บทที่ี5maths.sci.ku.ac.th/suriya/417268/Slide/ppSlide5.pdf13/02/55 1 1 บทท 5...

13/02/55

1

1

บทท บทท 5 5 บทท บทท 5 5

การประมาณคาในชวงและการประมาณพหนาม

Numerical Method

ลกษณะของปญหาลกษณะของปญหา

มขอมลจากการวด ซงแทนความสมพนธของตวแปรตนและตวแปรตาม

ป ใ

2

ตองการทราบคาตวแปรตาม ณ จดอนๆ ในชวงของการวด

ตองการทราบพฤตกรรมของฟงกชนทแทนขอมล

ทฤษฎบท การประมาณของ Weierstrass ถา มนยาม และความตอเนองบน , และให ε 0 แลวจะมพหนาม

ทนยามบน ทมคณสมบตวา| | สาหรบทก ทนยามบน , ทมคณสมบตวา| | สาหรบทก ,

13/02/55

2

Theory of Theory of WeierstrassWeierstrass3

y

O x 3 20 1

Overview

ให และให เปนพหนามเทยเลอร พจนแรก สาหรบการประมาณ

4

รอบจด 0 0

0 1

1 1

2 12

2

3 12

2

3

6

4 12

2

3

6

4

24

5 12

2

3

6

4

24

5

120

13/02/55

3

Overview5

1 2 3 4 5 -2.0 0.13533528 -1.00000000 1.00000000 -0.33333333 0.33333333 0.06666667 -1.5 0.22313016 -0.50000000 0.62500000 0.06250000 0.27343750 0.21015625 -1.0 0.36787944 0.00000000 0.50000000 0.33333333 0.37500000 0.36666667 -0.5 0.60653066 0.50000000 0.62500000 0.60416667 0.60677083 0.60651042 0.0 1.00000000 1.00000000 1.00000000 1.00000000 1.00000000 1.00000000 0 5 1 64872127 1 50000000 1 62500000 1 64583333 1 64843750 1 648697920.5 1.64872127 1.50000000 1.62500000 1.64583333 1.64843750 1.64869792 1.0 2.71828183 2.00000000 2.50000000 2.66666667 2.70833333 2.71666667 1.5 4.48168907 2.50000000 3.62500000 4.18750000 4.39843750 4.46171875 2.0 7.38905610 3.00000000 5.00000000 6.33333333 7.00000000 7.26666667

คาประมาณจะดขน เมอใชพหนามดกรสง

Overview

อนกรมเทยเลอรทกระจายรอบจด 0 1 ของ 1 เขยนไดในรปพหนามดกร

6

0

เปน ∑ 1!

10 ∑ 1 10

ในการประมาณคา 3 โดยพหนาม

ไดคาของ 3 เปนไปตามตาราง 0 1 2 3 4 5 6 7 3 1 -1 3 -5 11 -21 43 -85

13/02/55

4

Lagrange PolynomialLagrange Polynomial7

y

O

Lagrange PolynomialLagrange Polynomial

ถาทราบจด 2 จด 0, 0 และ 1, 1 จะสามารถรางพหนามดกรหนง

8

0 0 1 1 (สมการเสนตรง) ได ซงอาจเขยนในรปพหนามเปน

1

0 10

0

1 01

เมอ 0 เราได 1 00 1

0 10

0 0

1 01 1 · 0

0 · 1 0 ไ 1 1 1 0เมอ 1 เราได 1 1

1 1

0 10

1 0

1 01 0 · 0

1 · 1 1 ซงได 1 ทมคณสมบตตามตองการ

13/02/55

5


สาหรบพหนามเชงเสนทผานจด 0 , 0 และ 1, 1 นยามให

9

1,01

0 1 และ 1,1

0

1 0

ทงคเปนฟงกชนเชงเสน ซง

เมอ 0 , 1,0 0 1, 1,1 0 0 ทาให 1 0 0

เมอ 1 , 1,0 1 0, 1,1 1 1 ทาให 1 1 1

กรณทวไป จะสราง , สาหรบทก 0,1,2,… , โดยมคณสมบตวา

,0,1,


นยาม , โดย

10

,0 1 … 1 1 …

0 1 … 1 1 …

มกจะเขยน แทน , เมอทราบ ชดเจน

นยามพหนามอนดบ ของลากรองจ ในการประมาณคาในชวงโดย

0 0 หรอ ∑ 0

13/02/55

6

Example (Lagrange Polynomial)Example (Lagrange Polynomial)

