5 ปรพนธและการประยกต สตรพนฐานในการหาปรพนธ

ให u เปนฟงกชนของ x และ a , C เปนคาคงตวใดๆ

1. Cudu

2. Cr

uduu

rr

1

1

เมอ 1r

3. Cudu

u ln

1

4. Cedue uu

5. Ca

adua

uu ln

เมอ 0a

6. C

a

u

ua

du

arcsin

22

7. C

a

u

aua

du

arctan1

22

8. Cauuua

du

22

22ln

9. Cauuau

du

22

22ln

10. C

ua

ua

aua

du

ln2

122

11. Cau

au

aau

du

ln2

122

12. Cu

uaa

auau

du

22

22ln

1

13. Cu

uaa

auau

du

22

22ln

1

บทนยาม 5.1 ฟงกชน F จะถกเรยกวาเปนปฏยานพนธหรอปรพนธ (Integration or Antiderivative) ของฟงกชน f ถา xfxF บนบางชวงเปด ba,

ส าหรบทก CxF เมอ C เปนคาคงตวใดๆ xfCxFdx

d ดงนนเราจะใชสญลกษณ

ของปรพนธของ xf เปน

CxFdxxf

เราอาจกลาววา Integration เปน Inverse Operator ของ Derivative

สญลกษณ เรยกวา Integral sign และเรยก xf วา Integrand

สมบตพนฐานในการหาปรพนธ

ให f และ g เปนฟงกชนของ x และ a เปนคาคงตวใดๆ

dxxfadxxfa )()(

dxxgdxxfdxxgxf )()()]()([

dxxgdxxfdxxgxf )()()]()([

ตวอยาง 5.1 จงหาปรพนธของ

1. dtt

t

21

2. dxex x3

3. dxxxx 132

5.1 เทคนคการหาปรพนธ

5.1.1 การหาปรพนธโดยการแทนคา (Integration by Substitution)

ในการหาปรพนธ dxxh )( ทไมอาจหาไดโดยตรงจากตาราง จะตองจดรปใหมเปน

dxxgxgfdxxh )())(()(

แลวสามารถใชเทคนคการแทนคาโดยเลอก )(xgu จะได dxxgdu )(

แทนคาจะได duufdxxh )()(

ถา CuFduuf )()( แลว

CxgFCuFduufdxxh ))(()()()(

ตวอยาง 5.2 จงหาคาของ 1. dxxx 1

2. dxxx

2

3

4

3. dxxx 32

251

4. dxx

x

22ln

5. dxe

e

x

x

4

2

91

6. dxxx

54

1

2

7. dxxx

x

54

1

2

8.

9.

10.

5.1.2 การหาปรพนธทละสวน (Integration by Parts)

จาก v duudvuvd )(

จะได v duuvdu dv )(

ดงนน duvuvduvuvddvu )(

จะไดสตรการหาปรพนธทละสวน คอ

duvuvdvu

หลกในการเลอก u และ dv

1. u ควรจะหาอนพนธไดงาย

2. ถา dxxgdv แลวปรพนธ dxxg จะตองหาคาไดงาย

3. vdu จะตองไมยงยากกวา udv

ตวอยาง 5.3 จงหาคาของ 1. dxex x

2

2.

3. dxxx mn

ln

5.1.3 การหาปรพนธโดยการแยกเปนเศษสวนยอย

ทฤษฎบท 5.1 Linear Factor Rule ส าหรบแตละแฟคเตอรทอยในรป m

bax เศษสวนยอยจะประกอบดวย m สวน

คอ m

m

bax

A

bax

A

bax

A

2

21

เมอ mAAA ,,, 21 เปนคาคงททตองค านวณหา

ทฤษฎบท 5.2 Quadratic Factor Rule ส าหรบแตละแฟคเตอรทอยในรป mcbxax 2 เศษสวนยอยจะประกอบดวย m สวน คอ

m

mm

cbxax

BxA

cbxax

BxA

cbxax

BxA

222

22

2

11

เมอ mAAA ,,, 21 และ mBBB ,,, 21 เปนคาคงททตองค านวณหา

ตวอยาง 5.4 จงหาคาของ

1.

dx

x

x

2

22

2.

dx

xx

xx2

2

31

16

3.

