3. RÓWNOWAGA PŁASKIEGO UKŁADU SIŁ Zadanie 3.1

Belka o długości 3a jest utwierdzona w punkcie A zaś w punkcie B spoczywa na podporze

przegubowej ruchomej, rysunek 3.1.1. Aby belka była statycznie wyznaczalna w punkcie D

umieszczono przegub. Wyznaczyć niewiadome podporowe. Belka jest obciążona

obciążeniem ciągłym o intensywności q na długości 2a, a w punkcie C momentem skupionym

M = qa2.

Rys.3.1.1

Rozwiązanie

Wzdłuż osi belki prowadzimy oś x układu współrzędnych, a oś y pionowo w górę przez punkt A (rys.3.1.2).

Rys.3.1.2

W zależności od rodzaju podpór zakładamy w nich odpowiednie niewiadome podporowe. Dla

płaskiego dowolnego układu sił mamy trzy równania, plus jedno równanie momentów

względem przegubu. Często najłatwiej jest ułożyć dwa równania momentów po obydwu

stronach przegubu (wtedy nie wolno układać równania momentów dla całej belki) i dwa

równania rzutów na osie przyjętego układu.

∑∑

=−+=

==

0qa2RR;0F)2

0R;0F)1

BAyiy

Axix

równanie momentów względem przegubu D po prawej stronie przegubu

;02

qaaRM;0M)3

2

BpiD =−⋅+=∑

równanie momentów względem przegubu D po lewej stronie przegubu

∑ =+−= 02

qaaRM;0M)4

2

AyAliD

z równania (3)

2

qaR,qa

2

qaaR B

22

B −=−=⋅

z równania (2)

qa2

5R,

2

qaqa2Rqa2R AyBAy =+=−=

z równania (4)

2A

222

AyA qa2M,qa2

1qa

2

5

2

qaaRM =−=−=

Ostatecznie:

RAx = 0; RAy = qa2

5; RB =

2

qa− ; MA = 2qa2

Zadanie 3.2

Belkę o długości 3a utwierdzono w punkcie A i oparto na podporze przegubowej przesuwnej

w punkcie B. W punkcie D belka posiada przegub. Wyznaczyć niewiadome podporowe w

punktach A i B oraz oddziaływanie w przegubie D gdy belka jest obciążona obciążeniem

ciągłym o intensywności q na odcinku AB, momentem skupionym M przyłożonym do punktu

B i siłą skupioną P działającą w punkcie C pod kątem α, rysunek 3.2.1.

Rys.3.2.1

Dane: a = 1 m; q = 100 kN/m; α = 30o, P = 3

qa; M = qa2.

Rozwiązanie Aby móc wyznaczyć oddziaływania w przegubie D musimy belkę rozbić w tym miejscu na

dwie części – lewą i prawą, rys. 3.2.2.

Rys.3.2.2

Dla obydwu części zakładamy w podporach odpowiednie niewiadome podporowe, w punkcie

D dla strony lewej i prawej zakładamy przeciwnie skierowane oddziaływania pionowe i

poziome, tak aby po złożeniu belki w całość siły te wzajemnie się znosiły.

Aby rozwiązać to zadanie badamy równowagę osobno części lewej i prawej, bo przecież po

uwzględnieniu wzajemnych oddziaływań pomiędzy nimi każda z nich musi być w

równowadze.

Układamy równania równowagi dla części lewej, których jak wiadomo dla płaskiego

dowolnego układu sił jest 3.

1) ∑ =−= 0HR;0F DAxix ,

2) ∑ =⋅−+= 0aqVR;0F DAyiy ,

3) ∑ =⋅−+⋅= 02

aqaMaV;0M ADiA .

Układamy równania dla prawej części: 4) ∑ =α−= ,0sinPH;0F Dix

5) ∑ =α−−−= ,0cosPqaVR;0F DBix

6) ∑ =⋅α−+⋅+⋅= 0acosPM2

aqaaV;0M DiB .

