góc phần tư thứ nhất. ĐS: 32

2 3sin( )xy x y y dxdy , là miền cho bởi 2 2

19 16x y .

ĐS: 24(3 2 ) . Bài 8. Tính các tích phân sau

1) 1 1

sin( )x

y dydx . ĐS: 1 (1 cos1).2

22 4 2

x yxe dydxy

. ĐS: 8 1 .

e dxdy . ĐS: 9 1.6

4) 1 1

x dxdy . ĐS: 3/22 (2 1).9

cos( )y

y x dxdy . ĐS: 1 sin81.4

1 13 3

sin( )x

x y dydx . ĐS: 1 (1 cos1).

0 arcsin

cos 1 cosy

x x dxdy . ĐS: 1 (2 2 1).3

8) 21 1

ye dxdyx

. ĐS: 1 ( 1).4

21 1 5/22 2

x y dydx . ĐS: .14

2 21/ 2 1

dydxx y

. ĐS: ln( 2 1) .

Bài 9. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 1) 24x y y , 6x y . ĐS: 1/6.

2) 12xy , 2 2y x , 1x , hình nằm bên phải đường 1x . ĐS: 27/4.

3) 2 4y x , 22 8y x . ĐS: 32.

4) 2 2( 1) 1x y , 2 2( 2) 4x y , y x , 0y . ĐS:

5) 2 2y x , 2 3y x , 2x y , 2 4x y . ĐS: 1. 6) 2 22 0x xy y x y , 4 0x y . ĐS: 16/3. Bài 10. 1) Tìm diện tích mặt nón 2 2z x y nằm bên trong hình trụ 2 2 2x y x .

ĐS: 2 . 2) Tìm diện tích mặt trụ 2 2x z bị cắt bởi các mặt phẳng 2 0x y , 2y x ,

2 2x . ĐS: 13. 3) Tìm diện tích của phần mặt parabolôit 2 21x y z bị cắt bởi hình trụ

2 2 1y z . ĐS: (5 5 1)6

4) Tìm diện tích của phần mặt phẳng 2 4x y z nằm bên trong hình trụ 2 2 1x y . ĐS: 6 .

5) Tìm diện tích của phần mặt cầu 2 2 2 36x y z nằm bên trong hình trụ

2 2 6x y y và ở trên mặt phẳng Oxy. ĐS:

6) Tìm diện tích của phần mặt cầu 2 2 2 4x y z z nằm bên trong parabolôit 2 2z x y . ĐS: 4 .

7) Tìm diện tích của phần mặt cầu 2 2 2 25x y z nằm giữa các mặt 2z và 4z . ĐS: 20 .

8) Tìm diện tích của phần hình trụ 2 2 9x y bị cắt bởi hình trụ 2 2 9x z . ĐS: 72 . Bài 11. Tìm tọa độ trọng tâm của vật thể đồng chất giới hạn bởi

1) 2 24 4, 2 4.y x y x ĐS:

2 ,0 .5

2) 2 , 2.y x y x ĐS:

1 8, .2 5

§3. TÍCH PHÂN BỘI BA

I. Tích phân bội ba

( , , )f x y z dxdydz

: miền lấy tích phân, bị chặn trong 3 . II. Phương pháp tính tích phân bội ba 2.1. Miền lấy tích phân là hình hộp

1 1 2 2 3 3

31 1 2 2 3 3

( , , ) : , , .

a b a b a b

x y z a x b a y b a z b

Ta có

( , , ) ( , , )bb b

f x y z dxdydz f x y z dzdydx

Chú ý: Trong công thức trên, ta có thể hoán vị thứ tự lấy tích phân. Nếu ( , , ) ( ) ( ) ( )f x y z f x h y g z

( ). ( ). ( ) ( ) ( ) ( )bb b

f x h y g z dxdydz f x dx h y dy g z dz

Ví dụ. Tính

2xyz dxdydz với ( , , ) : 0 1, 1 2, 0 3x y z x y z .

Giải Cách 1:

31 2 3 1 2 32 2

0 1 0 0 1 03

zxyz dxdydz xyz dzdydx xy dydx

21 2 1 12

0 1 0 01

9 27 279 .2 2 4

xyxydydx dx xdx

Cách 2: SV tự làm. 2.2. Miền lấy tích phân không phải hình hộp Có 4 phương pháp chính: -Đưa về tích phân bội hai, -Đổi biến tổng quát, -Đổi biến sang tọa độ trụ, -Đổi biến sang tọa độ cầu.

2.2.1. Phương pháp đưa về tích phân bội hai Miền lấy tích phân được nhìn theo hướng Oz:

1 2( , , ) : ( , ) , ( , ) ( , )xyx y z x y D z x y z z x y , với xyD là miền nằm trong mp Oxy.

( , , ) ( , , )xy

D z x y

f x y z dxdydz f x y z dz dxdy

Miền lấy tích phân được nhìn theo hướng Oy: 1 2( , , ) : ( , ) , ( , ) ( , )xzx y z x z D y x z y y x z , với xzD là miền nằm trong mp

( , , ) ( , , )xz

D y x z

f x y z dxdydz f x y z dy dxdz

Miền lấy tích phân được nhìn theo hướng Ox: 1 2( , , ) : ( , ) , ( , ) ( , )yzx y z y z D x y z x x y z , với yzD là miền nằm trong mp

( , , ) ( , , )yz

D x x z

f x y z dxdydz f x y z dy dydz

Nhận xét: Thông thường, khi tính tích phân bội 2 và bội 3 bằng phương pháp đưa về tích phân lặp, ta thường phải vẽ miền lấy tích phân. Việc vẽ hình trong 2 thì dễ, còn vẽ hình trong 3 thì không phải dễ. -Tích phân bội 2 dễ vẽ -Tích phân bội 3 lúc dễ, lúc khó. Do đó, khi gặp bài tính tích phân bội 3, ta cần chú ý vào đặc điểm của miền để xử lý. Chú ý hai dạng đặc biệt sau: DẠNG 1. Miền chỉ gồm hai mặt cong có pt ( , )z g x y và ( , )z h x y :

Chuyển về tích phân bội 2, với

( , ) ( , )( , ) ( , )

g x y z h x yh x y z g x y

Bước 1 (Xác định miền xyD trong mp Oxy): xyD được tạo ra bởi giao tuyến của hai mặt cong đã cho.

Cho ( , ) ( , )f x y g x y biên của miền xyD ( xyD khép kín).

Bước 2: vẽ xyD lên mp Oxy.

Bước 3: lấy điểm bất kỳ 0 0( , )M x y xyD , thay tọa độ vào ( , )g x y và ( , )h x y ta sẽ biết được h g (hay g h ).

DẠNG 2. Miền chỉ gồm hai mặt cong có pt ( , )z g x y , ( , )z h x y và có thêm các pt không chứa biến z:

Chuyển về tích phân bội 2, với

( , ) ( , )( , ) ( , )

g x y z h x yh x y z g x y

Bước 1 (Xác định miền xyD trong mp Oxy):

Các phương trình không chứa biến z sẽ là biên của miền xyD .

Bước 2 (Vẽ xyD lên mp Oxy):

-Nếu xyD kín xong.

-Nếu xyD chưa kín: tìm thêm biên bằng cách cho ( , ) ( , )f x y g x y , sau đó vẽ thêm biên mới đó. Bước 3: lấy điểm bất kỳ 0 0( , ) xyM x y D , ta sẽ biết được h g (hay g h ). “Như vậy, nếu bài toán rơi vào một trong hai dạng trên thì ta chỉ cần vẽ miền D của trong mặt phẳng (dễ). Nếu không rơi vào một trong hai dạng trên thì bắt buộc ta phải vẽ trong không gian.” Hai dạng trên chỉ là 2 dạng cho z. Dạng cho y, cho x, ta làm tương tự như vậy. Ví dụ 1. Tính

zdxdydz với được giới hạn bởi các mặt 2 2z x y và

4z . Giải

Cách 1 (vẽ trực tiếp trong Oxyz):

Nhìn theo hướng Oz: xyD

xyD là hình tròn tâm O, bán kính 4R . Vậy,

xyD x y

zdxdydz zdz dxdy ???

2 21 (16 ) 64 .2

x y dxdy

Nhìn theo hướng Oy: xzD là miền được giới hạn bởi , , 4z x z x z . Vậy,

zdxdydz zdy dxdz ???

2 22 64 .xzD

z z x dxdz

Nhìn theo hướng Ox: tương tự. Cách 2 (khi không biết vẽ hình trong Oxyz): Nhận xét: Nhìn vào đề bài, ta thấy z nằm giữa 2 mặt 2 2z x y và 4z . Bài làm: Xét

4z x yz

2 2 2 24 16x y x y

??? 2 2( , , ) : ( , ) , 4xyx y z x y D x y z , với xyD là hình tròn 2 2 16x y

nằm trong mp Oxy.

Vậy,

4 ???2 21 (16 ) 64 .

2xy xyD Dx y

zdxdydz zdz dxdy x y dxdy

Ví dụ 2. Tính

(2 3 )x y dxdydz với được giới hạn bởi các mặt

, 1 , 0, 0y x z y x z . Giải

Cách 1 (vẽ trực tiếp trong Oxyz): Nhìn theo hướng Oz xyD là miền nằm trong mp Oxy được giới hạn bởi các

đường 0,x ,y x 1y . Cách 2 (khi không biết vẽ hình trong Oxyz): Nhận xét: Nhìn vào các phương trình ta thấy z có khả năng nằm giữa 2 mặt 0z và 1z y , các phương trình còn lại là y x , 0x không chứa biến z.

Ta chỉ cần vẽ miền xyD trong mp Oxy. Tuy nhiên vẽ y x , 0x thì xyD chưa

khép kín, ta cho 1 0 1y y , vẽ thêm đường này nữa thì xyD sẽ khép kín. Bài làm:

1 0 1y y

( , , ) : ( , ) , 0 1xyx y z x y D z y , với xyD là miền nằm trong mp Oxy và

được giới hạn bởi các đường 0,x ,y x 1y .

Vậy,

11(2 3 ) (2 3 ) .60

x y dxdydz x y dz dxdy

Ví dụ 3. Tính

2 2x z dxdydz với là miền bị chặn bởi paraboloid

2 2y x z và mặt 4y . Giải

Cách 1 (vẽ trực tiếp trong Oxyz):

Nhìn theo hướng Oz xyD là miền nằm trong mp Oxy và được giới hạn bởi

2 ,y x 4y .

Vậy,

2 2 2 2

x z dxdydz x z dz dxdy

2 4???2 2

x z dzdydx (Tính khó!)

Nhìn theo hướng Oy xzD là hình tròn 2 2 4x z .

Vậy,

4 ???2 2 2 2 128 .

15xzD x z

x z dxdydz x z dy dxdz

Cách 2 (khi không biết vẽ hình trong Oxyz): Nhận xét: Nhìn vào các phương trình ta thấy y có khả năng nằm giữa 2 mặt 2 2y x z và 4y . Ta chỉ cần vẽ miền xzD trong mp Oxy. Bài làm:

2 22 2 4

4y x z

2 2( , , ) : ( , ) , 4xzx y z x z D x z y , với xzD là hình tròn 2 2 4x z nằm trong mp Oxz. Vậy,

4 ???2 2 2 2 128 .

