การบรรยายสญญาณดวยสมการคณตศาสตรพนฐาน

สมชาย อรณรงรศมsomchai.aru@kmutt.ac.thภาควชาครศาสตรไฟฟา

มหาวทยาลยเทคโนโลยพระจอมเกลาธนบร

ภาคการศกษาท 1/2547 ETE 343 คณตศาสตรวศวกรรมไฟฟา 1 2

Continuous กบ Continuous-Time Signals

continuous signals ใดๆ หมายถง continuous-time(CT) แตไมไดหมายความวา สญญาณ CT ใดๆ จะมคา continuous

ภาคการศกษาท 1/2547 ETE 343 คณตศาสตรวศวกรรมไฟฟา 1 3

การสมตวอยางสญญาณ

• Sampling เปนการดงคาของสญญาณ CT ณ เวลาหนง • ให x(t) เปน CT signal --- สวน x[n] เปน DT signal

x n[ ]= x nTs( ) where Ts is the time between samples

การสมตวอยางสญญาณ (sampling) เปนการเปลยนสญญาณจากสญญาณทมคาตอเนองทางเวลา (continuous-time, CT) ใหเปนสญญาณทไม

ตอเนองทางเวลา (discrete-time, DT)

เมอ เปนระยะเวลาในการสมตวอยางแตละตวอยาง

ภาคการศกษาท 1/2547 ETE 343 คณตศาสตรวศวกรรมไฟฟา 1 4

สญญาณ CT Unit Step

limt→ t 0

−g t( ) = A ≠ B = lim

t → t0+g t( )g t( )dt

t0 −ε

t0 +ε

∫ = 0

จะเหนไดวาทจด จะไมพนทใตกราฟ ดงนนคาของฟงกชน ณ จดน (ถามคาทแนนอน, finite) จะไมมผลตอการหาคาสะสม หรอการ integrate

g t0( )

ภาคการศกษาท 1/2547 ETE 343 คณตศาสตรวศวกรรมไฟฟา 1 5

สมการของสญญาณ CT Unit Step

u t( )=

1 , t > 012

, t = 0

0 , t < 0

⎧

⎨ ⎪ ⎪

⎩ ⎪ ⎪

กราฟทบงบอกขอมลชวงทสญญาณไมตอเนอง กราฟทเขยนทวไป

ผลคณ g(t)u(t) สามารถเปรยบไดวาสญญาณ g(t) ถกเปดในเวลาท t = 0

ภาคการศกษาท 1/2547 ETE 343 คณตศาสตรวศวกรรมไฟฟา 1 6

สญญาณและสมการของ CT Signum

sgn t( )=1 , t > 00 , t = 0−1 , t < 0

⎧

⎨ ⎪

⎩ ⎪

⎫

⎬ ⎪

⎭ ⎪

= 2u t( )−1

signum function เปนฟงกทแสดงใหเหนถงขวของสญญาณวาเปนบวกหรอลบ

กราฟทบงบอกขอมลชวงทสญญาณไมตอเนอง กราฟทเขยนทวไป

ภาคการศกษาท 1/2547 ETE 343 คณตศาสตรวศวกรรมไฟฟา 1 7

สญญาณและสมการของ CT Unit Ramp

ramp t( )=t , t > 00 , t ≤ 0

⎧ ⎨ ⎩

⎫ ⎬ ⎭

= u λ( )dλ−∞

t

∫ = t u t( )สญญาณ ramp(t) คอผลรวมสะสมของ unit step function หรอ integration ของสญญาณ ramp(t) นนเอง

ภาคการศกษาท 1/2547 ETE 343 คณตศาสตรวศวกรรมไฟฟา 1 8

สญญาณ CT Impulse

นยามให δa t( )=

1a

, t <a2

0 , t >a2

⎧

⎨ ⎪

⎩ ⎪

ให g(t) เปนขอมลทคาอยในชวงจากด (finite) และมคาตอเนองทเวลา t = 0

ภาคการศกษาท 1/2547 ETE 343 คณตศาสตรวศวกรรมไฟฟา 1 9

สญญาณ CT Impulse

A =1a

g t( )dt−a

2

a2

∫

พนทใตกราฟของผลคณสามารถหาไดดงน

lima→0

A = g 0( )lima→0

1a

dt− a

2

a2

∫ = g 0( )lima→0

1a

a( )= g 0( )