สาหรบปญหาการประมาณคา 1 สมมตให 0 2, 1 2.5 และ 2 4 จะไดขอมล

11

ญ 0 1 2 ดงตาราง

2 2.5 4 0.5 0.4 0.25

จากขอมลขางตน ถาใชพหนามลากรองจประมาณคา 3 จะทาไดโดยหา 0, 1, 2 โดย

01 2 2.5 4

2 2 5 2 42 6.5 10 0

0 1 0 2 2 2.5 2 4

10 2

1 0 1 2

2 42.5 2 2.5 4

4 2 24 323

20 1

2 0 2 1

2 2.54 2 4 2.5

2 4.5 53

Example (Lagrange Polynomial)Example (Lagrange Polynomial)

ได 2 ∑20

12

0.5 2 6.5 10 0.4 4 2 24 323

0.252 4.5 5

3

0.05 2 0.425 1.15

ในขณะทคาจรง 3 13

0.333· คาประมาณทไดจาก 2 3 0.325

13/02/55

7


อนกรมเทยเลอรมพจนเศษเหลอในรป 1

01

เมอ อยระหวาง กบ

13

อนกรมเทยเลอรมพจนเศษเหลอในรป 1 !

เมอ อยระหวาง กบ 0

แตพหนามลากรองจอนดบ ใชขอมลจากจดทตางกน 0, 1, … ,

สตรคาผดพลาดของพหนามลากรองจ 1

1 ! 0 1 …

เมอ อยระหวาง กบ 0, 1, … ,

Divided DifferenceDivided Difference

นยามผลตางสบเนอง

14

ผลตางสบเนองทศนย ของฟงกชน เทยบกบ คอ ผลตางสบเนองทเหลอ จะถกนยามโดยความสมพนธเวยนบงเกด (recursive) ผลตางสบเนองทหนงของ เทยบกบ และ 1 คอ

1 , 11

ผลตางสบเนองท เทยบกบ , 1, … , คอ

, 1, …1, … , , … , 1

13/02/55

8


พหนามผลตางสบเนองของนวตน(ขางหนา) นยามโดย

15

0 0, 1 00, 1, 2 0 10, 1, … , 0 1 … 1

พหนามผลตางสบเนองของนวตน(ยอนหลง) นยามโดย

1,2, 1, 1

0, 1, … , 1 … 1


First divided difference Second divided difference

16


0 0

0, 11 0

1 0

1 1 0, 1, 21, 2 0, 1

2 0

1, 22 1

2 1

2 1

2 2 1, 2, 32, 3 1, 2

3 1

2, 33 2

3 2

3 3

13/02/55

9

Example (Newton Divided Difference)Example (Newton Divided Difference)

กาหนดคาของฟงกชน ณ หลายจด

17

1.0 1.3 1.6 1.9 2.2

0.7651977 0.6200860 0.4554022 0.2818186 0.1103623

จงใชการประมาณคาในชวงโดยผลตางสบเนองของนวตนประมาณคา 1.5


xi f(xi)=f[xi] 1st Divided Diff 2nd Divided Diff 3rd Divided Diff 4th Divided Diff

18

1.0 0.7651977-0.4837057

1.3 0.6200860 -0.1087339-0.5489460 0.0658784

1.6 0.4554022 -0.0494433 0.00182510 5786120 0 0680685-0.5786120 0.0680685

1.9 0.2818186 0.0118183-0.5715210

2.2 0.1103623

13/02/55

10


สมประสทธของผลตางสบเนอง(ขางหนา)ของ Newton ทใหพหนามในการประมาณคา

19

สมประสทธของผลตางสบเนอง(ขางหนา)ของ Newton ทใหพหนามในการประมาณคาในชวง จะอยในแนวทแยงมมบนของตาราง พหนามนคอ

