3. RÓWNOWAGA PŁASKIEGO UKŁADU SIŁdydaktyka.polsl.pl/kmm/pdf-zad/RÓWNOWAGA PŁASKIEGO.pdf3....
Transcript of 3. RÓWNOWAGA PŁASKIEGO UKŁADU SIŁdydaktyka.polsl.pl/kmm/pdf-zad/RÓWNOWAGA PŁASKIEGO.pdf3....
3. RÓWNOWAGA PŁASKIEGO UKŁADU SIŁ Zadanie 3.1
Belka o długości 3a jest utwierdzona w punkcie A zaś w punkcie B spoczywa na podporze
przegubowej ruchomej, rysunek 3.1.1. Aby belka była statycznie wyznaczalna w punkcie D
umieszczono przegub. Wyznaczyć niewiadome podporowe. Belka jest obciążona
obciążeniem ciągłym o intensywności q na długości 2a, a w punkcie C momentem skupionym
M = qa2.
Rys.3.1.1
Rozwiązanie
Wzdłuż osi belki prowadzimy oś x układu współrzędnych, a oś y pionowo w górę przez punkt A (rys.3.1.2).
Rys.3.1.2
W zależności od rodzaju podpór zakładamy w nich odpowiednie niewiadome podporowe. Dla
płaskiego dowolnego układu sił mamy trzy równania, plus jedno równanie momentów
względem przegubu. Często najłatwiej jest ułożyć dwa równania momentów po obydwu
stronach przegubu (wtedy nie wolno układać równania momentów dla całej belki) i dwa
równania rzutów na osie przyjętego układu.
∑∑
=−+=
==
0qa2RR;0F)2
0R;0F)1
BAyiy
Axix
równanie momentów względem przegubu D po prawej stronie przegubu
;02
qaaRM;0M)3
2
BpiD =−⋅+=∑
równanie momentów względem przegubu D po lewej stronie przegubu
∑ =+−= 02
qaaRM;0M)4
2
AyAliD
z równania (3)
2
qaR,qa
2
qaaR B
22
B −=−=⋅
z równania (2)
qa2
5R,
2
qaqa2Rqa2R AyBAy =+=−=
z równania (4)
2A
222
AyA qa2M,qa2
1qa
2
5
2
qaaRM =−=−=
Ostatecznie:
RAx = 0; RAy = qa2
5; RB =
2
qa− ; MA = 2qa2
Zadanie 3.2
Belkę o długości 3a utwierdzono w punkcie A i oparto na podporze przegubowej przesuwnej
w punkcie B. W punkcie D belka posiada przegub. Wyznaczyć niewiadome podporowe w
punktach A i B oraz oddziaływanie w przegubie D gdy belka jest obciążona obciążeniem
ciągłym o intensywności q na odcinku AB, momentem skupionym M przyłożonym do punktu
B i siłą skupioną P działającą w punkcie C pod kątem α, rysunek 3.2.1.
Rys.3.2.1
Dane: a = 1 m; q = 100 kN/m; α = 30o, P = 3
qa; M = qa2.
Rozwiązanie Aby móc wyznaczyć oddziaływania w przegubie D musimy belkę rozbić w tym miejscu na
dwie części – lewą i prawą, rys. 3.2.2.
Rys.3.2.2
Dla obydwu części zakładamy w podporach odpowiednie niewiadome podporowe, w punkcie
D dla strony lewej i prawej zakładamy przeciwnie skierowane oddziaływania pionowe i
poziome, tak aby po złożeniu belki w całość siły te wzajemnie się znosiły.
Aby rozwiązać to zadanie badamy równowagę osobno części lewej i prawej, bo przecież po
uwzględnieniu wzajemnych oddziaływań pomiędzy nimi każda z nich musi być w
równowadze.
Układamy równania równowagi dla części lewej, których jak wiadomo dla płaskiego
dowolnego układu sił jest 3.
1) ∑ =−= 0HR;0F DAxix ,
2) ∑ =⋅−+= 0aqVR;0F DAyiy ,
3) ∑ =⋅−+⋅= 02
aqaMaV;0M ADiA .
Układamy równania dla prawej części: 4) ∑ =α−= ,0sinPH;0F Dix
5) ∑ =α−−−= ,0cosPqaVR;0F DBix
6) ∑ =⋅α−+⋅+⋅= 0acosPM2
aqaaV;0M DiB .