เมอความกวางของสญญาณ แคบมาก ๆ หรอ a มคาเขาใกลศนยจะกลาวไดวาδa t( )

g 0( )= δ t( )g t( )dt−∞

∞

∫

ดงนน CT unit impulse สามารถนยามไดดงน

ภาคการศกษาท 1/2547 ETE 343 คณตศาสตรวศวกรรมไฟฟา 1 10

สญญาณ CT Unit Step และสญญาณ CT Unit Impulse

CT unit step คออนพนธของฟงชน g(t) และ unit impulse คออนพนธของ unit step ท a approaches(เขาใกล) สศนย

สญญาณ CT unit step คอสญญาณทไดจาก integral ของสญญาณ CT unit impulse และ สญญาณ CT unit impulse ไดจาก generalized derivative ของสญญาณ CT unit step

ภาคการศกษาท 1/2547 ETE 343 คณตศาสตรวศวกรรมไฟฟา 1 11

สญลกษณของสญญาณ CT Impulse

strength หรอ weight ของ CT impulse คอคาของ CT impulse ซงสามารถเขยนไดดงรปขางลาง

ภาคการศกษาท 1/2547 ETE 343 คณตศาสตรวศวกรรมไฟฟา 1 12

คณสมบตของ CT Impulse

g t( )δ t − t0( )dt−∞

∞

∫ = g t0( )

sampling property (คณสมบตของการสม)

δ a t − t0( )( )=1a

δ t − t0( )

scaling property (คณสมบตการทอนและขยาย)

กลาวคอเมอนาฟงกชน CT unit impulse ไปคณกบฟงกชนใดๆ กจะไดคาของฟงกชนนน ณ เวลานน

นกศกษาลองทาการพสจนด

ภาคการศกษาท 1/2547 ETE 343 คณตศาสตรวศวกรรมไฟฟา 1 13

สญญาณ CT Unit Comb

สญญาณ CT unit comb นยามไดดงน

comb t( )= δ t − n( )n=−∞

∞

∑ , n an integer

สญญาณ comb คอผลรวมของสญญาณ impulses ทมระยะหางเทา ๆ กน(uniformly-spaced)

ภาคการศกษาท 1/2547 ETE 343 คณตศาสตรวศวกรรมไฟฟา 1 14

สญญาณ CT Unit Rectangle

rect t( )=

1 , t <12

12

, t =12

0 , t >12

⎧

⎨

⎪ ⎪ ⎪

⎩

⎪ ⎪ ⎪

⎫

⎬

⎪ ⎪ ⎪

⎭

⎪ ⎪ ⎪

ผลคณ g(t)rect(t) สามารถเปรยบเทยบไดกบการเปดและปดสวทซใหกบสญญาณ g(t) ในเวลาt = -1/2 และ t = 1/2.

ภาคการศกษาท 1/2547 ETE 343 คณตศาสตรวศวกรรมไฟฟา 1 15

สญญาณ CT Unit Triangle

tri t( )=1 − t , t < 10 , t ≥1

⎧ ⎨ ⎩

⎫ ⎬ ⎭

สญญาณ triangle หรอสญญาณสามเหลยมไดจากการนาสญญาณ unit rectangle 2 ตวมาทาการ convolution เขาดวยกน

ภาคการศกษาท 1/2547 ETE 343 คณตศาสตรวศวกรรมไฟฟา 1 16

สญญาณ CT Unit Sincsinc t( )=

sin πt( )πt

limt→0

sinc t( )= limt→0

ddt

sin πt( )( )ddt

πt( )= lim

t→0

π cos πt( )π

= 1

สญญาณ unit sincfunction ไดจากการแปลงฟเรยรของสญญาณ unit rectangle function

ภาคการศกษาท 1/2547 ETE 343 คณตศาสตรวศวกรรมไฟฟา 1 17

สญญาณ CT Dirichletdrcl t, N( )=

sin πNt( )N sin πt( )

