กฎการประมาณพ้ืนที่มูลฐานmaths.sci.ku.ac.th/suriya/417268/Slide/ppSlide6.pdf13/02/55...

13/02/55

1

1

บทท 6

การประมาณคาปรพนธจากดเขต

และการหาอนพนธเชงตวเลข

Numerical Method

กฎการประมาณพนทมลฐาน

ในการหาพนทมลฐานนน ถาเรารฟงกชนทปดลอมพนท เรากสามารถใชการอนทกรลเพอหา

2

คาพนทปดลอมนนได แตบางฟงกชน เราไมสามารถหาคาอนทเกรตได เชน

cos เราจะตองหาพหนามทใชประมาณคา เพอใชพหนามนนในการหาพนทแทน ซง

กจะไดพนทปดลอมโดยประมาณ นอกจากนการเขยนโปรแกรมเพออนทเกรตฟงกชนใดๆ

เปนเรองไมงาย ดงนนเราจาเปนจะตองเลยงมาคานวณคาอนทกรลเชงตวเลข

13/02/55

2

กฎจดกงกลาง

3

a b

0 2


ประยกตใชผลตางสบเนองขางหนาของนวตนเพอหาสตรการคานวณคาอนทกรลเชงตวเลขของ ณ

4

จด 0, … ,

0 0, 1 0 0, 1, 2 0 1

0, 1, … , 0 1 … 1

และมสตรคาผดพลาดเปน

1

1 ! 0 1 …

เมอ อยระหวาง 0, … ,

13/02/55

3


ถาใชพหนามคาคงตว โดยให 0 2 จะได

5

0 2

ถาใชพหนามดกรหนง โดยให 0 2 จะได

0 0, 1 0

ซง

0, 1 00, 1

2 02

0, 1

2 2

2

2

2

0


สมมตจด 1 ถกเลอกเหมอน 0 สตรของคาผดพลาดจะเปลยนเปน 2

6

0 1

202

2

พจน 02 เปนบวกเสมอ (รวมศนย) และไมเปลยนเครองหมาย บนชวง , จากทฤษฎ

บทคามชฌมสาหรบอนทกรล ไดวา จะม , ทวา

02

202

2

243

13/02/55

4


กฎจดกงกลางพรอมดวยสตรคาผดพลาดคอ

7

2 243 เมอ ,

กฎสเหลยมคางหม

8

ป ป ใ ใ ส ป ส เลอกจดปลาย 0 และ 1 เปนจดทใชในการสรางพหนามตวประมาณผลตางสบเนอง

ไปขางหนาของนวตน

0 0, 1 0,2

2

2

13/02/55

5


คาผดพลาดของกฎสเหลยมคางหม ไดจากการอนทเกรตพจนคาผดพลาดใน 1 เนองจาก

9

0 1 เปนฟงกชนทไมเปลยนเครองหมายในชวง ,

โดย ท.บ.คามชฌมของการอนทเกรต ไดวา , ททาให

2 2

2

3

3

2

22 3 2

123



10

2 123

สาหรบบาง ,

ถาใช 2 อนทกรลของพจนสดทายของ 2 คอ

0, 1, 2 0 1 0, 1, 2

เนองจาก 0, , พจนคาผดพลาดนไมเทากบ 0 ยกเวนแตวา

0, 1, 2 0 ดงนน อนดบของความคลาดเคลอนจงยงคงเกดจากอนทกรลของพจน

2

13/02/55

6

กฎซมปสน (Simpson)

เมอประมาณฟงกชน โดยพหนามกาลงสอง โดย 0 , 1 2, 2

11

2

0 2


อนทเกรต 2 ได

12

2 ,2

,2

,2

22

2 2 2

3

12

เมอลดทอนรปสมการแลว จะไดระเบยบวธการประมาณคาอนทกรลเชงตวเลข แบบซมปสน (Simpson Rule) เปน

6 4 2

13/02/55

7


สตรคาผดพลาด หาไดโดยการอนทกรลพจนความคลาดเคลอนของพหนามตวประมาณ

13

2 เชนเดยวกบในกรณของจดกงกลาง อนทกรลของพจนถดมาในสตรผลตางสบเนองขางหนาของนวตนมคาเปน 0 ซงแสดงวาสตรคาผดพลาดจะอยในอนดบทสงขนถดมา ซงสตรคาผดพลาดของกฎ Simpson เปน

