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A.2 RICHIAMI DI DINAMICA ALEATORIA

Giuliano AUGUSTI e Marcello CIAMPOLI

Universit di Roma "La Sapienza"Dipartimento di Ingegneria Strutturale e Geotecnica

Via Eudossiana 18 - 00184 Roma

A.2.1 AZIONI DINAMICHE

Le azioni dinamiche sulle costruzioni sono caratterizzate da intensit, distribuzione spa-ziale e variazione nel tempo. Con riferimento a questo parametro, possono essere distintein due categorie:- azioni impulsive(urti, esplosioni, ecc.);- azioni prolungate (sismi, vento, ecc.)

Il primo caso si verifica se la durata t0dellazione (molto) breve rispetto al periodoproprio T della struttura:

Tt 0 (A.2.1)Leffetto dinamico dipende allora essenzialmente dallimpulso W, che determina una

variazione della quantit di motodella struttura. Analogamente, leffetto dinamico di unaforza applicata rapidamente e poi mantenuta costante, equivale a quello di unazione im-

pulsiva.Nel secondo caso la struttura subisce delle oscillazioni forzate.Le azioni dinamiche possono essere rappresentate mediante funzioni deterministiche o

modelli stocastici. Nel Par. A.2.3 sono riportate alcune informazioni sui processi stocasticiusualmente adottati per modellare le azioni.

A.2.1.1. Decomposizione dellazione in somma di impulsiUnazione prolungata F(t), come qualsiasi funzione del tempo, pu essere rappresentata

come il susseguirsi di impulsi elementaridW di durata infinitesima dt (Fig. A.2.1):

dWdttF (A.2.2)

La corrispondente azione impulsiva G(t), applicata allistante t = , si pu descrivere come:

ttFtG (A.2.3)

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2

dove (t - ) la funzione impulsiva(detta delta di Dirac), definita da:

tper0t (A.2.4a)

01dtt

(A.2.4b)

Questa decomposizione particolarmente utile per i sistemi lineari, in cui gli effetti di suc-cessivi impulsi si possono sommare.

Fig. A.2.1. - Identificazione dellimpulso elementare come componente di una funzioneF(t).

A.2.1.2. Analisi spettrale

Unazione le cui caratteristiche fondamentali sono costanti nel tempo dettastazionariae pu essere rappresentata come sovrapposizione di azioni armoniche (analisi spettrale).

A.2.1.2.1.Sviluppo in serie reale o complessa di Fourier

Una funzione F(t) periodica di periodo TF pu essere rappresentata attraverso le suecomponenti armoniche (Fig. A.2.2a), mediante uno sviluppo in serie reale o complessa diFourier.

Lo sviluppo in serie reale di Fourier ha l'espressione:

1n1n1

1nn0 tncosbtnsenaatF (A.2.5)

dove:

dt

F(t)

t

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3

(a)

(b)

Fig. A.2.2. - Esempio di funzione periodica discontinua F(t): (a) sua approssimazione F32(t)mediante la somma di 32 componenti armoniche; (b) spettro della funzione F32(t) F(t).

F1

T

2 (A.2.6a)

e la pulsazione delln-ma armonica

1n n (A.2.6b)

a0 il valore medio della funzione:

dttFT

1a F

T0

F0 (A.2.7)

ed i coefficienti an, bnsono forniti dalle relazioni:

F(t)

TF

F32(t)

F(t)

t

1

nn

Cn

8 16 24 32

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4

dttnsentFT

2a 1

T0

Fn

F (A.2.8a)

dtncostFT

2b 1

T0

Fn

F (A.2.8b)

L'utilit di questa rappresentazione risiede nel fatto che, in virt della assoluta ed uni-forme convergenza dello sviluppo in serie (A.2.5), qualsiasi funzione periodica F(t) puessere espressa con sufficiente accuratezza considerando solo un numero ridotto di terminidello sviluppo in serie, ovvero mediante un numero ridotto di componenti armoniche.

In maniera del tutto equivalente, lo sviluppo in serie pu essere espresso nella forma:

n11n

n0 tnsenCatF

(A.2.9)

dove 2n2nn baC e n sono rispettivamente lampiezza e langolo di fase della n-

esima armonica.Si definiscespettrodella funzione F(t) il diagramma delle ampiezze Cnin funzione del-

le corrispondenti pulsazioni n= n1(Fig. A.2.2b).Una rappresentazione equivalente alle (A.2.5) e (A.2.9) fornita dallo sviluppo in serie

complessa di Fourier:

tnexpctF 1n

n

i (A.2.10)

dove 1i lunit immaginaria e

...,1,0n,dttnexp)t(FT

1c 1

2

T

2

TF

n

F

F

F

i (A.2.11a)

una costante complessa. Usando il simbolo *per rappresentare il complesso coniugato, siha:

c cn n *

(A.2.11b)

mentre:

00 ac (A.2.11c)

il valore medio di F(t), e

n

_

n cR2a (A.2.11d)

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5

n

_

n cI2b (A.2.11e)

avendo indicato rispettivamente con R() ed I() la parte reale e la parte immaginaria di unnumero complesso.

A.2.1.2.2.Trasformata di Fourier

La decomposizione in serie di Fourier pu essere generalizzata al caso di funzioni F(t)non periodiche mediante la trasformata di Fourier, che si ottiene dallo sviluppo in serie diFourier per TF.