ทคา N เปนเลขค Dirichlet function กคอ sinc function ทซากนไปเรอย ๆ

ภาคการศกษาท 1/2547 ETE 343 คณตศาสตรวศวกรรมไฟฟา 1 18

การรวมสญญาณ CT เขาดวยกน

ภาคการศกษาท 1/2547 ETE 343 คณตศาสตรวศวกรรมไฟฟา 1 19

การแปลงของสญญาณ CT หรอ(Transformations of CT Functions)

กาหนดใหสญญาณทมคาตอเนองทางเวลามคาดงน

g t( )= 0 , t > 5

ภาคการศกษาท 1/2547 ETE 343 คณตศาสตรวศวกรรมไฟฟา 1 20

การแปลงของสญญาณ CTAmplitude Scaling, g t( )→ Ag t( )

ภาคการศกษาท 1/2547 ETE 343 คณตศาสตรวศวกรรมไฟฟา 1 21

การแปลงของสญญาณ CT

Time shifting, t → t − t0

ภาคการศกษาท 1/2547 ETE 343 คณตศาสตรวศวกรรมไฟฟา 1 22

การแปลงของสญญาณ CTTime scaling, t →

ta

ภาคการศกษาท 1/2547 ETE 343 คณตศาสตรวศวกรรมไฟฟา 1 23

การแปลงของสญญาณ CTg t( )→ Ag

t − t0

a⎛ ⎝

⎞ ⎠ การแปลงสญญาณ CT รวม(ทกการแปลง)

g t( )amplitudescaling, A⎯ → ⎯ ⎯ ⎯ Ag t( )

t→ ta⎯ → ⎯ ⎯ Ag

ta

⎛ ⎝

⎞ ⎠

t→ t− t0⎯ → ⎯ ⎯ Agt − t0

a⎛ ⎝

⎞ ⎠

ขนตอนในการแปลง(ตวไหนควรแปลงกอน แปลงหลง)

g t( )amplitudescaling, A⎯ → ⎯ ⎯ ⎯ Ag t( ) t→ t− t0⎯ → ⎯ ⎯ Ag t − t0( )

t→ ta⎯ → ⎯ ⎯ Ag

ta

− t0⎛ ⎝

⎞ ⎠ ≠ Ag

t − t0

a⎛ ⎝

⎞ ⎠

จะสงเกตไดวาลาดบการแปลงมความสาคญ (ลาดบตางกน ใหสญญาณตางกนดวย)

ภาคการศกษาท 1/2547 ETE 343 คณตศาสตรวศวกรรมไฟฟา 1 24

การแปลงของสญญาณ CTg t( )→ Ag

t − t0

a⎛ ⎝

⎞ ⎠ ตวอยาง Multiple transformations,

ภาคการศกษาท 1/2547 ETE 343 คณตศาสตรวศวกรรมไฟฟา 1 25

การแปลงของสญญาณ CT

ตวอยางการแปลงMultiple transformations, Ag bt − t0( )

ภาคการศกษาท 1/2547 ETE 343 คณตศาสตรวศวกรรมไฟฟา 1 26

การแปลงของสญญาณ CT

ภาคการศกษาท 1/2547 ETE 343 คณตศาสตรวศวกรรมไฟฟา 1 27

การแปลงของสญญาณ CTDifferentiation

ภาคการศกษาท 1/2547 ETE 343 คณตศาสตรวศวกรรมไฟฟา 1 28

การแปลงของสญญาณ CTIntegration

ภาคการศกษาท 1/2547 ETE 343 คณตศาสตรวศวกรรมไฟฟา 1 29

ฟงกชนคและคของสญญาณ CTEven Functions Odd Functions

g t( )= g −t( ) g t( )= −g −t( )

ภาคการศกษาท 1/2547 ETE 343 คณตศาสตรวศวกรรมไฟฟา 1 30

ฟงกชนคและคของสญญาณ CT

ge t( )=g t( )+ g −t( )