15xzD x z

x z dxdydz x z dy dxdz

2.2.2. Phương pháp đổi biến tổng quát Dấu hiệu: hàm lấy tích phân hoặc miền lấy tích phân phức tạp và có thể đặt ẩn phụ được. Bước 1 (đổi biến): Đặt

( , , )( , , )( , , )

u u x y zv v x y zw w x y z

Bước 2: Tính

trò tuyeät ñoái

J với

( , , ) 0( , , )

x x xu v w

x y z y y yJu v w u v w

z z zu v w

Cách 1: Từ (*)

( , , )( , , )( , , )

x x u v wy y u v w J Jz z u v w

Cách 2: Từ

( , , ) 10( , , )( , , )( , , )

u u ux y z

u v w v v v J Ju v wx y z x y zx y zw w w

Bước 3 (đổi miền): Tìm điều kiện cho , ,u v w uvw . Bước 4:

( , , ) ( ( , , ), ( , , ), ( , , )).xyz uvw

f x y z dxdydz f x u v w y u v w z u v w dudvdwJ

Ví dụ. Tính xyzdxdydz với được giới hạn bởi các mặt

2 22 2 , , 1, 4, , 2 ( , , 0)

2x yz x y z xy xy y x y x x y z .

Giải Cách 1 (đưa về tích phân bội hai):

2 22 2( , , ) : ( , ) ,

x yx y z x y D z x y , với xyD là miền nằm trong mp

Oxy và được giới hạn bởi các đường 1, 4, , 2 ( , 0)xy xy y x y x x y .

xyzdxdydz xyzdz dxdy

??? 765 15 2ln264 8

Cách 2 (đổi biến tổng quát):

Nhận xét: nhìn vào phương trình của các mặt, ta thấy có 3 yếu tố được lặp lại là

“z”, “ xy” và “ yx

”. Đây là một ví dụ mà ta nhìn vào miền lấy tích phân để đặt ẩn

phụ. Đặt

uxu xyv

yv y u vxw z

1 10 .2 2

x x xu v wy y yJ Ju v w v vz z zu v w

Ta có 1 1xy u

4 4xy u

1 1y vx

2 2y vx

2 2 1uz x y w uv u v

2 2 12 2

x y uz w vv

1 1( , , ) : ( , ) ,2uv

uu v w u v D u v w vv v

, với

( , ) :1 4, 1 2uvD u v u v . Vậy,

1 1 1. . . . ...2 2

xyzdxdydz u w dudvdw u w dw dudvv v

2.2.3. Phương pháp đổi biến sang tọa độ trụ Dấu hiệu: khi có hình chiếu xuống Oxy là miền có dạng tròn, đề bài có chứa dạng “ 2 2x y ”. Bước 1 (đổi biến): Đặt

cossin

x ry rz z

0 r , 0 2 , z

Bước 2: J r . Chú ý: 2 2 2x y r

Bước 3 (đổi miền): Tìm điều kiện cho , ,r z r z . : nhìn hình, tìm tia xuất phát và tia kết thúc (tia qua O và tiếp xúc với hình chiếu), là góc quét từ tia xuất phát đến tia kết thúc). r : tìm “ r vào” và “r ra”. z: tìm “z trên” và “z dưới”. Bước 4:

( , , ) ( cos , sin , ).xyz r z

f x y z dxdydz f r r z drd dzr

Chú ý: khi có hình chiếu xuống Oxy là miền có dạng elip, đề bài có chứa

dạng “ 2 2

x ya b

”, ta dùng công thức

cossin

x ary brz z

J abr . 2.3.4. Phương pháp đổi biến sang tọa độ cầu Dấu hiệu: khi có hình chiếu xuống Oxy là miền có dạng tròn, đề bài có chứa dạng “ 2 2 2x y z ”. Bước 1 (đổi biến): Đặt

sin cossin sincos

x py pz p

0 p , 0 2 , 0

Bước 2: 2 sinJ p . Chú ý: 2 2 2 2x y z p

Bước 3 (đổi miền): Tìm điều kiện cho , ,p p . , : nhìn hình p : tìm “ p vào” và “ p ra”. Bước 4:

( , , ) ( cos sin , sin sin , cos ).xyz p

f x y z dxdydz f p p p dpd d2sinp

Chú ý: khi có hình chiếu xuống Oxy là miền có dạng elip, đề bài có chứa

dạng “ 2 2 2

x y za b c

”, ta dùng công thức

sin cossin sincos

x apy bpz cp

2 sinJ abc p .

Ví dụ 1. Tính

2 2x y dxdydz với là hình giới hạn bởi các mặt 2 2 16x y ,

5z và 4z . Giải

Nhận xét: có hình chiếu xuống Oxy là hình tròn tâm O, bán kính 4R . Bài làm: Dùng tọa độ trụ

cossin

x ry rz z

, J r , 0 2 , 0 4r , 5 4z .

Vậy,

2 4 4 ???

. 384x y dxdydz r r dzdrd .

Ví dụ 2. Tính

2 2( )x y dxdydz với là hình giới hạn bởi các mặt 2 2z x y

và 2z . Giải

Nhận xét: có hình chiếu xuống Oxy là hình tròn tâm O, bán kính 2R . Bài làm: Cách 1: Dùng tọa độ trụ

cossin

x ry rz z

, J r , 0 2 , 0 2r ,

2 2 2 2x y z r z . Vậy,

2 2 2 ???

16( ) .5r

x y dxdydz r rdzdrd .

Cách 2: Dùng tọa độ cầu

sin cossin sincos

x py pz p

, 2 sinJ p , 0 2 .

Ta có 0 ,

2 2 2 2 2 2 2 2 2cos sin4

z x y z x y p p ,

22 cos 2

cosz p p

Vậy,

2 cos42 2 2 2 2

( ) sin . sinx y dxdydz p p dpd d

2 cos44 3

sinp dpd d ??? 16

Nhận xét chung: Trong ví dụ này, ta nên dùng tọa độ trụ để dễ tính toán hơn. Ví dụ 3. Tính

2 2 2 3/2( )x y ze dxdydz với 2 2 2( , , ) : 1x y z x y z .

Giải

Nhận xét: có hình chiếu xuống Oxy là hình tròn tâm O, bán kính 1R và đề bài có chứa biểu thức “ 2 2 2x y z ”. Bài làm: Dùng tọa độ cầu

cos sinsin sincos

x py pz p

, 2 sinJ p , 0 2 , 0 , 0 1.p

Vậy,

2 2 2 3/ 2 3

2 1( ) 2

. sinx y z pe dxdydz e p dpd d ??? 4 ( 1)

Ví dụ 4. Tính

2 2 2x y z dxdydz với là hình nằm nên trên mặt nón

2 2z x y và dưới mặt cầu 2 2 2x y z z . Giải

Nhận xét: có hình chiếu xuống Oxy là hình tròn tâm O, bán kính 1 / 2R và đề bài có chứa biểu thức “ 2 2 2x y z ”. Bài làm: Cách 1: Dùng tọa độ cầu

sin cossin sincos

x py pz p

, 2 sinJ p , 0 2 .

Ta có 0 ,

2 2 2 2 2 2 2 2 2cos sin4

z x y z x y p p ,

0 p , 2 2 2 2 cos cosx y z z p p p

0 cosp . Vậy,

2 cos4

2 2 2 2

. sinx y z dxdydz p p dpd d

2 cos4

sinp dpd d

??? 1 210 80

Cách 2: Dùng tọa độ trụ

cossin

x ry rz z

, J r , 10 2 , 02

2 2x y z r z . Khó xác định “z trên”! Vì vậy, không nên dùng tọa độ trụ trong ví dụ này.

Ví dụ 5. Tính

x y z dxdydza b c

với là miền nằm bên trong elipsoid

2 2 2 1x y za b c

Giải

Đặt

sin cossin sincos

x apy bpz cp

, 2 sinJ abcp ,

0 2 , 0 1p , 0 . Vậy

2 12 2 2 ???4

2 2 20 0 0

4.sin .5

x y z abcdxdydz abc p dpd da b c

§4. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN BỘI BA

I. Tính thể tích của hình 3 :

V dxdydz

Ghi nhớ: Công thức tính thể tích của hình 3 là công thức tính tích phân bội ba với hàm ( , , ) 1f x y z .

Ví dụ 1. Tính thể tích vật thể giới hạn bởi 2 24 1x y z và 3z . Giải

2 24 13

x y zz

2 24 3 1x y 2

2 2 24 4 14xx y y .

2 2( , , ) : ( , ) , 3 1 4xyx y z x y D z x y , với xyD là hình elip 2

2 14x y

nằm trong mp Oxy.

Vậy,

2 21 4

4 4xy xy

V dxdydz dz dxdy x y dxdy ??? 32

3(đvtt).

Ví dụ 2. Tính thể tích vật thể giới hạn bởi 2 20, 1 , , 3z z x y y x y x .

Giải Xét

2 2 2 22 2

00 1 1

x y x yz x y

2 2( , , ) : ( , ) , 0 1xyx y z x y D z x y , với xyD là miền nằm trong mp Oxy và được giới hạn bởi các đường

y x , 3y x , 2 2 1x y .

Vậy,

V dxdydz dz dxdy

72(đvtt).

Ví dụ 3. Tính thể tích vật thể giới hạn bởi 2 2 2 2 2 2 2 21, 4,x y z x y z z x y .

Giải Dùng tọa độ cầu

sin cossin sincos

x py pz p

, 2 sinJ p , 0 2 .

Ta có 0 ,

2 2 2 2 2 2 2 2 2cos sin4

z x y z x y p p ,

Lại có 2 2 2 1 1x y z p 2 2 2 4 2x y z p

1 2p . Vậy,

2 24 ???

14 7 2sin .3 3

V dxdydz p dpd d

II. Tìm khối lượng và trọng tâm vật thể Cho một vật thể trong không gian có khối lượng riêng tại điểm

( , , )M x y z là hàm ba biến ( , , )x y z . Ta có 2.1. Khối lượng vật thể :

( , , )M x y z dxdydz

2.2. Trọng tâm ( , , )G x y z của vật thể :

1 ( , , ) ,

1 ( , , )

x x x y z dxdydzM

y y x y z dxdydzM

z z x y z dxdydzM

Đặc biệt, nếu vật đồng chất, tức là ( , , )x y z const tại mọi điểm thì

x xdxdydzV

y ydxdydzV

z zdxdydzV

với V là thể tích vật thể .

BÀI TẬP Bài 1. Tính các tích phân sau

6z x z

xzdydxdz . ĐS: 1.

2) 1 2

xyzdzdydx . ĐS: 5/8.

zyze dxdzdy . ĐS: 31 1

yzyze dxdydz . ĐS: 1

cos( )y x

x y z dzdxdy . ĐS: 13

3( )xz y dxdydz , với ( , , ) : 1 1, 0 2, 0 1x y z x y z . ĐS: 8 .

7) 3( )zx ye dxdydz , với ( , , ) :1 2, 0 1, 0 ln2x y z x y z . ĐS: 15/8.

8) sin sin sin cos cos cosx y z x y zdxdydz , với

( , , ) : 0 / 2, 0 / 2, 0 / 2x y z x y z . ĐS: 1/8.

101sin ln( )x y z dxdydz , với ( , , ) : 0 2 , 1 , 1x y z x y e z e .

ĐS: 0. 10)

( )x y z dxdydz , với giới hạn bởi các mặt phẳng 0x , 1x , 0y ,

1y , 0z và 1z . ĐS: 3/2. Bài 2. Tính các tích phân sau

1) 2x dxdydz , với 2( , , ) : 0 2, 0 4 , 0x y z y x y z y . ĐS: 4.

