Post on 28-Jan-2020
1 Initial Valued Problems
บทท 6 การหาผลเฉลยเชงตวเลขของปญหาคาเรมตน
ปญหาคาเรมตน คอ ปญหาวาดวยการแกสมการเชงอนพนธทสอดคลองกบเงอนไขคาเรมตน
ตวอยางเชน
จงแกปญหาคาเรมตน yxy 2 , 5x3 , 13y
เขยนสมการใหมไดเปน yxdx
dy 2 หรอ dxxdyy
1 2
ซงเปนสมการแบบแยกตวแปรได
จะไดวา dxxdyy
1 2
ดงนนผลเฉลยทวไป (ผลเฉลยแมนตรง) คอ
C3
x|y|ln
3
เมอC เปนคาคงทใดๆ
จากเงอนไขคาเรมตน 13y
จะไดวา 9CC3
31ln
3
นนคอจะไดผลเฉลยเฉพาะราย (ผลเฉลยทแทจรง, ผลเฉลยแมน
ตรง) คอ 93
x|y|ln
3
2 Initial Valued Problems
ในบางครงเราไมสามารถค านวณหาผลเฉลยแมนตรง )x(y ได ใชระเบยบวธเชงตวเลขมาชวย ดงนนคาทค านวณไดเปนคาประมาณ ณ จดทก าหนด นนคอคา )x(y i เมอเปนจด ix ทอยในชวงทก าหนด
คาประมาณอนๆระหวางจดทก าหนดสามารถใชการประมาณคาในชวง (จากบทกอนหนา)
การประมาณคาผลเฉลยของปญหาคาเรมตน โจทยปญหาจะตองม “คณสมบตแจมชด (well-posed)”
เงอนไขความแจมชด
ส าหรบปญหาคาเรมตน y,xfy , bxa , ay
สมมต f และ yf (อนพนธยอยอนดบหนงของ f เทยบกบ y ) ตอเนองส าหรบทก b,ax
ดงนนปญหาคาเรมตนมผลเฉลยหนงเดยว xy ส าหรบ b,ax และปญหานเรยกวา ปญหาแจมชด (well-posed problem)
3 Initial Valued Problems
ตวอยาง (Sheet) พจารณาปญหาคาเรมตน
xysinx1y , 2x0 , 00y
ในทน
xysinx1y,xf
xycosxy,xf 2y
ทงคเปนฟงกชนตอเนองส าหรบ 2,0x ดงนน ผลเฉลยจะมเพยงผลเฉลยเดยว และเปนปญหาคาเรมตนแจมชด
4 Initial Valued Problems
แนวทางในการหาผลเฉลย
พจารณาปญหาคาเรมตน y,xfy , bxa , αay
ก าหนด x ทจดตางๆ ทตองการประมาณคา ใหเปน ,x,x,x 210 ให iy เปนคาประมาณของ ixy โดยท iy หาได
โดยระเบยบวธในการประมาณคาซงแบงไดเปน 2 แบบคอ
คาจรง
ระเบยบวธขนเดยว (Single step method)
เปนการหา 1iy โดยใชผลเฉลยทรคาแลวเพยง1จด คอ iy
สตรจะอยในรป h,y,xφhyy iii1i
ระเบยบวธหลายขน (Multi-step method)
เปนการหา 1iy โดยใชผลเฉลยทรคาแลวมากกวา 1 จด ระเบยบวธนมรปแบบของสตรเปน
m
1kkikik
m
0kkik1i h,y,xbhyay
]h,y,xb...)h,y,x(b[h]yayaya[ mimim1i1i1mim1i1i0 โดยท m10 a,,a,a , m10 b,,b,b เปนคาคงตว
5 Initial Valued Problems
ถา 0am หรอ 0bm ระเบยบวธจะม 1m ขน เพราะตองใชขอมล 1m จด (ซงคอ mi1ii y,...,y,y ) ถา 0b 1 จะสามารถหา 1iy จากคาทางดานขวาของสตรไดทนท ระเบยบวธนจะเรยกวา ระเบยบวธโดยชดแจง (explicit) ถา 0b 1 จะมตวไมทราบคา 1iy ปรากฏทงสองดานของสตร ตองท าการยายขางสมการกอนค านวณ ระเบยบวธนจะเรยกวา ระเบยบวธโดยปรยาย (implicit)