2สวนทเปนฟงกชนคของ CT function หาไดจาก

สวนทเปนฟงกชนคของ CT function หาไดจาก go t( )=g t( )− g −t( )

2

ถา ge(t) เปนศนย ฟงกชนนนจะเปนฟงกชนค แตถา go(t) เปนศนยฟงกชนนนเปนฟงกชนค

Derivative (อนพนธ) ของ even CT function จะเปน odd และ derivativeของ odd CT function จะเปน even

integral ของ even CT function จะเปน odd CT function บวกดวยคาคงทและ integral ของ odd CT function จะเปน even

ภาคการศกษาท 1/2547 ETE 343 คณตศาสตรวศวกรรมไฟฟา 1 31

ผลคณของฟงกชนคและคของสญญาณ CT

ภาคการศกษาท 1/2547 ETE 343 คณตศาสตรวศวกรรมไฟฟา 1 32

ผลคณของฟงกชนคและคของสญญาณ CT

ภาคการศกษาท 1/2547 ETE 343 คณตศาสตรวศวกรรมไฟฟา 1 33

ผลคณของฟงกชนคและคของสญญาณ CT

ภาคการศกษาท 1/2547 ETE 343 คณตศาสตรวศวกรรมไฟฟา 1 34

ผลคณของฟงกชนคและคของสญญาณ CT

ภาคการศกษาท 1/2547 ETE 343 คณตศาสตรวศวกรรมไฟฟา 1 35

ผลการอนทรเกตของฟงกชนคและคของสญญาณ CT

g t( )dt−a

a

∫ = 2 g t( )dt0

a

∫ g t( )dt−a

a

∫ = 0

ภาคการศกษาท 1/2547 ETE 343 คณตศาสตรวศวกรรมไฟฟา 1 36

สญญาณ CT ทเปนคาบ (periodic)

function ทไม periodic จะเรยกวา aperiodic

g t( )= g t + nT( )ถา CT function เปนสญญาณทมคาบ, , เมอ n เปนจานวนเตมบวกและ T คอคาบเวลาหรอ period ของ function.

จานวนบวกของ T ทมคาตาสดททาให จะเรยกวา fundamental period ของ function, หรอ สวนผกผนของ fundamental period คอ fundamental frequency,

g t( )= g t + T( )

f0 = 1 / T0

T0

ภาคการศกษาท 1/2547 ETE 343 คณตศาสตรวศวกรรมไฟฟา 1 37

ผลรวมของสญญาณ CT ทเปนคาบThe period of the sum of CT periodic functions is the least commonmultiple of the periods of the individual functions summed. If the least common multiple is infinite, the sum is aperiodic.

ภาคการศกษาท 1/2547 ETE 343 คณตศาสตรวศวกรรมไฟฟา 1 38

Discrete-Time Sinusoids

g n[ ]= Acos2πnN0

+θ⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟ or Acos 2πF0n +θ( ) or g n[ ]= A cos Ω0n +θ( )

รปแบบทวไปของสญญาณ discrete-time (DT) sinusoid ทม fundamentalperiod, , เปน

เมอ เปนจานวนเตม และ สวนกลบ (แตไมใชความถ)N0 F0

สญญาณ CT sinusoid และสญญาณ DT sinusoid นนมคาบไมเหมอนกน

สญญาณ DT sinusoid เขยนใหอยในรปของ, , ดงนน Kคอสดสวนของจานวนเตม (a rational number) ถาให K อยในรปของ p/q, ดงนน fundamental period ของ sinusoid คอ q, ไมใช q/p (เวนวา p = 1).

g n[ ]= Acos 2πKn +θ( )

