การบรรยายสัญญาณด วยสมการคณ ิตศาสตร...

การบรรยายสญญาณดวยสมการคณตศาสตรพนฐาน

สมชาย อรณรงรศม[email protected]ภาควชาครศาสตรไฟฟา

มหาวทยาลยเทคโนโลยพระจอมเกลาธนบร

ภาคการศกษาท 1/2547 ETE 343 คณตศาสตรวศวกรรมไฟฟา 1 2

Continuous กบ Continuous-Time Signals

continuous signals ใดๆ หมายถง continuous-time(CT) แตไมไดหมายความวา สญญาณ CT ใดๆ จะมคา continuous


การสมตวอยางสญญาณ

• Sampling เปนการดงคาของสญญาณ CT ณ เวลาหนง • ให x(t) เปน CT signal --- สวน x[n] เปน DT signal

x n[ ]= x nTs( ) where Ts is the time between samples

การสมตวอยางสญญาณ (sampling) เปนการเปลยนสญญาณจากสญญาณทมคาตอเนองทางเวลา (continuous-time, CT) ใหเปนสญญาณทไม

ตอเนองทางเวลา (discrete-time, DT)

เมอ เปนระยะเวลาในการสมตวอยางแตละตวอยาง


สญญาณ CT Unit Step

limt→ t 0

−g t( ) = A ≠ B = lim

t → t0+g t( )g t( )dt

t0 −ε

t0 +ε

∫ = 0

จะเหนไดวาทจด จะไมพนทใตกราฟ ดงนนคาของฟงกชน ณ จดน (ถามคาทแนนอน, finite) จะไมมผลตอการหาคาสะสม หรอการ integrate

g t0( )


สมการของสญญาณ CT Unit Step

u t( )=

1 , t > 012

, t = 0

0 , t < 0

⎧

⎨ ⎪ ⎪

⎩ ⎪ ⎪

กราฟทบงบอกขอมลชวงทสญญาณไมตอเนอง กราฟทเขยนทวไป

ผลคณ g(t)u(t) สามารถเปรยบไดวาสญญาณ g(t) ถกเปดในเวลาท t = 0


สญญาณและสมการของ CT Signum

sgn t( )=1 , t > 00 , t = 0−1 , t < 0

⎧

⎨ ⎪

⎩ ⎪

⎫

⎬ ⎪

⎭ ⎪

= 2u t( )−1

signum function เปนฟงกทแสดงใหเหนถงขวของสญญาณวาเปนบวกหรอลบ

กราฟทบงบอกขอมลชวงทสญญาณไมตอเนอง กราฟทเขยนทวไป


สญญาณและสมการของ CT Unit Ramp

ramp t( )=t , t > 00 , t ≤ 0

⎧ ⎨ ⎩

⎫ ⎬ ⎭

= u λ( )dλ−∞

t

∫ = t u t( )สญญาณ ramp(t) คอผลรวมสะสมของ unit step function หรอ integration ของสญญาณ ramp(t) นนเอง


สญญาณ CT Impulse

นยามให δa t( )=

1a

, t <a2

0 , t >a2

⎧

⎨ ⎪

⎩ ⎪

ให g(t) เปนขอมลทคาอยในชวงจากด (finite) และมคาตอเนองทเวลา t = 0


สญญาณ CT Impulse

A =1a

g t( )dt−a

2

a2

∫

พนทใตกราฟของผลคณสามารถหาไดดงน

lima→0

A = g 0( )lima→0

1a

dt− a

2

a2

∫ = g 0( )lima→0

1a

a( )= g 0( )

เมอความกวางของสญญาณ แคบมาก ๆ หรอ a มคาเขาใกลศนยจะกลาวไดวาδa t( )

g 0( )= δ t( )g t( )dt−∞

∞

∫

ดงนน CT unit impulse สามารถนยามไดดงน


สญญาณ CT Unit Step และสญญาณ CT Unit Impulse

CT unit step คออนพนธของฟงชน g(t) และ unit impulse คออนพนธของ unit step ท a approaches(เขาใกล) สศนย