4 0.7651977 0.483705 1 0.1087339 1 1.30.0658784 1 1.3 1.6

0.0018251 1 1.3 1.6 1.9

ซงให 4 1.5 0.511820

สมประสทธของผลตางสบเนอง(ยอนหลง)ของ Newton ทใหพหนามในการประมาณคาในชวง จะอยในแนวทแยงมมลางของตาราง

คาประมาณท x=1.8 มคาเทาไร

Forward Divided DifferenceForward Divided Difference

ให 0, 1, … , หางเทาๆกน 1 สาหรบทก 0,1,2,… , และ

20

0 จะได

สตรผลตางสบเนอง(ขางหนา)จะกลายเปน

0 0 0, 1 1 2

0, 1, 21 2 … 1 0, 1, … ,

1 2 … 1 0, 1, … ,0

หรอ 0 ∑ ! 0 , 1, … ,0

13/02/55

11

Forward Divided DifferenceForward Divided Difference

นยามสญกรณของผลตางสบเนองขางหนาของลาดบ 0∞ ใดๆ โดย

21

∆ 1 สาหรบทก 0

และผลตางสบเนองขางหนาอนดบสงๆ มนยามเปน

∆ ∆ ∆ 1 สาหรบทก 2

จะไดวา 1

0, 11 0

1 0

1∆ 0

0, 1, 212

∆ 1 ∆ 0 12 2 ∆

20

และไดพจนทวไป 0, 1, … ,1!

∆ 0

Forward Divided DifferenceForward Divided Difference22

จาก 0 ∑ ! 0, 1,… ,0

เมอแทน 0, 1, … ,1!∆ 0

ไดสตรผลตางสบเนองขางหนาของ Newton เขยนไดอกแบบหนงคอ

∆ 00

13/02/55

12

Backward Divided DifferenceBackward Divided Difference

สาหรบสตรผลตางสบเนอง(ยอนหลง)

23

1,2, 1, 1

0, 1, … , 1 … 1

หากใชระยะหางเทากน โดย , ทาใหได ทาใหได

1, 1 22, 1,

1 2 … 1 0, 1, … ,


ซงได 0 ∑ ! , … , , 1,0

24

0 10

ให 0∞ เปนลาดบใดๆ นยามสญกรณผลตางสบเนองยอนหลงโดย

1 สาหรบทก 1

ผลตางสบเนองยอนหลงอนดบสงๆ มนยามเปน

1 สาหรบทก 2

สงนชวา

1,1 , 2, 1,

12 2

2

และไดพจนทวไปเปน , … , 1,1!

k

13/02/55

13


จาก 0 ∑ ! 10

25

จาก 0 ∑ ! , … , , 1,0

และ , … , 1,1!

k

เมอ – 1 … 1!

1 1 … 1!