Rozwiązywanie równań rozpoczniemy od części prawej gdyż tam są równania z jedną niewiadomą. z (4) ,kN

6

3100

6

3qa5,0

3

qasinPHD ==⋅=α=

z (6) ,kN100qaa

qa

2

qa

2

3

3

qa

a

M

2

qacosPV

2

D −=−=−−=−−α=

z (5) ,kN502

qa

2

3

3

qaqaqacosPqaVR DB ==⋅++−=α++=

z (1) ,kN6

3100

6

3qaHR DAx ===

z (2) ,kN200qa2qaqaVqaR DAy ==+=−=

z (3) .kNm150qa2

3qa

2

qaaV

2

qaM 22

2

D

2

A ==+=⋅−=

Ostatecznie:

,kN6

3100RAx = ,kN200RAy = .kNm150M A = ,kN50RB =

,kN6

3100HD = ,kN100VD −=

Możemy teraz przeprowadzić obliczenia sprawdzające nie rozdzielając belki w przegubie D rys. 3.2.3.

Rys.3.2.3

Dla belki z przegubem najlepiej jest rozpocząć układanie warunków równowagi od równań

momentów względem przegubu po jego lewej i prawej stronie. Następnie piszemy równania

rzutów na oś poziomą i pionową.

7) 0a2cosP2

aqaMaR;0M B

PiD =⋅α−⋅−+⋅=∑

stąd:

kN502

qa

a

qa2

2

3

3

qa

2

qaR

2

B ==−⋅⋅+=

8) ,02

aqaaRM;0M AyA

LiD =⋅+⋅−=∑

9) ∑ =α−= 0sinPR;0F Axix

kN6

3100

6

3qa

2

1

3

qasinPRAx ==⋅=α=

10) ∑ =α−−+= ;0cosPqa2RR;0F BAyiy

kN200qa22

qa

2

3

3

qaqa2RcosPqa2R BAy ==−⋅+=−α+=

Wstawiając do (8):

kNm150qa2

3

2

qaqa2

2

qaaRM 2

22

2

AyA ==−=−⋅=

Otrzymane wyniki potwierdzają poprawność poprzednich obliczeń.

Zadanie 3.3

Dla ramy przedstawionej na rysunku 3.3.1 wyznaczyć niewiadome podporowe w punktach A

i B. Rama obciążona jest na odcinku pionowym obciążeniem ciągłym o intensywności

m

Nq , a w punkcie C przyłożono moment skupiony M = qa2 [Nm].

Rys.3.3.1

Rozwiązanie Przyjmujemy prostokątny układ współrzędnych 0,x,y (rys. 3.3.2) i przyjmujemy zgodnie z

rodzajem podpór niewiadome podporowe. W punkcie A (podpora przegubowa stała)

niewiadoma RA rozłożona na dwie składowe RAx i RAy o kierunkach osi układu

współrzędnych. Zwroty niewiadomych możemy przyjmować dowolnie (przy pewnej wprawie

starajmy się aby były one zgodne z rzeczywistymi, co zmniejsza ryzyko pomyłek w czasie

obliczeń). W punkcie B jedna niewiadoma pionowa RB.

Rys.3.3.2

Równania równowagi dla płaskiego dowolnego układu sił

∑∑∑

=−−⋅=

=+−=

=+−=

02

qaMaR;0M

0RR;0F

0qaR;0F

2

BiA

BAyiy

Axix

z których wyznaczamy reakcje

qa2

3R

qa2

3

2

qaqa

a2

qa

a

qaR

qaR

Ay

22

B

Ax

=

=+=+=

=

Zadanie 3.4

Dla przedstawionej na rysunku 1 konstrukcji wyznaczyć niewiadome podporowe na

podporach A i B oraz siłę w pręcie AB. Pewną część konstrukcji stanowi łuk o promieniu r a

w punkcie C występuje przegub. Obciążenie stanowi siła skupiona P przyłożona w punkcie C,

moment skupiony K przyłożony w punkcie E, oraz obciążenie ciągłe o intensywności q

działające na pionowy fragment konstrukcji rys.3.4.1.

Rys.3.4.1

Dane: h = r = 5m, a = 2m, b = 4m l = 11m, P = 500kN, K = 750kNm, q = 100kN/m. Rozwiązanie Przyjmujemy układ współrzędnych jak na rysunku 3.4.2 i zakładamy niewiadome podporowe

w punktach A i B. Aby uzewnętrznić siłę w pręcie AB przecinamy go w dowolnym miejscu a

do przegubów A i B przykładamy dwie przeciwnie skierowane siły S (rys. 3.4.2) równe sile

wewnętrznej w tym pręcie.