สญญาณ CT unit step คอสญญาณทไดจาก integral ของสญญาณ CT unit impulse และ สญญาณ CT unit impulse ไดจาก generalized derivative ของสญญาณ CT unit step


สญลกษณของสญญาณ CT Impulse

strength หรอ weight ของ CT impulse คอคาของ CT impulse ซงสามารถเขยนไดดงรปขางลาง


คณสมบตของ CT Impulse

g t( )δ t − t0( )dt−∞

∞

∫ = g t0( )

sampling property (คณสมบตของการสม)

δ a t − t0( )( )=1a

δ t − t0( )

scaling property (คณสมบตการทอนและขยาย)

กลาวคอเมอนาฟงกชน CT unit impulse ไปคณกบฟงกชนใดๆ กจะไดคาของฟงกชนนน ณ เวลานน

นกศกษาลองทาการพสจนด


สญญาณ CT Unit Comb

สญญาณ CT unit comb นยามไดดงน

comb t( )= δ t − n( )n=−∞

∞

∑ , n an integer

สญญาณ comb คอผลรวมของสญญาณ impulses ทมระยะหางเทา ๆ กน(uniformly-spaced)


สญญาณ CT Unit Rectangle

rect t( )=

1 , t <12

12

, t =12

0 , t >12

⎧

⎨

⎪ ⎪ ⎪

⎩

⎪ ⎪ ⎪

⎫

⎬

⎪ ⎪ ⎪

⎭

⎪ ⎪ ⎪

ผลคณ g(t)rect(t) สามารถเปรยบเทยบไดกบการเปดและปดสวทซใหกบสญญาณ g(t) ในเวลาt = -1/2 และ t = 1/2.


สญญาณ CT Unit Triangle

tri t( )=1 − t , t < 10 , t ≥1

⎧ ⎨ ⎩

⎫ ⎬ ⎭

สญญาณ triangle หรอสญญาณสามเหลยมไดจากการนาสญญาณ unit rectangle 2 ตวมาทาการ convolution เขาดวยกน


สญญาณ CT Unit Sincsinc t( )=

sin πt( )πt

limt→0

sinc t( )= limt→0

ddt

sin πt( )( )ddt

πt( )= lim

t→0

π cos πt( )π

= 1

สญญาณ unit sincfunction ไดจากการแปลงฟเรยรของสญญาณ unit rectangle function


สญญาณ CT Dirichletdrcl t, N( )=

sin πNt( )N sin πt( )

ทคา N เปนเลขค Dirichlet function กคอ sinc function ทซากนไปเรอย ๆ


การรวมสญญาณ CT เขาดวยกน


การแปลงของสญญาณ CT หรอ(Transformations of CT Functions)

กาหนดใหสญญาณทมคาตอเนองทางเวลามคาดงน

g t( )= 0 , t > 5


การแปลงของสญญาณ CTAmplitude Scaling, g t( )→ Ag t( )


การแปลงของสญญาณ CT

Time shifting, t → t − t0


การแปลงของสญญาณ CTTime scaling, t →

ta


การแปลงของสญญาณ CTg t( )→ Ag

t − t0

a⎛ ⎝

⎞ ⎠ การแปลงสญญาณ CT รวม(ทกการแปลง)

g t( )amplitudescaling, A⎯ → ⎯ ⎯ ⎯ Ag t( )

t→ ta⎯ → ⎯ ⎯ Ag

ta

⎛ ⎝

⎞ ⎠

t→ t− t0⎯ → ⎯ ⎯ Agt − t0

a⎛ ⎝

⎞ ⎠

ขนตอนในการแปลง(ตวไหนควรแปลงกอน แปลงหลง)

g t( )amplitudescaling, A⎯ → ⎯ ⎯ ⎯ Ag t( ) t→ t− t0⎯ → ⎯ ⎯ Ag t − t0( )

t→ ta⎯ → ⎯ ⎯ Ag

ta

− t0⎛ ⎝

⎞ ⎠ ≠ Ag

t − t0

a⎛ ⎝

⎞ ⎠

จะสงเกตไดวาลาดบการแปลงมความสาคญ (ลาดบตางกน ใหสญญาณตางกนดวย)