N0

ภาคการศกษาท 1/2547 ETE 343 คณตศาสตรวศวกรรมไฟฟา 1 39

Discrete-Time SinusoidsPeriodic Sinusoids

ภาคการศกษาท 1/2547 ETE 343 คณตศาสตรวศวกรรมไฟฟา 1 40

Discrete-Time SinusoidsAperiodic Sinusoid

ภาคการศกษาท 1/2547 ETE 343 คณตศาสตรวศวกรรมไฟฟา 1 41

Discrete-Time Sinusoidsสญญาณ DT sinusoids 2 ตวทแตกตางกน

g1 n[ ]= Acos 2πK1n +θ( ) g2 n[ ]= Acos 2πK2n +θ( )และ

สญญาณ 2 ตวนอาจจะเปนตวเดยวกนถา

K2 = K1 + 2mπ

ดงนน (เนองจาก n เปน discrete time และเปน integer ดวย),

A cos 2πK1n +θ( )= A cos 2πK2n +θ( )

, เมอ m คอ integer

ภาคการศกษาท 1/2547 ETE 343 คณตศาสตรวศวกรรมไฟฟา 1 42

Discrete-Time Sinusoids

ภาคการศกษาท 1/2547 ETE 343 คณตศาสตรวศวกรรมไฟฟา 1 43

Discrete-Time Exponentialsรปแบบของสญญาณ discrete-time exponential สามารถเขยนไดดงน

g n[ ]= Aα n g n[ ]= Aeβnor

เมอ α = eβ

Real α Complex α

ภาคการศกษาท 1/2547 ETE 343 คณตศาสตรวศวกรรมไฟฟา 1 44

The Discrete-Time Impulse Function

δ n[ ]=1 , n = 00 , n ≠ 0

⎧ ⎨ ⎩

สญญาณ DT unit impulse มคณสมบตในการ sampling เหมอน CT unit impulse

Aδ n − n0[ ]x n[ ]n=−∞

∞

∑ = A x n0[ ]

แตไมมคณสมบต scaling ดงนนจะมคาเทากนตลอด หรออาจจะกลาวไดวา,

δ n[ ]= δ an[ ] , สาหรบทกคาของ finite integer a ทไมเปนศนย

ภาคการศกษาท 1/2547 ETE 343 คณตศาสตรวศวกรรมไฟฟา 1 45

The DT Unit Sequence Function

u n[ ]=1 , n ≥ 00 , n < 0

⎧ ⎨ ⎩

ภาคการศกษาท 1/2547 ETE 343 คณตศาสตรวศวกรรมไฟฟา 1 46

The DT Unit Ramp Function

ramp n[ ]=n , n ≥ 00 , n < 0

⎧ ⎨ ⎩

⎫ ⎬ ⎭

= u m −1[ ]m=−∞

n

∑

ภาคการศกษาท 1/2547 ETE 343 คณตศาสตรวศวกรรมไฟฟา 1 47

The DT Rectangle Function

rectN wn[ ]=

1 , n ≤ Nw

0 , n > Nw

⎧ ⎨ ⎩

⎫ ⎬ ⎭ , Nw ≥ 0 , Nw an integer

ภาคการศกษาท 1/2547 ETE 343 คณตศาสตรวศวกรรมไฟฟา 1 48

The DT Comb Function

combN 0n[ ]= δ n − mN0[ ]

