INVESTIGACION DE OPERACIONES PROGRAMACION LINEAL · PDF fileINVESTIGACION DE OPERACIONES...

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  • INVESTIGACION DE OPERACIONES

    PROGRAMACION LINEAL ENTERA

    1. Tipos de Modelo de Programacin Lineal Entera. 2. Interpretaciones grficas de modelos de

    programacin lineal entera 3. Aplicaciones de las variables binarias (0-1) 4. Aplicaciones

    1

  • 1. Tipos de Modelo de Programacin Lineal Entera

    Programacin lineal entera o programacin con enteros son modelos de programacin matemtica que presentan condiciones que estipulan que algunas o todas las variables de decisin deben tener valores enteros.

    Aplicaciones: 1. Nmero de empleados a contratar. 2. Cantidad de mquinas necesarias para la produccin 3. Nmero de viajes a realizar. 4. Cantidad de piezas a producir 5. Cantidad de locales a instalar

    2

  • Los modelos de Programacin Lineal Entera (PLE)

    se resuelven de manera distinta que los modelos de

    Programacin Lineal (PL).

    Los algoritmos que resuelven los modelos lineales

    enteros no entregan resultados de anlisis de

    sensibilidad.

  • 1. Clasificacin de los modelos de PLE:

    Modelo

    Tipos de Variables de Decisin

    Completamente entero (PEP)

    Todas son enteras

    Mixto (PLEM)

    Algunas, pero no todas son enteras

    Binaria (PLBI)

    Todas son binarias (0 1)

    4

  • 1. Consideraciones generales:

    Si un modelo de enteros se resuelve como un modelo

    lineal simple, la S.O. puede ser no entera.

    Al aproximar a valores enteros se puede obtener:

    Soluciones no-factibles

    Soluciones factibles pero no ptimas

    Soluciones ptimas.

    5

  • 2. Interpretaciones grficas de modelos de programacin lineal entera Ejemplo 1

    Maximizar 18E + 6F

    Sujeto a E + F 5 (1)

    42.8E + 100F 800 (2)

    20E

    +

    6F 142

    (3)

    30E

    +

    10F 132

    (4)

    E

    3F 0

    E

    y

    F enteros

  • Modelo entero puro (PEP)

    Minimizar 6X1 + 5X2 + 4X3

    Sujeto a 108X1 + 92X2 + 58X3 576

    7X1 + 18X2 + 22X3 83

    X1, X2, X3 enteros

    8

  • Programacin lineal entera-mixta (PLEM)

    Minimizar 6X1 + 5X2 + 4X3

    Sujeto a 108X1 + 92X2 + 58X3 576

    7X1 + 18X2 + 22X3 83

    X1, X2, X3 0 ; X1 y X2 enteros.

    9

  • Programacin Lineal Binaria

    Min 24X11+10X12+21X13+14X21+22X22+10X23+15X31 +17X32+20X33

    Sujeto a X11+X12+X13 1 X21+X22+X23 1 X31+X32+X33 1 X11+X21+X31 = 1 X12+X22+X32 = 1 X13+X23+X33 = 1 Xij = 0,1

    10

  • PROBLEMA CON VARIABLES ENTERAS

    El Cafetn es una nueva cadena de restaurantes de comida rpida que est planificando posicionarse en Lima, ofrecer productos de alta calidad, pero considera que su principal atraccin ser el diseos de sus locales. Los locales se ubicarn en el centro de Lima y en otros distritos. Los primeros se construirn de forma que parecern el interior de un contenedor (container), mientras que los locales ubicados en otros distritos, se construirn al interior de verdaderos contenedores. La compaa dispone de S/. 2.7 millones para su expansin, desea abrir al menos 2 restaurantes en el centro de la ciudad y cuenta con 19 postulantes a administradores calificados para el puesto. Adicionalmente considere lo siguiente:

    Valores por Restaurante en el Restaurante fuera del restaurante centro de Lima centro de Lima

    Inversin (S/.) 600 000 200 000

    Ganancia (S/. ) 2000 1200

    N de administradores 1 3

    El gerente general desea saber cuntos restaurantes podra abrir para maximizar la ganancia neta semanal. 11

  • La solucin real del problema es:

    F = 87/16 = 5.44 , C = 43/16 = 2.69, Z = US$ 11.900

    Entonces,

    Por qu no redondear simplemente los valores la solucin

    real?

    Posibles resultados del redondeo:

    Los puntos pueden ser no-factibles

    Los puntos pueden ser factibles pero no-ptimos

    Los puntos pueden ser factibles y ptimos

    Veamos los puntos F = 6, C = 3 qu sucede?

    12

  • Nota:

    Imponer restriccin de enteros agrega dos restricciones al problema: F entero y C entero. El valor de la funcin objetivo NO puede mejorar. En un problema de maximizacin esto significa que el valor de la funcin objetivo disminuir o en el mejor de los casos ser el mismo que el valor ptimo del problema de programacin lineal en el dominio de los reales.