การแปลงของสญญาณ CTg t( )→ Ag

t − t0

a⎛ ⎝

⎞ ⎠ ตวอยาง Multiple transformations,



ตวอยางการแปลงMultiple transformations, Ag bt − t0( )


การแปลงของสญญาณ CTDifferentiation


การแปลงของสญญาณ CTIntegration


ฟงกชนคและคของสญญาณ CTEven Functions Odd Functions

g t( )= g −t( ) g t( )= −g −t( )


ฟงกชนคและคของสญญาณ CT

ge t( )=g t( )+ g −t( )

2สวนทเปนฟงกชนคของ CT function หาไดจาก

สวนทเปนฟงกชนคของ CT function หาไดจาก go t( )=g t( )− g −t( )

2

ถา ge(t) เปนศนย ฟงกชนนนจะเปนฟงกชนค แตถา go(t) เปนศนยฟงกชนนนเปนฟงกชนค

Derivative (อนพนธ) ของ even CT function จะเปน odd และ derivativeของ odd CT function จะเปน even

integral ของ even CT function จะเปน odd CT function บวกดวยคาคงทและ integral ของ odd CT function จะเปน even


ผลคณของฟงกชนคและคของสญญาณ CT


ผลการอนทรเกตของฟงกชนคและคของสญญาณ CT

g t( )dt−a

a

∫ = 2 g t( )dt0

a

∫ g t( )dt−a

a

∫ = 0


สญญาณ CT ทเปนคาบ (periodic)

function ทไม periodic จะเรยกวา aperiodic

g t( )= g t + nT( )ถา CT function เปนสญญาณทมคาบ, , เมอ n เปนจานวนเตมบวกและ T คอคาบเวลาหรอ period ของ function.

จานวนบวกของ T ทมคาตาสดททาให จะเรยกวา fundamental period ของ function, หรอ สวนผกผนของ fundamental period คอ fundamental frequency,

g t( )= g t + T( )

f0 = 1 / T0

T0


ผลรวมของสญญาณ CT ทเปนคาบThe period of the sum of CT periodic functions is the least commonmultiple of the periods of the individual functions summed. If the least common multiple is infinite, the sum is aperiodic.


Discrete-Time Sinusoids

g n[ ]= Acos2πnN0

+θ⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟ or Acos 2πF0n +θ( ) or g n[ ]= A cos Ω0n +θ( )

รปแบบทวไปของสญญาณ discrete-time (DT) sinusoid ทม fundamentalperiod, , เปน

เมอ เปนจานวนเตม และ สวนกลบ (แตไมใชความถ)N0 F0

สญญาณ CT sinusoid และสญญาณ DT sinusoid นนมคาบไมเหมอนกน

สญญาณ DT sinusoid เขยนใหอยในรปของ, , ดงนน Kคอสดสวนของจานวนเตม (a rational number) ถาให K อยในรปของ p/q, ดงนน fundamental period ของ sinusoid คอ q, ไมใช q/p (เวนวา p = 1).

g n[ ]= Acos 2πKn +θ( )

N0


Discrete-Time SinusoidsPeriodic Sinusoids


Discrete-Time SinusoidsAperiodic Sinusoid


Discrete-Time Sinusoidsสญญาณ DT sinusoids 2 ตวทแตกตางกน

g1 n[ ]= Acos 2πK1n +θ( ) g2 n[ ]= Acos 2πK2n +θ( )และ

สญญาณ 2 ตวนอาจจะเปนตวเดยวกนถา

K2 = K1 + 2mπ

ดงนน (เนองจาก n เปน discrete time และเปน integer ดวย),

A cos 2πK1n +θ( )= A cos 2πK2n +θ( )

, เมอ m คอ integer


Discrete-Time Sinusoids


Discrete-Time Exponentialsรปแบบของสญญาณ discrete-time exponential สามารถเขยนไดดงน

g n[ ]= Aα n g n[ ]= Aeβnor

เมอ α = eβ

Real α Complex α


The Discrete-Time Impulse Function

δ n[ ]=1 , n = 00 , n ≠ 0

⎧ ⎨ ⎩

สญญาณ DT unit impulse มคณสมบตในการ sampling เหมอน CT unit impulse

Aδ n − n0[ ]x n[ ]n=−∞

∞

∑ = A x n0[ ]

