1 Probabilidad Conjunta y Condicional (Probabilidad Conjunta) Probabilidad Condicional Probabilidad...

1

Probabilidad Conjunta y Condicional

(Probabilidad Conjunta)

• Probabilidad Condicional

• Probabilidad Total

• Teorema de Bayes

2

[...] Quiero decir, para empezar: ¿a quién le importa si saco una bola blanca o una

bola negra de una urna? Y segundo: si tan preocupado estás por el color de la bola

que sacas, no lo dejes en manos del azar: ¡mira en la maldita urna y saca la bola

del color que quieras!

Stephanie Plum, después (suponemos) de pasar por un curso

de probabilidad y estadística.

Probabilidad condicional

3

Cuatro tipos de probabilidad

Marginal

La probabilidad de que ocurra

X

Unión


X o Y

Conjunta


X e Y

Condicional


X sabiendo que ha ocurrido Y

YX YXY

X

P X( ) P X Y( ) P X Y( ) P X Y( | )

4

Lanzamos dos dados, uno rojo y otro blanco. ¿Cuál es la probabilidad de que sumen 3?

x

x

36/2)3( P

5

Supongamos que hemos lanzado ya el dado rojo y ha salido un 1. ¿Cuál es ahora la probabilidad de que sumen 3?

x

6/1)1|3( rojodadosumadeP

6

sexo edad

B.R H 18

C.C M 19

C.G H 19

G.P M 20

M.P M 21

J.L H 20

L.A. M 21

N.D M 21

V.C H 22

V.F. H 19

L.L. H 18

J.N. M 21

J.P. M 21

U.P M 18

SucesosA = ser hombre (H)B = edad 20

A Ac

B

Bc

Probabilidades

P(A) =

4

62

2

6/14 = 0.43

P(B) = 6/14 = 0.43

P(A B) = 4/14 = 0.29

P(A B) =

6/14 + 6/14 - 4/14 = 0.43+ 0.43 - 0.29 = 0.57

P(AB) = 4/6 = 0.67

P(A) + P(B) - P(A B)

7

Intuir la probabilidad condicional

A

P(A) = 0,25P(B) = 0,10P(A ∩ B) = 0,10

A

¿Probabilidad de A sabiendo que ha pasado B?

P(A|B)=1 P(A|B)=0,8

P(A) = 0,25P(B) = 0,10P(A ∩ B) = 0,08

BB

8


A

B

A

B

¿Probabilidad de A sabiendo que ha pasado B?

P(A|B)=0,05 P(A|B)=0

P(A) = 0,25P(B) = 0,10P(A ∩ B) = 0,005

P(A) = 0,25P(B) = 0,10P(A ∩ B) = 0

9


Interpretación frecuencial:

B

BA

B

BA

B

BABAPn

n

nn

nn

f

f)/(

10

Probabilidad condicional

< ,F , P> Espacio probabilístico

A,B F P(B) 0

Probabilidad de un suceso A sabiendo que

se ha producido un suceso B:

)()(

)|(BP

BAPBAP

11

Probabilidad condicionalEs una “auténtica” probabilidad (tres axiomas):

(1) No negatividad: 0 ≤ P(A/B)

(2) Normalización: P() = P(∩)/ P() =1

(3) Aditividad:P(A C / B) = P(A/B) + P(C/B)

si A ∩ C = Ø incompatibles (excluyentes)

(donde Ø es el conjunto vacío)

)(

)(

)(

)()/(

luego

)(

entonces comoy

)(

()

)()/(

BP

BCP

BP

BAPBCAP

BCAB)(CBA

CA

BP

BCBAP

BP

BCAPBCAP

12

Probabilidad condicional: Propiedades• Una vez A ha ocurrido, ya es seguro:

1)(

)(

)(

)()|(

AP

AP

AP

AAPAAP

• Cuando A y B son excluyentes, una vez ha ocurrido A, B es imposible:

0)(

0

)(

)()|(

BPBP

BAPBAP

• Si B A => P(A / B) = 1

13

Espacio restringido

NegroColor

Palo Rojo Total

As 2 2 4

No-As 24 24 48

Total 26 26 52

¿Cuál es la probabilidad de que una carta escogida al azar sea un as sabiendo que es roja?

262

52/2652/2

)()(

)|( RojoP

RojoAsPRojoAsP

¿Y la probabilidad de que una carta escogida al azar sea roja sabiendo que es un as?

14



(Probabilidad Condicional)

• Probabilidad Total


• Teorema de la multiplicación

15

Sistema exhaustivo y excluyente de sucesos

A3 A4

Se trata de una colección de sucesos A1, A2, A3, A4…tales que la unión de todos ellos forman el espacio muestral, y sus intersecciones son disjuntas.

A1

A2

Divide y vencerás: Todo suceso B, puede ser descompuesto en componentes de dicho sistema.

B = (B A1) U (B A2 ) U ( B A3 ) U ( B A4 )

16

Partición de un espacio muestral

A3 A4

A1

A2

B = (B A1) U (B A2 ) U ( B A3 ) U ( B A4 )

< ,F , P> Espacio probabilístico ligado aun espacio muestral

A1, A2, A3,...... An F {A1, A2, A3,...... An } es una partición

de si y solo si:

i

n

i

ji

Aii

jiAAi

1 )

) B

17

Teorema de la probabilidad total

A1 A2

A3 A4

B

Si conocemos la probabilidad de B en cada uno de los componentes de un sistema exhaustivo y excluyente de sucesos, entonces podemos calcular la probabilidad de B como la suma:

P(B) = P(B A1) + P(B A2) + P( B A3) + P( B A4)

P(B) = P(B|A1)P(A1) + P(B|A2)P(A2) + P(B|A3)P(A3) + P(B|A4)P(A4)

18


Si A1, A2, ... ,An son una partición de , es decir que los sucesos son mútuamente excluyentes entre sí (AiAj= para todo par) y su unión es

entonces; para cualquier suceso B F

)()|()(1

i

n

ii APABPBP


)()(1

n

iiABPBP

A1 A2

A3 A4

B

19

Demostración


BAABABAB

ABABBB

jiji

i

n

ii

n

i

)()()(

)( ) (11

A1 A2

A3 A4

B

)()(1

n

iiABPBP

)()|()(1

i

n

ii APABPBP

20

Ejemplo: En este aula el 70% de los alumnos son hombres.

