30 de Abril de 2015 RESOLUCIÓN DE MODELOS DE PROGRAMACIÓN ENTERA Entera/Clases... ·...

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Programación Entera José Luis Quintero 1

RESOLUCIÓN DE MODELOS DE PROGRAMACIÓN

ENTERAMÉTODOS HEURÍSTICOS

Y RELAJACIONESPostgrado de Investigación de Operaciones

Facultad de Ingeniería

Universidad Central de Venezuela

30 de Abril de 2015

Programación Entera José Luis Quintero 2

1. Técnica del redondeo

2. Método heurístico sencillo

3. Relajaciones en PLE

Puntos a tratar

Programación Entera José Luis Quintero 3

Redondear la solución delproblema de PL a la soluciónentera más cercana puedeproducir soluciones óptimas, noóptimas o no factibles

Técnica de redondeo

Programación Entera José Luis Quintero 4

Ejemplo 1. Técnica de redondeo

Programación Entera José Luis Quintero 5

Ejemplo 1. Técnica de redondeo

Programación Entera José Luis Quintero 6

Ejemplo 2. Técnica de redondeo

Programación Entera José Luis Quintero 7

Ejemplo 2. Técnica de redondeo

Programación Entera José Luis Quintero 8

Ejemplo 3. Técnica de redondeo

Programación Entera José Luis Quintero 9

Ejemplo 3. Técnica de redondeo

Programación Entera José Luis Quintero 10

Ejemplo 4. Técnica de redondeo

Programación Entera José Luis Quintero 11

Ejemplo 4. Técnica de redondeo

Programación Entera José Luis Quintero 12

1. Técnica del redondeo

2. Método heurístico sencillo

3. Relajaciones en PLE

Puntos a tratar

Programación Entera José Luis Quintero 13

• Resolver el problema lineal para hallar (si existe)una solución óptima lineal x.

CASO 1. Si la solución es entera, FIN.

CASO 2. Si el problema lineal es infactible, FIN.

• Para cada componente no entera, generarsoluciones al azar como sigue:

• Seleccionar como solución aproximada la mejor delas soluciones factibles generadas.

ix

ii

i

1 con probabilidad xx =

0 con probabilidad 1-x

Una heurística para Programación Lineal Entera 0-1

Programación Entera José Luis Quintero 14

1. Técnica del redondeo

2. Método heurístico sencillo

3. Relajaciones en PLE

Puntos a tratar

Programación Entera José Luis Quintero 15

Notación a usar:

F(Q) Conjunto de soluciones factibles

del problema Q

Función objetivo de Q

Valor que toma en x

J Conjunto de variables enteras

QZ

QZ (x)QZ

Relajaciones en Programación Lineal Entera

Programación Entera José Luis Quintero 16

DEFINICIÓN. Sea P un problema demaximización de PLE, se dice que PR es unarelajación de P si:

a.

b. PR P

F(P) F(PR)

Z (x) Z (x) x F(P)

⊆≥ ∀ ∈

Ejemplos:Relajación LinealRelajación LagrangeanaRelajación por reemplazoDescomposición Lagrangeana

Relajaciones en Programación Lineal Entera

Programación Entera José Luis Quintero 17

Relajación Lagrangeana

tjP: max c x s.a. Ax b, Bx d, x 0, x entero si j J≤ ≤ ≥ ∈

0λ ≥λ: vector de la dimensión de b. real fijo

t tjPR: max c x (b Ax) s.a. Bx d, x 0, x entero si j J+ λ − ≤ ≥ ∈

Programación Entera José Luis Quintero 18

{ }

PR

1 2 3

1 1 2 3

2 1 2 3

1 2 3

1 2 3 1 2

max 2x 3x 5x

(8 2x x 5x )

(9 3x x 6x ) s.a.

x 2x 3x 4

x , x , x 0,1 , , 0 fijos

+ + +λ − − − +λ − − −

+ + ≤

∈ λ λ ≥

Ejemplo 5. Relajación Lagrangeana

{ }

P

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

max 2x 3x 5x s.a.

x 2x 3x 4

2x x 5x 8

3x x 6x 9

x ,x ,x 0,1

+ ++ + ≤

+ + ≤+ + ≤

PR es un problema tipo mochila (knapsack problem)

Programación Entera José Luis Quintero 19

Relajación Lagrangeana

TEOREMA. Sean P un problema de PLE,

un problema de relajación lagrangeana ytal que:

a. es óptimo deb.c.