6 Initial Valued Problems
ระเบยบวธ Euler
เปนระเบยบวธขนเดยวในการหาตวประมาณของผลเฉลย เมอปญหาอยในรป
y,xfdx
dy , bxa , ay ----(*)
แบงชวง ]b,a[ ออกเปน N ชวงเทาๆกน ดงนนระยะหางระหวางจดคอ
N
abh
และให ax0 และ ihaxi ส าหรบ N,,2,1,0i สมมต xy เปนผลเฉลยของ (*) และมอนพนธอนดบหนงตอเนองบน b,a
กระจายอนกรม Taylor 2 พจนแรกรอบจด ix ของฟงกชน xy
i
2i1i
iii ξy2
xxxyxxxyxy
i2
i1iii1ii1i ξy
2
xxxyxxxyxy
ส าหรบทก 1N,,2,1,0i และบาง 1iii x,x
แทนคา i1i xxh จะไดวา i2
ii1i y2
hxyhxyxy
เนองจาก xy สอดคลองกบสมการเชงอนพนธ y,xfdx
dy
ดงนน i2
iii1i y2
hy,xhfxyxy
7 Initial Valued Problems
ระเบยบวธ Euler สรางตวประมาณ iy ของ ixy ( N,,2,1,0i ) โดยตดพจนอนดบสองซงเปนตวแทนของคาผดพลาดทงไป จะไดสตรการประมาณคาของ Euler คอ
αy0
iii1i y,xhfyy 1N,,2,1,0i
โดยมคาผดพลาดเฉพาะถน (Local error) เปน i2
ξy2
h
ส าหรบบาง 1iii x,xξ
ความหมายเชงเรขาคณตของระเบยบวธ Euler
จากสมมตฐานปญหานเปนปญหาแจมชดจะไดวา
iiiii xy,xfxyy,xf เมอ iy เปนคาประมาณของ ixy
นนคอ คาอนพนธของ y จะเทากบคาของฟงกชน f ทจด ix
y,xfy
αay
1y α
a 1x 2x
y,xfy ay
Slope
,afay
a 1x
1y
8 Initial Valued Problems
ตวอยาง (Sheet) ใชระเบยบวธ Euler ในการประมาณผลเฉลยของปญหาคาเรมตน 1xyy 2 , 2x0 , 5.00y และ 10N
วธท า ในทน 2b,0a,1xyy,xf 2 และ 2.0N
abh
ให 0ax0 และ hxx i1i เมอ 9,,2,1,0i
โดยระเบยบวธ Euler ให 5.0y0 และ
)1xy(hy)y,x(hfyy 2iiiiii1i 9,,2,1,0i
0i , )1xy(hyy 20001 8000.0105.02.05.0
1i , )1xy(hyy 21112 1520.1)1)2.0(8.0(2.08.0 2
2i )1xy(hyy 22223 5504.1)1)4.0(152.1(2.0152.1 2
ผลเฉลยทแทจรงส าหรบปญหาคาเรมตนนกคอ x2e5.01xxy
9 Initial Valued Problems
ตารางเปรยบเทยบระหวางคาประมาณและคาจรงเปนดงน
ix iy ixy ii yxy 0.0 0.5000000 0.5000000 0.0000000 0.2 0.8000000 0.8292986 0.0292986 0.4 1.1520000 1.2140877 0.0620877 0.6 1.5504000 1.6489406 0.0985406 0.8 1.9884800 2.1272295 0.1387495 1.0 2.4581760 2.6408591 0.1826831 1.2 2.9498112 3.1799415 0.2301303 1.4 3.4517734 3.7324000 0.2806266 1.6 3.9501281 4.2834838 0.3333557 1.8 4.4281538 4.8151763 0.3870255 2.0 4.8657845 5.3054720 0.4396874