De ellos el 10% son fumadores. El 20% de las mujeres son

fumadoras.• ¿Qué porcentaje de fumadores hay en total?

Mujeres

Hombres

Fumadores

Podemos aplicar la ley de la probabilidad total:

Hombres y mujeres formanun sistema exhaustivo y excluyente de sucesos.

21

Estudiante

Hombre

No fuma

Fuma

No fuma

Fuma

0,7

0,1

0,20,3

0,8

0,9

Mujer

P(F) = P(F∩H) + P(F∩M) = P(F|H) P(H) + P(F|M) P(M) = 0,1 · 0,7 + 0,2 · 0,3 = 0,13

22

Ejemplo: Un sistema de transmisión puede enviar mensajes de una letra A,B ó C, codificadas en binario.

Los mensajes no son equiprobables

P(A) = 1/2 P(B)=1/4 P(C)=1/4

Códigos de las letras:

A -> 1 0 0 bit b1, b2, b3

B -> 1 1 0 b4, b5, b6

C -> 1 1 1 b7, b8, b9

• Calcular la probabilidad de que escogiendo un símbolo (biT) al azar de un mensaje sea un 1

23

Ejemplo: Un sistema de transmisión puede enviar mensajes de una letra A,B ó C, codificadas en......

P(A) = 1/2 P(B)=1/4 P(C)=1/4

A -> 1 0 0 bit b1, b2, b3

B -> 1 1 0 b4, b5, b6

C -> 1 1 1 b7, b8, b9

b1, b2, b3 , b4, b5, b6 , b7, b8, b9 Partición de {A,B,B} A={b1, b2, b3 }, B={b4, b5, b6},

C={b7, b8, b9}

S={“escoger un 1”}={b1, b4, b5 , b7, b8, b9 }

P(S/A)=1/3 P(S/B)=2/3 P(S/C)=1 P(S)=P(S/A)P(A)+P(S/B)P(B)+P(S/C)P(C)= 7/12

24




(Probabilidad Total)



25

Thomas Bayes nació en Londres, Inglaterra. Su padre fue ministro presbiteriano. Posiblemente De Moivre fue su maestro particular, pues se sabe que por ese entonces ejercía como profesor en Londres.

Bayes fue ordenado ministro presbiteriano y muere en 1761. Sus restos descansan en el cementerio londinense de Bunhill Fields. La traducción de la inscripción en su tumba es:

"Reverendo Thomas Bayes.Hijo de los conocidos Joshua y Ann Bayes. 7 de abril de 1761. En reconocimiento al importante trabajo que realizó Thomas Bayes en probabilidad. Su tumba fue restaurada en 1969 con donativos de estadísticos de todo el mundo".

26

Teorema de Bayes

A1 A2

A3 A4

B

Si conocemos la probabilidad de B en cada uno de los n componentes de un sistema exhaustivo y excluyente de sucesos, entonces…

…si ocurre B, podemos calcular la probabilidad (a posteriori) de ocurrencia de cada Ai, (i = 1, 2, ... , n):

donde P(B) se puede calcular usando el teorema de la probabilidad total:

P(B)

) AP(B |B) P(A i

i

)()(1

n

iiABPBP

27

Teorema de BayesA1 A2

A3 A4

B

ilutudes verosim:)/(

"posteriori a" adesprobabilid :)/(

priori" a" adesprobabilid :)(

)()/(

)()/(

1

i

i

i

n

jjj

iiii

ABP

BAP

AP

APABP

APABP

P(B)

) AP(B |B) P(A


{A1, A2, ... ,An}partición de ,

B F

28

Teorema de Bayes

n

jjj

iii

iiii

APABPP(B)

BP

APABPBAP

B|B)PP(AAPABP) AP(B

ónDemostraci

1

)()/(

Total adProbabilid Teorema

)(

)()/()/(

)()()/(

lCondiciona adProbabilid

:

29


P(A) = 1/2 P(B)=1/4 P(C)=1/4P(S)=P(S/A)P(A)+P(S/B)P(B)+P(S/C)P(C)= 7/12Si se obtiene un 1 ¿Cuál es el mensaje que con mayor

probabilidad se ha enviado?

7

3

12741

1

)(

)()/()/(

7

2

12741

32

)(

)()/()/(

7

2

12721

31

)(

)()/()/(

SP

CPCSPSCP

SP

BPBSPSBP

SP

APASPSAP

30


P(A) = 3/5 P(B)=1/3 P(C)=1/15P(S)=P(S/A)P(A)+P(S/B)P(B)+P(S/C)P(C)= 22/45Si se obtiene un 1 ¿Cuál es el mensaje que con mayor

probabilidad se ha enviado?

22

3

45

2215

11

)(

)()/()/(

22

10

45

223

1

3

2

)(

)()/()/(

22

9

45

225

3

3

1

)(

)()/()/(

SP

CPCSPSCP

SP

BPBSPSBP

SP

APASPSAP

31

P(M) = 0,3, P(F) = 0,13P(M|F) = P(F ∩ M)/P(F) = P(F|M) P(M) / P(F) = 0,2·0,3 / 0,13 = 0,46

Estudiante

Hombre

No fuma

Fuma

No fuma

Fuma

0,7

0,1

0,20,3

0,8

0,9

Mujer

En el problema anterior: Se elige a un individuo al azar y resulta fumador. ¿Cuál es la probabilidad de que sea una mujer?

32

Ejemplo: Pruebas diagnósticas

Las pruebas o tests de diagnóstico se evalúan con anterioridad sobre dos grupos de individuos: sanos y enfermos. De modo frecuentista se estima:

– Sensibilidad (verdaderos +) = Tasa de acierto sobre enfermos.– Especificidad (verdaderos -) = Tasa de acierto sobre sanos.