6 4 2

4

28805

สาหรบบาง ,

Example

ตารางแสดงคาของอนทกรลเหนอชวง 1,1.2

14

2 4 11 1 2 sin

คาจรง 0.24267 0.29766 0.09531 0.29742 0.17794 0.60184 กฏจดกงกลาง 0.24200 0.29282 0.09524 0.29732 0.17824 0.60083 กฏสเหลยมคางหม 0.24400 0.30736 0.09545 0.29626 0.17735 0.60384 กฏ Simpson 0.24267 0.29766 0.09531 0.29742 0.17794 0.60184 ฏ p

13/02/55

8

Example

ตารางแสดงคาของอนทกรลเหนอชวง 0,2

15

2 4 11 1 2 sin

คาจรง 2.667 6.400 1.099 2.958 1.416 6.389 กฏจดกงกลาง 2.000 2.000 1.000 2.818 1.682 5.436 กฏสเหลยมคางหม 4.000 16.000 1.333 3.326 0.909 8.389 กฏ Simpson 2.667 6.667 1.111 2.964 1.425 6.421

กฎการประมาณพนทประกอบ

ผลทไดคอนขางแมนยาเมอชวงของการอนทเกรตเปนชวงเลก กฎจดกงกลาง

และกฎสเหลยมคางหมใหคาประมาณแยลงเมอชวงกวางข น สาหรบกฎ

16

และกฎสเหลยมคางหมใหคาประมาณแยลงเมอชวงกวางขน สาหรบกฎ

Simpson แมวาจะใหจะใหคาประมาณทดกวาในชวงการประมาณทกวาง แตเมอชวงนนกวางมากข นความแมนยากลดลง

แนวคดหนงทสามารถใชในการแกปญหาการอนทกรลในชวงกวาง กคอ การ

แบงชวงของการอนทกรลเปนชวงยอย ดวยสมบตขงการอนทกรล คอ

เมอ

13/02/55

9

กฎซมปสนประกอบ

สตรคาผดพลาดของซมปสนเปน

17

6 4 2

4

28805

เมอเรากาหนดให 2

และ , เราได

3 45

904

ใ 5 คาผดพลาดในสตรน คอ 5


พจารณาคาประมาณ 20 เมอใชกฏซมสนพรอมดวย 1

18

จากกฎซมปสนทาใหเราได 2

0

13

0 4 1 2 6.4207278

ซงคาทแทจรงกคอ 2 0 6.3890561 และเราพบวาคาผดพลาดของการคานวณสงถง 0.0316717 ซงถอวามากเกนกวาทจะรบได หากประยกตเทคนคการแบงเปนชวงยอย โดยแบง 0 2 ออกเปน 0 1 และ 1 2 และใชกฎซมปสน 2 ครง พรอมดวย 1 จะได 0,2 ออกเปน 0,1 และ 1,2 และใชกฎซมปสน 2 ครง พรอมดวย