จะได “สตรผลตางสบเนองยอนหลงของ Newton” เปน

∑ 1 ∑ 10


กาหนดคาของฟงกชน ณ หลายจด

26

1.0 1.3 1.6 1.9 2.2

0.7651977 0.6200860 0.4554022 0.2818186 0.1103623

จงใชการประมาณคาในชวงโดยผลตางสบเนองของนวตนประมาณคา 1.1 และ 2.0

ในการประมาณคา 1.1 ใหเลอกใชขอมลทใกล 1.1 มากทสด นนคอ 0 1.0 ซงได

0.3, 13 หรอ 4 1.1 4 1.0 1

30.3

ในการประมาณคา 2.0 ใหเลอกใชขอมลทใกล 2.0 มากทสด นนคอ 4 2.2 ซงได

0.3, 23 หรอ 4 2.0 4 2.2 2

30.3

13/02/55

14



27

1.0 0.7651977-0.4837057

1.3 0.6200860 -0.1087339-0.5489460 0.0658784

1.6 0.4554022 -0.0494433 0.00182510 5786120 0 0680685-0.5786120 0.0680685

1.9 0.2818186 0.0118183-0.5715210

2.2 0.1103623


ทาใหได

28

ทาใหได

4 1.1 4 1.013 0.3

0.765197713 0.3 0.483705

13

23 0.3 2 0.10873393 3

13

23

53 0.3 3 0.0658784

13

23

53

83 0.3 4 0.0018251 0.7196480

13/02/55

15



29

1.0 0.7651977-0.4837057

1.3 0.6200860 -0.1087339-0.5489460 0.0658784

1.6 0.4554022 -0.0494433 0.00182510 5786120 0 0680685-0.5786120 0.0680685

1.9 0.2818186 0.0118183-0.5715210

2.2 0.1103623


ทาใหได

30

4 2.0 4 2.223 0.3

0.110362323 0.3 0.5715210

2313 0.3 2 0.0118183

2313

43 0.3 3 0.0680685

2 1 4 72313

43

73 0.3 4 0.0018251 0.2238754

13/02/55

16

HermiteHermite InterpolationInterpolation

ใ ป ป ใ

31

การทพหนามมดกรสงขนจะทาใหคาประมาณดขน การประมาณคาในชวง

ของ Hermite นอกจากจะใชคาฟงกชน ณ จดทกาหนดแลว ยงใชคา

อนพนธอนดบหนง ณ จดทกาหนดนนดวย สาหรบขอมลจานวน n+1 ตว พหนาม Hermite จะมดกร 2n+1


พหนาม Hermite

32

ถา 1 , และ 0, 1, … , , เปนจดตางๆกน แลวพหนามหนงเดยวทมดกรตาสด และมคาเหมอน กบอนพนธเหมอน ณ 0 , 1, … , คอพหนามดกรนอยกวาหรอเทากบ 2 1 ซงมรปเปน

2 1 ∑ ,0 ∑ ,0

เมอ 1 2 2 เมอ , 1 2 , ,

, ,2

ในทน , คอ พหนามสมประสทธท ของ Langrange ทมดกร

13/02/55

17


สตรคาผดพลาดของพหนาม Hermite

33

ถา 2 2 , แลว

2 12 2

2 2 ! 02 … 2

เมอ ,

ความสมพนธระหวางผลตางสบเนองกนอนพนธ

ถา , และ 0 ,… , , แลว ม , ทวา

0, 1, … , !


การสรางพหนาม Hermite จะเรมจากการ นยามลาดบ 02 1 โดย

0 1

34

2 2 1 0,1,… ,

จากนนสรางตารางผลตางสบเนองของ 0, 1, … , 2 1 เพราะวา 2 2 1 สาหรบทกคา

ดงนน 2 , 2 12 1 2

2 1 2 จงหาไมได

แตจากความสมพนธ 0, 1, … , ! จะไดวา 0, 1

!สาหรบบาง 0, 1

ดวยเหตน lim 1 0 0, 1 0

ทานองเดยวกน 2 , 2 1

13/02/55

18


รปแบบผลตางสบเนองของพหนาม Hermite

35

ถา 1 , และ 0, 1, … , , เปนจดตางๆกน แลว

2 1 0 0, 1, … , 0 1 … 1

2 1

1

เมอ 2 2 1 และ 2 , 2 1 สาหรบทก 0 1 0,1,… ,



36

0 0 0 0 0, 1 0

1 0 1 0 0, 1, 2

1, 2 0, 1

2 0

1, 2

2 1

2 1

2 1 2 1 1, 2, 3

2, 3 1, 2

3 1

2, 3 1

3 1 3 1 3, 4 2, 33 32, 3, 4

4 2

3, 4

4 3

4 3

4 2 4 2 3, 4, 5

4, 5 3, 4

5 3

4, 5 2

5 2 5 2

13/02/55

19

Example (Example (HermiteHermite Interpolation)Interpolation)

จากขอมลในตาราง พรอมดวยคาอนพนธ จงสรางตารางผลตางสบเนองเพอใชพหนาม Hermite

37

ประมาณคาของ 1.5

1.3 0.6200860 -0.5220232 1.6 0.4554022 -0.5698959 1.9 0.2818186 -0.5811571


1st D Diff. 2nd D Diff. 3rd D Diff. 4th D Diff. 5th D Diff.