A partir de lo anterior y usando el teorema de Bayes, podemos calcular las probabilidades a posteriori (en función de los resultados del test) de los llamados índices predictivos:

– P(Enfermo | Test +) = Índice predictivo positivo– P(Sano | Test -) = Índice predictivo negativo

33

La diabetes afecta al 20% de los individuos que acuden a una consulta. La presencia de glucosuria se usa como indicador de diabetes. Su sensibilidad (la tasa de aciertos sobre enfermos) es de 0,3 y la especificidad (tasa de aciertos sobre sanos) de 0,99. Calcular los índices predictivos (P(Enfermo | Test +) = Índice predictivo positivo y

P(Sano | Test -) = Índice predictivo negativo).

Individuo

Enfermo

Sano

T-

T+

T-

T+

0,3

1 - 0,99 = 0,01

1 - 0,3 = 0,7

0,99

0,2

1 - 0,2 = 0,8

34

)(

)()|(

TP

TEnfPTEnfP

Los índices predictivos son: la probabilidad de que, sabiendo que

el test sea positivo, el paciente sea diabético y la probabilidad de

que, sabiendo que el test es negativo, el paciente está sano.

Individuo

Enfermo

Sano

T-

T+

T-

T+

0,3

0,01

0,7

0,99

0,2

0,8

06,03,02,0)( TEnfP

068,001,08,03,02,0)( TP

88,0068,0

06,0

35

Individuo

Enfermo

Sano

T-

T+

T-

T+

0,3

0,01

0,7

0,99

0,2

0,8

85,07,02,099,08,0

99,08,0

)(

)()|(

TP

TSanoPTSanoP

36

Observaciones

• En el ejemplo anterior, al llegar un individuo a la consulta tenemos una idea a priori sobre la probabilidad de que tenga una enfermedad.

• A continuación se le pasa una prueba diagnóstica que nos aportará nueva información: Presenta glucosuria o no.

• En función del resultado tenemos una nueva idea (a posteriori) sobre la probabilidad de que esté enfermo.– Nuestra opinión a priori ha sido

modificada por el resultado de un experimento.

-¿Qué probabilidad tengo de estar enfermo?

- En principio un 20%. Le haremos unas pruebas.

- Presenta glucosuria. La probabilidad ahora es del 88%.

37

La probabilidad de que una mujer con edad comprendida entre los 40-50 tenga cáncer de mama es 0.8%. Si una mujer tiene cáncer de mama, la probabilidad de positivo en test = 90%. Si una mujer no tiene cáncer de mama, la probabilidad de positivo en test = 7%. Supongamos que una paciente da positivo en un test. ¿Cuál es la probabilidad de que tenga cáncer de mama?

1000 mujeres

8: enfermas 992: no enfermas

7: positivos 1: negativo 69: positivos 923: negativos

p(enferma | positivo) = 7 / (7+69) = 0.09

0.09 enf) no | (posenf)(noenf) | (pos(enf)

enf) | (pos(enf) pos) | (enf

0.07 enf) no | (pos0.90, enf) | (pos0.992, enf)(no 0.008, (enf)

PPPP

PPP

PPPP

38

En una urna hay 5 bolas, 3 azules y 2 verdes. Se saca una bola de la urna y sin mirarla, se guarda. A continuación se vuelve a sacar otra bola que es verde. (a) ¿Cuál es la probabilidad de que la primera haya sido verde?(b) Y si la segunda hubiera sido azul, ¿cuál es la probabilidad de que la primera sea verde?(c) ¿Y azul?Nota: Realiza un árbol de sucesos. Llama (A1 y A2), al suceso "sacar azul la primera bola y azul la segunda" y análogamente los restantes: (A1 y V2), (V1 y A2), (V1 y V2).

40

Probabilidad de que la primera haya sido verde (en el supuesto que la segunda ha sido verde)Aplicamos el teorema de Bayes y resulta:

Probabilidad de que la primera haya sido verde (en el supuesto que la segunda ha sido azul)Aplicamos el teorema de Bayes y resulta:

41

Probabilidad de que la primera haya sido azul (en el supuesto que la segunda ha sido azul)Aplicamos el teorema de Bayes y resulta:

42

Supongamos que la incidencia del consumo de drogas en la población es del 5%. Hacemos una prueba de drogas, que tiene una fiabilidad del 95%, a un sujeto escogido al azar y el resultado es positivo. ¿Cuál es la probabilidad de que consuma drogas?

5,0

100095

10095

1005

)(

)()|(

1000

95

100

95

100

5

100

5

100

95)(

positivoP

positivodrogadictoPpositivodrogadictoP

positivoP

43

The Monty Hall Problem

Let’s Make a Deal fue un famoso concurso en las décadas 60-70 de la televisión de EEUU presentado por Monty Hall y Carol Merril.

44

¡Bienvenidos al show de Monty Hall!

Detrás de una de estas puertas hay un coche.

Y detrás de las dos restantes hay una cabra.

45

A B C

Elijo la puerta A

Nuestro concursante seleccionará una puerta ...

46

A B C

PUERTA SELECCIONADA

C

Monty Hall (que conoce dónde está el coche) abre la puerta C.

Ahora sabemos que el coche está o bien en A o bien en B.

Monty Hall nos permite cambiar de elección si queremos …

¿Es más probable ganar el coche si cambiamos de puerta? (En este caso de A a B).

47

B CA

A C

CA B

B CA B CA B CA

Si el concursante CAMBIA su elección original

Pierde Gana Gana

Gana

Gana

Pierde

PierdeGana

Gana

48

Si el concursante CAMBIA su elección original gana 6 veces de las 9: su probabilidad de ganar es 6/9 = 2/3. Si no cambia, su probabilidad de ganar es de 3/9 = 1/3. ¡Tiene el doble de posibilidades de ganar si cambia de puerta!