Entonces es óptimo de P.

, x∗ ∗λ

x∗ P ∗λx F(P)∗ ∈

t(b Ax ) 0∗ ∗λ − =

x∗

Programación Entera José Luis Quintero 20

{ }

P

1 2

1 2

1 2

max 2x x s.a.

x x 1

x ,x 0,1

++ ≤

{ }PR1

1 2 1 2

1 2

max 2x x 2(1 x x ) s.a.

x ,x 0,1

+ + − −

Ejemplo 6. Relajación Lagrangeana

{ }PR2

1 2 1 2

1 2

max 2x x 3(1 x x ) s.a.

x ,x 0,1

+ + − −

∈factibles:

(0,0)

(0,1)

(1,0) óptimo

óptimos: (0,0) , (1,0)

óptimo: (0,0)

Programación Entera José Luis Quintero 21

{ }

P

1 2

1 2

1 2

max 2x x s.a.

x x 3 /2

x ,x 0,1

++ ≤

∈{ }

PR

1 2 1 2

1 2

max 2x x 2(3 /2 x x ) s.a.

x ,x 0,1

+ + − −

Ejemplo 7. Relajación Lagrangeana

factibles:

(0,0)

(0,1)

(1,0)

(1,1) óptimo

óptimos: (0,0) , (1,0)

Programación Entera José Luis Quintero 22

Relajación por reemplazo (Surrogate relaxation)

tjP: max c x s.a. Ax b, Bx d, x 0, x entero si j J≤ ≤ ≥ ∈

0µ ≥μ: vector de la dimensión de b. real fijo

t tjPR : max c x s.a. (Ax b) 0, Bx d, x 0, x entero si j Jµ − ≤ ≤ ≥ ∈

Programación Entera José Luis Quintero 23

{ }

PR

1 2

1 2

t

1 21 2

1 2

1 2

max 2x 3x s.a.

x 2x 4

2x x 31 06x x 8

4x 2x 51 0

x ,x 0,1

++ ≤

+ − ≤ ⇒ − ≤ − −

Ejemplo 8. Relajación por reemplazo

{ }

P

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

max 2x 3x s.a.

x 2x 4

2x x 3

4x 2x 5

x ,x 0,1

++ ≤

+ ≤− ≤

Programación Entera José Luis Quintero 24

Descomposición Lagrangeana

tjP: max c x s.a. Ax b, Bx d, x 0, x entero si j J≤ ≤ ≥ ∈

t t

j k

P̂ : max c x c y s.a. Ax b, By d, x y, 1

x 0, x entero si j J, y entero si k J , reales fijos

α + β ≤ ≤ = α + β =≥ ∈ ∈ α β

P y son problemas equivalentes P̂

Programación Entera José Luis Quintero 25

Descomposición Lagrangeana

t t t

j k

PR: max c x c y (y x) s.a. Ax b, By d, 1

x 0, x entero si j J, y entero si k J , reales fijos

α + β + λ − ≤ ≤ α + β =≥ ∈ ∈ α β

t t t t

j k

PR : max c x x max (1 )c y y s.a.

Ax b, By d,

x 0, x entero si j J, y entero si k J

real fijo

α − λ + − α + λ≤ ≤

≥ ∈ ∈

α

Programación Entera José Luis Quintero 26

Relajaciones en Programación Lineal Entera

TEOREMA. Sean P un problema de PLE (casomax) y PR una relajación:

a. Si entonces .b. Si y acotado, entonces existe

una solución óptima para PR y.

c. Suponga . Si es óptimoen PR y entonces es óptimoen P.

F(PR) = ∅ F(P) = ∅F(PR) ≠ ∅

v(PR) v(P)≥

Z(PR) Z(P)≡ x∗

x F(P)∗ ∈ x∗

Programación Entera José Luis Quintero 27

Pensamiento de hoy

“Todo el mundo desea saber, peropocos están dispuestos a pagar elprecio”.

Juvenal