2) 5cos( )yz x dxdydz , với ( , , ) : 0 1, 0 , 2x y z x y x x z x .

ĐS: 3 sin120

3) x dxdydz , với giới hạn bởi paraboloid 2 22z x y và hình trụ 24z y .

ĐS: 0.

4) x dxdydz , với giới hạn bởi paraboloid 2 24 4x y z và mặt phẳng 4x .

ĐS: 16 / 3 . 5)

2 2( )x z dxdydz , với giới hạn bởi 2 22y x z và 2y . ĐS: 80 / 9 .

6) zdxdydz , với là miền giới hạn bởi các mặt 2 2z x y , 0z , 2 2 4x y .

ĐS: 32 / 3 . 7)

( 1)z dxdydz , với giới hạn bởi 2 ,x y ,z x 0z , 1x . ĐS: 38/35.

8) 6xy dxdydz , với giới hạn bởi 1 , 0, , 0, 1z x y z y x y x .

ĐS: 65/28. 9)

xy dxdydz , với giới hạn bởi các mặt trụ 2y x , 2x y và các mặt phẳng

0,z z x y . ĐS: 3/28. 10)

xyzdxdydz , với là miền giới hạn bởi các mặt 0x , 0y ,

0, 1, 2z x y và 2 2z x y . ĐS: 23/6. 11)

zdxdydz , với giới hạn bởi mặt trụ 2 2 9y z , và các mặt phẳng

0, 3 , 0x y x z và nằm trong góc phần tám thứ nhất. ĐS: 27/8. 12)

y dxdydz , với giới hạn bởi các mặt trụ 2y x và các mặt phẳng

0, 0, 2y z x z . ĐS: 16/15. Bài 3. Tính các tích phân sau 1)

y dxdydz , với giới hạn bởi 0, 0, 0, 2 2 4x y z x y z . ĐS: 4/3.

2) 2 yx e dxdydz , với giới hạn bởi hình trụ 21z y và các mặt phẳng

0, 1, 1z x x . ĐS: 8/3e. 3)

y dxdydz , với là miền giới hạn bởi các mặt 2y x , 1z y , 0z .

ĐS: 8/35. 4)

(1 )x yzdxdydz , với là miền giới hạn bởi các mặt phẳng 0x , 0y ,

0z và 1z x y . ĐS: 1/144.

cos( )y x z dxdydz , với giới hạn bởi y x , 0y , 0z và

2z x .

ĐS: 2 1

6) 3( 1)

dxdydzx y z

, với giới hạn bởi 3x z , 2y , 0x , 0y , 0z .

ĐS: 4ln2 18

2 2( )x y dxdydz , với là miền bị chặn bởi các mặt 2 2z y x , 0z ,

1y . ĐS: 4/15. 8)

xzdxdydz , với là tứ diện với các đỉnh (0,0,0), (1,1,0), (0,1,0), (0,1,1).

ĐS: 1/120. 9)

xzdxdydz , với là hình giới hạn bởi

3 , 2 0, 3 14, 2 21, 0 2x y x y x y x y z . ĐS: 462. Bài 4. Tính các tích phân sau 1)

ze dxdydz , với giới hạn bởi paraboloid 2 21z x y , mặt trụ 2 2 5x y

và mặt phẳng Oxy. ĐS: 6( 5)e e . 2)

x dxdydz , với giới hạn bởi các mặt phẳng 0z , 5z x y và các mặt

trụ 2 2 4x y và 2 2 9x y . ĐS: 65 / 4 .

2 2x y dxdydz , với là hình nằm bên trong mặt trụ 2 2 1x y , dưới mặt

phẳng 4z và trên mặt paraboloid 2 21z x y . ĐS: 12 / 5 . 4)

2x dxdydz , với là hình nằm bên trong mặt trụ 2 2 1x y , trên mặt phẳng

0z và dưới mặt nón 2 2 24 4z x y . ĐS: 2 / 5. 5)

3 2( )x xy dxdydz , với là hình nằm trong góc phần tám thứ nhất, dưới

paraboloid 2 21z x y . ĐS: 2/35.

6) 2 21

xyz dxdydzx y

, với là hình nằm trong phần 0x , 0y , 0z và giới

hạn bởi các mặt 0x , 0y , 2 2z x y , 2 2 2 2x y z . ĐS: 1/8.

2 2 2( )x y z dxdydz , với là hình cầu tâm O, bán kính 1R . ĐS: 4 / 5 .

2 2( )x y dxdydz , với 2 2 2( , , ) : 1, 0x y z x y z z . ĐS: 4 / 15 .

2 2 2x y ze dxdydz , với là hình nằm trong góc phần tám thứ nhất và nằm

trong mặt cầu 2 2 2 9x y z . ĐS: 3(5 2)2

4) 2x dxdydz , với giới hạn bởi các mặt 0y , 2 29y x z và

2 216y x z . ĐS: 1562 / 15 .

3/22 2 2

z dxdydzx y z

, với là khối cầu tâm (0,0,2), bán kính 1.

ĐS: / 3 . 6)

2 2 2x y z dxdydz , với 2 2 2( , , ) : 0x y z x y z x . ĐS: 0.

7) 2 2 2x y z dxdydz , với 2 2 2( , , ) : 2 4x y z x y z . ĐS: 512 2 / 945 .

2 3(2 1) (cos )yx y z x e z dxdydz , với là ellpsoid 2

2 22 14x y z .

ĐS: 0. Bài 6. Tìm thể tích của khối 1) Tứ diện nằm trong góc phần tám thứ nhất và tạo ra bởi các mặt tọa độ và mặt 1x y z . ĐS: 1/6.

2) Giới hạn bởi mặt trụ 2y x và các mặt phẳng 0z , 4z và 9y . ĐS: 144. 3) Nằm trong hình trụ 2 2 9x y và giữa hai mặt phẳng 2 1z x , 0z ( 0x ).

4) Giới hạn bởi các mặt 2 22z x y , 4y z . ĐS: 81 / 4 . 5) Giới hạn bởi paraboloid 2 2x y z , 16x . ĐS: 128 . 6) Nằm phía trên mặt phẳng Oxz và dưới mặt 2 21y x z . ĐS: / 2 . 7) Nằm trong hình trụ 2 24 4x y , trên 5z y và dưới 9z x . ĐS: 28 . 8) Tứ diện với các mặt là 0x , 0z , 2 6x y , 3 0x y z . ĐS: 1. 9) Nằm trong hình trụ 2 2 9x y , giữa 0z , 2 2z x y . ĐS: 81 / 2 .

10) Giới hạn bởi các mặt 23z x , 24z x , 0y và 6y z . ĐS: 304 / 15 . 11) Giới hạn bởi các mặt 2 2z x y , 0z , 2 2x y x và 2 2 2x y x .

ĐS: 45 / 32 . 12) Nằm trong góc phần tám thứ nhất và được giới hạn bởi các mặt 0y , 3y , 0x , z x và 4z x . ĐS: 12.

13) Giới hạn bởi 6 mặt phẳng đôi một song song (tạo thành khối hình bình hành) như sau 2x y z , 2 3 3x y z , 2 3 3 4x y z . ĐS: 192/19. 14) Giới hạn bởi 1x y z x y z x y z . ĐS: 1/3.

15) Nằm trong mặt cầu 2 2 2 4x y z và hình trụ 2 2 1x y . ĐS: 3/24 (8 3 )3

16) Giới hạn bởi các paraboloid 2 2z x y và 2 236 3 3z x y . ĐS: 162 . 17) Giới hạn bởi các mặt trụ 2 22z x y , 2 24x x y và mặt 0z . ĐS: 12 . 18) Được cắt từ hình trụ ellipse 2 29 4 36x y bởi các mặt phẳng 0z và 3z y . ĐS: 18 .

19) Nằm trong mặt cầu 2 2 2 4x y z , trên mặt phẳng Oxy và dưới mặt nón

2 2z x y . ĐS: 8 2 / 3 .

20) Giới hạn bởi paraboloid 2 22z x y và 2 2 2 3x y z . ĐS:

21) Giới hạn bởi 2 2 2 2x y z R và 2 2 2 2x y z zR . ĐS: 35 / 12R . Bài 7. 1) Tìm tọa độ trọng tâm của vật thể giới hạn bởi 2 2 2 ( 0),x y a a 0,z 2 .z a

ĐS: (0,0, )a . 2) Tìm khối lượng của quả cầu có bán kính a, khối lượng riêng

1( , , ) .x y zx y z ĐS: 4 .a

3) Tìm khối lượng của hình lập phương 0 2,x 0 2,y 0 2,z khối lượng riêng ( , , ) .x y z x y z ĐS: 24. 4) Tìm tọa độ trọng tâm của vật thể giới hạn bởi 2 3 12 0,x y 0,x 0,y

,2yz khối lượng riêng ( , , ) 1.x y z ĐS: (6/5,12/5,8/5).

5) Tìm tọa độ trọng tâm của vật thể giới hạn bởi 0,z 2 21 2 ,z x y khối lượng riêng ( , , ) 1.x y z ĐS: (0,0,1/3).

Chương 5 TÍCH PHÂN ĐƯỜNG-TÍCH PHÂN MẶT

§1. TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI MỘT

I. Ký hiệu

( , )C

f x y ds , với C là đường cong trong 2 ,

( , , )C

f x y z ds , với C là đường cong trong 3 .

Chú ý: Đường cong kín là đường cong có điểm đầu trùng với điểm cuối và không tự cắt (các chỗ khác không có điểm nào trùng nhau). Không kín Kín

II. Định nghĩa Cho C là một đường cong khả vi trong 2 có phương trình tham số

( ), [ , ]

( )x x t

t a by y t

và ( , )f x y liên tục trên [a,b].

Chia [a,b] thành n khoảng 1[ , ]i it t .

Đặt

( ), [ , ]

( )x x t

t a by y t

. Các điểm ( , )i i iP x y chia C thành n cung nhỏ 1i iP P .

Đặt is là chiều dài của cung 1i iP P .

Trong cung thứ i, ta chọn điểm * * *( , )i i iP x y , 1 i n . Nếu

lim ( , )n

i i ini

f x y s m

thì giới hạn đó được gọi là tích phân đường loại 1 của f trên C, nghĩa là ( , )

f x y mds .

Nếu C kín, ta còn ký hiệu là ( , )C

f x y ds .

III. Cách tính tích phân đường loại 1: tính vi phân cung “ds”, đưa về tích phân xác định. 3.1. Trong 2

( , )C

f x y ds , với C là đường cong trong 2 .

Cách 1: C có dạng

( ), [ , ]

( )x x t

t a by y t

Khi đó

= ( ) ( )x t y tds dt

( , )ds , . ( ) ( )b

f f x t y t dt( ) ( )x y x t y t .

Cách 2: C có dạng ( )y y x , [ , ]x a b . Khi đó

= 1ds ( )y x dx

( , )ds , . 1b

f x f x ( ) ( )y y x y x dx .

Cách 3: C có dạng ( )x x y , [ , ]y c d . Khi đó

= 1ds ( )x y dy

( , )ds , . 1d

f y f y( ) ( )x x y x y dy .

3.2. Trong 3

( , , )C

f x y z ds , với C là đường cong trong 3 .