2 จะได

20

10

21

16

0 412 1 1

61 4

32 2 6.3912102

และทาใหคาผดพลาดลดลงเปน 0.0021541

13/02/55

10


ถาแบงชวงใหแคบลงอก และใชกฎซมปสนพรอมดวย 14

จะได

19

20

120

112

321

232

112

0 414

12

112

12 4

34 1

112

1 454

32

112

32 4

74 2 6.3891937

และมขนาดของคาผดพลาดเพยง 0.0001376


จากตวอยาง การสรางกฎซมปสนประกอบ สามารถสรปไดดงน

20

1. แบงชวง , ออกเปน ชวงยอย

2. ใชกฎซมปสนบนแตละคของชวงยอยตดกน โดยให และ 0 1

โดยท 0 3. บวกผลการคานวณแตละชวงยอยเขาดวยกน

13/02/55

11


21

1 2

0 2 1 3 4 2 2 2 1 2


∑ 2

2 1

/21

5

22

∑3 2 2 4 2 1 2

5

904/2

1

สาหรบบาง 2 2, 2 ตราบเทาท 4 , ลดทอนรป จะสตรของกฎ Simpson ประกอบจะเปน

3 0 2 2

2 1

1

4 2 1

/2

1

5

904

/2

1

13/02/55

12


คาผดพลาดของการประมาณนคอ /

23

5

904

/2

1

เมอ 2 2 2 เมอ 1,2, … ,2

ถา 4 , แลว โดยทฤษฎบทคาสดขด จะไดวา 4 บรรลคาสงสดและตาสดในชวง , เนองจาก

min,

4 4 max,

4


เมอรวมทกๆ 1,2,… ,2

จะได /2

24

2min

,4 4

/2

12max

,4

min,

4 2 4

/2

1

max,

4

เนองจากพจนกลางอยระหวางคาของ 4 โดยทฤษฎบทคาระหวางกลาง จะไดวา , ททาให

4 2 4

/2

1

24 4

/2

1

13/02/55

13


เนองจาก สตรผดพลาดลดรปเปน

25

5

904

/2

1

5

90 24

4

1804

กฎ Simpson ประกอบสาหรบ ชวงยอยของ , พรอมดวยคาผดพลาดคอ

2 2

2 1

4 2 1

/24

4 3 2 21

4 2 11

180

สาหรบ ,

กฎสเหลยมคางหมประกอบ

y

26

x o 0 2 1 1 1

ให 2 1 ( 0 1 ) กฎสเหลยมคางหมประกอบสาหรบให , , , ( 0,1, … , ) กฎสเหลยมคางหมประกอบสาหรบ ชวงยอย คอ

22

1

1

2

12

สาหรบ ,

13/02/55

14

กฎจดกงกลางประกอบ

27

y

x o 1 1 1 1 1 0

กฎจดกงกลางประกอบ

ให 2 , และ เปนจานวนเตมค, 2

, 1 (

28

21,0,1,… , 1) ไดกฎจดกงกลางประกอบสาหรบ

21 ชวงยอย เปน

2 2

/2

0

2

6

สาหรบ ,

13/02/55

15

Example (Composite Rules)