Pierde Gana Gana

Gana

Gana

Pierde

PierdeGana

Gana

Juega y compruébalo estadísticamente enhttp://math.ucsd.edu/~crypto/Monty/monty.html

http://math.ucsd.edu/~crypto/Monty/monty.html







49

Existe una manera intuitiva de comprender este resultado anti-intuitivo:

Cuando elijo la puerta, en promedio, dos de cada tres veces detrás de la puerta habrá una cabra.

O sea, la mayor parte de las veces habré elegido una puerta con cabra.

Después Monthy me enseña una puerta con cabra. Así que es razonable cambiar mi elección previa...

50

En el problema de Monthy Hall, si nosotros escogemos la puerta A y Monthy abre la puerta B, por ejemplo, la pregunta que nos estamos haciendo es: ¿Cuál es la probabilidad de ganar si cambio a la puerta C, teniendo la información adicional de que el coche no está en la B?

Lo dejamos como ejercicio.

Podemos probar este resultado sin hacer una lista de todos los casos. Usando la noción de probabilidad condicional & Bayes. Recuerda que la probabilidad condicional nos muestra cómo la ocurrencia de un suceso afecta a la probabilidad de otro.

51




(Probabilidad Total)

(Teorema de Bayes)


52

Teorema de la Multiplicación

).../(......)/()/()(.... 121213121321 nnn AAAAP AAAPAAPAP)AA AP(A

• Uso con hipótesis de “dependecia” sólo de los n sucesos anteriores en n-gramáticas:

Ejemplo: bi-gramática

– Análisis de Texto

– Reconocimiento de habla

– Cadenas ADN

)/(......)/()/()(.... 123121321 nnn AAP AAPAAPAP)AA AP(A

53

Sucesos Independientes

54

Los sucesos A y B serán independientes si la ocurrencia de B no influye en la probabilidad de A y al revés. Es decir, si:

)()|()()(

)()|(

)()|()()(

)()|(

APABPBAPAP

BAPABP

BPBAPBAPBP

BAPBAP

)()()( BPAPBAP

Independencia

0)()|(y0)()|( BPABPAPBAP

Como:

Entonces:

55

• Cuando se da la independencia ...simplifica mucho..• No confundir sucesos independientes A ∩ B Ø con disjuntos o excluyentes A ∩ B = Ø•

Es condición necesaria y suficiente, luego puede servir como “prueba de independencia”

Discusión:Independencia “física” e Independencia “matemática”Relaciones causa-efecto – Redes Bayesianas

)()()( BPAPBAP

Independencia

56

Vamos a verificar la independencia de los dados. Sea A = dado rojo sale 1 y B = dado blanco sale 1.

)(6

1

61

361

)(

)()|( AP

BP

BAPBAP

Independencia

Sea C = suma de los dos dados es 3. ¿Afecta A = que el dado rojo salga 1 a la probabilidad de C?

36

2)(

6

1

61361

)(

)()|(

CP

AP

ACPACP

57

Vamos a verificar la independencia de los dados. Sea A = dado rojo sale 1 y B = dado blanco sale 1.

)(6

1

61

361

)(

)()|( AP

BP

BAPBAP

Independencia

Sea C = suma de los dos dados es 3. ¿Afecta A = que el dado rojo salga 1 a la probabilidad de C?

36

2)(

6

1

61361

)(

)()|(

CP

AP

ACPACP

58

Independencia de m sucesosSimilarmente, m sucesos A1...., Am se llaman independientes si:

P(A1 ... Am) = P(A1) ... · P(Am)

y además para cada posible subconjunto de k sucesos: P(Aj+1 ... Aj+k) = P(Aj+1) ... · P(Aj+k)donde j+k < m.

De modo que, p. ej. tres sucesos A, B y C son independientes si:

P(A B) = P(A) P(B) P(B C) = P(B) P(C) P(A B) = P(A) P(B)

P(A B C) = P(A) P(B) P(C)

59

Una caja contiene 10 bolas, 3 son rojas. Escogemos dos bolas al azar. Encuentra la probabilidad de que ninguna de ellas sea roja: (a) con reemplazo y (b) sin reemplazo.

Consideremos los sucesos:A: Primera bola no-rojaB: Segunda bola no-roja

P(A) = 7/10

Si el muestreo es con reemplazo, la situación para la segunda elección es idéntica que para la primera, y P(B) = 7/10. Los sucesos son independientes y la respuesta es:P(A B) = P(A) P(B) = 0.7 0.7 = 0.49Si es sin reemplazo, hemos de tener en cuenta que una vez extraída la primera bola, quedan solo 9 y 3 deben ser rojas. Así: P(B|A) = 6/9 = 2/3. En este caso la respuesta es: P(A B) = P(A)P(B|A) = (7/10) (2/3) 0.47

60

Experimentos compuestos (combinados)

61

Experimentos compuestos (combinados) 1 Lanzamiento de un dado y observación de la puntuación

Espacio muestral P1({i})=1/6 1=< i =<6

2 Lanzamiento de una moneda y observación del resultado

C,XP2({C})= P2({X})= 1/2 1=< i =<6

“Probabilidad de 1 en el dado y C en la moneda” = 1/6 * 1/2 = 1/12

xC),(1,X),(2,C),(2,X)......(6,C),(6,X)

Ligado a 1 x 2 : realización de 1 y 2

{“cara”}={(1,C),(2,C)...(6,C)} = x {C} P({“cara”})= P2({C})

{“uno”} = {(1,C),(1,X)}={1} x P({“uno”})= P1({1})

62

Experimentos compuestos (combinados)Formalización: Experimento Producto

< ,F1 , P1> espacio probabilístico ligado a 1


= 1 x 2 : realizar 1 y 2

< ,F , P> espacio probabilístico ligado a

x2={(iji j

AxB F A F1 y B F2

F contiene, además, todos los sucesos que puedan formarse mediante operaciones de unión, intersección o sean contrarios de los AxB

63

Experimentos compuestos (combinados)Ejemplo

= {1,2} = {a,b,c}

x2= {(1,a),(1,b),(1,c),(2,a),(2,b),(2,c)}

{(1,a),(1,b),(2,a)} AxB con A F1 y B F2

P(Ax 2) = P1(A)