    La solucin entera del problema es: X1 = 4, X2 = 3, Z = US$ 10.800

    13

  • APLICACIONES DE LA PLE

    a) Variables binarias Problema de Inversiones.

    Una empresa est pensando invertir en cuatro

    proyectos diferentes, cada proyecto se finaliza a lo ms

    en 3 aos. Los flujos de caja requeridos en cada ao

    junto con el Valor Presente Neto de cada proyecto,

    concluidos los aos de ejecucin, y las disponibilidades

    de recursos financieros se resumen en la siguiente

    tabla:

    14

  • Proy 1 Proy 2 Proy 3 Proy 4 Disp. Recursos

    Ao 1 10 8 6 12 30

    Ao 2 8 15 4 0 15

    Ao 3 18 0 16 0 12

    V.P.N. 35 18 24 16

    Se requiere determinar en cules proyectos se

    recomienda invertir de modo de conseguir el mayor

    V.P.N. de la inversin.

  • Variables de decisin: 1 si se invierte en el proyecto i Xi = con i= 1, 2, 3, 4

    0 si no se invierte en el proyecto i

    Funcin objetivo:

    Max 35x1 + 18x2 + 24x3 + 16x4

    Restricciones (tres alternativas):

    1 Reinvirtiendo el dinero no utilizado en un perodo

    Ao 1: 10x1 + 8x2 + 6x3 + 12x4 + s1 = 30

    Ao 2: 8x1 + 15x2 + 4x3 + s2 = 15 + s1

    Ao 3: 18x1 + 16x3 12 + s2

    xi {0,1} i = 1,2,3,4

  • 2 Sin invertir el dinero no utilizado en un perodo, pero

    utilizando el retorno de los proyectos concluIdos:

    Ao 1: 10x1 + 8x2 + 6x3 + 12x4 30

    Ao 2: 8x1 + 15x2 + 4x3

    15 + 16x4

    Ao 3: 18x1

    + 16x3

    12 + 18x2

    Xi {0,1} i = 1,2,3,4

    3 Reinvirtiendo dinero no utilizado en un perodo y retorno de

    proyectos concluidos:

    Ao 1: 10x1 + 8x2 + 6x3 + 12x4 + s1 = 30

    Ao 2: 8x1 + 15x2 + 4x3 + s2 15 + s1 + 16x4

    Ao 3: 18x1 + 16x3 12 + s2 + 18x2

    Xi {0,1} i = 1,2,3,4

  • Otras restricciones del problema:

    Se debe invertir en al menos 1 de los 3 primeros proyectos:

    x1 + x2 + x3 1

    Si invierto en el proyecto i se debe invertir en el

    proyecto j:

    Ejemplo:

    xi xj

    No se puede ejecutar el proyecto 2 a menos que el

    proyecto 3 sea ejecutado:

    x2 x3

  • Otras restricciones del problema:

    Se puede invertir en el proyecto i o en el proyecto j,

    pero no en ambos:

    xi + xj 1

    No se puede invertir en ms de dos proyectos:

    xi + x2 + x3 + x4 2

  • Si se invierte en el proyecto i y en el proyecto j,

    entonces se debe invertir en el proyecto k:

    xi + xj 1 + xk

    Si se invierte en el proyecto i o en el proyecto j,

    entonces se debe invertir en el proyecto k:

    xi + xj 2xk

    Si se invierte en el proyecto i no se debe invertir en

    el proyecto j:

    xi 1 - xj

  • Si se invierte en el proyecto i y no se invierte en j,

    entonces se tiene que invertir en el proyecto k:

    xi - xj xk

    Si no se invierte en el proyecto j o no se invierte en el

    proyecto k, entonces se debe invertir en el proyecto i:

    xj + xk 2xi

    Si se invierte en el proyecto i no se debe invertir en

    el proyecto j:

    xi 1 - xj

  • IMPORTANTE:

    En los problemas de programacin lineal entera no es

    posible realizar el anlisis de sensibilidad.

    Cualquier cambio en los coeficientes de la funcin

    objetivo o en los coeficientes del lado derecho implicar

    que se deba resolver el problema nuevamente.

    24

  • 2. El problema de asignacin

    Los problemas de asignacin tpicos implican asignar trabajos a mquinas, agentes a tareas, personal de ventas a territorios de ventas, contratos a licitadores, etc.

    Caracterstica: Un agente se asigna a una y slo una tarea.

    25

  • Ejemplo 2:

    Consideremos la empresa Publiciux que acaba de recibir solicitudes para estudios de investigacin de mercado de tres clientes nuevos. La compaa enfrenta el reto de asignar un lder de proyecto (agente) a cada cliente (tarea). En la actualidad tres individuos no tienen otros compromisos y estn disponibles para las asignaciones de lder del proyecto. Sin embargo, la administracin de