Dạng 1: C có dạng tham số

( )( ) , [ , ]( )

x x ty y t t a bz z t

Khi đó

= ( ) ( ) ( )x t y t z tds dt

( , )ds , , . ( ) ( ) ( )b

f f x t y t z t( ) ( ) ( )x y,z x t y t z t dt

Dạng 2: C là giao tuyến của hai mặt

( , )( , )

z z x yz z x y

hoặc

( , , ) 0( , , ) 0

F x y zG x y z

Khi đó, ta có thể đưa về dạng 1 (tham số hóa) bằng cách: - Tìm phương trình hình chiếu của C lên một mặt phẳng tọa độ (chẳng hạn Oxy). - Biểu diễn tham số cho các biến trong phương trình tìm được (chẳng hạn ta biểu diễn tham số cho x và y). - Từ phương trình của một trong hai mặt, ta suy ra biểu diễn tham số của biến còn lại (chẳng hạn z). 3.3 Chú ý: Tích phân đường loại 1 không phụ thuộc vào chiều của đường cong. Cận dưới của tích phân bao giờ cũng phải chọn bé hơn cận trên. ( )

f g ds f ds gds .

. .C C

k f ds k f ds .

Nếu đường cong C được nối bằng các đường cong 1 2, ,..., nC C C , khi đó

...nC C C C

f ds f ds f ds f ds .

Nếu 1f thì

ds là độ dài của cung AB .

Ví dụ 1. Tính C

y ds với C là đường cong có phương trình

, 0 2x tt

Giải

2 22 2( ) ( ) 4 1 .ds t t dt t dt

Vậy,

14 1 (17 17 1).12C

y ds t t dt

Ví dụ 2. Tính 4

a) C là cung parabol 2

2xy , nối từ điểm O(0,0) đến điểm A 1(1, )

b) C là đoạn thẳng nối từ điểm O(0,0) đến điểm A 1(1, )2

Giải a) Nhận xét: phương trình của C đã có dạng ( )y y x , ta nên giải theo cách 2. Nhưng trước khi làm, ta phải vẽ hình để tìm điều kiện cho x. Bài làm: Ta có

2xy , [0,1]x ,

21 1 .2xds dx x dx

Vậy,

???4 2 (2 2 1)

b) Nhận xét: phương trình của C chưa có, ta phải viết phương trình đường thẳng qua 2 điểm (0,0) và (1,1/2).

-Đường thẳng (OA)

qua O(0,0)1quaA(1, )2

có phương trình là

0 0 211 0 02

x y x y .

Đoạn OA:

12 , 0,2

x y y , 2

(2 ) 1 5 .ds y dy dy

Vậy,

???4 5

Nhận xét chung: qua ví dụ này, ta thấy kết quả của tích phân đường loại 1 phụ thuộc vào đường lấy tích phân.

Ví dụ 3. Tính C

xyds với C là 14

đường tròn 2 2 1,x y ( 0, 0)x y .

Giải Cách 1:

cos: , 0,

2sinx t

C ty t

Vậy,

xyds .

Cách 2:

Vì C là 14

đường tròn 2 2 1,x y ( 0, 0)x y nên ta có

21 , [0,1]y x x . Vậy,

xyds ??? 1

Nhận xét: Trong ví dụ này, ta nên giải theo cách 1 để dễ tính đạo hàm bên trong dấu căn. Ví dụ 4. Tính 2

xds với C bao gồm 1C là đường parabol 2y x nối từ điểm (0,0)

đến (1,1) và theo sau bởi 2C là đoạn thẳng nối từ điểm (1,1) đến (1,2). Nhận xét: ta nên vẽ hình trước khi giải, và nhận thấy C được nối bởi 2 đường cong 1C và 2C . Ta phải tính tích phân trên mỗi đường. Chú ý rằng, 1C đã có

phương trình dạng ( )y y x , 2C chưa có phương trình, ta phải viết phương trình cho 2C .

Giải -Trên 1C : 2 , [0,1]y x x ,

2 ...C

-Trên 2C : 1, [1,2]x y ,

2 ...C

Vậy,

5 5 12 2 2 26C C C

xds xds xds .

Ví dụ 5. Tính 2( 2 )

x y ds với C là biên của tam giác đỉnh D(1,1), E(3,1), F(1,5).

Nhận xét: đề bài không nói rõ phương trình của C, chỉ cho biết là biên của tam giác có 3 đỉnh là D, E, F. Khi vẽ hình xong, ta thấy C “khép kín” và được nối bởi 3 đoạn DE, EF, FD. Do đó, ta phải tính bằng tổng của 3 tích phân. Nhưng trước khi tính, ta phải viết phương trình cho mỗi đoạn (nên biểu diễn theo cách 2).

Giải

-Trên : 1, [1,3]DE y x ,

2( 2 ) ...DE

x y ds .

-Trên ???

: 2 7, [1,3]EF y x x ,

2( 2 ) ...EF

x y ds .

-Trên : 1, [1,5]FD x y ,

2( 2 ) ...FD

x y ds .

2 2 2 2( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 )C DE EF FD

x y ds x y ds x y ds x y ds 46 10 53 3

Ví dụ 6. Tính 2

x ds với C là đường tròn tâm O(0,0), bán kính 2R .

Giải Cách 1: Ta có

2cos: , 0,2

2sinx t

C ty t

2 22 22cos 2sin 4sin 4cos 2 .ds t t dt t t dt dt

Vậy,

x ds ???

Cách 2: Ta cũng có thể giải bằng cách tách C thành hai đường cong 2

1 : 4 ,C x y [ 2,2]y ;

22 : 4 ,C x y [ 2,2]y .

Khi đó

x ds x ds x ds

2 2???2

2 (4 ). 14

yy dyy

4 4 8y dy .

Ví dụ 7. Tính 2 22C

z x y ds với C là cung đường cong có phương trình

cos , sin , ,0 2x t t y t t z t t . Giải

t t tds x y z dt mà

2 2 2 2cos sin cos 2 cos sin sint tx t t t x t t t t t t

2 2 2 2sin cos sin 2 sin cos cost ty t t t y t t t t t t

1 1t tz z

2 2 2 22 .t t tds x y z dt t dt

Vậy,

z x y ds ???

2 3/22 2 (1 2 ) 13

Ví dụ 8. Tính 2 2 2( 1) 24 5( ) 4

z xy x y ds với C là giao tuyến của mặt trụ

2 2 4x y và mặt phẳng 2 3 1.x y z Giải

Ta có

2 2 42 3 1x y

hình chiếu của C xuống mặt phẳng Oxy là đường tròn 2 2 4x y .

Đặt

2cos, [0,2 ]

2sinx t

Từ 2 3 1x y z 1 2 3 1 2.(2cos ) 3.(2sin ) 1 4cos 6sinz x y t t t t .

2cos: 2sin , [0,2 ]

1 4cos 6sin

x tC y t t

z t t.

Từ đó, ta dễ dàng tính được

2 2 2( 1) 24 5( ) 4 60 .C

z xy x y ds

IV. Ứng dụng của tích phân đường loại 1: Cho một cung vật chất AB trong không gian có khối lượng riêng tại điểm

( , , )M x y z AB là hàm ba biến ( , , )x y z . Ta có 4.1. Độ dài của cung

4.2. Khối lượng cung vật chất AB :

M x y z( )ds

4.3. Trọng tâm ( , , )G x y z của cung vật chất AB :

1 , , ,

x x x y zM

y y x y zM

z z x y zM

BÀI TẬP Bài 1. Tính các tích phân đường sau đây

xy ds , C : 4cosx t , 4siny t ,

2 2t . ĐS: 8192/5.

ye ds , C : 1 3x t , 2 5y t , 0 1t . ĐS: 434(16 ) / 9e e .

xy ds , C : 4sinx t , 4cosy t , 3z t , 0

2t . ĐS: 320.

x zds , C : 4x t , 6 5y t , 1 6z t , 0 1t . ĐS: 56 77 / 3 .

xe ds , C : x t , 2y t , 3z t , 0 1t . ĐS: 614( 1) / 12e .

6) ( )C

x y ds , C là đoạn thẳng nối A(9,6) với B(1,2). ĐS: 36 5 .

2 2 4C

x y, C là đoạn thẳng nối điểm O(0,0) với A(1,2). ĐS: 5 4ln

, C là đoạn thẳng nối A(0,2) với B(4,0). ĐS: 5 ln23

9) (2 2 )C

x y z ds , C là đoạn thẳng nối hai điểm A(1,-1,2) và B(-1,2,-1).

ĐS: 22 / 2 .

x ds , C là cung 2

, 0 32xy x . ĐS: 58/15.

xds , C : 2 , 1 1y x x . ĐS: 0.

12) 2(2 )C

x y ds , C là nửa trên của đường tròn 2 2 1x y . ĐS: 22 +3

13) 2 2

x y ds , C là nửa đường tròn 2 2 2x y x với 1x . ĐS: 4 2 .

xy ds , C là 14

elip 2 2

19 4x y , 0x , 0y . ĐS: 38/5.

15) 34C

x ds , C bao gồm 1C là đường thẳng nối từ điểm (-2,-1) đến điểm (0,-1),

theo sau bởi 2C là đường cong 3 1y x nối từ điểm (0,-1) đến (1,0) và 3C là

đường thẳng nối từ điểm (1,0) đến điểm (1,2). ĐS: 218 20 1027

xyds , C là biên hình vuông , 0x y a a . ĐS: 0.

17) ( )C

x y ds , C là chu vi của tam giác gồm các đỉnh A(1,0), B(0,1), C(0,0).

ĐS: 1 2 . 18)

xy ds , C là biên của hình chữ nhật ABCD, trong đó A(0,0), B(4,0), C(4,2),

D(0,2). ĐS: 24.

19) 2 22C

y z ds , C là đường

2 2 2 2x y z ax y

. ĐS: 22 a .

x ds , với cung C là giao của 2 2 4x y và 2 4z x nằm trong góc phần

tám thứ nhất của hệ trục tọa độ nối (0,4,4) đến (1,3,6). ĐS: 1 (27 5 5)

Bài 2. Cho một dây thép dạng nửa đường tròn trong mặt phẳng Oyz với phương trình 2 2 1, 0.y z z

Biết khối lượng riêng ( , , ) 2 .x y z z

Tìm khối lượng và

trọng tâm của dây. ĐS:

8(2 2), 0,0, .4 4

§2. TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI HAI

I. Ký hiệu

( , ) ; ( , ) ; ( , ) ( , )C C C

f x y f x y f x y g x ydx dy dx dy ,

với C là đường cong trong 2 .

( , , ) ; ( , , ) ; ( , , ) ;

( , , ) ( , , ) ( , , )C C C

f x y z f x y z f x y z

f x y z g x y z h x y z

dx dy dz

dx dy dz,

với C là đường cong trong 3 . II. Định nghĩa Trong định nghĩa tích phân đường loại 1, nếu ta thay is bởi 1i i ix x x hoặc 1i i iy y y thì ta sẽ thu được tích phân đường của f trên C tương ứng x và y (gọi là tích phân đường loại 2) như sau

1( , ) lim ( , )

i i in iC

f x y f x ydx x ,

1( , ) lim ( , )

i i in iC

f x y f x ydy y ,.

Ngoài ra, ta còn có tích phân đường loại 2 của hai hàm f, g như sau

* * * *

1( , ) ( , ) lim ( , ) ( , )

i i i i i in iC

f x y g x y f x y g x ydx dy x y .