Rys.3.4.2

Jest to płaski dowolny układ z przegubem. Do dyspozycji mamy więc cztery równania

równowagi.

∑∑

=−+=

=−+−⋅=

0PRR;0F)2

0SSRhq;0F)1

yBAiy

Bxix

;0K2

hhqbPlR;0M)3 ByiA =+⋅⋅−⋅−⋅=∑

i warunek momentów względem przegubu C po prawej stronie przegubu:

∑ =++⋅−⋅= 0)ra(RrRrS;0M)4 ByBxpiC

Podstawiamy:

P = q⋅r; K = 3/10q⋅r2; h = r; a = 2/5r; b = 4/5r; l = 11/5r.

∑∑

=⋅−+=

=−⋅=

0rqRR;0F)2

0Rrq;0F)1

yBAiy

Bxix

;0qr10

3

2

rqr

5

4qrr

5

11R;0M)3 2

2

ByiA =+⋅−⋅−⋅=∑

∑ =⋅−++⋅= 0rR)rr5

2(RrS;0M)4 BxBy

piC

z (1) RBx = qr = 500 kN

z (3) kN3,227qr11

5qr

10

3

2

1

5

4

11

5RBy ==

−+=

z (2) kN7,272qr11

6qr

11

5qrRA ==−=

z (4) kN0,182qr11

4qr

115

57qrR

5

7RS ByBx ==

⋅

⋅−=−=

Zadanie 3.5

Wyznaczyć reakcję więzów konstrukcji złożonej z bieżni A B i umieszczonego na niej

wysięgnika W o ciężarze G. Bieżnia posiada w punkcie E przegub, ciężar jej pomijamy.

Wysięgnik styka się punktowo z bieżnią w punktach C i D, i zawieszony jest na nim ładunek

o ciężarze P. Wymiary konstrukcji podano na rysunku 3.5.1 w metrach.

Dane: l = 1m, P = 1 kN, Q = 5 kN. kąt α = 300

Rys.3.5.1

Rozwiązanie

Potraktujemy konstrukcję jako złożoną z dwóch ciał sztywnych. Wysięgnika W obciążonego

tylko pionowymi siłami P i Q (w punktach styku z bieżnią wystąpią tylko oddziaływania

pionowe) i bieżni AB obciążonej siłami oddziaływania wysięgnika.

Obydwa ciała znajdują się w stanie równowagi, muszą więc spełniać warunki równowagi.

Wysięgnik rys.3.5.2.

Rys.3.5.2

Traktujemy go jako całość (nie wyznaczamy sił wewnętrznych w prętach wysięgnika).

Stanowi on płaski równoległy układ sił. Przyjmujemy prostokątny układ odniesienia,

zakładamy w punktach styku pionowe siły RC i RD i układamy równania równowagi

równanie rzutów na oś y

∑ =−−+= 0QPRR;0F)1 DCiy

równanie momentów względem dowolnego punktu np. punktu C

∑ =⋅−⋅−⋅= 0l5PlQl2R;0M)2 DiC

z równania (2)

kN512

55

2

1P

2

5Q

2

1RD =⋅+⋅=+=

wstawiając do (1)

kN1551RQPR DC =−+=−+=

Siłami tymi po zmianie ich zwrotów obciążamy bieżnię w punktach C i D.

Bieżnia rys.3.5.3

Rys.3.5.3

Rozpatrujemy teraz równowagę bieżni jako płaskiego dowolnego układu sił z jednym

przegubem w punkcie E. Ilość równań (3 + 1)., Przyjmujemy układ odniesienia i zakładamy

niewiadome podporowe w punkcie A – RAx, RAy i MA, w punkcie B – RB skierowaną pod

kątem 900 - α = 600 do osi bieżni.