(a)

(b)

Fig. A.2.3. - Esempio di (a) funzione non periodica e (b) suo spettro di frequenza.

Con le notazioni:

1 (A.2.12a)

n1 nn (A.2.12b)

1

0- a a

F(t)

t

c

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6

nnnFn c2

cTc

(A.2.12c)

le (A.2.10) e (A.2.11a) diventano

texpc

2

1tF n

nn i (A.2.13)

dttexptFc n2

T

2

Tn

F

F

i (A.2.14)

Al limite, se il periodo TF tende ad infinito, 1= diventa la quantit infinitesimade nuna quantit continua, il cui differenziale appunto d. Pertanto, l'espressionedello sviluppo in serie si trasforma in un integrale:

dtexpc

2

1tF i (A.2.15)

essendo l'ampiezza della generica armonica di pulsazione espressa da:

dttexp)t(Fc

i (A.2.16)

Le (A.2.15) e (A.2.16) costituiscono una coppia di trasformate di Fourier._c () detta

trasformata di Fourier della F(t) e ne esprime le componenti in frequenza: il diagrammacorrispondente detto spettro di frequenza (Fig. A.2.3b), ed una funzione continua, adifferenza dellanalogo spettro di una funzione periodica, che si presenta come un isto-gramma (Fig. A.2.2b).

F(t) detta trasformata inversa di Fourierdella_

c ().

A.2.2.ALCUNEPROPRIET DELLA TRASFORMATA DI FOURIER

La trasformata di Fourierdi una funzione h(t) definita dalla relazione [cfr. (A.2.16)]:

H

h t e dti t (A.2.17)

se questo integrale esiste per ogni reale. H() una funzione complessa del parametroreale .

Una condizione sufficiente per l'esistenza della funzione H() che h(t) sia assoluta-mente integrabile, ovvero che sia:

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7

h t dt

(A.2.18)

La trasformata inversa fornita dalla relazione [cfr. (A.2.15)]:

deH

2

1)t(h ti (A.2.19)

dove h(t) una funzione continua.Le due funzioni h(t) ed H() costituiscono una coppia di trasformate di Fourier.In corrispondenza di un punto di discontinuit, l'integrale (A.2.17) tende al valore:

h t h t

2

(A.2.20)

Per definire la trasformata di Fourier di funzioni periodiche, costanti o impulsive, possibile introdurre condizioni meno restrittive.

Nell'applicazione della teoria delle trasformate di Fourier, sono utili i seguenti teoremi erisultati.

a) teorema di derivazione

Se le funzioni h(t) e H() sono una coppia di trasformate di Fourier, anche le funzioni:

d h t

dti H

n

n

n (A.2.21)

costituiscono una coppia di trasformate di Fourier.

b) teorema di traslazione

Se le funzioni h(t) e H() sono una coppia di trasformate di Fourier, anche le funzioni:

h t t H e i t 0 0 (A.2.22)

h t e Hi t 0 0 (A.2.23)

costituiscono una coppia di trasformate di Fourier.

c) teorema di Parseval

Questo teorema stabilisce l'identit tra le distribuzioni dell'energia nei domini del tempoe delle frequenze attraverso la relazione seguente:

E h t dt H d

2 21

2 (A.2.24)

Di conseguenza possibile stabilire una dualit tra il dominio del tempo ed il dominio del-

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le frequenze, nel senso che quanto pi un segnale corto in un dominio, tanto pi lungonel dominio duale.

d)simmetria, variazione di scala, dualit

Se le funzioni h(t) e H() sono una coppia di trasformate di Fourier, anche le funzioni:

H t h 2 (A.2.25)

h ata

Ha

1 (A.2.26)

costituiscono una coppia di trasformate di Fourier (essendo a una costante reale).

e)funzioni armonicheE' possibile stabilire le seguenti coppie di trasformate di Fourier:

e i t 0 2 0 (A.2.27)

cos 0 0 0t (A.2.28)

sin t i 0 0 0 (A.2.29)

f) integrale di convoluzione

Se la risposta v(t) di un sistema all'eccitazione P(t) ottenuta attraverso l'integrale diconvoluzione:

dtPhdthPtv (A.2.30)

possibile ricavare la relazione seguente:

V P H (A.2.31)

essendo V(), P() e H() le trasformate di Fourier di v(t), P(t) ed h(t).Pertanto una convoluzione nel dominio del tempo corrisponde ad un prodotto nel do-

minio delle frequenze. Al contrario, un prodotto nel dominio del tempo corrisponde ad unaconvoluzione nel dominio delle frequenze:

g) integrale di correlazione

L'integrale di correlazione definito dalla relazione

z t x h t d (A.2.32)

La sua trasformata di Fourier espressa dalla relazione

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9

Z X H * (A.2.33)

dove * indica il complesso coniugato di X().

A.2.3. PROCESSI STOCASTICI

A.2.3.1. Definizioni e descrizione di un processo stocastico

Unprocesso stocasticoX(t) pu essere definito come una famiglia di funzioni x r(t) diun parametro t (nei casi di interesse per la dinamica strutturale, il tempo) che rappresenta-no possibili realizzazioni di uno stesso fenomeno fisico e sono quindi correlabili in senso

probabilistico, ovvero descrivono la variazione rispetto al parametro di una grandezza ale-

atoria. Alternativamente, per ogni valore del parametro, il processo stocastico corrispondead una distribuzione di una variabile aleatoria.Come per le variabili aleatorie, il modo pi naturale per caratterizzare e descrivere un

processo stocastico consiste nellassegnare le funzioni di distribuzione congiunta di ordine

crescente o le corrispondenti funzioni di densit di probabilit congiunta.La densit di probabilitdel primo ordine

dxx)t(XxobPrt,xfX (A.2.34)

misura la probabilit che il valore di X(t) allistante t sia compreso tra x ed x + dx, e quindi

definisce la struttura probabilistica della variabile aleatoria X per ogni fissato valore delparametro t.