Chú ý rằng, trong tích phân đường loại 1, is luôn dương. Trong tích phân đường loại 2 này, ix , iy có thể âm, dương, phụ thuộc vào việc chọn điểm đầu hay điểm cuối của đường cong. Nếu C kín, ta cũng có thể ký hiệu dấu tích phân là .

III. Một số chú ý Hướng của C là hướng theo đó điểm M chạy trên cung C từ điểm đầu đến điểm cuối của cung C. Cung C với một hướng xác định được gọi là cung định hướng. Tích phân đường loại 2 sẽ đổi dấu khi ta đổi hướng của C, nghĩa là

C có hướng đi từ C có hướng đi từ điểm A đến điểm B điểm B đến điểm A.

Vì vậy, khi tính tích phân đường loại 2, ta phải chú ý đến hướng của đường lấy tích phân xuất phát từ điểm nào và kết thúc ở điểm nào để xác định cận tích phân. Khi C kín, ta quy ước hướng dương trên C là hướng sao cho khi di chuyển trên C thì miền giới hạn bởi C luôn nằm ở phía tay trái. Hướng ngược lại là hướng âm. Tích phân lấy theo hướng dương thường ký hiệu là .

Miền đơn liên, miền đa liên: Miền đơn liên là miền “không có lỗ thủng”. Miền không đơn liên (miền đa liên) là miền có “lỗ thủng”.

f g f gdx dy dx dy

C C C C

f g h f g hdx dy dz dx dy dz .

Nếu đường cong C được nối bằng các đường cong 1 2, ,..., nC C C , khi đó

...nC C C C

f ds f ds f ds f ds .

C AB C BA

2C 3C1C

1 2C C C

IV. Định lý Green (đưa ra công thức liên hệ giữa tích phân đường loại 2 trên đường cong kín C và tích phân bội 2)

( , ) ( , )C

g ff x y dx g x y dy dxdyx y

Nếu các điều kiện sau đều thỏa: C kín bao được miền (đơn liên hoặc đa liên), Hướng của C là hướng dương, ,f g và các đạo hàm riêng cấp 1 của chúng liên tục trên C . Chú ý: Trong trường hợp là miền đa liên, ví dụ như hình vẽ số 2 ở trên thì, ta có

1 2 1 2C C C C C

fdx gdy fdx gdy fdx gdy

V. Phương pháp tính tích phân đường loại 2 Chú ý C kín hay không kín. Từ đó, tìm cách đưa về tích phân xác định có cận. 5.1. Trong 2

( , ) ( , )C

f x y g x ydx dy , với C là đường cong trong 2 .

tham số hóa C biết ( )y y x TPXĐ có cận

( )x x y C không kín C chưa biết hoặc biết nhưng khó tính TP

, ( , )f g x y

f gy x

( mở, đơn liên, chứa C) Tích phân không phụ thuộc Thêm bớt đường đi đường bất kì tạo ra đường kín Chọn đường Tính bằng để dùng ĐL Green gấp khúc hàm thế // các trục F(cuối)-F(đầu) tọa độ

1 2 3C C C C

Tham số hóa TPXĐ có cận Tách C thành các đường không kín C kín Định lý Green (hay dùng)

,f gy x

với là miền trong của C (C là biên của ) 5.2. Trong 3

( , , ) ( , , ) ( , , )C

f x y z g x y z h x y zdx dy dz ,

với C là đường cong trong 3 . Tham số hóa C kín & khó tham số hóa ĐL Stockes (chương 3) VI. Các dạng bài cụ thể 6.1. C đã biết, C có dạng tham số hóa, ( )y y x hay ( )x x y

C có dạng

( ), :

( )x x t

ty y t

( )( )

dx x t dtdy y t dt

Vậy,

( , ) ( , ) ( ), ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) .C

f x y dx g x y dy f x t y t x t g x t y t y t dt

C có dạng ( )y y x , :x a b ( )dy y x dx Vậy,

( , ) ( , ) , , .b

f x dx g x f x g x( ) ( ) ( )y y dy y x y x y x dx

( , ) ( , )C

g ff x y dx g x y dy dxdyx y

C có dạng ( )x x y , :y c d ( )dx x y dy Vậy,

( , ) ( , ) , , .d

f y g y dy f y . g y( ) ( ) ( )x dx x x y x y x y dy

Ví dụ 1. Tính

xdy ydx

x y với C là phần tư cung tròn 2 2 4x y đi từ A(2,0)

đến B(0,2). Nhận xét: C đã biết và không kín.

Giải

2cos: , : 0

22sinx t

C ty t

2sin2cos

dx tdtdy tdt

/2 /22 2

2 2 2 20 0

(2cos ) (2sin ) 4 2 .5 51 1 (2cos ) (2sin )C

xdy ydx t t dt dtx y t t

Ví dụ 2. Tính 2

x dx xydy với

a) C là đoạn thẳng từ O(0,0) đến A(1,1) b) C là parabol 2y x từ O(0,0) đến A(1,1). Nhận xét: C đã biết và không kín.

Giải a) Cách 1: Đường thẳng (OA) có pt: y x . Vì C là đoạn thẳng từ O(0,0) đến A(1,1) nên

C: ,y x : 0 1x .dy dx

Vậy,

2. . 23C

x dx xydy x dx x x dx x dx .

Cách 2: SV thử dùng dạng tham số của C. b) C: 2, : 0 1y x x 2 .dy xdx

Vậy,

2 11/ 15.C

x dx xydy

Ví dụ 3. Tính 2 2( 2 ) ( 2 )C

x xy dx y xy dy với C gồm phần cung parabol 2y x

đi từ A(-1,1) đến B(1,1) và đoạn thẳng nối B với C(2,0). Nhận xét: C được nối bằng 2 đường 1 2,C C đã biết và không kín.

Giải -Trên 2

1 : , : 1 1C y x x ,

2 2( 2 ) ( 2 ) ...C

x xy dx y xy dy

-Đường thẳng (BC) có pt: 2y x . -Trên 2 : 2 , :1 2C y x x ,

2 2( 2 ) ( 2 ) ...C

x xy dx y xy dy

Vậy,

2 2 14 16( 2 ) ( 2 ) 2 .15 15C

x xy dx y xy dy

6.2. C chưa biết hoặc C đã biết nhưng khó tính tích phân Cách 1: Ta chứng minh tích phân không phụ thuộc vào đường đi. Từ đó, ta chọn một đường đi bất kì để tính (thường chọn các đường gấp khúc // các trục tọa độ để dễ tính toán) hoặc tính bằng cách dùng hàm thế. Định lý. Giả sử các hàm số f, g có các đạo hàm riêng cấp 1 liên tục trong một miền D nào đó. Dạng f dx gdy là dạng vi phân toàn phần nếu

, ( , )f g x y D

Định nghĩa. Hàm F được gọi là hàm thế của (f,g) nếu ( , )F f g

,F FFx y

Định lý (Điều kiện để tích phân đường loại 2 không phụ thuộc đường đi). Cho là tập mở, đơn liên trong 2 . Cho hai điểm ,P Q và C là đường cong trong , C nối từ P đến Q. Khi đó

, vaø caùc ñaïo haøm rieâng caáp 1 lieân tuïc treân mieàn

, ( , )

f gf g x yy x

( , ) ( , )C

f x y g x ydx dy không phụ thuộc vào cách chọn đường cong C.

Tồn tại hàm thế F của (f,g) khả vi liên tục trên . Hơn nữa, ta có

( , ) ( , ) ( ) ( )C

f x y g x y F Q F Adx dy .

Đặc biệt, nếu C kín ( P Q ) thì ( , ) ( , ) 0C

f x y g x ydx dy .

Cách 2: Nếu

f gy x

thì ta thêm bớt đường bất kì, tạo ra đường kín để dùng Định

lý Green. Ví dụ 1. Cho 2( , ) 3 2f x y x xy và 2( , )g x y x y . a) Kiểm tra fdx gdy là dạng vi phân toàn phần. b) Tìm hàm thế ( , )F x y của ( , )f g .

Giải

a) Ta có

y xfdx gdy là dạng vi phân toàn phần trên 2 .

b) Ta có

( , ) , ( , )F FF f g f gx y

( , ) 3 2 (1)

( , ) (2)

F f x y x xyxF g x y x yy

Từ (1) 2 3 2( , ) 3 2 ( ) ( )F x y x xy dx h y x x y h y . (*) Lấy đạo hàm riêng 2 vế của (*) theo biến y, ta được

2 ( )F x h yy

do (2)2 2 2( ) Fh y x x y x y

( )2yh y ydy C , C là hằng số

3 2( , )2yF x y x x y C .

y dx xydy với C là đường cong nối từ A(1,1) đến B(2,4).

Nhận xét: C không kín nhưng chưa biết cụ thể là đường nào. Giải

Ta có

2( , ) 2ff x y y y

( , ) 2 2gg x y xy y

, vaø caùc ñaïo haøm rieâng caáp 1 lieân tuïc treân

, ( , )

f gf g x yy x

tích phân ban đầu không phụ thuộc vào đường đi. Cách 1: Ta tính theo đoạn thẳng nối từ A(1,1) đến B(2,4) là

3 2, :1 2y x x

Cách 2: Ta tính theo parabol nối từ A(1,1) đến B(2,4) là

2 , :1 2y x x

2 2 31.C

y dx xydy

Cách 3: Ta tính theo đường gấp khúc C bao gồm 1C là đoạn nối từ A(1,1) đến D(2,1) và 2C là đoạn nối từ D(2,1) đến B(2,4). -Trên 1 : 1, :1 2C y x

???2 2 1

y dx xydy .

-Trên 2 : 2, :1 4C x y

???2 2 30

y dx xydy .

Vậy, 2 2 30 1 31C

y dx xydy .

Cách 4: (Dùng hàm thế) -Tìm hàm thế F(x,y):

Ta có

( , ) , ( , )F FF f g f gx y

2( , ) (1)

( , ) 2 (2)

F f x y yxF g x y xyy

Từ (1) 2 2( , ) ( ) ( )F x y y dx h y y x h y . (*) Lấy đạo hàm riêng 2 vế của (*) theo biến y, ta được

2 ( )F xy h yy

do (2)

( ) 2 2 2 0Fh y xy xy xyy

( )h y C , C là hằng số 2( , )F x y y x C . Chọn 0C 2( , )F x y y x . Vậy,

2 2 (2,4) (1,1) 32 1 31C

y dx xydy F F .

Ví dụ 3. Tính sin 5 cos 5x x

e y xy dx e y dy , C là nửa trên của đường tròn

2 2 2x y x đi từ A(2,0) đến O(0,0). Nhận xét: C không kín và đã biết cụ thể.

Giải Cách 1: C: 22 , : 2 0y x x x , Cách 2:

1 cos: , : 0

sinx t

C ty t

Cách 3: Gọi 1C là đoạn thẳng nối từ O đến A. Ta có

C C C C

với C là đường cong kín được nối bởi C và 1C .

sin 5 cos 5x x

e y xy dx e y dy :

Ta có

( , ) sin 5 cos 5x xff x y e y xy e y xy

( , ) cos 5 cosx xgg x y e y e y

C’ kín, có hướng dương.