10 Initial Valued Problems
ระเบยบวธ Euler สรางมาจากพหนาม Taylor ทมพจนคาผดพลาด 2h ดงนน คาผดพลาด ณ แตละขนตอนเรยกวา “คาผดพลาดเฉพาะถน” ซงแปรผนตาม 2h สวนคาผดพลาดโดยรวมของโจทยทงหมด จะเรยกวา “คาผดพลาดในวงกวาง” ซงจะสะสมมาจากคาผดพลาดเฉพาะถน ซงโดยปกตแลวจะเพมเรวมาก
คาขอบเขตของความผดพลาดจากระเบยบวธ Euler ให xy เปนผลเฉลยหนงเดยวของปญหาคาเรมตน
y,xfy , bxa , αay ให n10 y,,y,y เปนคาประมาณโดยระเบยบวธ Euler ถา f ตอเนอง b,ax และ ,y และ ถามคาคงตว L และ M ทท าให Ly,xf
y
และ Mxy
แลวทก N,,2,1,0i จะไดวา 1e
L2
hMyxy
axLii
i
11 Initial Valued Problems
ลกษณะส าคญของผลนคอ คาผดพลาดในวงกวางสมพนธเชงเสนกบ h ซงลดจากก าลงสองในกรณคาผดพลาดเฉพาะถน การลดทอนก าลงลง 1 น เปนตวแบบทวไปของเทคนคคาเรมตน แมจะมการลดทอนอนดบของคาผดพลาดในวงกวางจากสตร จะเหนวา คาผดพลาด เมอ ซงจ าเปนในการลเขา
ตวอยาง พจารณาปญหาคาเรมตนในตวอยางกอนหนา 1xyy 2 , 2x0 , 5.00 y จะเหนวา 1xyy,xf 2 1y,xf
y
,y และเราได 1L
เราทราบวาผลเฉลยทแทจรงคอ x2e5.01xxy
ดงนน xe2
12xy
2e2
1xy 2 2,0x
ใชอสมการนในคาขอบเขตของคาผดพลาดในระเบยบวธ Euler กบ 2.0h , 1L , 2e
2
1M 2 ไดคาขอบเขตความผดพลาดเปน
1e2e2
11.0yxy i
x2ii
เปนฟงกชนเพมหรอลด คาสมบรณดานใดมากกวา
12 Initial Valued Problems
ตารางตอไปน เปนการเปรยบเทยบคาผดพลาดแทจรงในตวอยาง กบคาขอบเขตของความผดพลาดทค านวณได
ix คาผดพลาดแทจรง คาขอบเขตของคาผดพลาด
0.2 0.02930 0.03752 0.4 0.06209 0.08334 0.6 0.09854 0.13931 0.8 0.13875 0.20767 1.0 0.18268 0.29117 1.2 0.23013 0.39315 1.4 0.28063 0.51771 1.6 0.3336 0.66985 1.8 0.38703 0.85568 2.0 0.43969 1.08264
คาผดพลาดในวงกวางของระเบยบวธ Euler จะมองขามคาผดพลาดจากการปดเศษไป เมอ h มขนาดเลกลง การค านวณกจะมากขน ท าใหขอบเขต
ของคาประมาณของคาผดพลาดหาไมได หรอหาไดยาก เมอ 0h แตขอบเขตลางของขนตอนมคานอยมากพอ ท าใหคาผดพลาดจากการปดเศษในการประมาณคาไมแปรเปลยนมากนก
13 Initial Valued Problems
ระเบยบวธ Taylor อนดบ n
เปนระเบยบวธขนเดยว ทปรบปรงการลเขาโดยกระจายพจนของอนกรมใหสงขน สมมต xy เปนผลเฉลยของปญหาคาเรมตน