Le densit di probabilit di ordine superiore 2211 t,x;t,xfX

.. (A.2.35)

nn11 t,x;.....;t,xfX

sono le densit di probabilit congiunte dei valori di X(t) in n (= 2, 3, ) istanti e descri-vono la correlazione tra i valori del processo nei valori fissati del parametro.

Per caratterizzare un processo stocastico quindi necessario definire una serie di fun-zioni del tipo (A.2.34) e (A.2.35) che rappresentano le densit di probabilit congiunta diogni ordine. Tali funzioni devono essere: non negative; invarianti per una qualsiasi permu-

tazione degli argomenti; tali che sia possibile derivare le densit di ordine inferiore daquelle di ordine superiore attraverso operazioni di convoluzione. Devono inoltre soddisfa-re la condizione di normalizzazione

1dx...dxt,x;.....;t,xf... n1nn11

X

(A.2.36)

Una descrizione pi semplice, anche se meno completa, di un processo stocastico for-nita dalla successione dei momenti delle densit di probabilit dei diversi ordini.

Si definiscono momenti di ordine nle entit:

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10

dxt,xfxt Xnn

X (A.2.37)

essendo lintegrale esteso al dominio di definizione di X(t).

Di particolare interesse (anche perch sono in genere le uniche grandezze determinabilistatisticamente) sono i momenti del primo e del secondo ordine, detti rispettivamente valo-re medioe valore quadratico medio, definiti dalle relazioni:

dxt,xfxtXEt XX (A.2.38)

dxt,xfx)t(XEt X222

X (A.2.39)

Si definiscono momenti centrali di ordine nle entit:

dxt,xftXExtm Xnn

X (A.2.40)

che rappresentano i momenti di ordine n degli scarti rispetto al valore medio.Di particolare interesse il momento centrale di ordine 2o varianza:

dxt,xftXExt X22

X (A.2.41)

la cui radice quadrata fornisce loscarto quadratico medioo deviazione standard.Si definiscefunzione di auto-correlazione del processo il momento congiunto:

212211X212121xx dxdxt,x;t,xfxxtXtXEt,t (A.2.42)Tale funzione soddisfa alle seguenti propriet:

- simmetrica;- semidefinita positiva;- soddisfa alla diseguaglianza:

22xx11xx2

21xx t,tt,tt,t

Se t1 = t2, la (A.2.42) fornisce il valore quadratico medio(A.2.39) del processo al tem-po t.

In generale, per caratterizzare un processo stocastico sono necessari i momenti di ogni

ordine: solo in alcuni casi (il pi significativo quello dei processi gaussiani; cfr. Par.A.2.3.7.5) sono sufficienti solo i momenti del primo e del secondo ordine (e quindi le cor-rispondenti densit di probabilit).

Assegnati due processi stocastici distinti X(t) ed Y(t) (ad esempio, le velocit del ventoin due punti di una struttura), possibile esprimere, attraverso le funzioni di densit di

probabilit congiunta, la correlazione tra i valori assunti dai processi in valori assegnati delparametro.

Ci richiede la definizione delle funzioni di densit di probabilit congiunta, che alprimo ordine sono del tipo:

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dxdss,y;t,xfXY (A.2.43)

e rappresentano la probabilit che X(t) assuma valori nellintervallo (x, x + dx] al tempo te contemporaneamente Y(t) assuma valori nellintervallo (y, y + dy] al tempo s.Per due processi stocastici X(t) ed Y(t) distinti, si definisce funzione di cross-

correlazione(o correlazione incrociata) lespressione:

2121xy tYtXEt,t (A.2.44)

Analogamente alle funzioni di auto- e cross-correlazione, possibile definire lefunzio-ni di auto- e cross-covarianza, che sono date dalle relazioni:

2x1x21xx2x21x1

21221xx

ttt,t

ttXttXE

tX,tXmt,tk

(A.2.45)

2y1x21xy

2y21x1

21221xy

ttt,t

ttYttXE

tY,tXmt,tk

(A.2.46)

In generale i processi stocastici possono essere suddivisi in due classi: stazionaried e-volutivi. Un processo stazionario se le sue propriet rimangono le stesse al variare del pa-rametro, evolutivo in caso contrario.

A.2.3.2. Stazionariet

Un processo stocastico dettostazionario (in senso stretto) se la sua struttura probabili-stica indipendente da una traslazione del parametro (in dinamica, dellorigine dei tempi),

ovvero se:

t,xft,xf XX

. (A.2.47)

nn11Xnn11X t,x;....;t,xft,x;....;t,xf Come si pu notare dalle (A.2.47), la densit di probabilit del primo ordine indipen-

dente dal tempo, e quelle degli ordini successivi dipendono soltanto dalle differenze tra gliargomenti ti.