38

1.3 0.6200860 -0.5220232

1.3 0.6200860 -0.08977427

-0.5489460 0.0663657 1.6 0.4554022 -0.0698330 0.0026663

-0.5698959 0.0679655 -0.0027738

1.6 0.4554022 -0.0290537 0.0010020 -0.5786120 0.0685667

1.9 0.2818186 -0.0084837

-0.5811571 1.9 0.2818186

13/02/55

20


จาก 2 1 0 ∑ 0, 1, … , 0 1 … 12 1

1

39

เราจะได

5 1.5 0.6200860 1.5 1.3 0.52202321.5 1.3 2 0.08974271.5 1.3 2 1.5 1.6 0.06636571.5 1.3 2 1.5 1.6 2 0.00266631.5 1.3 2 1.5 1.6 2 1.5 1.9 0.0027738 0.5118277

Cubic Cubic SplineSpline InterpolationInterpolation

ความแมนยาในการประมาณอาจสงขน เมอใชพหนามทมดกรสง แตเมอ

ดกรทสงขนมากอาจจะมการกวดแกวงของเสนโคงสงขนดวย ซงจะสงผล

40

ดกรทสงขนมากอาจจะมการกวดแกวงของเสนโคงสงขนดวย ซงจะสงผล

ใหคาประมาณมความคลาดเคลอนมากขนกได วธหนงทใชแกปญหาคอ

แบงชวงทงหมดออกเปนชวงยอยๆ แลวสรางพหนามประจาแตละชวง

ยอย เรยกวา “การประมาณโดยพหนามเปนชวงๆ””

ถาใหทกสองคของจดแทนชวงหนงชวง การเชอมจดของขอมลดวย

เสนตรงกคอวธทงายทสด แตกจะทาใหเสนโคงไมเรยบเสนตรงกคอวธทงายทสด แตกจะทาใหเสนโคงไมเรยบ

แนวทางอนคอ การใชพหนาม Hermite แตกตองมขอมลของอนพนธ

อนดบหนงของทกจด

13/02/55

21


การประมาณโดยพหนามเปนสวนๆ ทพบบอยทสดคอ การใชพหนามกาลง

สามระหวางคของจด ทเรยกวา Cubic Spline

41

สามระหวางคของจด ทเรยกวา Cubic Spline

พหนามกาลงสาม มคาคงตว 4 คา โดยทวไปแลวอนพนธของ Cubic Spline ไมจาเปนตองเทากบอนพนธของฟงกชนจรง แมทจดนยาม


ใหฟงกชน นยามบน , และมเซตของจด 0 1 ตวประมาณกาลง

42

สาม ของ คอฟงกชนทสอดคลองตามเงอนไขตอไปน

1. เปนพหนามกาลงสาม เขยนแทนดวย สาหรบชวงยอย , 1 , 0,1, … , 1

2. ( 0,1,… , )

3. 1 1 1 ( 0,1, … , 2 )

4. 1 1 1 ( 0,1,… , 2 )

5. 1 1 1 ( 0,1,… , 2 )

6. เซตของเงอนไขขอบเขตขอใดขอหนงตอไปนเปนจรง

a. 0 0 (ขอบธรรมชาตหรอขอบอสระ)

b. 0 0 และ (ขอบยด)