P( xB) = P2(B)

No es posible especificar las probabilidaders de todos los sucesos del álgebra F

64

Experimentos compuestos (combinados)Experimentos INDEPENDIENTES

1 y 2 son independientes si y sólo si

A x y B x son independientes A F1 y B F2

P[(A x B x P[(A x P[(B x P(AP(B)Generalización

Dados n experimentos: < ,Fi , Pi> ligado a i i=1,2.....n

= 1 x 2 x 2 ...... x n realización de todos los experimentos

< ,F , P> x2x n

A1 x A2...... An F Ai Fi i =1,2.....n

Si los i son independientes:

P(A1 x A2...... An )P(A1P(A2Pn(An

65

Experimento Suma< ,F1 , P1> espacio probabilístico ligado a 1


= 1 + 2 : realizar 1 ó 2 < ,F , P> espacio probabilístico ligado a (+)2 A B F A F1 y B F2

,

P(i )probabilidad de realizar i i =1, 2

Para i =1, 2 Ai Fi P(Ai /i )=Pi (Ai )

En F P(Ai )= P(Ai /i ) P(i )=Pi (Ai ) P(i )

A F A = A (2)=A (A 2)=A A

A2 F1 y A2 F2 A A P(A)= P(A1 )+P(A2 )

Para determinar P es suficiente conocer, P1, P2 , P(1) y P(2)

66

Ensayos de Bernoulli

67

Ensayos de Bernoulli (I)Experimentos en el que se realizan varias pruebas y en cada prueba sólo

son posibles dos resultados:

• Lanzar una moneda• Ganar o Perder• Detectar o No-Detectar un blanco Radar, sensor, evento, mensaje,

alarma,...• Acertar o Equivocarse: diagnóstico médico, reconocimiento de habla,

locutor...• ....

Estableceremos:

...)etectar,..detectar/d-no ar,perder/gan ,(cruz/cara

...)detectar,.-odetectar/n er,ganar/perd ,(cara/cruz

elemental suceso posible único otro el como y

elemental sucesoun como

A

A

A

A

Repetiremos el experimento N veces –en las misma condiciones-, suponiendo que los sucesos elementales son estadísticamente independientes.

68

Ensayos de Bernoulli (II)

...)etectar,..detectar/d-no ar,perder/gan ,(cruz/cara

...)detectar,.-odetectar/n er,ganar/perd ,(cara/cruz

elemental suceso posible único otro el como y

elemental sucesoun como

A

A

A

A

Repetimos el experimento N veces : sucesos independientes.

kNkkNkk

k

qpk

Npp

k

NAP

A

q-pAP

pAP

)1()(

}orden"cualquier en k veces eexactament

ocurraA que pruebas, N de Después{"

1) (

)(

69

Recordar....Probabilidad clásica (III-cont)

• A pesar de los inconvenientes la Regla de Laplace puede ser muy útil para asignar probabilidades a los sucesos (ajuste del modelo)

• Si no se cumple que los sucesos elementales sean equiprobables:

Definir un experimento aleatorio ficticio añadiendo aspectos quizás no observables

Pero: para “manejarse” en este espacio mayor (quizás) con elementos equiprobables es necesario

“saber contar” -> Combinatoria

posibles casos de Número

favorables casos de Número)( AP

70

Saber Contar

• Regla de Laplace (Definición clásica)

posibles casos de Número

favorables casos de Número)( AP

A)(AP

• Ejemplo: Espacio muestral discreto y finito, con n sucesos simples:

¿cúantos subconjuntos (sucesos compuestos?) pueden formarse?

71

Principio multiplicativo (ilustración gráfica)

El primer elemento puede escogerse de dos formas distintas: a1 y a2.

El segundo de tres maneras distintas: b1, b2 y b3. El tercer elemento puede escogerse en dos modos distintos: c1 y c2.

El total de posibilidades será: 2 . 3 . 2 = 12

c1c2 c1 c2 c1 c2 c1

c2 c1c2 c1 c2

b1 b2b3 b1 b3b2

a1 a2

72

= {a,b,c} Espacio muestral discreto y finito, con n=3 sucesos simples

Sucesos compuestos: Principio multiplicativo

El total de subconjuntos posibles será: 2 . 2 . 2 = 8para n elementos : 2n

b no-b

a no_a

b no-b

c no-c c no-c c no-c c no-c

{a,b,c} {a,b} {a,c} {a} {b,c} {b} {c} {Ø}

73

Alfabeto Braille

¿Cuántos símbolos distintos pueden representarse?

6364222222654321

74

“La combinatoria trata, ante todo, de contar el número de maneras en que unos objetos dados pueden organizarse de una determinada forma.”

Introducción a la combinatoria

Ian Anderson

CombinatoriaEl arte de contar

75

Combinatoria-I (simple)Número de formas de “colocar” n objetos distintos en una fila de r posiciones (...o “extraer” r elementos de un conjunto de n objetos)Ejemplo: colocar tres objetos {a,b,c} (n=3) en r=2 posiciones

Permutaciones/Variaciones: El orden importa• ”ab” es distinto a “ba”

Combinaciones: El orden no importa• ”ab” se considera igual a “ba”

Tanto las Permutación, Variaciones como las Combinaciones pueden o no considerar la repetición (o reposición) de los objetos o elementos: ”aa” ”bb”

Permutaciones/Variaciones/Combinacionescon/sin repetición

76

Combinatoria-II (simple)Variaciones: El orden importa

Variaciones sin repetición: escoger r elementos distintos de entre un total de n según un determinado orden.

Para escoger el primer elemento hay (n) posibilidades, para el segundo (n-1),.... para el elemento r (n-r+1) = n(n-1).....(n-r+1)

{a,b,c} escoger r=2 de n=3 {ab,ba,ac,ca,bc,cb} 3!/(3-2)!=6

{a,b,c} r=2 de n=3 con repetición {ab,ba,ac,ca,bc,cb,aa,bb,cc} 32=9

123 ... )1()(

123 ...)2()1(

rnrn

nnn

r)!(n

n!n

rV

Variaciones con repetición: escoger r elementos distintos de entre un total de n según un determinado orden, y pudiendo repetirse.