Di conseguenza un processo stocastico stazionario ha valore medio costante:

Costantedxt,xfx Xx (A.2.48)

mentre le funzioni di auto-correlazione ed auto-covarianza, denotate in tal caso con i sim-

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12

boli R() e (), dipendono solo dallintervallo di tempo tra gli istanti considerati:

xx21xx

211221X2121xx

RttR

dxdx)tt,x;x(fxxt,t (A.2.49)

21xx2

xxx

2x1x21xx21xx

ttR

ttt,tt,tk (A.2.50)

Nel caso dei processi stazionari la funzione di auto-correlazione soddisfa le seguenticondizioni:

2

xx 0R (A.2.51a)

xx RR (A.2.51b)

0RR xx (A.2.51c)

ovvero massima per t = 0 ed una funzione pari.Il processo detto stazionario in senso debolese la condizione di invarianza riguarda

solo le densit di probabilit del primo e del secondo ordine.

A.2.3.3.Ergodicit (in media ed in autocorrelazione)La forma pi generale di ergodicit riguarda tutte le statistiche del processo. Nel segui-

to si considerano solo lergodicit in media ed in auto-correlazione.Un processo stazionario si dice ergodico in mediase la sua media temporale coincide

con quella dinsieme; quindi possibile scambiare le medie sullinsieme con le medie

temporali di una singola realizzazione del processo. Sia quindi xr(t) una qualunque realiz-zazione del processo X(t). La propriet di ergodicit in media implica che:

tXEdttxT2

1lim X

T

Tr

T

(A.2.52)

Un processo si dice ergodico in auto-correlazionese verificata la relazione:

tXtXERdttxtxT2

1limR xx

T

Trr

T

(A.2.53)

A.2.3.4.Densit di potenza spettrale (o densit spettrale) di processi stazionari

Una qualsiasi realizzazione xr(t) di un processo stocastico stazionario pu essere e-spressa nel dominio delle frequenze attraverso la sua trasformata di Fourier X r() (Parr.

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A.2.1.2.2 e A.2.2). Le due funzioni sono legate dalle relazioni:

dtetxXdeX

21tx tirrtirr (A.2.54)

Il valore quadratico medio della xr(t) espresso dalla:

2

T

2

T

2r

T

2r dttx

T

1limtxE (A.2.55)

Applicando il teorema di Parsevalsi ottiene che:

dXT

1

2

1limdXX

T

1

2

1lim

dttxT

1limtxE

2r

Trr

T

2

T

2

T

2r

T

2r

(A.2.56)

Si definisce densit di potenza spettraleo densit spettrale della xr(t) la funzione:

T

X

2

1limS

2r

T

x r

(A.2.57)

Dalla (A.2.56), invertendo gli operatori di limite ed integrale, si ottiene:

dStxE

rx2

r (A.2.58)

La densit di potenza spettrale di un processo stazionario si ottiene mediandosullinsieme le densit di potenza spettrale di tutte lerealizzazioni.

n

1rxnx rSn

1

limS (A.2.59)

Se il processo anche ergodico, ogni realizzazione del processo ha la stessa densit di po-tenza spettrale, che quindi anche la densit di potenza spettrale del processo.

A.2.3.5.Relazione tra densit di potenza spettrale e funzione di auto-correlazione

Sia:

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2

T

2

T rrTxx dttxtxT

1

limR (A.2.60)

la media nel tempo del prodotto [xr(t) xr(t+)] e rrxx

F la sua trasformata di Fourier:

deRF i

xxxx rr (A.2.61)

La (A.2.61) pu esprimersi nella forma equivalente

2

T

2

T

i

rrTxx dtdetxtxT2

1

limF2

1

rr (A.2.62)

e, con il cambiamento di variabile

t (A.2.63)

tale che:

titii eee (A.2.64)

nella forma:

2Tt

2

Tt

ir

2T

2

T

tir

Txx dexdtetx

T2

1limF

2

1rr

(A.2.65)

Poich ammesso cambiare i limiti del secondo integrale e porre:

2

T

2

T

ir

2

T

2

T

tir

Txx dexdtetx

T2

1limF

2

1rr

(A.2.66)

si ottiene

T2

Xlim

T2

dtetx

limF2

1 2

r

T

2

2

T

2

T

tir

Txx rr

(A.2.67)

dalla quale risulta che

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15

rrr xxx

SF2

1 (A.2.68)

Se il processo, oltre ad essere stazionario, anche ergodico, la funzione Fxrxr() la

trasformata di Fourier della funzione di auto-correlazione Rxx(t), e la densit di potenzaspettrale Sxr() uguale alla densit di potenza spettrale del processo. Di conseguenza, la

funzione di auto-correlazione e la densit di potenza spettrale sono una coppia di trasfor-mate di Fourier:

deR2

1S ixxx (A.2.69)

deSR ixxx (A.2.70)

Le principali caratteristiche e propriet delle funzioni di auto-correlazione e densit dipotenza spettrale, con riferimento a due processi stocastici X(t) ed Y(t) stazionari ed a me-dia nulla sono riportate nella Tabella A.2.1.

Tabella A.2.1. - Propriet delle principali funzioni relative a due processi stocastici X(t) edY(t) a media nulla (E[X(t)] = E[Y(t)] = 0).