dx

xx

x

114

122

2

4.

dx

xx

xxx

31

9322

23

5.

dx

xx

xxxx

106

1062

234

5.2 ปรพนธจ ากดเขต พนทปดลอมดวยเสนโคง

5.2.1 ปรพนธจ ากดเขต

ทฤษฎบท 5.3 (The First Fundamental of Calculus) ให เปนฟงกชนตอเนองเหนอชวง (ทบรรจจดมากกวา 1 จด) และให เปนจดใดๆ ใน ก าหนด โดย

ส าหรบทก ใน

แลว สามารถหาออนพนธไดเหนอชวง และ ส าหรบทก ใน

ทฤษฎบท 5.4 ถา f ตอเนองบน ba, และถา F เปน Antiderivative ของ f บน ba, แลว

aFbFdxxfb

a

สมบตบางประการของปรพนธจ ากดเขต

ให f และ g เปนฟงกชนตอเนองบนชวง ba,

1. b

a

b

adxxfkdxxkf )()( เมอ k เปนคาคงตวใดๆ

2. b

a

b

a

a

bdxxgdxxfdxxgxf )()())()((

3. 0)( a

adxxf

4. a

b

b

adxxfdxxf )()(

5. b

c

c

a

b

adxxfdxxfdxxf )()()( เมอ bca

6.

ตวอยาง 5.5 จงหาคาของ

1. 2

1dxx

2.

3.

2

2

3

1

9dx

x

x

ตวอยาง 5.6 จงหาคาของ 4

0dxxf เมอ

1,1

10,2 xx

xxxf

5.2.2 การหาปรพนธเชงตวเลข

5.2.2.1 ผลบวกรมนน

เมอพจารณาแทงสเหลยมแตละแทงและใชความสงเปนขอบลางของชวงแตละชวง เราจะไดผลบวกรมนน ในกรณใช

เปน

ถาใชความสงเปนขอบบนของชวงแตละชวง นนคอ

เราจะไดผลบวกรมนนในกรณนเปน

x

y

o 0xa

2x

1jx

1jx

bxn

xfy

jx

1x

ชวงของ

x

y

o 0xa

2x

1jx

1jx

bxn

xfy

jx

1x

ชวงของ

ถาใชความสงเปนจดกงกลางของชวงแตละชวง นนคอ เราจะไดผลบวกรมนนในกรณน

เปน

5.2.2.2 กฎสเหลยมคางหม

ให baCf ,2 , abn

h 1 , jhax j ( nj ,,2,1,0 ) กฎสเหลยมคางหมประกอบ

ส าหรบ n ชวงยอย พรอมดวยพจนของความคลาดเคลอน คอ

fh

abxfbfaf

hdxxf

n

j

j

b

a

2

1

112

22

ส าหรบ ba,

หรอคาประมาณของอนทกรล

1

1

22

n

j

j

b

axfbfaf

hdxxf

x

y

o 0xa 2x

1jx 1jx bxn

xfy

jx 1x

5.2.2.3 กฎซมปสน

การหาสตรอนทเกรตทมรากฐานบนการประมาณฟงกชน f โดยพหนามก าลงสอง ทมคาเหมอน

f ณ จด ax 0 , 2

1

bax

, bx 2 มสตรการประมาณคาอนทกรลเชงตวเลขเปน

bf

bafaf

abdxxf

b

a 24

6

ถา baCf ,4 แลวจะม ba, ทวากฎ Simpson ประกอบส าหรบ n ชวงยอยของ ba, พรอมดวยคาผดพลาดคอ

