Tema: Probabilidad

PROBABILIDADConcepto, definiciones y propiedades

• Lanzamos una moneda 200 veces. Calculamos las frecuencias relativas del "suceso cara" para 10, 20, 30, …., 200 pruebas.

• Realizamos la experiencia 3 veces y representamos los resultados en un diagrama.

Ley de los grandes números: idea intuitiva de probabilidad

Las frecuencias relativas del suceso cara tienden a estabilizarse en torno a 0,5.A este número lo llamamos probabilidad del suceso.

0,45

0,46

0,47

0,48

0,49

0,5

0,51

0,52

0,53

0,54

0,55

0,56

0,57

0,58

0,59

0,6

0,61

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210

Número de lanzamientos de la moneda

Fre

cuen

cia

rela

tiva

de

cara

1ª Prueba2ª Prueba3ª Prueba

Definición de probabilidad: clásica

• Definición de Laplace: "La probabilidad de un suceso A es el cociente entre el número de casos favorables al suceso y el número de casos posibles".

• Esta definición es válida sólo si los sucesos elementales del espacio muestral son igualmente probables (equiprobables).

Definición de probabilidad: axiomática

Se llama probabilidad, a una ley (aplicación) que asocia a cada suceso A, del espacio de sucesos, un número real llamado probabilidad del suceso A, y que representamos por p(A) y tal que:

• p(A) ≥ 0• p(E) = 1• Si A ∩ B = ∅ ⇒ p(A ∪ B) = p(A) + p(B)

Ejemplo: lanzar dos monedas.

E • CX

• XC

• XX

• CC

0,23

0,21

0,22

0,34

A partir de aquí podemos calcular probabilidades de otros sucesos:• p({CC, CX}) = 0,44• p({CC, XC}) = 0,57• p({CC, XX, XC}) = 0,79

p(∅) = 0

p(A) = 1 – p(A)E

A A1 = p (E) = p (A ∪ A) = p(A) + p(A)

1 = p(E) = p (E ∪ E) = p (E) + p (E) = 1 + p(∅) ⇒ p(∅) = 0

A ⊆ B ⇒ p(A) ≤ p(B) E

BA

A ∩ B

B = A ∪ (A ∩ B) ⇒ p (B) = p (A) + p (A ∩ B) ⇒

⇒ p(B) – p (A) = p (A ∩ B) ≥ 0 ⇒ p(B) ≥ p(A)

Cualquiera que sea A ⇒ p(A) ≤ 1

A ⊆ E ⇒ p(A) ≤ p(E) = 1

Propiedades de la probabilidad

⇒ p (A) = 1 – p(A)

-apuntes-

-apuntes-