Funzione di auto-correlazione

Rxx() = E[x(t) x(t+)]

- funzione reale definita su tutto lasse rea-le

- Rxx() = Rxx(-)- Rxx(0) = X2- -X2Rxx() +X2- Rxx() Rxx(0)- 0Rlim xx

Funzione di auto-correlazione normalizzata

2X

xx

XX

XX

RtxtxE

- funzione reale definita su tutto lasse rea-le

- XX() = XX(-)-

XX(0) = 1

- - 1 XX() + 1- XX() XX(0)- 0lim XX

Funzione di cross-correlazione

Rxy() = E[x(t) y(t+)]

- funzione reale definita su tutto lasse rea-le

- Rxy() = Ryx(-)- - XYRxy() + XY- 0Rlim xy

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16

Funzione di cross-correlazione normalizzata

YX

xy

YXXY

RtytxE

- funzione reale definita su tutto lasse rea-le

- XY() = YX(-)- 1 XY() + 1- 0lim XY

Funzione di (auto) densit di potenza spettrale(o spettro di potenza)

Sx() = F[Rxx()]1

- funzione reale definita su tutto lasse rea-le

- Sx() = Sx(-)- Sx() 0-

0RdS xxx

Funzione di densit di potenza spettrale incrociata

(o spettro incrociato di potenza)

Sxy() = F[Rxy()]1

- funzione complessa definita su tuttolasse reale- Sxy() = SxyC() + i SxyQ(); essendoSxy

C() il co-spettro, ed SxyQ() lo spet-

tro in quadratura

-

0RdS xyxy

Funzione di coerenza

yx

2

xy2XY

SS

SCoh

- funzione reale definita su tutto lasse rea-le

-

yx

2Qxy

2Cxy2

XYSS

SSCoh

A.2.3.6. Fattore di picco

E possibile stimare in modo approssimato il valore massimo atteso di un processo sto-castico stazionario, a partire dalle caratteristiche spettrali del processo stesso. (Tale deter-minazione particolarmente significativa per lazione eolica, oltre che per la risposta di un

sistema strutturale.)Sia X(t) un processo stocastico stazionario a valore medio nullo. Si definisce fattore di

piccoil rapporto tra il valore massimo (assoluto) del processo in un intervallo T e la devia-zione standard:

X

T,0in)t(Xmax

(A.2.71)

Si dimostra che la distribuzione di probabilit del valore massimo (assoluto) normaliz-zato (A.2.71) in un intervallo di tempo [0, T] la seguente:

1F denotaloperatore trasformata di Fourier.

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17

20

20

2

1expTexp

2

1expTf (A.2.72)

dove 0 la frequenza attesa del processo, definita dalla:

2X

0x

2

0

dffSf

(A.2.73)

La distribuzione (A.2.72) ha come media e deviazione standard i valori:

Tln2

Tln2

0

0

(A.2.74)

Tln2

1

6 0M

(A.2.75)

dove = 0.5772 detta costante di Eulero-Mascheroni.

A.2.3.7.Esempi di processi stocastici

A.2.3.7.1.Processo costante nel tempo (variabile aleatoria)

Se ogni realizzazione di X(t) identicamente uguale ad un parametro aleatorio X co-stante nel tempo, la densit di probabilit di X determina in modo univoco il processo sto-castico stazionario (ma non ergodico) X(t). Se E[X2] esiste ed limitato, si ha:

XtX (A.2.76)

2X2

xx XEtR (A.2.77)

A.2.3.7.2.Processo periodico

Un processo periodico un processo stocastico definito dalla serie di Fourier

1k0k20k10 tksinctkcoscctX (A.2.78)

con coefficienti c0, c1k, c2kreali ed aleatori, a condizione che la serie converga in valorequadratico medio ad un valore finito, ovvero che:

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18/29

18

0x)t(XElim

2_

k

(A.2.79)

La (A.2.78) definisce un processo stazionario in senso debole se e solo se:

0cEcE k2k1 (A.2.80a)

2k2

2k1

cEcE (A.2.80b)

0ccEccEccE k2k1k20k10 (A.2.80c)

kiccEccE k2i2k1i1 (A.2.80d)

Le (A.2.80) implicano che:

0cE)t(XE (A.2.81)

0

1k

2k2

2k1

20XX

kcosccE2

1cER (A.2.82)

Una espressione particolare della (A.2.78) rappresentata dal processo periodico confase aleatoria, definito dalla

1k0k20k10 tksinctkcoscctX (A.2.83)

dove una variabile aleatoria con distribuzione uniforme tra 0 e 2. Il processo stazio-nario ed ergodico con

0cE)t(XE (A.2.84)

0

1k

2k2

2k1xx

kcoscc2

1R (A.2.85)

A.2.3.7.3.Rumore bianco

Il rumore bianco un processo stocastico stazionario con densit di potenza spettraleuniforme su tutto lasse reale:

,SS 0x (A.2.86)

e funzione di auto-correlazione

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19

0xx S2R (A.2.87)

dove () la funzione di Dirac. Pertanto, in un rumore bianco la correlazione tra due i-stanti diversi nulla, mentre la varianza infinita, essendo:

dS0R 0xx (A.2.88)

Si pu osservare che questo processo non fisicamente realizzabile perch larea sottesa

dalla densit di potenza spettrale infinita. Tuttavia il rumore bianco pu fornire buoneapprossimazioni nella analisi della risposta di sistemi e per questo, oltre che per la suasemplicit, trova molte applicazioni nella pratica.

(a)

(b)

Fig. A.2.4. - Densit di potenza spettrale e funzione di autocorrelazione di un rumore bian-co a banda limitata.