Ahora hay n posibilidades para escoger cada uno de los r elementos r

nn

rVR

77

Combinatoria-III (simple)

Permutaciones sin repetición (recordad 0! = 1):

!123)2()1( nnnnPn

Permutaciones con repetición:

nn nPR

{a,b,c} Permutaciones sin repetición {abc,acb,bac,bca,cab,cba} 3!=6

{a,b,c} Permutaciones con repetición {abc,acb,bac,bca,cab,cba,aaa,bbb,ccc,aab,aba,baa,aac,aca,caa,bba,bab,abb,bbc,bcb,cbb,cca,cac,acc,ccb,cbc,bcc} 33=27

Permutaciones con n=r : (Permutaciones/Variaciones)

78

Combinatoria-IV (simple)

Combinaciones: El orden no importa

Combinaciones sin repetición: escoger r elementos distintos de entre un total de n sin que importe el orden

{a,b,c} escoger r=2 de n=3 –sin que importe el orden- {ab,ac,bc} 3!/2!(3-2)!=3

En las Combinaciones, al no importar el orden, el número de Variaciones se reduce en un factor igual al número de “ordenaciones” de los r elementos:

)!(!

!),(

rnr

n

r

nrnC

rnC

79

Combinatoria-V (simple)

Combinaciones: El orden no importa

{a,b,c} r=2 de n=3 con repetición {ab,ac,bc,aa,bb,cc} 4!/(2!.2!)=6

Combinaciones con repetición: escoger r elementos distintos de entre un total de n sin que importe el orden, y pudiendo repetirse.

80

Ejemplos

81

Si se producen aleatoriamente n accidentes de coche en n días, ¿cuál es la probabilidad de que cada día se produzca un accidente?

(Sucesos equiprobables)Nº casos posibles:El accidente 1 puede ocurrir en n posibles días. El accidente 2 en n días, idem el 3, etc... De modo que existen nn maneras posibles de que sucedan n accidentes en n días (casos posibles).

Nº casos favorables:Número de formas de colocar n accidentes en n días, un accidente cada día....

82

Si se producen aleatoriamente n accidentes de coche en n días, ¿cuál es la probabilidad de que cada día se produzca un accidente?

nnn

np!

)(

Para siete accidentes de tráfico en una semana:p(7) = 7! / 77 = 0.00612 (anti-intuitivamente baja)

Nº casos posibles: nn

El accidente 1 puede ocurrir en n posibles días. El accidente 2 en n días, idem el 3, etc...

De modo que existen nn maneras posibles de que sucedan n accidentes en n días (casos posibles).

Nº casos favorables:Número de formas de colocar n bolas en n celdas, una bola por celda.... Permutaciones sin repetición de n-elementos tomados de n en n: n!

83

¿Cuál es el número de posibles ordenaciones de una baraja de póker de 52 cartas?

El resultado es 52!, que es aproximadamente 8 × 1067. Observa que a partir de una simple baraja obtenemos un número enorme, superior, por ejemplo, al cuadrado del número de Avogadro: 6,02 × 1023.

Explosión combinatoria

Nota: 0! = 1

84

Fórmula de Stirling

nnenn 2

1

2~!

La demostración de la fórmula de Stirling puede encontrarse en la mayoría de textos de análisis. Vamos a verificar la bondad de la aproximación usando el programa StirlingApproximations, que imprime: (a) n!, (b) la aproximación de Stirling y (c) el cociente de ambos valores. Observemos como ese cociente se acerca a 1 a medida que n crece. Se dice entonces que la aproximación es asintótica.A veces, al resolver un problema de combinatoria, es mejor encontrar una aproximación asintótica formada por funciones cuyo comportamiento es fácil de comprender que la solución exacta, cuyo comportamiento escapa a nuestra intuición.

James Stirling presentó su fórmula en “Methodus Differentialis” publicado en 1730.

85

Un ascensor sube con 7 pasajeros y se detiene al cabo de 10 pisos. ¿Cuál es la probabilidad de que dos pasajeros no bajen en el mismo piso? (Supongamos que todas las posibles maneras de descender son igualmente probables).

Casos posibles: VR10,7 = 107

Casos favorables: V10,7 = 10987654

06048,010

45...9107 p

n objetos : 10 pisos escogidos de 7 en 7El orden importa – VariacionesFavorables: Dos no en el mismo piso -> no repetición

86

Algunas Propiedades

El binomio de Newton(a + b)2 = (a + b) (a + b). Todos los posibles productos son: aa, ab, ba, bb.(a + b)2 = a2 + 2ab + b2.

(a + b)3 = (a + b) (a + b) (a + b).Todos los posibles productos son: aaa, aab, aba, baa, abb, bab, bba, bbb.(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3.

(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4. C(4,0) = 1; C(4,1) = 4; C(4,2) = 6; C(4,3) = 4; C(4,4) = 1

10

N

mN

N

m

N

87

Teorema del binomio

jjnn

j

n yxj

nyx

0

nnnnn yn

nyx

n

nyx

nyx

nx

n

11221

1...

210

kn

k

kknn

k

n

k

n

k

n111110

00

010

k

nn

k

kDemostrar:

88

Ejemplo 1.3-1 de Peyton & Peebles...paso a la variable aleatoria....

Probabilidad 0 de suceso posible y 1 de uno que puede no darse.....

96

Problemas propuestos

101

Problemas resueltos

108

2/ Se lanza una moneda si sale cara se saca una canica de la caja I que contiene 3 rojas y 2 azules, si sale cruz se saca una canica de la caja II que contiene 2 rojas y 8 azules. a) Determinar la probabilidad de que se saque una canica roja. b) Habiendo sacado bola roja, ¿cuál es la probabilidad de que haya salido cara?