44

12

1

2

1

122180

423

fhab

bfxfxfafh

dxxfn

j

n

j

jj

b

a

ส าหรบ ba,

ตวอยาง 5.7 พจารณาการใชกฎ Simpson ในการประมาณคา

0

sin xdx โดยใหมคาผดพลาดไมเกน

0.00002 จากสตร เราได

sin180

sinsin4sin20sin3

sin412

1

2

1

1220

hxx

hxdx

n

j

n

j

jj

เราตองการใหคาผดพลาดของการประมาณไมเกน 0.00002 นนคอ

00002.0180180

sin180 4

544

n

hh

ใชในการหา n และ h ซงให 18n เพอเปนการตรวจสอบ แทนคา 20n , 20

h

x

y

o 0xa 2x

1jx 1jx bxn

xfy

จากกฎ Simpson

000006.2

20

12sin4

10sin2

60sin

9

1

10

10

j j

jjxdx

เพอใหไดความแมนย าระดบเดยวกนโดยใชกฎสเหลยมคางหม เราตองการ

00002.01212

sin12 2

322

n

hh

ซงชวา 360n

ตวอยาง 5.8 จงประมาณคาของ

โดยใช โดยวธ

ก. ผลบวกรมนน (ใชจดกงกลาง) ข. กฎสเหลยมคางหม ค. กฎของซมปสน ง. ทฤษฎหลกมล

ตวอยาง 5.9 ก าหนดให และ

และ

ก. จงประมาณคาของ

ดวยกฎสเหลยมคางหม พรอมดวย

ข. จงประมาณคาของ

ดวยกฎซมปสน พรอมดวย

ค. จงประมาณคาของ

ดวยกฎซมปสน พรอมดวย

ง. จงประมาณคาของ

ดวยทฤษฎหลกมล

จ. จงหาคาคลาดเคลอนทมากทสดจากการประมาณคา

ดวยกฎสเหลยมคางหม

ในขอ ก. ฉ. จงหาคาคลาดเคลอนทมากทสดจากการประมาณคา

ดวยกฎซมปสนในขอ ข.

ช. จงหาคาคลาดเคลอนทมากทสดจากการประมาณคา

ดวยกฎซมปสนในขอ ค.

ส าหรบ ก. สตรของกฎสเหลยมคางหมคอ

1

1

22

n

j

j

b

axfbfaf

hdxxf เมอ

เราไดวา

เราจะได และ นนคอ

ตามล าดบ ดงนน

Simpson n4 1.000169

Trapezoidal 1.023064

Simpson n2 1.002621

ส าหรบ ข. สตรกฎชมปสนคอ

12

1

2

1

122 423

n

j

n

j

jj

b

abfxfxfaf

hdxxf

เนองจาก เราได

เชนเดยวกบขอ ก. และ และ

นนคอ ตามล าดบ

ในการค านวณคาคลาดเคลอนทมากทสดของคาประมาณ ในกรณขอ ช. จากกฎซมปสนพรอมดวย

คาความคลาดเคลอน เราไดพจนของความคลาดเคลอนเปน 44

180fh

ab ซงเราจะตองหา

อนพนธอนดบ 4 ของฟงกชน ซงโจทยก าหนด เราได

, , ,

ในขอ ช. ซงพจารณาซมปสนโดยใช ดงนน

เราพจารณาความคลาดเคลอนโดยไมสนใจเครองหมาย นนคอ

ความคลาดเคลอน

เมอ

เนองจาก เปนฟงกชนเพมบนชวง ดงนน จะมคาสงสดเมอ

นนคอ

ขอบเขตของความคลาดเคลอนของการประมาณ คอ 0.004719

5.2.3 การประยกตของปรพนธจ ากดเขตเพอค านวณหาพนทระหวางเสนโคง

อนทกรลจ ากดเขตของ f บนชวง ba, คอพนทใตกราฟของ f ตงแต ax ถง bx ท านองเดยวกน ส าหรบฟงกชน g บนชวง ba, เรากจะหาพนทใตกราฟของ g ตงแต ax ถง bx ได ซงถาตองการหาพนทปดลอมจากกราฟทงสองบนชวง ba, และถา baxxgxf ,, เราจะไดวา

พนทปดลอมของกราฟ f และ g บนชวง ba, เทากบ

b

adxxgxf

ในบางครงกราฟ g อาจจะอยใตแกน ท าใหบางชวงของการอนทกรลไดคาลบ แตส าหรบการหาพ.ท.ทระหวางกราฟ f และ g นน ไมมผลตอการค านวณพนทปดลอม เนองจากเราสามารถขยบกราฟทงคขนเหนอแกน x ได โดยการบวกดวยคาคงท m