,f g và các đạo hàm riêng cấp 1 của chúng liên tục trên C . Áp dụng định lý Green, ta có

sin 5 cos 5x x

e y xy dx e y dy

g f dxdyx y

??? 5cos cos 5 5 .2

x xe y e y x dxdy xdxdy

Tính 1

sin 5 cos 5x x

e y xy dx e y dy :

1 : 0, : 0 2C y x 0dy

sin 5 cos 5 0 0.x x

e y xy dx e y dy dx

5 5sin 5 cos 5 0 .2 2

e y xy dx e y dy

6.3. C kín Ví dụ 1. Tính 2 2

y dx x dy , C là đường tròn bán kính 1 với tâm tại gốc tọa độ, có

hướng ngược với chiều quay của kim đồng hồ. Nhận xét: C kín và đã biết cụ thể.

Giải Cách 1 (tham số hóa): SV tự làm. Cách 2 (dùng Green):

Ta có

2( , ) 2ff x y y y

2( , ) 2gg x y x x

Ta có C kín, có hướng dương. ,f g và các đạo hàm riêng cấp 1 của chúng liên tục trên C . Áp dụng định lý Green, ta có

2 2 2 ( )C

g fy dx x dy dxdy x y dxdyx y

SV tự làm tiếp. ĐS: 0.

x ydx x dy , C là biên của miền giới hạn bởi hai parabol

2 2,y x x y , theo hướng dương. Nhận xét: C kín và đã biết cụ thể.

Giải Cách 1 (tách C ra thành 2 đường không kín): SV tự làm. Cách 2 (dùng Green):

Ta có

2 2( , ) ff x y x y x

3 2( , ) 3gg x y x x

Ta có C kín, có hướng dương. ,f g và các đạo hàm riêng cấp 1 của chúng liên tục trên C . Áp dụng định lý Green, ta có

2 3 2 2 2 6(3 ) 2 .35C

x ydx x dy x x dxdy x dxdy

xdy ydxx y

, C là đường tròn 2 2 4x y , có hướng ngược với

chiều quay của kim đồng hồ. Nhận xét: C kín và đã biết cụ thể. Hơn nữa, ta có

2 2( , ) yf x yx y

, 2 2( , ) xg x y

x y không liên tục tại (0,0) thuộc miền

2 2( , ) : 4x y x y nên ta không thể dùng Định lý Green. Đây là một ví dụ cho thấy không phải lúc nào cũng dùng Định lý Green được. Ta giải bằng cách tham số hóa.

Giải

2cos: , : 0 2

2sinx t

C ty t

SV tự làm tiếp. ĐS: 2 .

xdy ydxx y

, C là đường cong kín, trơn, bao quanh gốc tọa độ O.

Nhận xét:

C kín. Ta có

2 2( , ) yf x yx y

, 2 2( , ) xg x y

x y không liên tục tại (0,0) thuộc

miền trong của C nên ta không thể dùng Định lý Green. Hơn nữa, C chưa biết cụ thể là đường nào nên ta cũng không thể tham số hóa. Tuy nhiên, ta có

2 2 2 , ( , ) (0,0)( )

f x y g x yy xx y

Ta sẽ dùng phương pháp “khoét lỗ” để loại bỏ điểm “kì dị” (0,0). Giải

Ta có

2 2 2 , ( , ) (0,0)( )

f x y g x yy xx y

Gọi rC là đường tròn tâm O bán kính r đủ nhỏ nằm hoàn toàn trong miền trong của C, theo chiều kim đồng hồ. Gọi là miền giới hạn bởi C và rC . Ta có C, rC kín, có hướng dương. ,f g và các đạo hàm riêng cấp 1 của chúng liên tục trên ( )rC C . Áp

dụng định lý Green trên miền , ta có

2 2 0r

xdy ydx f g dxdyy xx y

2 2 2 2 0rC C

xdy ydx xdy ydxx y x y

2 2 2 2 2 2r r

xdy ydx xdy ydx xdy ydxx y x y x y

với rC là rC có hướng ngược với chiều quay của kim đồng hồ.

Ta dễ dàng tính được

2 2 2rC

xdy ydxx y

bằng cách tham số hóa tương tự ví dụ 3

ở trên.

6.4. C trong 3 Ví dụ 1. Tính ( )

x y z dx , với C là đường cong được cho bởi phương trình

cos , sin , ,x t y t z t theo hướng t tăng từ 0 đến . Giải

Ta có cos sinx t dx tdt , : 0t .

Vậy,

3( ) (cos sin )sin2C

x y z dx t t t tdt .

Ví dụ 2. Cho (3, 6,0)A và ( 2,4,5)B .Tính 2 2 2

xy dx yz dy zx dz , với

a) C là đoạn thẳng nối từ (0,0,0)O đến B. b) Cung C là giao của 2 2 2 45x y z và 2 0y x nằm phía trên mặt phẳng Oxy nối từ A tới B.

Giải a)

Ta có

2: 4 , : 0 1.

x tC y t t

SV tự làm tiếp. ĐS: 91. b)

Ta có cung C là một phần của đường tròn

2 2 2 452 0

x y zy x

Đặt , : 3 2x t t 2y t

Từ 2 2 2 2 245 45x y z z x y (vì C nằm phía trên mp Oxy)

245 5z t .

: 2 , : 3 2

x tC y t t

z t SV tự làm tiếp. ĐS: -1085/4. Ví dụ 3. Tính 2 2

ydx z dy x dz , với C là giao tuyến của mặt cầu 2 2 2 4x y z

với mặt phẳng 3z có hướng vòng quanh ngược chiều kim đồng hồ nếu nhìn từ điểm (0,0,2).

Giải Cách 1:

Ta có

2 2 2 2 24 1:

x y z x yC

cos: sin , : 0 2 .

x tC y t t

SV tự làm tiếp. ĐS: .

Cách 2: (dùng Định lý Stokes). TÓM TẮT

Tích phân đường loại 1:

♥ Nhớ công thức vi phân cung ds ♥ Cận dưới < cận trên Tích phân đường loại 2: ♥ Chiều của C ♥ C kín hay không kín

f gy x

BÀI TẬP Bài 1. Tính 1) (3 2 )

x y dx dy , C : 24 2y x x từ (2,0) đến (1,2). ĐS: -31/6.

xdx xydy , với

a) C là đoạn thẳng 1x , 1 4y . b) C là đoạn thẳng 2y , 1 1x .

ĐS: a) 15/2; b)0. 3)

xdx xydy , C là đoạn thẳng 1x , 1 4y . ĐS: 15/2.

y dx xdy , với

a) C là đoạn thẳng nối (-5,-3) tới (0,2). b) C là cung parabol 24x y nối từ (-5,-3) tới (0,2).

ĐS: a) -5/6; b) 245/6. 5) 3 2

y dx x dy , C : 2y x từ (0,0) đến (1,1). ĐS: 3/5.

xe dx , C là đường cong yx e nối (1,0) tới (e,1). ĐS: 31 ( 1)3

7) 2 2( 3 )C

x y dx xdy , C là cung tròn 2 2 9x y đi từ (0,3) đến (-3,0).

8) 2 2

y dx x dy , C là cung 24y x nằm phía trên Ox thuận chiều kim đồng hồ.

ĐS: 512/15. 9) ( )

xy dx x y dy , C gồm đoạn thẳng từ (0,0) tới (2,0) và đoạn thẳng từ (2,0)

tới (3,2). ĐS: 17/3. 10) sin cos

x dx ydy , C gồm nửa trên của đường tròn 2 2 1x y từ (1,0) đến

(-1,0) và đoạn thẳng từ (-1,0) đến (-2,3). ĐS: cos1 cos2 sin3 . 11) 2 2 2 2( ) ( )

x y dx x y dy , C là đường cong 1 1y x , theo chiều x tăng từ

0 đến 2. ĐS: 4/3.

12) 2 2

y dx x dy , C là nửa trên elip 2 2

2 2 1x ya b

, có hướng cùng chiều quay của

kim đồng hồ. ĐS: 243

x y dy , C là 14

đường tròn 2 2 2x y R đi từ (R,0) đến (0,R). ĐS: 2 / 2R .

Bài 2. Cho (f,g). Kiểm tra điều kiện để f dx gdy là dạng vi phân toàn phần và tìm hàm thế F trong trường hợp dạng vi phân toàn phần. 1) (2 3 ,3 4 )x y x y . ĐS: 2 23 2x xy y C . 2) 2 2(3 2 , 3 )xy x y . ĐS: 2 33x x y y C . 3) 3 3( 4 ,4 )x xy xy y . ĐS: Không là dạng vptp. 4) ( , )y xxe ye . ĐS: Không là dạng vptp. 5) ( , )y xxe ye . ĐS: Không là dạng vptp.

6) ( , )xy xyx ye xe . ĐS: 2

2xyx e C .

7) ( , 2 )y ye y xe . ĐS: 2yxe y C .

8) 2 2( , 2 ln )x y xy y . ĐS: 3

2 ln3x xy y y y C .

9) 2(2 cos cos , sin sin )x y y x x y x . ĐS: 2 cos sinx y y x C . 10) ( sin , cos )x xye y e x y . ĐS: sinxye x y C . 11) 2( 2 cos , sin )xy xye x y e x y . ĐS: Không là dạng vptp. Bài 3. Trong các bài tập sau, chứng minh tích phân không phụ thuộc đường cong và tính tích phân 1) ( 2 )

y dx x y dy , C là đường cong nối (0,1) tới (2,1). ĐS: 2.

2) 2 2(3 1) ( 3 )C

xy dx y x y dy , C là đường cong bất kỳ nối từ (-1,-3) đến (3,5).

ĐS: 336. 3) 2 3(3 1) ( 2)

x y dx x dy , C là đường cong kín theo hướng dương. ĐS: 0.

4) 3 4 4 3

x y dx x y dy , C là đường cong nối (0,1) tới (1,2). ĐS: 4.

5) 4 3 2 2 4( 4 ) (6 5 )C

x xy dx x y y dy , C là đường cong bất kỳ nối từ (-2,-1) tới

(3,0). ĐS: 62.

6) (1 )x x

ye dx e dy , C là đường cong nối (0,1) tới (1,2). ĐS: 2/e.

7) (sin 2 ) (2 3 )C

x y dx x y dy , C là đường cong bất kỳ khả vi từng khúc nối

(0,2) đến (3,1). ĐS: 5/2-cos3.

1 2 (4 ln )C

y dx xy y dyx

, C nối từ (1,3) đến (3,1) trong miền , 0x y .

ĐS: -28/3-3ln3. 9) ( sin ) ( cos 1)x x

e y y dx e y dy , C là nửa đường tròn 2 2 4x y x ( 0)y đi

từ A(4,0) đến O(0,0). ĐS: 2 . 10) ( 1) x y x y

x e dx xe dy , C là cung 2 2 2x y x ( 0)y đi từ O(0,0) đến

A(2,0). ĐS: 22e . Bài 4. Tính các tích phân sau 1) 2 2( )

x y dx xy dy , C là đường tròn 2 2 9x y theo hướng dương.

ĐS: 81 / 2 .

2) ( ) ( )C

x y dx x y dy , C là đường elip 2 2

2 2 1x ya b

, có hướng ngược với chiều

quay của kim đồng hồ. ĐS: 0. 3) 2 2( ) ( )

x y dx x y dy , C là biên của tam giác OAB theo hướng dương, với

O(0,0), A(2,0), B(4,2). ĐS: 16. 4) 2 3

xy dx x dy , C là biên của hình chữ nhật bao gồm 4 đỉnh O(0,0), A(2,0),

B(2,3), C(0,3), theo hướng dương. ĐS: 6. 5) 2 2

x y dx xy dy , C là đường cong kín tạo ra từ đường 4x và parabol

2 4y x . ĐS: -8192/105. 6) 2 3

y dx xydy , C là biên của miền được giới hạn bởi 2 2 1x y , 2 2 4x y ,

0y , nằm phía trên trục Ox, theo hướng dương. ĐS: 14/3. 7) 2 2 34

x y dx xy dy , C là biên của miền 2( , ) : 0 1,3 3x y x x y .