แตไมมคณสมบต scaling ดงนนจะมคาเทากนตลอด หรออาจจะกลาวไดวา,

δ n[ ]= δ an[ ] , สาหรบทกคาของ finite integer a ทไมเปนศนย


The DT Unit Sequence Function

u n[ ]=1 , n ≥ 00 , n < 0

⎧ ⎨ ⎩


The DT Unit Ramp Function

ramp n[ ]=n , n ≥ 00 , n < 0

⎧ ⎨ ⎩

⎫ ⎬ ⎭

= u m −1[ ]m=−∞

n

∑


The DT Rectangle Function

rectN wn[ ]=

1 , n ≤ Nw

0 , n > Nw

⎧ ⎨ ⎩

⎫ ⎬ ⎭ , Nw ≥ 0 , Nw an integer


The DT Comb Function

combN 0n[ ]= δ n − mN0[ ]

m=−∞

∞

∑


Transformation of DT Functionsให g[n] คอสญญาณในรปดานลาง

g n[ ]= 0 , n >15


, เมอ คอ integer

Transformation of DT FunctionsถาทาTime Shifting n → n + n0 n0


Transformation of DT Functions

Time compression

n → Kn

K คอ integer ท > 1


Transformation of DT Functions

Time expansion n →nK , K > 1

n คอ integer ใดๆ ททาให n/K ยงคงเปน integer, นนคอ สามารถนยามไดgnK

⎡ ⎣ ⎢

⎤ ⎦ ⎥

ถา n เปนคาททาให n/K ไมเปน integer, จะกลาววา ไมสามารถนยามไดgnK

⎡ ⎣ ⎢

⎤ ⎦ ⎥


Transformation of DT FunctionsDifferencing


Transformation of DT FunctionsAccumulation


Even and Odd DT Functions

ge n[ ]=g n[ ]+ g −n[ ]

2go n[ ]=

g n[ ]− g −n[ ]2

g n[ ]= g −n[ ] g n[ ]= −g −n[ ]


Products of Even and Odd DT Functions


Accumulation of Even and Odd DT Functions

g n[ ]n=− N

N

∑ = g 0[ ]+ 2 g n[ ]n=1

N

∑ g n[ ]n=− N

N

∑ = 0


Periodic DT Functions

n → n + mNA periodic DT function is one which is invariant to thetransformation, , where N is a period of the function and m is any integer.

The minimum positive integer value of N for whichis called the fundamental period, g n[ ]= g n + N[ ] N0


Signal Energy and Power

Ex = x t( )2 dt−∞

∞

∫

คา signal energy ของสญญาณ CT signal, x(t), คอ

คา signal energy ของสญญาณ DT signal, x[n], คอ

Ex = x n[ ]2

n=−∞

∞

∑



สญญาณบางตวจะมคาพลงงานไมสนสด (infinite signal energy) ดงนนในกรณนจะใชคาพลงงานเฉลยแทน (average signal power)

Px = limT→∞

1T

x t( )2 dt−T

2

T2

∫

โดยท average signal power ของ CT signal, x(t), คอ

Px = limN→∞

12N

x n[ ]2

n=− N

N −1

∑

และ average signal power ของ DT signal, x[n], คอ



สาหรบสญญาณ CT signal ท periodic, x(t), คา average signal power คอ

Px =1T

x t( )2 dtT∫

เมอ T คอ คาบเวลาใดๆ ของ signal.

Px =1N

x n[ ]2

n= N∑

สาหรบ periodic DT signal, x[n], คา average signal power คอ

เมอ N คอคาบเวลาใดๆ ของ signal.



A signal with finite signal energy is called an energy signal.

A signal with infinite signal energy and finite average signal power is called a power signal.

การบรรยายสัญญาณด วยสมการคณ ิตศาสตร...

Documents

Transcript of การบรรยายสัญญาณด วยสมการคณ ิตศาสตร...