13/02/55

22


0,1,… , 0 1 2

43

1 1 1 0,1, … , 2 1 1 1 0,1,… , 2

1 1 1 0,1,… , 2

1

0 1 21


นยามพหนามกาลงสามในรป

44

2 3 0,1,… , 1

จากเงอนไขขอ 2 ไดวา

จากเงอนไขในขอ 3 ได 1 1 1 1

1 12

13 0,1, … , 2

ให 1 สาหรบ 0,1,… , 1

ถานยาม แลว จะไดวา

สมการท 1 12 3

13/02/55

23


2 1 3 12

45

ซง 0,1, … , 1

ถานยาม โดยเงอนไขในขอ 4. 1 1 1 แทนคา 1 ในสมการกอนหนา จะได

1 1 1 2 1 3 12

สมการท 2 2 3 2 สมการท 2 1 2 3 2


2 6 1

46

1

เมอแทนคา จะได 2

นนคอ 12

และใชเงอนไขในขอ 5. จะได

สมการท 3 1 3 0,1, … , 1

จากสมการท 3 สามารถหาคา ได

1

3

13/02/55

24


แทน คากลบในสมการท 1 และสมการท 2 จะได

47

สมการท 4 113

2 2 1 และ

สมการท 5 1 1 0,1,… , 1

โดยการแกสมการท 4 หา จะได

สมการท 6 1 2 สมการท 6 1 32 1

เปลยนดรรชนใหลดลงหนง จะได

11

11

1

32 1


แทนคา และ 1 กลบในสมการท 5 ทปรบดรรชนลงมาหนง จะไดระบบสมการ

48

สมการท 7 1 1 2 1 13

13

11 1,… , 1

ระบบนมตวแปรไมทราบคาคอ 0

สวน 01

และ 0

เปนคาทคงตวททราบคา

เมอทราบคา 0

แลวจะหาคาคงตวทเหลอ 01 ไดจากสมการท 6 และ

01 จาก

3 1 สมการท 3 แลวนามาสราง 0

13/02/55

25

Example (Cubic Example (Cubic SplineSpline))

จากขอมล

49

1 2 3 4 5

0 1 0 1 0

จงหา Spline กาลงสามในชวง 1,2 , 2,3 , 3,4 และ 4,5 ทสอดคลองกบเงอนไขขอบอสระ

ให 2 3 ( 0,1,2,3)

โดย 0 1 2 3

ซง 0 0 0 1 0 1 20 1 3 สาหรบชวง 1,2

1 1 1 2 1 2 21 2 3 สาหรบชวง 2,3

2 2 2 3 2 3 22 3 3 สาหรบชวง 3,4

3 3 3 4 3 4 23 4 3 สาหรบชวง 4,5


จากเงอนไขในขอ 2 สาหรบ 0 1 2 3 4 เราได

50

จากเงอนไขในขอ 2. สาหรบ 0,1,2,3,4 เราได

0 0, 1 1, 2 0, 3 1, 4 0

ให 1 สาหรบ 0,1,2,3 เราได 0 1 2 3 1

จากเงอนไขขอบอสระทโจทยกาหนด เราได, 012 0 0, 1

20

13/02/55

26


จากสมการท 7 เมอแทน 1 2 3 ได

51

จากสมการท 7 เมอแทน 1,2,3 ได

0 0 2 0 1 1 1 23

12 1

3

01 0

1 1 2 1 2 2 2 33

23 2

3

12 1

2 2 2 2 3 3 3 43

34 3

3

23 2

เมอแทนคา , จะได

4 1 2 3 0 1 3 1 0 6 1 4 2 3 3 1 0 3 0 1 6 2 4 3 3 0 1 3 1 0 6

ซงไดวา 1157

, 2187

, 3157


จากสมการท 6 11 3

2 1 จะได

52

3

01

01 0

032 0 1 1 0 1

30 15

7127

11

12 1

132 1 2 0 1 1

3307

187

37

21

23 2

232 2 3 1 0 1

3367

157

0

31

4 3332 3 4 0 1 1

3307

0 37

33

4 3 3 3 4 3 7 7

13/02/55

27


และจากสมการท 3 1

3 จะได

53

3

013 0

1 013

157

0 57

113 1

2 113

187

157

117

213 2

3 213

157

187

117

313 3

4 3130 15

757


ตวประมาณ Spline กาลงสามประกอบดาย

54

0 0 127

1 0 57

1 3

1 1 37

2 157

2 2 117

2 3

2 0 0 187

3 2 117

3 3

3 1 37

4 157

4 2 57

4 3

13/02/55

28


จงหา Spline กาลงสามขอบยดทใชประมาณฟงกชน 3 2 ณ. จด 1.03

55

จากขอมลในตาราง

1.0 1.02 1.04 1.06

0.765789386 0.795366779 0.822688170 0.847522258

1.5315787 1.1754977

ในทน 3 ให ในทน 3 ให

2 3

โดยท 0 1.0, 1 1.02, 2 1.04, 3 1.06

1 0.02 ( 0,1,2) และ 0 1 2


จากเงอนไขในขอ 2. ทวา สาหรบ 0,1,2,3 ให

56

0 0 0.7657894 1 1 0.7953668 2 2 0.8226882 3 3 0.8475223 จากเงอนไขขอบยด ทวา 0 0 และ เราให

1 5315787 0 1.5315787 3 1.1754977

13/02/55

29


จากระบบสมการในสมการท 6 เมอ 11 3

2 1 สาหรบ

57

1 3 1

0,1,2 และแทนคา 0, 1, 2, 3 และ 0, 3 ไดระบบสมการ (1)