5

2

82

2

2

1

23

3

2

1

)|()()|()( IIRPIIPIRPIPPCaja I

Caja II

2

1

2

1

10

2

5

3a)

b)

4

3

823

21

233

21

233

21

)|()()|()(

)|()(

IIRPIIPIRPIP

IRPIPP

109

8/ Un ladrón es perseguido por un coche de policía y al llegar a un determinado cruce se encuentra tres posibles calles por las que huir (A, B y C), de tal manera que las dos ultimas son tan estrechas que por ellas no cabe el coche de policía, de lo cual el ladrón no se da cuenta

Si huye por la calle A le atrapan seguro puesto que la final de la misma hay otra patrulla de policía. Si huye por la calle C se escapa seguro puesto que no está vigilada. Si huye por la calle B se encontrará que esta se bifurca en dos callejuelas: la BA, que conduce a A y la BC que conduce a C-

a) ¿Cuál es la probabilidad de que el ladrón sea atrapado?

b) Sabiendo que escapó, ¿cuál es la probabilidad de que huyera por la C entrando por la B y llegando a C por la callejuela BC?

Ladrón

A

B

C

Policía

BA

BC

Policía

Vía libre

A

B

C

BA

BC

3

1

3

1

3

1 2

1

2

1

a)Atrapado

Atrapado

Escapa

Escapa

110

21

6

1

3

10

3

10

2

11

2

1

3

11

3

1C)en atraparle(C)(

BC)en atraparle(BC)(BA)en atraparle(BA)(B)(

A)en atraparle(A)(atraparle)(

PP

PPPPP

PPP

b)

3

1

21

121

31

escapar)(

C)escapar (BC)(B)(BC)por escapar (

P

PPPP

2

1

2

1-1atrapado)ser (-1escapar)( PP

111

13/ Dados los sucesos A y B , tales que P(A)=0,4 y P(B)=0,3 y P(A∩B)=0,1 , calcúlense las siguientes probabilidades:

a) P( A / B ) b) P(A/A U B) c) P(A/A ∩ B) d) P( A /B)

a)

( )( / ) ; ( ) ( )

( )

(( ) ( )) ( ) ( ) ( ) 1

( ) 1 ( ) 1 ( ( ) ( ) ( ))

1 (0,4 0,3 0,1) 0,4

0,4 4( ) 1 ( ) 1 0,3 0,7 ; ( / )

0,7 7

P A BP A B A B A B E

P B

P A B A B P A B P A B P E

P A B P A B P A P B P A B

P B P B P A B

b) ( ( )) (( ) ( )) ( ( ))

( / )( ) ( ) ( )

( ) 0, 4 2

( ) 0,6 3

P A A B P A A P A B P A A BP A A B

P A B P A B P A B

P A

P A B

c)

( ( )) ( )( / ) 1

( ) ( )

P A A B P A BP A A B

P A B P A B

d)

( / ) 1 ( / ), ya que ( / ) ( / )

( ) 0,1 2( / ) 1 1

( ) 0,3 3

P A B P A B A B A B E

P A BP A B

P B

112

17/ En unos laboratorios se preparan tres vacunas contra la misma enfermedad. Las probabilidades de obtener en el mercado cada una de ellas son: vacuna 1=1/6; vacuna 2=1/3; vacuna 3=1/2. Las probabilidades de inmunidad con cada una son: vacuna 1=0,90; vacuna 2=0,94; vacuna 3=0,88. Calcúlese la probabilidad de que, utilizando cualquiera de ellas, el sujeto vacunado resulte inmune. Para calcular la probabilidad de inmunización aplicamos el teorema de la probabilidad total:

1 1 2 2 3 3( ) ( ) ( / ) ( ) ( / ) ( ) ( / )

1 1 10,90 0,94 0,88 0,903

6 3 2

P I P V P I V P V P I V P V P I V

113

19/ Sean las urnas de bolas U1 = (5b, 8n) y U2 = (6b, 9r). Se toma una bola de U1 y se pasa a U2 y seguidamente una de U2 y se pasa a U1. ¿cuál es la probabilidad de que esta última sea roja? (b = bola blanca, n = bola negra, r = bola roja) Las posibles dobles extracciones de U1 son: bb, br, nn, nb y nr ; cuyas probabilidades respectivas son: 5 7 5 9 8 1 8 6 8 9

, , , 13 16 13 16 13 16 13 16 13 16

y

Sea B el suceso cuya probabilidad queremos calcular. Por el teorema de la probabilidad total tenemos que:

( ) ( / ) ( ) ( / ) ( ) ( / ) ( ) ( / ) ( )

35 1 45 8 48 1 72 117( / ) ( ) 0 0 0 0,043

208 13 208 208 208 13 208 2704

P B P B bb P bb P B br P br P B nn P nn P B nb P nb

P B nr P nr

114

20/ Un test detecta la presencia de un cierto tipo T de bacterias en el agua con probabilidad 0,9 en caso de haberlas. Si no las hay, detecta la ausencia con probabilidad 0,8. sabiendo que la probabilidad de que una muestra de agua contenga bacterias de tipo T es 0,2 , calcular la probabilidad:

a) De que realmente haya presencia de bacterias cuando el test ha dado resultado positivo b) Ídem cuando del resultado del test es negativo c) De que haya bacterias y el test sea positivo d) De que, o haya bacterias, o el test sea positivo

Designaremos por T el suceso “que haya bacterias tipo T” y por C el suceso “el test dio positivo”. a) Por el teorema de Bayes:

( / ) ( ) 0,9 0,2 9( / )

0,9 0,2 0,2 0,8 17( / ) ( ) ( / ) ( )

P C T P TP T C

P C T P T P C T P T

b) ( / ) ( ) 0,1 0,2 0,02 1

( / )0,1 0,2 0,8 0,8 0,66 33( / ) ( ) ( / ) ( )

P C T P TP T C

P C T P T P C T P T

c) ( ) ( ) ( / ) 0,2 0,9 0,18P T C P T P C T

d)

( ) ( ) ( ) ( ) 0,2 0,34 0,18 0,36

ya que la probabilidad de que el test sea positivo es:

( ) ( / ) ( ) ( / ) ( ) 0,9 0,2 0,2 0,8 0,34

P T C P T P C P T C

P C P C T P T P C T P T

115

21/ A un puesto aduanero llegan periódicamente misiones diplomáticas procedentes de un determinado país y que están constituidas por 10 miembros. El citado país es un gran productor de marihuana, circunstancia que, de vez en cuando, es aprovechada por sus misiones diplomáticas para introducir algún que otro cargamento en el país que visitan, siendo la forma de hacerlo el que dos de los diez miembros lleven en sus maletas la hierba. Los aduaneros tienen ya información del truco, pero, para no producir incidentes diplomáticos, se limitan a inspeccionar dos de las diez maletas dejando pasar a la misión si en las maletas inspeccionadas no encuentran droga. Su experiencia les dice además que el 10% de las misiones portan la droga. Si una misión inspeccionada no arroja resultado positivo, ¿cuál es la probabilidad de que realmente dicha misión no lleve droga alguna? Denominaremos: A1 al suceso “la delegación porta droga” A2 al suceso “la delegación no lleva droga” B al suceso “una misión inspeccionada arroja resultado negativo” Conocemos:

1 2

1 2

( ) 0,1 ( ) 0,9

8 2

2 0 28( / ) ( / ) 1

10 45

2

P A P A

P B A P B A

Y nos pide P(A2/B). Esta probabilidad podemos calcularla con ayuda del teorema de Bayes:

2 22

1 1 2 2

( ) ( / )( / ) 0,9353

( ) ( / ) ( ) ( / )

P A P B AP A B

P A P B A P A P B A

116

22/ Una caja contiene 3 monedas, 2 normales y una con dos caras. Se elige una moneda al azar y se efectúa una tirada. Si sale cara se tira otra vez. Si sale cruz se elige una de las otras dos que quedan en la caja y se tira. Se pide:

a) Probabilidad de que hayan salido dos caras b) En este caso, ¿cuál es la probabilidad de que la moneda que se ha lanzado dos veces sea la que tiene dos

caras? c) ¿cuál es la probabilidad de que salgan dos cruces?

a) 1 2 1 1 2 2(dos caras) ( ) ( ) ( ) ( ) ( / ) ( ) ( / )

2 1 1 1 11 0,5

3 4 3 6 3

P P B P B A P B A P A P B A P A P B A

(donde A1 es el suceso consistente en que la moneda extraída sea normal y A2 que la moneda extraída sea la especial)

b) 2 2 2

1( ) ( ) ( / ) 23( / )

1( ) ( ) 32

P A B P A P B AP A B

P B P B

1 1 2 1 2

2 1 1 1 1( ) ( ) ( / ) ( / ) ( / )

3 2 2 2 12P H P M P C M P M M P C M

c) Saldrán dos cruces si la primera moneda era normal y el lanzamiento fue cruz y la segunda moneda era también normal y asimismo arrojó cruz. Llamaremos: Mi : La moneda extraída en el lugar i-ésimo es normal , i = 1 , 2 C : Salir cruz al lanzar una moneda H : Salir dos cruces

1 1 2 1 2

2 1 1 1 1( ) ( ) ( / ) ( / ) ( / )

3 2 2 2 12P H P M P C M P M M P C M

117

23/ Una urna contiene 2 bolas blancas, 5 negras y 4 rojas, y de ella extraemos tres bolas, una a continuación de otra. La primera que se extrajo resultó roja, la segunda no se miró y la tercera fue negra. Determinar la probabilidad de que la bola extraída en segundo lugar sea blanca. La información de que la primera bola extraída fue roja reduce el problema inicial a este otro: Una urna con 2 bolas blancas, 5 negras y 3 rojas y de ella extraemos 2 bolas, una después de la otra. La primera no se miró y la segunda era negra. ¿cuál es la probabilidad de que la bola extraída en primer lugar sea blanca? Llamamos B, N y R a los sucesos salir bola blanca, negra o roja en primer lugar y C al suceso “segunda bola extraída sea negra”

5 4 5( / ) ( / ) ( / )

9 9 92 5 3

( ) ( ) ( )10 10 10

P C B P C N P C R

P B P N P R

Y pretendemos calcular es P(B/C) lo que haremos con ayuda del teorema de Bayes. Así tenemos:

( / ) ( ) 2( / )

( / ) ( ) ( / ) ( ) ( / ) ( ) 9

P C B P BP B C

P C B P B P C N P N P C R P R

Análogamente se calcula que: P(N/C) = 4/9 P(R/C) = 3/9

118

Sean tres urnas con las siguientes posiciones de bolas blancas y negras:U1: (3 blancas y 2 negras)U2: (4 blancas y 2 negras)U3: (1 blanca y 4 negras)Calcúlese:a) Probabilidad de extraer bola blancab) Probabilidad de que una bola negra que se ha extraído proceda de la

segunda urna.SOLUCIÓN:a) Suponemos que las tres urnas son equiprobables:P(U1) = P(U2) = P(U3) = 1/3.Por el teorema de la probabilidad total:P(blanca) = P(blanca/U1) P(U1) + P(blanca/U2) P(U2) + P(blanca/U3) P(U3) = 3/5 x

1/3+ 4/6 x 1/3 +1/5 x 1/3 = 22/45 = 0,48888b) P (U2/negra) = P (negra/ U2)P (U2)/P(negra) = = (P(negra/U2) P(U2)/(P(negra/U1)P(U1)+P(negra/ U2) P ( U2)+P(negra/U3) P/U3) =

También se podría haber obtenido con la probabilidad del complementario:P (negra) = 1 – P (blanca) = 1 – 22/45 = 23/45

23

5

31

54

31

62

31

52

31

62

1 Probabilidad Conjunta y Condicional (Probabilidad Conjunta) Probabilidad Condicional Probabilidad...

Documents

Transcript of 1 Probabilidad Conjunta y Condicional (Probabilidad Conjunta) Probabilidad Condicional Probabilidad...