y,xfy , bxa , αay ทมอนพนธถงอนดบท 1n กระจาย xy โดยพหนาม Taylor ท n รอบจด ix ได
i1n
1n
in
n
i
2
ii1i ξy!1n
hxy
!n
hxy
2
hxyhxyxy
ส าหรบบาง 1iii x,xξ
อนพนธอนดบตางๆเราหาไดจาก xy,xfxy , xy,xfxy , ..., xy,xfxy 1kk แทนคาในการกระจาย Taylor จะได
ii1n
n
ii
2
iii1i xy,xf!n
hxy,xf
2
hxy,xhfxyxy
iin
1n
ξy,ξf!1n
h
ระเบยบวธทสอดคลองกบสมการนหาไดโดยก าจดพจนเศษเหลอทม iξ ปรากฏอย ท าใหได
Error term
14 Initial Valued Problems
ระเบยบวธ Taylor อนดบ n
αy0
iin
i1i y,xhTyy 1N,,2,1,0i เมอ ii
1n1n
iiiiiin y,xf
!n
hy,xf
2
hy,xfy,xT
คาผดพลาดเฉพาะถนคอ
1n
i1n hξy
!1n
1
ส าหรบบาง
1iii x,xξ แมวาสตร nT จะหางาย แตใชยาก เนองจากเราจะตองหา
อนพนธของ f เทยบกบ x
dx
dyxy,xf
yxy,xf
xxy,xf
xy,xfy
xy,xfxy,xfx
อนพนธอนดบอนๆมความซบซอนมากขน เชน xy,xf เกยวของกบอนพนธยอยของทกพจนเทยบกบ x และ y
15 Initial Valued Problems
ตวอยาง (Sheet) จงใชระเบยบวธ Taylor อนดบ 2 และอนดบ 4 แกปญหาคาเรมตน
1xyy 2 , 2x0 , 5.00y
วธท า เนองจากตองการใชเทยเลอรอนดบ 4 ดงนนจงตองหาอนพนธของ f ถงอนดบ 3
จาก 1xyy,xf 2
x21xyx2)1xy(x2y1xydx
dy,xf 222
1x2xy2x2yx21xydx
dy,xf 22
1x2xy2x2y1x2xydx
dy,xf 22
จะได iiiiii2 y,xf
2
hy,xfy,xT
i2
ii2ii x21xy
2
h1xy i
2ii hx1xy
2
h1
ii
2
iiiiii3 y,xf
6
hy,xf
2
hy,xfy,xT
i2
ii
2
i2ii
2ii x21xy
6
hx21xy
2
h1xy
6
h
2
h1hx
3
h1xy
6
h
2
h1
2
i2ii
2
16 Initial Valued Problems
ii
3
ii
2
iiiiii4 y,xf
24
hy,xf
6
hy,xf
2
hy,xfy,xT
24
h
6
h
2
h1hx
12
h
3
h1xy
24
h
6
h
2
h1
32
i
22ii
32
สตรเทยเลอรอนดบ2 คอ
5.0y0
i
2iii1i hx1xy
2
h1hyy
สตรเทยเลอรอนดบ3 คอ
5.0y0
6
h
2
h1hx
3
h1xy
6
h
2
h1hyy
2
i2ii
2
i1i
สตรเทยเลอรอนดบ4 คอ
5.0y0
24
h
6
h
2
h1hx
12
h
3
h1xy
24
h
6
h
2
h1hyy
32
i
22ii
32
i1i
ส าหรบ 1N,,2,1,0i
17 Initial Valued Problems
สมมตวาให 2.0h , 10N
ดงนน i2.00hixx 0i ( 10,,3,2,1i )
จากระเบยบวธเทยเลอรอนดบสอง จะไดวา
ส าหรบ 0i ;
0
20001 hx1xy
2
h1hyy
83.00105.01.012.05.0 ส าหรบ 1i , 2.0x1
1
21112 hx1xy
2
h1hyy
2158.12.02.012.083.01.012.083.02
ท าเชนนไปเรอยๆจะไดคา 1043 y,...,y,y ตามตองการ
ในท านองเดยวกน ระเบยบวธเทยเลอรอนดบ 4 จะได
ส าหรบ 0i
24
h