1.5315787 0 1.47887 0.01333 0 0.006667 1

1 1.36607 0.01333 1 0.006667 2 2 1.241722 0.01333 2 0.006667 3 จากระบบสมการในสมการท 5 1 1 สาหรบ 0,1,2 และแทนคา 0, 3 ไดระบบสมการ (2)

1 1.5315787 0.02 0 0.02 1 2 1 0.02 1 0.02 2 1.1754977 3 2 0.02 2 0.02 3


แกระบบสมการ (1) และ (2) โดยการรวมสองสมการ ไดระบบสมการ 3 เปน

58

0 0.5 1 4.2687857

0 0.33333 1 0.33333 2 8.275435 2 3 9.9305985 0 2 2 3 17.80405 แกระบบสมการท (3) ได 0 46.109654, 1 100.75688

2 12.745401, 3 2.814803

13/02/55

30


แทนคากลบในระบบสมการ (2) รวมกบเงอนไขขอบยด เราได

59

0 1.5315787, 1 2.6245232

2 0.8642936, 3 1.1754977

แทนคาในสมการท 3 เมอ 0,1,2 ได

0 2447.7756 , 1 1891.7047, 2 165.50997


ดงนน 0 1 2 โดยท

60

0 0.7657894 1.5315787 1 46.109654 1 2

2447.7756 1 3

1 0.7953668 2.6245232 1.02100.75688 1.02 2 1891.7047 1.02 3

2 0.8226882 0.8642936 1.0412.745401 1.04 2 165.50997 1.04 3

ดงนนคาประมาณของ 1.03 คอ 1 1.03

0.7953668 2.6245232 1.03 1.02100.75688 1.03 1.02 2 1891.7047 1.03 1.02 3

13/02/55

31

Least Square MethodLeast Square Method

ในกรณทคาขอมลทวดมานน อาจมความคลาดเคลอน การประมาณคาฟงกชน

ภายใตเงอนไขทวา คาทไดจากการวดจะตองเทากบคาประมาณของฟงกชน ณ จด

61

ภายใตเงอนไขทวา คาทไดจากการวดจะตองเทากบคาประมาณของฟงกชน ณ จด

ตางๆ กอาจจะทาใหคาประมาณยงคลาดเคลอนไปจากคาทควรจะเปน

นอกจากน ถามขอมลจานวนหนง เชน n+1 และใชการประมาณพหนามในชวงเชน

พหนามลากรองจ พหนามผลตางสบเนองของนวตน กจะไดพหนามดกร n ซงอาจมการกวดแกวงของเสนโคงแทนทจะเปนโคงของพหนามทมดกรตากวา

ใ ภายใตสมมตฐานเหลาน เราอาจสงเกตลกษณะของการเรยงตวของขอมลแลวจง

สรางพหนามตวประมาณทมดกรทเหมาะสม ทประมาณไดดทสด (ในบางลกษณะ)

โดยไมจาเปนจะตองผานจดขอมลทกจด ซงจะตองหาสมประสทธของพหนามนน

Least Square MethodLeast Square Method62

13/02/55

32


ถาขอมลเรยงตวกนคลายกบเสนตรง เราจะประมาณดวยพหนามดกร 1 หรอ ฟงกชนเชงเสน

63

ให เปนคาท ของเสนตรงทใชประมาณ และ เปนคาจรงของฟงกชนทถกประมาณ เมอตองการสรางฟงกชนประมาณทใหคาใกลคาจรงทสด จะพจารณาฟงกชนของความคลาดเคลอน , และหาคา , ทเหมาะสม

เราอาจนยามของความคลาดเคลอน , ไดหลายแบบ เชน

ฟ ฟงกชนของความคลาดเคลอนแบบมนแมกซ (Minimax Error Function) ∞ , max 1,2,…,10 | | ฟงกชนของความคลาดเคลอนแบบเบยงเบนสมบรณ (Absolute derivation Error Function) , ∑ | |10

1


ฟงกชนของความคลาดเคลอนกาลงสองนอยสดรวม (Total Square Error)

