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Entwicklung von SimulationsmodellenWS 2007/08
Dr. Falk-Juri Knauft
Mittwoch 9.15 Uhr – 10.00 Uhr S25
Praktikum zur Entwicklung von Simulationsmodellen:Mittwoch 14.00 Uhr – 17.00 Uhr GEO CIP-Pool
Modul: 22ahttp://www.bayceer.uni-bayreuth.de/mod/html/ws0708/geooekologie/simulationsmodelle
Entwicklung von Simulationsmodellen WS 2007/2008 – Überblick I
17.10.2007
Einführung, Ziele, Definition System, Model
24.10.2007
Systemanalyse vs. –simulation, Zustandsbeschreibung
31.10.2007
Diskretisierung, Auswertung der Excel-Simulation
07.11.2007
Programmierparadigmen
14.11.2007
Klassische Wachstumsmodelle und Stabilität
21.11.2007
28.11.2007
05.12.2007
12.12.2007
19.12.2007
http://www.bitoek.uni-bayreuth.de/mod/html/ws0708/geooekologie/simulationsmodellehttp://www.bayceer.uni-bayreuth.de/mod/html/ws0708/geooekologie/simulationsmodelle
Modellierung von Wachstum
• Diskretisierung von Wachstumsprozessen
• Lineares Wachstum• Exponentielles Wachstum• Logistisches Wachstum• Kopplung von Wachstumsmodellen
Modellierung von Wachstum
- y = f(x)
0
20
40
60
80
100
0 1 2 3 4 5
0
20
40
60
80
100
0 1 2 3 4 5
- yt+1 = yt + f(xt+1 )
Zuwachsrate!
• Diskretisierung von Wachstumsprozessen:
Modellierung von Wachstum
• Diskretisierung von Wachstumsprozessen• Lineares Wachstum
Beispiele: - Sparstrumpf (ohne Verzinsung und Inflation)- in der Biologie???
N(t) = N0+bt N0,b=const.
Nt+1 = Nt + b
Modellierung von Wachstum
• Diskretisierung von Wachstumsprozessen• Lineares Wachstum• Exponentielles Wachstum
ttt rNNN 1
.,)( 00 constrNrteNtN
Beispiele: - Bakterienwachstum- Sparplan (?)- Wirtschaftswachstum (?)
)()(
trNdt
tdN Malthus-Funktion (1798)
Modellierung von Wachstum
• Diskretisierung von Wachstumsprozessen• Lineares Wachstum• Exponentielles Wachstum
Kaninchenpopulation
Zuwachs
Zuwachsrate
Modellierung von Wachstum
• Diskretisierung von Wachstumsprozessen• Lineares Wachstum• Exponentielles Wachstum
Problem: ist unrealistisch, da Ressourcen immer begrenzt sind.
Lösung: Annäherung an Ressourcengrenze wirkt sich zunehmend hemmend auf Wachstum aus:
Zuwachsrate_log := r Nt K
Zuwachsrate_exp := r Nt
Kapazität
NK t1
Modellierung von Wachstum
• Diskretisierung von Wachstumsprozessen• Lineares Wachstum• Exponentielles Wachstum• Logistisches Wachstum
K
NrNNN t
ttt 11 (Verhulst 1845)
- berücksichtigt endliche Kapazität- Wachstumsfunktion hat Maximum:
2
KNc • Bedingungen:
0
,0,0
dNKN
KNKr
t
t
- sehr reichhaltige Dynamik
Kaninchenpopulation
Zuwachs
Zuwachsrate
Logistisches Wachstum
Kaninchenpopulation
Zuwachs
Zuwachsrate
Kapazität
Kaninchenpopulation
Zuwachs
Zuwachsrate
Kapazität
Zuwachs =Zuwachsrate*Kaninchenpopulation*(1-Kaninchenpopulation/Kapazität)
Zuwachs_log := r * N * K
Logistisches Wachstum
Modellierung von Wachstum
• Diskretisierung von Wachstumsprozessen
• Lineares Wachstum• Exponentielles Wachstum• Logistisches Wachstum• Kopplung von Wachstumsmodellen:
- Lottka-Volterra
Modellierung von Wachstum
Lotka-Volterra-Modell (1925/26)
• beschreibt die Interaktion zwischen zwei Arten eines Ökosystems, einer Räuber- und einer Beute-Art
• zwei Funktionen: Veränderung der Räuber- und der Beute-Population:
dB/dt = a B – b B R
dR/dt = e b B R- c R
• a ist die natürliche Wachstumsrate der Beute-Population ohne den Einfluss von Räubern,
• b ist die Todesrate der Beute verursacht durch den Räuber,
• c ist die natürliche Todesrate der Räuber bei Fehlen von Beute,
• e ist die Effizienz, Beute in Räuber umzuwandeln.
Modellierung von Wachstum
B
Zuwachs B Mortalität B
const a
const b
R
Mortalität RZuwachs R
const cconst e
T = 5000
a = 0.05
b = 0.0005
c = 0.01
e = 0.1
B
Zuwachs B Mortalität B
const a
const b
R
Mortalität RZuwachs R
const cconst e
Lotka-Volterra-Modell
Modellierung von Wachstum
Lotka-Volterra-Modell
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
1
251
501
751
1001
1251
1501
1751
2001
2251
2501
2751
3001
3251
3501
3751
4001
4251
4501
4751
5001
B
R
R
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
0 500 1000 1500 2000 2500 3000
Modellierung von Wachstum
Logistisches Lotka-Volterra-Modell
T = 5000
a = 0.05
b = 0.0005
c = 0.01
e = 0.1
K = 5000
B
Zuwachs B Mortalität B
const a
const b
R
Mortalität RZuwachs R
const cconst e
K
Verbessertes logistisches Wachstum
• Positivität eingebaut• Starke Mortalitätsfunktion • dieselbe qualitative Dynamik• klassische Kategorienbildung:
„r-Strategen“, „K-Strategen“
K
N1rexpNN t
t1t
Systemeigenschaften oder Umweltbedingungen?
Am Beispiel logistisches Wachstum• Parameter r und K: Umwelt- oder
Systemeigenschaften?- Wandel der Interpretationen- als Systemeigenschaft experimentell
widerlegt- als Umwelteigenschaft unbeobachtbar