6
h
2
h1hx
12
h
3
h1xy
24
h
6
h
2
h1hyy
32
0
2200
32
01
8293.0
24
2.0
6
2.0
2
2.0102.0
12
2.0
3
2.01
05.024
2.0
6
2.0
2
2.012.05.0
322
232
18 Initial Valued Problems
ส าหรบ 1i , 2.0x1
24
h
6
h
2
h1hx
12
h
3
h1xy
24
h
6
h
2
h1hyy
32
1
2211
32
12
21409102.1
24
2.0
6
2.0
2
2.012.02.0
12
2.0
3
2.01
2.08293.024
2.0
6
2.0
2
2.012.08293.0
322
232
ท าเชนนไปเรอยๆจะไดคา 1043 y,...,y,y ตามตองการ
สรปการหาผลเฉลยจากระเบยบวธเทยเลอรอนดบ 2 และอนดบ 4 พรอมคาผดพลาดไดดงตาราง
Taylor order 2 Error Taylor order 4 Error Exact
ix iy ii yxy iy ii yxy ixy
0.00 0.5000000 0.0000000 0.5000000 0.0000000 0.5000000 0.20 0.8300000 0.0007014 0.8293000 0.0000014 0.8292986 0.40 1.2158000 0.0017123 1.2140910 0.0000033 1.2140877 0.60 1.6520760 0.0031354 1.6489468 0.0000062 1.6489406 0.80 2.1323327 0.0051032 2.1272396 0.0000101 2.1272295 1.00 2.6486459 0.0077868 2.6408744 0.0000153 2.6408591 1.20 3.1913480 0.0114065 3.1799640 0.0000225 3.1799415 1.40 3.7486446 0.0162446 3.7324321 0.0000321 3.7324000 1.60 4.3061464 0.0226626 4.2835285 0.0000447 4.2834838 1.80 4.8462986 0.0311223 4.8152377 0.0000614 4.8151763 2.00 5.3476843 0.0422123 5.3055554 0.0000834 5.3054720
19 Initial Valued Problems
ตวอยาง ก าหนดปญหาคาเรมตน
2
2y
x
y
x
1y , 2x1 , 11y
จงหาสตรในการประมาณคาดวยระเบยบวธ Euler และระเบยบวธเทยเลอรอนดบ 2 วธท า ในทน 2
2y
x
y
x
1)y,x(f ดงนน y2
x
1fy
จะไดวา f และ yf เปนฟงกชนตอเนองเมอ 2x1 ดงนนปญหาเปนปญหาแจมชด (Well-posed) สตร Euler คอ
1)x(yy 00
2i
i
i2i
iiii1i yx
y
x
1hy)y,x(hfyy
ตองการหาสตรเทยเลอรอนดบ 2 ดงนนตองหาอนพนธอนดบ1 ของ )y,x(f เทยบกบตวแปร x
32
3
2
22
2
23
2323
y2x
y3
x
3
yx
y
x
1y2
x
yy
x
y
x
1
x
1
x
2
yy2x
y
x
y
x
2yy2
x
yyx
x
2)y,x(f
20 Initial Valued Problems
ดงนน
3
2
3
2
2
)2( y2x
y3
x
3hy
x
y
x
1)y,x(fh)y,x(f)y,x(T
จะไดสตรเทเลอรอนดบ2 คอ
1)x(yy 00
)y,x(hTyy ii
)2(i1i
3
ii
2i
3i
2i
i
i2i
i y2x
y3
x
3hy
x
y
x
1hy
สงเกตวาถาตองการหาสตรเทยเลอรอนดบสงจะตองหาอนพนธ )y,x(f ซงมความยงยากมากจงเปนขอเสยอยางหนงของระเบยบวธเทยเลอร