ĐS: 318/5.

8) 2 4 2 2( 2 )x

xe dx x x y dy , C là biên của miền giới hạn bởi hai đường tròn

2 2 1x y , 2 2 4x y , theo hướng dương. ĐS: 0.

9) 2 2 2 2ln( )C

x y dx y xy x x y dy , C là đường tròn

2 2( 1) ( 1) 1x y , theo hướng dương. ĐS: 5 / 4 .

dx dyx y

, C là chu vi của hình vuông A(1,0), B(0,1), C(-1,0), D(0,-1), có

hướng ngược với chiều quay của kim đồng hồ. ĐS: 0.

11) 2 2

xdy ydxx y

, C là đường tròn

1 2cos,

2sinx ty t

theo hướng dương. ĐS: 2 .

12) 2 2

( ) ( )

x y dx x y dyx y

, C là đường cong trơn từng khúc, không đi qua gốc tọa

độ, là biên của miền trong các trường hợp a) không chứa gốc tọa độ O. b) là hình tròn tâm O, bán kính R. c) chứa gốc tọa độ O.

ĐS: a) 0; b) 2 ; c) 2 . Bài 5. Tính 1)

zdx xdy ydz , C : 2 3 2, ,x t y t z t , theo hướng t tăng từ 0 đến 1. ĐS: 3/2.

2) 2 2 2

x dx y dy z dz , C gồm 1C là đoạn thẳng nối (0,0,0) tới (1,2,-1) và 2C là

đoạn thẳng nối (1,2,-1) tới (3,2,0). ĐS: 35/3. 3) ( ) ( ) ( )

z y dx x z dy y x dz , C là đường gấp khúc nối các điểm (0,0,0),

(1,0,0), (1,1,0) và (1,1,1) theo thứ tự đó. ĐS: 3.

4) 2 2 2( )C

z dx x y z dzy

, C là giao của 2 2 1x y và 2 4z x nằm trong góc

phần tám thứ nhất của hệ trục tọa độ nối (0,1,4) tới (1,0,6). ĐS: 152 / 3 2 . 5) 2

ydx zdy xdz , C là giao của nửa mặt cầu tâm O, bán kính R, ở phía trên

mặt phẳng Oxy và một mặt trụ có đường sinh song song với trục Oz, tựa trên một đường tròn nằm trong mặt phẳng Oxy có tâm ( / 2,0)R , bán kính / 2R , nằm trong

góc phần tám thứ nhất nối A(R,0,0) tới B(0,0,R). ĐS:

8 3R .

xydx yzdy xzdz , C là đường tròn có phương trình

2 2 2 2x y z Rxz x

nằm về phía 0y đi từ O(0,0,0). ĐS:

3 1 26 16

ydx zdy xdz , C là giao tuyến của mặt trụ 2 2 4x y và mặt phẳng

2 3 1 0x y z , theo chiều sao cho một điểm chạy trên C thì hình chiếu của nó xuống mặt phẳng Oxy chạy quay gốc O theo hướng ngược với chiều quay của kim đồng hồ. ĐS: 24 . Bài 6. Chứng minh rằng, miền thỏa định lý Green có thể tính diện tích bằng các công thức

ydx xdy .

Áp dụng để làm các bài tập sau a) Tính diện tích tam giác có các đỉnh (1,2), (3,4), (-3,-8). b) Tính diện tích tứ giác có các đỉnh (1,2), (2,1), (1,10),(6,12).

ĐS: a) 6; b) 55/2. Bài 7. Tìm các hằng số a, b để tích phân

2 2 2 2

(1 ) (1 )(1 )C

y x ay dx x y bx dyIx y

không phụ thuộc đường lấy tích phân. Tính tích phân trên với a, b đã tìm được với C là đường cong nối O(0,0) tới A(1,1). ĐS: 1/ 3 . Bài 8. Tìm hàm ( )h x để

( ) ( cos sin ) ( sin cos )C

I h x x y y y dy x y y y dx

không phụ thuộc đường lấy tích phân. Tính tích phân trên với ( )h x tìm được và C là đường cong nối A(0, ) tới B( ,0). ĐS: ,C C const .

§3. TÍCH PHÂN MẶT LOẠI MỘT

I. Ký hiệu

( , , )S

f x y z d , với S là một mặt trong 3 ,

Chú ý: Không kín Kín Nếu S là mặt kín thì tích phân mặt còn được ký hiệu là

II. Cách tính tích phân mặt loại 1: tính vi phân mặt “d ”, đưa về tích phân bội hai.

Cách 1: S có dạng

( , )( , ) , ( , )( , )

x x s ty y s t s t Dz z s t

. Khi đó

2= EG Fd dsdt trong đó

s t s t s t

E x y z

G x y z

F x x y y z z

2( , , ) ( ( , ), ( , ), ( , ))S D

f x y z f x s t y s t z s t EG Fd dsdt .

Cách 2: S có dạng ( , ), vôùi( , ) xyz z x y x y D (hình chiếu của S xuống Oxy). Khi đó

= 1 x yz zd dxdy

( , , ) ( , , ( , )) 1xy

x yS D

f x y z f x y z x y z zd dxdy .

Cách 3: S có dạng ( , ), vôùi ( , ) xzy y x z x z D (hình chiếu của S xuống Oxz). Khi đó

= 1 x zy yd dxdz

( , , ) ( , ( , ), ) 1xz

x zS D

f x y z f x y x z z y yd dxdz .

Cách 4: S có dạng ( , ), vôùi ( , ) yzx x y z y z D (hình chiếu của S xuống Oyz). Khi đó

= 1 y zx xd dydz

( , , ) ( ( , ), , ) 1yz

y zS D

f x y z f x y z y z x xd dydz .

Chú ý:

d là diện tích của mặt S.

Ví dụ 1. Tính 2

z d với S là nửa mặt cầu nằm phía trên mặt phẳng Oxy, tâm O,

bán kính 2. Giải

Cách 1: tham số hóa

2sin cos: 2sin sin , 0 , 0 2

???2 2 2

4E x y z ,

???2 2 2 24sinG x y z ,

0F . 2 2= 16sin 4sind EG F d d d d d d

( , ) : 0 , 0 2

2 2 ???2

4cos .4sin

16 cos sin

3216 cos sin .3

z d d d

Cách 2:

2 2: 4S z x y

2 2 2 2,

4 4x y

x yz zx y x y

2 2 2 2 2 2

2= 14 4 4

x ydx y x y x y

dxdy dxdy

z d x y dxdy , với xyD là hình tròn tâm O, bán kính 2, nằm

trong mp Oxy. Vậy ???

Ví dụ 2. Tính S

yd với S là mặt 2z x y , 0 1x , 0 2y .

Nhận xét: phương trình của S đã có dạng ( , )z z x y , các điều kiện 0 1x , 0 2y cho biết hình chiếu

( , ) : 0 1,0 2xyD x y x y . Giải

SV tự giải. ĐS: 13 2 / 3 . Ví dụ 3. Tính

(6 4 3 )x y z d với S phần mặt phẳng 2 3 6x y z nằm trong

góc phần tám thứ nhất. Giải

Cách 1: : 6 2 3S x y z

Cách 2: 1: 6 32

S y x z

Cách 3: 1: 6 23

S z x y .

ĐS: 54 14 . Ví dụ 4. Tính

zd với S là biên của khối giới hạn bởi mặt trụ 2 2 1x y , mặt

phẳng 1z x và 0z . Nhận xét: ta phải vẽ hình trước khi giải, và nhận thấy mặt S bao gồm 3 mặt: 1S là mặt trụ 2 2 1x y , 2S là hình tròn 2 2 1x y nằm trong mp Oxy và có phương trình 0z , 3S là mặt phẳng có phương trình 1z x . Ta phải tính tích phân trên mỗi mặt. Chú ý rằng, 2S , 3S có phương trình dạng hiện, 1S có phương trình dạng ẩn, ta nên tham số hóa cho 1S .

Giải

cossin , 0 2 , 0 1 1 cos

xy z xz z

???2 2 2

1E x y z ,

???2 2 2

1z z zG x y z ,

0F . 2=d EG F dz dzd d

( , ) : 0 2 , 0 1 cosD z z

1 cos2 ???

zd dz zdzzd d

2 : 0S z 2 2S S

0 0zd d .

3 : 1S z x 3

Vậy,

1 2 3S S S S

zd zd zd zd .

BÀI TẬP Tính các tích phân mặt sau đây

yzd , S : 2x u , siny u v , cosz u v , 0 1u , 0

ĐS: 5 5 / 48 1/ 240 . 2) 2 2( )

x y d , S là mặt cầu đơn vị 2 2 2 9x y z . ĐS: 216 .

zd , S là phần mặt paraboloid 2 22 - -z x y trong miền 0z . ĐS: 37 / 10 .

4) 2 2 2

( 2)x y z d , S là mặt 2 2 2 4x y z , 1z . ĐS: 8 .

x yzd , S là phần mặt phẳng 1 2 3z x y nằm trên hình chữ nhật

[0,3] [0,2] . ĐS: 171 14 . 6)

xy d , S là hình tam giác với các đỉnh (1,0,0), (0,2,0), (0,0,2). ĐS: 1/ 6 .

7) 2 2

x z d , S là phần mặt nón 2 2 2z x y nằm giữa các mặt phẳng 1z và

3z . ĐS: 364 2 / 3 . 8)

zd , S là mặt 22x y z , 0 1y , 0 1z . ĐS: 13 2 / 12 .

12 2 1S

, S là phần mặt 2 0x y z , 0 1x , 0 2y .

5 1 3 2ln2 ln2 2 8

yd , S là phần mặt paraboloid 2 2y x z nằm bên trong mặt trụ

2 2 4x z . ĐS: (391 17 1) / 60 . 11) Cho S là phần mặt trụ 2 2 9x y , 0 2z . Tính các tích phân sau a)

d b) 2

ĐS: a) 12 ; b) 54 .

§4. TÍCH PHÂN MẶT LOẠI HAI

I. Ký hiệu

dxdz dxdydydzS

f g h ,

với S là một mặt trong 3 . Chú ý: Phía của mặt để xác định pháp tuyến

Không kín Kín

II. Định lý Divergence-Công thức Gauss Ostrogradski (đưa ra công thức liên hệ giữa tích phân mặt loại 2 trên mặt kín S và tích phân bội 3)

dydz dxdz dxdyS

f g hf g h dxdydzx y z

Nếu các điều kiện sau đều thỏa: S kín bao được khối , S là phía ngoài, , ,f g h và các đạo hàm riêng cấp 1 của chúng liên tục trên S . Định lý Divergence: mở rộng của Định lý Green GREEN DIVERGENCE

III. Phương pháp tính tích phân mặt loại 2 Dựa vào S kín hay không kín. 3.1. S không kín: Cách 1: Đưa về tích phân mặt loại 1. Cách 2 (hay dùng): Đưa về tp bội 2 trên hình chiếu của mặt. Một vài dạng thường gặp của S: Gọi

( , , )F f g h

S có dạng ( , )z z x y . Khi đó

dydz d dxdz d xdyxdyxy

Caùch Caùch

f g h FN Fnd , với

( , ,1)x yn z z

S có dạng ( , )y y x z . Khi đó

dydz d dxdz d xdzxdyxz

Caùch Caùch

( ,1, )x zn y y

S có dạng ( , )x x y z . Khi đó

dydz d dxdz d ydzxdyyz

Caùch Caùch

(1, , )y zn x x

Trong các dạng trên, chú ý

: pháp vectơ đơn vị.

sn : được lấy từ

n dựa vào phía của mặt.