∑ =⋅−= 060cosRR;0F)3 0BAxix

∑ =−−⋅+= 0RR60sinRR;0F)4 DC0

BAyiy

0lRl860sinR;0M)5 D0

BliC =⋅−⋅⋅=∑

0l4RMlR;0M)6 AyACpiC =⋅−+⋅=∑

z(5)

kN3

10

60sin

RR

0

DB ==

z (1)

kN3

560cosRR 0

BAx =⋅=

z (2)

kN12

3

3

105160sinRRRR 0

BDCAy =⋅−+=⋅−+=

z (4) kNm3l3l1l41lRl4RM CAYA ==⋅−⋅=⋅−⋅= Zadanie 3.6

Dwa pełne walce o ciężarach Q1 = 70 kN, Q2 = 10 kN i o promieniach r1 = 300 mm,

r2 = 100 mm umieszczono swobodnie w gładkim cylindrze o promieniu r = 600 mm, rysunek

3.6.1. Wyznaczyć położenie równowagi określone kątem ϕ, reakcje w punktach A i B oraz

wzajemny nacisk walców na siebie. Osie walców i cylindra są poziome. Tarcie w układzie

pominąć.

Rys.3.6.1

Rozwiązanie

W punktach A i B zakładamy reakcje RA i RB, które działają wzdłuż prostych OO1 i OO2, zaś wzajemny nacisk walców oznaczamy symbolami N1 = N2, (rys.3.6.2). Kąt pomiędzy prostymi

OO1 i OO2 oznaczamy α.

Rys.3.6.2

Traktując oba walce jako całość, układamy warunki równowagi jak dla płaskiego dowolnego

układu sił.

∑∑

=−−ϕ−α+ϕ==ϕ−α−ϕ=

0QQ)cos(RcosR;0F)2

0)sin(RsinR;0F)1

21BAiy

BAix

0)sin()rr(Qsin)rr(Q;0M)3 2211iO =ϕ−α−−ϕ−=∑

Rozpoczynamy od wyznaczenia kąta ϕ z równania (3)

Rozwijamy wyrażenie sin(α - ϕ)

0)sincoscos)(sinrr(Qsin)rr(Q 2211 =ϕα−ϕα−−ϕ−

dzieląc przez sinϕ

0cos)rr(Qctgsin)rr(Q)rr(Q 222211 =α−+ϕα−−−

stąd ctgα

α−

−+α−=α

sin)rr(Q

)rr(Qcos)rr(Qctg

22

1122

z twierdzenia cosinusów

)rr)(rr(2

)rr()rr()rr(cos

cos)rr)(rr(2)rr()rr()rr(

21

221

22

21

212

22

12

21

−−

+−−+−=α

α−−−−+−=+

wstawiając:

8,06,01cos1sin

6,0)1060()3060(2

)1030()1060()3060(cos

22

222

=−=α−=α

=−⋅−⋅

+−−+−=α

ostatecznie

046,9

68,05010

30706,05010ctg

=ϕ

=⋅⋅

⋅+⋅⋅=ϕ

z równań (1) i (2) wyznaczamy reakcje RA i RB

kN44,16)sin(

sin05,69R

kN05,69)46,913,53(ctg46,9sin46,9cos

1070

)(ctgsincos

QQR

0QQ)cos()sin(

sinRcosR

)sin(

sinRR

B

000021

A

21AA

AB

=ϕ−α

ϕ=

=−⋅+

+=ϕ−α⋅ϕ+ϕ

+=

=−−ϕ−α⋅ϕ−α

ϕ+ϕ

ϕ−αϕ=

Aby wyznaczyć oddziaływanie pomiędzy walcami rozpatrujemy równowagę tylko jednego z

walców np. pierwszego, rys. 3.6.3.

Rys.3.6.3

Wyznaczamy wartość kąta γ (rys. 3.6.2) z twierdzenia cosinusów:

0

222

211

22

221

21

2112

212

12

2

90

040302

504030

)rr)(rr(2

)rr()rr()rr(cos

cos)rr)(rr(2)rr()rr()rr(

=γ

=⋅⋅−+=

+−−−++−=γ

γ+−−++−=−

Jest to przypadek szczególny i w celu wyznaczenia oddziaływania N1 ułożymy równanie

rzutów na prostą O1O2 gdyż jest ona prostopadła do prostej OO1

kN51,11sin70NN

0sinQN

21

11

=ϕ⋅===ϕ⋅−

W przypadku ogólnym gdyby kąt γ był różny od 900 rzutujemy siły działające na walec 1 na

prostą OO1

γ−ϕ==

=γ+ϕ−

cos

RcosQNN

0cosNcosQR

A121

11A