A.2.3.7.4.Rumore bianco a banda limitata

Il rumore bianco a banda limitata definito dalle seguenti funzioni

c0x SS (A.2.89)

S0Sx()

S0

Rxx()

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20

c0xx

senS2R (A.2.90)

Larea al di sotto dello spettro finita ed il processo diventa un rumore bia nco al limite perc .

A.2.3.7.5.Processi stocastici Gaussiani

La densit di probabilit di una variabile aleatoria X Gaussiana fornita dalla:

x

2

xexp

2

1xf

2

2

X (A.2.91)

nella quale il valore medio e lo scarto quadratico medio o deviazione standard, defi-niti dalle relazioni:

dxxfxXE X (A.2.92)

2X22 dxxfxXE

(A.2.93)

La distribuzione Gaussiana unitaria o standard (Fig. A.2.5) quella che corrisponde a

= 1 e = 0:

2

xexp

2

1xf

2

X (A.2.94)

Per una variabile gaussiana sussiste limportante propriet che qualsiasi funzione lineare

di variabili aleatorie Gaussiane e anche essa Gaussiana.Due variabili X e Y sono Gaussiane congiunte se la loro funzione densit di probabilit

congiunta risulta (A.2.95):

2y

2y

yx

yxxy

2x

2x

2xy

2xyyx

XY

yyx2x

12

1exp

12

1y,xf

dove i parametri:

yx YEXE

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21

2y2y2x2x YEXE

xyyxyx YXE

definiscono completamente la densit di probabilit congiunta. xy il coefficiente di cor-relazione Se xy = 0, X e Y sono due variabili non correlate, e:

yfxfy,xf YXXY (A.2.96)

Un processo detto gaussiano se i valori del processo in n istanti arbitrari sono variabiligaussiane, per ogni valore di n. Un processo gaussiano completamente definito dal valoremedio e dalla funzione di auto-covarianza (o da quella di auto-correlazione). Conseguenza

diretta di questa propriet che un processo gaussiano debolmente stazionario anche sta-zionario in senso stretto.Limportanza pratica delle variabili aleatorie gaussiane e dei processi gaussiani discen-

de dal teorema del limite centraleche pu essere formulato in modi diversi, ma sostan-zialmente stabilisce che la distribuzione di una variabile aleatoria somma di n variabili ale-atorie indipendenti ed egualmente distribuite tende ad essere gaussiana quando il numerodelle variabili tende ad infinito, indipendentemente da quella che la distribuzione di pro-

babilit delle singole variabili. Il significato fisico di questo teorema quindi evidente; i-noltre, molti fenomeni fisici in natura sono influenzati da un numero elevato di variabiliche concorrono in maniera paritetica al loro manifestarsi. Ogni operatore lineare trasformaun processo gaussiano in un altro processo gaussiano. La risposta di un sistema lineare ad

un eccitazione gaussiana ancora gaussiana (cfr. Par. A.2.4).

Fig. A.2.5. - Distribuzione gaussiana standard.

A.2.3.7.6.Processi Markoviani

Un processo a parametro discreto X(t), t = 0, 1, 2, o continuo X(t), t 0 detto

0 1

0.1

0.2

0.3

0.4

-3 -2 -1 2 3

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22

processo di Markov, se, per ogni insieme di n valori del parametro, le densit condizionatedi X(tn) per valori assegnati di X(t1), , X(tn-1) dipendono solo da X(tn-1) , ovvero se:

1n1nnn11n11nnn t,xt,xft,....,t;x,....,xt,xf (A.2.97)

Ci significa che, assegnato lo stato attuale del processo, la sua evoluzione futura in-dipendente dal passato.

Un processo di Markov descritto quindi da una funzione di probabilit di transizioneche rappresenta la probabilit che il sistema sia in uno stato i al tempo tndato che era nellostato j al tempo tn-1. Un processo di Markov detto omogeneose le probabilit di transi-zione dipendono solo dalle differenze tntn-1 e non dai valori di tne tn-1.

A.2.4. RISPOSTA DINAMICA ALEATORIA (CENNI)

Levoluzione temporale delle azioni agenti su di una struttura non pu essere sempredescritta mediante funzioni deterministiche, poich spesso presenta elementi di aleatoriet:tale considerazione valida per la maggior parte delle azioni naturali, quali lazione del

vento e quella sismica, ma anche per molte altre azioni, quali il traffico o i carichi eccezio-nali (urti, esplosioni, ecc.). Tali azioni dovrebbero essere quindi sempre rappresentate me-diante processi stocastici (scalari o vettoriali): e stocastici sono di conseguenza anche i

processi di risposta, cio le storie delle quantit (ad esempio, tensioni, spostamenti, defor-mazioni) che si manifestano nella struttura e ne caratterizzano la risposta.

Di solito laleatoriet delle azioni prevale su quella delle caratteristiche della struttura

(resistenze, geometria, ), che quindi abituale descrivere mediante un modello determi-nistico.

Si assuma che il processo di carico sia stazionario(cio che le sue propriet non varinonel tempo): ci raramente vero (a rigore, mai) nella realt fisica (infatti ogni azione dura,e con intensit variabile, per un tempo limitato, che per una tempesta di vento pu esseredellordine di ore e per un sisma dellordine di secondi), ma molto spesso introdotto co-me ipotesi semplificativa nella pratica tecnica, almeno per azioni la cui durata molto su-

periore al periodo fondamentale della struttura (azioni prolungate).Sotto tale ipotesi, le propriet significative della risposta sono quelle che si manifestano

a regime, e che sono anchesse stazionarie, se le caratteristiche della struttura non varianonel tempo.