พจารณาการใชกฎ Simpson ประกอบในการประมาณคา sin0 โดยใหมคาผดพลาดไม

29

0

เกน 0.00002 จากสตร เราได

sin0 3 sin 0 2 2

2 1

1

4 2 1

/2

1

sin4

180 sin

เราตองการใหคาผดพลาดของการประมาณไมเกน 0.00002 นนคอ 4

180 sin4

180 · 1 1800 4 5

180 4 0.00002


ซงได 18 เพอเปนการตรวจสอบ แทนคา 20, 20

30

คาประมาณโดยกฎ Simpson ประกอบจะเปน

sin0 60 sin 0 2 sin

220

9

1

4 sin2 120

10

1

sin

2.000006 เพอใหไดความแมนยาระดบเดยวกนโดยใชกฎสเหลยมคางหมประกอบ เราตองการ ฎ

2

12 sin2

12 · 13

12 2 0.00002

ซงชวา 360 กฎจดกงกลางประกอบจะใชคาฟงกชนมากขนอกประมาณสองเทา

13/02/55

16


พจารณาการใชกฎจดกงกลางประกอบ พรอมดวย 2

19 และ 40

ได 19

31

sin240 sin

2 140

19

0

2.0020577

กฎสเหลยมคางหมประกอบ พรอมดวย 20 และ 20

ให

sin 40 sin 0 2 sin 20

19

1

sin 1.9958860

Round-off Error of Composite Rules

ให สาหรบ 0,1,… , เมอ แทนคาผดพลาดจากการปดเศษ ได

32

วา

3 0 0 2 2 2

2 1

1

4 2 1 2 1

/2

1

หรอ

2 1 /2

3 0 2 21

4 2 11

3 0 2 2

2 1

1

4 2 1

2

1

13/02/55

17

Round-off Error of Composite Rules

ซงคาผดพลาดจากการปดเศษสะสมเมอใชกฎ Simpson ประกอบ คอ

33

3 0 2∑ 2

2 11 4∑ 2 1

21

3| 0| 2∑ 2

2 11 4∑ 2 1

21 | |

ถาคาผดพลาดจากการปดเศษมขอบเขตบนสมาเสมอ (สมมตใหเทากบ ε ) แลว

3ε 2

21 ε 4

2ε ε ε

3 2 2แตเราทราบวา ดงนน ε ซงเปนขอบเขตบนทไมขนกบ และ

การประมาณพนท Gaussian

y y y

34

y

o x 1 2

y

x o 1 2

y

x o 1 2

13/02/55

18


การประมาณพนท Gaussian แทนทจะเลอกจดปลาย หรอจดทหางเทาๆกน ในชวง , แตกลบ

35

เลอกจดใดๆทเหมาะสมทสด 1, 2,… ในชวง , และสมประสทธ 1, 2, … ททาให

คาผดพลาดจากการประมาณ ดวย ∑i 1 มคาตาสด

สมประสทธ 1, 2, … และจด 1, 2, … ทถกกาหนดเพยงวา จะตองอยในชวง

, คอ คาตวแปรไมทราบคาน 2 ตว ถาสมประสทธของพหนามถกพจารณาเปนตว

2 1 ไแปรเสรม แลวกลมของพหนามทมดกรนอยกวาหรอเทากบ 2 1 จะบรรจตวแปรทไม

ทราบคา 2 ตวเชนกน การเลอกตวแปรและคาคงตวทเหมาะสมของคาฟงกชนจะไดสตรททาใหกลมพหนามนใหคาแมนตรง


การเลอกตวแปรและคาคงททเหมาะสม จะใชพหนามเชงตงฉาก ซงเซตทเหมาะสมกบโจทยปญหา

36

ในทนคอ เซตของพหนาม Legendre 0, 1, … , พหนาม Legendre อนดบแรกๆไดแก

0 1, 1 ,

22 1

3, 3

3 35

,

44 6

72 3

35

มรากแตกตางกนอยในชวง 1,1 สมมาตรเทยบกบจดกาเนด และใหผลลพธแมนตรงในการประมาณคาอนทกรลสาหรบพหนามดกรนอยกวาหรอเทากบ 2 1

โดยสมประสทธทเหมาะสมหาไดจาก ∏ 1

11 1,2, … ,

13/02/55

19


ราก , สมประสทธ ,

37

2 0.5773502692 1.0000000000 -0.5773502692 1.0000000000

3 0.7745966692 0.5555555556 0.0000000000 0.8888888889

-0.7745966692 0.5555555556 4 0.8611363116 0.3478548451 0.3399810436 0.6521451549

-0.3399810436 0.6521451549

-0.8611363116 0.3478548451



5 0 9061798459 0 2369268850

38

5 0.9061798459 0.2369268850 0.5384693101 0.4786286705

0.0000000000 0.5688888889

-0.5384693101 0.4786286705

-0.9061798459 0.2369268850

13/02/55

20


ปญหาจรงไมไดถกจากดขอบเขตเพยงแค 1,1 ดงนนอนทกรลบนชวง , จะตองอาศยเทคนค

39

Linear Transform แปลงคาบนชวง , ไปอยบนชวง 1,1 กอน โดยการแปลงเชงเสน

2

ซงให 2 หรอ 2

เมอแทนคาอนทกรล จะได

2 2

1

1


โดยใชราก ,1, ,2, … , , และ ,1, ,2 , … , , จากตาราง

40

, , , , , ,


2 2 1

1

2 ,,

21

13/02/55

21

ตวอยาง (การประมาณพนท Gaussian)

จงประมาณคาของ 21.51 ใหใกลเคยง 0.1093643

41

1

ใชการประมาณพนท Gaussian โดยการแปลงชวงการอนทเกรตเปน 1,1

21.5 1 1.5 1

20.5 2.5

25

4

21.5 1 5 2

161

1 4

161


สาหรบ 2 และจากตาราง

42


2 0.5773502692 1.0000000000 -0.5773502692 1.0000000000

ได

21.5 1 5 0.5773502692 2 5 0.5773502692 2

2

1 416 16 0.1094003

13/02/55

22


สาหรบ 3 และจากตาราง

43


3 0.7745966692 0.5555555556 0.0000000000 0.8888888889

-0.7745966692 0.5555555556 ได

21.5

114 0.555555556

5 0.7745966692 2

16

0.8888888895 2

16 0.5555555565 0.7745966692 2

16 0.1093642


การประมาณพนท Gaussian พรอมดวย 3 ตองหาคาฟงกชน 3 แหง และให

44

คาประมาณพนทแมนยาถง 10 7 จานวนคาฟงกชนเดยวกน เมอใชกฎประกอบ

Simpson พรอมดวย 121.5 1 0.25 ใหคา 21.5

10.253

4 1.25 2 1.5 2 0.1093104 ซงใหคาถกตอง 0.5 10 4

13/02/55

23

การหาอนพนธเชงตวเลข

พหนามลากรองจ 1 สาหรบ ทใชจด 0 และ 1 พรอมดวยพจนคาผดพลาด

45

10 12!