ซงท าใหเราค านวนพ.ท.ปดลอมไดโดย

b

a

b

adxxgxfdxmxgmxf

ตวอยาง 5.10 จงหาพนทปดลอมของกราฟ 2xy กบ 6 xy

ตวอยาง 5.11 จงหาพนทปดลอมของกราฟ xy กบ 22 yx เหนอแกน x

5.3 ปรพนธไมตรงแบบ

)()()()( aFbFxFdxxfb

a

b

a เมอ )()( xfxF โดยท

อาจเกดปญหากรณ

1. ลมตของการอนทเกรตเปนอนนต คอ a หรอ b หรอทงสองอยาง ซงเปนผลใหหาคา F(b) หรอ F(a) ไมได หรอถาหาไดกอาจไมถกตอง

2. หาคาไมไดหรอไมตอเนองทจดบางจดบนชวงปด ba, ซงเรยกจดท หาคา

ไมไดนวา จดเอกฐาน (Singular point) เชน 4

)(2

2

x

xxf จดเอกฐานคอ

ปรพนธไมตรงแบบ แบงเปน 3 แบบ คอ

1. ปรพนธไมตรงแบบทมลมตบนและ/หรอลมตลางในการหาปรพนธเปนอนนต คอ a หรอ b

2. ปรพนธไมตรงแบบซงฟงกชน f มจดทไมตอเนองแบบอนนตท c โดยท c มจ านวนจ ากด และ

3. ปรพนธไมตรงแบบทเปนทงแบบท 1 และ 2

หมายเหต ฟงกชน f ไมตอเนองแบบอนนต ถา

xfcx

lim (หรอ )หรอ

xfcx

lim (หรอ ) นนคอ cx เปนเสนก ากบแนวตง

บทนยาม 5.2 (การหาปรพนธไมตรงแบบทมลมตในการหาปรพนธเปนอนนต) ก. เปนฟงกชนตอเนองบนชวง b, แลว

b

tt

b

dxxfdxxf lim

ข. ถา f เปนฟงกชนตอเนองบนชวง ,a แลว

s

asadxxfdxxf lim

ค. ถา f เปนฟงกชนตอเนองบนชวง , แลว

c

c

dxxfdxxfdxxf

s

cs

c

ttdxxfdxxf limlim

โดยท ,c สองกรณแรกจะกลาววาปรพนธไมตรงแบบลเขา ถาลมตทางขวามอหาคาได และถาลมตทางขวามอหาคาไมได จะกลาววาปรพนธไมตรงแบบลออก สวนกรณทสามจะกลาววาปรพนธไมตรงแบบลเขา ถาลมตทางขวามอหาคาไดทงคและจะกลาววาปรพนธไมตรงแบบลออก ถาลมตทางขวามอตวใดตวหนงหาคาไมได

บทนยาม 5.3 (ปรพนธไมตรงแบบซงฟงกชน f มจดทไมตอเนองแบบอนนต) 1. ถา f ตอเนองทกจดบน ba, และ

xf

atlim (หรอ ) แลว

b

tat

b

adxxfdxxf lim

2. ถา f ตอเนองบนชวง ba, และ

xfbt

lim (หรอ ) แลว

t

abt

b

adxxfdxxf lim)(

3. ถา f ตอเนองทกจดบนชวง ba, แตไมตอเนองแบบอนนตท bacx , จดเดยวแลว

b

scs

t

act

b

adxxfdxxfdxxf limlim

สองกรณแรกจะกลาววาปรพนธไมตรงแบบลเขา ถาลมตทางขวามอหาคาได แตถาลมตทางขวามอหาคาไมได จะกลาววาปรพนธไมตรงแบบลออก สวนกรณทสามจะกลาววาปรพนธไมตรงแบบลเขา ถาลมตทางขวามอหาคาไดทงคและจะกลาววาปรพนธไมตรงแบบลออก ถาลมตทางขวามอตวใดตวหนงหาคาไมได

ตวอยาง 5.12 จงหาคาของ

1.

2.

ตวอยาง 5.13 จงหาคาของ

1.

2.

3.

4.