A.2.4.1. Sistemi lineari ad un grado di libert soggetti ad una forzante aleatoria

Si consideri un sistema ad un grado di libert, di caratteristiche costanti nel tempo, defi-nite in senso deterministico. Tale sistema sia soggetto ad una forzante aleatoria, descrittada un processo stocastico P(t) che si assume stazionario. Lequazione del moto del sistema

:

tPkvvcvm...

(A.2.98)

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23

La risposta a regime vr(t) del sistema ad una generica realizzazione pr(t) del processoP(t) pu essere ottenuta neldominio del tempoattraverso lintegrale di convoluzione:

,,2,1rdthptv t

rr (A.2.99)

essendo h() lafunzione di risposta ad impulso, e lintegrale esteso a t = - , in virt dellastazionariet del processo.

Il valore medio E[v(t)] del processo che rappresenta la risposta a regime del sistema puessere ottenuto prendendo la media sullinsieme delle vr(t) ed invertendo gli operatori dimedia ed integrale, ovvero dalla relazione:

dthPEdthpEtvE tt

r (A.2.100)

Il valore medio della risposta quindi la risposta al valore medio della forzante. Se il

processo di input ha valore medio nullo, ovvero se:

0tPE (A.2.101)

anche la risposta del sistema ha valore medio nullo.Lauto-correlazione del processo di risposta E[v(t)v(t+)] espressa dalla relazione

(A.2.102):

t t

222111 dthPdthPEtvtvE

che, effettuando il cambiamento di variabili

2211 tutu (A.2.103)diviene (A.2.104):

0t

0t 222111 duuhutPduuhutPEtvtvE

Invertendo i limiti di integrazione di entrambi gli integrali e raggruppando si ottiene larelazione (A.2.105a):

0 0 212121 duduuhuhutPutPEtvtvE

Invertendo gli operatori di media ed integrale, si ottiene infine la relazione (A.2.105b):

0 0 212121 duduuhuhutPutPEtvtvE

La media al secondo membro della (A.2.105b) la funzione di auto-correlazione dellaforzante ed quindi indipendente dal tempo, perch la forzante stazionaria; pertanto an-che il termine a primo membro, che la funzione di auto-correlazione della risposta, in-dipendente dal tempo. Di conseguenza, se linput stazionario anche loutput stazionario

e la sua funzione di auto-correlazione data da

0 0 212112pv duduuhuhuuRR (A.2.106)

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24

Se il processo di input Gaussiano, anche il processo di output Gaussiano: pertanto lafunzione di auto-correlazione (A.2.106) caratterizza completamente il processo di risposta.

La densit di potenza spettrale Sv() del processo di risposta v(t) la trasformata diFourier della funzione di auto-correlazione

deR

2

1S ivv (A.2.107)

Sostituendo la (A.2.106) nella (A.2.107) si ottiene la (A.2.108)

deduduuhuhuuR

2

1S i0 0 212112pv

Scambiando gli ordini di integrazione ed estendendo i limiti degli integrali, si ottiene la

(A.2.109):

TT

i12p

T0 22

T0 11

Tv deuuRduuhduuhlim

2

1S

Effettuando il cambiamento di variabile

12 uu (A.2.110)

la (A.2.109) assume la forma (A.2.111):

21

21

21 uuT

uuT

ip

T0 2

ui2

T0 1

ui1

Tv deRdueuhdueuhlim

2

1S

Poich la funzione di risposta ad impulso h(u i) nulla quando ui< 0, il limite inferioredei primi due integrali pu essere variato da 0 a T. Poich inoltre, per sistemi smorzati, lafunzione di risposta ad impulso decresce rapidamente allaumentare dellargomento (u 1ou2), tali argomenti possono essere trascurati nei limiti di integrazione del terzo integrale.

Sulla base delle relazioni tra densit di potenza spettrale e auto-correlazione e tra rispo-sta dimpulso e risposta in frequenza si verifica pertanto che:

p2

pv SHSiHiHS (A.2.112)

Se il processo di input un rumore bianco a valore medio nullo, caratterizzato dalladensit di potenza spettrale SP() = S0(Fig. A.2.6a), e dalla funzione di autocorrelazione

(Fig. A.2.6b)

0p S2R (A.2.113)

essendo () la funzione di Dirac (A.2.4a), la densit di potenza spettrale (Fig. A.2.6c) del-la risposta di un sistema debolmente smorzato (< 1) con pulsazione espressa dalla re-lazione:

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25

(a)

(b)

(c)

(d)

Fig. A.2.6. - (a) Densit di potenza spettrale e (b) funzione di auto-correlazione di un ru-more bianco; (c) densit di potenza spettrale e (d) funzione di auto-correlazione della ri-sposta di un sistema ad un grado di libert con coefficiente di smorzamento < 1.

0

S0

Sp()

0

2S0 ()

Rp( )

Sv()

< 1

0

Area =

2

0

k2

S

< 1

Rv()

d

2

e- r

20

vk2

S)0(R

2

0

k

S

2

0

k4

S

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26

02

22

2v S

21

1

k

1S

(A.2.114)

La funzione di autocorrelazione della risposta (Fig. A.2.6d) espressa dalla relazione(A.2.115):

esensign

1

cosk2

S)(R d

2d2

0v

La (A.2.114) presenta un forte picco in corrispondenza della pulsazione propria

delloscillatore, ovvero nella zona in cui loscillatore, agendo come un filtro, amplificalazione.