ถาให 0 และ 1 0 จะได

1

0 10

0

1 01

0 1

2

00

00

0 1

2

ไ สาหรบบาง , เมอหาอนพนธของสมการน จะได

0 0 2 0

20 1

2

เพราะฉะนน 0 0

สตรสองจด

จาก

46

0 0 2 0

20 1

2

พจน ประมาณคาไมได เพราะมพจนทไมทราบคา อย แต

ถาให 0 จะไดสมประสทธของ เปนศนย สตรกจะลดรปเปน

สตรสองจด สตรสองจด

00 0

2

เมอ 0, 0

13/02/55

24

สตรสองจด

ถา ใน , ขอบเขตของคาความผดพลาดจะเปน 12

47

ถา 0 สตรสองจดบางครงเรยกวา “สตรผลตางขางหนา (Forward‐difference

Formula)” และในกรณ 0 เรยกวา “สตรผลตางยอนหลง (backward‐difference

Formula)”

ตวอยาง (สตรสองจด)

ให ln , 0 1.8 ผลหาร 1.8 1.8 , 0 ใชประมาณคา 1.8 พรอมดวยคา

48

ผดพลาด

2| |2 2

| |2 1.8 2 1.8 1.8

ตารางตอไปน แสดงผลเมอ 0.1,0.01,0.001 1.8 1.8 1.8

| |2 1.8 2

0.1 0.64185389 0.5406722 0.0154321

เนองจาก 1 คาแทจรงของ 1.8 0.5·

0.1 0.64185389 0.5406722 0.0154321 0.01 0.59332685 0.5540180 0.0015432 0.001 0.58834207 0.5554013 0.0001543

13/02/55

25

การหาอนพนธเชงตวเลขทวไป

ให 0, 1,… เปนจดทแตกตางกนในชวง , และสมมต 1 , จากพห

49

นามลากรองจท ซงใชประมาณ ได

0

0 1 …1 !

1

สาหรบบาง , เมอ เปนพหนามสมประสทธลากรองจท ของ ณ

0 1 หาอนพนธของนพจนนได 0, 1, … หาอนพนธของนพจนนได

0

0 1 …1 !

1

0 1 …1 !