3.2. S kín: Cách 1: Tách S thành các mặt không kín. Cách 2 (hay dùng): định lý Divergence.

Ví dụ 1. Tính 3

x dydz với S là phía trên của nửa trên của mặt ellipsoid

2 2 19zx y .

Nhận xét: S không kín. Giải

2 2: 3 1S z x y

2 2 2 2

3 3,1 1

x yz zx y x y

2 2 2 2

3 3, ,1 , ,11 1

x yn z zx y x y

S là phía trên

2 2 2 2

3 3, ,11 1

x y x y.

Ta có

3( ,0,0)F x .

xFnx y

x dydz Fn dxdy , với xyD là hình tròn tâm O, bán kính 1, nằm trong mp

Oxy. Vậy,

3 6 .51xyS D

xx dydz dxdyx y

Ví dụ 2. Tính

xdydz ydzdx zdxdy với S là phía trên của phần mặt phẳng

-1 0x z nằm giữa hai mặt 0y và 4y và thuộc góc phần tám thứ nhất. Nhận xét: S không kín.

Giải

: 1S z x

1, 0x yz z

, ,1 1,0,1x yn z z

S là phía trên

1,0,1sn .

Ta có

( , , )F x y z

1 1sFn x z x x .

xdydz ydzdx zdxdy Fn dxdy , với xyD là hình chữ nhật [0,1] [0,4] ,

nằm trong mp Oxy. Vậy,

1 4 4xy

xdydz ydzdx zdxdy dxdy S .

Ví dụ 3. Tính S

ydxdz với S là phía ngoài của mặt kín của tứ diện giới hạn bởi các

mặt phẳng 0, 0, 0x y z và 1x y z . Nhận xét: S kín.

Giải

Cách 1:

1 : 1S z x y 1

ydxdz . 2

: 0 0S x ydxdz .

: 0 0S y ydxdz . 4

: 0 0S z ydxdz .

1 2 3 4S S S S S

ydxdz ydxdz ydxdz ydxdz ydxdz .

Cách 2: S kín bao được khối , S là phía ngoài, ( , , ) 0, ( , , ) 0, ( , , ) 0f x y z g x y z h x y z , ,f g h và các đạo hàm riêng cấp 1 của chúng liên tục trên S . Áp dụng định lý Divergence, ta được

f g hydxdz dxdydzx y z

1 1 1 11 .3 3 2 6OABdzdydz V S OC .

Ví dụ 4. Tính 3 3 4

4 4 6x dydz y dxdz z dxdy với S là phía ngoài của mặt toàn

phần của hình trụ giới hạn bởi 2 2 4, 0, 3.x y z z Nhận xét: S kín.

Giải

Áp dụng định lý Divergence, với

3 3 4( , , ) 4 , ( , , ) 4 , ( , , ) 6 ,f x y z x g x y z y h x y z z ta được

4 4 6 1656x dydz y dxdz z dxdy .

IV. Tính tích phân đường loại 2 trong không gian bằng Định lý Stokes

dx dy + dzC

3: ñöôøng cong kín trong C . Nếu C khó tham số hóa thì ta dùng Định lý Stokes.

Định lý Stokes (đưa ra công thức liên hệ giữa tích phân đường loại 2 trong không gian với đường cong kín C và tích phân mặt loại 2)

dx dy + dz .C S

R Q P R Q Pdydz dxdz dxdyy z z x x y

Nếu các điều kiện sau đều thỏa: C kín bao được mặt S, Tích phân bên trái được lấy theo hướng dương phù hợp với mặt S, tức là từ điểm ngọn vectơ pháp tuyến của mặt S nhìn xuống thấy hướng dương của C. , ,P Q R và các đạo hàm riêng cấp 1 của chúng liên tục trên S C . Định lý Stokes: tổng quát của Định lý Green

ydx z dy x dz , với C là giao tuyến của mặt cầu 2 2 2 4x y z

với mặt phẳng 3z có hướng ngược với chiều quay của kim đồng hồ nếu nhìn từ điểm (0,0,2). Nhận xét: Đây là ví dụ ở phần tích phân đường mà ta đã giải bằng cách tham số hóa. Ta sẽ giải lại bằng cách dùng Định lý Stokes

Giải

Ta có

22 ,R Q z

22 ,P R xz x

Áp dụng Định lý Stokes, ta được

2 2 2 22 2C S

ydx z dy x dz z dydz x dxdz dxdy ???

Ví dụ 2. Tính ( ) ( ) ( )

y z dx z x dy x y dz , với C là giao tuyến của

2 2 4x y và + =12 3x z , có hướng ngược với chiều quay của kim đồng

hồ nếu ta nhìn từ hướng dương của trục Ox. Giải

Cách 1: tham số hóa. SV tự làm. Cách 2: dùng Định lý Stokes với

, ,P y z Q z x R x y ( ) ( ) ( ) 2 2 2

y z dx z x dy x y dz dydz dxdz dxdy .

Ta có

2 2, ,P y Q z R x

3: 3 1 , 02 2x y

xS z z z

3, ,1 ,0,12x yn z z

Theo đề bài

3 ,0,12

Ta có

( 2, 2, 2)F .

5sFn . Vậy

2 2 2 5 5xy

dydz dxdz dxdy dxdy S 25. .2 20

với xyD là hình tròn 2 2 4x y nằm trong mp Oxy.

BÀI TẬP Bài 1. Tính các tích phân sau 1) 2 24

x y dxdy , S là phía dưới của hình tròn 2 2 4x y . ĐS: 16 2 / 5 .

zdxdy , S là phía ngoài của mặt cầu 2 2 2 1x y z . ĐS: 4 / 3.

zdxdy , S là phía ngoài của mặt ellipsoid 2 2 2

19 4 4x y z . ĐS: 16 .

x dydz y dxdz zdxdy , S là phía trên của phần mặt phẳng 2 1 0x z ,

nằm giữa hai mặt phẳng 0y , 2y và thuộc góc phần tám thứ nhất. ĐS: . 5) 2 2 2

x dydz y dxdz z dxdy , S là 6 mặt phía ngoài của hình hộp chữ nhật

[0,1] [0,2] [0,3]. ĐS: 36. 6) 2( ) cos( )xz

xy dydz y e dzdx xy dxdy , S là phía ngoài của mặt toàn phần của

miền giới hạn bởi mặt trụ 21z x và các mặt phẳng 0z , 0y , 2y z . ĐS: 184 / 35 .

7) 2 2 3S

x dydz xy dzdx xzdxdy , S là phía ngoài của phần mặt cầu

2 2 2 4x y z , nằm trong góc phần tám thứ nhất (không kể các hình rẻ quạt nằm trên các mặt phẳng tọa độ). ĐS: 3 . 8) 2

x dydz y dzdx z dxdy , S là phía ngoài của phần mặt cầu

2 2 2 2 , 0x y z x z (không kể phần hình tròn trong mp Oxy). ĐS: 11 / 6 . 9) 2

x dydz y dzdx dxdy , S là phía ngoài mặt xung quanh của khối trụ

2 2 2 , ( 0), 0x y ax a z a (không kể hai đáy) ĐS: 3a . Bài 2. Tính các tích phân sau 1) ( ) ( ) ( )

y z dx z x dy x y dz , trong đó C là ellipse 2 2 1x y , 1x z có

hướng ngược với chiều quay của kim đồng hồ nếu ta nhìn từ hướng dương của trục Oz. ĐS: 4 . 2)

ydx zdy xdz , với C là đường tròn giao của mặt cầu tâm O, bán kính R và

mặt phẳng 0x y z có hướng ngược với chiều quay của kim đồng hồ nếu ta

nhìn từ hướng dương của trục Oz. ĐS: 23 .R

GIẢI TÍCH HÀM NHIỀU BIẾN - | Blog toán · Cách 3: Miền cần tính tích phân là...

Documents

Transcript of GIẢI TÍCH HÀM NHIỀU BIẾN - | Blog toán · Cách 3: Miền cần tính tích phân là...

Tên miền tiếng Việt

Phân Tích Và Dự Đoán Xổ Số Miền Bắc Ngày 22-3

Phân Tích Và Dự Đoán Xổ Số Miền Bắc Ngày 17-2

VĂN HỌC MIỀN NAM

Phân Tích Và Thiết Kế Hệ Thống Quản Lý Bến Xe Miền Tây · Phân Tích Và Thiết Kế Hệ Thống Quản Lý Cửa Hàng Bán Xe A 1) Kế hoạch phỏng vấn

Khu Đô Thị Suối Son - Khi Dáng Rồng bay từ miền cổ tích - Call 0938 84 3738

GIẢI TÍCH 2 - tinhgiac.com · phải hiểu rằng miền xác định D của hàm số là tập hợp các điểm M sao cho biểu thức f(M) có nghĩa. Miền xác định

Trung tâm Internet Việt Nam (VNNIC) · Cấu trúc của tên miền “.vn”, những lợi thế của việc sử dụng tên miền “.vn”, vòng đời của tên miền

Phân Tích Và Dự Đoán Xổ Số Miền Bắc Ngày 2-2

Ca dao miền nam

Chúng Tôi Vua Miền Đông

CÁC MIỆT TẠI MIỀN NAM - vietnamvanhien.orgvietnamvanhien.org/CacMietTaiVietNam.pdf · CÁC "MIỆT" TẠI MIỀN NAM Miền Nam là phần lảnh thổ sau cùng và tận

Ss Ca Dao MiềN Nam

CẨM NANG NGÀNH LÂM NGHIỆP · Web viewViệt Nam với đặc điểm diện tích đất đai miền đồi núi, có độ cao trên mặt biển từ 100 – 3.142 m, chiếm

SAIGON ẨM THỰC LANG THANG KÝ · BÁNH XÈO Món này thì không biết gốc tích xuất phát từ đâu ...Nhưng thấy ở miền Tây người ta hay làm món này .

Khu vực miền Nam

PHƯƠNG PHÁP KHÔNG LƯỚI RBIEM VỚI MIỀN ĐỊA PHƯƠNG … · bài toán được các nhà khoa học quan tâm. Khi dùng phương trình tích phân biên, số hạng

3 PHÂN TÍCH TÌNH HÌNH KHU VỰC NGHIÊN CỨUopen_jicareport.jica.go.jp/pdf/12015004_02.pdf · văn hóa, miền Trung còn có nhiều nét đặc trưng về địa lý và

CHƯƠNG XI Tuất Q - bookserver.vuilen.combookserver.vuilen.com/book/miencotichhoanghu/miencotichhoanghu11.pdfTác Giả: Trương Thái Du MIỀN CỔ TÍCH HOANG HƯ 197 CHƯƠNG

BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH 4 - tinhgiac.com · 3 Đối với miền phẳng D ta có các kết quả sau: D đo được ⇔biên ∂Dcủa nó có diện tích – không. Định