Rozwiązywanie równań rozpoczniemy od części prawej gdyż tam są równania z jedną niewiadomą. z (4) ,kN
6
3100
6
3qa5,0
3
qasinPHD ==⋅=α=
z (6) ,kN100qaa
qa
2
qa
2
3
3
qa
a
M
2
qacosPV
2
D −=−=−−=−−α=
z (5) ,kN502
qa
2
3
3
qaqaqacosPqaVR DB ==⋅++−=α++=
z (1) ,kN6
3100
6
3qaHR DAx ===
z (2) ,kN200qa2qaqaVqaR DAy ==+=−=
z (3) .kNm150qa2
3qa
2
qaaV
2
qaM 22
2
D
2
A ==+=⋅−=
Ostatecznie:
,kN6
3100RAx = ,kN200RAy = .kNm150M A = ,kN50RB =
,kN6
3100HD = ,kN100VD −=
Możemy teraz przeprowadzić obliczenia sprawdzające nie rozdzielając belki w przegubie D rys. 3.2.3.
Rys.3.2.3
Dla belki z przegubem najlepiej jest rozpocząć układanie warunków równowagi od równań
momentów względem przegubu po jego lewej i prawej stronie. Następnie piszemy równania
rzutów na oś poziomą i pionową.
7) 0a2cosP2
aqaMaR;0M B
PiD =⋅α−⋅−+⋅=∑
stąd:
kN502
qa
a
qa2
2
3
3
qa
2
qaR
2
B ==−⋅⋅+=
8) ,02
aqaaRM;0M AyA
LiD =⋅+⋅−=∑
9) ∑ =α−= 0sinPR;0F Axix
kN6
3100
6
3qa
2
1
3
qasinPRAx ==⋅=α=
10) ∑ =α−−+= ;0cosPqa2RR;0F BAyiy
kN200qa22
qa
2
3
3
qaqa2RcosPqa2R BAy ==−⋅+=−α+=
Wstawiając do (8):
kNm150qa2
3
2
qaqa2
2
qaaRM 2
22
2
AyA ==−=−⋅=
Otrzymane wyniki potwierdzają poprawność poprzednich obliczeń.
Zadanie 3.3
Dla ramy przedstawionej na rysunku 3.3.1 wyznaczyć niewiadome podporowe w punktach A
i B. Rama obciążona jest na odcinku pionowym obciążeniem ciągłym o intensywności
m
Nq , a w punkcie C przyłożono moment skupiony M = qa2 [Nm].
Rys.3.3.1
Rozwiązanie Przyjmujemy prostokątny układ współrzędnych 0,x,y (rys. 3.3.2) i przyjmujemy zgodnie z
rodzajem podpór niewiadome podporowe. W punkcie A (podpora przegubowa stała)
niewiadoma RA rozłożona na dwie składowe RAx i RAy o kierunkach osi układu
współrzędnych. Zwroty niewiadomych możemy przyjmować dowolnie (przy pewnej wprawie
starajmy się aby były one zgodne z rzeczywistymi, co zmniejsza ryzyko pomyłek w czasie
obliczeń). W punkcie B jedna niewiadoma pionowa RB.
Rys.3.3.2
Równania równowagi dla płaskiego dowolnego układu sił
∑∑∑
=−−⋅=
=+−=
=+−=
02
qaMaR;0M
0RR;0F
0qaR;0F
2
BiA
BAyiy
Axix
z których wyznaczamy reakcje
qa2
3R
qa2
3
2
qaqa
a2
qa
a
qaR
qaR
Ay
22
B
Ax
=
=+=+=
=
Zadanie 3.4
Dla przedstawionej na rysunku 1 konstrukcji wyznaczyć niewiadome podporowe na
podporach A i B oraz siłę w pręcie AB. Pewną część konstrukcji stanowi łuk o promieniu r a
w punkcie C występuje przegub. Obciążenie stanowi siła skupiona P przyłożona w punkcie C,
moment skupiony K przyłożony w punkcie E, oraz obciążenie ciągłe o intensywności q
działające na pionowy fragment konstrukcji rys.3.4.1.