5.4 บทประยกตอนพนธและปรพนธทางการเงน

5.4.1 การวเคราะหสวนเพม (Marginal Analysis)

ในทางเศรษฐศาสตร สงทเปนทสนใจคอ การเปลยนแปลงของตวแปรตน เชน สนคาคงคลง ผลผลต อปทาน การโฆษณา และราคา ซงมผลกระทบกบตวแปรอน เชน ก าไร รายได อปสงค เงนเฟอ และการจางงาน ปญหาเหลานเปนเรองของการศกษาโดยใชการวเคราะหสวนเพม (Marginal Analysis) ค าวา “Marginal” ในทางเศรษฐศาสตร กคอ อตราการเปลยนแปลง หรอ อนพนธ นนเอง

ให แทน ตนทนสทธ (TC) ในการผลตสนคา หนวย ทผลตในชวงเวลาหนง

แทน รายไดสทธ (TR) ในการขายสนคา หนวย ทผลตในชวงเวลาหนง

แทน ก าไรสทธ (TP) จากการขายสนคา หนวย ทผลตในชวงเวลาหนง

โดยท

อนพนธ และ จะถกเรยกวา ตนทนหนวยสดทาย หรอตนทนสวนเพม (Marginal Cost), รายรบหนวยสดทาย หรอรายรบสวนเพม (Marginal Revenue), ก าไรหนวยสดทาย หรอก าไรสวนเพม (Marginal Profit) ตามล าดบ ซงคาของอนพนธ และ จะแทนอตราการเปลยนแปลงของก าไร รายได และตนทน ในขณะหนง

ในทางปฏบต มกถกใชในการอธบายตนทนของการผลตสนคาชนท แมวาคาทไดจะไมแมนตรง แตกเปนการประมาณทด การอธบายนใชเมอจ านวน มคามากๆ ดงนน สามารถพจารณาเทยบกบการหาคาลมตของ

ซง

ดงนน คา หมายถง ตนทนหนวยสดทาย มคาประมาณ ตนทนจรงของการผลตสนคาชนตอไป ซงเปน ตนทนโดยประมาณของการผลตสนคาชนท ท านองเดยวกน มกถกใชในการอธบายรายไดจากการขายสนคาชนท และ เปนก าไรโดยประมาณจากการผลตและขายสนคาชนท

ปกตแลว ตนทนการผลตจะเทากบ โดยท แทน คาใชจายในการด าเนนการ (Overhead) และ แทนฟงกชนตนทนการผลตสนคา (Manufacturing Cost)

คาใชจายในการด าเนนการ (Overhead) จะรวมถง ตนทนคงท เชน คาเชา และคาประกน ซงไมขนกบจ านวนการผลตสนคา ( ) สวน จะรวมถงคาวสด คาแรง ในการผลตสนคาแตละชน

Maximum Profit จะเกดขนเมอ Marginal Cost = Marginal Revenue

ตวอยาง 5.14 โรงงานผลตสไดค านวณหาตนทน (หนวยเปนดอลลาร) ของการผลตสจ านวน แกลลอนตอวน ไดเปน

1. จงหาตนทนหนวยสดทาย เมอมการผลตสจ านวน 500 แกลลอนตอวน

ตนทนหนวยสดทาย ดงนน USD

2. จงใชการวเคระหตนทนสวนเพมประมาณตนทนของการผลตสแกลลอนท 501

เนองจาก ดงนนตนทนการผลตสแกลลอนท 501 เทากบ 2 USD 3. จงหาตนทนทแทจรงของการผลตสแกลลอนท 501

USD

USD

ดงนน ตนทนทแทจรงของการผลตสแกลลอนท 501 คอ USD

ตวอยาง 5.15 บรษทผลตครมถนอมผวยหอหนงจ าหนายครมทเขาผลตในราคาขวดละ 200 บาท ถาตนทนในการผลตครม ขวดคอ และถาบรษทนมขดจ ากดในการผลตอยท 30,000 ชนตอชวงเวลาหนง บรษทจะตองผลตและจ าหนายครมถนอมผวจ านวนเทาไรจงจะไดก าไรสงสด

หาจดวกฤต โดยก าหนดให นนคอ

หรอ เราได

ซงบรษทมก าลงในการผลตในชวง เมอตรวจสอบคาทจดวกฤตและคาขอบของชวง จะไดผลดงตาราง

0 20,000 30,000

-500,000 700,000 400,000

ตวอยาง 5.16 ฝายวจยตลาดไดท าการวจยตลาดของเครองเลน MP3 และเสนอสมการราคาอปสงคเปน หรอเขยนในตวแปร ไดเปน