1

การหาอนพนธเชงตวเลขทวไป

กรณ จะทอนสตรไดเปน

50

0

1

1 !0

จากสมการขางตนน เปนสตรทเรยกวา สตร 1 จด ในการประมาณคา

13/02/55

26

สตรสามจด

สาหรบพหนามลากรองจอนดบสอง 2 จะไดวา

51

01 2

0 1 0 2 , 1

0 2

1 0 1 2, 2

0 1

2 0 2 1

และ

02 1 2

0 1 0 2, 1

2 0 2

1 0 1 2, 2

2 0 1

2 0 2 1

ทาใหเราไดสมการ

2 1 2 2 0 20

1 2

0 1 0 21

0 2

1 0 1 2

22 0 1

2 0 2 1

3

6

2

0


จาก 2 1 2 2 0 2

52

01 2

0 1 0 21

0 2

1 0 1 2

22 0 1

2 0 2 1

3

6

2

0

เมอกาหนดจดสามจดคอ 0, 0 , 0 2 ให 0 จะได

สตรจดปลายสามจด

012 3 0 4 0 0 2

2

3

เมอ 0, 0 2

13/02/55

27


สาหรบสตรสามจดปลาย เมอใช 0 จะสามารถประมาณคาอนพนธทปลายดานซาย และเมอใช

53

0 จะสามารถประมาณคาอนพนธทปลายดานขวา

ทานองเดยวกน จาก

02 1 2

0 1 0 21

2 0 2

1 0 1 2

22 0 1

2 0 2 1

3

6

2

0

0

เมอ 1 จะได

112 0 0 2

2

6


จาก 2

54

112 0 0 2

2

6

ปรบคา 1 เปน 0 และ 0 เปน 0 และ 2 เปน 0 จะได

สตรจดกงกลางสามจด

012 0 0

2

6

เมอ 0 , 0

13/02/55

28

สตรหาอนพนธเชงตวเลขอนๆ

สตรจดกงกลางหาจด

55

0112 0 2 8 0 8 0 0 2

4

305

เมอ 0 2 , 0 2

สตรจดปลายหาจด

0112 25 0 48 0 36 0 2 16 0 312

3 0 44

55

เมอ 0, 0 4

(การประมาณทจดปลายซายใช 0 และปลายขวาใช 0)

ตวอยาง (การหาอนพนธเชงตวเลข)

จากตารางคอคาของ จงประมาณคา 2.0

56

1.8 10.889365 1.9 12.703199 2.0 14.778112 2.1 17.148957

เนองจาก 1 , 2.0 22.16716

2.2 19.855030

13/02/55

29

ตวอยาง (การหาอนพนธเชงตวเลข)

สตรสามจด จดปลาย ( 0.1) 1 3 2 0 4 2 1 2 2 22 032310

57

0.2

3 2.0 4 2.1 2.2 22.032310

จดปลาย ( 0.1) 1

0.23 2.0 4 1.9 1.8 22.054525

จดกงกลาง ( 0.1)

10.2

2.1 1.9 22.228790

จดกงกลาง ( 0.2) 1

0.42.2 1.8 22.414163

สตรหาจด จดกงกลาง ( 0.1) 1

1.21.8 8 1.9 8 2.1 2.2 22.166999

Round-Off Error Analysis

จาก

58

0 0 0 0 0 0 สาหรบสตรจดกงกลางสามจด

012 0 0

2

6

คาผดพลาดรวมจากการประมาณคอ 2

012 0 0

12 0 0

2

63

13/02/55

30

Round-Off Error Analysis

คาผดพลาดรวมจากการประมาณคอ

59

012 0 0

12 0 0

2

63

ใหคาผดพลาดจากการปดเศษ 0 มขอบเขตเปน ε 0 และสมมตดวยวา อนพนธอนดบสามของ มขอบเขตเปน 0 แลว

012 0 0

ε 2

6

ตวอยาง

จงพจารณาการประมาณคา 0.900 เมอ sin โดยใชคาในตาราง

60

sin 0.8000 0.71736 0.8500 0.75128 0.8800 0.77074 0.8900 0.77707 0.8950 0.78021 0.8980 0.78208

sin 0.9010 0.783950.9020 0.784570.9050 0.786430.9100 0.789500.9200 0.795600 9500 0 81342

คาทแทจรงคอ cos 0.900 0.62161

0.8980 0.78208 0.8990 0.78270

0.9500 0.813421.0000 0.84147

13/02/55

31

ตวอยาง

ใชสตร 0.900 0.900 0.9002

61

2

กบคา ตางๆกน ใหคาประมาณดงทแสดงในตาราง

คาประมาณของ 0.900 คาผดพลาด

0.001 0.62500 0.003390.002 0.62250 0.000890.005 0.62200 0.000390.010 0.62150 -0.000110 020 0 62150 0 000110.020 0.62150 -0.000110.050 0.62140 -0.000210.100 0.62055 -0.00106

ตวอยาง

เมอวเคราะหพจนคาผดพลาด ε 2

6 จะเหนวา มคาตาสดเมอ 0

62

6

ซงให 33 สงเกตวา

max0.800,1.000

| | max0.800,1.000

|cos | 0.69671

เมอใชทศนยม 5 หลก และสมมต 0.000005 พบวาคาเหมาะสมทสดของ คอ

3 0.000005 0.69671

30.028

กฎการประมาณพ้ืนที่มูลฐานmaths.sci.ku.ac.th/suriya/417268/Slide/ppSlide6.pdf13/02/55...

Documents

Transcript of กฎการประมาณพ้ืนที่มูลฐานmaths.sci.ku.ac.th/suriya/417268/Slide/ppSlide6.pdf13/02/55...