Rys.3.4.1
Dane: h = r = 5m, a = 2m, b = 4m l = 11m, P = 500kN, K = 750kNm, q = 100kN/m. Rozwiązanie Przyjmujemy układ współrzędnych jak na rysunku 3.4.2 i zakładamy niewiadome podporowe
w punktach A i B. Aby uzewnętrznić siłę w pręcie AB przecinamy go w dowolnym miejscu a
do przegubów A i B przykładamy dwie przeciwnie skierowane siły S (rys. 3.4.2) równe sile
wewnętrznej w tym pręcie.
Rys.3.4.2
Jest to płaski dowolny układ z przegubem. Do dyspozycji mamy więc cztery równania
równowagi.
∑∑
=−+=
=−+−⋅=
0PRR;0F)2
0SSRhq;0F)1
yBAiy
Bxix
;0K2
hhqbPlR;0M)3 ByiA =+⋅⋅−⋅−⋅=∑
i warunek momentów względem przegubu C po prawej stronie przegubu:
∑ =++⋅−⋅= 0)ra(RrRrS;0M)4 ByBxpiC
Podstawiamy:
P = q⋅r; K = 3/10q⋅r2; h = r; a = 2/5r; b = 4/5r; l = 11/5r.
∑∑
=⋅−+=
=−⋅=
0rqRR;0F)2
0Rrq;0F)1
yBAiy
Bxix
;0qr10
3
2
rqr
5
4qrr
5
11R;0M)3 2
2
ByiA =+⋅−⋅−⋅=∑
∑ =⋅−++⋅= 0rR)rr5
2(RrS;0M)4 BxBy
piC
z (1) RBx = qr = 500 kN
z (3) kN3,227qr11
5qr
10
3
2
1
5
4
11
5RBy ==
−+=
z (2) kN7,272qr11
6qr
11
5qrRA ==−=
z (4) kN0,182qr11
4qr
115
57qrR
5
7RS ByBx ==
⋅
⋅−=−=
Zadanie 3.5
Wyznaczyć reakcję więzów konstrukcji złożonej z bieżni A B i umieszczonego na niej
wysięgnika W o ciężarze G. Bieżnia posiada w punkcie E przegub, ciężar jej pomijamy.
Wysięgnik styka się punktowo z bieżnią w punktach C i D, i zawieszony jest na nim ładunek
o ciężarze P. Wymiary konstrukcji podano na rysunku 3.5.1 w metrach.
Dane: l = 1m, P = 1 kN, Q = 5 kN. kąt α = 300
Rys.3.5.1
Rozwiązanie
Potraktujemy konstrukcję jako złożoną z dwóch ciał sztywnych. Wysięgnika W obciążonego
tylko pionowymi siłami P i Q (w punktach styku z bieżnią wystąpią tylko oddziaływania
pionowe) i bieżni AB obciążonej siłami oddziaływania wysięgnika.
Obydwa ciała znajdują się w stanie równowagi, muszą więc spełniać warunki równowagi.
Wysięgnik rys.3.5.2.
Rys.3.5.2
Traktujemy go jako całość (nie wyznaczamy sił wewnętrznych w prętach wysięgnika).
Stanowi on płaski równoległy układ sił. Przyjmujemy prostokątny układ odniesienia,
zakładamy w punktach styku pionowe siły RC i RD i układamy równania równowagi
równanie rzutów na oś y
∑ =−−+= 0QPRR;0F)1 DCiy
równanie momentów względem dowolnego punktu np. punktu C
∑ =⋅−⋅−⋅= 0l5PlQl2R;0M)2 DiC
z równania (2)
kN512
55
2
1P
2
5Q
2
1RD =⋅+⋅=+=
wstawiając do (1)
kN1551RQPR DC =−+=−+=
Siłami tymi po zmianie ich zwrotów obciążamy bieżnię w punktach C i D.
Bieżnia rys.3.5.3
Rys.3.5.3
Rozpatrujemy teraz równowagę bieżni jako płaskiego dowolnego układu sił z jednym
przegubem w punkcie E. Ilość równań (3 + 1)., Przyjmujemy układ odniesienia i zakładamy
niewiadome podporowe w punkcie A – RAx, RAy i MA, w punkcie B – RB skierowaną pod
kątem 900 - α = 600 do osi bieżni.