เมอ เปนจ านวนสนคาทผซอตองการซอทราคา ยโรตอชน ฝายการเงนไดค านวณตนทนการผลตเครองเลน MP3 ซงแทนดวยสมการ

เมอ คาใชจายคงทในการเรมผลตเปน 7,000 ยโร คาวสดและคาแรงมตนทน 2 ยโรตอชน

1. จงหาโดเมนของฟงกชนทนยามราคาอปสงค

2. จงหาฟงกชนตนทนหนวยสดทาย (Marginal Cost function) และจงอธบายผล

3. จงหาฟงกชนรายไดในตวแปรตน และหาโดเมนของฟงกชนรายได 4. จงหารายไดหนวยสดทายท และ จงอธบายผล

5. จงวาดรปกราฟตนทนและรายไดและหาจดตดของกราฟ และอธบายผล

6. จงหาฟงกชนก าไรและโดเมนของฟงกชน

7. จงหาก าไรหนวยสดทายท และ จงอธบายผล

1. เนองจาก

นนคอ หรอ

ดงนนโดเมนของราคาอปสงคคอ

2. ตนทนหนวยสดทายเทากบ เปนคาคงท นนหมายความวา การผลตเครองเลน MP3

เพมจะมคาใชจายคงท ท 2 ยโร ตอชน

3. รายได ทบรษทผผลตจะไดรบ ในการขายผลตภณฑจ านวน ชน ในราคา ยโร คอ

ซงราคาถกก าหนดโดยราคาอปสงค ดงนนฟงกชนรายไดจะเปน

และเนองจากโดเมนของฟงกชนราคาอปสงคคอ ดงนนโดเมนของฟงกชนรายไดเทากบ

4. รายไดหนวยสดทาย คอ

ดงนนเมอผลตสนคาจ านวน และ จะได และ

นนหมายความวา ทการผลต และ ชน การเปลยนแปลงรายไดตอการเปลยนแปลงหนวยสนคาในการผลตคอ 6 ยโร 0 ยโรและ -4 ยโร ตามล าดบ นนคอ ท 2,000 ชน รายไดจะเพมขนเมอมการผลตเพมขน ท 5,000 ชน รายไดจะไมเปลยนแปลงเมอการผลตเพม และท 7,000 ชน รายไดจะลดลงเมอมการผลตเพมขน

5. จดตดของกราฟรายไดและกราฟตนทนคอ Break-Even Points หรอ จดคมทน ส าหรบฟงกชนรายไดและฟงกชนตนทนในตวอยางนจะไดวา

และ

ดงนนทจดคมทน และ เปนจดคมทน จากรปกราฟจะเหนวา ระหวาง 0 ถง 1000 คาใชจายส าหรบตนทนจะสงกวารายได เชนเดยวกบชวงทมการผลต-ขายมากกวา 7000 และชวงทมรายไดมากกวาตนทนคอ การผลตระหวาง 1000 กบ 7000 ชน

6. ฟงกชนก าไร คอ

โดเมนของฟงกชนตนทนคอ และโดเมนของฟงกชนรายไดคอ ดงนนโดเมนของฟงกชนก าไรคอ จากรปกราฟ จะสงเกตไดวา จดทเปนจดคมทนในกราฟกอนหนา กคอจดตดแกน ของกราฟก าไร นนคอ เมอรายไดสงกวาตนทน กราฟก าไรกจะเปนบวก และเมอรายไดนอยกวาตนทน กราฟก าไรจะมคาเปนลบนนเอง

7. ก าไรหนวยสดทาย คอ

ส าหรบการผลตท 1,000 ชน 4,000 ชน และ 6,000 ชน เราได และ

นนหมายความวา การผลตท 1,000 ชน 4,000 ชน และ 6,000 ชน มการเปลยนแปลงก าไรตอหนวยเทยบกบการเปลยนแปลงจ านวนการผลตอยท 6 ยโร 0 ยโร และ -4 ยโร ตามล าดบ นนคอ ท 1,000 ชน ก าไรจะเพมขนเมอมการผลตเพมขน ท 4,000 ชน ก าไรจะไมเปลยนแปลงเมอการผลตเพม และท 7,000 ชน ก าไรจะลดลงเมอมการผลตเพมขน