La varianza della risposta fornita dalla (A.2.115) e vale:

32

0

2

0v

2

m2

S

k2

S)0(R

(A.2.116)

E immediato rilevare dalla (A.2.116) che, anche se la varianza dellazione illimitata,

quella della risposta limitata. Tale risultato giustifica limpiego in molte applicazioni delrumore bianco come modello stocastico dellazione: infatti tale modello fornisce risultati

ragionevoli purch si adotti come densit di potenza spettrale S0 il valore assunto dalla

densit di potenza spettrale dellazione effettiva in corrispondenza della pulsazione propriadelloscillatore.

Se lazione un processo stocastico stazionario (almeno in senso debole; cfr. Par.

A.2.3.2), ma applicato solo a partire dallistante t = 0 al si stema in quiete, la risposta delsistema non stazionaria. Se il sistema smorzato, si pu tuttavia ammettere che la rispo-sta a regime del sistema sia stazionaria (almeno in senso debole).

Se lazione un rumore bianco ed il sistema debolmente smorzato, il valore quadrati-co medio della risposta fornito dalla relazione (A.2.117):

t2sentsen2e

1

k2

S)t(vE dd

2d

2d2

d

t2

2

02

che rappresentata in Fig. A.2.7 per diversi valori di . Si rileva che, maggiore lo smor-zamento, pi rapido il raggiungimento dello stato di regime. In particolare, se la durata diapplicazione tddellazione elevata in confronto allintervallo caratteristico del sistema

02t 1d (A.2.118)

la risposta dello stesso pu essere assunta (debolmente) stazionaria.

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27

Fig. A.2.7. - Valore quadratico medio della risposta non stazionaria, risultante dalla appli-cazione dellazione al tempo t = 0.

Se invece = 0, il valore quadratico medio della risposta cresce indefinitamente al cre-scere di t, secondo la relazione:

0t2sint2k2

S)t(vElim

2

02

0

(A.2.119)

A.2.4.2. Sistemi lineari a n gradi di libert.

La risposta dinamica di sistemi lineari ad n gradi di libert con smorzamento proporzio-nale, pu essere ricavata applicando lanalisi modale, ovvero risolvendo n equazioni diffe-renziali disaccoppiate:

.n,...,2,1iM

tPtqtq2tq

*

*

i2ii

.

iii

..

i

i (A.2.120)

dove tP*i

e *i

M sono le azioni e le massegeneralizzateo modali.

Qualsiasi parametro di risposta Y(t) linearmente dipendente dalle coordinate normalipu essere trovato impiegando la relazione

n

1iii tqBtY (A.2.121)

essendo i coefficienti Biottenuti da metodi standard di analisi.Di solito peraltro possibile troncare la sommatoria ai primi termini.Se il sistema soggetto ad un insieme di azioni modellate come processi stocastici,

necessario considerare ciascuna azione generalizzata come un processo stocastico a se

0

5

10

15

20

25

0 2 4 6 8 10

t

0

22

S

)t(vEk

Asintoto per= 0.10

Asintoto per= 0.05

Asintoto per= 0.025

= 0.10

= 0.05

= 0.025

= 0

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stante.Ad esempio, per un carico p(z, t) distribuito:

dz)t,z(p)z()t(P i

*

i (A.2.122)

essendo i(z) lespressione al continuo della i-esima forma modale.Se p(z, t) un processo stazionario gaussiano, con densit di potenza spettrale SP(z, ,

) e funzione di auto-correlazione RP(z, , ) si hanno le funzioni di cross-spettro e cross-

correlazione delle funzioni aleatorie tP*i

e tP*j

ddz),,z(S)()z()(S PjiPP *j

*i

(A.2.123)

ddz),,z(R)()z()(R PjiPP *j

*i

(A.2.124)

Nel caso di azioni stazionarie, anche la risposta pu essere considerata stazionaria. Diconseguenza, la funzione di auto-correlazione del parametro di risposta fornitadallespressione:

m n

YYY nmRtYtYER (A.2.125)

dove

0 212n1m12ppnmYY duduuhuhuuRBBR nmnm la funzione di cross-correlazione delle risposte modali Ym(t) e Yn(t).

Per sistemi debolmente smorzati, situazione usuale nel caso dellingegneria strutturale,la risposta Ym(t) prodotta dal modo m pu essere considerata, ai fini pratici, stocasticamen-te indipendente dalla risposta Yn(t) prodotta dal modo n; ci implica che i termini incrociatidella precedente sommatoria siano nulli e che la funzione di autocorrelazione della rispostasia esprimibile nella forma approssimata:

m

YYY mmRR (A.2.126)

Per la densit e la cross-densit di potenza spettrale, ancora in analogia con i sistemi adun grado di libert, valgono le seguenti relazioni:

m n

YYY nmSS (A.2.127)

nmnm ppnmnmYY

SHHBBS (A.2.128)

Per sistemi debolmente smorzati (

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BIBLIOGRAFIA ESSENZIALE

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ISBN 0 7277 2559 9.

R.W.CLOUGH E J.PENZIEN: Dynamics of Structures. McGraw-Hill, Inc., 1993: ISBN 0

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W.B.KRTZIGe H.-J.NIEMANN(a cura di): Dynamics of Civil Engineering Structures.

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