64

2 , ∑ 2101

การหาคาตาสด ทาไดโดยแกสมการ

0 ∑ 2101 2∑10

1

และ 0 ∑ 2101 2∑ 110

1 และ 0 ∑ 1 2∑ 11

เมอลดทอนรป จะได ∑ 2

1 ∑ 1 ∑ 1

และ ∑ 1 ∑ 1

13/02/55

33


เมอแกระบบสมการเพอหาคา และ จะได

65

∑ 1 ∑ 1 ∑ 1

∑ 21 ∑ 1

2

∑ 2

1 ∑ 1 ∑ 1 ∑ 1

∑ 21 ∑ 1

2

ซงจะนาไปแทนคาในฟงกชนเชงเสน 1

Example (Least Square Method)Example (Least Square Method)

จงหาสมการเสนตรงโดยวธกาลงสองนอยสดทประมาณจากขอมลทกาหนดให

66

จงหาสมการเสนตรงโดยวธกาลงสองนอยสดทประมาณจากขอมลทกาหนดให

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1.3 3.5 4.2 5.0 7.0 8.8 10.1 12.5 13.0 15.6

จาก ∑ 1 ∑ 1 ∑ 1

∑ 21 ∑ 1

2

∑ 2

1 ∑ 1 ∑ 1 ∑ 1 ∑ 2

1 ∑ 12

ซงจะตองหา ∑ 1 , ∑ 1 , ∑ 21 , ∑ 1

13/02/55

34

Example (Least Square Method)Example (Least Square Method)

2

1 1 3 1 1 3 จาก ∑ 1 ∑ 1 ∑ 1 1.538 0.360

1 18

67

1 1.3 1 1.3 2 3.5 4 7.0 3 4.2 9 12.6 4 5.0 16 20.0 5 7.0 25 35.5 6 8.8 36 52.8 7 10.1 49 70.7

จาก 1 1 1

∑ 21 ∑ 1

2

∑ 21 ∑ 1 ∑ 1 ∑ 1

∑ 21 ∑ 1

2

จะได

10 572.4 55 8110 385 55 2 1.538

385 81 55 572.4 0 360

1.18 2.72 4.25 5.79 7.33 8.87 10.41

8 12.5 64 100.0 9 13.0 81 117.0 10 15.6 100 156.0 55 81.0 385 572.4

10 385 55 2 0.360

11.94 13.48 15.02

210

1

2.34


16

68

0

2

4

6

8

10

12

14

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-2

13/02/55

35

Least Square Method Least Square Method

พหนาม ∑ 0 ทมดกร 1 กสามารถสรางไดดวยระเบยบวธกาลงสอง

69

นอยสด วธการคอหา 0,… , เพอทาใหคาผดพลาดกาลงสองนอยสดรวม

∑ 21

มคาตาสด ซงตองไดวา 0 สาหรบ 0,1,2,… , ซงไดระบบสมการ 1 สมการใน

00

11

1

12

2

1 1

0

1

01

11

2

12

3

1

1

1

1

1

01

11

12

2

1

2

1 1


จากขอมลในตารางทกาหนดให จงประมาณคาฟงกชนดวยพหนามดกรสอง ดวยระเบยบวธ

70

กาลงสองนอยสดเตมหนวย

0 0.25 0.50 0.75 1.00

1.0000 1.2840 1.6487 2.1170 2.7183

ในทน 2, 5 สมการปกตทงสามสมการคอ

5 0 2 5 1 1 875 2 8 7680 5 0 2.5 1 1.875 2 8.7680 2.5 0 1.875 1 1.5625 2 5.4514 1.875 0 1.5625 1 1.3828 2 4.4015

13/02/55

36


เมอแกระบบสมการ จะได 0 1.0052, 1 0.8641, 2 0.8437

71

พหนามทไดคอ 2 1.0052 0.8641 0.84370.8437 2

1 5

2

2.5

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.5

1

1.5

บทที่ี5maths.sci.ku.ac.th/suriya/417268/Slide/ppSlide5.pdf13/02/55 1 1 บทท 5...

Documents

Transcript of บทที่ี5maths.sci.ku.ac.th/suriya/417268/Slide/ppSlide5.pdf13/02/55 1 1 บทท 5...