5.4.2 ตนทนเฉลยสวนเพม รายไดเฉลยสวนเพม และก าไรเฉลยสวนเพม (Marginal Average Cost, Revenue and Profit)

Marginal Average Cost, Revenue and Profit ถาให คอจ านวนหนวยของสนคาทผลตในชวงเวลาหนง

ตนทนตอหนวย ตนทนเฉลย Average Cost (AC)

ตนทนเฉลยหนวยสดทาย Marginal Average Cost (MAC)

รายไดตอหนวย รายไดเฉลย Average Revenue (AR)

รายไดเฉลยหนวยสดทาย Marginal Average Revenue (MAR)

ก าไรตอหนวย ก าไรเฉลย Average Profit (AP)

ก าไรเฉลยหนวยสดทาย Marginal Average Profit (MAP)

ตวอยาง 5.17 โรงงานผลตดอกสวานทใชในอตสาหกรรมปโตรเลยม มตนทนการผลตดอกสวานตอวนอยท ดอลลาร ก. จงหา และ

ข. จงหา และ และจงอธบายผล

ค. จงใชผลในขอ ข. ประมาณคาตนทนเฉลยตอการผลตดอกสวาน ทการผลตระดบ 11 ดอกตอวน

ก.

(AC function)

(MAC function)

ข.

ดอลลาร

ดอลลาร

ทการผลตดอกสวาน 10 ดอกตอวน คาเฉลยของตนทนการผลตตอชนอยท 124 ดอลลาร และตนทนนจะลดลงในอตรา 10.10 ดอลลารเมอมการผลตเพมขนแตละชน

ค. ถาการผลตเพมขน 1 ชน คาเฉลยของตนทนจะลดลง 10.10 ดอลลาร ดงนน เมอมการผลตชนท 11 กจะท าใหคาเฉลยตอชนของดอกสวานเปน ดอลลาร

ลองเปรยบเทยบ 2 ตวอยางตอไปน

ตวอยาง 5.18 บรษทผลตระบบเกยรรถยนต มคาใชจายในการผลตระบบเกยรตอสปดาหเปน จงหา

ก. ฟงกชนตนทนหนวยสดทาย

ข. จงหา และอธบายผลทได

ค. จงหาราคาทแทจรงในการผลตระบบเกยรชนท 201 จงอธบายผลเทยบกบผลทไดในขอ ข.

ก. ข. ในการผลตระบบเกยรทระดบ 200 ตนทนรวมจะเพมขนในอตรา 300

ดอลลารตอชน ดงนน คาประมาณของการผลตระบบเกยรชนท 201 คอ 300 ดอลลาร

ค. ซงจะเหนวา ตนทนหนวยสดทายในขอ ข. จะใหคาประมาณทใกลเคยงกบตนทนจรงในการผลตระบบเกยรชนท 201

ตวอยาง 5.19 จงพจารณาฟงกชนตนทนสทธของการผลตเครองเลน MP3 ในตวอยาง 5.16

ก. จงหา และ

ข. จงหา และ และอธบายผลทได

ค. จงใชผลในขอ ข. ประมาณคาตนทนเฉลยตอการผลตเครองเลน MP3 ทการผลตทระดบ 101 ชนตอวน

ก.

และ

ข. และ อธบายไดวา ทการผลตเครองเลน MP3 ในระดบ 100 ชน มตนทนเฉลยตอชนเทากบ 72 ดอลลาร และตนทนเฉลยนจะลดลงในอตรา 0.70 ดอลลารตอการผลตแตละชนตอไป

ค. มคาประมาณ ดอลลาร

5.4.3 การประยกตปรพนธในการวเคราะหสวนเพม (Application of Integral for Marginal Analysis)

ในหวขอนจะกลาวถงบทประยกตปรพนธทจะเนนดานการวเคราะหสวนเพม ทงรายไดสวนเพมและตนทนสวนเพม ถารายได(หรอตนทน)สวนเพมนยามไดในรปของฟงกชน เรากจะสามารถประยกตใชการหาคาปรพนธเพอหาฟงกชนรายได(หรอตนทน)ไดจาก