m=−∞

∞

∑

ภาคการศกษาท 1/2547 ETE 343 คณตศาสตรวศวกรรมไฟฟา 1 49

Transformation of DT Functionsให g[n] คอสญญาณในรปดานลาง

g n[ ]= 0 , n >15

ภาคการศกษาท 1/2547 ETE 343 คณตศาสตรวศวกรรมไฟฟา 1 50

, เมอ คอ integer

Transformation of DT FunctionsถาทาTime Shifting n → n + n0 n0

ภาคการศกษาท 1/2547 ETE 343 คณตศาสตรวศวกรรมไฟฟา 1 51

Transformation of DT Functions

Time compression

n → Kn

K คอ integer ท > 1

ภาคการศกษาท 1/2547 ETE 343 คณตศาสตรวศวกรรมไฟฟา 1 52

Transformation of DT Functions

Time expansion n →nK , K > 1

n คอ integer ใดๆ ททาให n/K ยงคงเปน integer, นนคอ สามารถนยามไดgnK

⎡ ⎣ ⎢

⎤ ⎦ ⎥

ถา n เปนคาททาให n/K ไมเปน integer, จะกลาววา ไมสามารถนยามไดgnK

⎡ ⎣ ⎢

⎤ ⎦ ⎥

ภาคการศกษาท 1/2547 ETE 343 คณตศาสตรวศวกรรมไฟฟา 1 53

Transformation of DT FunctionsDifferencing

ภาคการศกษาท 1/2547 ETE 343 คณตศาสตรวศวกรรมไฟฟา 1 54

Transformation of DT FunctionsAccumulation

ภาคการศกษาท 1/2547 ETE 343 คณตศาสตรวศวกรรมไฟฟา 1 55

Even and Odd DT Functions

ge n[ ]=g n[ ]+ g −n[ ]

2go n[ ]=

g n[ ]− g −n[ ]2

g n[ ]= g −n[ ] g n[ ]= −g −n[ ]

ภาคการศกษาท 1/2547 ETE 343 คณตศาสตรวศวกรรมไฟฟา 1 56

Products of Even and Odd DT Functions

ภาคการศกษาท 1/2547 ETE 343 คณตศาสตรวศวกรรมไฟฟา 1 57

Products of Even and Odd DT Functions

ภาคการศกษาท 1/2547 ETE 343 คณตศาสตรวศวกรรมไฟฟา 1 58

Products of Even and Odd DT Functions

ภาคการศกษาท 1/2547 ETE 343 คณตศาสตรวศวกรรมไฟฟา 1 59

Accumulation of Even and Odd DT Functions

g n[ ]n=− N

N

∑ = g 0[ ]+ 2 g n[ ]n=1

N

∑ g n[ ]n=− N

N

∑ = 0

ภาคการศกษาท 1/2547 ETE 343 คณตศาสตรวศวกรรมไฟฟา 1 60

Periodic DT Functions

n → n + mNA periodic DT function is one which is invariant to thetransformation, , where N is a period of the function and m is any integer.

The minimum positive integer value of N for whichis called the fundamental period, g n[ ]= g n + N[ ] N0

ภาคการศกษาท 1/2547 ETE 343 คณตศาสตรวศวกรรมไฟฟา 1 61

Signal Energy and Power

Ex = x t( )2 dt−∞

∞

∫

คา signal energy ของสญญาณ CT signal, x(t), คอ

คา signal energy ของสญญาณ DT signal, x[n], คอ

Ex = x n[ ]2

n=−∞

∞

∑

ภาคการศกษาท 1/2547 ETE 343 คณตศาสตรวศวกรรมไฟฟา 1 62

Signal Energy and Power

ภาคการศกษาท 1/2547 ETE 343 คณตศาสตรวศวกรรมไฟฟา 1 63

Signal Energy and Power

ภาคการศกษาท 1/2547 ETE 343 คณตศาสตรวศวกรรมไฟฟา 1 64

Signal Energy and Power

สญญาณบางตวจะมคาพลงงานไมสนสด (infinite signal energy) ดงนนในกรณนจะใชคาพลงงานเฉลยแทน (average signal power)

Px = limT→∞

1T

x t( )2 dt−T

2

T2

∫

โดยท average signal power ของ CT signal, x(t), คอ

Px = limN→∞

12N

x n[ ]2

n=− N

N −1

∑

และ average signal power ของ DT signal, x[n], คอ

ภาคการศกษาท 1/2547 ETE 343 คณตศาสตรวศวกรรมไฟฟา 1 65

Signal Energy and Power

สาหรบสญญาณ CT signal ท periodic, x(t), คา average signal power คอ

Px =1T

x t( )2 dtT∫

เมอ T คอ คาบเวลาใดๆ ของ signal.

Px =1N

x n[ ]2

n= N∑

สาหรบ periodic DT signal, x[n], คา average signal power คอ

เมอ N คอคาบเวลาใดๆ ของ signal.

ภาคการศกษาท 1/2547 ETE 343 คณตศาสตรวศวกรรมไฟฟา 1 66

Signal Energy and Power

A signal with finite signal energy is called an energy signal.

A signal with infinite signal energy and finite average signal power is called a power signal.