∑ =⋅−= 060cosRR;0F)3 0BAxix
∑ =−−⋅+= 0RR60sinRR;0F)4 DC0
BAyiy
0lRl860sinR;0M)5 D0
BliC =⋅−⋅⋅=∑
0l4RMlR;0M)6 AyACpiC =⋅−+⋅=∑
z(5)
kN3
10
60sin
RR
0
DB ==
z (1)
kN3
560cosRR 0
BAx =⋅=
z (2)
kN12
3
3
105160sinRRRR 0
BDCAy =⋅−+=⋅−+=
z (4) kNm3l3l1l41lRl4RM CAYA ==⋅−⋅=⋅−⋅= Zadanie 3.6
Dwa pełne walce o ciężarach Q1 = 70 kN, Q2 = 10 kN i o promieniach r1 = 300 mm,
r2 = 100 mm umieszczono swobodnie w gładkim cylindrze o promieniu r = 600 mm, rysunek
3.6.1. Wyznaczyć położenie równowagi określone kątem ϕ, reakcje w punktach A i B oraz
wzajemny nacisk walców na siebie. Osie walców i cylindra są poziome. Tarcie w układzie
pominąć.
Rys.3.6.1
Rozwiązanie
W punktach A i B zakładamy reakcje RA i RB, które działają wzdłuż prostych OO1 i OO2, zaś wzajemny nacisk walców oznaczamy symbolami N1 = N2, (rys.3.6.2). Kąt pomiędzy prostymi
OO1 i OO2 oznaczamy α.
Rys.3.6.2
Traktując oba walce jako całość, układamy warunki równowagi jak dla płaskiego dowolnego
układu sił.
∑∑
=−−ϕ−α+ϕ==ϕ−α−ϕ=
0QQ)cos(RcosR;0F)2
0)sin(RsinR;0F)1
21BAiy
BAix
0)sin()rr(Qsin)rr(Q;0M)3 2211iO =ϕ−α−−ϕ−=∑
Rozpoczynamy od wyznaczenia kąta ϕ z równania (3)
Rozwijamy wyrażenie sin(α - ϕ)
0)sincoscos)(sinrr(Qsin)rr(Q 2211 =ϕα−ϕα−−ϕ−
dzieląc przez sinϕ
0cos)rr(Qctgsin)rr(Q)rr(Q 222211 =α−+ϕα−−−
stąd ctgα
α−
−+α−=α
sin)rr(Q
)rr(Qcos)rr(Qctg
22
1122
z twierdzenia cosinusów
)rr)(rr(2
)rr()rr()rr(cos
cos)rr)(rr(2)rr()rr()rr(
21
221
22
21
212
22
12
21
−−
+−−+−=α
α−−−−+−=+
wstawiając:
8,06,01cos1sin
6,0)1060()3060(2
)1030()1060()3060(cos
22
222
=−=α−=α
=−⋅−⋅
+−−+−=α
ostatecznie
046,9
68,05010
30706,05010ctg
=ϕ
=⋅⋅
⋅+⋅⋅=ϕ
z równań (1) i (2) wyznaczamy reakcje RA i RB
kN44,16)sin(
sin05,69R
kN05,69)46,913,53(ctg46,9sin46,9cos
1070
)(ctgsincos
QQR
0QQ)cos()sin(
sinRcosR
)sin(
sinRR
B
000021
A
21AA
AB
=ϕ−α
ϕ=
=−⋅+
+=ϕ−α⋅ϕ+ϕ
+=
=−−ϕ−α⋅ϕ−α
ϕ+ϕ
ϕ−αϕ=
Aby wyznaczyć oddziaływanie pomiędzy walcami rozpatrujemy równowagę tylko jednego z
walców np. pierwszego, rys. 3.6.3.
Rys.3.6.3
Wyznaczamy wartość kąta γ (rys. 3.6.2) z twierdzenia cosinusów:
0
222
211
22
221
21
2112
212
12
2
90
040302
504030
)rr)(rr(2
)rr()rr()rr(cos
cos)rr)(rr(2)rr()rr()rr(
=γ
=⋅⋅−+=
+−−−++−=γ
γ+−−++−=−
Jest to przypadek szczególny i w celu wyznaczenia oddziaływania N1 ułożymy równanie
rzutów na prostą O1O2 gdyż jest ona prostopadła do prostej OO1
kN51,11sin70NN
0sinQN
21
11
=ϕ⋅===ϕ⋅−
W przypadku ogólnym gdyby kąt γ był różny od 900 rzutujemy siły działające na walec 1 na
prostą OO1
γ−ϕ==
=γ+ϕ−
cos
RcosQNN
0cosNcosQR
A121
11A