และ

เมอคาคงตว หมายถงสวนทส าคญของบทประยกตและมคาเทากบคาเฉพาะซงเปนไปตามสถานการณ

ตวอยาง 5.20 ในการทดลองเทคนคการผลต โรงงานพบวาตนทนสวนเพมของการผลตเทากบ เมอ เปนจ านวนหนวยทผลต และ เปนตนทนสวนเพมมหนวยเปนบาท ถาการผลตนมคาใชจายเรมตน(ตนทนคงท) เทากบ 500 บาท จงหาฟงกชนตนทน

การผลตนมคาใชจายเรมตน(ตนทนคงท) เทากบ 100 บาท นนแสดงวา เมอเรมตนผลตชนแรก จะมตนทนเกดขน 100 บาท นนคอ

นนคอ

ท าใหเราไดฟงกชนตนทนเปน

ตวอยาง 5.21 จากตวอยางกอน สมมตวาโรงงานขายสนคาไปในราคา 200 บาทตอชน

ก. จงหาฟงกชนตนทน ข. จงหาฟงกชนก าไร ค. จงหาจ านวนการขายทจะท าใหไดก าไรสงสด ง. จงหาก าไรสงสด

ก. ฟงกชนตนทน

ข. ฟงกชนก าไร

ค. ก าไรสงสดจะเกดขนเมอ นนคอ

จะตองขายใหได 75 ชน จงจะมก าไรสงสด

ง. ก าไรสงสดเทากบ บาท

ตวอยาง 5.22 ตนทนสวนเพมส าหรบการผลตสนคา หนวย คอ บาท จงหาตนทนทเพมขนในการผลตสนคาจากชนท 90 ถงชนท 100

ดงนน การผลตสนคา 90 ชนไป 100 ชน จะมตนทนทเพมขน 96,000 บาท

สรป

หมายถง ตนทนทเพมขนจากการผลตสนคาชนท ไปถงชนท

หมายถง รายไดทเพมขนจากการขายสนคาชนท ไปถงชนท

ถาเราทราบอตราการขายของสนคนในรปของฟงกชน เราสามารถทจะค านวณจ านวนสนคาทขายไดภายในชวงเวลาทงหมดไดโดย

จ านวนการขายสนคาเหนอชวงเวลา เทากบ

เชน เมออตราการขายสนคานยามโดย เมอ คอจ านวนวนมราสนคานวางขายในตลาด เราสามารถค านวณปรมาณการขายของสนคาชนดน ส าหรบ 4 วนไดโดย

หนวย

ตวอยาง 5.23 บรษทมยอดขายในปจจบนเทากบ 1,000,000 บาทตอเดอน และมก าไรเฉลยท 10% ของการขาย จากประสบการณในอดตของบรษทพบวา ดวยกลยทธของการตลาดทตรงความตองการของลกคา จะเพมยอดขายได 2% ตอเดอน ตลอดชวงเวลาทมโปรโมชน (12 เดอน) บรษทตองการตดสนใจวาจะเรมโปรโมชนเชนเดมอกหรอไม ซงการท าโปรโมชนนจะมคาใชจายท 130,000 บาท ถาการตดสนใจนคอการเรมท าโปรโมชน นนหมายถงจะเพมยอดขายตลอดชวงเวลาได และมก าไรอยางนอย 13,000 บาท หรอคดเปน 10% ของเงนทลงทนในการท าโปรโมชนน จงชวยบรษทนตดสนใจ

วธท า

ถาไมมโปรโมชนใดๆ บรษทนจะขายสนคาได 12,000,000 บาทตอป

การเพมโปรโมชนจะท าใหยอดขายเพมขน 2% เขยนในรปฟงกชนการเตบโตไดเปน

เมอพจารณาตลอดทงป รายไดทจะไดจากการขายเมอมโปรโมชนจะเทากบ

ซงท าใหมผลตอการขายทเพมขน บาท

แตก าไรของบรษทคอ 10% ของยอดขาย นนคอ บรษทจะไดก าไรเพมขน

บาท ซงมากกวาเงนทตองใชในการลงทนท าโปรโมชนน (130,000 บาท)

ดงนนจากการเพมโปรโมชน บรษทจะไดก าไรเพมขน

บาท ดงนน บรษทจงควรจดใหมโปรโมชนน