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2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
制作人:黄光洲 时间: 2010 年 11 月 22日
平面内两条直线的位置关系
相交直线
相交直线(有一个公共点)
a
bo
平行直线
平行直线(无公共点)
a
b
复习引入
螺 母 a
bc
d
e
f
新课探究 观察下列图形,说说空间中两条直线的位置关系探究一
思考:存在不存在一个平面同时过上面两条直线?
1. 异面直线的定义 :
不同在 任何 一个平面内的两条直线叫做异面直线。
练习 1 :下列说法是否正确( 1 ) , 则 与 是异面直线( 2 ) 不同在平面 内,则 与 是异面直线
,, ba a b
ba, a b
a 与 b 是相交直线
a 与 b 是平行直线
a 与 b 是异面直线
a bM
答:不一定:它们可能异面,可能相交,也可能平行。
a ba
b
,, ba
C
1D 1C
1B1A
D
BA
ba, 不同在平面 内
a
b
答:不一定:它们可能异面,可能相交,也可能平行。
2. 异面直线的画法说明 : 画异面直线时 , 为了体现 它们不共面的特点。常借 助一个或两个平面来衬托 .
如图:
a
a
b
a
A
b
b
(1)
(3)(2)
3, 小结:空间直线与直线的位置关系
没有
只有一个
没有
共面
不共面共面平行
相交
异面
位置关系 公共点个数 是否共面
学生探究:图 2.1-15
H
G
C A
D B
E
F
G
H
E
F(B)
(C)
DA
探究:下图是一个正方体的展开图,如果将它还原为正方体,那么 AB,CD,EF,GH 这四条线段所在的直线是异面直线的有几对 ? 相交直线有几对 ? 平行直线有几对 ?
D1 C1
B1A1
DC
BA
?DD BBA//ADD,A//ABB 平行吗与那么与中,如图在长方体观察
,
DCBAABCD:
公理 4 、平行于同一条直线的两条直线 互相平行。
A 1A
1B
C 1C
B
例 2 已知 ABCD 是四个顶点不在同一个平面内的空间四边形, E, F, G, H 分别是AB, BC, CD, DA 的中点,连结 EF, FG, GH, HE ,求证 EFGH 是一个平行四边形。
解题思想: ∵ EH 是△ ABD 的中位线
∴ EH BD∥ 且 EH = BD
同理, FG BD∥ 且 FG = BD
∴ EH FG∥ 且 EH =FG
∴ EFGH 是一个平行四边形
证明: 连结 BD
2
12
1把所要解的立体几何问题转化为平面几何的问题
—— 解立体几何时最主要、最常用的一种方法。
A
B
D
E
F
G
H
C
思考?在平面中,如果一个角的两边与另一角的两边分别平行,那么这两个角相等或互补,在空间中是否仍然成立?
定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补。
55 、等角定理、等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补。
C1
A B
CD
A1 B1
D1
的两边怎样的位置关系,大小如何?
1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
ABCD ABC D
ADC ADC ADC ABC
观察正方体与 , 与
探究 2. 异面直线所成的角
在平面内 , 两条直线相交成四个角 , 其中不大于 90 度的角称为它们的夹角 , 用以刻画两直线的错开程度 , 如图 .
在空间 , 如图所示 , 正方体 AB
CD - EFGH 中 , 异面直线 AB 与HF 的错开程度可以怎样来刻画呢 ?
A B
G
F
H
E
D C
O
问题提出
(3) 解决问题
6, 异面直线所成角的定义 : 如图 , 已知两条异面直线 a ,
b , 经过空间任一点 O 作 直线 a′∥a , b ′∥b 则把 a ′ 与 b
′ 所成的锐角 ( 或直角 ) 叫做异面直线所成的角 ( 或夹角 ).
a
bb ′
a′O
思想方法 : 平移转化成相交直线所成的角 ,即化空间图形问题为平面图形问题
异面直线所成的角的范围 ( 00, 900]
a ″如果两条异面直线 a , b 所成的角为直角,我们就称这两条直线互相垂直 , 记为 a
⊥ b
思考 : 这个角的大小与 O 点的位置有关吗 ? 即 O 点位置不同时 , 这一角的大小 是否改变 ?
∵ a′∥a , a″ ∥a ∴ a′∥ a″ ( 公理 4),
解答: 如图设 a ′ 与 b ′ 相交所成的角为∠ 1, a ″ 与 b 所成的角为∠ 2 ,
同理 b′∥b, 1 = 2 ∴ ∠ ∠ ( 等角定理 )b ′
a′O ∠1
aa″
b
∠2
答 : 这个角的大小与 O 点的位置无关 .
如图,已知正方体 ABCD- A'B'C'D' 中。( 1 )哪些棱所在直线与直线 BA' 是异面直线?( 2 )直线 BA' 和 CC' 的夹角是多少?( 3 )哪些棱所在的直线与直线 AA' 垂直?解:( 1 )由异面直线的判定方法可知,与直线BA成异面直线的有直线
, , , , ,B C AD CC DD DC D C ,
A B
CD
A' B'
C'D'
例3
如图,已知正方体 中。( 1 )哪些棱所在直线与直线 是异面直线?( 2 )直线 和 的夹角是多少?( 3 )哪些棱所在的直线与直线 垂直?解:( 2 )由 可知, 等于异面直线 与 的夹角 , 所以异面直线 与 的夹角为 450 。
//BB CC B BA
BACC
, , , , ,
, ,
AB BC CD DA A B
B C C D D A
(3) 直线与直线 都垂直 .AA
CC
BA
A B
CD
A' B'
C'D'
例3 ABCD A B C D
'BA'BA 'CC
'AA
求异面直线所成的角的步骤是 :
一作 (找 ) :作(或找)平行线 二证:证明所作的角为所求的异 面直线所成的角。 三求:在一恰当的三角形中求出角
课堂小结知识内容知识内容 思想方法思想方法
异面直线的定义、画法
空间中直线与直线的位置关系
异面直线所成的角
空间问题转化为平面问题
练习提升“a, b 是异面直线”是指 ① a∩b=Φ,且 a 不平行于b ;② a 平面 , b 平面 且 a∩b=Φ ③ a 平面 , b 平面 ④ 不存在平面 ,能使 a 且 b 成立
1、
上述结论中,正确的是 ( )( A )①② ( B )①③ ( C )①④ ( D )③④2 、长方体的一条体对角线与长方体的棱所组成的异面直线有 ( ) ( A) 2 对 ( B) 3 对 ( C) 6 对 ( D) 12 对
C
C
3 、两条直线 a,b 分别和异面直线 c,d 都相交,则直线 a, b 的位置关系是( )( A )一定是异面直线( B )一定是相交直线( C )可能是平行直线 ( D )可能是异面直线,也可能是相交直线4 、一条直线和两条异面直线中的一条平行 , 则它和另一条的位置关系是 ( )( A )平行( B )相交( C )异面( D )相交或异面
D
D
作业